（基础数学专业论文）关于全纯扩充的bhw定理的推广.pdf

y - 3 7 t 0 7 4 摘要 ， ( b h w 定理出自于对公理化量子场论的研究，是由v b a r g m m m ，d h a g 和a s w i g h t m a n 在1 9 5 7 年给出的尽管有着物理方面的背景，但b h w 定理所给出的却完全是多复变函数论方面关于全纯扩充的结果 公理化量子场论是量子场论发展中非常重要的一步，2 0 世纪5 0 年代 后期，当a s w i g i t m a n 对量子场论提出了一个公理化方法之后，就产生 了这一方向，在此之后不久，这一方面就开始变得非常活跃许多学者 都加入到这个方向的研究，比如n n b o 9 0 1 i u b o v ，v s v l a d i m r o v ，r j o s t ， a s w i g h t m a n ，f d y s o n ，h a r a k i ，d r u e l l e 等在最近出版的一本由菲尔 茨奖获得者e w i t t e n ，p d e l i g n e 等所著的名为“q u a n t u mf i e l dt h e o r i e sf o r m a t h e m a t i c a n s ”的书中，就有整整一节是专门关于公理化量子场论的。这 一部分由哈佛大学的一位教授，著名数学家d k a z d a n 所述，在这本书中， 他写道：“w i g h t m a n 公理可用于去获取量子场论方面深刻的和意料之外 的结果”而且，在关于七个著名千禧问题之一的论文“q u a n t u m y a n g m i l l s t h e o r y ”中，a j a f f e 和e w i t t e n 也提到公理化量子场论是非常重要的：卜- 全纯扩充是复分折中一个非常基本的内容多复变和单复变的一个突 出的区别就是h a r t o g s 现象，在多复变函数论中，有些域比如穿孔圆盘， 它上面所有的全纯函数能够扩充为一个更大的域上的全纯函数，然而，也 有些域，比如凸域，它上面的全纯函数并不都能扩充为一个更大的域上的 全纯函数，这样的域就称为全纯域 b h w 定理是w i g h t m a n 公理的基础，f 关于它在相对论量子场论中的应 用，在h a l l w i g h t m a n l 9 5 7 年的论文中可以找到我们还是看一下b h w 定 理主要说此什么，它是这样的：n 点未来光管上的一个限制l o r e n t z 群作 用不变的全纯函数可以扩充为扩充未来光管上一个正常复l o v e n t z 群作用 不变的全纯函数关于未来光管的定义，可以查阅上面提到的d k a z d a n 的文章我们知道未来光管是一个凸域，因此易知它是一个全纯域，也就 是说，存在其上的一个全纯函数，不能扩充到任何更大的域上去b h w 定理的意义在于当，为不变全纯函数时这个情形就改变了，也就是此时 ，能够向更大的域上扩充；同时，这个定理还是提出扩充未来光管猜测的 一个动因，而扩充未来光管猜测提出上面即b h w 定理中的扩充是最大可 能的。目前，这一长期悬而未决的猜测已经由中科院数学所的周向宇教授 完全解决户y 。 通过p a t t l i 映射，我们有一个关于b t t w 定理的等价描述：f 也就是说， 如果我们记日= z = c 2 2 ：墨茅 o ) ，考虑s l ( 2 ，c ) 在c n 【2 2 上 的作用( a ，( z 1 ，z ) ) 一( a z l 万，a z 育) 和群s l ( 2 ，c ) s l ( 2 ，c ) 在 c 【2 x2 】上的作用( ( a ，口) ，( z 1 ，z ) ) 一( a z t b ，a z n b “) ，其中， a ，b s l ( 2 ，c ) ，z 1 ，z c c 2 2 1 ，于是b h w 定理又可描述为：丑k 上的一 个s l ( 2 ，c ) 作用不变的全纯函数可以扩充为曰备上的一个s l ( 2 ，c ) s l ( 2 ，c ) 作用不变的全纯函数，其中丑k = ( s 工( 2 c j 蔓s l ( 2 ，c ) ) h n 于是，一个很自然的问题便产生了当n x n 矩阵情形时，b h w 定理是 否仍成立? 我们这篇文章的主要结果给出这一个问题的答案是肯定的 关于这一结论的证明，主要分为两个步骤，首先我们给出了一个关于不变 全纯函数扩充的普遍性定理；其次通过对n n 阶的若当标准形的讨论， 我们得到所想要的结论7 详细的证明过程请细阅文章第四章的内容乒l a b s t r a c t b h wt h e o r e m ： m ：o s ef r o mt h es t u d yo fa x i a t i cq u a n t u m f i e l dt h e o r yw h i c h w 8 8g i v e nb yd h a l la n da s w i g h t m a ni n1 9 5 7b a s e do nac r u c i a ll e m m ao f v b a r g r n a n n a l t h o u g hb e i n go fab a c k g r o u n di np h y s i c s ，t h i st h e o r e mc o u l db e r e g a r d e d a sap u r er e s u l t 洫s e v e r a lc o m p l e x v a r i a b l e sa b o u th o l o m o r p h i ce x t e n t i o n s a x i o m a t i cq u a n t u mf i e l dt h e o r yi sav e r yi m p o r t a n ts t e pj nt h ed e v e l o p m e n to f q u a n t u mf i e l dt h e o r y t h i ss u b j e c t w a sb o r na f t e ra s w e i g h t m a ni n t r o d u c e d a na x i o m a t i ca p p r o a c ht ot h eq u a n t u mf i e l dt h e o r yd u r i n gt h ee n do f1 9 5 0 s t h i s s u b j e c ts o o nb e c a m ev e r ya c t i v e m a n ys c h o l a r sj o i n e dt h es t u d y o ft h es u b j e c t ，f o r e x a m p l e 。n n b o g o l i u b o v ，v s v l a d i m i r o v e ta 1 i nt h ef o r m e rs o v i e tu n i o v ，r j o s t ，a s w i g h t r n a n ，f d y s o n h a r a k i ，d r u e n e e ta li nt h ew e s t e nc o u n t r i e s i n av e r yr e c e n t l yp u b h s h e db o o k “q u a n t u mf i e l dt h e o r i e sf o rm a t h e m a t i c i a n s ”w h i c h w a se d i t e db yt h ef i e l d sm e d a l i s t se w i t t e n ，p d e l i g n ee ta l ，t h e r ei sas p e c i a l s e c t i o nf u l l yd e v o l t e dt ot h ea x i o m a t i cq u a n t u mf i e l dt h e o r yw r i t t e nb yaf a m o u s m a t h e m a t i c i a nd k z a d a nw h oi sa p r o f e s s o ro f h 缸v a r du n i v e r s i t y h es a i di nt h e b o o kt h a t “w i g h t m a na x i o m sc a nb eu s e dt od e r i v ed e e pa n du n e x p e c t e dr e s u l t so n b e h a v i o ro fq u a n t u mf i e l dt h e o r i e s ”i nt h e i rp a p e r “q u a n t u m y a n g m i l l st h e o r y ” d e s c r i b i n go n e o fs e v e nf a m o u sm i l h n j u r np r o b l e m s a a j a f f ea n de w i t t e na l s o m e n t i o n e dt h ei m p o r t a n c eo fa x i o m a n t i cq u a n t u mf i e l dt h e o r y h o l o m o r p h i ce x t e n s o ni s ab a s i ct o p i ci nc o m p l e xa n a l y s i s o n eo fs i g n i f i c a n t d i f f e r e n c eb e t w e e ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sa n do l i ec o m p l e xv a r i a b l ei st h eh a r t o g s p h e o n o m e n a i n s e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，t h e r ee x i s ts o m ed o m a i n se g p u n c t u r e d p o l y d i s c so nw h i c ha l lh o l o m o r p h i cr m c t i o n sc a l lb ee x t e n d e dt ot h eh o l o m o r p h i c f u n c t i o n so nap r o p e r l yl a r g e rd o m a i n h o w e v e r ，t h e r ee x i s ta l s os o m ed o m a i n s e g c o n v e xd e m a i n so nw h i c hn o ta l lh o l o m o r p l d cf u n c t i o n sc a d b ee x t e n d e dt o t h eh o l o m o r p h i cf u n c t i o n so na n y p r o p e r l yl a r g e rd o m a i n ，s u c hd o m a i n sa r ec a l l e d d o m a i n so fh o l o m o g p h y b h wt h e o r e mi | f o u n d a t i o n a li nd e s c r i b i n gw i g h t m a n sa x i o m s f o ri t sa p p l i c a - t i o n si nr e l a t i v i s t i cq u a n t u mf i e l dt h e o r y 。o n ec a nr e f e rt oh a l l ，w i g h t m a n sc l a s s i c a l p a p e ri n1 9 5 7 t h et h e o r e ms t a t e st h a ta n yh o l o m o r p h i cf u n c t i o ni n v a r i a n tw r t t h ec o n n e c t e dr e s t r i c t e dl o r e a t zg r o u po nt h en p o i n tf u t u r et u b ec a nb ee x t e n d e d t oah o l o m o r p h i cf u n c t i o ni n v a r i a n tw r t 。t h ec o n n e c t e dp r o p e rc o m p l e xl o r e n t z g r o u p o nt h ee x t e n d e df u t u r et u b e f o rt h ed e f i n i t i o n so f f u t u r et u b e ，l o r e n t zg r o u p a n de x i ；e n d e df u t ：u r et u b e o n ec a nr e f e rt ot h en b o v em e n t i o n e dp a p e ro fd k a z d a n i t sk n o w nt h l tt h e 凡t u r et u b ei 5ac o n l t p xd o m a i na n dt h e r e f o r e8d o m a i n o fh o l o m o r p l a y , i e t h e r ee v i l ；sah o l o m o r p h i ef i m e t i o no nt h en - p o i n tf u t u r et l l b e w h i c hc 觚tb ee x t e n d e dt os l a yl a r g e rd o m a i n t h es i g n i t l e “a e eo fb i t wt h e r o e m i st h a ：tt h e 酊t t l a t i 0 8 血a n g e si fa 弛r e q t t i r 懿t h eh o l l m o r p h i cf t m c t i o n si n v a r i a t l t t h et h e o r e mi so n eo fm o t i v a , t i o j a so ft i l e o _ c a i l e de x t d a t e df v , t u r et t t b ec o n j e c t u i e w h i c hm e a n st h a l ；t h e 。_ b o v ee x t e n s i o n si nb l t wt h e r o e ml i f el a r g e s t ：p o s s i b l e t h i s l o n g - s t a n d i n gc o n j e c t u r e 咖i o l v e db ep r o f x i a n g - y uz h o u b yp , l u l im a p p i z l g ， t h e r ei sm e q u i v a l e n tv e r s i o no fb h w t h e r o e m 缸am a t r i xf o r m t h a ti st os a y , i f w ed e n o t e b y 日= z c 2 2 】：童茅 o ) ，a n dc o n s i d e r t h ea c t i o no f s l ( 2 ，c ) 0 1 1 c 【2 2 1g i v e nb y ( a ，( z l ，z ) 卜+ ( a z ，五，a g t r a ) a n d t h ea c t i o no fc o m - p l e x i f i e df 口u ps l ( 2 c ) s l ( 2 ，c ) o nc f 2 2 】g i v e nb y ( ( a ，露) ，( z 1 ，一z ；) ) 一 ( a z l 口一1 ，- ，a z t b 一1 ) w h e r ea ，口s 工( 2 ，c ) ，z 1 ，z c 2 2 】，t h e z la n y h o l o m o r p h i e f t m e t i o a ai n v a r i 纽t tw r t s l ( 2 ，c ) o n1 7 c 姐b ee x t e n t e dt oal a o l o m o r - p h i e f u n c t i o n i n v a r a , n t w r t s l ( 2 ，c ) x f 工( 2 ，c ) o n ( s l ( 2 ，c ) s l ( 2 ，c ) ) w h i c h c o n s i s t so f t h ep o i n t s ( a 而且， z 知占1 ) w h e r e a 。b s 上( 2 ，c ) ，蜀，磊 日 an a t u r d q a e s t i o r li st oc o n s i d e rt b en n m i l t r i cc 搬t h i sp a p e ri sd e v o t e dt o a s w e r i n gt h eq u e s t i o n w ep r o v et h i l tt l a es a m ec o n c l u s i o no fb wt h e r e o l r la l s o h o l d si nt h eg e n e r a lc a , s i ! ( c o r r l l a r ，, 2i nc h a p t e r 4 ) t h ep r o o fo fo u rr e s u l ti sd i v i d e di n t ot w om a i ns t e p s f i r s tw eg i v eag e n e r a l t h e o r e ma b o u th o l o m p r p h i ee x t e n s i o n so fi n v a r i a n th o l o m o r p h i ef u 1 a c t i o r t s1 u a d e r c e r f n i nj t s s u m p t i o r t s ( r h e r e o mi nc h a p t e r4 ) a n dt h e nw ev e r i f yt h ea s s u m p t i o ni n o u rc a 3 e 第一章预备知识 第节线性代数中的基本概念事实及定理 事实1 1 1n 阶对阵复方阵正定的充要条件是它的所有主子式都大予 零 定义1 1 1 形式为 j ( ，t ) = 的矩阵称为若当块，其中 是复数由若干个若当块组成的准对角矩阵称为 若当标准形一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵中包括对角矩阵 事实1 1 2 复数域c 上的任意个n 阶方阵 都与个形如 m 舢 ：，) 的若当形矩阵相似，即存在非奇异矩阵p s t p “a p = j 且这个若当形矩 阵除去其中若当块的排列次序外，是唯一确定的 正交变换：欧氏空间y 中的线性变换 ，如果它保持向量的内积不变， 即v a ，卢v 都有( a u ，a 卢) = ( a ，卢) ，则称 为正交变换 定理1 1 1 设nxn 复矩阵 a n0 、 a ：f 也2 1 0a i 其中 打是分块矩阵，z1 ，i ，设a 1 1 的阶数为r l ，a 1 1 与 z 2 的阶效之和 为n ，则r k = n 则a 正定营对于所有，= l ，k 如正定 证明( 辛) 若 正定，则 的所有主子式都大于0 ，因此如的所有主子 式也大于0 如也正定，= 1 ， i o 0 1 0 叭0 ( # ) v ( 2 ，n ) 0 ，2 ，c ，= 1 czz，z。，a(；：)=c。z，zn， = ( 2 l ， 卜一 且船 0 0 地) z n ， n ( 三) + c 。n + - ，。一， ”( ：1 ) + ( 。r k _ l + 1 ，n ) a 从 引，+ 。 知一 孟r 0 辛 定理，工：若n n 复矩阵 = ( 血1 ：2 正定则 l = 卜2 其中a i j 是分块矩阵， r 二) ，耳一+ 1 l 主j ( 2 l ，。) i a “ 0 ，0 t l - 、， l + ( 1 一t ) l a k k | 骨。 证毕 0 ，a 0 表示 材的所有主子式都大予0 ，a i i o ，= l ，n 二) 0 a 0 2 二。) 一m 、lj， 札 o 札 “ 参 m 舢“ o 、 叉 是为了获得政治支配权：政治安全的破坏会直接波及到经济秩序的维护，反 之亦然；经济不稳定则社会出现混乱大萧条导致了法西斯主义的抬头；二 第二节李群、李代数、流形、拓扑知识简述 定义1 2 1 拓扑空间：设x 为非空集合，了为x 的子集簇，如果满足 下列条件： ( 1 ) x ，毋了 ( 2 ) 若a ，b j ，则a n b ， ( 3 ) 若历c ，贝口以 a ， 则称，为x 的拓扑，x 为相当于拓扑，的拓扑空间 定义1 2 2 连通分支：如果一个拓扑空间t 除和r 自身外，不再含 有既开又闭的真子集，则称t 为连通的设y 为拓扑空间t 的非空子集， 如果y 作为? 的子空间是连通空间，则称y 为? 的连通子集，若y 又不 真包含于r 的另一个连通子集，则称y 为连通分支 定义1 2 3 单位连通分支：设c 是拓扑群g 的单位元，包含e 的连通分 支称为g 的单位连通分支 定理1 2 i 若蜀，为，矗为连通空间，则积空间x i 扔x 矗 也是连通空间 定义1 2 4 道路连通空间( 弧连通) ：如果对于拓扑空间x 中任意两点 玑都存一个从闭区间f 0 , 1 】到z 的连续映射，：f 0 ，l 】一z ，砘，( o ) = 。，( i ) = 玑则称x 为弧连通空间 定理1 2 2 若x 为道路连通空间，则x 必为连通空间 定义1 2 5 流形：设m 是h a u s d o r f f 空问若对于任意一点2 m ，都 有z 在m 中的邻域u 同胚于m 维欧氏空间r m 的一个子集，则称m 是一 个m 维流形( 同胚：，“都连续的一一映射连续：开集的逆仍为开集 的映射) 定义1 2 6 微分流形：设m 是一个m 维流形如果在m 上给定了一 个坐标卡集一4 = ( 矾妒，) ，( h 妒y ) ，( m p ) ， ，满足下歹口条件，则称且是m 的一个微分结构( 1 ) 矾k 是m 的一个开复盖；( 2 ) 属于 的任意 两个坐标卡相容；( 3 ) 4 是极大的 若在m 上给定了一个e - 微分结构，则称肘是一个微分流形 c 。流形为解析的 3 定义1 2 7 李群：集合g 如果满足以下条件，则称g 为n 维l i e 群：( 1 ) g 是个群，g 妒；( 2 ) g 是 维解析a 眈；( 3 ) 映射j ：g x g g ：( 2 ，) 一z ， 是解析的 定义1 2 8 李群的李代数：即李群g 的单位e 元的切空间配备一个乘 法【x 。y 】= x y y xv x ，y t , m 第三节多复变中的一些基本知识 给定依赖两个指标的数列f 啄 ，称咏为= i 级数，数。 ，上= l mn = 咏称为它的部分和如果鲰，n = s 存在，就称上述二重级数 收敛，s 是它的和 用同样的办法可以定义般多重级数收敛的概念 级数 。( 丑一0 1 ) 4 一( 知一如r 。称为n 量幂级数，它在点 a 1 d _ 兰o * 6 = ( 6 t ，k ) 收敛是指l 重级数，。( 6 - 一口i ) 4 - ( 6 n 一) “收 敛对于有序数组a = ( a i ，a - i ) ，其中a i 0 ， 且记 a i = a 2 + + a 。，口! = a l ! ! ，产= 疗1 篇。 设口= ( 4 ，) 护，r = ( n ，r n ) ，勺 o , y = l ，n 称最。，1 = ( 钆，钿) ：i 巧一q f o ，o o ) ，未来光管定义为r + = 一+ t y + cc ， 定义 带：= 三：! 三： n 个 定义1 4 4 让上+ ( 口) 对角地作用于c “，即对于：= ( z ( 1 1 ，；( ) e c ，有a z = ( a z ( ”，a z ( ) ) ，其中a “( c ) ，：( ”，：( e 伊记霜= 4 ( g ) 带= 肥：ze 对，a “( e ) ，显然蜀是c “中的一个域 b h w 定理f b 鲫m ，r a i l dw i g h t m a n ：一个臂上工l 不变的全纯函 效能够扩充为霜上的- - p “( c ) 不变的金纯函数 定义p 砌j 映射为：p ：c 4 一c 2 2 1 。= ( z o , z ，, z 2 , z 3 ) 一z ：= ( ：z - o ，+ + 锄z 3z 句z 一- i 旬z 2 ) 其中c 2 xz 】是指2 2 复矩阵的集合 像为f ，我们可以检验知 日；z e c 【2 2 】： t = 一l ，记7 + 在p a u l i 映射下的 譬 。) 其中牙，是矩阵z 的共轭转置，兰二 o ，表示此矩阵正定 证明p ( t + ) = 日 证( 1 ) 忱丁+ ，：= ( z o ，：1 ，句，z 3 ) ，设巧= 2 j + 锄，j = o ，l ，2 ，3 ，则z ( ；z o , z l 幻，2 3 ) + i ( y o ，i ，驷，y 3 ) 取+ i v + 于是由v + 的定义知y o o ，韬 订+ 谚+ y ； p ( z ) = p ( ( 匈以，幻，z a ) ) = ( 以z o + + z ：3 ：翔z z + - i z 2 ) = ( 浆拳恕铡誉裳豫二黝一( 2 1 一，2 ) + “，1 + ：) ( z o 一2 3 ) + 议和一，3 ) p ( z ) - 。= ( 一若。) 矧 珈 o 且站 ， + ，；+ 霹： 如+ ，3 0 翔一拍 0 又d e t 璺兰! = 2 i 殁= 诟一蟊+ ( 一订一衍) = 菇一， 一萝；霸 。 ( 2 ) v z 日，若记 z = ( 乏：麓笔：露) 6 0 7 受驰i i 瓠 刁一刁 h 一 以 其中白，嘶取，j = o ，1 ，2 ，3 则由日的定义知竺 o 节7 ， 令 有铂 蚋。 咖f 3 + 血血牛坠盐 。 。= 学 如= 下r t o + ，7 3 。= 鲍2 鱼 ，3 = r o 丁+ 一 7 3 f f o = z 0 + z 3r 6 = z 1 + 轨f 6 = 2 l 一譬2j 6 譬z 0 一z 3 l q o = v o + 蜘l m = 讥一0 2l 伽；讥+ z 2 l 叼3 = y o 一拈 则由( + ) 式 7 3 加= = 如z o + 一z 妇a 0 0 ) 净如 o ( 如+ 驺) ( 如一如) + 堡丝羔竺泣# 型 ： 7 0 ，7 3 + 二纽- 堕幽：磊一v 一，；一，； o 令z = 。j + 缸l j = 0 ，1 ，2 ，3 ，则 p ( ( 二o ，：l ，幻，2 3 ) ) = z ，( z o ，缸，z 2 ，z 3 ) t + 日cp c t + 1 州t + ) = 曰 注对每一个a s 工( 2 ，c ) ，c 2 2 】中的线性变换妒：z a z i 在p 砌 映射的作用下决定了c t 的一个线性变换：昏一g a 一其中g a 上：类似 地，口( 2 2 】的线性变换妒：z a z b 1 ，a b 5 工( 2 ，c ) ，在p 砌i 映射的作 用下决定了c 的一个线性变换事：一，矗) 其中g ( a 口) e “( c ) 考虑 s l ( 2 ，c ) xs l ( 2 ，c ) 在c 【2 2 】上的一个作用： ( a ，b ) z = ( a z a b ，a z n b 。) 其中a ，b s l ( 2 ，c ) ，z 1 ，z n c 2 2 】，它所诱导的s 工( 2 ，c ) 在c 【2x2 1 上的实作用为： a z = ( a ，( 五) 一1 ) z = ( a z z i ，一， g 五) 7 羞： = 一一 妇 塞。 = = 乱 n ，_i，till 其中 s l ( 2 ，e ) ，霄为矩阵 的共轭转置记 户：px p x p ：c | h c n 2 x2 】 日二= 户( 霜) = ( s l ( 2 ，c ) xs z ( 2 ，c ) ) 日 = ( a z i b 一1 ，一， z 曰一1 ) ：( z l ，孙) 日， ，口s l ( 2 ，e ) ) 注意刭置= 户( 搿) 是s l ( 2 ，e ) 不变的户一1 是双全纯的，因此b h w 定 理又可叙述为：日上的一个s l ( 2 ，c ) 不变的全纯函数可以扩充为日；，上 一个s l ( 2 ，c ) s l ( 2 ，c ) 不变的全纯函数在下面的内容中，我们将来证明 此结论，并对其进行推广 第二章几个重要引理及其证明 引埋l 对于仕惹z 曩技仕惹曰g l ( 2 c ) ，ze 日营z b 丑 证明z e 日营譬 o 州纠o 辄z 恕“譬) ( 耄) o 静v 曰叫( 2 i c ) v ，蚓0 t 旧一舶( 警) 丑( 乏) 。 州钆训0 ，m “丝譬丝) ( ；：) 。 饰蚕4 z b h 龟旧l2 日。墨凸墟： 证明v 磊，磊日有垒云墨 o ，下z 2 - o v 复向量( z 。) 。有( z 。，z ：j ( 垒云墨) ( 襄) 。，j = ，： v ，引0 ，有t ( 钆z ：) k 化12 一i 墨) ( ( t 雌一：) ( 譬) ( m 钆训训 t ( 譬) 仲叫( 譬) ) 。 t z l + 【1 一t j z 2 爿，os ts1 日县凸垃，曰。县凸域 8 引理3 令n = m s l ( 2 ，c ) l m 日n 丑甜，其中m z = ( m z ：，m z n ) ，z = ( 磊，一，勐) f ，令t = “a ，b ) s l ( 2 c ) s l ( 2 ，c ) l ( a ，b ) h n n h , v 咖 ，其 中( a ，口) ( 蜀，孙) = ( a z , b ， 孙口q ) 其中z = ( z a ，幻) 鼬 映射f ：s l ( 2 ，c ) s l ( 2 ，c ) 一s l ( 2 ，c ) ，( ，b ) 一百且则有：若n 连通， 则t 也连通 证明v ( a 1 。b 1 ) t 。由t 的定义知，j z = ( 邑，z ) 日，j ta i 勿b 7 1 日，歹= 1 ，其中掣 o ，歹= 1 ，由引理1 知宦( 4 z 忍耳1 ) 且= 豆i l z j 耳，j = 1 ，一，n ，强p 存在z = ( z 1 ，- ，z n ) 日n ，“雪i 且1 z j 日n 。又 y d e t 雕a l2d e t j g i d e t a z d e t b x d e t a l = 1 屡a 1 n j v z h x z 叁z 日， j q j 是2 2 单位矩阵 由已知n 是连通，又对流形而言连通曹弧连通 3 个从闭区间【o ，l 】到n 的连续映射，：【0 ，l 】一n s t f ( o ) = j ，f ( 1 ) = 意i a l 且i ( t ) n ，0s ts 1 3 z ( t ) = ( z i ( t ) ，z ，( t ) ) 鼬，0s t 1 ( 1 ) 缸，( t ) z ( t ) h n ，即，( t ) 历( t ) 日，j = 1 。， 取a 1 ( ) = ( 雪i ) “f ( t ) ( 由于b 1 s l ( 2 ，c ) ，d e t ：= d e t b , = 1 o ，属的逆存在) 贝0 有且，( o ) = ( 垦) “f ( o ) = ( 宦) ，a a ( i ) = ( 毋- l i ) 。f ( i ) = ( 蟊) 一1 曷a l = a l a l ( t ) 乃( t ) 盯1 = ( 斟) 一1 ，( t ) 乃( ) b f l ，又yf ( o 乃( t ) 日，j = 1 ，n 一由引理i 知( 尉) 一1 ，( t ) 忍( t ) b 7 1 耳，j = 0 ，n ，即a a ( t ) 乃( t ) 西1 日，= 1 ，也即( l ( t ) ，岛) z j ( t ) 日，= 1 ，又_ 乃( f ) 日，v t 0 ，l 】，且d e t a a ( t ) = d e c ( 舅) “d e t l ( t ) = 1 ( a 1 ( t ) ，口1 ) t( 2 ) 又由引理1 ，( 蟊) 一1 乃( t ) 日i 1 h ，对v ( 1 ) 中的毛( t ) ，0 t 1 ，j = 1 ， 9 即( ( 亩i ) ，b 1 ) z j ( t ) 日，j = 1 ， ( ( 雪i ) ，风) t ( 3 ) 由( 2 ) ，( 3 ) 知v ( a l ，b 1 ) t ，j 一条弧( a l ( t ) b x ) t os ts1 连接( a 1 现) 与( ( 尻) 一，占1 ) ，同理v ( a 2 。b 2 ) et j 一条弧( a 2 ( t ) ，b 2 ) t 连接( 且2 ，丑2 ) 与( ( 曷) - - 1 岛) ，又。s 上( 2 ，c ) 是连通李群，v 历，岛s l ( 2 。c ) ，j 条弧 b ( t ) s l ( 2 ，c ) ，tef 0 。l 】，连接口l ，曰2 ，这就说明v ( a l b 1 ) ，( a 2 ，历) t ，j 一条 弧连接它们t 是连通的 证毕 由f a c t1 1 2 知，对于任意2 阶复矩阵 ，存在一可逆矩阵l ，“，= l a l 1 为若当标准形 v a n ，由n 的定义知3 z = ( z 1 ，磊) 肌，j t 磊日j = 1 ， 又由以上讨论知，存在一可逆矩阵厶村，= l a l 。是若当标准形又由引理 1 可知工a 乃p = ( l a l “) c l 乃三，) 日，j = l ，工z j 三，耳 j = l ，n 且d e t ( l a l 一1 ) = d e t l d e t a d e t l 一1 = d e t a = 1 ，= l a l 一1 n v j n ，其 中，是若当标准形，若能证明j ，( t ) n ，0 t 1 。j ( o ) = ，( 1 ) = ，则 y aeo ，贝g j = l a l 一1 n ，即3 乃( t ) 日，= 1 ，- ，。n “，p ) 乃( t ) 日，0s t i ，令a o ) = l - 1 j ( t ) 二，且 ( o ) = j ，a ( 1 ) = 则a ( t ) ( l - x z j ( t ) ( z = t ) 。) = l - 1 ) 工三一1 乃( # ) ( z 并) 。= 工_ 1 j ( t ) z i ( t ) ( z = ) 耳，j = 1 ，n ，又- d e t a ( t ) = d e t j ( c ) = 1 i j 嘎( t ) n 因此，由上面讨论可知，我们只需要证明v - ，n 其中，为若当标准形 时，3 j ( t ) e n ，0 t l ，t ，( o ) = j ，( 1 ) = ，就可得n 是连通的 第三章b h w 定理的证明 对于j s l ( 2 ，c ) ，j 又是若当标准形，它的情形只有以下三种可能。 ( t ) ，= ( ：) ( 为任意非零复数) ( 2 ) j = ( 1 1 三) ；( 3 ) - ，= ( i i o ) ，。 ( - - a s 口s f ) 情形1 若，= ( ：) n ，则3 z 鼬一j z 鼬，令) = ( 三：) ，o s t 1 ，则d e t ，( t ) = 1 ，rj ( o ) = l ，( 1 ) = ，于是 ，( t ) z = ( 三：) z = ( t _ r + ( 1 一t ) j ) z = t ，z + ( 1 一t ) z z 1 1 n ，j z 月，x 1 i n 是凸坝，j ( t ) z h n j ( t ) 1 凼此正弟 一种情形下，3 3 ( t ) f 2 ，“j ( o ) = ，j ( z ) 。正0 t 1 情形2 若，= ( - 。i 三) ，则，一定不属于n 这是因为v z = ( z a ，z n ) h n 。奄 忍= ( ：耄：) 哆，：1 i ， l 巧- o ，- 厶( 一刁，) o ，一，s 口。，则j z ： ( z 】，z n ) 日。5 tj z 三0 ，话乏 乃= ( 篡乏：) 扣k 一， o ( 0 表示正定矩阵) ，。1 ，即 0 由定理1 1 2 知 ( 1 三) e 日，= t ，令毛= ( 笞 2 h n 又- j z 奶，即，乃t i ，= 1 ，即 垒! 二墨! i 2 i i o 三) 小( 2 1 毒) 。 ，知) ，则 如( e 。i 8 10 棚 ) ( 髦竺) = ( 冀冀) e 日 ，= 1 ，n 1 1 ( 1 ) ( 厶：9 铂k ；0 ) 。 【 ok ! j o ( ”茹铂) 呱， 即拢i e 。 = 1 。n 。7 j 曩珏n 。令 ，( t ) ：( 一；埘j 1 。0 。) ，。ts - ，( 。) = 【oi 。以。j ，o s 1 则，( o ) = ，_ ，( 1 ) = ，d e t ，( t ) = 1 ，令= e 屿- ，铂= u 。i 8 “，其中o 。 o ， 0 , - f g j - f o 一咖 o , s i n e j , 0 ，下面我们证明，( t ) 勿h ，由此 可推出，( t ) n 对任意的j 和t 。其中1 墨j 0s t 1 j ( t ) 勿=( e 。i 9 i i 。0 一t 埽) ( j i 1 ；屯) ，r 一( 9 + ) 0、 【0去 “卅蝴j ，k 一e ( ”+ ) 0、 【 o i m