（一般力学与力学基础专业论文）圆型薄板的临界转速及动力学分析.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 旋转圆板广泛地应用于涡轮机、圆锯、计算机硬盘、光驱等许多工程领 域中。一旦其旋转角速度接近某阶临界转速，圆板就会产生剧烈的横向位移， 使设备无法稳定工作甚至破坏。因此对临界转速及其动力学行为的研究很有 实际意义。 本文以匀速旋转的等厚线弹性圆板为研究对象，依据卡门理论，计入离 心力对中面力的影响，建立了轴对称旋转圆板的大挠度横向自由振动方程。 对该方程进行线性化得到线性自由振动方程。针对一类内边夹支外边自由的 圆板假设其横向振动的位移模态。将此模态代入线性化方程，通过运用两次 伽辽金法得到圆板横向振动的前行波和后行波频率，所谓临界转速就是使某 阶模态后行波频率为零时的旋转角速度。计算出了圆板的低阶模态( 节径数 小于或等于5 ) 所对应的临界转速，分析了临界转速随内外半径比和泊松比的 变化关系。 对于非线性自由振动方程引入一位置固定的点苟载褥到旋转圆板的受迫 振动方程。将其变换成旋转坐标系下的方程，这样固定的点荷载相对旋转坐 标则有了转动。在临界转速附近将横向位移和应力函数按其特征函数展开， 带入受迫振动方程利用特征函数的正交性进行化简，计算出正弦和余弦模态 的非线性耦合系数，从而得到旋转圆板在临界转速附近的两种模态非线性耦 合方程。应用非线性振动理论中的平均化方法，对该方程进行变换得到模态 坐标和行波坐标下一阶平均化方程。 对平均化方程分无阻尼和有阻尼两种情况进行了研究。首先分析了等幅 后行波、非等幅后行波、前行波、驻波及混合波产生条件。然后计算了其稳 态解，通过线性化矩阵的特征值对这些解的稳定性做了初步的判断。在此过 程中，根据分岔的定义计算出分岔点并确定了分岔类型，用非线性动力学理 论揭示了系统的复杂动力学行为。 关键词：薄圆板；伽辽金法；特征频率；临界转速；行波；稳定性 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t s p i n n i n gc i r c u l a rp l a t ei sw i d e l yu s e di nm a n yi m p o r t a n te n g i n e e r i n gr i d & ， s u c ha sm r b i n e s , c i r c u l a rs a w s c o m p u t e rh a r dd r i v e , c dd r i v ed e v i c ea n ds oo n 饧e n e v e rt h er o t a t i n gs p e e do fp l a t ei sc l o s et ot h ec r i t i c a ls p e e do fac e r t a i n m o d e 。t h ep l a t ec a l lo c o l re n o r m o u s 仃a n s v e 塔ed i s p l a c e m e n t ，w h i c hc o u l dc a u s e i n s t a b i l i t yo rc a t a s t r o p h i cr e s u l t t ot h ed e v i c e s oi ti se x t r e m e l yn e c e s s a r yt o s t u d yt h ec r i t i c a ls p e e d a n dt h ed y n a m i cb e h a v i o ro f t h e s p i n n i n gp l a t e t h i sp a p e rs t u d i e sal i n e a re l a s t i ct h i nc i r c u l a rp l a t ew i t hu n i f o r mt h i c k n e s s r o t a t i n ga b o u ti t sa x i sa tac o n s t a n ta n g u l a rs p e e d , f o r m u l a t e sal a r g ea m p l i t u d e t r a n s v 懿ef r e ev i b r a t i o ne q u a t i o no fas p i n n i n gt h i na x i s y m m e t r i cc i r c u l a rp l a t e b a s e do nt h ey o nk a l m a n sp l a t et h e o r yc o n s i d e r i n gt h ee f f e c to fc e n t r i f u g a l l y f o r c e ，t h e no b t a i n st h ee q u a t i o no fl i n e a rv i b r a t i o nt h r o u g hs i m p l i f y i n gt h el a r g e d e f o r m a t i o ne q u a t i o n ，f i n a l l ya s s l l m e st r a n s v e r s ev i b r a t i o nm o d eo fc i r c u l a rp l a t e w i t hc l a m p e di n n e r - b o u n d a r ya n d 自o u t e r - b o u n d a r yt h a ti ss u b s t i t u t e di n t ot h e s i m p l i f i e de q u a t i o nw i t hg a l e r k i nm e t h o du s e dt w i c et og a i nt h ef r e q u e n c yo f f o r w a r da n db a c kt r a v e l i n gw a v e ac r i t i c a ls p e e df o rc e l - t a i nm o d ei sr o t a t i n g s p e e dw h i c hc a u s e st h ec o r r e s p o n d i n gm o d e sf r e q u e n c yo ft h eb a c kt r a v e l i n g w a v et ob ez e r o t h ec r i t i c a ls p e e do fl o w e rm o d e s ( t h en u m b e ro fn o d a ld i a m e t e r l e s st h a no re q u a l st of i v e ) a r ec a l c u l a t e da n dc r i t i c a ls p e e dv e r s u si n n e r - t o - o u t e r r a d i u sr a t i oa n dp o i s s o n sr a t i oa l ei n v e s t i g a t e d an o n - l i n e a rf o r c e dv i b r a t i o no ft h es p i n n i n gi s a c q u i r e db ya d d i n ga s p a c e - f i x e dp o i n te x t e r n a lt r a n s v e r s el o a di n t ot h ea b o v el a r g ea m p l i t u d ee q u a t i o n i no r d e rt os i m p l i f yt h i sq u e s t i o nt h ef o r c e do s c i l l a t i o ne q u a t i o ni sr e w r i t t e ni na r o t a t er e f e r e n c ef r a m e i ti sn o t e dt h a tv i e w e df r o mt h er o t a t er e f e r e n c ef r a m et h e s p a c e - f i x e dp o i n tl o a dr o t a t e so p p o s i t et ot h ep l a t e n e a rac r i t i c a ls p e e dt h e t r a n s v c r s ed i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sf u n c t i o na r ee x p a n d e di nt h e i re i g e n f u n c t i o n s ， a n dt h e ns u b s t i t u t et h e mi n t ot h eg o v e r n i n ge q u a t i o n m a k i n gu s eo ft h e o r t h o g o n a l i t yo ft h e s ee i g e n f t m c t i o n s ，t h eo r i g i n a le q u a t i o ni ss i m p l i f i e da n dt h e n o n - l i n e a rc o u p l i n gc o e f f i c i e n to ft h es i n ea n dc o s i n em o d e si sc a l c u l a t e d e x p l i c i t l y s ot h ee q u a t i o nd e s c r i b i n gt h er e s o n a n td y n a m i c so f t h e s i n ea n dc o s i n e m o d e si nt h ec l o s ev i c i n i t yo fac r i t i c a ls p e e dr e s o n a n c ei sd e r i v e d u s i n gt h e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 ii 页 m e t h o do ff i r s t o r d e ra v e r a g i n go ft h en o n l i n e a ro s c i l l a t i o n , t h ea v e r a g e d e q u a t i o n si nm o d e b a s e dc o o r d i n a t e sa n dt r a v e l i n gw a v e - b a s e dc o o r d i n a t e sa r c f o r m u l a t e db yt r a n s f o r m i n gt h ea b o v ee q u a t i o n t w oc a s e sa b s e n c ea n dp r e s e n c ed a m p i n ga r ec o n s i d e r e df o rt h ea v e r a g e d e q u a t i o n s t h ec o d i t i o n sw h i c hg a l li n d u c et h eb a c k w a r dt r a v e l i n gw a v e sw i t h e q u a la n du n e q u a la m p l i t u d e s ，f o r w a r dt r a v e l i n gw a v e s ，s t a n d i n gw a v e sa n d m i x e dw a v e sa n de x i s t e n c eo ft h e ma r ei n v e s t i g a t e df i r s t l y t h e nt h es t e a d - s t a t e m o t i o n sa r es o l v e da n dt h es t a b i l i t yo ft h e s es o l u t i o n sa l ec o n c l u d e dp r i m a r i l y t h r o u g ht h el i n e a rj a c o bm a t r i x se i g e n v a l u eo ft h ee q u i l i b r i u mo nt h e s em o t i o n d u r i n gt h i sp r o c e s s t h eb i f u r c a t i o np o i n t sa r ec a l c u l a t e da c c o r d i n gt od e f i n i t i o n a n dt h eb i f u r c a t i o nt y p ei sd e t e r m i n e d , w h i c hc a l lu s et oe x p l o r et h ec o m p l i c a t e d d y n a m i cb e h a v i o ro f t h i sn o n - l i n e a rs y s t e m k e yw o r d s ：t h i nc i r c u l a rp l a t e ；g a l e r k i nm e t h o a ；e i g m f r e q u e n c y ；, a 蜘c a ls p e e d ； t r a v e l i n g w a v e ；s t a b i l i t y 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密影使用本授权书。 ( 请在以上方框内打。”) 学位论文作者签名：毛渣壹 日期：，7 = j 1 工； 指导老师签名：韧晦走牟 日期： j 岬，z 哆 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 本文依据卡门理论，建立了轴对称旋转圆板的大挠度横向自由振动方程。 对该非线性方程化简并两次运用伽辽金法计算得到旋转圆板的各阶l | 缶界转 速发现临界转速随内外半径比的增加而增大随泊松比的增加而减小。并得 到旋转圆板在临界转速附近受一固定点荷载作用下的正弦和余弦模态的非线 性耦合方程。对该方程运用平均化理论得到模态坐标和行波坐标下的平均化 方程。根据各种波的产生条件求解平均化方程得到其稳态解，对这些解的稳 定性做了初步分析，计算了相关分岔点并判断了分岔类型，获得了一些具有 参考价值的结论。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 旋转圆板是工业中应用广泛的一种基本机械元件，普遍应用于旋转机械， 诸如涡轮机、圆锯、计算机硬盘等，发生在上述系统中的严重的横向振动将 引起机器工作性能的变差、精度的降低和加工材料的浪费，严重时甚至使元 件损坏，因而对旋转圆板横向振动研究吸引了越来越多学者的注意力。由于 在工业生产中越来越严重的材料浪费以及对环境保护的逐步重视，使得研究 如何减少加工自然资源过程中造成的浪费这一课题越来越有意义，这一点在 森林工业中显得尤为突出。 一般认为，圆板在旋转时会存在不同程度的横向振动，但不一定会失稳。 只有当圆板的工作转速等于或接近临界转速时，一个8 1 l d , 的横向外力就会使 圆板产生强烈振动，使其失去稳定性，从而给设备带来灾难性的后果。为了 避免这种情况的发生，所以旋转圆板必须在低于临界转速的状态下工作。为 了加快计算机硬盘的存取速度以及提高圆锯的切削速度就需要尽量提高工作 转速。在设计中就必须使圆板的转速远离临界转速，因此对临界转速的研究 有很大的实际意义。 1 1 旋转板的临界转速研究现状 最早在1 9 2 1 年l a m b 和s o u t h w e l l 1 对旋转板的振动进行了研究，得到了旋 转圆板线性振动方程，并在其中计入了旋转对弯曲刚度和中面应力的影响。 之后由于在计算机上磁盘、光驱等旋转设备中的广泛使用，许多学者致力于 旋转圆板或圆环板的研究。在文献 2 q b n o w i n s k i 首次用卡门理论对旋转圆板 的非线性振动做了研究。为了简化由于盘面的旋转带来的复杂性，1 w a n 和 s t a h l t 习用静止盘和一个旋转的质量一弹簧一阻尼单元替代磁头对盘面的作用 力，分析了其振动和稳定性。文献4 7 贝s j 分析了旋转圆板受到横向静荷载情 况下稳态响应及稳定性。对于旋转盘受静止外荷载作用的系统c h e n 和b o g y 在 文献 8 1 l 】做了迸一步的分析，考虑了荷载参数对频率和稳定性的影响。 r a m a i a h “】用瑞利一李兹法对各种边界条件下的旋转圆环板自振频率做了计 算。m o t e _ 【1 3 为提高旋转圆锯的自由振动频率提出了施加初始应力的方法。 b c n s o n 和t a k a h a s h i i ”j 引入膜张力旨在抑制旋转板的共振行为。r e n s h a w i ”】建 议通过增加夹支部分的方法来提高其自振频率。p - 咀l n a n 和m o t e - 【”j 指出板的高 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 度非对称性可以降低其临界转速附近的能量。w a r n e r 和r e n s h a w l j7 j 研究了为 使临界转速最大化的最佳厚度。 变厚度板i 临界转速也引起不少学者的关注。s h a h a b 在文献 1 8 中分别用 里兹法，有限元法以及全息干涉实验方法对变厚度盘的做了分析，结果表明 理论分析和实验结果比较吻合。k 和n 叠1 9 1 用拉格朗日法对按线性和指数变 化的变厚度板的临界转速做了计算。c h e n 2 0 分析了变厚度的环单元，用来研 究任意厚度的轴对称圆板和圆环板的振动。 对于中厚板的动力学研究，m i n d l i n r e i s s n e r 2 1 - 2 2 1 考虑了剪切变形和转动 惯性的影响。弥补了传统k h - c h h o f f ；尊板理论的缺陷。k i r c h h o 腿论认为垂直 与中性面的直线在变形后仍为直线，而且垂直与中面。m i n d l i n r e i s s n e r 理论 则认为垂直与中性面的直线在变形后仍为直线，但其不再垂直与中面，而是 有了转角。e i d 和a d a m s l 2 3 1 利用m i n d l i n 理论对中间夹支的中厚板的临界转速进 行了计算，并将其结果和经典薄板作了比较。 为降低旋转圆盘的横向振动一些学者致力于其主动控制，文献 2 4 介绍 了近来旋转圆盘横向振动控制的各种方式及算法并进行对其进行了比较。 1 2 非线性动力学的发展 实际工程问题中总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间 隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中 的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。在通常情况下，线性系统模型可 提供对真实系统动力学行为的很好逼近。然而，这种线性逼近在许多情况下 并非总是可行的，被忽略的非线性因素有时会在分析和计算中引起无法接受 的误差，使理论结果与实际情况有着失之毫厘，差之千里之别。特别对于系 统的长时间历程动力学问题，即使略去很微弱的非线性因素，也常常会在分 析和计算中出现本质性的错误。 近年来，非线性动力学在理论和应用两个方面均取得了很大进展。随着 非线性动力学理论和相关学科的发展，人们基于非线性动力学的观点以及现 代数学和计算机等工具，对工程科学等领域中的非线性系统建立动力学模型， 预测其长期的动力学行为，揭示内在的规律性，提出改善系统品质的控制策 略。一系列成功的实践使人们认识到：许多过去无法解决的难题源于系统的 非线性，而解决难题的关键在于对问题所呈现出的分岔、混沌和等复杂非线 性现象具有正确的认识和理解。 研究非线性系统动力学的方法可以分为定性方法( 或几何方法) 和定量方 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 法两大类。定性方法一般不直接求解非线性动力系统，而是从非线性系统的 动力学方程入手，研究系统在状态空间的动力学行为。由于非线性微分方程 一般没有统一的精确解法，所以定量方法只研究各种近似解法，例如平均法、 k 酬法、多尺度法、谐波平衡法等等。定性方法和定量方法可以相互补充， 定性方法可以得到系统解的拓扑结构和系统参数之间的关系，定量方法可以 得到确定参数时的数值解。在研究各种复杂的非线性动力学问题时，两种方 法缺一不可。 分岔是非线性动力学的重要特性。非线性力学系统往往含有一个或多个 控制参数，如果当参数达到某个临界值时，系统运动轨道的拓扑结构将发生 变化，这种现象称为分岔。非线性微分动力系统的分岔问题分为静态分岔和 动态分岔，静态分岔研究动力系统的平衡态的数目和稳定性的变化，动态分 岔研究动力系统的相轨迹的拓扑结构的变化。非线性微分动力系统的分岔问 题分为局部分岔和全局分岔。局部分岔只研究平衡点或闭轨的邻域内相轨迹 的变化，而全局分岔则研究动力系统在相空间大范围区域内相轨迹拓扑结构 的变化情况，即研究动力系统的全局行为。 目前，四个最基本的分岔：鞍结分岔、跨临界分岔、音叉分岔和h o p f 分岔已为人们所熟悉f 冽，从数学角度而言，这些分岔仅依赖一个分岔参数； 另个比较普遍和重要的分岔现象是倍周期分岔，这种分岔已经受到广泛的 重视和研究 2 6 - 2 8 】。以上所述的仅是一些典型的余维一分岔，它们的退化程度 是很低的，但是，在工程实际中，我们遇到的非线性系统许多会出现高阶退 化，此时系统包含若干个典型分岔的相互耦合和作用，这时须用多个开折参 数来开折这种高余维分岔。 t a k e n s 矧、b o g d a n o v 3 0 1 和a r n o l d 3 1 1 研究了系统具有两个零特征值的余维 二分岔的范式和普适开折问题；k e e n s 4 3 2 1 、l a n g f o r d t 】、l o o s s 和l a n g f o r d 【3 4 1 、 x u 和h a s e b e i j 研究了系统具有一对纯虚根和一个特征值的余维二分岔问题； h o l m e s 3 6 】和g u c k e n l a e i m e r t 3 7 】进一步研究了此种情况的全局分岔问题； t a k e n s 2 9 1 、h o l m e s 3 6 】、i o o s s 和l a n g f o r d 3 4 1 还进一步研究了系统具有双重纯 虚特征值的余维二分岔问题。 分岔不仅以其理论上的深奥性受到人们的关注，近年来它在力学、物理 学、化学、生物学、控制、工程技术中的应用充分显示出了它的重要价值。 它是现实世界中普遍存在的一种非线性现象，许多工程系统中的振动和失稳 都与分岔息息相关。如机车的蛇行运动p o 】，弹性板在流体诱导下的振动 【4 1 ，4 2 】，化学反应中的震荡【4 3 1 ，大型输电网系统的h o p f 分岔现象4 4 1 、可兴奋 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 细胞模型峰峰间期序列的分岔现象【4 5 删、工程中v a nd c r p o l 振荡的分斜4 7 1 、 飞行器在高攻角飞行过程中的不稳定等分岔现象。尽管分岔理论的应用在近 年来取得了较大的进展，但是仍有许多问题有待解决，其中与本文有关的关 键问题是如何分析、解决工程中众多的高维系统的分岔。 1 3 旋转板的非线性研究 1 9 5 7 年t o b i a s 和a m o l d 【郫4 9 】首先研究了无阻尼旋转圆板的动力学行为，实 验结果表明即使在临界转速下旋转圆板在受到外荷载时起挠度也不是无限 大，这和传统的线性理论发生了矛盾。之后，大挠度旋转板的非线性研究引 起了广泛的关注。文献 2 】用k a r m a n 理论研究了旋转圆板的非线性横向振动。 文献 3 】用一旋转的荷载来代替板的旋转。文献 4 】计入了板的旋转效应研究了 其自由振动，并用一质量弹簧阻尼系统来模拟磁头对盘面的作用力，研究 了在此外力作用下盘横向振动的稳定性。o n o 等 s o 】扩展了文献【4 】的研究，在 荷载中考虑了硬盘系统中磁头和盘面的摩擦力。y o u n g 和l “”】用两组相互 平行的弹簧阻尼元件中间连接质量块来代替【4 】中的质量弹簧阻尼系统，比 较真实的反映了磁头盘面相互作用，并分析了该系统稳定性。n a y f e h 5 2 等研 究了轴对称圆板的次谐行波稳定性及分岔。t o r i i 等【5 3 】研究了轴对称旋转圆板 的主共振问题。c h 等m 】用多尺度法研究了在横向周期激励载荷作用下的旋 转圆盘发生次谐共振时前行波和后行波的非线性耦合。j a l a l i 和a n g o s h t a r i 【5 5 】 研究了旋转圆板的相空间结构。 k a n n a n 理论考虑微分单元体上的横向力平衡，而没有包括中面内的力平 衡和力矩平衡，这对于轴对称问题可以取得比较理想的结果。为了避免这种 不足，l u o 等用近似方法得到一个比较完备的方程，可以用来处理非对称旋 转圆板问题 f , 6 - s s ) 。 h o s a k a 和c r a n d a l l 5 9 1 分析了弹性旋转圆盘在上方空气膜作用下的自激振动。 k i m 6 0 , 6 h 等用实验方法研究各种光驱的动力学响应，临界转速以及空气动力 学颤振。 1 , 4 本文的主要内容 第一章，介绍本文选题的工程背景及研究意义，并简要介绍了国内外关 于临界转速、非线性动力学和旋转圆板的非线性研究方法及研究现状。 第二章，首先建立旋转圆板大挠度横向振动的非线性运动方程，对该方 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 程进行化简( 去掉非线性项) 得到线性振动偏微分方程。针对一类内边夹支 外边自由的圆板应用伽辽金方法对简化方程离散化。根据定义计算出旋转板 的临界转速，最后分析了临界转速随内外半径比和泊松比的变化关系。 第三章，对第二章中的非线性动力学方程引入外荷载得到旋转圆板的受 迫振动方程。在临界转速附近将横向位移和应力函数按其特征函数展开，带 入振动方程利用正交性对其化简，得到旋转圆板在临界转速附近的正弦和余 弦模态的非线性耦合方程。 第四章，利用非线性振动的平均化方法，对第三章的方程进行分析得到 模态坐标和行波坐标下一阶平均化方程。 第五章，以无阻尼的平均化方程为研究对象，求解其稳态解。对等幅后 行波、非等幅后行波、前行波、驻波及混合波产生条件及稳态响应进行计算， 并分析了其稳定性。 第六章，研究了有阻尼的平均化方程。对于考虑阻尼情况，分析了发生 各种行波的稳态运动可能性及相关计算，还对模态坐标和行波坐标下的结果 进行了比较。 第七章对前面的分析进行总结，得出结论。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章薄板的临界转速计算 2 1 模型建立 考虑以常角速度q 绕z 轴旋转的等厚线弹性圆板，如图2 - 1 所示。圆板 在内半径r = 口处夹支，在外半径r = b 处自由，板的厚度为h 。惯性坐标系 ( ，口) 建立在板中性面( z = o ) 的几何中心，故板的上下表面分别为z = + h 2 。 h 设中性面上各点的横向、径向、周向位移分量为, w 0 、“o 和1 ，o ，则中面 应变和位移之间的几何非线形关系为 班等+ 7 1t f - 扩万f j l 出舭+ 爿上2 ：f t 堂e o1 2 j ( 2 - 1 ) ，二= ( 筹一v o + 等+ 吾等等 式中e 0 、露和y 二为柱坐标系中径向、周向和面内剪应变分量a 根据基尔霍 夫板理论，垂直于中面的线在变形后还垂直于中面，而且长度保持不变，所 以在整个板内任一点的应变分量为 8 u oir 伽o 、2a 2 w o 以2 石+ 互i 百】吒可 铲舭+ 等) + 古( 筹 2 一彤等+ 专等 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 ，柑= 吾 等一v o + 警+ 吾等等一21 a 2 w o i 一专等 ， 由于中法线在变形过程中长度不变，因此其上各点的挠度w 相等，等于中面 上相应点的挠度w o 以后统一用w 表示。 对于各向同性的线弹性材料，根据虎克定律，物理方程为 班毒( 秽+ 麟) 以2 南( 曰+ ) ( 2 - 3 ) f 二2 采矗以 q = 专b + 膊) = 毒( 岛+ 孵) ( 2 川 e 钿2 丽丽以一 将( 2 - 1 ) 和( 2 2 ) 分别代入( 2 - 3 ) 和( 2 川得 矿= 专 等+ 三( 期2 + 等( 山劫+ 参( 劫2 g $ 盯：= 上1 - ，：l 阻, - l l 。+ 蔷) + 击( 期2 + 警+ 筹( 警 2 1 q 回 枷志砖陆一v o + 警+ 吾警矧 q = 一一毒降+ ( 土r 2 坐c 。0 2 ) 1 ， 井专黔+ 专刳+ 卢割 吧一南p 嘉专期 式( 2 3 ) - ( 2 - l o ) be 为板的弹性模量，为泊松比。将应力沿板厚积分，得到 中面内力的表扶式 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 n r = 1 1 0d z 嫡e = 奠| 、o e d z n f 8 = 奠| ，r 癣 p h l 2e h l 2p h 2 m ，2 上肌2 q 出m e2 j 二, j 2 z a o d z m r o2 上m z f , o d z q ，= 巴，。d zq 。= 艺1 f 博d z 将( 2 8 ) 、( 2 - 9 ) 和( 2 - 1 0 ) 代x ( 2 一1 1 ) 、( 2 - 1 2 ) 积分得 ，= j | l 盯?n e = j | l 钟，口= 盯二 m = 一窘+ 乍la 毋w + 专窘 耻4 ( 警丙10 刊2 w + 芦纠 = 删一e 翥专筹 q ，= - d 旦v 2 w q ，一d ! ，- - a 口v o r 2 w ，a f 其中 d ：墨i 1 2 ( 1 一2 ) 称为薄板的弯曲刚度。式( 2 1 8 ) q ，的算子 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 国 ( 2 - 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 一1 9 ) v 2 = 舌弓昙+ 吉若 在中面上，根据达朗贝尔原理，按照图2 2 列出中面内力的力平衡和弯 矩平衡方程 m _ + 埘- 蕃 + i 图2 - 2 徽分单元上的受力图 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 砖+ ；屯+ 鼍。导o + 胂：o ( 2 - 2 0 ) 如+ 吾略+ 孕：o ( 2 2 1 ) 力窘+ c 警= 譬+ q ，+ 孚+ 吾矿矿+ o o ) ， + 弘彬+ 秘) 。 仁2 2 m ，+ m , o o 一m o + m r + q ，：0 ( 2 - 2 3 ) 华+ 华+ + 幺：o ( 2 - 2 4 ) 这里p 为板的密度，c 为阻尼系数，( 2 2 0 ) - ( 2 2 2 ) 为力平衡方程，( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) 为力矩平衡方程“) ，表示对逗号后面的下标求导，式( 2 - 2 2 ) 中等和等 为时间求一次导数和两次导数。图2 - 2 中单箭头代表力，双箭头代表力矩， 由于剪应力互等，故对m 。和k 未做区分。 对于( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) ，引入以下形式的应力函数毋 仃? = 7 1 办+ 专“一j 1 谢( 2 - 2 5 ) 础= 幻一三2 q 2 r 二= 专九号幻 ( 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) 将( 2 一1 5 ) - ( 2 1 7 ) 代入( 2 - 2 3 ) 一( 2 2 4 ) 从中解出幺、q ，与( 2 2 5 ) ( 2 2 7 ) - - 起代入 ( 2 - 2 2 ) 得 力o + 2 q 哆。+ q 2 w + d v 4 w + d 以+ q v 。) 一弛h 纠 + 力m ：f 吾v ：w + w ， ：o 但之印 将( 2 2 5 ) 一( 2 - 2 7 ) 分别代入( 2 5 ) ( 2 7 ) 的左端消去“o 、，o 得到 v 4 妒= e l w , w l + 2 p ( 1 一) q 2 ( 2 2 9 ) 式中算子 上函，司= 甜，( 孚+ 爿一2 降一 ( 等一等) + ( 等+ 等) 岱s o ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 对于内边夹支外边自由的圆板有以下边界条件 w = 0 ，w ，= 0( 2 3 1 ) “o = 0 ， ，o = 0 ( 2 3 2 ) r = 西 + g w ，+ 专) = 。，( v 2 以+ 字( b + 爿钾= 。3 ， + 7 1 蜘一三2 q 2 = o ，古如一一= o ( 2 - ，4 ) 式( 2 ，2 8 ) 和( 2 2 9 ) 联合边界条件( 2 3 1 ) 一( 2 - 3 4 ) 构成完整的轴对称圆板的大挠度 动力学方程 p h ( w 4 + 2 f l w 乒+ g w ，卵+ d v 4 w + c ( w ，。+ 缈口) 一钇k 纠+ 胛2 ( 三v 2 w + ) = 。 v 4 矿= 一圭皿【w ，w 】+ 2 觯一) q 2 2 2 模型化简 不妨设矿= 旃+ 办，旃由旋转产生，唬与横向位移w 有关，由于旋转对 称性破只是，的函数，和口无关。结合式( 2 2 5 ) 一( 2 - 2 7 ) ，则应力也分为两部分 q 0 = 盯。+ 仃墨= ( 吾矾，一三蝌) + + 专 ( 2 - 3 s ) o = 盯品+ 仃2 0 口= i 确，r i 1 2 q 2i + 如，r ( 2 - 3 6 ) o o 。= o + f = 专如一一了1 办一 ( 2 - 3 7 ) 即 以= e 破，一三2 q 2 ) 仃品= 一，一言2 q 2 ) 硭一= 。 g - 3 s ， 下面计算由旋转引起的应力以和仃品6 2 1 ，将盯：和仃品代入平衡方程 ( 2 - 2 5 ) - ( 2 - 2 7 ) ，再代入平衡方程( 2 2 0 ) 和( 2 - 2 1 ) ，其中( 2 - 2 0 ) 变为 _ dv o ) 一以+ 胂2 ，2 = o ( 2 3 9 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 c - 2 1 ) 目绲满足a 儿1 _ j 7 栏【2 。1 ) 父力 气：掣知：盟 气。a r 知5 亍 r 将( 2 - 4 0 ) 代入物理方程( 2 3 ) 中，所得结果代入( 2 3 9 ) 中得到 ，2 等+ ，等叫= 一半础3 弘小一腑一扣k 一半舻3 其中c l 和c 2 为任意常数，上式代回( 2 4 0 ) 得 钆= 去卜一b + 专( 1 + k 一堑掣脾2 ，2 = 壶 ( 1 一声b 一专( 1 + p b 一半廊2 ，2i 将( 2 4 3 ) 再次代入物理方程( 2 3 ) 得到 以= c i + c 2 专一生2 q 2 仃o = c i g 7 1 一半脚2 代入边界条件( 2 3 2 ) 和( 2 3 4 ) 的第一式，第二式自然满足，得到 c 一= 半群崭雄2 将( 2 ， 1 一 。22 下 ( 罚2 田2 一半枷2 ( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 - 4 7 ) ( 2 - 4 8 ) 小半帮舻半饼 阿田2 一半枷2 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 力o + 2 n w e + 1 1 2 w 棚+ d v 4 ，+ c ( o + f h t p ) 一地卜屿如】一h f ( w ) = 0 ( 2 5 0 ) v 4 办= 一去皿kw 】( 2 - 5 1 ) 式( 2 5 0 ) 中算子 ，= 吾陪( ，醒导) + 刍( 如品 这里仃0 和仃品为即为( 2 4 8 ) 和( 2 - 4 9 ) 中所示。这样圆板的大挠度横向振动控 制方程化成 f 力( + 2 f l w 一+ f 1 2 知) + d v 4 w + c “o + h ? p ) 一 i 上【w ，屯卜h f ( w ) = 0 l v 4 九= 一 皿【w ，州 引入下面的无量纲参数 w ，：乓w h 2 妒，= i - d 。 “舌悟小仔r ，一云 出丽考访厉c 止警仃( 2 5 s )2 司i 丽。 2 百仃 【2 5 习 f + 2 m a + 2 w 脚+ v 4 w + 2 c 占“o + 口_ p ) - l i , 谚j - f ( w ) = o 1 v 。办：一丢正【w ，w 】( 2 - 5 4 ) 占_ 1 2 ( 1 一2 謦( 2 - 5 5 ) 小半帮打半饼。 ：一地而： 小半帮办半鹎器铲 国：一业而： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 w a + 2 c a w , a + 2w 棚+ v 4 w f ( 曲= 0 ( 2 - 5 8 ) 上式即为旋转圆板的线性自由振动方程。 2 3 伽辽金法 为了计算上的方便，在运用伽辽金法求解( 2 5 8 ) 所表示方程的临界转速 时，分两步进行。首先定义了一个自伴随的刚度算子，通过该算子的特征值 问题得出板的不横向振动模态；接着将该模态解代入完整的动力学方程 ( 2 5 8 ) ，计算出各阶模态的频率。 对于方程( 2 5 8 ) ，定义刚度算子 厶( w ) = v 4 w f ( w ) ( 2 5 9 ) 则特征方程为 厶( w ) = 2 2 w( 2 - 6 0 ) 假设式( 2 6 0 ) 特征解为 1 ( ，目) = j 乙( r ) p “8 ( 2 - 6 1 ) 旦 r ( ，) = c t ( ，) ( 2 6 2 ) k = l 其中甩为节径数，q 为未知常数。( ，) 为节径为一时的一系列比较函数， 下面给出这些函数的计算方法。 假设 纯= j ，( ，一a y 叫 ( 2 6 3 ) j = 1 将( 2 6 3 ) 代入边界条件( 2 3 1 ) 和( 2 - 3 3 ) ，其中( 2 - 3 1 ) 的边界自然满足，只剩下 ( 2 3 3 ) 的两个边界条件。这样得到一个关于b x = 0 的齐次代数方程组，其中 x = g ，x ：，b ) 7 ，系数矩阵b 为2 x s ，故该方程组有s 一2 个线性无关的基 础解系。将所得解代入( 2 6 3 ) 中就得到了s 一2 个满足边界条件的比较函数 仍一、仍一、仍一竹s 一2 ) b 将( 2 - 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 代入( 2 - 6 0 ) 产生残差 r e s l = l o ) 一( 2 - 卿 运用伽辽金法有以下方程 ( 8 ”，r e s l ) = 0k = l ，2 ，3 ，m( 2 6 5 ) 式中 m 2 f 一 ( x ，y ) 2 i 上x y r d r d o ( 2 - 6 6 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 对于( 2 6 5 ) 可以写成以下形式 4 。4 ： 疋。如 6 m t6 m 2 8c 1 i ic 2 k = 0( 2 - 6 7 ) 其中 磊= ，厶( ) 一正) ( 2 - 6 8 ) 齐次线性方程组有非零解的充要条件就是系数行列式为零，即 4 ：一点。 如疋。 毛：一 = 0 ( 2 6 9 ) 这是一个关于a 的m 次代数方程，有m 个解。求解得到各阶特征值并将结 果分别代回方程( 2 6 7 ) 可求得c ，并结合( 2 6 1 ) 和( 2 6 2 ) 便得到了各自对应的 模态。 对于给定的节径行，不同的特征值九对应于不同的节圆数，其中最小的 对应零节圆，记为厶。在这里我们只关心最低阶即厶。和与它对应的模态 w 0 ，而且这些特征值和模态都是板的旋转角速度脚的函数。 设方程( 2 5 8 ) 的谐波解为1 6 列 m 二( ，0 ，f ) = z r ( ，) p “9 p 耶+ 职。( r 弦“9 p 用 ( 2 7 0 ) 其中z 为复常数，z 为其共轭。则当节圆数肌= 0 时 w o 。( 厂，口，f ) = z r o 。( ，) p “口p 。+ z r 。( r 弦一折一p 耶( 2 - 7 1 ) 将( 2 7 1 ) 代x ( 2 5 8 ) 产生残差 r e 亚z 隆+ 2 i n t o