（基础数学专业论文）有关lucas与babbage同余式的推广.pdf

摘要 1 9 世纪，法国数学家卢卡斯( l u c a s ) 研究了整数序列，人们把以上序列叫做卢 卡斯序列。更一般的，设q ，卢是整系数二次方程x 2 一a x + b = 0 的两个根，其中 整数a ，b 满足( a ，b ) = 1 ，由此可产生整数序n u n ，v n 。通常，我们又把上述两个 序列称为卢卡斯序列。文主要研究- l u c a s 序列与b a b b a g e 同余式的推广，得到 了一系列的同余式。然后，得到了p a l u c a s 序列为系数的无穷级数求和产生的函 数。 关f i t n ：广义二项式系数，l u c a s 序列，b a b b a g e 同余式，无穷级数 a b s t r a c t t h ef r e n c hm a t h e m a t i c i a ns t u d i e dt h es e q u e n c eo fl u c a s ( l u c a s ) i n t e g e r s i n1 9 t hc e n t u r y ，i ti sc a l l e dal u c a ss e q u e n c eo ft h es e q u e n c ea b o v e i ng e n e r a l ， f o ra l p h a b e t ai st h ew h o l ec o e f f i c i e n to fs e c o n d a r ye q u a t i o nz 2 一a x + b = 0o f t h et w or o o t s ，t h ei n t e g e ra ，bs a t i s 矽( a ，b ) = 1 ，w h i c hc a ng e n e r a t ea ni n t e g e r s e q u e n c eu 仃，v n u s u a l l y , w ea g a i nc a l l e dt h et w oo ft h es e q u e n c e sa sl u c a s i n t h i sp a p e r ，w es t u d i e dt h et e x to ft h em a i ns e q u e n c ea n dw i t hm o r et h a nb a b b a g e - s t y l ep r o m o t i o n ，h a v eb e e nm o r et h a nas e r i e so ft h es a m et y p e a l s o ，w eg e ta l u c a ss e q u e n c eo ft h ei n f i n i t es e r i e sf o rt h ec o e 伍c i e n ts u mg e n e r a t e df u n c t i o n k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e db i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ；l u c a ss e q u e n c e ；b a b b a g e - s t y l e p r o m o t i o n ；i n f i n i t es e r i e s 第一章背景介绍 1 1 l u c a s 序列 定义1 1 1 十九世纪，卢卡斯( l u c a s ) 研e 了整数序列 n 一1 = f 七伊一1 ， =olol v no l 竹+ 矿 。2 “一， 2 ”+ k = o 其中q ，p 为以下整系数二次方程的两个根? x 2 一a x + b = 0 ，( a ，b ) = 1 我们把饥n ，都叫做卢卡斯序列这类整数在大整数的分解，不定方程等方面都有 重要用处 定理1 1 2 上述的卢卡斯序列分别为以下两个整数序列 和 u o = 0 ，1 1 1 = 1 ，+ 1 = 4 一b 一l( 1 1 ) v o = 2 ，移1 = a ，u n + l = a 一b u 7 l l( 1 2 ) 证明只需把卢卡斯序列代入上述两式的右端，就可以得到结论 定理1 1 3 卢卡斯序列u n 和满足以下诸关系式， u 2 佗= u 竹v n u n 2 一( o l 一) 2 “n 2 = 4 b 几 2 u m + n = u m v n + 口m t h 2 v m + t i = d u m u n + ，d = a 2 4 b “，1 2 一乱n l 乱化+ 1 = b j ，l 一1“，l 一乱n l 乱化+ 1 = ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 第一章背景介绍 2 证明( 1 。3 ) 是明显的 又由于 ( t h 一( q p ) u n ) ( t + ( q p ) 仳n ) = ( q n + 矿一( q n 一矿) ) ( q n + 矿+ q n p n ) = 4 ( a p ) n = 4 b n 这就证明了( 1 4 ) 将卢卡斯序列孔n 和代入( 1 5 ) 的右端便知( 1 5 ) 成立由于a 2 4 b = ( q p ) 2 ，再 用证明( 1 5 ) n 方法就可以证明( 1 6 ) 由l u c a s 序列的定义直接可以得到： 仳佗2 一u n - - 1 仳州= ( 筹) 2 一丝塑杀笋生些 = 石苫酽( q p ) n 一1 ( 仅一p ) 2 ) = ( q 卢) 铲1 = b n 一1 可以知道( 1 7 ) 是成立的 如果设a = 1 ，b = - 1 ，则就给出了著名的斐波那契( f i b o n a c c i ) 数列： r + 2 = r + l + r ，n 0 ，f o = r = 1 1 2一些重要的引理及其证明 引理1 2 1 对于 1 ，j 1 ，都有 u i + j2 一b u i u j 一1 + u 件1 证明固定i ，对j 作数学归纳，当歹= 1 时，显然成立 假设当j 七时，等式都成立 当j = k + 1 时，由l u c a s 序列的定义可以得至u ：u i + 七+ 1 = - b u i + 奄一1 + a u 件k 第一章背景介绍 3 由归纳假设，则有： 札件缸+ 12 - b ( u t + l u k 一1 一b u i u k 一2 ) + a ( u i + l u k b u i u k 一1 ) = - b u i ( a u k 一1 一b u k 一2 ) + u 件1 ( a u k b u k 一1 ) =一b u u 七+ u t + l u k + l 故命题对任意的歹1 成立 引理1 2 2 如果素数p 和整数后满足1 k p 一1 ，对任意正整数礼，则有j u n p 一= 一上；z 知一k u ( 竹一1 ) p 一1 + t 正( n 1 ) p t 知一k + l ， u ( n 一1 ) p + 南2 一b u k u ( n 1 ) p 一1 + u ( n 一1 ) p 乱七+ 1 证明由引理1 2 1 可以直接得到 引理1 2 3 若素数p 和整数尼满足0 k p ，对任意整o n 2 ，都有 坳一k u ( n 一1 ) p 一1 兰u 伽一2 ) p + 七上7 p 一惫一1 ( m o d 特别地，当n = 2 时，有 坳一詹坳一1 三u k b p - k - 1 ( m o du p ) 证明由l u c a s 序列的定义可以得到 汜u ( n - 1 ) p 铆n - 1 ) p - 1 ) = lu ( n - 1 ) p 一= ) 匕三) 第一章背景介绍 4 = ( ：，一2 ，p + 知+ 1u ( n 一2 ) p u + 忌o ) ( a b0 1 ) p 一知一1 两边取行列式后有： 所以 u ( n 一1 ) p u p 一知一1 一乞哆一磨乱( ，l 一1 ) p 一1 = - u ( t l 一2 ) p + k b p 一七一1 ， t 一知钍( 佗一1 ) p 一1 三u ( n 一2 ) p + k b p - k - 1 ( m o d 令上式中的佗= 2 ，则有 一k u p 一1 三u k b p - k - 1 ( r o o d) 嘶) 引理1 2 4 若素蜘和整数七满足0 k p ，对任意整数佗2 ，都有 t 正( n 一2 ) p + 七+ 1 t 场一b u ( n 一2 ) p + 七t 切一1 = u ( n 一1 ) p + 知 证明由引理1 2 1 直接可以得到 引理1 2 5 若素数p 和整数七满足0 k p ，对任意整数佗2 ，则有以下同余式 证明由引理1 2 3 ： u n p - k u ( 州) p + 詹三b ( 州功u k u p k ( m o d 嵋) u n p 一知2 一b t 知一k u ( n 1 ) p 一1 + u ( n 一1 ) p 2 知一k + l ， t 正( n 一1 ) p + 知= = 一b u k u ( n 1 ) p 一1 + 缸( n 一1 ) p u k + l ， 将上述两式相乘后有 一。，r、 t 正印一k u ( n 一1 ) p + k 兰= t u 乙一1 ) p 一1 u p 一七t 正七一2 场一k u ( n 一1 ) p l u ( n 一1 ) p u k + l - b u u ( n 一1 ) p l u ( n 一1 ) p u p k + l ( m o du 1 ) 第一章背景介绍 5 利用引理1 2 4 两次可以将上面的式子转化为 所以 u k u ( 佗一1 ) p l u p k + l 三 u k u ( n 一2 ) p + 七一1b p 一毙 = u k b p - k - 1b u ( n 一2 ) p + 一1 兰b u p 一知t 幻一l u ( n 一2 ) p + 南一l ( m o d ) u k u ( n 一1 ) p l u ( n 一1 ) p u p k + l - - - - _ _ b u p 一七乱p l 钆( 礼一2 ) p + 七一1 u ( n 一1 ) p ( r o o du i ) 对l u c a s 序列的定义作如下变换： 则可以得到 所以 b u ( n 一2 ) p + 七一1 = a u ( n 一2 ) p + k 一钆( n 一2 ) p + 七+ 1 ， a u ( n 一1 ) p = u ( n 1 ) p + 1 + b u ( n 一1 ) p 一1 u 件k + l = - b ( u i + l u k 一1 一b u t u k 一2 ) + a ( u i + l u k b u i u k 一1 ) = - b u i ( a u k 一1 一b u k 一2 ) + u i + 1 ( a u k b u k 一1 ) =一b u 知+ u 抖l u k + 1 b 2 知一七坳一l u ( 竹一2 ) p + 知一l u ( n 一1 ) p = ( 乱( t l 一1 ) p + 1 + b u ( n 一1 ) p 一1 ) 钆( n 一2 ) p + 七z 知一血z 场一1 一钆( n 一2 ) p + + 1 2 上p 一七饥p x u ( n 一1 ) p 所以 乱知乱( n 一1 ) p l u ( n 一1 ) p u p k + l 兰 b u ( n 一1 ) p 一1 ) u ( 礼一2 ) p + 南t 正p 一知p p 一1 一u ( t l 一2 ) p + 七+ 1 2 正p 一七t 正_ p l u ( n 一1 ) p + t 正( n 一1 ) p + 1 ) u ( 竹一2 ) p + k u p k u p 一1 ( r o o d 嵋) 即原来同余式的右边第三项可化为： b u k u ( 他一1 ) p l u ( n 1 ) p u p k + l 兰 b 2 让( 竹一1 ) p 一1 乱p k u p k u ( n 一2 ) p + 七一b u ( n 一2 ) p + 七+ 1 u ( n 一1 ) p u p k u p 一1 + b 乱( ，l 一1 ) p + 1 坳一1 u ( n 一2 ) p + 知坳一k ( m o du i ) 第一章背景介绍 6 所以 u n p k u ( n 一1 ) p + 奄兰 b 2 缸( n 一1 ) p l u p 一砖( 札( n 一1 ) p l u k t 知一l u ( 几一2 ) p + 岛) 一b u ( t l 一1 ) p x u p k u ( n 一1 ) p u k + l + b u ( n 一2 ) p + k + x u ( f l 一1 ) p u p 一知t 切一l b u ( n 一1 咖+ 1 t 切一l u ( 竹一2 ) p + 免乱p k ( m o d 嵋) 考虑到 b 2 u 乙一1 ) p 一1 u p k u k b 2 u p k u p l u ( n 一2 ) p + 知乱( “) p 一1 = b u ( 仃一1 ) p 一1 t 上p k u k + l u ( n 一1 ) p b u ( 钆一1 ) p l u p k u ( n 一2 ) p + 惫+ 1 t 上p 所以原来的同余式可化为： u n p k u ( n 一1 ) p + 七三 b u ( n 一2 ) p + 知+ 1 乱( n 一1 ) p u p 一七一1 一b u ( n 一1 ) p l t 哆一七钆( 礼一2 ) p + 知+ 1 - b u ( n 一1 ) p + 1 t 切一l 钆( n 一2 ) p + 知t 切一k ( m o d 嵋) 再由以上引理可以得到： b 饥七t 知一k u ( n 一1 ) p + 1 u ( n 一1 ) p 一1 三b u ( 竹一1 ) p 一1 坳一j c 让( 佗一2 ) p + 七+ 1 坳 + b u ( n 一1 ) p + 1 2 知一x u ( 竹一2 ) p + 知2 场一七一b u ( n 一2 ) ，+ 七+ 1 u ( 竹一1 ) p u p k u p l ( m o d 仳；) 最后可以得到： 一k u ( ) p + 七三b 州) p u k u p k ( m o d 嵋) 引理1 2 6 若素拗和整数七满足0 余式 k m ，令定理3 1 2 中的a = 口+ 1 ，b = g ，有如下同余式有如下同余式 【叩一1 ，m p 一1 】三k 一1 ，m 一1 q p q m m m ) 烈等卫( m 。d 嵋) 。 推论3 1 7 对于任意的正整数k 和素郯，令定理3 1 5 中的佗= 2 七+ 1 ，m = 2 ，有如 下同余式 ( 2 知+ 1 切一1 ，2 p 一1 】三v p v 2 p v 2 k - l p b 2 ( 2 一1 ) 题铲( 仇。d 嵋) 第三章l u c a s 序列与b a b b a g e 同余式的推广 1 6 定理3 1 8 对于任意的正整数n ，m 和素郯，有如下同余式 【n p ，m p 兰 u ( n - m + 1 ) p u ( n - m + 2 ) p u n pb m ( n m ) 掣( m d d 钆：) u p u 2 p u r n p 。 推论3 1 9 特别地，当上式中的n = 2 k 时，有如下同余式 2 k p ，纠兰铷u 印也* 一。p j e 7 ( 2 一1 ) 掣( m 。d 嵋) 第四章文章总结 文主要研究t l u c a s 序列与b a b b a g e 匣 余式的推广，得到了一系列的同余 式。然后，得到了以l u c a s 序列为系数的无穷级数求和产生的函数，以及一些特 殊函数值。 参考文献 1 】h uh ，s u nz w ，a ne x t e n s i o no fl u c a s t h e o r e m ，p r o c a m e r m a t h s o c i e t y , 2 0 0 1 ，1 2 9 ：3 4 7 1 3 4 7 8 【2 】l u c a se ，u n s o l v e dp r o b l e m5 7 4 9 ，a m e r j o u r m a t h ，1 ：2 2 9 2 3 0 【3 c a it x ，t w ow o l s t e n h o l m e st y p et h e o r e m so nq - b i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ， r e v i s t ac o l o d e m a t e ，2 0 0 1 ，3 5 ( 1 ) ：6 1 6 5 4 】孙智伟；r e d u c t i o no fu n k n o w n s i nd i o p h a n t i n er e p r e s e n t a t i o n s j 】；s c i e n c ei nc h i n a ，s e t a ；1 9 9 2 年0 3 期 5 】5 d i c k s o nl e ；h i s t o r yo ft h et h e o r yo fn u m b e r s 【m ；1 9 5 2 年 6 】g e a n d r e w s ，q - a n a l o g s o ft h eb i n o m i a lc o e f f i c i e n t sc o n g r u e n c e so fb a b - b a g e ，w o l s t e n h o l m ea n dg l a i s h e r ，d i s c r e t em a t h 2 0 4 ( 1 9 9 9 ) 1 5 2 5 【7 】r i c h a r da n d r e - j e a n n i n ，o nt h ei n t e g r i t yo fc e r t a i ni n f i n i t e s e r i e s ，f i b o n a c c iq u o t e r l y ，1 9 9 7 【8 】o b r u g i a ，a d ip o r t o ，p f i l i p p o n i o nc e r t a i nf i b o n a c c i - t y p es u m s i n t ， j m a t h e d u c s c i t e c h n 0 1 2 2 4 ( 1 9 9 1 ) ，6 0 9 1 3 【9 p f i l i p p o n im b u c c i ， o nt h ei n t e g r i t yo fc e r t a i nf i b o n a c c is u m s ，t h e f i b o n a c c iq u a r t e r l y3 2 3 ( 1 9 9 4 ) ，2 4 5 5 2 1 0 】r s m e l h a ma g s h a n n o n r o nr e c i p r o c a ls u m so fc h e b y c h e vr e l a t e d s e q u e n c e