（基础数学专业论文）模李代数不可约表示的若干问题.pdf

中文摘要 中文摘要 本文主要利用广义限制李代数的概念和性质，对模李代数的不可约表示进行 研究，给出了具有三角分解李代数的广义限制单模的结构，得到了特征高度大于 等于2 小于p 一2 + 5 l w 时c a r t a n 型李代数l = x ( m ，n ) ，x = 彤s ，h 的不可 约表示本文也在李群的模表示方面做了一定的研究，利用代数群模表示的一些 结果，计算了有限辛群跏( 4 ，3 n ) 的第一c a r t a n 不变量全文共分四章 第一章概述了模李代数及其表示的基本概念和工具，以及各个研究子课题的 历史背景和研究进展现状 第二章首先详细综述了广义限制李代数的概念其次，对具有三角分解的李 代数三进行讨论给定l 的一组有序基b l = b 一0 3 0ob + ，研究了l 的既约 包络代数钍妒( l ) ，验证了以下结果： 引理1 ( 1 ) 对任意h s o ，有【h ，x r 】= 一6 ( ) r ，其中5 = q 1 + + 吼 ( 2 ) 对任意y b 一以及0 a 1 - ，则有d e g b 【y ，x a 】 亡一1 ) ( 3 ) 令a = ( a l ，a 2 ，) 哆，则存在 ( t ) 使得 0 ，并且 ( t 一6 ( i ) ) = 入i ，( i = 1 ，2 ，r ) 进一步，在( l + ) 中定义了一个序” 3 的条件，给出当特征标高度h t x = - 1 时，任意特征p 0 的c a r t a n 型李代数单模的结构 本章最后以典型李代数g 2 的变形g 为例，给出了g 的广义限制单模同 构类的代表元集，并且给出了它们的维数 本文第三章继续利用广义限制李代数的定义，研究c a r t a n 型李代数l = x ( m ，n ) ，x = 彬sh 的不可约表示首先概述了c a r t a n 型李代数和本原p 一包 络代数的定义，说明了c a r t a n 型李代数是一个广义限制李代数，给出了它的本原 p 包络代数p ( l ) ，证明了p ( l ) 是一个分次李代数其次，给出非奇异特征标的 定义，证明了对于c a r t a n 型李代数l = x ( m ，n ) ，x = 彬s h ，当特征标高度 大于等于2 小于p 一2 + 屯w 时，特征标x 是非奇异的最后，证明了本章主要定 理： 定理5 若x l + 是三特征标，且h t x = h 满足2 h p 一2 + 屯则所 有不可约( 厶x ) - 模都是由它的唯一的不可约u c p ( l o ，x l l 。) 一子模诱导的 第四章中介绍了第一c a r t a n 不变量和c a r t a n 不变量矩阵的定义，利用代数 群模表示理论中的一系列结果，并运用m a t l a b 软件，计算了有限辛群却( 4 ，3 ) 的 c a f t a n 不变量矩阵和跏( 4 ，3 n ) 的第一c a r t a n 不变量得到： 定理6 有限辛群s p ( 4 ，3 ) 的c a r t a n 不变量矩阵c 可写成以下的分块矩阵 岛oo 形式：c = ioa ol ，其中，c o 和a 由下表分别给出 0 0 1 0 00 12 00 22 1 0 07 6 3 5l 0 161 59 6 6 2 0392 16 9 0 25 6 6 7 2 2 1l6 9 2 7 i i a 肛1 01 11 2 1 02 01 87 1 11 82 16 1 27 6 5 中文摘要 定理7 有限辛群s p ( 4 ，3 n ) 的第一c a r t a n 不变量 c 船= ( o ? + 碹+ n ；+ n 2 + o ；+ o ；+ n 孚+ 嵋+ 口琴) 一2 ( w + 醪+ 醵+ 叼+ 略+ 昭+ 睇+ 垤) + ( 贯+ 露+ c ；+ c 2 + c 譬+ 瑶) + 6 n 一3 n + 2 2 n 一4 ， 其中a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 ，a 7 ，a 8 ，a 9 是多项式x 9 7 3 x s + 1 7 8 8 x 7 1 7 2 2 6 x 6 + 7 2 3 2 4 x 5 1 2 2 5 4 4 x 4 3 6 6 2 4 x a + 4 3 3 8 2 4 x 2 5 7 5 4 8 8 x + 2 6 2 1 4 4 的根； 6 1 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 是多项式x 8 - 6 1 x 7 + 1 2 4 9 x 6 - 9 8 3 3 x 5 + 2 7 7 7 4 x 4 + 4 0 1 4 x 3 1 2 6 9 3 6 x 2 + 1 6 9 6 0 0 x 一7 2 1 9 2 的根；c l ，c 2 ，c 3 ，c a ，v 5 ，c 6 是多项式z 6 5 3 x 5 + 9 6 5 x a 一 7 0 1 9 x a + 1 7 9 1 4 x 2 + 9 3 9 2 x 一7 1 4 2 4 的根 关键词：广义限制李代数：c a f t a n 型李代数： 特征标；不可约模； 极大 向量；辛群： c a r t a n 不变量矩阵；第一c a r t a n 不变量 i i i a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ht h ei r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n so fm o d u l a rl i ea l g e b r a s b a s e do nt h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b r a s ，w eg e tt h es t r u c t u r e s o fg e n e r a l i z e dr e s t r i c t e ds i m p l em o d u l e sf o rl i ea l g e b r a sw i t hat r i a n g u l a rd e - c o m p o s i t i o n ，a n dd e t e r m i n et h ec o n s t r u c t i o no ft h ei r r e d u c i b l em o d u l e sf o rl i e a l g e b r a so fc a r t a nt y p el = x ( m ，n ) ，x = 彬s ，日，w h e n t h eh e i g h to ft h e c h a r a c t e ro fli sl a r g e rt h a n2a n dl e ：s st h a np 一2 + 6 n w m o r e o v e r ，s o m e r e s u l t so nm o d u l a rr e p r e s e n t a t i o n so ff i n i t eg r o u p so fl i et y p ea r ec o n c l u d e di n t h i sp a p e r u s i n gs o m ek n o w l e d g ef r o mr e p r e s e n t a t i o n so fa l g e b r a i cg r o u p s ，t h e f i r s tc a f t a ni n v a r i a n tf o rf i n i t es y m p l e c t i cg r o u ps p ( 4 ，3 n ) i sc o m p u t e d t h e r e a r ef o u rc h a p t e r si nt h i sp a p e r i nt h ef i r s tc h a p t e r ，s o m ef u n d a m e n t a lk n o w l e d g eo fm o d u l a rl i ea l g e b r a s a n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r i e sa r ei n t r o d u c e d a tt h es a m et i m e ，t h eh i s t o r - i c a lb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts t u d ys i t u a t i o n so fr e p r e s e n t a t i o n sf o rm o d u l a rl i e a l g e b r a sa r es u m m a r i z e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e dr e s t r i c t e dl i ea l g e b r ai s g i v e n t h e nw ed i s c u s st h el i ea l g e b r alw i t hat r i a n g u l a rd e c o m p o s i t i o n l e t b l = 豇0b o0 毋i sa no r d e rb a s i so fl ，w ei n t r o d u c et h eg e n e r a l i z e dr e s t r i c t e d u n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r a ( 三) o fl ，a n dp r o v et h ef o l l o w i n gl e m m a l e m m a1 t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sh o l d ( 1 ) 盼，r 】= - 5 ( h ) x r 加rh b ow h e r e5 = q 1 + + o t t ( 2 ) d e g b + y ，x a 】 亡仇一1 ) o ry 豇，0 a r ( 3 ) l e t 入= ( 入1 ，入2 ，) f t h e nt h e r ee x i s t s 口 t 正妒( t ) s u c h t h a t 0a n d ( 一6 ( ) ) = 九 扣7 i = 1 ，2 ，r f u r t h e r m o r e ，w ed e f i n ea no r d e r 。 0 的代数闭域上单模李代数的分 类问题还没有完全解决而与结构理论相比较，表示理论有更多悬而未决的问题 需要我们去深入研究根据r e b l o c k ，h s t r a d e ，r l w i l s o n 的工作，当代 数闭域的特征p 7 时，单李代数只有两种，即典型李代数( a ，b ，c ，d ，e ，只g ) 和c a r t a n 型李代数( 彬s ，日，k ) ，而且每一类广义c a f t a n 型李代数的同构类也 已经完全确定 无论就其理论的完整性还是就其应用的广泛性来说，模李代数都是一个非 常重要的数学分支但是不管是它的结构问题还是表示问题，我们知道的结果 还不够充分，还需要我们对它不断进行研究目前，在国内外有许多数学家在对 模李代数进行研究，他们做了很多工作比如，利用广义限制李代数的概念和 应用f r o b e n i u s 代数的一些性质来研究广义限制李代数的广义限制完备上同调； 将模李代数量子化，与量子群建立联系；等等我们将应用广义限制李代数和 同济大学博士学位论文 f r o b e n i u s 代数以及它们的性质来研究模李代数的表示，尝试着解决一般c a r t a n 型李代数的表示问题 在模李代数及其表示理论中，限制李代数起了非常重要的作用它首先是由 n j a c o b s o n 给出并研究的 定义1 0 1 令l 是特征p 0 的代数闭域f 上的李代数如果存在一个映射 嘲：l _ l ，zh z 纠满足条件： ( 1 ) 对于任意z l ，则a d x 瞳 = ( a d x ) p ， ( 2 ) 对于任意z l ，k f ，则( 七z ) 嘲= k p x n ， ( 3 ) 对于任意z ，y l ，则( z + 可) 纠= ( z ) 嘲+ ( 可) 嘲+ e p 讧- - 1 1s i ( x ，y ) ， 这里8 i ( z ，y ) 是( x t + y ) p 在系数为l 的普遍包络代数u ( l ) 的多项式环 u ( 己) f t 】中t 的系数则称此映射为p 映射，而( 厶纠) 称为f 民- v l 李代数 对于限制李代数，也有与普遍包络代数类似的限制包络代数的定义为方便 起见，对任意结合代数a ，我们记a 一为李代数( a ， ，】) ，其中李括号【，】定义为： 对任意a ，b a ，则 a ，6 】= a b 一6 n 定义1 o 2 令( l ，悯) 是一个限制李代数设u ( l ) 是域f 上有单位元的结合代 数，i ：l _ 让( l ) 一是限制李代数同态，如果对于任意给定的域f 上有单位元 的结合代数a 以及限制李代数同态，：l _ a 一，都存在唯一的结合代数同态 厂：u ( l ) 一a ，使得，oi = ，则称( u ( 三) ，i ) 是限制李代数( l 嘲) 的限制包络代 数 下面的定理给出了限制包络代数的基的结构 定理1 0 1 5 3 令( l ，纠) 是一个限制李代数下述命题成立 ( 1 ) 对任意限制李代数( 厶嘲) ，必存在它的限制包络代数( u ( 三) ，i ) ( 2 ) 若( 钍( l ) ，i ) 是( 厶纠) 的限制包络代数，( 勺) 托j 是l 在域f 上一组有序 基，其中j 是指标集则元素t ( 勺。) 。- i ( 勺。) “，j 1 3 时l = x ( m ，n ) ，x = 彬最h 的阶化不可约模( x l l - | 1 = 0 和 x l l 。= 0 ) 和滤过不可约模( x l 工。= 0 ) 胡乃红在文 2 0 ，2 1 】中确定了k ( m ，n ) 的 阶化不可约模和滤过不可约模h o l m e s 和张朝文在文【1 8 ，1 9 ，6 3 】中利用限制李 代数的概念确定了特征p 3 时l = x ( m ，1 ) ，x = 彬sek 的特征高度为0 和1 的不可约模张朝文在文 6 4 】中对于特征高度h t x 2 给出非奇异特征标的 定义并且对于c a r t a n 型李代数l - - - x ( m ，1 ) ，x = wsh ，k ，给出具有非奇 异特征标不可约l 一模的结构姚裕丰在他的硕士毕业论文【5 7 1 中利用c 一模范 畴理论，决定了c a r t a n 型特殊李代数s ( m ，n ) 的不可约模的结构 尽管限制李代数的概念在模李代数及其表示理论中起了非常重要的作用，但 限制李代数的条件较强，许多李代数都不满足限制李代数的条件，例如c a r t a n 型 分次李代数l = x ( m ，n ) ，x = 彬最h ，k 只有当n = 1 时才是限制李代数为 此，舒斌在文f 4 9 】中引入了广义限制李代数的概念 定义1 0 5 设f 是特征p 0 的代数闭域，厶是域f 上的一个李代数，如果存 在l 的一个基晚，映射妒：b l 一工和映射m ：b l _ n ，使得对任意z b l ， 都有( a d l z ) p m 忙= a d l 妒0 ) 成立，则( 厶b l ，妒，m ) 称为广义限制李代数 对于广义限制李代数的模，也有特征标的概念，并且不可约模也可由特征标 进行分类 定义1 o 6 设f 是特征p 0 的代数闭域，( l ，b l ，妒，m ) 是域f 上的广义限制 3 同济大学博士学位论文 李代数，m 是不可约l 模如果存在x l ，以及任意z b l 和v m ，使得 矿”口一妒( z ) 口= x ( z ) p ”“u ， 则称x 为l 模m 的特征标，模m 称为x 模若l 一模m 的特征标x = 0 ，则 称m 为广义限制模 利用广义限制李代数的概念，舒斌也给出了广义限制包络代数的定义 定义1 o 7 设f 是特征p 0 的代数闭域，( lb l ，q o ，m ) 是域f 上的 广义限制李代数，u ( l ) 是l 的普遍包络代数 对给定的l 到f 的映 射x ，让j ( 既，妒，m ，x ) 是由 忙一妒( z ) 一x ( z ) p m 忸iz 既) 生成的 u ( l ) 的理想记u 妒( l ，x ) ：- - - u ( l ) i ( b l ，q o ，m ，x ) ，并记典范映射。：u ( l ) _ u ( l ) i ( b l ，妒，m ，x ) 在l 上的限制为b ：l _ u v ( l ，x ) 则u 妒( 厶x ) 是结合代数， 并有一组基 6 ( z 1 ) 0 1 o ( z n ) n nix k b l ，0 a k p m ( z ) 一l ，l k 礼) 称 u 妒( 厶x ) 为广义限制李代数( 厶b l ，妒，m ) 的广义限制包络代数 由上面的定义，我们可以看出广义限制李代数( 厶b l ，妒，m ) 的x 一模与 u 妒( 厶x ) 一模是一致的特别地，当x = 0 时，记他妒( l ，0 ) = ( l ) ，则l 的广义限 制模与u 妒( l ) 模等同 限制李代数的表示理论中一个很好的性质，就是限制包络代数是有限维的， 因此，有限维结合代数的表示理论这一强大而成熟的工具就可以应用到限制李代 数的表示上来然而，对于广义限制李代数来说，从其定义我们可以发现，广义限 制包络代数也是有限维的因此，我们可以把限制李代数的表示理论中有效的结 果几乎平行地用到广义限制李代数上由于在文 4 9 】中，舒斌证明了广义c a x t a n 型分次李代数是广义限制李代数，于是我们可以通过对广义限制李代数的研究， 来讨论广义c a f t a n 型分次李代数的表示 本文接下来的两章，将利用上述广义限制李代数的定义和性质，研究模李代 数的不可约表示，把研究广义限制李代数( 厶b l ，妒，m ) 的x 模的问题转化为研 究心妒( l ，x ) 模的问题第二章主要讨论具有三角分解李代数的广义限制单模，第 三章主要考虑c a f t a n 型分次李代数的不可约模 4 第二章三角分解李代数的广义限制单模 第二章三角分解李代数的广义限制单模 本章将利用广义限制李代数的概念，得到了所有具有三角分解的李代数的 广义限制单模首先在2 1 中，我们给出了具有三角分解李代数的定义，并利用 具有三角分解的李代数l = l o t 0 l + 所满足的条件，得到l 的一个有序基 b l ，给出广义限制李代数( 厶b l ，妒，m ) 的结构在2 2 中，研究了广义限制李代 数( 厶b l ，妒，m ) 的既约包络代数让妒( l ) 在2 3 中，研究了l 的广义限制模，给 出了三的所有广义限制单模的结构，并且确定了l 的所有广义限制单模同构类 的代表元最后在2 4 中，作为一个例子，计算了李代数g 的广义限制单模， 得到了它们的维数 2 1 定义与例子 定义2 1 1 设f 是特征为p 0 的代数闭域，l = l o t o l + 是f 上的李代 数，且满足以下条件： ( t 1 ) l 士是l 的子代数且a d l 一幂零； ( t 2 ) t 是环面子代数，并且存在t 的一个基b o = 1 ，k ) 以及正整数 s l ，s r ，使得( a d l h i ) r = a d l h i ， = 1 ，2 ，r ； ( t 3 ) 【t ，l 士】l 士 我们称满足上述条件的李代数为具有三角分解的李代数 这样的李代数有很多，下面我们具体地给出一些这种李代数的例子 例子2 1 1 设l = x ( m ，n ) 是特征p 0 的阶化c a f t a n 型李代数( 见文【5 3 】) 当x = 彬s ，h 时，l = l 一10l ool 10 0l 。；当x = k 时，l = 三一20l l0l oo 己lo o 厶并且当x = 彬sh ，k 时，l o 分别同构于 g 【( n ) ，5 【( n ) ，辜p ( 2 r ) ，s p ( 2 r ) of d k ( x 8 “) 因此l o 有一个三角分解l oo t ol 吉 令l 一：= ( 0 南 ol k ) 则l = l o t o l + 满足条 件( t 1 ) ，( t 2 ) ，( t 3 ) 5 同济大学博士学位论文 例子2 1 2 设特征p = 5 的有限维m e l i k y a n 代数 l = u ( l 一) nw ( 5 ，( 硝，m ：，m ；，m l ，m 2 ) ) = u ( l 一) f 1w ( 5 ，( 1 ，1 ，1 ，m l ，m 2 ) ) 竺g ( m l ，m 2 ) ， 其中u ( l 一) 的定义可以在文 1 4 ，4 8 】中找到令 4 ：= ( f s p a n e a o ( o i i u ( l 一) i ) ) f qw ( 5 ，( 1 ，1 ，1 ，m l ，m 2 ) ) ， l 一：= f - s p a n e a ，e 一( a + p ) ，e - ( 2 a + 卢) ，e 一( 3 a + p ) ，e 一( 3 a + 2 卢) ，e p ) ， t ：= f - s p a n h 1 h 2 则l = l o t o l + 满足条件( t 1 ) ，( t 2 ) ，( t 3 ) 例子2 1 3 设l = k g 是数域f 的特征p = 2 时的单李代数( 见文 4 8 】) 令 l 一：= 1 ，x l ，z 2 ，z 3 ，x 4 ，e 2 ；t ：= f s p a n h l ，h 2 ；l + ：= e l ，j f l ，y 2 ，y 3 ， ， ) 则l = 己一o t o l + 满足条件( t 1 ) ，( t 2 ) ，( t 3 ) 例子2 1 4 设三是一个c o n t r a g r e d i e n t 代数( 见文 5 5 】) 则l 有一个三角分解 l = l oho 二+ ，这里h 是一个环面，l 一由基 e 一。l q 圣+ ) 张成，l + 由基 e 口l q 圣+ ) 张成，其中圣+ 是正根集合，集合m = 圣+ u ( 一圣+ ) 有一个偏序因 此l = l ot o l + 满足条件( t 1 ) ，( t 2 ) ，( t 3 ) 例子2 1 5 设l 是典型李代数，l = 日o ( 0l q ) 是标准c a f t a n 分解，令t = h ， l 士= 0l q ，则l = l o t o l + 满足条件( t 1 ) ，( t 2 ) ，( t 3 ) a 圣士 下面我们将讨论这一类李代数 引理2 1 1 2 】令l = l ot0 三+ 是具有三角分解的李代数，满足 定义2 1 1 中的条件( t 1 ) ，( t 2 ) 和( t 3 ) 则三一定有一个有序基b l = z 1 ，x t ，h 1 ，h r ，y l ，纨 满足下面的性质： ( b 1 ) 耳= z 1 ，x t ) 是l + 的基，b 一= 秒l ，纨) 是l 一的基，使得 叽，戤1 = 吼 ) 盈， 西，执1 = 反( 九) 坎， ( 2 1 1 ) 其中h t ，啦，屈t 。= h o m f ( t , f ) ( b 2 ) 对任意的i ，j ，有下面的公式成立 x i ，巧】= 口七观，咄，协】= k 鲰，( 2 1 2 ) 6 3 12 蜘 似 +垃函 阻 + 知 z 哺 i i 巧 f 【 吨戗巩知 0 中其 第二章三角分解李代数的广义限制单模 由于k 是a d l 一幂零的，因此存在正整数m i 和啦，使得( a d l x i ) p “= 0 ， i = 1 ，2 ，t ；( a d l y i ) v = 0 ，i = 1 ，2 ，8 定义从b l = b u1 3 0u 耳到 l 的映射妒以及从b l = b ub oub + 到n 的映射m 如下： 妒( z ) = 0 ，( i = 1 ，2 ，t ) 妒( i ) = h i ，( i = 1 ，2 ，r ) 妒( 犰) = 0 ，( i = 1 ，2 ，8 ) m ( x i ) = r n i ，( i = 1 ，2 ，t ) r e ( h i ) = 8 i ，( i = l ，2 ，r ) m ( 玑) = 毗，( i = 1 ，2 ，8 ) 则( 厶b l ，妒，仇) 是广义限制李代数 7 同济大学博士学位论文 2 2l 的既约包络代数 令( lb l ，妒，m ) 是2 1 d ? 构造的广义限制李代数，( l ) 是( 厶b l ，妒，m ) 的 既约包络代数则由文 5 3 1 的引理1 9 7 知，集合 z ；1 z 尼：1 h ，6 r 。- c 1 矿510 a i p m 一1 ，0 b i p a 一1 ，0 q 矿一1 ) 是u 妒( l ) 的基 令夕是广义限制李代数( l ，b l ，t o ，m ) 的子代数，若g 有一个基b 满足 b g b l 和妒( 岛) 9 ，则( 夕，b ，妒i b g ，m i 岛) 也是一个广义限制李代数，将 称( 夕，岛，妒i 岛，m b g ) 为广义限制李代数( 厶b l ，妒，m ) 的广义限制子代数令 乱妒0 ) 是( 9 ，岛，妒i 岛，m l b ) 的既约包络代数，显然有从( 夕) 到u p ( 工) 的嵌入映 射因此，牡妒( 夕) 可看作是u 妒( l ) 的子代数由上述定义知，( l 士，b 王，妒，m ) 和 ( es o ，妒，m ) 都是广义限制李代数( 厶b l ，妒，m ) 的广义限制子代数由文 5 3 的 引理1 9 7 知， u 妒( l ) = 乱妒( 三+ ) 也i p ( t ) u t p ( l 一) 或t 正妒( 三) = t 如( l 一) 仳妒( t ) 乱妒( l + ) ( 2 2 1 ) 为书写方便起见，我们不妨设m ( z ) = m ( 比b l ) ，并且引入以下记号： ( 1 ) 对任意a = ( a l ，a k ) ，记l a i ：= a l + + a k ；规定1 ：= ( p m 一 1 ，矿一1 ，矿一1 ) 对任意a = ( a l ，n 七) ，b = ( b l ，k ) ，若满足 a t b i ，i = 1 ，2 ，k ，则记a b 若a b 并且存在某个i 使得a i b i ，则记 a ( 4 ) 对任意u ，u ( l ) ，记【也，钉】：- - - u 钉一u u ( 5 ) 记：= n fl = 口) ，砀：- - - 眠，k 一，) i 九砀，江 1 ，2 ，r ) 引理2 2 1 ( 1 ) 对任意h b o ，有【h ，r 】= 一6 ( 九) x r ，其中6 = q 1 + + 钒， q t 的定义由公式( 2 1 1 ) 给出 ( 2 ) 对任意y b 一以及0 as1 - ，则有d e g b 。陟，x a 】 t ( p - 一1 ) 。 8 第二章 三角分解李代数的广义限制单模 ( 3 ) 令入= ( a 1 ，a 2 ，) 哆，则存在 u v ( t ) 使得 0 ，并且 ( h i 一6 ( 勉) ) = 九 ，( i = 1 ，2 ，r ) 证明：( 1 ) 因为 h ，x i 】= a i ( h ) x i ，所以 阮矿- 1 】= m 一1 ) ( a ；( 凫) ) 才”= 一啦( ) 薯”一， 因此 m ，妒】= 限，彳矿q 】 = 名。斧一陋，矿。1 】矿。1 = 名。斌“( 一啦( ) 窖”。) “1 = 一( q l + + q ) ( 危) 硝，m 一1 磋严1 = 一6 ( 危) x r ( 2 ) 若a = 1 - ，则由文【2 】的引理3 3 ( 2 ) ，有d e g b + y ，x a 】 亡眇一1 ) 若 a r ，则由文( 2 4 】的定理1 7 3 ，有陟，妒】v l a i ，其中矶n i = f - s p a n w 1 w ll i a l ，w l l ，伽l 三) 因此，就有d e g b + 陟，x a 】i a l t ( p - 一1 ) ( 3 ) 令 = 兀：1 鱼( 鬼) ，其中统( 鬼) = 鸯1c 箩霹，c f 对某个固定 的i ，取定学由于( 勉一5 ( h i ) ) a = 九 ，因此( h i 一5 ( h t ) ) 俄( 鬼) = a i g i ( h t ) 将 鱼( 勉) = 富1 芎h i 代入等式( 以一6 ( 鬼) ) 仍( 勉) = a 舰( 玩) ，可得 芬h i + 1 = ( 九+ 6 ( 勉) ) 孝嘭 ( 2 2 2 ) j = 0 j = o 比较等式( 2 2 2 ) 两边h t 的次数，得到如下的方程组： ( 九+ 6 ( ( 凡+ 艿阮 ( 九+ 6 ( 勉 ( 凡+ 6 ( 几 ) 4 0 = = 0 ) 一韶一。 ) 毋) 一c f = ) 韶一，一岛 一g ) = 0 0 ( 2 2 3 ) 一2 = 0 若凡+ 6 ( ) = 0 ，则方程组( 2 2 3 ) 有一组解0 = 1 ，g = 0 ，j = 1 ，2 ，矿一2 ，端一l = 一1 9 同济大学博士学位论文 = = ! ! = ! ! = ! = ! ! = ! ! ! ! ! ! 2 1 ! e ! e e = = 2 = ! e ! ! ! = ! 自! ! ! ! ! ! = = ! ! ! ! ! = ! ! = ! ! = ! = ! ! ! ! ! = ! ! ! ! ! = = ! ! ! ! e 若九+ 6 ( 吃) 0 ，则有露= 0 ，于是方程组( 2 2 3 ) 化简为： f ( 丸+ 6 ) 掣一端一1 = 0 一c p + ( 九+ 6 ( 鬼) ) 毋= o ( 2 2 4 ) i c 嚣一2 + ( 九+ 6 ( ) ) 端一1 = 0 由于碍“= b ，歹= l ，2 ，r ，则有a j ( h t ) p ”= ( 风) ，歹= 1 ，2 ，r 因 此，( a t + 5 ( h t ) ) p ”= a i + 6 ( t ) 故 det(九尻)九+。j； 产1 ：。a ；+ j 。危；，p 。一，一1 ：。 凡+ 6 ( 勉) 这意味着，存在不全为零的5 3 ( i ，j = 1 ，2 ，矿一1 ，使得芎o = 1 ，2 ，矿一 1 ) 满足方程组( 2 2 4 ) 即说明存在 让妒口) 使得 0 ，并且( 乜一5 ( h 。) ) = 九 ，i = 1 ，2 ，r 事实上，对于a = ( 入l ，入2 ，k ) 蹋， = ( ( 乜一j ( 亿) 一入i ) p r o 一1 ) i - - 1 在u 妒( l + ) 中定义一个序： ( 1 ) 对于x = ( x l ，觑) ，a = ( a l ，砚) ，b = ( b 1 ，b t ) 若存在k 使得 a k 惫，则定义】( & x b ( 2 ) 对于u ，u ( l + ) ，则仳， 可分别写成t l = e 厶) ( a ，移= 9 b x b ， 其中厶，9 b f 若m i n x ai 厶o ) m i n x bl9 b o ) ，则定义u 秒 ( 3 ) 规定0 为最大元 引理2 2 2 令钍让i p ( l + ) 若u 0 ，则对任意甄毋，有t m a x i , j 研( 巧) 锄， 巧a + j + 1 l 甄a i - 1 1 h z 尹一 勋z j a + j + 1 l 甄g t i - - 1 1z z o t 重复应用公式( 2 1 2 ) 可推知锄正n a j + 1 l x 纵i - - 一1 1 z 尹z 尹= e，b + 1 因此 ) 【a c b 啦! 5c b z ：1 x j a j 一- - 。19 l ( 奶) 啦! ， 即x a z t ) ( a 推论2 2 1 ( 1 ) 对任意i = 1 ，2 ，t ，有x i x r = 0 ( 2 ) 对任意u 让妒( l + ) l + ，u 是幂零的 ( 3 ) ( l + ) 作为环是一个局部环 证明：( 1 ) 反证法，若反x r 0 ，则有x i x 下冬x r 这与引理2 2 2 矛盾因此 瓤r = 0 ( 2 ) 任意牡( l + ) 己+ ，若对任意k 都有t 知0 ，则缸5r 由引理2 2 2 知让 让2 牡知 ，这与p m 一1 是有限数矛盾因此存在某个k 使得 乱七= 0 ( 3 ) 由于“p ( 己+ ) = f + u i p ( l + ) l + ，任意移牡妒( 三+ ) 可写成口= 口+ t ，其 中口f , u u p ( 己+ ) l + 若口0 ，则由( 2 ) 可知t ，是可逆的即移是不可逆的当 且仅当移“妒( l + ) l + 因此u 妒( l + ) 己+ 是u v ( l + ) 的唯一极大理想，所以乱i p ( l +