5. 等差数列小结 课件.ppt

等差数列小结,1.等差数列的定义：,定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d来表示.,2.等差数列的通项公式：,等差数列的通项公式：an=a1+(n1)d.,3.等差数列的前n项和公式：,4.递推公式(d为公差)：,5.等差中项：,6.等差数列的一条性质：分别与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.,对任意m，n，p，qN*，当m+n=p+q时，有am+an=ap+aq.,7.an为等差数列的三个充要条件：,an+1-an=d(常数)，其中n=1，2，3，；an+an+2=2an+1，其中n=1，2，3，；通项公式an是关于n的一次多项式.,8.当三个数成等差数列，并知其和时，通常设它们分别为ad，a，a+d，求解较方便；当四个数成等差数列，并知其和时，通常设它们分别为a-3d，ad，a+d，a+3d,注意这里公差为2d.例1在等差数列an中，m，n，p，qN*，且m+n=p+q，求证：am+an=ap+aq.（这是对前述等差数列的性质的证明）略证：设数列的公差为d，则am+an=a1+(m1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.因为m+n=p+q，所以am+an=ap+aq.,例2已知an为等差数列，a2+a9+a10+a11+a12+a19=150，求此数列的前20项的和.分析：通过观察我们可以发现，2+19=9+12=10+11，利用等差数列的性质，可望能解决问题.略解：2+19=9+12=10+11，a2+a19=a9+a12=a10+a11=50.a1+a20=50,例3已知an是公差为d的等差数列，p，qN*，求证：ap=aq+(pq)d.,注：本例结论可以作为等差数列的广义的通项公式，等差数列的通项公式是这个公式的特殊情况.对某些问题，直接利用这个公式，将更方便.,下列问题，作为本例的应用，供同学们练习之用.,已知an等差，(1)a5=15，公差d=-2,求a12;(2)a5=6，a8=15，求a14.,例4若数列an不是常数列，则数列为等差数列的充要条件是，数列的前n项和Sn是n的二次多项式，且常数项为零，即Sn=An2+Bn(A0).,证明：必要性：“”由an是等差数列且不是常数列，知公差d0,充分性：“”设Sn=An2+Bn(A,B为常数且A0).则a1=S1=A+B.,当n2时，an=Sn-Sn1=2An+(BA)（显然当n=1时也成立）.,an-1=2A(n-1)+(BA),an-an-1=2A(常数).,an是等差数列且不是常数列（注意A0）,例5某个等差数列的第10项为230，第25项为-220，（1）求首项和公差，（2）当n为何值时，前n项和Sn的值最大，并求出这个最大值.,解：第(1)小题由同学做，a1=500，d=-30.,(2)由(1)可得数列的通项公式为an=53030n.,要想使Sn最大，只要使a1，a2，an均大于零，而an+10,满足以上不等式的最大正整数n=17.,所以这个数列的前17项的和最大，最大值为,注：对等差数列，若a10，d0，an+10，an+1=0，