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浙江大学硕士学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 摘要 本文主要研究了具有平行第二基本形式的子流形的几何刚性和高维凸超曲 面中子流形的曲率与拓扑 本文第一部分对拼挤黎曼流形“1 中具有平行第二基本形式的超曲面进行 研究，得剑了关于第二基本形式模长平方s 满足的两个不等式： 设m ”为等距浸入到n 肘1 的完备超曲面，且具有平行第二基本形式用c 和d 表示n 肘的截面曲率极小值和极大值，则 s 2 + 丽n i l ( n 而- 2 ) ( s 一胡2 ) ；_ ( 加+ 3 胴2 ) s + 2 脚+ 2 日2 m s 2 一丽n h ( n 丽- 2 ) ( s 一胴2 n 3 ”d + 3 槲2 ) s + n 2 h 2 ( c + 2 h 2 腓 相比文【1 0 】在余维p = 1 时的结论，上述关于s 的第一个不等式更优 第二部分对常曲率空间中具有平行第二基本形式的完备连通子流形进行研 究，得到以下结果： 设m ”一f 肿p ( c ) p o ) 是具有平行第二基本形式的完备予流形，则 ss ，z f + n 2 p ( 1 + h ) h + 4 当等号成立时，m = s q , s 啦s q , 2 ( 1 + h ) p ( q j = ”) ，其中s 毋为q i 维全脐点的常曲率 s = l 子流形 第三部分，对高维凸超曲面中的子流形进行研究，证明了以下定理： 设n 肿p 为r 肘川中主曲率满足o 万s 丸l “= 1 ，2 ，玎+ p ) 的超曲面， m ”为肿p 中珂维紧致子流形若日，s 分别为中子流形m 的平均曲率和第二 基本形式模长平方，则 - n h 2 + n ( n - 1 ) ( 1 - 8 ) 1 j 跏e 层，其中g 为仅与刀 。j - _ 一 有关的正常数，层为m 的第f 个b e t t i 数若l 【s n h 2 + 刀( ”一1 ) ( 1 一万) 】j d m c ， 则m 同胚于球面s ”( 1 ) 2 浙江大学硕士学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 一般地，当o 万l 五似= l ，2 ， + 力时，有 肛一旃2 + 以川) ( 一0 0 ；跏e 善n - i 层， 其中e 为仅与刀有关的正常数，属为m 的第i 个b e t t i 数若 【，【s 一槲2 + n ( n - 1 ) ( a - 5 ) 2 d m o s 2 一丽n h ( n 丽- 2 ) ( s 一旃2 五材+ 3 槲2 ) s + n 2 h 2 ( c + 2 h 2 腓 o u rf i r s ti n e q u a l i t yi sb e t t e rt h a nt h eo n ei n 【1 0 i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h es u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e ls e c o n df u n d a m e n t a l f o r mi ns p a c ef o r mf “p ( c ) p 0 ) ，a n dg e tt h ef o l l o w i n g ： l e tm ”b ea c o m p l e t ec o n n e c t e ds u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e ls e c o n d f u n d a m e n t a lf o r mi s o m e t r i c a l l yi m m e r s e di nar i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t h n o n - n e g a t i v ec o n s t a n tc u r v a t u r ec t h e nw eh a v e s ，c + n 2 p ( 1 + h ) h + 4 2 ( 1 + h ) p m o r e o v e r , i f t h ee q u a l i t yh o l d s ，t h e nm = s 吼x s 叮2 s 靠( 吼= 栉) ，w h e r e s 吼i s t h e 吼d i m e n s i o n a lt o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l d 。1 i nt h et h i r dp a r t ，w es t u d yt h ec u r v a t u r ea n dt o p o l o g yo f s u b m a n i f o l d si nah i g h e r d i m e n s i o n a lc o n v e xh y p e r s u r f a c e ，a n dp r o v et h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： l e tn ”+ ，b eah y p e r s u r f a c ei nr ”+ p + 1w i t hi t sp r i n c i p a lc u r v a t u r es a t i s f y 0 万丸1 似= 1 ，2 ，刀+ 力，m ”b ea n 刀一d i m e n t i o n a lc o m p a c ts u b m a n i f o l d d e n o t eb yha n dst h em e a nc u r v a t u r ea n dt h es q u a r en o r mo ft h es e c o n d f u n d a m e n m lf o r mo fm r e s p e c t i v e l y t h e n p 一槲2 州川肌布搠e 善n - ! 届， 4 浙江大学硕+ 学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 w h e r ec ni sap o s i t i v ec o n s t a n td e p e n d i n go n l yo n n ，8 i i st h ei - t hb e t t in u m b e r 。fm i f l 【s n h 2 + ”仰一1 ) ( 1 一回】- d m e ，m a n ds ”a r eh 。m e 。m 。r p h 。u s i n g e n e r a l ，i fo 后丸躯似= l 州2 吲+ p ) ，w eh a v et h ef o l l o w i n g r e s u l t s ： l 【s 一埘2 + ”( ”一1 ) ( 一万) 】：捌g 善n - i 属， w h e r ec n i sa np o s i t i v ec o n s t a n td e p e n d i n go n l yo nn ，8 ii st h ei - t hb e t t in u m b e r o fm i fl s - n h 2 + 刀( 聆- 1 x a - 8 ) i d m 1 并且s 1 并且s m i n 忑2 n 瓦n 而渊m ”是一个全脐球面，这就改 进了s t y a u 的结果此外，h w x u 在文【l l 】中同时给出了一个更优的拼挤常数 c ( n ，p ，日) ，比文【l o 】和文【1 6 】中给出的值要大准确的说，如果m ”是s 肿，( 1 ) 中 的完备子流形，具有平行平均曲率，且s c ( n ，p ，h ) ，则m ”是一个全脐球面 s ”( 志 这里拼挤常数定姚 嘶棚硼+ 赤铲- n 抛( n - 叫2 ) ( 矛“( 肛1 ) 铲) ； f 口( ”，i - z ) ，p = l ，咖= 2 且何o ， 叫唧_ 卜m 呐2 梢州卜，勒赳 n q x i e 和h w x u 在文【1 4 】得到了以下结论： 定理a 设n 肿p 为拼挤黎曼流形，m ”专n 肘p 是完备子流形，且具有平行第二 基本形式用c 和j 表示n 肿，的截面曲率极小值和极大值若r ( n ，p ，c ，d ，日) 0 ， 6 浙江大学硕士学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 r ( n ，p ，c ，d ，h ) = g + n 2 p ( 1 + h ) h + 4 2 ( 1 + h ) p g = ”d + 三( p 一1 ) ( 刀一1 ) 2 ( d c ) ， 定理b 设n ”p 为拼挤黎曼流形，m ”一n 肿，是完备子流形，且具有平行 第二基本形式用c 和d 表示n 肿p 的截面曲率极小值和极大值若 q ( 刀，p ，c ，d ，日) o r s q 2 ( 疗，p ，c ，d ，日) ，则s q ( 仍c ，d ，日) 其中 叫罔：生n2hj丽_石攀)_n2h 2 ， ，i(，j，。?，。，)：=!：n：j2ihl!：1211!；i；：；n；12ih；攀2 ， f = n e - ( p - 1 ) ( n - i ) 2 ( d - c ) ， e = 1 + 寺s g n ( p 1 ) ， 在上述工作的基础上，本文第2 章研究了拼挤黎曼流形中具有平行第二基本 形式的超曲面，得到了其第二基本形式模长平方s 所满足的两个不等式，并给出 了s 的估计： 定理2 1 设m ”为等距浸入到川的完备超曲面，具有平行第二基本形式用c 和d 表示n 的截面曲率极小值和极大值则m 的第二基本形式模长平方s 满足 s 2 + 丽n i l ( 而n - 2 ) ( s 一胴2 山加+ 3 槲2 ) s + n 2 h 2 ( d + 2 h 2 眺 由此得到以下推论： 推论2 2 令 舷c ，日) = 而n h ( n - 2 ) 2 一刀( 酣槲2 ) ， 浙江大学硕+ 学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 j ( n ，c ，d ，日) = 刀2 h 2 ( d c ) ， q l ( g 正日) = - f - 1 、 f 石2 - 4 r ( i + h ) j + 脚2 ， q 2 ( ”，c ，d ，) = - f + 1 4 f 面2 - r 4 ( i + h ) j + 棚2 若q , c n ，c ，d ，日) 0 且s q 2 ( ”，c ，d ，h ) ，则有s q 1 ( 刀，c ，d ，日) 定理2 3 设m ”为等距浸入到n 肘1 的完备超曲面，具有平行第二基本形式用c 和d 表示的截面曲率极小值和极大值则m 的第二基本形式模长平方s 满足 s 2 一丽n i l ( 丽n - 2 ) ( s 一槲2 ) ；一( 耐+ 3 槲2 ) s + n 2 h 2 ( c + 2 h 2 ) 。 由此得到以下推论： 推论2 4 令 。 g ( 吃d ，h ) = 耐+ n h 1 n 2 h f + ( 矿n - 2 一) 2 ， j ( n ，c ，d ，日) = n 2 h 2 ( d c ) ， 球以耻二! 二罢：盖+ 矾 l + 日 则s r ( n ，c ，d ，日) 在第3 章，对于常曲率空间中具有平行第二基本形式的子流行，我们证明了： 定理3 1 设m ”一f 肿p ( c x c 0 ) 是具有平行第二基本形式的完备子流形，则 ss 当等号成立时， ”c + n _ 2 p ( 1 + h ) h + 4 2 ( 1 + h ) p m = s 毋x s 如x - s 靠( q j = 功， i = l 8 浙江大学硕士学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 其中s 吼为q 1 维全脐点的常曲率子流形 第4 章，在k s h i o h a m a 和h w x u 工作的基础上，研究了高维凸超曲面中 子流形的曲率与拓扑，得剑了关于s 的积分不等式： 定理4 1 设“，为r 肿p 1 中主曲率满足0 万吒lu = 1 ，2 ，刀+ p ) 的超曲 面，m ”为n 肘p 中刀维紧致子流形若日，s 分别为中子流形m 的平均曲率和 第二基本形式模长平方，则 ( 1 ) l 【s n h 2 + 刀仰一1 ) ( 1 一回# 搠e 善n - i 孱， 其中g 为仅与刀有关的正常数，属为m 的第f 个b e t t i 数 ( 2 ) 当l s - i - 1 2 + ”( 玎一l 一万) 】j 脚 e 时，m 同胚于球面( 1 ) 一般地，我们有 定理4 2 设肿，为r ”+ ，+ 1 中主曲率满足o 万吒 _ 4 - a 似= 1 ，2 ，刀+ p ) 的超 曲面，m ”为n 肿p 中刀维紧致子流形若日，s 分别为中子流形m 的平均曲率 和第二基本形式模长平方，则 ( 1 ) 跏s n h 2 + n o d ( a 一万) 】- 搠e 乏n - i 属， 疗 其中c 为仅与，有关的正常数，属为m 的第f 个b e t t i 数 ( 2 ) 当l 【s n h 2 + ”伽- 1 x a 一万) 】j 锄 e 时，m 同胚于球面s ”( 1 ) 本文是在导师许洪伟教授的精心指导下完成的，借此机会我对导师两年来在 专业上的悉心指导和热情鼓励，以及生活上无微不至的关怀，表示衷心的感谢 同时，导师严谨的治学态度和广博的学术修养对我产生了深刻的影响，必将使我 受益终身 在此，由衷感谢赵恩涛博士给予的热情帮助 9 浙江大学硕士学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 第1 章预备知识 1 1基本概念和公式 设肘”是刀+ p 维黎曼流形肿，中刀维完备子流形，设定各类指标取值范围如 下： 1 a ，b ，c ，r t + p ，l f ，_ ，k ， 刀+ 1 口，厉7 刀+ p 选取“p 上的局部坐标系 ) ，使其限制在m 时， e j j c ) j - - j = m 设 纷) 和 绒b 分别是 ) 的对偶标架及肘p 的联络1 形式限制到m 时有 ，= 鳐哆瑶= 蟛 ( 1 1 1 ) 办= 毳蟛qp 哆。乞，孝= 去荟蟛乞， ( 1 1 2 ) = + ( 瑶蟛一埒坛) ， ( 1 1 3 ) r 删= k 龋m + 嘶i k ，a | i l p ，t | l r a , a ) ， j 其中，厅，孝，和巧肋分别表示第二基本形式，平均曲率向量，法向曲率 张量，m 的曲率张量和的曲率张量定义 s = h 2 , - - 1 1 孝1 1 ，h a = ( 够) 用坛和定义鳐的共变导数，分别有 因此 q = 蟛+ 骘魄+ 蟮+ 够， k ss 8 ，q = c l 琢+ 嗨+ 虼+ 蠓+ 磁， lsisb 以及r i c c i 公式 崃一蚝= k 。晦， 一= 鳄r 棚+ 蟮+ 够村 ss 9 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 1 0 浙江大学硕士学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 将k 珊考虑成r ( m ) o r ( m ) 圆r ( m ) q r ( m ) 形式的张量，可以定义其共变导 数 k 归叻= 扼壮+ 心班畋+ k 缸。+ k 秘+ isssp 子流形m ”具有平行第二基本形式当且仅当：磁三o ，v i ，后，口第二基本形式办的 l a p l a c i a n 喵定义为瞄= 。 对一个矩阵彳= ( ) 。，定义( 彳) = t r ( a 么) = u 需若厶。，4 彩4 + p 是，阶对 称方阵，令= 驴( 以以) ，= = n ( a d ，s = 。& 浙江大学硕十学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 1 2几个引理 设m ”是具有平行第二基本形式的子流形选取。i l 孝，f 线州= n h ，f 呜= 0 ， ，+ 2 刀+ p 因此，m ”的平均曲率为常数，因为o = 。碟1 q = n d h 经过 直接计算，得 蟛= 一( k b 茸+ e 口肚) + 鳐+ 坛如独嘭， ( 1 2 1 ) k k ，m，mk ，p 将( 1 1 3 ) ，( 1 i 4 ) 代入( 1 2 1 ) ，得到 这样， 令 + 礁k 独+ 鳐 ，mk ，卢 + ( 碥碥磁+ 2 磁蟛磁一鲶磁醪一鳐磁鳐一鳐蟛坛) 珊，t ， ，i _ a s = ( 独a ) 2 + 够喵= 寺心= ( ) 2 + 鳐喵 - ，j ，露，口i , j ，a - ， ，口，口 = ( 鲦) 2 一( h t j k , , 蔚茸+ 蟛k 渺) ，。j j ，口l , j ，k ，a t + ( 鳐嘭+ 螺臂k 独) + 筋a ，钿p f ，i ，挪，口i , i ，七，口，声 v a b w a b p b w p 一 i ，j k 。| ，a ，口1 , i j ，口，芦 + 蟛蟛，鳐磁 j ， m ， ，口， ( 蟛醒一吆磁) ( 鳐蟛一嵋臂) 引理1 1 令 a = 一n ( h , ，h z 一也) 一， a 8n ，8 占= ( 鳐够+ 螺剪疋独) + 则有 j ， 量，所，口 蟛磁， i ，j ，k 。口，9 c = ( 鳐) 2 一( 蟛吃埘+ 蟛k 渺) ， f ，k , uj , l ，t ，“ d = 鳐鳐蟛磁= n h 蟛鳐蝣1 j ，j ，肺，量，口，l ，j ，m ，a 跏鳐 枷 + 、， 撇k + 姊k ，l 。 一 = 衫鳐 u | | 浙江大学硕士学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 ：1 s ：彳+ 口+ c + n ( 1 2 2 ) 2 、 当p = 1 是，即m ”为超曲面时，由于k + l ，斛。，移= 0 ，所以有 推论1 2 当m ”为超曲面时，有 a = 一s l l ， b = ( 蝣1 蝣+ 1 + 磁缩+ 1 k m 砒) ， d = n h 嘭+ 1 蝣1 蝣1 j ，j ，辨 由( 2 5 ) ，k 咖= o ，v i ，j f ，k ，口因此有 引理1 3 c = 0 令a ( x ) 和6 ( x ) 分别为的截面曲率在x 点的极小值和极大值以下主要针对 m ”是超曲面的情形来讨论首先对b 进行估计 引理1 4 当m ”为超曲面时，有b h a s 一刀2 a h 2 证选取局部正交坐标系 q ) ，使得矩阵( 嘭+ 1 ) 可以如下对角化 所以有 啪，岛= ：；， p 五l i j n 。 i j “ b = ( 蝣1 h f f + 1 k + 蠕1 瞄+ 1 如独) = ( 磊) 2 + 名五 = 吾( 元一五) 2 了1 口( 五一2 k ) 2 = n a t r h ：+ 。一口( 喊+ 。) 2 = h a s n 2 a h 2 证毕 由( 1 2 3 ) 式， 曰= ( 五) 2 k 白。+ a 五磁珐= 寺( 五一五) 2 k 厶 丢6 ( 五一五) 2 1 - t , k ( 1 2 3 ) 浙江大学硕士学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 于是得到 引理1 5 b n b s r 1 2 b h 2 接下来对d 进行估计 引理，6 。槲 蒜c s 一胴2 乒+ 3 邯一2 橱3 证 首先利用文【4 】中的一个不等式：若口i ，a 2 ，是一组实数满足 q = 0 ，口；= 口，那么有 jj i z a ：l s ( 刀一2 ) 刀( 刀一1 ) 一彪口3 佗， ( 1 2 4 ) i ， 且等号成立当且仅当至少有n - 1 个实数a j 相同 令鸬= 五一日，则有 肛= 五一，胛= 驴( 以+ 。) 一，胛= o = ( 名- h ) 2 = 智- 2 h z , z , + 槲2 = s 2 一n h 2 n m ( 1 2 4 ) 的不等式，得 l 军| 丽n - 面2 c s 一槲2 声2 渤 由推论1 2 2 ，得 d = n h 矿蝣1 蝣1 = 胴霄 因为 霄= ( “+ h ) 3 = + 3 h s 一2 n i l 3 ， 利用( 1 2 5 ) ， 陟一3 h s + 2 棚3 l 0 令f ：_ 堕磐，：s n h 2 , 代入上述不等式得 2 日刀( 刀一1 ) c - + 日，雪2 + 可n h ( n - 2 ) 一n ( c + h 2 ) s + 玎2 日2 c d c ，。 一元二次不等式给出s g ( c ，d ，h ) 或s q ( 刀，c ，以h ) 若o s q ( 刀，c ，d ，日) ， q l ( ”，c ，d ，日) 0 ，则必有s q ( 刀，c ，d ，日) 证毕 足理2 3 设m ”为等距浸入剑n ”1 的元备超曲回，具硐半仃第二基本彤式用c 和d 表示n 的截面曲率极小值和极大值则m 的第二基本形式模长平方s 满足 以下不等式 s 2 一丽n i l ( n 丽- 2 ) ( s 一槲2 山刀d + 3 柑2 ) s + n 2 h 2 ( c + 2 日2 m ( 2 2 ) 证与定理2 1 的证明类似， o 一1 2a s = a + b + c + d _ - s 2 + n b s - n 2 腑2 + 桕 3 雕以胴3 + 丽n - 2 d n f n 岱一槲2 声2 ln 、 。 i 一s 2 + 刀搬一刀2 胡2 + 棚 3 嬲一2 槲3 + 丽n - 2c s 一槲2 ，； ， 移项即可得到结论，证毕 特别的，当m ”为极小超曲面时，有s n d 推论2 4 令 门，。jm 一。jl 槲 行2 日+ ( 刀一2 ) 2 g ( 行，d ，日) = 肌气瓦 _ ， j ( h , c ，d ，日) = n 2 h 2 ( d c ) ， 蛳舢d ，：二! 二罢二盖+ 矾r ( ”，c ，日) = j 1 业+ 槲2 ， 则s r ( ，c ，d ，日) 1 7 浙江大学硕十学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 证与推论2 2 的证明类似，不等式( 2 2 ) 化为 ”蒜志煅划卜。n 2 ( 州n - 2 川) t h ，一- n ( d + h 2 ) 卜呐彳职加脚 令，：n ( 1 + h ) ( n - 2 ) ，吝：s 一梢z ，代入上述不等式，得 2 h q n ( n 1 ) c 扣一 掣+ 耐卜犯邮。 解不等式得s r ( n ，c ，d ，日) 浙江大学硕士学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 第3 章常曲率空间中具有平行第二基本 形式的子流形 本章针对常曲率空间中具有平行第二基本形式的完备连通子流形进行研究 我们称m 的法丛是平坦的，当对一切口，屈= o 此时对任意的口，肛 h 。h b = hb h 。， q u 且所有以可以同时对角化；反之若( 3 1 ) 式对任意的口，成立时，m 的法丛必为 平坦的 定理3 1 设m ”专f ”p ( c ) 0 ) 是具有平行第二基本形式的完备子流形，则 s 当等号成立时， ，圮+ n 2 p ( 1 + h ) h + 4 2 ( 1 + h ) p m = 舻x s 驰x - - s 毋( q ，= ”) ， i = l 其中s 毋为q 。维全脐点的常曲率子流形 证 由公式( 1 i 5 ) 及平行第二基本形式的条件缘- 0 ，有 = o ， 代入r i c c i 公式( 1 1 7 ) ，并令，= f 作和 缮+ 鳐r 谢= 够 s is j p , j 上式两端再乘琢作和有 琢蝶+ 吆鳄= 鲸够 把公式( 1 1 3 ) 代入上式 n c s - n 2 h 2 c + 伊( 以) 2 一护( 蟛2 仃，2 ) _ 【伊( 吃) 】2 + t r h ：h a - f 呜) ， a ，5 浙江大学硕士学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 = 丑f 厂( 研何；) 一f r ( 日。h 卢) 2 】， n 8 利用矩阵的反对称性和s c h w a r z 不等式 o 一t , ( h o n p 一也) 2 = 力c s 一”2 n 2 c _ 眇( 吼) 】2 + 胴嘲以卅 a 8a 9 a ”岱一吉【善护( 以) 2 】2 + ，胛莓叫日川， 陴i = l 善c 咿l s s ，瓜 代入( 3 2 ) 0 _ - z t r ( h 。h p - h p h 。, ) 2 o - - z 令f = n p i ( 1 万+ h 一) ，代入( 3 3 ) o _ y 郇 d r ( h a h p h a h n ) 2 而- 1 n ( 加+ 塑半舻舭 解上述不等式得 s n 2 p ( 1 4 + 日骂 n c ：n 2 p ( 14 + 圩h ，2 若军务； 2 ( 1 + h ) p 当等号成立时，有 一z t , ( h o h p 一巩饥) 2 = o 口，声 因此( 3 1 ) 式成立，肘的法丛是平坦的因此对任意的岱一曰成立 作特征向量 ( - o a , a = 0 k = ( 刀，刀+ p ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 浙江大学硕十学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 由( 3 4 ) 和( 1 1 4 ) 当f _ ，时 o = q = 蟛+ 蟛畋+ 蟮= d 彳， ( 3 5 ) 上jj o = 鳐q = 啷+ 西哝+ 蟮= ( 彳一笮) ( 3 6 ) 量，5 f l t ( 3 5 ) 知e 均为常向量，由( 3 6 ) 当v _ 时= 0 ，n i i 电m 的特征向量v 对应的分 布都是可积的( 文【1 5 】) ，m 局部的为s 毋x s 一：x - o s 靠，再根据m 的连通性可知 m = s 吼x s 如s 靠，其中s 吼为q 。维全脐点的常曲率子流形证毕 2 1 浙江大学硕士学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 第4 章高维凸超曲面中子流形的曲率与拓扑 本章在k s h i o h a m a 和h w x u ( 文【5 ，6 】) 工作的基础上，研究了高维凸超曲面 中子流形的曲率与拓扑，得到以下结果： 定理4 1 设肿，为r ”+ 川q uy 曲率满足o 万 k a l 似= l ，2 ， + p ) 的超曲 面，m ”为肿，中刀维紧致子流形若h ，s 分别为中子流形m 的平均曲率和 第二基本形式模长平方，则 (1)l r s 一棚2 + 疗( 刀一1 ) ( 1 一踏棚c o e 闰p , ， 其中e 为仅与刀有关的正常数，屈为m 的第f 个b e t t i 数 ( 2 ) 当l 【s 一槲2 + 仰- 1 x l 一6 ) 1 i d m 下的曲率张量 由( 4 1 ) 可得 歹一旃2 = s - n h 2 + n ( n - 1 ) ( h 2 一月2 ) 一 j = s n i t 2 + 刀( 疗一1 ) h ；- - e k 柳 浙江大学硕士学位论文一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 s n h 24 - 刀( 刀一1 ) 一刀( ，一1 ) 万 再由s h i o h a m a - x u 定理( 文【5 】) ，可得 l 【s n h 2 + 刀一1 ) ( 1 一万) r d m ( 4 2 ) l ( i 一旃2 ) ；删e n - 1 属， 这里巴为仅与聆有关的正常数 ( 2 ) 根据s h i o h a m a - x u 不等式( 文【6 】) ，有 ( n 厅声栅去至一f 荟n - ! 靠( 伤拶”， 这里哦+ 口：= v o l ( s 肘，) ，纪为等距浸入伊：m _ r ”p 1 沿z ( s ”p ) 方向的高度函数， e 为s ”，中的零测集，使得对任意的z s 肘，e ，纯均为m o r s e 函数c k ( f a , ) 为纪 的指标为忌的临界点个数1 主t ( 4 2 ) ，我们有 肛肌咖_ 1 ) ”回】；跏乏至，、薯q ( 棚帅 当l 【s n h 2 + 以 一1 ) ( 1 一万) 】2 d m c m t ，可知存在z s ”p e 使得 因此，有 n - i q ( 仍) 1 k = l q ( 纪) = o ，k = 1 ，2 ，刀一1 故m 上存在m o r s e 函数仍，它仅有两个临界点由r e e b 定理知，m 必同胚于球面 ( 1 ) 证毕 一般地，运用类似的方法，可以证明下述结果： 定理4 2 设”+ p 为r 肿p + 1 中主曲率满足o 万九五似= 1 ，2 ，刀+ p ) 的超 曲面，m ”为n 斛，中1 i 维紧致子流形若日，s 分别为中子流形m 的平均曲率 和第二基本形式模长平方，则 浙江大学硕十学位论文 一类子流形的几何刚性与拓扑球面定理 肛一柑2 州川) ( 埘】j 搠e 善层， 其中e 为仅与疗有关的正常数，层为m 的第f 个b e t t i 数 ( 2 ) 当l t s n h 2 + 刀( ”一1 ) ( 一万) 】_ d m e 时，m 同胚于球面s ”( 1 ) 由此即得文【5 ，6 】中的结论： 推论4 3 设m ”为刀+ p 维完备单连通的常曲率空间形式f ”p ( c ) 0 0 ) 中，i 维紧 致子流形，若h ，s 分别为m 的平均曲率和第二基本形式模长平方，则 l ( s 一棚2 乒栅g 荟n - i 属， 其中e 为仅与，l 有关的正常数，尼为m 的第f 个b e t t i 数 ( 2 ) 当l ( s - , , m 2 ) j d m g s ：r ，m 同胚于球面( 1 ) 2 4 浙江大学硕士学位论文一类子流形的几何| ) 9 0 性与拓扑球面定理 参考文献 【l 】s s c h e n ，d oc a r m o m ，k o b a y a s h is m i n i m a ls u b m a n i f o l d so fas p h e r e w i t hs e c o n df u n d m e n t a lf o r mo fc o n s t a n tl e n g t h i n ：b r o w d e rfe ，e d f u n c t i o n a l a n a l y s i sa n dr e l a t e df i e l d s n e w y o r k ：s p d n g e l l9 7 0 2 1h g a u c h m a n ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d so fas p h e r ew i t hb o u n d e ds e c o n d f u n d a m e n t a lf o r m t h n sa m e rm a t hs o c 19 8 6 ，2 9 8 ：7 7 7 7 91 【3 】s i g o l d b e r g ，c u r v a t u r ea n dh o m o l o g y l o n d o n ：a c a d e m i cp r e s s ，19 6 2 【4 】k s h i o h a m aa n dh w x u ，ag e n e r a lr i g i d i t yt h e o r e m f o rc o m p l e t e s u b m a n i f o l d s ，n a g o y am a t h j ，1 9 9 8 ，1 5 0 ：1 0 5 - 1 3 4 【5 】k s h i h a r m aa n dh w x u ，r i g i d i t ya n ds p h e r et h e o r e m sf o rs u b m a n i f o l d s i i k y u s h uj m a t h 5 4 ( 2 0 0 0 ) ，n o 1 ，10 3 10 9 6 】k s h i h a r m aa n dh w x u ，r i g i d i t ya n ds p h e r et h e o r e m sf o rs u b m a n i f o l d s k y u s h uj m a t h 4 8 ( 19 9 4 ) ，n o 2 ，2 9 1 3 0 6 【7 】a m l i ，j m l i ，a ni n t r i n s i cr i g i d i t yt h e o r e mf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d si n as p h e r e a r c hm a t h ，19 9 2 ，5 8 ：5 8 2 5 9 4 【8 】c k p e n ga n dc l t e m g ，m i n i m a lh y p e r s u r f a c e so fs p h e r ew i t hc o n s t a n t s e a r l a rc u r v a t u r e i n ：b o m b i e r ie e d s e mo fm i n i m a ls u b m a n i f o l d s p r i n c e t o n ： u n i vp r e s s ，19 8 3 【9 】j s i m o n s ，m i n i m a lv a r i e t i e si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s a n no fm a t h ，l9 6 8 ，8 8 ： 6 2 1 6 5 【l0 h w x u ，ap i n c h i n gc o n s t a n to fs i m o n s t y p ea n di s o m e t r i ci m m e r s i o n c h i n e s ea n nm a t h ，1 9 9 1 ，1 2 a ：2 6 1 2 6 9 【1 l 】h w x u ，ar i g i d i t yt h e o r e mf o rs u n m a n i f o l d sw