（基础数学专业论文）一类带拓广的bochnermartinelli核的高阶奇异积分的hadamard主值.pdf

一类带拓广的b o c h n e r - m a r t i n e m i 核的高阶奇异积分 的h a d a m a r d 主值 摘要：首先，作者定义了c ”中闭光滑可定向流形上一个带有拓广的b o c h n e r m a r t i n e i l i 核的高阶c a u c h y 型积分( ：) ，然后利用分部积分和s t o k e s 公式，给出这个奇性为2 n 阶的高阶奇异积分( ，) 的h a d a m a r d 主值；其次通过球面坐标变换等方法证明了一些； 理，由此获得( z ) 的p l e m e l j 公式；在3 中作者根据( z ) 的p l e m e l j 公式求得高阶奇 异积分( r ) 的有限部分的合成公式；最后通过这个高阶奇异积分妒( ，) 的合成公式还讨论 了相应的一类高阶奇异积分方程和偏微分积分方程。 关键词：拓广的b o c h n e r m a r t i n e l l i 核：高阶奇异积分；h a d a m a r d 主值；p l e m e l j 公 式；台成公式 t h eh a d a m a r dp r i n c i p a lv a l u eo fo n eh i g h e ro r d e rs i n g u l a r i n t e g r a lw i t he x t e n s i o n a lb o c h n e r m a r t i n e l lik e r n e l a b s t r a c t ：f ir s t y ，t h ea u t h o r sd e f i n eo n eh g h e ro r d e ri n t e g r a lo fc a u c h y t y p e w i t he x t e n s i o n a b o c h n e r m a r t i n e l l i k e r n e l 妒( z ) o rs m o o t h c l o s e do r i e n t a b l e m a n if o l d si nc “t h e nu s i n gin t e g r a t i o nb yp a r t sa n ds t o k e sf o r m u l a ，t h ea u t h o r s g iv et h ed e f j n i t i o no fh a d a m a r dp r i n c i p a lv a u eo ft h eh i g h e ro r d e rs i n g u l a r i n t e g r a l ( f ) w h o s es i n g u l a r i t i e sa r eo fo r d e r s2 n f o l l o w i n g l y ，t h ea u t h o r s p r o v es o m el e n m a sb ym e a n so ft h es p h e r i c a c o o r d i n a r e se t c a n do b t a i nt h e p le m e jf o r m u l ao f ( ：) ：t h e no b t a i nt h ec o m p o s il ef o r m u l ao ft h ef j n it ep a r t ort h eh ig h e l lo r d e rsjn g u i a rin t e g r a l 4 ( 1 ) u s jn gt h ep 】e m e l jf o r m u ao f 庐( ：) a lj a sl ，t h ea t l t h o r sa l s od i s c u s so r l eh i g h e ro r d e is i n g u f a ri n t e g r a e q u a t i o n s a n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a l i n t e g r a le q u a t i o n sb yu s i n g h ec o m p o s i t ef o r m u l a k e y w o r d s ：e x t e n s i o n a l b o c h n e r m a r t i n e l l ik e r n e ：hj g h e ro r d e r s i n g u l a r in l ：e g r a l ：h a d a m a r dp ti i l c i p a lv a l u e ：p ie m e j f o r m u l a ：c o m p o s i t ef o r m u l a 独创憔声明 零久声鬻掰鏊交赘拳挺论文楚本天褒薅耀摇导下避行豹疆究工佟及致霉懿磷究霞 粜。据我所知，除了文中将荆加以标注和数谢的地方孙，论文中不包含其他入矗缀发表 或撰写过的研究成果，也不能禽为获得南昌太学或其他教商机 匈的学位或证书而使 _ _ _ _ _ h w _ 。_ _ _ _ 。一 霆避鹣爨瓣。与我一弱王臻懿阚恚瓣本礤袋获鼗魏任鼹鬟簸辫已在论文枣 睾了骤确懿说 明并表示谢意。 学位论文谗者签名：翔小臻繁字霾赣： 2 0 0 6 年毒嚣3 鑫 学位论文版权使用授权书 本学位谂文雅者完全了解毒鑫文学有关髹辫、使攥学燕论文嚣蠖定，露投傈 留并向国家有关部门或机构邀交论文的复印件和磁盘，允许论文被套阅和借阅。本人授 枚南悬大学可以将学位论文的全部或部分内容编入眷关数据库进行梭索，可以聚用影 蠲、缩窝或强攒等复裁手段缳存、汇编学霞论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学使论文佟者签名： 翱一、旅 导师獭： 谬送 签字f 1 期：2 0 0 6 年4 月3 闷 搭字日期：2 0 0 6 年4 月3 日 学傲论文作者毕娥震去向： 工佟单位：丸滋举院理学院数学与诗算辩学系曦话：0 7 9 1 一9 1 9 0 8 6 3 邋汛地址：南昌大学数学系 1 3 8 7 0 6 1 0 6 4 3 邮编：3 3 0 0 4 7 j创新性 本论文有下列创新点： 1 首次定义了一个带有拓广的b o c h n e r - m a r t i n e l l i 核的高阶c a u c h y 型 积分( z ) ，并获得了高阶奇异积分矿( f ) 的h a d a m a r d 主值和( z ) 的p l e m e l j 公式。 2 在h a d a m a r d 主值意义下，利用( z ) 的p l e m e l j 公式建立了一个高 阶奇异积分的有限部分的合成公式。 3 在h a d a m a r d 主值意义下，求解了c ”中闭光滑流形上一类高阶线性 微一积分方程。 南昌大学硕：卜学位论文 1 引言及一些记号与定义 引言：众所周知，多复变数中p e m e j 公式有着广泛的应用：函数的全纯扩张， 奇异积分方程，边界值问题等等。因此，带有拓广的b o c h n e r m a r t f n e l l i 核的高 阶奇异积分的研究也就有着重要的意义。1 9 5 2 年，h a d a m a r d 1 1 最早在实轴上通过 从发散积分中分离出有限部分来定义高阶奇异积分的主值，并由此解决了双曲型 偏微分方程的c a u c h y 问题；1 9 5 7 年，f o x l 2 1 将h a d a m a r d 的想法推广到复平面上去， 把发散积分的有限部分看作奇异积分的c a u c h y 主值的一利，推广，并称它为这个发 散积分的h a d a m a r d 主值，但是，所有这些高阶奇异积分的主值计算非常复杂，很 难将他们的结果推广到多复变情形。1 9 8 2 年，龚舁。引、史济怀最先将h a d a m a r d 的 概念推广到多复变数空间，他们研究了c ”中超球面上的一类特殊的高阶奇异积分 的h a d a m a r d 主值，并得到了相应的p 1 e m e i j 公式。1 9 9 0 年王小芹“1 用更简单的方 法研究了c ”中复超球面卜的高阶奇异积分的一般情形和带b o c h n e r m a r t i l i e l l j 核的高阶奇异积分，她得到了一些重要的结果，但计算仍旧复杂。后来，2 0 0 1 年， 钱涛，钟同德”3 利用分部积分和s t o k e s 公式讨论了c ”中闭光滑可定向流形上高阶 奇异积分的h a d a m a r d 主值，不仅获得了带b o c h n e r m a r t i n e l l i 核的高阶奇异积 分的p 】e m e i j 公式和合成公式，还讨论了相应的微积分方程的解，并且大大简化 了计算。2 0 0 2 年，钱涛，钟同德“1 又利用e u e f 径向微分算子： d = ：兰+ + 己研究复n 维超球面上两类高阶奇异积分的h a d a m a r d 主值， ig z ” 得到置换公式与合成公式，并讨论了它们的拓广以及在偏微分奇异积分方程上的一 应用。2 0 0 4 年，林良裕，邱春晖“! 将钱涛和钟同德的结果大大推进了一步，并且 还诩论了相应的c a u c h y 边界值问题。基于对文 5 和文 7 的考虑，作者试着将他 们的结果一并推广到c ”中闭光滑可定向流形上带拓广的b o c h n e r m a r tn e l l i 核 的高阶奇异积分的情形。 设d 是c “中的有界域，其边界c 3 d 是c t l 类闭逐段光滑可定向流彤。d 。分别 表示域d 的内部和外部。 记妒( f ) l - l ( “，c g d ) 表示妒( f ) 在a d 上满足指数为a 的h s l d e r 条件； 一亘旦查堂塑主堂焦塑苎 汜p ( 曲c “。( a d ) 表示妒( f ) 在o d 上是e 冲类，且其所有的一阶至k 阶偏导数 在8 d 上都满足指数为a 的h s i d e r 条件。 汜妒( 鼻卵) h ( a ，f l ；a d ) 表示妒( f ，7 ) 对f 和叩在8 d 上分别满足指数为口和的 汜妒( f ，r ) h ( a ，8 d ) ( a d ) 表示妒( 乒叩) 对( f ，1 7 ) 在拓扑积c ? d o d 上均满足指数 为a 的h 6 1 d e r 条件。 定义1 1 若函数妒( f ) 在a d 上连续，则 妒( z ) 2 l 。p ( f 弦( f ：z ) ，z c ”s d ( 1 ) 称为拓广的b o c h n e r m a r t i n e 型积分，其中 他一2 矧睁”1 贬罐蔫竺 称为拓广的b o c h n e r m a r l i n e l i 核，这里m = 2 ，3 ，n ( n + ) 害e 中d 互 l = d 石a _ a d 每一l i a d 瓦l 】a - a 玎孑， ， d f = d 自a a d g 。 ， 1 i ，7 ，：= ( z i ：2 ，z j ) 是c ”中的点。 特别，当m = 2 时，k ( f ，z ) 即为通常的b o c h n e r m a r t i n e l i 核。 值得一提的是，当f o d 7 6 1t 8 1 ) 时，拓广的b o c h n e r - m a r t i n e l l i 核k ( f ) 是一个奇异的积分核，它的奇性为2 n i 阶。 定义1 2 当点，a d 时，妒( f ) 是定义在a d 上的函数，则积分 妒( v ) = 上，妒( f ) 尼( f ，节) ( 2 ) 定义l - 3 以q ? ( ，7 ) 表示以q 为中心，s 为半径的完全圆型域，即 衅( ，7 ) 2 f c ”： “一榭。 若极限埋驷l 咄，。蟛) 妒( f 弦( 6 叩) ( 3 ) 南昌大学硕士学位论文 存在，则称这极限为奇异积分( 2 ) 的c a u c h y 主值，通常以v pl 妒( f ) 女( f ，_ ) 表之。 记b 。o ) = 括：l f f l s ，盯。( f ，f ) = a d n q ? 1 ( ，) ，。( f ，f ) = o d o v ( ，f ) l 庀r 表示d + 或d 一内以t 为顶点、母线不与边界a d 相切的一角锥形区域内部 指向t 的直线方向。 南昌大学硕士学位论文 2 一些引理 设妒( f ) c “。( a d ) ，我们定义一个带拓广的b o c h n e r m a r c i n e l i 核的高阶 c a u c h y 型积分( ：) 为 l 妒( f ) k ( f ，z ) 阶。 了m n 【nk o i ，2 一、m 一2 k 一2 ；i ”一( 弃一j 。) 一_ = l ( 4 ) 可以看出，当点t a d 时，( ，) 是a d 上的一个高阶奇异积分，它的奇性为2 n 其中k ( 6 z ) 为拓广的b o c h n e r m a r t i n e l l i 核，m = 2 ，3 ，n ( n + ) 当m = 2 时，我们定义的这个带拓广的b o c h n e r m a r tjn e l j 核的高阶c a u c h y 型 积分庐( = ) 即为文 7 j 中定义的带8 0 c h n e r m a r li n e 核的高阶c a u c h y 型积分，所 以，本文所要证明的引理与定理只须对m = 3 ，4 ：，n ( n 0 ，我们有 基。，妒( f ) 了t ；1 h i 荟nh 一，。喜h r t r 2 ( 氕一- 一m 丁- 2 喜h 一，t i 。( 氕一t ) k ( f ，) ( - 0 ”c 。鼻。、妒( f 矽。( 兀l “一l ”2 ( 一1 ) “。( 弓- 7 m k 一，。i ”r ”d 五】人d f 厶c 7 e = i女，= l一 一 ( 5 ) 其托2 涝9 。 证明：引理的证明主要是微分与外微分的计算，由于计算复杂，步骤偏多 这早我们从略。 现在为书写简洁，我们暂且记 g = 卉k 一i “芝( 一1 ) ( i ，) 【窆k 一，。r r l ”d 氧，。a d g 。 t i j = i = i 商吕大学硕士学位论文 由分部积分，我们确 5 式2 ( 一1 ) ”c nh f ) 妒( f ) d r 。( 一1 ) ”c ”啦仉“d 姚) g 卜h f ) g d 妒( f ) 2 ( 一1 ) ”c 。皂。，d 【妒g ) g 】+ ( 一i ) ”1c n 基。仉，) g 矗妒( f ) 一 由s t o k e s 公式，我们又有 ( 5 ) 式= ( _ 1 c 。b 。) 贴) g + ( _ 1 ) ”。c ”基。，j g d q j ( f ) 因为g 的奇性为2 n 一1 阶，而积分区域a 。( ，f ) 是2 n 一2 维，所以上式的第一 部分是发散的，而第二部分在c a u c h y 主值意义下是收敛的。 根据h a d a m a r d 的思想，当点t o d 时，我们可以把第二部分的积分值看作是 高阶奇异积分矿( f ) 的有限部分，并且用f p ( f ) 表示。因此，我们有 定义2 1设妒f f ) c “。f a d l ，t o d ，定义f p ( f ) 等于 即j 。妒( f ) 等 砉h r t n 砉h r r ! ( 氕一5 ) - 下m - 2 ，喜k r t j 。( 氕_ _ ) k ( ，) ， 叫c ”基。毗) 人珥k ( 一1 ) “。( 弓一0 ) k t k 盯”钙，j a d q 【。 引理2 2 8 设d 是c ”中具有逐段光滑边界o d 的有界域，若函数厂( f ) 在a d 上连续，且厂( f ) h ( a ，a d ) ，0 口 1 ，t i t 2 ，则有如下的p 1 e m e l j 公式 ? ”一i f ( 叩) 2v p l ，( f 妒( f ，7 ) + 二_ i , i l n 厂( 7 7 ) 叩。d c ( v ) 2v pl 厂( f ) t ( f ，叩) 一毛f ( 叩) ， v o d 成立这里f ? ( ，7 ) 和c ( ，7 ) 分别表示f ( z ) 当z 分别从d + = d 和d 一= c ”- 5 j ! a t - r l o d 时的极限值。 南昌大学硕：卜学位论文 引理2 3 设t c ”，有 k 们。一( 磊一) 珥卜“r 2 k = lh 证明：因为 m 乳f ) - fe c ”：k 一“r = s ) = l 由均值不等式得 舭k = l 叫“s ( 争掣 1 ) 。d 互a d # t ，】= 0 ( 6 ) 所以 ( 6 ) 式左瓤( 争掣可k 。( 磊瑚r 协 1 ( 一2 )” ( 去) 丁_ b 。一( 氕一) ( 1 ， 利用s t o k e s 公式可以得到上式等于零。证完。 引理2 4 对任意向量x = ( x ，：，- ，b ) r ”，h = ( | x 斤) j ，存在与茁无 ，：1 关的正常数c 。 + 。- 使得k | “h e 。，z i x ，7 ，其中m = 2 ，3 ，w - jl 、 ( n to o ) 证明：首先设i x r = k r + 卜：i “+ + h r f l 因为 盯= 卅+ 谢+ _ l i x n l 2 又因为 k r k ：r - i x o r 卜。+ 1 x 2 r + + 1 h 1 ” 其中i + 2 + + 。= 州 所以 南昌大学硕士学位论文 i x l = ( z ，l2 + k ：1 2 + + f x 。1 2 ) i = l x i r + j x ：r + + l r + ( 月2 一h + 1 ) ( 川+ 蚓+ = ( h 了一n + 1 ) s 4 d ， 所以c 。，可以取为2 一n + 1 ) 。 + 川“h “忆r + + ) 另一方面，h = ( k f2 + i x ：f + + k h 了 k r 十i x ：r + + l r 所以存在与无关的正常数c 引理2 4 证完。 使得川h c 。川”成立。 ，= 1仁i 从引理2 t 我们可以看出，。i _ l 。_ 1 x r l x ，h ，即完全尉型域e = - i n 2 缸c ”：川c f ) 的边界介于超球s = x c ”：h2 ( c 。) 吾s2 与超球 忙l s j = x c ”：h2 s 2 ) 的边界之间。 竺 由于c 。，= ，z2 h + 1 ，其中n 2 ( 2 一n + 1 ) ”n 所以有 一 b 。0 ) q y ”o ) b 品( ，) 引理2 5设d 是c ”中具有逐段光滑边界o d 的有界域，t o d f ，= ( c o s1 + i c o s a 2 ：，c o s2 + i c o s 盘2 ，) 是r 的单位复方向余弦 ：= 干2 f n d ：，那么确 l ! m l i r a = 。( 瓦一瓦) n k = lk r 主l f ，r 手，一g ) d g a d gi + 。 l k ( 7 ) 墼型塑塑二 汪明：设= | d + 并且足够靠近t ，通过酉线性变换，我们可以把l a d 变为卢o ， 。变为f ，= ( 1 ，o ，。) ，而其它的记号可以不改变。于是z ：( 一f z ，。，o ) ，则 ( 7 ) 式左边变为 1 缈托酬一2 ”叩2 侉州2 仃， 嘎静+ 衡蜊引 i 鲫k 鼬“2 r 噻壕m m 1 ：一l 蜘k 磊( 互十2j篱 蚵如 慨+ 2 黔r 协2 n 融+ i ； l + e2 n n 主萼蚵如 ”2 蚓 r f 芝鲥+ 计j 1 3 2 脚k 黔”2 t q ，+ e 2 r t 酣+ 恤：n d c a d f 14 一畸k 黔。n k 幽= 2 ”恬似7 辫妣 设钉2 * 十0 。，l s 七n ，利用球面坐标变换，有 z i2 。0 8 q ，j l2 r s i n o lc o s 0 2 。2 2 3 i “鼠8 i 1 1 0 2c o s o s ，y 2 = ，s 嘲s i n 岛s i n 岛c 。s 0 4 z 女37 。3 i “矽i 8 i n 7 2 - - s i t l 岛z - ，c o s 臼7 2 一i ，y i = ，s i i l o is i n 8 2 s i n 吼 一jc 。s 吼 。”27 8 i 。q8 i n 0 2 , s i + n 吼- 2 c o s 0 2 。一r ，只，= ，s i n qs i l l 皂s i n 最。一，s i n 岛。一 亟研 。目 一乃一i 一“一卜 i m r 虹 舯 卜 出师 盟 。m f o f 。兀 ) 一 ，一下 + 一占 白一十 虱b 南禺尤学碗二b 学位论文 这里0 r , f f ，0 o s 丌，= 1 , 2 ，- 一，2 n 一2 ，0 0 2 肛l 2 e r 。 并且有 n ( ，。* ，z - t ) d 手a d g = ( 一1 ) 2 ( 2 0 ”户1s i n 2 ”2 o is i n “一0 2 s i n0 2 删q - d 0 2 ， 注意到 is i n7 口c o s & o = 0，l = 0 ，1 2 ，2 月。 山 。 囡为 引= 川，j = j 2 ，n 所以 y 土【= 盎f 由_ 卜本文肌婪i e 明的引理与定瑙! 只须对i l l = 3 ，4 ，n ( n + 。j 时成立即口】。而在 m 3 时，上式中的指数均为非负。 所以 l l 。i z ”一l 蜘f 专簪小一叼粥 - r f r s i n2 ”一2 0 2 。- , ( c 。s 0 2 。一。一i s i n 0 ：。一，c 。s 0 2 k ) d o ：。一， - s i n 2j - 2 k - i 岛。鸩。r s i n 0 2 。d 岛。f 7 纸一 = 0 又因为 l 弃+ s2 l = l f ，+ s2 l 所以 = b + 占2 r 在m 3 时，上式中的指数也均为非负。 所以 9 氕 。n m m 。庳 “ 。兀m m 篱 南昌大学硕 一学位论义 z 叫蜘f 挚_ 2 “删。 f f 7s i n 2 n - 2 k0 ：。一，( c 。s 0 2 。一。t is i n0 2 。一c 。s 臼，。) d o ：。一) s i n2 n - 2 k - i d 0 2 。f s i n 0 2 。：d 8 2 。- j ”鸩。 = 0 至于i ：，1 。的计算，我们分两种情况 a ) 当k i 时，t2 = i4 = o 。 b 1 当k = lh j ， 首先，因为引理z 4 可得 。 ，”+ 占2 ( ，+ e2 ) ( 2 一1 ) ( ，- + 占2 ”7 ) 所以 ! !。鲨二型 ( ，+ s2 ) m 7 一( r + s2 ”7 ) ”一( ，+ s2 ) m 7 又因为 所以 扣矿一后裳 f s i n z - 2 o t d o 2 丌” f ( n ) f s i n 2 , , 30 2 d 0 2 i n0 2 d 0 2 ，2 f 4d 0 2 h iz l 训蚍删n “i 吖【烈”岷i r r 篙争触 z ”叫研f 等警f s i n 2 “懈p “蛳 fs 鸲0 ，d o ：，：f ”鸩。 ( 2 - 1 r 器1 肼斋1 o 南昌大学顶十学位论文 令r = s2 r ，则 上蚓2 7 1 卜鬻r 。和1 l 门一! “i + 令j = t a n2 口，则 14 1 2 f l i m兀蚓”2 p 掣l ! , p f 警扣! 2 删 一l n 丝坐 、 f n 1 11 令，= 82 t ，则 l 蜘f 爷 啡”删”，器，r ”和i l 甩一l l ! “ i + f l 令t = t a n2 臼，则 士艄z 叫”糕f 面( t a l l0 f 12 m 2 烈, * 3 , s 。c 口 ， (一l 14 6 ， 一” ：秽一1 n 兰盟。! 、 。 ( ”一1 ) 12 z n 一2 2 + 4 + 0 0 n ”篱 由此，( 7 ) 左边+ 1 i ： + 吲- + i i 。| 十。证完。 誊蛾一 d ； 出 | | | 一 ， 22 一，z 印一回 i筹丽 塑 上乞 。霄 磊 刎一曲 ” 一一 一一 拭 叫 针 f + h f 。m 【 一 s十 南昌大学硕士学位论文 引理2 6 前提条件同引理2 5 ，那么有 l i r a l 。i r a 。) 舢1 r 血k = l t n 一 。( 8 ) 主b 誓2 ( 弓一z ) d ( a d ( 1 c 彻 其中 证明：同引理2 5 一样，通过酉线性变换，我们可以把( 8 ) 式左边变为 恸“毛) 密i “i “怕i i 一2 【磐i + ”舶i ”一 纠”2 印”纠i ”2 幅彤孙出f il i r a 羽，船i ”2 融2 r 瓯k = 2 h ”甜i r “ 噻蒂一薹斧+ 辫一鬻l = l 鼻+ b + 只+ 只j 只= l i r a ，。舭i 。2 ；- i + c2 1 ”! 蕊i + i gm + c 2 1 厂一芝季刍d 触 “o “2“2 r 2 i 最2 一l ! m 朋，n k = 2 k i ”2 h + r “- 2 i 。窆j “r 十旧+ s2 i 1 - n - 怠川5 z ：一k 了d 弘出 l i m i ，n ”2 ”吖 扎”+厂一警第d 弘出+i f , + c2 1 。“ 旧+ s 1 只一l i m 1 。，n 鲥”26 i + e 2 i ”2 扎i ”+ ”s 2 何“ 譬害j 弘以 f 叶o k = 2k = 2 f f 。+ 占“| 利用球面坐标变换后，我们有 ：”一l 助f 等等昏小护“州q r f s i l i2 ”- 2 k ( c o s 0 2 。一is i n 0 2 。c 删，。) d o ：。 l rs i n 0 2 。d 0 2 ，：f 。 2 b d曰m o s = 南昌大学顺士学位论文 只i 茎 ：”l ! m 弓挚小。州n - i 鸲 - 1 7 f s i n2 ”一2 0 2 k - , ( c 。s 0 2 。一，i s i n 0 2 1 _ ic o s 目：。) d o ：。一 s i l l2 n + 2 k - i 岛。d 0 2 。fs i n d o ：。f 4d = 0 致于b ，只的计算，同样分两种情况 a ) 当k 1h + j ，b = 只= o 。 b ) 当k = l 时， 蚓 ：”州鲫f 等掣f s i n 2 - 2 0 j d o , f s i n 2 - 3 0 2 d 岛 fs i n 0 ：，：d o ：。f 。蛾一l 卵1 ) 焉1 ) tl 鲫i l lf 、。 r 盯一1 # _ n 1 与f ，+ s2 1 ”+ 2 ( 2 - 1 广1 篙- 丽1( n l i12 ，7 n + 2 只l 刚等爷与p ”2 伽 兰f 2 ”7 一1 1 ”+ = ( 2 一1 ) ”+ + 2 ( 2 e r l ) f ) - 1 蜘f 黟 燮! ( n 一1 ) 1 2 m n 2 m + 4 所以( 8 ) 左边1 只i + 限1 + | 只i + 只i + 。证完。 3 f 4 鸩。 南昌火学i ! l ? i ：k - 学位论文 引理2 7 设d 是c ”中具有逐段光滑边界0 1 ) 的有界域，t a d f ，= ( o o s q i + i c o s a2 ) ，c o s2 ，1 + i c o s a ! 。) 是r 的单位复方向余弦 ：= 干s2 f n d ，也有 l 。i + m 。l ：i + m ，? ，、也c ，( 一乏) r k = 1 li “一z e l 一2 。 客i “一：t f “ 一 l k n ( 9 ) l 乃一：， “( i 一5 j ) d 亍a d fi + 。 l 卿蜘k 峨( 氕吲舭_ i “ 磐阿。， - l f ，一：j ”( 手，) d a 内ic 佃 证明：先汪( 9 ) 式 因为f q ，。( ，) b 。( ，) 所以( 9 ) 式左边在z = t 处连续，同样地，我们可以通过酉线性变换，把t a d 变为t 2 0 ，f ，变为r ，= ( 1 ，0 。，o ) ，而其它的记号可以不改变。 所以 ( g ) 式左边2 l ! m 。k 氕冉k r 2 f 喜k i 厂7 喜h l f ，d a 如l 又因为 q o ) 。( f ) 所以 ( 9 ) 式左边引l ! m 。叭刚。，磊冉。【喜”r 7 喜川弓d 弘出i 由引理2 5 ，我们得( 9 ) 式成立。 同样地， ( 1 。) 式左边到l ! l n 。、删，瓦冉m ”2 噻l 缸i ”r “喜川弓d 孙鸯i 由引理2 6 ，我们得( 1 0 ) 式成立。 南昌大学础：卜学位论文 3p l e m e l j 公式 定理l ( p l e m e l j 公式) 设妒( f ) c “。( o d ) ，0 a l ，t 8 d ，z 分别从 d + 和d 一趋于f ，则有内部和外部极限值 庐( ，) 刚( f ) + 等喜妾+ 争挚c 3 t k f l ；- ( ，) 州旷刚一兰i 争k = l 塑o g k + 喜象刷 ( 1 2 ) 其中。) ：l 。i ? m l = i + m ，t ( 一l r “? c c ”，( 爵一j ) 兀k = ll f 一z l 一2 ( 1 3 ) 【k 一卸n ( 一d d 手a d g 【，l 证明：首先，我们汪明库( 0 的存在性 因为 f 巾引( 五一毛) n k = lk 一毛r2 兰k = lh 一气n ”喜( 一1 ) d 孙d 叱、础邶一+ b 。 ( 氕一- l ) 2 n k 一卸r 2 皇k 一屯门一”主( 一1 ) 川d 弘d 吼， 第一个因子利用s t o k e s 公式，经过计算，最后得到( ，) 等于 ，等。l 。i m l i m ”(r o f 一 uz - + r 。 羔l f 厂：小2 ( 弓一j 弘如 毛) 丌h i = i z 。r k 一：。什” t 2 - - m c ”l ! m l i m 氕) 舭训“ 鼽叫r 一，阜 窆h z ”2 ( f ，一手，) 母出 ( _ 1 ) “- i c 1 蜘蜘b 。( 氕吲酏叫“【扎k = l 刊1 ” ( 一1 ) d 手a d f j 2 i 南昌大学硕士学位论文 = b l + b ! 要证明群( f ) 存在，我们只须证明b ，b 。分别存在即可 由于 一( 一n - ic l i r a l i r a + k 们，( 五b一= e 一0 ：叶r + ( 一1 ) 川d 手a d q i ，】 毛) 兀h - - z k r k 一阿” = 】 k = l ：( _ 1 ) - i c nl 卿b 们爵瑚舢_ i ”1 酗n 1 1 一h 善( _ 1 厂叼弘 由引理2 3 知b ：= 0 由引理2 4 知，口。( ，) 衅( 机 又因为b ，2 如m 哪，+ 根据引理2 5 ；f m 3 i 2 6 以及引理2 7 ，我们可以得到l b j 【 + c 。 由止e ，证至o l + q ) i + 0 0 ，1 k ” 同样地，我们可以证明所( f ) 等于 一等c n l 蜘脚b 们弛) 舢咱r 血k = l 一一i ”r 7 土 主1 5 j - - z ( 手，一；孙出 t m - 2c ”l i m l i m m w ( 爵 m 一”、+ 。 圭l f ，一z ，i ”2 ( 弓一| ) c ，孙如 一1 ”c ，l ! ml i r ab 。 ( 一i ) 川d 手a d g ，】 j = l 且| 一p ) l 十，l 茎k ” 以r 【窆k 一：。n 一- “1 ) 4 - 瓦) f 1 1 f k - - z k ”2 主i 氕、i y r 女= i = l 堕曼查兰堡：! = 堂些堕苎： 一 现在我们证明( 1 1 ) 式 设z d + 趋向于f ，由分部积分公式，我们有 ( 一1 ) ”ie l 。却( f 肌卉k1 r 妒( z ) = 。：1 - ( 一1 ) “。( 弓一弓) 【k 一缸r 1 7 d 薪，l a d f e 。 k ，= l = l ：y “咄喜老蚶喜詈哪黔n 1 r 一( 一1 ) “。( 弓一弓) h - - z k r r 蝠a d g t 。l ，= i = l 2 l ，喜考c 。冉i 靠一硝i “善( _ 1 ) 川( 弓一一) 喜i “一i 丁”d 瓢人以 ( - l y “c ，l 芝警窆( = i “bk j = l 嫉岳似弘，+ 弓) 兀h ：i 应用引理2 2 和式( 1 3 ) 于上述式子，根据定义2 1 ，我们得到 州旷蜘l 喜老嘲弘) + ( 一矿 c 。嫉老静广乜 一v p l 喜考似)；1 “， j 7 z 。l “7 3 i f 。：。l ”】一”d 手a d # 【。1 = l 钉 j 弧 d 一 _ 钆 一 钉 。 t 气 钆 d a d 叫 。 一 “ 。m t 一 氕 。兀m 一0 一 一已 卜 i川塑嚷 。m ，扔 c 卜 f 。n 一z 塑饥 i! 扩 却一瓴 ，m 叫 匆 卜 岍 。一一 r 哂 叫 却一瓴 氕 一 。nh旦嚷 l 吓 c u 卅文州 南昌大学坝士学位论文 争鲤 v p ， 台瓴 、 c 。l 。( 一 八垆睁l 喜毒似印) + 8 ： ，i , - ic ，i 嬉象和广乜，舭一r 2 c 鼽 n l 喜老似纠， ( 一1 ) ”1 c ”e ，l q a - t k ”2 酚 1 1 ” 奢1 ) 川 老一舞崎一膨， 争盟 v 只f 智矾 。 ) ”l c 。l ( 一1 ) 川( 弓 “门d 百a d f z 。n ”d a 嵋 一) n k f 。r 主k n d 手a d ( ) 珊加，一吾喜赛+ 喜爱删 定理l 证完。 f 。 矗 ， f 。兀 ) 一0 一 却一瓯 i日 却瓦 。 一 一i y m 烈 f + 却瓦 。 ! 矿 + o 一 所 却一瓯 。m + 南昌大学硕十学位论文 4 合成公式 在文 9 中，作者陈吕萍将拓广的b o c l m e r m a r t n e l ii 核的系数( 要) 修正为 ( 罢) 2 ”1 ，而后得到拓广的b o c h n e r m a r t i n e l l i 核的p 1 e m e l j 公式为： 引理4 1 9 设d 是c ”中具有逐段光滑边界a d 的有界域，若函数厂( f ) 在a d 上连续，且，( f ) h ( a ，a d ) ，0 口 1 ，肼2 ，则有如下的p i er e l j 公式 f ( 们2 v p l 厂( f ) t ( 刚) + 厂( _ ) ， 叩o d c ( ，) 2v p - 厶厂( f ) t ( f ，叩) 一i f ( v ) ， ，7 o d 这里f ( 口) 和c 仞) 分别表示，( z ) 当z 分别从d + = d 和d 一= c 万趋于”8 d 时的极限值。 陈吕萍相应地得到它的置换公式与合成公式( 我们这里作为引理4 2 和引理 4 3 来叙述) 。 引理4 2 ( 置换公式) 9 设d 是c “中具有逐段光滑边界a d 的有界域， 足( f ，叩) 为拓广的b o c h n e r m a r t i n e l j 核，l 8 d ，( o 叩) h ( a ，8 dx a d ) ，则 厶t ( ，叩) l ( 乒叩) ( 节) 2 t 北，呷弛( 鲫) 蛳州+ ；加) 这旱上式右端第一项内层积分取主值矿pl 2 。l i 。mj 基。) 。) ，其余积分取 主值矿- t l 2 l 。i + m 。基。 引理4 3 ( 合成公式) 9 设( f ) c ( a d ) ，并且庐可全纯开拓为d 中的函 数，则有 k 地咿l 。：北此，即) 2 去如) ( 1 4 ) 根据引理4 2 和引理4 3 以及引理2 2 ，我们可以很快也很简单地得到本文所 需耍用到的置换公式与合成公式。 引理4 4 ( c a u c h y 型积分的置换公式) 设d 是c “中具有逐段光滑边界0 d 的有 界域，k ( 7 7 ) 为拓广的b o c h n e rm a r z i n e l l i 核，t 8 1 ) ，( o 町) h ( a ，8 d a d ) ， 南昌火学颀士学位论文 则 a ( f ，口) ，l ：地，7 ) t ( 鲫) 2l t 蟛，7 ) 女( ) t ( f ，_ ) + ( 等) 2 ( 1 5 ) 这里上式右端第一项内层积分取主值矿，l 。l i 。r a + 。基。1 n 。) ，其余积分取 主觚尸l 。l 删i r a 基。 引理4 5 ( c a u c h y 型积分的合成公式) 设妒( f ) c ( 1 ( a d ) ，并且可全纯开 拓为d 中的函数，则 l 加，7 ) k 舭) 比，们2 ( 寺) 2 抛) ( 1 6 ) 定理2 ( 高阶奇异积分的合成公式) 发( f ) 在0 1 ) 的一个邻域内是全纯的， 即竺= o ，则有合成公式 k ( ，7 7 ) k ( n 了m n 【善 h 一，t n 一1 窆k = l h t t r ( 氕一丁m - 2 丢n k 一，t i 。( 氕一) k ( f ，叩) 2 c , - ) t , - i2 喜掣 证明：凶为丝= o ，所以 d f 州萨喜警一喜静瓦 2 喜挚氕 所以，由定义2 1 和引理4 5 可以得到 。l ，a i 。- i i f t w ”2 ( 1 7 ) 的左边= “1 ( 一1 ) “( 再一) l 氕一f 。r 】”d 氧门a d f 。 j _ lk = i ( 1 7 ) 南昌大学硕：l 学位论文 定理2 证完。 l ，他们十一，n - i c nk 喜苦a 舭 ( 1 ) “7 ( 弓一i m k 一“什”d 元】a a 2 l 。 ( r ，7 7 ) l 蔫挚幢叩， 5 ( 吾n - i ) 2 争巡c o t , 若引进奇异算子 剐2l ( f 弘( 7 ) s l 2i 。( f ) 女t ( f ，7 7 ) 其中k ( f ：7 7 ) = 竿 窆k 什1 。主k 则公式( 17 ) 可以写成 s s i 2f d ，坼l 。舭旷( 予n - i 2 喜掣 ( 1 8 ) 公式( 1 6 ) 可咀写成 踟= l 。蜘，们丘她m 伽h 豢邝 ( 1 9 ) 由文献 1 0 ，我们知道公式( 1 9 ) 事实上可以称为是带拓广的 b o c h n e r m a rl i n e l l i 核的奇异积分沿闭光滑流形的反转公式。 一k一“ t “ i h孚 一“ 一“ 南禺大学硕：仁学位论文 5 高阶奇异积分方程和偏微分积分方程 首先，我4 f i g 线性空间l 表示在a d 上偏导数满足l t o l d e r 条件的复值可微函数 空问。我们仍然日i 进4 中的记号： s 0 2l ( f 弦( 卿) s , o2 l 妒( f ) ( 刚) s s t 妒2 聃翮，k 北地匕，7 ) = ( 等，2 喜等 踟2 k ，7 7 ) k 北荆= ( 等咖。) 现在我们考虑如下高阶奇异方程 c,so+bsl+t02(20) 其中a ，b 是复常数，是己知函数，彤2 l 痧( f 弘( f ：r