（基础数学专业论文）带扩散和交叉扩散的生态数学模型的研究.pdf

中文摘要 本文研究这样的一类捕食模型：捕食者不但有模型中被捕食者作为食物， 而且还有其它固定的自然食物源我们主要研究带齐次n e u m a n n 边界条件的 捕食模型和带混合边界条件的捕食模型对于带齐次n e u m a n n 边界条件的捕 食模型，因为自扩散常常不能产生非常数正稳态解，所以，我们在模型中引进 了一种交叉扩散，这种交叉扩散描述了由于被捕食者的群体保护作用，捕食 者避开大群的食物( 被捕食者) 这种交叉扩散现象在许多生态环境中出现本 文主要使用度理论证明了这些捕食模型在一定条件下存在非常数正稳态解 同时，根据分歧理论，我们也研究了部分稳态模型的非常数正解的局部或全 局分歧，局部稳定性以及渐近性本文共分八章，具体如下： 第一章概述生态数学模型的背景、研究成果和进展第二章介绍一些预备 知识，我们将使用这些知识证明本文的捕食模型正稳态解的存在性和非存在 性 第三章研究一个带自扩散和混合边界条件的捕食模型在这个模型中， 捕食者的增长率鼎表示当食物密度钆较小时它近似于譬，而当食物心的密 度较大时捕食者的增长被抑制；并且被捕食者带齐次n e u m a n n 边界条件， 而捕食者带齐次r o b i n 边界条件首先，我们证明了：如果6 d 2 入1 ，那么， 稳态问题存在正解的充分必要条件是o p l ( 警) d 1 同时，我们也讨论了当 6 m 6 + d 1 入1 第五章研究一个带交叉扩散的l o t 虹v 0 1 t e r r a 捕食模型我们证明了如 果当o m l m 2 1 时仇1 6 西，其中( 菘，万) 是捕食模型的常数正解，并且d 1 石b ， 那么，存在适当的( d 1 ，d 2 ，d 3 ，也) 使得捕食模型存在非常数正稳态解这说明 湖南师范大学博士学位论文 大的交叉扩散参数出能产生非常数正稳态模型其次，我们也证明了如果上 述o ，d 1 和也的条件有一个不成立，那么，捕食模型没有从常数正解分歧出来 的非常数正稳态解 第六章研究一个带交叉扩散和转化率为罴的捕食模型的非常数正稳态解 的存在性和非存在性我们得到与第五章类似的结果这时。的条件为m 1 6 o ( m 1 6 + m l m 2 一，y ) + ( m 1 6 + m l m 2 一，y ) 2 + 4 ，y m l 6 ，d 1 和也的要求与 第五章的形式一致我们的结果表示在这个模型中大的交叉扩散参数也也能 产生非常数共存的稳态模型 第七章研究一个带自扩散的比率依赖的捕食模型我们证明了存在一个 依赖于6 的正数n o ( 6 ) 使得：如果6 m 1 和o o ( 6 ) a 仇1 时捕食模型没有 从常数正解分歧出来的非常数正稳态解 第八章是在第七章的模型的第二方程中引进交叉扩散并且证明了存在正 常数0 2 ( 6 ) 和d 詈，如果m a x 半，o ) 6 2 仇1 ( 这个条件使得m 1 0 2 ( 6 ) ) 和m 1 o m 1 且 n 0 2 ( 6 ) ，或d l ( 篙器一石) 击时，捕食模型没有从常数正解分歧出来的 非常数正稳态解 关键词：生态数学模型；正稳态解的存在性；度理论；分歧理论；稳定性 + ， 。护 a b s tr a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t hs u c hac l a s so fp r e d a t o r - p r e ym o d e l st h a tt h ep r e d a t o r ，i n a d d i t i o i lt ot h ep r e yc o n s i d e r e d ，h a so t h e rn a t u r a ls o u r c e so ff b o d 伧i n v e s t i g a t et h e s e p r e d a t o r p r e ym o d e l sw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，o rw i t hm i x e d b o u n d a r yc o n d i t i o n s f b rt h ep r e d a t o r p r e ym o d e l sw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，s i n c ed i f f h s i o n sd o n t c r e a t et h a tt h ev a r i o u ss p e c i e sc c 卜- e x i s ti nn o n c o n s t a n tt i m e i n d e p e n d e n tp o s i t i v es o l u t i o n s ，w em u s ti n t r o d u 亡ec r o s s d i f f u s i o ne f l b c t s a n dt h ec r o s s d i f f u s i o nm e a n st h a t ，i nac e r t a i nk i n do fp r e y - p r e d a t o rr e l a t i o n s h i p s ，a g r e a tn u m b e ro fp r e ys p e c i e sf o r mah u g eg r o u pt op r o t e c tt h e m s e l v e sf r o mt h ea t t a c ko f p r e d a t o r ，s ot h a tt h ep r e d a t o rm o v e sa w a yf o mal a r g eg r o u po fp r e y s i t i sag e n e r a l p h e n o m e n o ni nt h en a t u r e i nt h i sp a p e r ，b ym a k i n gu s eo ft h ed e g r e et h e o r y w ep r o v e t h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es t e a d y s t a t es o l u t i o n st ot h e s em o d e l so n ac e r t a i no fc o n d i t i o n s f u r t h e r m o r e ，b ym a k i n gu s eo ft h eb i f u r c a t i o nt h e o r ya n dt h e s t a b i l i t yt h e o r y w ea l s oi n v e s t i g a t el o c a lo rg l o b a lb i f u r c a t i o no ft h ep o s i t i v es t e a d y s t a t e s o l u t i o n s ，l o c a ls t a b i l i t ya n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ep o s i t i v es o l u t i o n st os o m e p r e d a t o r p r e ym o d e l s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h ef o u o y i n ge i g h tc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fm a t h e m a t i c a le c o l o g y m o d e l s ，r e s u l t s a n da d v a n c ei ns t u d y i n g i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c e8 0 m ep r e l i m i n a r i e s w 色w i uu s e t h e s ek n o w l e d g et o8 t u d yt h ee ) 【i s t e n c ea n dn o n e 撕s t e n c eo ft h ep o s i t i v es t e a d y s t a t e8 0 1 u t j o n so ft h ep r e d a t o r p r e ym o d e l si nt h ep a p e r i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t ea p r e d a t o 卜p r e ym o d e lw i t hd i f f h s i o na n dw i t hm i x e d b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w h e r el e t ：者祭b et h ec o n v e r s i o nr a t eo ft h ep r e yc a p t u r e dt ot h e p r e d a t o r ，a n d 孑鲁e x h i b i t st h a tt h ec o n v e r s i o nr a t e 嚣i sa p p r o x i m a t e l ye q u a lt o 警 w h e n 乱i ss m a ue n o u g h ，b u tt h ec o n v e r s i o nr a t ei si n h i b i t e dw h e n 扎i sl a r g ee n o u g h i n i i i i v湖南师范大学博士学位论文 t h i sm o d e l ，t h ep r e yi sw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o na n dt h ep r e d a t o r i sw i t hh o m o g e n e o u sr o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n w b 矗r s t l yo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： i f6 如a 1 ，t h e no p 1 ( 警) d li st h es u m c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es t e a d y s t a t es o l u t i o no ft h ep r e d a t o 卜p r e ym o d e l a n dw ea l s oi n v e s t i g a t et h e e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c et h ep o s i t i 、厂es t e a d y s t a t es o l u t i o n sf 6 r6 m 6 + d 1 a li st h es u 伍c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es t e a d y s t a t es o l u t i o n so ft h ep r e d a t o r p r e ym o d e l i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i g a t eal o t k a v 6 l t e r r ap r e d a t o 卜p r e ym o d e lw i t hc r o s s d i f 】h s i o n f i r s t ，s u p p o s et h a td s a t i s f i e st h a tm 1 6 o t 兰等盎w h e no 雹，w h e r e ( 程，功i st h ep o s i t i v ec o n s t a n ts o l u 一 t i o n0 ft h em o d e l l e td 1 ；二丢，t h e nt h e r ee x i s t s ( d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ) s u c h m 1 ”一u 、 17 t h a tt h em o d e lh a sn o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y - s t a t es 0 1 u t i o n s ，w h i c hm e a n st h a tt h e c r o s s d i 仃u s i o n 也m a yb eh e l p f u lt oc r e a t em o r ep o s i t i v es t e a d y s t a t ep a t t e r n s w h e r e a s ， i fnd o e s n ts a t i s f yt h ec o n d i t i o na b o v e ，o rd l 旦号，o rd 4 磊五，t h e nt h em o d e l h a sn on o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o nb i f u r c a t i n gf r o mt h ec o n s t a n tp o s i t i v e s o l u t i o n i nc h a p t e r6 ，r ei n v e s t i g a t eap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hc r o s s d i f f u s i o n ，w h e r et h e c o n v e r s i o nr a t e 葺糟i sm o n o t o n ei n c r e a s i n ga n db o u n d e d s u p p o s et h a tm 1 6 口 矗，w h e r e ( 西，功i s 山 j 。 卜 7 带扩散和交叉扩散的生态数学模型的研究 v t h ep o s i t i v ec o n s t a n ts o l u t i o n0 ft h em o d e l l e td 1 志矗，t h e n ，b ya s i m i l a ra r g u m e n ta si nc h a p t e r5 ，t h e r ee ) ( i s t s ( d l ，d 2 ，d 3 ，d 4 ) s u c ht h a tt h ep r e d a t o r p r e y m o d e le x i s t sn o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o n s ，w h i c hi m p l i e st h a tt h ec r o s s d i m l s i o nd 4m a yb eh e l p f u lt oc r e a t em o r ep o s i t i v es t e a d y s t a t ep a c t t e r n s i nc h a p t e r7 ，w ei n v e s t i g a t ear a t i o d e p e n d e n tp r e d a t o r p r e ym o d e lw i t hd i f f h s i o n w bp r o v et h a tt h e r ee x i s t sap o s i t i v en u m b e ro o ( 6 ) d e p e n d i n go n6s u c ht h a t ，i f6 ，n l a n do o ( 6 ) o m l ，t h em o d e lh a sn o n o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y s t a t es o l u t i o nb i f u r c a t i n gf r o m 面，w h e r e 爵i st h ep o s i t i v e c o n s t a n ts o l u t i o no ft h em o d e l i nc h a p t e r8 ，w ei n t r o d u c eac r o s s d i f r u s i o ne 矗- e c ti n t ot h es e c o n de q u a t i o no ft h e p r e d a t o r p r e ym o d e li nc h a p t e r7 m o r e o v e r ，1 v p r o v et h a tt h e r ee x i s tp o s i t i v ec o n s t a n t s n 2 ( 6 ) a n dd 3 i fm a x 旦专盟，o ) 6 2 m 1s u c ht h a tm 1 n 2 ( 6 ) ，a n dm 1 o m 1a n dn n 2 ( 6 ) ，o r d ( 擀一司去，t h e nt h em o d e lh a s n on o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d y s t a t es o l u t i o n b i f u r c a t i n gf r o m 爵 k e y w o r d s ： m a t h e m a t i c a le c o l o 时m o d e l s ；t h ee 】【i s t e n c eo fp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o n s ；d e g r e et h e o r y ；b i f u r c a t i o nt h e o r y ；s t a b i l i t y 第一章生态数学模型概述 从二十世纪二十年代l o t l 【a 和、，o l t e r r a 建立了经典的捕食模型以来，生 态数学模型有了许多发展几十年来，国内外许多应用数学学者和生物学学 者一直在从事这方面的研究工作人们不但考虑密度分布均匀的生态数学模 型，即常微分方程动力系统，而且也考虑密度在空间分布不均匀的生物数学 模型，即具有扩散的偏微分方程动力系统并且取得了许多有意义的成果 为了进一步了解相关的成果和进展，请参考文献 2 】- 【4 】【6 】【7 】，【9 】- 1 3 】， 2 1 】- 【2 2 】， 3 9 】一 4 9 ， 5 7 】一 6 6 】，【7 2 】一 8 7 】， 9 0 】一【1 0 3 】， 1 0 5 】一 1 0 7 】 1 0 9 卜 1 1 l 】， 1 1 5 】一【1 2 1 】，【1 2 7 】一 1 2 8 】以及 这些文献中列出的相关文献这些成果包括常微分捕食系统解的存在性，唯 一性，稳定性，渐近性，分歧和h o p f 分歧( 极限环) ( 参看 9 0 】 1 0 5 】 1 0 9 】 1 2 3 】以及 这些文献中列出的相关文献) ；带扩散的生态数学模型正稳态解的存在性和非 存在性，唯一性，稳定性，局部和全局分歧，以及渐近性和h o p f 分歧( 参看 1 3 】 3 9 _ 4 1 4 2 】 5 8 】一 5 9 1 0 0 】 1 2 7 】以及这些文献中列出的相关文献) 人们在研究 中发现捕食模型的许多特性和研究方法适合于其它问题的研究，如化学反应 模型，生物化学模型，环境模型等因此，对生态数学模型进行深入的研究是 有意义和价值的 经典的l o t k a _ v 6 l t e r r a 捕食模型有下面两种形式 r u t 一u ( 1 。昔) 一钉， ( 1 1 ) i 仇2r 2 口( 1 一老) + m 优移， ， ， 讹一u ( 1 。苦) 一t ， ( 1 2 ) 【仇= 一7 3 钞+ m c 让钞， 、 其中u 和钉分别表示被捕食者和捕食者的分布密度在模型( 1 1 ) 中，r 。( 1 一昔) 和r 2 ( 1 一景) 分别表示被捕食者和捕食者的自然增长率；乜( z = l ，2 ) 表示环境 对两者的承受能力；优称为响应函数，表示单个捕食者在单位时间内( 比如 2湖南师范大学博士学位论文 说一天) 捕食到食物“的数量m 是转化率系数，即捕食者得到食物u 后生 育幼子的能力因此，m c 让可以看成捕食者捕食到食物u 产生的增长率模 型( 1 1 ) 表示捕食者除了食物乱外，还有其它固定的自然食物源而模型( 1 2 ) 表示捕食者除了食物u 外：没有其它固定的自然食物源，其中n 表示捕食者 的死亡率在模型( 1 2 ) 中，如果没有食物u ，那么，捕食者将灭绝，即当t _ 时口_ o 人们在观测和研究中发现模型( 1 1 ) 和( 1 2 ) 有一个明显的不足，因为当 食物“很大时，一个捕食者一天不可能也不需要捕食这么多( 侧个) 食物因 此，用靠代替优更为合理在实际生活中，有许多问题具有群体效应，也 就是说当食物牡的密度很大时捕食者反而捕捉到食物u 的机会更小，因此， 使用非单调响应函数青甚更为合理另外，有的时候响应函数依赖于食物让 和捕食者的比詈，此时响应函数为焉兰嚣或赫= 葫于是，我们 可以将模型( 1 1 ) 和( 1 2 ) 改进成下列形式 ， 毗2 n 扎( 1 一昔) 一 ，们移竺，( ， ( 1 3 ) i 仇= 7 2 口( 1 一薏) + m ( 让，钞) 秒竺夕( u ， ) ， ， 也t 2r - t 上( 1 一昔) 一 ( u ，钉) 钉竺，( 札，口) ， ( 1 4 ) 【仇= 一您秽+ m ( 也，钞) 钞全9 ( 让，秒) ， 其中 ( 让，口) = 靠或南或蒜或品 在一些生化反应模型和微生物模型中，有时也取 ( 牡，移) = 最或羔或 南最由m i c h a e l i s 和m e n t o n 在研究生化酶反应时提出，其中，c o 是 物种的最大增长率，o o 表示半饱和常数随后，h o m n g 在研究捕食模型时 把这种函数当作捕食者的响应函数现在，人们称兰为h o l l i n gi i 型函数 n e e d m a n 【4 6 】取毒品为响应函数，这种函数的特点是单调有界的一般称羔 为h 0 1 l i n gi i i 一型函数另外，人们在微生物研究中取 ( u ，钉) = 南这个函 数表示当浓度较低时它展示h o l h n gi i - 型函数的本质特性，而当浓度较大时捕 带扩散和交叉扩散的生态数学模型的研究 3 食者的增长被抑制这个函数被称为m o n o d - h a l d a n e 函数，c o l l i n g s 【2 1 】在研究 蜘蛛螨的捕食模型中使用了这种函数因此，这种函数也称为h o l l i n gi v _ 型函 数 上述主要考虑密度分布均匀的捕食模型，这些模型已被广泛地研究，并且 已有丰富的结果诸如解的存在性，稳定性，分歧和h o p f 分歧( 极限环) ，读者 可以参看 9 0 1 0 5 】 1 0 9 】 1 2 3 】以及这些文献中列出的相关文献了解相关的结果 如果密度分布不是均匀的，那么，要求模型( 1 3 ) 和( 1 4 ) 中的两个方程的 左边分别加上一d 。钆和一d 2 钞，即 ， 象一d 钍= r l u ( 1 一盖) 一 ( 乱，秒) ，( 1 5 ) i 裳一d z 秒= r 2 ”( 1 一薏) + m ( u ，u ) 执 f j 赛一d 札= r u ( 1 一盖) 一 ( u ，口) ， ( 1 6 ) l 瓮一d 2 钞= 一7 3 u + m ( 乱，臼) 口， 其中d 。和d 2 分别表示札和秒的扩散系数在这里，响应函数 ( u ，口) 可以取前 面的任何一种形式，并且模型( 1 5 ) 和( 1 6 ) 应该带有相应的边界条件和初始条 件这种扩散反映了由于物种本身的生活习性而导致的迁移，即一个物种从 密度( 或浓度) 高的地点向浓度低的地点运动s l l i g e s a d a 等人【1 0 7 】在调查物种 居住分离现象时第一次提出这种模型根据我们了解，当它们带齐次d i r i c h l e t 边界条件时，模型( 1 5 ) 和( 1 6 ) 已被广泛地研究，并且获得了丰富的结果，如 正稳态解的存在性，唯一性，多重性，稳定性，分歧和孓型分歧，以及捕食模 型解的渐近性( 参看 9 】 1 3 】 3 9 】- 【4 l 】 4 2 】 5 8 】_ 【5 9 】 1 0 0 】【1 2 7 】以及这些文献中列出的相 关文献) 而当边界条件为齐次n e u m a n n 边界条件时，对于大多数响应函数来 说，模型( 1 5 ) 和( 1 6 ) 没有非常数稳态正解对于两个物种都带齐次r o b i n 边 界条件的捕食模型，由于其研究方法和结果与带齐次d i r i 出e t 边界条件的捕 食模型的研究方法和结果类似，因此，人们很少去考虑它对于带混合边界 条件的模型，即一个物种具有齐次n e 衄- a n n 边界条件，而另一个物种具有齐 4湖南师范大学博士学位论文 次r o b i n 边界条件，这是一种在自然中常见的现象如孤岛上的两种物种，一 种只能在岛上生存，而另一种是水陆两栖性物种或飞禽，那么由这两种物种 组成的捕食系统就是带混合边界条件的系统根据我们了解，带这种边界条 件的捕食模型也很少被研究，因此，在本文的第三章和第四章中，我们研究了 一个带混合边界条件的捕食模型( 形式如模型( 1 5 ) ) 我们证明了对应模型正 稳态解的存在性和非存在性 在第七章中，我们证明了一个带齐次n e u m a n n 边界条件的比率依赖的捕 食模型( 形式如模型( 1 5 ) ) 的非常数正稳态解的存在性和非存在性 上面考虑的扩散只是自扩散，实际上，在现实生态模型中还有另一种扩 散形式，即交叉扩散对于两种物种来说，带有交叉扩散的模型如下 f j 甓一d i v 尼1 1 ( 让，钞) v 钆+ 忌1 2 ( 钆，秽) v ) = 7 1 u ( 1 一苦) 一 ( 乱，秽) 钉，r ，叭 l 象一d i v o ，七2 2 ( 钍，口) o ，交叉扩散系数七。2 ( 乱，钉) o 凡= 一 七1 1 ( u ，西) v 乱+ 七1 2 ( u ，钞) v 钉) 和五= 一 乜1 ( 牡，秒) v 让+ 乜2 ( “，移) v 秒) 可以分别看成u 和移沿z 方向的扩散流量七一2 ( 乱，钞) o 表示食物乱逃避捕食者，即被捕食者 向着捕食者密度较小的方向迁移对于捕食者来说，它可能有两种交叉扩散 形式，其中一种形式是。( 扎，钞) o ，表示捕食者追逐食物，即捕食者向着食物 密度较大的地方迁移；另一种形式是蛔( u ，钞) o ，表示由于食物的群体保护作 用，捕食者很难捕捉到大群食物中的食物，最后捕食者只好离开大群食物 因此，后一种交叉扩散形式可以解释为捕食者避开大群的食物一个典型的 生物捕食事例是在海洋中鲨鱼很难在某些大群鱼中捕捉到食物，最后只好离 开在 5 8 】【5 9 】 1 2 7 】中k u t o 和y a m a d a 使用后一种交叉扩散研究了一个带齐次 d i r i c h l e t 边界条件的捕食模型正解的s 型分歧和渐近性 带扩散和交叉扩散的生态数学模型的研究 对于许多带齐次n e u m a n n 边界条件的捕食模型，交叉扩散的引入对非常 数正稳态解的存在性起着重要的作用原来没有非常数正稳态解的扩散捕食 模型，引入交叉扩散作用后可能拥有非常数正稳态解一般称这种非常数正稳 态解为由交叉扩散产生的正解在【9 9 】【1 0 1 】【1 0 2 1 1 6 】一【1 1 9 】中，王明新，彭蕊， p y h - p a n g 等人研究了模型( 1 。8 ) 及类似的三分子模型的非常数正稳态解他 们的结果表示当引入捕食者追逐食物形式的交叉扩散时模型( 1 8 ) 及类似的三 分子模型存在非常数稳态正解，而没有交叉扩散的模型不存在非常数稳态正 解 根据我们了解，带齐次n e u m a 皿边界条件的模型( 1 7 ) 没有被人研究过 如果让( 1 7 ) 中七2 。( u ，钞) o ，即交叉扩散表示捕食者追逐食物，那么，对于大多 数形式的响应函数和转换率，我们仍然不能证明模型( 1 7 ) 存在非常数稳态正 解因此，有必要考虑交叉扩散的另一种形式，即让尼2 ，( 扎，口) o ，这种交叉扩 散形式表示捕食者避开大群的食物在一些参数条件下，例如要求食物札的 自然增长率系数在一定区间，食物的扩散系数小于某个数值以及捕食者的交 叉扩散系数大于某个数值，我们在第五章，第六章和第八章证明了模型( 1 7 ) 存在非常数稳态正解 另外，常见的生态模型还有下面两种形式 f j 象_ d i v 慨( 让，秒) v 让+ 七1 2 ( 牡，秽) v ) ：n 让( 1 一昔) 一 ( u ，秒) 口，r 】9 1 l 象一d i v 后2 1 ( u ，钞) v 札+ 后2 2 ( 让，锣) v 钉) = r 2 钉( 1 一薏) 一m ( 让，u ) 钞， ， 象_ d 1 v 七1 1 ( u ，移) v u + 七2 ( 扎，秒) v 钞) = 7 1 u ( 1 一苦) + ( 乱，钞) 秽， ( 1 1 0 ) l 赛一9 i v 也1 ( z z ，z ，) v 让+ 如2 ( 让，) v 秽) = 您口( 1 一老) + m ，z ，) 钉， 模型( 1 9 ) 是竞争模型，而模型( 1 1 0 ) 是互助模型y l o u ，w m n i 【7 6 】 7 7 】 8 1 】和 w y c h e n 1 0 在这两个问题作了许多研究 对于生态模型，人们主要使用两种方法去研究，其中一种方法是奇异扰动 法，另一种方法是度理论在本文中，我们主要使用度理论作为研究工具我 6 湖南师范大学博士学位论文 们在第三章和第四章的部分研究中也使用了奇异扰动法关于稳态问题解的 分歧和稳定性，人们主要使用c r a n d 棚r a b i n o 丽t z 分歧理论和稳定性理论 9 5 】 去研究各种生态模型的正稳态解的局部或全局分歧以及局部稳定性 第二章预备知识 在这一章，我们介绍一些预备知识，这些知识在偏微分方程研究中已被广 泛使用读者可以参看相关的文献了解这些结论的论证，在这里，我们只是 列出结果 2 1 几个函数空间 在下面，我们定义一些函数空间及对应空间的范数，读者可以参考 1 2 6 】 记f - ( f 圹一，k ) ，| f | = ：。如，其中如为非负整数广义导数定义为 一孝 让o q 1 ，指数为q 的h 6 l d e r 系数也( u ) = s 吼胙q 峰酱掣 c 凫( 豆) 定义为在豆上所有具有七阶连续导数的函数组成的空间，其中七为 非负整数对应的范数为i = i f l 惫m 啦id f u ( z ) | 通常记c ( 豆) = c o ( 豆) c q ( 孬) = u ( z ) l 凰( 钆) ) ，对应的范数为i u l q = h q ( u ) + m 嗨缸( z ) c 七十q ( 豆) = 乱( z ) i u c 惫( _ ) ，风( 让) 后7 + q 7 ，则c 惫托( 豆) 中的有界集是c 知+ a 7 ( 豆) 中 的列紧集 2 w 七，p ( q ) 中的有界集是w 知_ 1 ，p ( q ) 中的列紧集 8 湖南师范大学博士学位论文 范数等价定理( 【5 2 】)对于讹1 ，2 ( q ) ，定义范数i l | 如下 叫i | 三 _ i v 札1 2 + q 札2 】1 2 js 2 j 执2 则是1 2 ( q ) 的一个等价范数，即存在两个独立于“的正常数a q ， 使得对于任何让1 t 2 ( q ) 有g i - 。( q ) 岛i w 。，。( q ) 2 2特征值和特征函数空间 在下面，我们介绍带不同边界条件问题的特征值和对应的特征函数空间， 读者可以参考( 9 8 】【1 2 6 】 设入，( g ) o ，其对应的第一 特征函数( z ) o ，( z 豆) 当p = o 并且g o 时，记九( g ) ：肌( 口) 如果p 三。并且g 三o ，那么，( 2 2 1 ) 变成下列形式 | ，一：a ，z q ， 1 雾：o ， z a q 2 2 2 设o = 伽 p 1 p 2 是( 2 2 2 ) 的特征值，e ( 胁) 是胁在c 1 ( 豆) 中对应 的特征向量空间，锄0 = 1 ，2 ，3 ，d i m e ( 胁) ) 是e ( 胁) 的正交基让 x 巧= c 咖巧i c r 2 ) ，( 2 2 3 ) x = ( 也川t p 1 ( 豆) 】2 i = = o z a q ) ， ( 2 2 4 ) 则x = o 函x l ， 其中：x 产。驾e m x 巧 带扩散和交叉扩散的生态数学模型的研究 9 2 3 一些基本定理 这一节介绍一些基本定理，这些定理在我们后面的证明中起着重要作用 我们将使用这些定理证明捕食模型正解的一些性质 最大值原理( 【7 6 】) 设9 ( z ，叫) c ( q r 1 ) ，( z ) c ( 孬) ，0 = 1 ，2 ，) 俐士口果叫( z ) c 2 ( q ) nc 1 ( 豆) 满足叫( z ) + 釜1 幻( z ) z ，+ 9 ( z ，训) o ，z q ， 券o ，z a q ，并且， 叫( z o ) = m a x 西叫，那么，9 ( z o ，伽( z o ) ) o 以砂吱口果叫( z ) c 2 ( q ) nc 1 ( 西) 满足叫( z ) + 墨1 幻( z ) 叫z ，+ 9 ( z ，叫) o ，z q ， 雾o ，z a q ，并且叫( 如) = m i 螗钮，那么，9 ，) ) o h a u r n a c k 不等式( 【8 8 】) 设c ( z ) c ( 孬) ，叫( z ) c 2 ( q ) n c l ( 豆) 是下列问题的正解 酬卅c ( 咖( 班。，z 筹 0 z 弧 那么，存在正常数c = c ( q ，愀z ) ) 使得m 峨叫( z ) c m i n 西叫( z ) 护一估计( 2 3 】) 设乱嚼p ( b r ) 并且满足一u = ，则对于1 p + ，存在正 常数c 使得f f d 2 让怯( b r ) 硎，| f l p ( b r ) ，其中c 仅依赖于礼，p s o b o l e v 嵌人定理( f 6 8 ) 设q 是中的有界区域，并且边界足够光滑， 1 p o 。则对于任意正整数七有 以，如果尼 詈，那么， 七，p ) qc m ，a ( 硒，其中，当尼一芸不是整数时， m 与a 分别是七一詈的整数部分与小数部分而当七一詈= m + 1 ( m o ) 是整 数时，入( o ，1 ) 是任意的 ， 注在这里介绍的是在w 七，p ( q ) 上的踟6 d 砌嵌入定理，而不是在瞄，p ( q ) 上的 舶6 0 f e 可嵌入定理，因此对区域q 有较高的要求在眩，p ( q ) 上的舶6 d f e 口嵌入 定理要求q 有界就可以了，而对于在w 七，p ( q ) 上的s 0 6 0 2 e 移嵌入定理，如果要 使得口 俐成立，那么还要要求q 具有锥性质；如果要使得俐成立，那么还 1 0 湖南师范大学博士学位论文 要要求q 具有l 劢s c 腩2 连续的边界上述舶6 d f e u 嵌入定理由a 砒m s 论证由 于本文使用的q 具有足够光滑的边界，则可以使用上述s d 6 d 2 e 钉嵌入定理 下面这些内容也可以说是正则化理论，读者可以参考 1 2 6 】 考虑边值问题 f l 乱+ c ( z ) 札= ，( z ) ， z q ( 2 3 1 ) lb 让= 夕( z ) z a q 我们假定： 1 l 让= 一乙：。o 巧( z ) 丢+ ：1 玩器，z q ，一三是q 上的一致椭圆算子， a q c 2 + a ： 2o 巧( z ) ，6 i ( z ) ，c ( z ) c q ( q ) ，( o n ) 是c ( 孬) 上的紧算子 带扩散和交叉扩散的生态数学模型的研究 1 1 2 4 几个常用的不等式 设p 1 ，p 7 = 寺称为p 的共轭指数，它们满足；+ 专= 1 h o l d e r 不等式( 【6 8 】) 厶札口如圳秽l | p ， y o u