（基础数学专业论文）关于多个无挠自由子模的交.pdf

摘要 主要利用主理想整环d 上的分块矩阵，得到了一种直接求多个无挠自由子模 的交模的理论方法初等变换法；并在此基础上，给出了多个无挠有限生成子模 的秩之间的关系公式 第一部分简要介绍与本文相关的定义及相关的引理、定理和推论 第二部分利用主理想整环d 上的分块矩阵，得到了一种直接求多个无挠自由 子模的交模的理论方法一初等变换法 第三部分在第二部分的基础上，迸一步加强了其理论结采，给出了多个无挠 有限生成子模的秩之间的关系公式 关键词：主理想整环；分块矩阵；无挠模；自由模；秩 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i n e dat h e o r e m a t i cm e t h o dt oc a l c u l a t et h e i n t e r s e c t i o no ft o r s i o n f r e ef r e es u b m o d u l e sb yt h ep a r t i t i o n e dm a t r i xo n p i d - e l e m e n t r a yt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ；w i t ht h er e s u l t ，w eo b t a i n e dt h e f o r m u l ao fs o m et o r s i o n f r e ef r e es u b m o d u l e s r a n k s t h ef i r s tp a r tb r i e f l yi n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o n s ，l e m m a s ，t h e o r e m sa n d d e d u c t i o n st h a tw e r ec o r r e l a t i v et ot h ea r t i c l e i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w eo b t a i n e dat h e o r e m a t i cm e t h o dt oc a l c u l a t e t h ei n t e r s e c t i o no ft o r s i o n f r e es u b m o d u l e sb yt h ep a r t i t i o n e dm a t r i xo n p i d e l e m e n t r a yt r a n s f o r m a t i o n i nt h et h i r ds e c t i o n ，b yt h er e s u l t so ft h es e c o n ds e c t i o n ，w eo b t a i n e d t h en e wt h e o r e m a ti cr e s u l t sa n dt h ef o r m u l ao fs o m et o r s i o n f r e e f r e e s u b m o d u l e s r a n k s k e yw o r d s ：p i d ；p a r t i t i o n e dm a t r i x ：t o r s i o n f r e em o d u l e ；f r e em o d u l e ； r a n k 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明；所呈交论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名；季钽 签名日期：呻年箩毹日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构递交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的 前提下，学校可以公布学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守 此规定) 论文作者签名：颥 签名日期：岬年如彤日 导师签名 签名日期 第一章序言 1 1 相关定义 第一章序言 环 设三是一个非空集合，在l 上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为口+ 6 一个叫乘法，记为n 6 如果具有性质： 1 ) l 对于加法成一个交换群； 2 ) 乘法的结合律： 对所有的q , s b ，c l 口( 哟= ( a b ) c ； 3 ) 乘法对加法的分配律； 对所有的口，b ，c l a ( b + c ) = 曲+ a c ， ( 6 4 - c ) d = b a + ； 那么二就称为一个环 单位元素 设l 是一个环如果l 中有一元素e 具有性质： e q , = = 口，对所有的o l ， 那么e 就称为环工的单位元素，且如果环l 有单位元素，那么只能有一个 幺环 具有单位元素的环简称为幺环，幺环的单位元素简记为1 单位 如果幺环l 的一对元素a ，b 满足西= 1 ，则b ( a ) 称为n ( 6 ) 的右( 左) 逆如果口 既有右逆又有左逆，则n 的左、右逆相等，它简称为口的逆此时口就称为l 的一个可逆元素，也叫做l 的一个单位 湖北大学硕士学位论文 单位群 幺环l 的全部单位构成的集合对乘法成一群，称为工的单位群 零因子 设a l a 0 如果有元素b l ，b 0 ，使曲= 0 ，那么元素a 就称为一个 左零因子 交换环 如果环l 的乘法适合交换律，即 那么三就称为交换环 a b = b a ，n ，b l 整环 无零因子的交换幺环，且1 0 ，就称为整环 理想 设l 是一环，i c l 是l 的一个加法子群如果对于任意r l ，n j 都有 那么，就称为l 的一个理想 r a i i 主理想 设冗为任一环，s 为冗的任一非空子集只中包含s 的一切理想的交叫做由s 生成的理想，记成( s ) 它是包含s 的最小理想，就是说，若理想包含s ，则 也包含( s ) s 叫做( s ) 的生成元集( s ) 可以有不同的生成元集若s 是一个 有限集 o l ，0 r ) 。则( s ) 叫做有限生成的，而且( s ) 记作( 口l ，0 r ) 由一个 元生成的理想( n ) 叫做主理想 2 第一章序言 主理想整环 一个整环r 叫做主理想整环，如果r 的每个理想都是主理想 相伴 设置为一个整环，对任意元素口，b r 如果存在一个元素c r 使得口= b c ， 则b 叫做a 的因子，口叫做b 的倍数，b 叫做整除a ，记作6 i n 如果口1 6 同时 纠n ，则o ，b 叫做相伴 最大公因子 若c i o 且c 1 6 ，则c 叫做a ，b 的一个公因子n ，b 的一个公因子d 叫做口，b 的一个最 大公因子，如果c i o 且c 1 6 则必有o l d 环上的模 设r 为一个幺环，m 为一个交换群若存在r m 到m 的一个映射 ( n ，功一8 z 满足下列条件： 1 ) a ( x + ”) = + a y ，a r ，o ，f m ； 2 ) ( 口+ b ) z = + b x ，口，b r ，z m ； 3 ) ( a b ) z = 口( k ) ； 4 ) 1 聋= ： 则m 叫做环r 上的一个左模或叫做一个左r 一模，记为r m 子模 m 的一个非空子集叫做m 的一个子模，若满足； 1 ) n 为m 的一个子群； 2 ) 对d r ，j 、r 恒有a 9 n 兄一同态 设m 和j l 为两个r 一模，若存在m 到m 的一个映射町满足； 1 h 是一个群同态； 2 ) 0 ( c $ ) = n 町( z ) ，o r ，z m 则r 叫做m 到m 7 的一个模同态或月一同态若目是m 到 ，的一个一一对 应，则目叫做m 到m 的一个模同构 3 - 湖北大学硕士学位论文 生成的子模 在m 中取定r 个元素口“，* 令n = a l y l a i 埘，则是m 的一个子 模，叫做由y l ，蜘生成的子模n 可以记作n = 励1 + + 鲰 r 一线性无关 m 的任一有限子集两= 善l ，珥 称为冠一线性无关的，如果从任一线性关 系 口l $ l + + 脚耳= 0 ，啦r 恒推出d 1 - = = 0 m 的任一非空子集s 叫做r 一线性无关的，如果s 的任一有限子集是r 一线性无关的 基 m 的一组生成元s 叫做肘的一基，如果s 是r 一线性无关的 有限生成模 若m 有一组由有限多个元素组成的生成元，则m 叫做有限生成的 自由模 若r 模m 有一基，则m 叫做一个自由矗一模 挠元素 设肘是一个r 一模，m 中元素称为挠元素，如果有r r ，r 0 ，使r a = 0 如果不存在r 中的非零元素r 使r 口= 0 ，则a 称为自由的 无挠模 设m 是一个r 一模，如果m 中每个元素都是挠元素，则m 称为挠模；如果 m 中每个非零元素都是自由的，则m 称为无挠模 等价 设a ，b 为主理想环冗上的两个mx 佗矩阵，若存在一个mx m 可逆矩阵 4 第一章序言 p = ( 黝) 和一个扎t | 可逆矩阵q = ( 奶) ，a ，妁冠使得 则a b 叫做在r 上等价 b = p a q ， 自由群。 设2 是一类群的集合设群f = 叠如果对于中的每个群g ，g 是 由集合 o i l i j ) 生成，映射氟一啦能扩张成f 到g 的一个同态，则f 称为 在上的自由群，由集合 戤k ，) 自由生成 自由群的秩 自由群f 如上定义，指标集，的基数叫做自由群f 的秩 自由群的基 自由群f 如上定义，集合 墨p ，) 叫做f 的一个基 阿贝尔群的秩 阿贝尔群g 的极大线性无关子集的基数叫做g 的秩 1 - 2 相关引理、定理、推论 引理1 设m 为一个自由冗一模，让l ，t ，i 为它的一组基设m 为任意一个r 一 模，口l ，为m 7 的任意一个子集，于是映射毪一巩恒可唯一地扩充成肘 到 的一个r 一同态 定理1 设r 为一主理想环， 为一自由r 一模，秩为取于是m 的任一子模也是自由 r 一模，秩n 定理1 的证明设 、r 为m 的一个子模如果m 是一个零模，则结论显然成立 ( 注意，我们把零模看作是秩为0 的自由模) 下面我们将对的秩n 作归纳 法假设结论对秩小于n 的自由模已经成立 5 湖北大学硕士学位论文 令l ，岛是自由模m 的一组基考虑中一切元素 口】1 + 。0 n 的第一个系数8 l 所成的集合五，显然 是环r 的一个理想因为兄是主理想 环，所以 = ( ，) ， 其中，r 如果，= 0 ，即 = 0 ，这就说明是包含在自由模 尬= 船2 + 血。 中，则由归纳法假设，结论是成立的设，0 ，于是在中有一个元素 h t = e l 对于中的任一元素 = o l e l + ， 我们有g 1 = n i ，于是 善一h i 腹 令l = n 尬，上面的讨论表明 n = 肋l + 1 显然，r h l a i = 0 因之， n = r h l o n l 由归纳法假设，l 是一个自由模，秩n 一1 令，k 为1 的一组基，r n ，即得 n = 肋1 0 r _ 1 1 2 0 0 肌， 这就证明了，h 1 ，砣，k 是的一组基，是一个自由模，秩= r 竹由 数学归纳法原理，定理是普遍成立的 推论l 主理想环上的有限生成模的子模也是有限生成的 推论l 的证明设肼是主理想环r 上的一个有限生成模，g l ，是它的一 组生成元是m 的一个子模根据引理l ，作一个秩为m 的自由模r ，基 为l ，。，有一满同态 ：尉神_ m ， 7 ( a l e i + + ) = a 1 9 1 + + a , n g m 令k = 叩一1 ( ) ，k 是兄) 的一个子模由定理1 可以知道，k 也是一个自由 模，有一组基 。，异因为， 是一个满同态，所以 6 第一章序言 h i = 町( ) ，_ l r = q ( ，r ) 是的一组生成元这就证明了是有限生成的 定理2 主理想环上无挠的有限生成模一定是自由模 定理2 的证明设m 是主理想环兄上的一个无挠的有限生成模，口1 ，是 m 的一组生成元 因为m 是无挠的，所以它的每个非零元素c 都是线性无关的由此可以知道， 只要m 不是零模，在这组生成元o l ，中总是可以选出一个非空的极大线 性无关组，譬如说，就是口1 ，a r ( r m ) 这就是说，a l ，n r 是线性无关 的，而a l ，d r ，叼( r j m 都是线性无关的，即有关系 x j l a l + + 巧r n r + 巧吗= 0 ，r j m ， 其中奶0 如果m 是零模，定理自然成立因之我们无妨假定肘不是零模 由口l ，n r 的选择，我们知道口l ，口r 可以生成一个自由的子模，且 a l ，嘶是的一组基 令$ = 辫+ l x m 因为冗是一个整环，z 0 显然有 她n ，i = 1 ，m 于是映射 n h 定义了一个同态 ：m _ m 是无挠的，而且z 0 保证了同态叩是单一的，因之m 与自由模的子模 v ( m 1 是同构的再根据定理1 ，可知m 是一个自由模 引理2 设置为一个主理想整环对于d ，b 足若( 口) + ( b ) = ( d ) ，则d 是a ，b 的一个最大 公因子，而且d 可以表示成 d = 眦+ v b ， r 定理3 设a 为主理想环r 上的任意一个m t l 矩阵，则a 等价于下列矩阵b 7 湖北大学硕士学位论文 b = o o 其中d 1 ，d r 不为零，且 盔i “1 ， = 1 ，2 ，r 一1 d 1 ，d r 除相差一个单位因子外，由a 唯一确定，d l ，由叫做a 的不变因 子，b 叫做a 的标准形 推论2 设a ，b 为主理想环r 上的两个m 竹矩阵，则a ，且等价的充分必要条件是它 们有相同的标准形或者有相同的不变因子 定理4 如果，是线性空间y 的两个子空间，那么 维+ 维k = 维( m + k ) + 维( n k ) 引理3 假设阿贝尔群g 的一个商群c i v 能够分解成无限循环群的直和： g i n = 0 触( a j 、r ) ，a = 则g 可以写成予群和a = 的直和 引理3 的证明可知g = 否则假设a n n 0 ，贝令口是a n n 中的 个非零元，则。可以写成如下形式 口= ，仇z 于是我们可以得到g 中的一个方程： n = ( 竹k + n ) ， 由直和的定义可以知道n k + n = n 又因为a 。 r 是无限循环的，因此必有 n = 0 ，这就说明o = 0 ，与假设矛盾 8 一 第一章序言 定理5 阿贝尔群类中的自由群正好是无限循环群的直和 定理5 的证明 令g = o 埘是无限循环群 的直和，设 a = ，可以证明由从集合 以h ，) 到集合 o k l i j ) 的映 射铂一啦扩张成的映射n 如。一n k t k t , 是g 到a 的一个同态这就说明了 g 也是自由阿贝尔群类中的一个自由阿贝尔群它的秩就是无限循环群直和因子 的数目 再证明必要性令f 为一个自由阿贝尔群，集合 x d i j 是它的自由 生成元根据自由群的定义，存在一个从f 到无限循环群 的直和 a = o 科 的同态，y ，这个同态扩张了映射戤一0 4 由同态定理可以 知道，a ! f n ，其中n = k e r 7 因此商群f i v 可以分解成为无限循环群 的直和再由引理3 ，有f = n o b ，其中b = 子群 b 和f 有着相同的生成集合 戤l i n ，因此同态7 的核是零，即7 是一个 同构因此自由阿贝尔群f 是同构于a 的，即f 同构于无限循环群的直和，定 理得证 引理4 阿贝尔群g 是自由的当且仅当存在一个升链，其所有因子都是无限循环的 引理4 的证明假设g 有一个如下的升链 0 = n o 1 口 m = g( 1 ) 其中的每个因子都是无限循环的对于每一个o t 7 ，在集合眠+ 1 k 中选 择一个元素+ 1 使得 0 + l = ；我们将证明g 是无限循环子群 的直和，即g = o 。 ， 我们将对升链( 1 ) 的长度7 进行归 纳对于，y = 1 ，结论是显然的假设结论对于o t ，y 都是成立的 ： 设g 是g 中的任意一个非零元，假设9 ，g 粤u ，。d = 0 一l ( 也就是说 芦是使得g 帕的最小次序) ，因为= 且芦帕一1 是无限 循环的，g 可以唯一地写成形式9 = 9 l + m 口，9 1 _ _ l - 由归纳假设，由于 p 一1 7 ，于是m 可以唯一地表示成的线性组合的形式： 9 a = n l + + n s 吼，屈 1 ，归纳地假设对 于秩为竹一1 的自由阿贝尔群结论都是成立的 给定最的一组基 z 1 ， 和a 的一个非零元口a ，对于n 元整数组 ( l ，如) ，它是由下列等式唯一决定地； o = t l z l + + 从所有这样的住元数组中选一个最小的正整数，比如说，s 2 ，s 。) ，( “= m 1 ) ，令 爿，6 2 ，k ) 是相应的一组基，m 0 ，a 1 是a 中满足以下条件的元； 口l = m l 片+ 8 2 幻+ ，- + s n k 于是在这种条件下的m 。能整除所有的系数巩不然，记 巩= 啦佻+ n ，0 r i m l ，将m 写成基的组合的形式： = ，i + q 2 6 2 + + k ，6 2 ，一，6 n ( 2 ) 于是我们有口l = m l 1 + r 2 6 2 + + k ，根据m 1 的选择可以知道所有的n 必 须为零因此o l = m l 将b 写成b = a n f n 一1 ，其中r l = 我们将证明a 是它的子集 和b 的直和因为 = 0 ，我们只需证明a = 假设o = ，咖+ b a ，其中b r 一1 ，m = 孵l + r ，0sr m l ，于是元 1 0 第一章序言 a q a l a ，它可以写成基( 2 ) 的组合的形式， 的系数为r ，r m 1 ，于是 r = 0 所以b = 口一m = 口一q a l a ，因此b b 由于口是a 中的任意一个 元素，于是我们可得 a = o b 由归纳假设子群b ( r 1 ) 和群r 1 分别有基 n 2 ，g k ) 和 ，2 ，厶 ， 并且满足k n ；a i = 盹 ，2 i 赶砒i 挑+ 1 ，2 f k 一1 显然地，集合 口l ，o 2 ，“) 和集合 ，l ，2 ，厶) 分别是a 和r 的基为了证明这两组基 满足定理的条件，只需证明砒l 砌 令m 2 = 卸l + 尹，0 矿 m 1 将a 中的元素o , 2 一0 1 用新的一组基 ，2 一，1 ，厶，厶 表示，于是我们有 n 2 一0 1 = m l ( ，2 一 ) + ，2 ， 因为，2 的系数为矿，尹 仇l ，如前所证，可以知道尹= 0 ，因此m l i m 2 定理得 证 定理7 任意有限生成的阿贝尔群可以分解为循环群的直和 定理7 的证明设g 是一个由n 个元素生成的有限生成阿贝尔群，则g 同构 于一个秩为n 的自由群r 的商群晶a ，由引理5 可以知道，群晶和a 分别 有基 ，厶 和 n l ，a k ) ，且它们具有性质：啦= 讹 ，1 t k 因为 g 2 r a ，所以我们只需要证明r 似可以写成其循环子群 的直和 的形式 显然r a 是由子群 生成接下来我们假设非零群r 似可以写成如 下形式 a = l l + + k 厶+ a 由此我们可以得到f 1 + + k 厶= a a 将元素。用以上a 的基的形式表示 出来，并且利用等式n = m i ，t ，我们可以得到如下结果： 1 1 + + k 厶= 0 1 0 1 + + 8 知七= 8 1 t ：t i , 1 ，1 + + s 七m k & 由自由生成元五的表示的唯一性，我们可以得到；l = 8 1 佻，1 l k ；= 0 ， j 时，有= o 即 f 日l l q 1 2 q l ( p 1 ) 口l l 0 q 篮 q 2 ( - l q 孙 l q o = l !i ；： i l 0 0 q 扣一1 ) l 一) q ( i - mi 0 00 “， 为分块阶梯形矩阵苗分块矩阵的乘法规则，考虑( 5 ) 式两端对角线 上子块得，尬= q 埘肌，g = q “皿，l = 1 ，2 ，s 一1 由定理l 得， 轧肘- ，m a 。c _ m d , ，i = 1 ，2 ，8 1 因为q 0 可逆，所以q “可 逆，i = 1 2 & 所以l v o = q 二1 尬，皿= q 二1 g ，i = 1 ，2 ，5 1 再由引理a 得，m n o c _ m m ，m d 。地， i = 1 ，2 ，8 1 ，所以 = m s ，地= 地， = 1 2 ，8 1 从而由定理1 得，结论成立 2 3 塑j ! 奎堂堡主兰垡垒茎 利用上述结论，可以得到无挠有限生成子模的秩之间的关系公式 定理4 若，m 2 ，必是无挠模d m ( d 是p i d ) 的有限生成子模，则 r a n k 弛铆m k nm f h a n k ( m x + 舰) + r a n k ( ( m 1 _ n 尬) + m 3 ) t o il ：l s - 1 + + r a n k ( ( n 弛) + 尬) l = 1 定理4 的证明可分两种情况讨论： 乒= l ，2 ，a 一1 得 均n j “看蛆k ( 口e ) = 髓n k m + f a n k d = 刁沼n k 靠【+ m 反 l = lt = l 5t 由定理1 的结论n 帆= m n , ，( n ) + 地+ 。= m o 。，i = l ，2 。，8 1 得，定 理结论成立 2 ) 至少有一个螈= o 若炳= 0 ，则结论显然成立若尬0 ，则存在 慨= 0 ，k 1 ，且当 k 时，有n 尬= o j = l k - i k - 1 i 一1 从丽n 坛+ = n 尬，且当l k 时，有n + 磊= 尬而当 k 时， 坛0 ，由1 ) 的讨论可得，定理结论成立 2 4 令 黻 _ 们 2 及 一 e 刖 、， 矗 一习酱 白 o o；缸也 ，d 舭 一 一 一：一“而，一。 一 一一棚魄m (，0屯；o o一凼“；h：o。跏d俐州似蔫 锻 耻 强 沁娥雠 一 耻 强 。一试一 l & t f | 手 眦 械 第三章无挠自由予模秩之间的关系公式 推论1 若m ，m 2 ，舰是自由a b e 群m 的有限生成子群，则 m k 磁= m k n 尬竹a n k ( 舰+ 捣) 讯n l ( ( ( n 尬) + m a ) = 1b 1 s - 1 + - + 姗k ( ( n 觚) + m o ) 2 5 参考文献 【1 】聂灵沼，丁石孙代数学引论【m 】北京：高等教育出版社, 2 0 0 0 【2 】d e r e kj s r o b i m s o n ac o u m ei nt h et h e o r yo fo r o u p s 【m 】n e wy o r k , s p r i n g e - v e d a g ，1 9 9 5 【3 】王新民关于多个子空间的交空间川数学的实践与认识，2 0 0 2 , 3 2 ( 5 ) ) ：8 5 7 - 8 5 9 【4 】王新民，孙霞，张景晓关于多个子空间的交空间与维数公式的推广们数学的实践 与认识，2 0 0 5 , 3 5 0 2 ) ：1 6 6 - 1 6 9 【5 】r o b e r tg b u r n s f u n d a m e n t a l so ft h et h e o r yo fg r o u p s m n e wy o r k , s p r i n g e r - v e f l a 8 ，1 9 7 6 旧h a l m o spk f i n i t ed i m e n s i o n a lv e c t o rs p a p a 镕s p f i n 鲥。v 甜雄，1 9 5 3 7 1a h b a c h e r , m ，f i n i t eg r o u pt h e o r y , n e wy o d 【c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 8 6 【8 】b l a c k b u r n , n a n dh u p p e r t , b ，f i n i t eg r o u p s , b e r l i n ，s p f i n g e r - v e r l a g ，1 9 6 7 - 8 2 【9 】b u r n s i d e , w ，t h e o r yo fg r o u p so ff i n i t eo r d e r , 2 n de d n ，c a m b r i d g e , c a m b r i d g eu n i v e r s i t y p r e s s ，1 9 11 【1 0 d i x o n , j d ，p r o b l e m si ng r o u pt h e o r y , b l a i s d e l l , w a l t h a m , m a , 1 9 6 7 ， f li 】f u c h s , l , ，a b c l i a ng r o u p s p e r g a m o n , o x f o r d , u k , 1 9 6 0 【1 2 g o r a n s t e i n , d ，f i n i t eg r o u p s , n e wy o r k , h a r p e r r o w , 1 9 6 8 【1 3 1h a n , m ，t h e l n b f y o f g r o u p s ，n e w y o r k , m a c m i l l a n 1 9 5 9 【1 4 k m g a p o l o v , m i a n dm e r z l j a k o v j t l i , f u n d a m e n t a l so ft h et h e o r yo fg r o u p s , 2 n d e d n ，t r a n s l a t e d 幻mt h er u s s i a nb yk g b o r r b , n e wy o r k , s p r i n g e r - v e r l a g 1 9 7 9 f 1 5 】k u r o s , a g , t h et h e o r yo fg m u p s , 2 n de d n 2v o l s ，t r a n s l a t e df r o mt h er u s s i a n b y