（基础数学专业论文）与正数量曲率有关的若干几何问题.pdf

摘要 摘要 研究数量曲率对流形拓扑的控制，一直是微分几何中一个重要而又困难的问 题。由于k a z d a n 和w a r n e r 的工作( 1 1 一1 3 】) ，我们主要关心在流形上带正数量曲率的 度量的存在问题。长久以来， 1 5 】一直是这方面仅有的主要结果。在这篇文章中， 作者l i c h n e r o w i c z 利用a t i y a h s i n g e r 指标定理给出了在s p i n 流形上正数量曲率存 在的一个拓扑障碍。在8 0 年代早期，g r o m o v 和l a w s o n 受l i c h n e r o w i c z 工作的启发， 将基本群对于流形曲率的影响引入了这一问题，通过定义所谓的e n l a r g e a b i l i t y 概 念并利用指标技术，极大的推广了l i c h n e r o w i c z 的结果( 【6 ，7 】) 。特别是他们解决 了非常重要的两个问题：环面p 上正数量曲率度量的分类问题和彻底分类何种 三维流形可以赋予正数量曲率度量的问题。同时，在 6 】中，他们又研究了单连 通流形、特别是维数不小于5 的单连通流形上正数量曲率的存在问题，并提出了 著名的g r o m o v l a w s o n 猜想。这一猜想随后被s t o l z 以拓扑的方法加以解决( 【2 8 ) 。 配合在 6 1 q h 关于非s p i n 流形上正数量曲率度量的存在性的结果，我们将维数不小 于5 的单连通闭流形上正数量曲率度量的存在性问题彻底的转化为某一个d 示 性数的计算问题。 在本文中，利用g r o m o v 和l a w s o n 发展起来的一系列技术，我们研究了两类特 殊的流形，即复完全交和3 维k ( 7 r ，1 ) 型流形上的s 1 丛，并得到了以下结果： t h e o r e m0 1 令垤，d r 表示由次数分别为 d 1 ，西) 的齐次多项式定义的咒维完 全交，那么唿，d r 可以赋予一个带正数量曲率的黎曼度量，当且仅当： 力当n = l 时， d l ，西) = ( 1 ，1 ) ) ； i i ) 当佗= 2 时， 4 1 ，西) = ( 2 ) ，( 3 ) ，( 2 ，2 ) ，( 1 ，1 ) 】i ； 刎当佗= 2 k ，k 1 时，钆+ r + 1 一d i 为一个奇数，或者n + r + 1 一d i 为一 个正的偶数? 驯当竹= 4 k + 1 ，k 1 时，如果4 尼+ 7 + 2 一d i 是一个偶数那么( 4 七十吐d 甓；鬈；一1 + 玉) 7 2 ) 三 0m o d 2 f ，这里我们对士d 1 土土d r l + 西的所有可能求和j ，或者如果4 七+ 7 _ + 2 一也是一个奇数那么 d l ，西) 没有限制， 纠当n = 4 k + 3 ，k o 时， d 1 ，d r ) 没有限制。 t h e o r e m0 2 令m 表示一个k ( 7 r ，1 ) 型的3 维流形，即当i 1 时我们有r i ( m ) = 0 。 摘要 同时令e 表示m 上某个s 1 主丛。那a e 不能被赋予一个带正数量曲率的黎曼度 量。 定理o 1 的证明主要分成两部分：在第一部分，也就是礼2 的情况里，我 们利用t t a u b e s ( 2 9 ) 关于s e i b e r g w i t t e n 不变量的工作和复1 、2 维完全交流形的 若干分类结果，具体找出了可以赋予正数量曲率度量的完全交的例子。在高维 情况，由于s t o l z 对g r o m o v l a w s o n 猜想的证明和g r o m o v 以及l a w s o n 关于非s p i n 流 形上正数量曲率度量的存在问题的肯定结果，问题归结为对s p i n 型完全交示性 数的计算。我们针对示性数的周期特点，分别对n 三0 ，2m o d4 以及佗三1m o d 4 进行了计算，并最终得到了定理0 1 。定理0 2 的证明主要是试图在流形e 中找到 一个不可压缩的环面p ，并利用这个t 2 来构造在 8 中定义的的b a d e n d ，进而证明 正数量曲率度量的不存在性。值得一提的是，本文作者指出了g r o m o v 和l a w s o n 文 章 8 】中定理7 4 7 证明过程中的一处疏漏，并针对定理0 2 中所讨论的情形补全了 证明。 同时，本文中还包含有作者对于流形s u ( 3 ) s 0 ( 3 ) 不是s 川佗。流形这一命题的 一个证明。 关键词：正数量曲率完全交 i i i a b s t r a c t a b s t r a c t i ti sa l li m p o r t a n tb u td i f f i c u l tp r o b l e mi nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt oi n v e s t i g a t et h e c o n t r o lo fs c a l a rc u r v a t u r et ot h et o p o l o g yo fu n d e r l y i n gm a n i f o l d d u et ow o r ko f k a z d a na n dw a r n e r ( 1l 一13 】) w em a i n l yf o c u so nt h ee x i s t e n c eo fm e t r i co fp o s i t i v e s c a l a rc u r v a t u r eo nam a n i f o l d f o raq u i t el o n gt i m e ，【1 5 】h a sb e e nt h eo n l yi m p o r - t a n tr e s u l to nt h i si s s u e i nt h a tp a p e r , l i c h n e r o w i c zg a v eo u ta l lo b s t r u c t i o no ft h e e x i s t e n c eo fm e t r i co fp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r eo ns p i nm a n i f o l db ya t i y a h - s i n g e ri n d e xt h e o r e m i nt h ee a r l y19 8 0 s ，i n s p i r e db yt h ew o r ko fl i c h n e r o w i c z ，g r o m o va n d l a w s o n ( j 7 ，8 】) i n t r o d u c e dt h ei m p a c to fam a n i f o l d sf u n d a m e n t a lg r o u pt oi t sg e o m e t r i cs t r u c t u r et ot h i sp r o b l e m b yd e f i n i n gan e w c o n c e p t “e n l a r g e a b i l i t y a n de m p l o y i n g t e c h n i q u ef r o mi n d e xt h e o r e m ，g r o m o va n dl a w s o ng e n e r a l i z e dg r e a t l yt h er e s u l to f l i c h n e r o w i c z i np a r t i c u l a rt h e ys o l v e dt h ef o l l o w i n gt w oi m p o r t a n tp r o b l e m s ：t h ee x i s t e n c eo fm e t r i co f p o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r eo nt o i lp a n dt oc l a s s i f y3 - m a n i f o l d sw i t h r e s p e c tt ot h ee x i s t e n c eo fm e t r i co fp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r e d u r i n gt h es a m et i m e ， t h e ya l s oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fm e t r i co fp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ef o rs i m p l y c o n n e c t e dm a n i f o l d s ，e s p e c i a l l yf o rs i m p l y c o n n e c t e dm a n i f o l d sw i t hd i m e n s i o n 5 ， a n dr a i s e dt h ef a m o u sg r o m o v - l a w s o nc o n j e c t u r e t h i sc o n j e c t u r ew a ss e t t l e d1 a t e r b ys t o l z ( 2 8 ) b yt o p o l o g i c a lm e t h o d s s oc o m b i n e dw i t ht h ef a c tt h a tn o n - s p i ns i m p l y c o n n e c t e dm a n i f o l d sw i t hd i m e n s i o n 5a l w a y sa d m i tm e t r i co fp o s i t i v es c a l a rc l l r - v a t u r e ( 6 ) ，w et r a n s f e rt h ep r o b l e mt od e t e r m i n et h ee x i s t e n c eo fm e t r i co fp o s i t i v e s c a l a rc u r v a t u r eo ns i m p l y c o n n e c t e dm a n i f o l d sw i t hd i m e n s i o n 5t ot h ec a l c u l a t i o n o fs o m ek o - c h a r a c t e r i s t i cn u m b e r 。衫 i nt h ep r e s e n ta r t i c l e ，b ye m p l o y i n gt h es e r i o u sw o r ka n dt e c h n i q u ed e v e l o p e d b y g r o m o va n dl a w s o n ，w ei n v e s t i g a t et w o s p e c i a lk i n d so fm a n i f o l d s ，n a m e l yt h ec o m p l e xc o m p l e t ei n t e r s e c t i o n sa n dc i r c l eb u n d l eo v e r3 - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d so fk ( 7 r ，1 ) t ) r p e w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gt w or e s u l t s ： t h e o r e m0 3 l e t 唿， d ，d e n o t ean d i m e n s i o n a lc o m p l e t ei n t e r s e c t i o nd e f i n e db y h o m o g e n e o u sp o l y n o m i a l sw i t hd e g r e ed l ，西t h e n 馏d ra d m i t sr i e m a n nm e t r i c a b s t r a c t o f p o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ei f a n do n l yi f ： 砂w h e nn = 1 ， d l ，西) = ( 1 ，1 ) ) ； i i ，w h e nn = 2 ， d 1 ，c f r ) = ( 2 ) ，( 3 ) ，( 2 ，2 ) ，( 1 ，1 ) k i i i ) w h e nn = 2 k ，k 1 ，佗+ 7 + 1 一d ii sa no d d n u m b e ro rt l + r + 1 一唬i s a ne v e np o s i t i v en u m b e r ； i v ) w h e nn = 4 k + 1 ，鬼1 ，i f 4 k + r + 2 一ed ii se v e nt h e n ( 4 七+ r 士d 1 轰；麓_ 1 + 玉v 2 ) 兰 0m o d2 ( h e r ew et a k es u mo v e ra l lo ft h ep o s s i b i l i t i e so f 土d 1 土士d r 一1 + d j o r i f 4 k + r + 2 一也i so d d t h e n d 1 ，西) t a k ev a l u ea r b i t r a r i l y v jw h e nn = 4 k + 3 ，0 ，i d a ，西) t a k ev a l u ea r b i t r a r i l y t h e o r e m 0 4 l e t m d e n o t e a 3 - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d o f k ( t r ，1 ) t y p e , n a m e l y7 r i ( m ) = of o ，i 1 a n dl e ted e n o t eas 1 - p r i n c i p a lb u n d l eo v e rm t h e ne d o e sn o ta d m i ta m e t r i co f p o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r e t h ep r o o fo ft h e o r e m1 1 0i sm a i n l yd i v i d e di n t ot w op a r t s ：t h ef i r s to n e ，n a m e l y f o r 佗2 ，w ea p p e a lt ot h ew o r ko ft a u b e so ns e i b e r g w i t t e ni n v a r i a n t ( 2 9 ) a n ds o m e c l a s s i f i c a t i o nr e s u l ta b o u t1a n d2 - d i m e n s i o n a lc o m p l e t ei n t e r s e c t i o n i nt h eh i g h e r d i m e n s i o n s ，t h a n k st ot h ep r o o ft og r o m o v - l a w s o nc o n j e c t u r ea n dt h ea f f i r m a t i v ea n - s w e rt ot h ee x i s t e n c eo fm e t r i co fp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r eo nn o n - s p i nm a n i f o l d sb y g r o m o va n dl a w s o n ，t h ep r o b l e ms u m m a r i z e sa st h ec a l c u l a t i o no fk o c h a r a c t e r i s t i c n u m b e r 衫a c c o r d i n gt ot h ep e r i o d i c i t yo f ，w ec a l c u l a t ei tr e s p e c t i v e l yf o r 钆三0 ，2 m o d4a n d 佗三1m o d4t oc o m p l e t et h ep r o o fo ft h e o r e m1 1 0 t h ep r o o ft ot h e o r e m 0 4i st r y i n gt of i n do u ta l li n c o m p r e s s i b l et o m si ne ，t h e nc o n s t r u c tab a de n dd e f i n e d i n 8 】t op r o v et h en o n e x i s t e n c eo fm e t r i co fp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r eo ne n o t i c e a b l y t h ea u t h o rp o i n to u tad e f e c ti nt h ep r o o fo ft h e o r e m4 4 7i n 【8 】a n da m e n dt h ep r o o f i ns o m es p e c i a lc a s e ，w h i c hi sa l r e a d ye n o u g hf o r0 1 1 1 7t h e o r e m0 4 b e s i d e st h e s et w om a i nr e s u l t s ，t h i sa r t i c l ec o n t a i n sa sw e l lap r o o f t h a ts u ( 3 ) s 0 ( 3 ) i sn o tas # n 。m a n i f o l db yt h ea u t h o r k e yw o r d s ：p o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ec o m p l e t ei n t e r s e c t i o n v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：研 州年r 月加日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：勿丁 1 肚年r 月, o e t c h a p t e r1b a c k g r o u n dm a t e r i a l s c h a p t e r1b a c k g r o u n dm a t e r i a l s 1 1 w h yp o s i t i v e s c a l a rc u r v a t u r e o nar i e m a n nn - m a n i f o l dm ( b ys u c ham a n i f o l dw ea l w a y sa s s u m ei t sm e t r i ci s c o m p l e t e ls c a l a rc u r v a t u r ek i st h ew e a k e s tc u r v a t u r ei n v a r i a n t t h i sc u r v a t u r ec a nb e d e s c r i b e db yt h ef o l l o w i n ge q u i v a l e n td e f i n i t i o n s ： i ) a st h et r a c eo fr i c c it e n s o r i i ) a sac o e f f i c i e n t ( u pt oac o n s t a n t ) i nt h ee x p a n s i o n ： v ur ) = ( r ) ( 1 6 ( 仡+ 2 ) r 2 + ) ， w h i c ht e l l su st h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt w og e o d e s i cb a u sw i t hs m a l lr a d i u sri nm a n ds t a n d a r de u c f i d e a ns p a c er e s p e c t i v e l y t h er e a s o nw h yw er e g a r ds u c hac u r v a t u r ea s t h ew e a k e s to n e ”i ss o m e w h a tn o t h a r dt ou n d e r s t a n d ：n o tl i k es e c t i o n a lc u r v a t u r ea n dr i c c ic u r v a t u r e ，i ti sj u s tas c a l e a n dh a sv e r yw e a km e a s u r eo fl o c a lg e o m e t r y , n o tm e n t i o nt h ec o n t r o lt ot h et o p o l o g y o fu n d e r l y i n gm a n i f o l d a se v i d e n c et h ef o l l o w i n gas e r i e so fw o r k so fk a z d a na n d w a r n e rg i v eo u tt h es o c a l l e dt r i c h o t o m yt h e o r e m ： t h e o r e m1 1 f 1 11 1 3 1 ) ”i fma d m i t sar i e m a n nm e t r i cw i t hn o n n e g a t i v es c a l a rc u r v a t u r ew h i c hi sn o t i d e n t i c a l l yd t h e ne v e r ys m o o t h f u n c t i o no nm c a nb er e g a r d e da ss c a l a rc u r v a t u r e o fs o m er i e m a n nm e t r i c ； 鲫驴ma d m i t sar i e m a n nm e t r i cw i t hv a n i s h i n gs c a l a rc u r v a t u r eb u td o e sn o tb e - l o n g st of ) t h e naf u n c t i o nfi st h es c a l a rc u r v a t u r eo fs o m em e t r i ci fa n do n l yi f e i t h e rf ( x 1 0 ，t h e r ee x i s t s 册 s p i na n d e - h y p e r s p h e r i c a l o r i e n t e dc o v e r i n gm a n i f o l d 又_ xw 融c hi s r e m a r k1 肋如已纨甜d 蹦_ r 如励讹，z d 厂e r l l a 玛e a b i l i 够幽弦坶s 妇庇咖加mt h ed r i g i n a l 鲫mg r o m o va n d l a w s o n sp a p e r s i nt h e i r p a p e r st h ee n l a r g e a b i l i t yi sd e f i n e do n 口 r i e m a n n i a nm a n i f o l dw i t hs p e c i f i e dm e t r i c , w h i l ew e m o d i f y 缸s dhi sm o 陀c d ，w e ，l i e ，l f t ou s e t h e s el l i g l l l yc o n t r a c t i n gm a p sc a nb eu s e dt op r o d u c e n o n t r i v i a lb u n d l e sw h i c h a r ea l m o 鼠f l a tb yp u u i n gb a c ks o m ef i x e db u n m ef r o mt h e s p h e r e a p p l y i n gt h e b o c h n e rm e t h o dt ot h ed i r a c o p e r a t o rw i t hc o e f f i c i e n t si nt h e s eb u n d i e sp r o v e sd i t e e t l y t h a te n l a r g e a b l e s p i nm a n i f o l d sc a n n o tc a r r yp o s i t i v es c a l a rc “，v 口m ， e x a m p l e1 1 ( e x a m p l e so fe n l a r g e a b l em a n i f o l d s ) e n l a r g e a b i l i t yi s ah o m o 幻p v t h e o r e n cp r o p e r t y , a n dt h ec a t e g o r yo f e n l a r g e a b l em a n i f o l d si s 以r i c ha n d i n t e r e s t i n 2 o n e l tc o n t a i n s , f o re x a m p l e , a l l s o l v m a n i f o l d s , a l lh y p e r b o l i cm a n i f o l d sa n dn i is u f f i c 。e n t l y2 口r g e3 - m a n i f o l d s i np a r t i c u l a ri tp r o p e r l yc o n t a i n sa l l s c h o e n y a “i l i a ，l i f o l d s a z 如p r o d u c t so fe n l a r g e a b l em a n i f o l d sa r ee n l a r g e a b l e , a n d t h ec o r m p c t e ds “mo f 以甩 e n l a r g e a b l em a n i f o l dw i t ha n yo t h e rm a n i f o l di sa g a i ne n l a r g p 以b e a 1 s ot h e r ea r em a n y p o s i t i v er e s u l t sa b o u tt h ec o n s t r u c t i o no fm e t r i c so fp o s i t i v e s c a a rc l l n ，a t u r ei ng r o m o va n d l a w s o n ss e r i e so f p a p e r s o n em o s ti m p o r t a n t 锄o n g t h e m ，a l s od e v e l o p e di n d e p e n d e n t l y b ys c h o e na n dy a u ( 2 3 ，2 4 】) ，i st h a t ： 。i h e o r e m1 3 i fx i s 口c o m p a c tm a n i f o l dw h i c ha d m i tr i e m a 刀，z 耽p t r i co f p o s i t i v e 5 c 诅l mc u r v a t u r e , t h e na n ym a n i f o l dw h i c hc a nb e o b t a i n e df r o mx b yp e r f o r m i n g s 蹦r g e 九已si nc o d i m e n s i o n 3a l s oc a r r i e sa m e t r i cw i t hp o s i t i v es c a l a rc “九m 陀i n p a r t i c u l a r , 矿墨，五a r ec o m p a c t 礼一m a n i f o l d s ，礼3 jw i t h p o s i t i v ej c a l a 厂侧n 切l u r e , t h e nt h e i rc o n n e c t e d - s u ma l s oc a r r i e s p o s i t i v ej c 口l a ，- c “r v a t u 圮 w es h a l le x p l a i nt h ed e f i n i t i o no f s u r g e r y ： d e f i n i t i o n1 3 ( ht ) g i v e na d i f f e r e n t i a b l e , o r i e n t a t i o nr e s e n ，汛ri m b e d d i n g ： f ：酽d q + 1 _ 缈 w i 晓p + g + 12 t h pd i m p 聆s i 。，zo fw l e tx ( 彬，) d e n o t et h pq u o f 拓彤m 册扣埘 o b t a i n e d f r o mt h ed i s j o i n ts u m ( w 一，( 酽o ) ) ( d p + 1 s q ) 3 b yi d e n t i f y i n g ，( u ，o r ) w i t h ( o u ，可) f o ，e a c h 秕伊，秽伊，0 0 1 w ec a l l x ( 彬，) 口m a ，z i f o l d 。b r a i n p d f r o mwb y p p r f o r m 咖口删僻矿幽僦淞枷g + 1 i f lp a r t i c u l a r , w ek n o wt h ec o n n e c t e d s u mi sa s p e c i a lk i n do fs u r g e r yi fw ec o n - s i d e rt h ee m b e d d i n ga s ： ，：s o d n _ 五托 a n di nw h i c hfs e n d st h es e p a r a t e dd i s k s i n t ox aa n dx 2 r e s p e c t i v e l y w i 洲1 ea i do ft h e o r e m1 3 ，g r o m o va n dl a w s o n a r ea b l et op r o v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m ： t h e o r e m 1 4 ( 7 ) a n y3 - m a n i f o l do f t h e f o r m m 3 = ( - 5 r 3 r ，) f l f ( s 3 r n ) l ( s 1 铲) # # ( s z s 2 ) w e 愆e a c he i s 口f n i t es u b g r o u po fs 0 ( 4 ) a c t i n gf r e e l ya n do r t h o g o n a l l y 册伊 c a r r i e sam e t r i co f p o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r e s i n c eb ym i l n o r sp r i m ed e c o m p o s i t i o n ，a n y3 - m a n i f o l dc a nb ed e c o m p o s e d ( i n t l a es e n s eo fc o n n e c t e d s u m ) u n i q u e l yi n t op r i m e3 - m a n i f o l d s ，n a m e l ym 跚渤1 d so f k ( 7 r ，1 ) t y p e ，m a n i f o l d so ff i n i t ef u n d a m e n t a lg r o u pa n dm a n i f 0 1 d ss 1 铲w ek i l o w t h a tg r o m o va n dl a w s o nh a v es o l v e dt h ep r o b l e m o fd e t e r m i n i n gw h i c h3 m a n i f o l d s a d m i tm e t r i co fp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ei ng r e a ts e n s e h o w e v e r , i n 7 】t l l e yd i d n o t s o i v e dt h ep r o b l e mo fi n v e s t i g a t i n gt h en o n e x i s t e n c eo f p o s i t i v es c a l a rc u n ，a n 聪f o r 3 - m a n i f o l d so fk ( w ，1 ) t y p e t h i st a s k i nw h i c h t h e yc l a i m e d ： w a sd o n ei nt h e i rs u b s e q u e n ts e m i n a l p a p e r 8 】， - 1 1 h e o i e m1 5 a n y3 - m a n i f o l d a d m i t sm e t r i co f p o s i t i v es c a l a rc “r v a t u ，i f 口，z dd n l yi f t h e r e 括n o f a c t o ro f k ( i t ，1 ) t y p ei ni t s p r i m ed e c o m p o s i t i d ，1 r e m a r k2 a l t h o u g hi nm i l n o r so r i g i n a l p a p e r , o n ek i n d 呼越c t o r si n h ep n m ed e c d 唧d s 讹以s h o u mb e3 - m a n i f o l d so f f i n i t e f u n d a m e n t a l g r o u p , h o w e v p ，；矿聊口船“聊 肋m 彤c o n j e c t u r et oh o l dt h e n 觑括k i n do f m a n i f o l d sa r e j u s ti n f o ，7 l ，zo f s 3 r o u rs e c o n dm a j o rw o r ki sb a s e do nt h et e c h n i cd e v e l o p e d i n 6 】 i n 6 】，g r o m o va n dl a w s o na l s oo b t a i n e dt w o i m p o r t a n tr e s u i t sa b o u tm ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r eo v e rs i m p l y c o n n e c t e dm a n i f o l d s t h e f i r s t0 n ei sa d i r e c tc o n s e q u e n c eo ft h e o r e m1 3 t h e o r e m 1 6 a n yc o m p a c fs i m p l y c d 咒n p c t e ds p i nm 口n i f o l dx o f d i m p ，z s f 。咒5 砒砌 4 c h a p t e r1b a c k g r o u n dm a t e r i a l s i ss p i nc o b o r d a n tt oa m a n i f o l do f p o s i t i v es c a l a rc u r v a t u r ea l s oc a r r i e sp o s i t i v es c a l a r c u r v a t u r e r e m a r k3 a 印砌g r o u ps p i n ( n ) 括d e f i n e da st h ed o u b l ec o v e r i n gs p a c eo fg r o u p s o ( , o ，n a m e l y 嘞佗( 竹) 一1 ，1 ) 耄s o ( s ) as p i ns t r u c t u r eo n 口v e c t o rb u n d l ee i s as p i n ( n ) - p r i n c i p a lb u n d l e n ( e ) t o g e t h e rw i t ha2 - s h e e t e dc o v e r i n gt ot h es o ( s ) - p r i n c i p a lb u n d l ea s s o c i a t e dt o1 7 , 7 r ：n ( e ) _ p s o (