（通信与信息系统专业论文）旋转对称目标散射的有限元法研究.pdf

摘要 有限元是计算电磁学的主流方法之一，对复杂结构和非均匀介质问题有 很强的描述能力。有限元法求解的基本思想是把边值问题的求解转化为条件 变分问题的求解。 本文首先对有限元的发展历史和现状加以分析和总结，在此基础上指出 了旋转对称目标分析的特殊要求。然后对有限元的处理方法展开说明，给出 了二阶等参元剖分算法，和标量、矢量离散化处理方法。 在电磁散射等开域问题中，有限元需要用虚拟边界截断无限大分析区域， 本文首先给出了完全匹配层的基本原理原理；在此基础上，深入分析了二维 和三维共形匹配层的特性及实现方式，得出了匹配层衰减参数的变化规律， 分析了共形匹配层对单元g 2 连续性的要求，给出了基于法曲率近似的匹配层 实现办法：最后给出了一种新型的吸收边界条件互补共形匹配层，可以 在稍微增加计算量的同时减小非物理反射，从而提高求解精度。 旋转对称目标由于自身的对称性，使我们可以用二维方法处理三维问题。 以前采用的矩量法和耦合方位势，已不能满足计算需求。因此本文先从一般 目标的散射有限元分析出发，在给出了三维问题的处理方法的同时，讨论了 二维简化处理方案。然后对旋转对称目标的特性加以分析，充分利用其旋转 对称性，给出了使用有限元模式展开法的解决方案。 论文主要的创新有： 1 在共形匹配层的研究中引入几何连续性的概念，指出了共形匹配层对单元 g 2 拼接连续性的要求。 2 实现基于法曲率近似的三维共形匹配层实现方法，克服了单元需要g 2 连续 拼接、主曲率计算稳定性差等困难。 3 实现了三维互补共形匹配层，进一步减小了由于网格离散造成的非物理反 射，提高了求解精度。 4 对于固定厚度的柱面匹配层，我们发现其最佳衰减参数随散射体电尺寸的 增大而增大。 5 给出了旋转对称目标散射的有限元分析方法。 6 讨论了场量在z 轴上应满足的边界条件。 关键词： 有限元，电磁散射，共形匹配层，互补共形匹配层，等参数单元， 矢量单元，几何连续性 a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m )i so n eo ft h em a j o rn u m e r i c a l m e t h o d si nc o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c d u et oi t sv e r s a t i l i t ya n d f l e x i b i l i t y ，t h ef e mi sc a p a b l eo fm o d e l i n gc o m p l i c a t e ds t r u c t u r e sa s w e l la si n h o m o g e n e o u sm a t e r i a l s 1 h es o u lo ff e mi st h et r a n s i t i o nf r o m t h eb o u n d a r vd r o b l e mt ov a r i a t i o n a lf u n c t i o n t h eh i s t o r ya n da e t u a l i t yo ff e ma r ea n a l y z e da tf i r s t ，b a s e do n w h i c ht h es p e c i a lc h a r a c t e ro ft h eb o d yo fr e v o l u t i o n ( b o r ) i sg i v e n t h e n ， t h ep r o g r e s so ff e mi sp r e s e n t e d ，s u c ha st h ed i s c r e t em e t h o d o f2 mo r d e ri s o p a r a m e t r i ce l e m e n ta n dt h ed i s p e r s ep r o g r a mu s i n gs c a l a r a n dv e c t o rq u a n tit y ， w h e ns 0 1 v i n ge l e c t r o m a g n e t i c ( e m ) s c a t t e r i n gp r o b l e mw i t hf e m ， t h ei n f i n i t er e g i o ne x t e r i o rt ot h es c a t t e rm u s tb et r u n c a t e db ya f i c t i t i o u sb o u n d a r y i nt h i sp a p e r ， b a s e do nt h ep e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r ( p m l ) ， t h ec h a r a c t e ro fc o n f o r m a lp m l ( c p m l ) isd is c u s s e d ，s u c h a st h ea t t e n u a t i o np a r a m e t e r ， c o n t i n u i t yb e t w e e ne l e m e n t s t h e nt h e c o m p l e m e n t a r yc p m l( c o m c p m l ) i sg i v e n ，w h i c hw i l lm i n i s ht h e n o n p h y s i c a lr e f l e c t i o nw i t hal i t t l ei n c r e a s e o fc o r n p u t i n g d u et ot h er e v o l u t i o n a r ys y 唧e t r yo fb o r ，t h e3 dp r o b l e mc a nb e s o l v e db y2 dm e t h o d s t h ep r e v i o u s em o ma n d c pm e t h o dc a nn o ts a t i s f y t h er e q u i r e m e n to fs t u d y h e n c e ，t h ep a p e ri ss t a r t e dw i t ht h ea n a l y s i s o ft h es c a t t e ro ft h ec o 咖o nb o d y t h e3 df e ma l g o r i t h mi sd i s c u s s e d i nd e t a i l ，a tt h es a m et i m e ，t h e2 ds i m p l i f i e dm e t h o di sg i v e n t h e 1 a s tc h a p t e ro ft h i sp a p e rp r o v i d e st h es t u d yo fb o ru s i n gf e m m o d e e x p a n s i o n t h ep r i n c i p a lc o n t r i b u t i o n so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 i nt h ea n a l y s iso fc o n f o r m a lp m l ，an e wc o n c e p t t h eg e o m e t r i c c o n t i n u i t y i si n t r o d u c e d t h ep a t c h e si nt h ec p m lr e g i o na r e r e q u i r e dt om e e tw i t hg 2 ( g e o m e t r i cc 2 一c o n d i t i o n ) c o n t i n u i t y 2 t h e3 dc o n f o r m a lp m li sr e a li z e d t oa v o i dt h ed i f f i c u l t i e s a s s o c i a t e dw i t hg 2c o n t i n u o u sm e s hg e n e r a t i o na n di n s t a b i l i t i e si n p r i n c i p a l c u r v a t u r e e v a l u a t i o n ， an o r m a lc u r v a t u r e b a s e d a p p r o x i m a t i o ni sp r o p o s e d 3 t h e3 0c o m p l e m e n t a r yc o n f o r m a lp m li sr e a l i z e d ，w h i c hw i l ld e c r e a s e t h e n o n p h y s i c s r e f l e c ti o no ft h em e s h d i s p e r s i n ga n dt h e n i n c r e a s i n gt h ep r e c i s i o no fs o l u t i o n s 4 t h e 叫m e r i c a li n v e s t i g a t i o nr e v e a l st h a tf o rc y l i n d r i c a l 跚lo f g i v e nt h i c k n e s s ， t h eo p t i m a lv a l u eo ft h e1 0 s s p a r a m e t e rw i l l i n c r e a s ew i t ht h ee l e c t r i c a ls i z eo ft h es c a t t e r 5 t h ef e mm e t h o do fb o rs c a t t e r i n gi sr e a l i z e d 6 t h ep r o p e rb o u n d a r yc o n d i t i o n so nza x i sa r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， e 1 e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g ， c o n f o r m a lp m l ， c o m p l e m e n t a r yc o n f o r m a lp m l ，i s o p a r a m e t r i ce 1 e m e n t s e d g ee 】e m e n t s ， g e o m e t r i cc o n t i n u i t y ， 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期闻论文工作 的知识产权单位属于西北一1 ：业大学。学校有权保留并网国家有芙部门或机构送交论文的复 印件和电于版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为两北工业 人学。 保密论文待解密后适j = f 本声明。 学位论文作者签名： 年月日 指导教师签名 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风干优良的科学道德，本人郑重声明：所星变的学位论文，是本 人在导师的指导f 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引婀的内容 和致谢的地方辨，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过盼成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一刨相关的法律责任。 学位论文作者签名 年月曰 两北j ：业大学博十学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 电磁学有限元理论的发展 有限元建立了一条连续系统离散逼近的自然途径，也许这就是有限元方 法最重要的特性。到目前为止，作为一种十分有效的数值算法，有限元法 已广泛的应用于各类工程技术领域，例如流体力学、空气动力学、结构应力、 应变分析、以及各种场变量温度、压力、电磁场的计算等等。本节主要 介绍有限元理论的一个分支，电磁学有限元理论的发展。 1 9 4 3 年，c o u r a n t “1 的论文中首次明确地出现了有限元的思想一最小位能 原理及分片插值的离散形式。然而许多学者认为，有限元初期最重要的贡献 应来自于结构工程师”，他们根据工作需要提出许多启发性的构想并付诸实 践。1 9 5 3 年，工程师们首次用数字计算机实现了有限元刚度矩阵的求解“1 。 1 9 6 0 年，有限元的名称”1 正式出现。 六十年代中期，数值分析学家认识到有限元思想的重要性，将偏微分方 程理论、泛函分析、逼近论等引入有限元的理论体系，建立了有限元方法的 数学基础。自此，有限元开始在工程计算中得到广泛应用，直至成为某些学 科数值算法的支柱。 1 9 6 9 年，p p s i l v e s t e r 有关波导模求解的文章”+ 7 1 是一个里程碑，标 志着电磁学有限元方法的出现。不久，有限元被用于求解电机磁场、静电场、 波导本征值、涡流场、散射与辐射场等等，涉及电磁学的各个领域。有关电 磁学有限元方法的论文数量逐年递增”1 ，六十年代末仅十几篇，七十年代末 达到1 0 0 篇左右，八十年代术已接近1 0 0 0 篇；到九十年代，有限元已经同矩 量法，时域有限差分法共同构成计算电磁学的三大主流算法。许多商业有限 曲北i ：业人学蹲十学位论文第一章绪论 元软件也包含了电磁场计算功能，例如m a r c 、a n s o f t 、a n s y s 等，专为天线， 微波器件设计服务的有限元软件也丌始出现。 大量科技文献与商业化软件的出现表明，在电磁学相关领域，有限元理 论已经趋向成熟，研究人员的目光应当转向其它领域。然而散射问题的有限 元理论是个例外，三十年来这个领域新的方法层出不穷，但是一直未发展到 接近工程应用的水平。显然，这是一个广阔而复杂，值得深入研究的领域。 1 2 有限元理论在开域散射问题中的应用 有限元求解电磁散射问题的困难之处在于，有限元是一种区域性方法， 受计算机存储空间和运算时间的限制；而电磁散射是一个开域问题，有限元 方法不可能将离散域扩展到无限空间，需要特殊的边界条件一开域边界条件 为有限元确定一个有限大的计算区域，将开域问题转化为闭域问题。 有限元开域边界条件可以分为“”局域边界条件( l o c a lb o u n d a r y c o n d i t i o n ) 与全域边界条件( g i o b a jb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 。全域边界条件准确 地描述了散射体外部空间的电磁特性，是精确的边界条件，然而由于考虑了 边界上所有节点问的相互作用，全域边界条件离散化之后会形成一个稠密矩 阵，使有限元与全域边界条件的耦合矩阵失去稀疏性，不利于存储和求解。 相反，局域边界条件只考虑相邻节点问的相互作用，因此保持了系统矩阵的 稀疏性；不足之处是局域边界条件一般为精确辐射边界条件的某种近似，精 度和应用范围有限。 电磁散射问题的有限元理论与其它学科相比有许多共同之处，其个性部 分都直接或问接地与丌域边界条件联系在一起，这一点是理解其发展趋势的 关键。所以，本节对这一领域研究进展的论述以开域边界条件为核心，以有 限元方法的实施步骤为框架，分为边界条件的处理、系统方程组的求解、物 理量与几何量的插值形式三部分。 西北l ：业大学博十学位论文 第一章绪论 1 2 1 边界条件的处理 有限元应用于散射问题之初，研究人员就十分清楚局域与全域边界条件 的缺陷，并且一直努力从各种途径去弥补它们，新的开域边界条件的往往给 研究工作带来巨大的进展。 ( 1 ) 全域边界条件 电磁散射问题早期的开域边界条件几乎都是全域边界条件，最早引入的 是边界积分方程( b o u n d a r yi n t e g r a le q u a f i o n ) ，先驱者是s i l v e s t e r 1 、 m c d o n a l d “23 等，他们在七十年代初的工作奠定了全域边界条件的基础，使有 限元具备了求解散射问题的能力。 单矩法( u n i m o m e n tm e t l l o d ) “4 “1 是稍后出现的全域边界条件，在单矩法 的边界上，散射场展开为本征函数和的形式，待求变量是各个本征函数的展 开系数。由于这种方法的边界形状仅限于圆形( 2 d ) 、球形( 3 d ) ，对于狭长的 散射体效率不高，故未能得到推广。单矩法最新的进展是将边界形状扩展为 椭圆形“1 ( 2 d ) 。 再后来出现的有限元矩量法“”，有限元边界元“”等方法，在本质上都 可以归入有限元边界积分方程法“1 或统称为有限元混合方法“”( h y b r i d m e t l l o d ) 。七十年代由于计算机尚未普及，混合方法没能得到重视；至八十年 代中期，该方法逐渐得到关注，被广泛地应用于二维“”，”1 、三维。”纠电磁 散射计算以及天线辐射特性的计算“，是公认的精确数值方法。 如前所述，全域边界条件离散化后产生稠密矩阵，破坏了系统矩阵的稀 疏性，因此限制了有限元求解电大尺寸散射问题的能力，在三维计算中这种 现象更为严重。 现阶段主要的解决途径有两个：一是建立专门的耦合矩阵算法，具体的 研究进展见系统方程组求解部分；二是采用局域边界条件。 ( 2 ) 局域边界条件 晴j 匕f ：业人学博十学位论文 第一章绪论 吸收边界条件a b c ( a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ) 是局域边界条件的典 型代表，七十年代术出现，在有限元”、时域有限差分。州等方法中得到广 泛应用。吸收边界条件模拟了散射体外部自由空间的电磁特性，使散射波能 够自由穿过边界，或者说被边界完全吸收。 吸收边界条件的建立方法是将局域算子应用于波动方程，或者使散射波 展开式的莳几项在边界处被吸收。常用的是e n g q u i s t - m a j d a 洲和 b a y l i s s t u r k e l 型1 吸收边界条件，前者适用于平面边界，后者适用于圆形、 球形边界。二维的吸收边界条件已经有了完整的理论体系啪+ “1 ，研究人员对 其较为熟悉，并在实践中广为采用。 三维矢量吸收边界条件m 。”目前仍在发展中，有许多问题尚待解决，是 研究的前沿方向之一。由于提高吸收边界条件的阶数或者采用“共形”技术 能够减小边界与物体之b j 的距离，提高计算效率，所以高阶。“1 和共形。”“矧 吸收边界条件也是研究热点。现有的高阶和共形吸收边界条件公式繁琐，计 算迭代次数多，未能达到节约计算时间的目的，稳定性与吸收效果亦不理想 ，总体上说是不成功的。 高阶a b c 必须与高阶有限元配合，为克服这一限制，s t u p f e l 等建立了数 值吸收边界条件m ”3 n a b c ( n u m e r i c a la b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d 试o n ) 。n a b c 将边界点场强的法向导数表示为其相邻节点场强的线性组合。 一l a 。“。) = c ，“似，) ( 卜1 ) j ；0 因为计算散射场需要知道a 。“的值，所以n a b c 带来的另一好处是便于 r c s 计算。相对于a b c ，n a b c 有一些独特的优点”，但还不足以使其得到 广泛应用。 m e i ( m e a s u r e de q u a t i o no fi n v 硝a n c e ) 方法“9 1 的思路与n a b c 相似，由 m e i 等在1 9 9 2 年提出“，最初用于截断有限差分网格，1 9 9 3 年开始被用于 有限元开域问题“”。在m e i 方法中，m e i 系数将边界上某一点的场与其相邻 节点处的场联系起来： 西北f ：业大学博十学侍论文 第一章绪论 “( m 。) = c ，“，) ( 1 2 ) j = l m e i 系数通过测度子( m e t m n ，实际上是某种虚拟的源分布) 来确定。m e i 方法不会改变有限元矩阵的稀疏性，且具有能够贴近散射体放置的优点。但 是用m e i 方法不能直接得到a 。甜的值，用差商得到的a 。“在精度上比“低一 阶。 迄今为止，m e i 方法的主要应用限于二维，公开文献中还没有见到有关其 稳定性的结论，m e i 方法的许多优点也需要在理论上进一步证实。与n a b c 不 同的是，尽管有关m e i 方法的疑问也许更多，但它的应用以及所引发的研究热 情却要广泛得多啪“”。 完全匹配层p m l ( p e 彘c t l ym a t c h e dl a y e r ) 是近年出现的，最出色的局域 边界条件。在理想状念下，p m l 对入射波的吸收与频率及入射角无关，不会 改变有限元系统矩阵的稀疏性，而且更好的吸收效果只需增加p m l 的厚度就 可以实现。大量的研究成果“”表明，p m l 能够设置在距散射体很近的距离 上( 零点几个波长) ，且吸收效果优于a b c 。 完全匹配层的概念由b e r e n g e r 于1 9 9 4 年首先以分离场变量的形式提出 “，这种形式的p m l 对麦克斯韦方程做了较大的改动，仅适用于有限差分法。 有关这种形式p m l 的吸收特性及应用参见文献“”州。 1 9 9 5 年，s a c k s 等提出了张量形式的p m l “，由于后者对有限元、有限 差分法来说只是一种各向异性的媒质，因此获得了广泛的应用“1 ，其中文 献矧在理论上对比了b c r e n g e r 的p m l 与张量形式的p m l ，表明二者在理 论基础和吸收效果上是等价的。张量形式的柱面。“”、球面”3 p m l 不久也 出现了，其中柱面p m l 在旋转体的散射计算中展现了极佳吸收效果5 “。 最近的研究包括将平面、柱面、球面p m l 组合使用”，使匹配层的外形更 加灵活。 1 9 9 8 年，t e i x e i r a 等在理论上提出了共形匹配层1 ，并将平面、柱面、 球面匹配层归结为共形匹配层的特殊形式，完善了张量匹配层的理论体系。 两北：业人学赙十学位论文第一章绪论 二维共形匹配层由h w a n g 等。”用f d t d 实现，对于椭圆柱，机翼等散射体， 反射误差( r e f l e c t i o ne r r d r ) 低于一4 0 d 8 。 ( 3 ) 其它形式的边界条件 在静态、准静态电磁场问题中，最早的局域边界条件是把离主场区较远 的丌域场强设为定值或零，例如在静电场问题”中，标量电位可以设为零； 在静磁场或准静态问题中，矢量磁位或标量磁位可以设为一个定值。显然， 这种方法的效率与精度都不高。气球法( ba l l o o n i n gt e c h n i q u e ) 1 ”1 、无限元( i n f i n i t e e l e m e n t ) ”等也是首先应用在静态问题中的方法。文献“对静态、准静态的刀： 域边界条件做了较全面的总结。场反馈法( f i e i df e e d b a c kf o n l l u l a t i o n ) ”4 “、自适 应吸收边界条件( a d 印t i v ea b s o r b i n gb o u n d a 叫c o n d i t j o n ) “剐、透明吸收边界 ( t r a l l s p a r e n ta b s o r b i n gb o u n d a 忉”7 1 等则是近年束发展的、针对散射问题的开域边 界条件。出于种种原因，这些方法现阶段未获推广；但它们各具特色且富有 启发性，未来的发展潜力，以及是否会成为主流方法尚不能妄下结论。 局域边界条件和全域边界条件的绝大部分特点是互补的：局域边界条件 保持了有限元系统矩阵的稀疏性，但或多或少地引入了误差；全域边界条件 是精确的边界条件，可是破坏了有限元系统矩阵的稀疏性；局域边界条件必 须距散射体一定距离，保持一定的形状，不免扩大了网格区域；全域边界条 件则可以紧贴散射体设置，形状也比较灵活。 局域边界条件的发展方向是缩小网格区域，降低反射误差；全域边界条 件的研究则侧重于有限元系统矩阵的处理和求解。但二者最根本的目标是相 同的，即提高有限元求解电大尺寸散射问题的能力。 1 2 2 系统方程组的求解 经过半个世纪的发展，有限元系统方程组的求解理论已经相当成熟，有 专门的系数矩阵存储方案及配套的解法。系统方程组的解法可以分为直接法 西北1 ：业犬学博士学 7 ：论文第一章绪论 和迭代法两类螂”1 ：迭代法用有限步的迭代运算得到具有指定精度的近似解， 例如高斯一赛德尔迭代法；直接法则可以在预定的运算次数内求出方程组的 精确解，例如乔列斯基分解法。中小规模的方程组一般用直接法，大规模、 超大规模方程组宜于使用迭代法。 对于不同的开域边界条件，散射问题产生的系统方程组不同，相应地求 解方法亦不同。 ( 1 ) 全域边界条件 全域边界条件离散化之后产生稠密矩阵。如果边界上有个未知量，则 生成阶方阵，直接求逆需要o ( n 3 ) 次运算和o ( n 2 ) 的存储量；对于电大尺寸 三维问题的全域边界条件，今天的超级计算机也难以处理。因此，这一领域 主要的研究方向是减少有限元一全域边界条件耦合矩阵的存储量和计算量 7 l 】 早期的耦合矩阵处理方法“5 1 主要有内视法、外视法，二者率质上都是耦 合矩阵的分块解法；对于特殊的边界形状( 如圆形) ，由于边界积分是卷积， 可采用f f t 计算；显然，这几种方法并未从根本上解决问题。 快速多极子方法f m m ( f a s tm u i t i p o l em e t h o d 尸7 ”是很有前途的方法，用 这种方法可以将矩阵的存储量及矩阵与向量乘积的运算量降至0 ( n “) 。如果 结合快速多级方法( m u l t i l e v e l ) ，上述两项指标可以降至0 ( n 1 0 9 n ) 4 ”。利 用小波的特性也可以将积分方程产生的稠密矩阵稀疏化，加快积分方程的求 解速度“。”1 。 ( 2 ) 局域边界条件 局域边界条件保持了有限元系统矩阵的稀疏性，系统方程组的求解实际 上是稀疏矩阵的求解。对于大型方程组，迭代法几乎是唯一可行的解法， 现阶段流行的迭代法有c g ，b i c g ，q m r ，g m r e s 等，文献“”对这些方法 做了较全面的介绍。 附北i ：业人学博十学何论文第一章绪论 迭代法的收敛速度主要取决于方程组系数矩阵的条件数，因此局域边界 条件系统方程组的求解主要体现在迭代法的预处理技术上。有限元、有限差 分等网格方法产生的系统方程组本身就是病态的，局域边界条件，特别是 p m l 的引入进一步破坏了系统矩阵条件数，对预处理技术的要求也更高。根 据作者的经验，未加预处理的b i c g 在求解含p m l 的系统方程组时基本上不 收敛。 因此，合p m l 的有限元系统方程组解法是一个前沿课题。最近，文献” 研究了采用g m i 也s 时的预处理技术，文献”。研究了b i c g 的预处理技术及 并行计算技术。 局域边界条件和全域边界条件产生不同类型的系统矩阵，因此研究工作 的侧重点也不同：前者需要降低系统矩阵的条件数，提高收敛速度，主要研 究方向是预处理技术：后者则不仅要加快求解速度，而且要降低存储量，主 要研究方向是稠密矩阵的稀疏化方法。 1 2 3 物理量与几何量的插值形式 有限元用网格单元来描述对象的物理性质与几何参数，多样化的单元形 式是有限元的特色与优势之一。电磁学有限元方法的单元类型可以分为节点 单元和矢量单元两大类。 节点单元是一种古老的单元形式，单元类型丰富，单元特性均有手册可 查，多数有限元软件使用的也是节点单元。节点单元描述标量场是很理想的， 因此适用于二维散射问题；用节点单元描述三维问题必须先将矢量场标量化， 再对标量方程进行离散。 一般认为“1 ，由于节点单元描述的物理量在单元问总是连续的，在三 维矢量场的计算中存在三个难以处理的问题： ( 1 ) 介质交界面上场的不连续性； ( 2 ) 伪解( s p u r i o u ss o l u t i o n ) ”的存在： 西北，r 业大学博十学位论文第一章绪论 ( 3 ) 导体、介质边角处场的奇异性。 这些难点几乎都可以通过引入矢量单元来克服。矢量单元瞰8 5 1 ( v e c t o r e 1 e m e m s ) 办称棱边单元( e d g ee 1 e m e n t s ) ，它将物理量的自由度赋予单元的棱 边而不是节点。在相邻矢量单元的交界面上，切向场连续，法向场可以不连 续，因此难点( 1 ) 很自然地得到了解决。关于矢量单元能否消除伪解存在争议 ”3 “”1 。由于应用矢量单元后绝大部分算例确实没有伪解出现，两电磁散射 问题一般不涉及伪解( 伪解与静态场有关，静态场对远场没有贡献) ，所以难 点( 2 ) 在本文可以搁胃起来。 电磁场在导体、介质的边角处存在两类奇异性，一类是场矢量的方向发 生突变，另一类是场矢量的幅值变得无限大。如果不采用含有奇异性的基函 数，无论节点单元还是矢量单元都对第二类奇异性无能为力9 “；但是矢量单 元能够描述第一类奇异性，即难点( 3 ) 可以部分解决。另外，矢量单元处理普 通的d i r i c h l e t 边界条件也比节点单元方便。基于以上几个原因，大部分学者 认为“。“”吲，矢量单元在三维问题中的表现优于节点单元。在电磁学领域， 矢量单元的应用始于八十年代初期，九十年代开始被研究人员广泛接受，成 为三维计算电磁学的主流单元。矢量单元在散射问题中的应用可参见“”3 “ 触1 口 矢量单元也存在某些缺点。首先，矢量单元对场变量的描述精度低于同 阶的节点单元；其次，矢量单元基函数问的j 下交性不如节点单元，系统矩阵 的条件数因此增大，影响迭代法的收敛速度；另外，矢量单元是一种新型的 单元，与绝大部分软件包的网格生成器、前后处理程序等不兼容，绘实际应 用带来困难。 发展节点单元与矢量单元的混合单元则可以取长补短。混合单元的形式 有三种：一种是在矢量方程描述的区域采用棱边单元，在标量方程描述的区 域采用节点单元，两种区域的交界面建立相应的边界条件。”；另一种形式是 在结构或介质不连续的区域采用棱边单元，在媒质特性均匀的区域采用节点 9 曲北i ：业人学博十学位论文第章绪论 单元“”；第三种形式是构造棱边一节点复合单元“，法向使用节点基函数， 切向使用棱边基函数。混合单元的共同缺点是构建过程复杂，通用性差。 矢量单元和节点单元都在发展，最近的研究表明，通过建立适当的阻抗 边界条件，传统的节点单元也能够解决导体边角的奇异性问题啡1 。除了普通 的四面体3 、六面体矢量单元“”外，曲边高阶矢量单元也已经构造出来啪” “”1 ，这有助于提高矢量单元的插值精度和计算效率。目前高阶矢量单元 的应用比较少见，这说明其理论还不够成熟，网格生成器的研究工作也相对 滞后。 有限元法弱形式的变分表达式仅要求单元间c o 连续，因此大部分研究人 员对单元拼接连续性没有足够的重视。我们在研究中发现，共形匹配层等较 复杂的局域边界条件要求单元间有高阶的拼接连续性，这一连续性一旦得到 保证，散射问题的计算精度会得到大幅度的提升。 三维矢量场的插值问题是电磁学有限元方法所独有的，矢量单元的出现 解决了多年遗留的难题，促进了电磁学有限元方法的发展。从文献数量上看， 现阶段应用最广的是三角形( 2 0 ) 、四面体单元( 3 d ) 等非结构单元，这类单元 结构简单，有限元刚度矩阵的元素能够解析计算，对复杂的几何结构有很强 的适应性。这种现象一方面说明工程应用需要简单、成熟的单元，另一方面 说明其它单元的特性尚不理想，网格生成的研究也相对滞后。 要实现算法的高效就必须进行分工，特殊的单元形式为特殊的目标服务。 因此，与系统方程组解法的研究一样，我们也需要适应不同开域边界条件的 单元形式，例如适于共形匹配层的、具有高阶连续性的单元。 1 2 4 旋转对称目标的特殊需求 作为一种重要的雷达目标，旋转对称物体的散射被广泛的进行了研究。 主要的方法是基于积分方程的矩量法( m o m ) 。这种方法可以精确的计算理想导 体和各向同性目标，但是积分公式产生的稠密系统方程和体积公式极大的增 西北r 业大学博十学f 7 = 论文第一章绪论 加了计算复杂度，对于各向异性的目标计算的尤其如此。另一个流行的方法 是有限差分法( f d m ) 。这种方法产生稀疏矩阵因此计算效率高。然而它依赖于 矩形，圆柱形和球形的计算网格，这使得它难于对任意几何外形目标进行建 模。有限元方法( f e 渺有效的解决了矩量法和有限差分法的困难。它使用相同 的方法计算导体、各向同性和各向异性目标，因此它比矩量法更有效。并且， 有限元法通常产生稀疏的系统方程，与矩量法产生的稠密矩阵相比，在求解 时有限元法将使用更少的计算机内存和c p u 时间。另外，有限元法使用各种类 型的单元，可方便的、准确的对任意形状进行建模。因此，有限元方法在计 算任意外形、各向异性、旋转对称目标的散射时，有特别的计算优势。 以前计算旋转对称目标散射的有限元方法使用祸合方位矢( c a p ) 方法。在 这种方法中使用易和以场分量描述问题。所有其它场分量由易和以和它 们的导出式表示，并使用节点基函数展开场量。然而使用这种算法难以在不 连续的介质分界面上施加边界条件。并且伪解问题也无法避免。这就需要我 们寻找新的算法来解决问题。 如果利用目标的旋转对称性，将场进行模式展开，这样可以将三维问题 转化为二维问题来处理，可以减少未知量数目。在有限元展开中，横向场分 量用二维棱边( 矢量) 基展歼，角度够j 场分量用二维节点( 标量) 基展开。 在介质不连续的地方，这种展开方法自动的强制切向场分量保持连续，而不 要求法向场分量保持连续。因此，在电和磁材料界面上固有的物理边界条件 都自动满足，允许在同一问题中出现两种材料。此外，这种展开方案可以不 使用罚函数就消除伪解。 正如上一节所述使用有限元法处理开域散射问题的关键是网格截断。最 近的网格截断技术主要是在有限元网格内部设置有耗共形匹配层( 蹦l ) 。共形 匹配层的特征有1 、在共形匹配层中传播的波是衰减的；2 、在空气和共形匹 配层的界面上反射系数是0 。由于外部网格边界的所有反射都被共形匹配层衰 减，可以在那罩设置任何需要的边界条件。空气和共形匹配层的界面也可以 曲北j ：业人学博十学亿论文 第一章绪论 设置在十分靠近散射体的地方。然而对于共形匹配层的特性必须深入研究， 包括单元连续性的要求、法曲率的近似、衰减参数的设置等。 在连续空间中c p m l 界面是无反射的，但是在离散空间中会产生非物理反 射。我们所使用的数值计算必须在离散空间中进行，必须对不希望的反射进 行处理。最直接的办法是细化离散网格，但这样会增加未知量：另一种方法 是让c p m l 参数缓慢变化，但为了达到吸收效果必须增加c p m l 的厚度，同样会 浪费计算资源。能否找到一种新的处理方法，在稍微增加计算量的同时，极 大的减弱非物理反射。 。 最后由于目标的特性是否能够得出一些有用的边界条件来进一步简化计 算，这都将成为研究的重点。 1 3 论文研究内容与主要贡献 本文研究了电磁散射问题的有限元方法。论文主要侧重于两个研究方向， 一是互补共形匹配层的实现及其衰减参数的确定，另一个是旋转对称目标散 射的有限元分析构造。论文内容分为一般目标的有限元分析和旋转对称目标 的散射分析两部分。 一般目标分析部分，我们首先介绍了有限元处理方法，然后重点讨论了 开域边界条件。从p m l 基本原理的介绍出发，深入研究了共形匹配层的特 性，如对单元连续性的要求、衰减参数的取值规律及其对匹配层吸收效果的 影响，在此基础上，给出了互补共形匹配层特性的论证。 旋转对称目标的散射分析部分，由于目标的旋转对称性，可以采用二维 的方法处理三维问题，即可用二维矢量基函数展开横向场分量，用节点基函 数展丌角度场分量。然后讨论了场在z 轴上应满足的边界条件。 论文主要的创新有： 西北【：业火学博十学伉论文第一章绪论 1 在共形匹配层的研究中引入几何连续性的概念，指出了共形匹配层对单元 g 2 拼接连续性的要求。 2 实现基于法曲率近似的三维共形匹配层实现方法，克服了单元需要g 2 连续 拼接、主曲率计算稳定性差等困难。 3 实现了三维互补共形匹配层，进一步减小了由于网格离散造成的非物理反 射，提高了求解精度。 4 对于固定厚度的柱面匹配层，我们发现其最佳衰减参数随散射体电尺寸的 增大而增大。 5 给出了旋转对称目标散射的有限元分析方法。 6 讨论了场量在z 轴上应满足的边界条件。 f t i 此t ：业人学博十学佛论文 第二章有限元的前期处理 2 1 引言 第二章有限元的前期处理 有限元法不仅适用于求解不规则的几何形状和边界条件，而且能计算解 决复杂的多介质问题；这是其它数值方法难于处理之处，而对于有限元法来 说却很简单。 有限元法求解的基本思想是把边值问题的求解转化为条件变分问题的求 解。具体过程是先将待求域剖分成有限个单元，然后通过分片插值把能量泛 函求极值的问题转化为多元函数求极值的问题，进一步根据极值条件，很到 多元线性代数方程组，解此方程组就得到问题的近似解。 对于复杂的几何形体，计算之前有限元法需要做大量的原始数据准备工 作。为避免手工输入出现差错，数据准备的工作应尽量减少。完成这项工作 的辅助程序主要有自动网格剖分、数据校对诊断、节点编号优化、绘图与显 示等。这罩主要对剖分加以说明。 2 2 有限元网格剖分概述 剖分作为有限元离敞过程的第一步，其结果直接影响最终的计算精度及 运算时间。总体上说，剖分越细致，计算结果就越精确，但同时也需要更多 的存储容量和运算时问，处理好这两者之问的矛盾，减少人为干预，全面准 确反映物体的相关特性，这几点是网格自动剖分的主要任务。 两北j ：业大学博+ 学位论文 第二章有限元的前期处理 剖分的基本原则是使得剖分后的网格模型尽可能的逼近原始物体的形 状。从形成网格的区域来划分，有限元网格的剖分方法可分为整体法和分区 法两大类。 整体法是把整个结构当作一个区域进行剖分，一次性形成整体网格，这 种方法适合规则、均匀材料组成的单联体结构。 分区法则是把整个结构分作若干个子区域，在各子区域进行剖分，最后 将各子区域拼接形成整体网格，这种方法适合不规则、材料非均匀的复杂结 构。 从形成网格的坐标空问来说，剖分方法又可分为直接法和变换法两种。 根据边界的已知节点坐标，直接法可直接得出区域内网格节点的整体坐 标，因此能保证网格在实际空间的形状、位置，但剖分难度大。 变换法则是先求规则区域网格节点的局部坐标，然后通过某种变换求出 节点的整体坐标。变换法的节点坐标容易计算，但难以照顾内部网格的实际 位置。 本文采用的超单元变换剖分法分别属于上述的分区法和变换法。 2 。3 二维超单元变换剖分法 有限元分析需要将区域q 分割为单元网格，实际应用中电磁场往往随着 坐标而急剧变化。例如在完全匹配层中，场变量在零点几个波长内衰减为零， 所以，为了保证必要的插值精度，必须采用高阶单元或者密集的低阶单元。 如绪论所述，高阶单元有许多优良的特性，但是阶次并不是越高越好，二阶 等参数单元对网格内几何量、物理量的变化有较强的适应能力，单元效率远 高于一阶单元，是综合特性较好的单元类型。 以平面八节点等参数单元为例，本节简要介绍一下平面单元变换剖分法 的具体步骤： 曲北f ：业人学博十学位论文第- = 章有限元的前期处理 ( 1 ) 根据已知的结构信息，将有限元的分析对象划分成一定数目的子区 域，每个子区域称为一个超单元。划分的原则是每个超单元内部材料性质单 一，各边的边界能用二次曲线较好的描述。对应于节点等参数单元，超单元 的形状也是八节点四边形，各边为二次曲线，其形状完全由八个节点确定， 如图2 1 。 ( 2 ) 确定超单元节点坐标，横竖两边( 非严格意义上) 需要生成的网格 节点数目等。如果生成不均匀网格，还要考虑剖分因子以、以。对直线边， 只要确定改变所在的两个端节点坐标就可以了，中闻节点的坐标可不必输入， 通过自动插值得到。因为实际情况比较复杂，很难全面考虑，1 ，2 两步的部 分工作需手工完成。 ( 3 ) 将超单元变换成规则区域正方形，求出规则区域下各网格节点 的局部坐标。 ( 4 ) 利用参数变换求出超单元内对应节点的整体坐标，同时定义单元编 号，节点编号和单元信息。 0 【a ) 繁体坐标( b ) 局部坐标 幽2 1 超单元网格变换 若对局部坐标采用等间距剖分，则图2 一l ( b ) 中只的局部坐标为 毒，= 一1 + ( f 1 ) = 了 ( 2 3 1 a ) 。 n l 2 1 + ( ，一1 ) 翥 ( 2 - 3 1 b ) _ 譬 咚 鹃醴 两北1 = 业大学博七学何论文 第二章有限元的前期处理 n 为只只、最e 边，即