（理论物理专业论文）非均匀自相似体系的理论研究.pdf

y i 艿i _ 2 5 j j 气多 摘要 本文由两部分组成。第一部分包括第二章这部分对分形散射中弹性 ， 一 散射与总散射的比率扫( g ) = ，；( 曲，? “) 避行了研究。分形维数涵盖很大范围。 结果显示此比率随q r 。的增大振荡衰减其中口是动力传播因子c l 的绝对值， 瓦是分形物体中最近邻散射格点间的平均距离。叩值的峰与谷的位置只与分形 维数有关。然而这个关联极微弱，它几乎是一个常数。对于大范围的维数 它只有百分之几的变化。 第二部分包括第三童。这部分研究了分形中的一个特例：一维t m c 链的扩 展态和局域态。我们既考虑了两种摸型哈密顿量，个仅包含最近邻相互作用， 另一个包含了强次近邻相互作用的情况。并在哈密顿量里引入随机成分。结果 表明当没有随机势引入时t m c 链中既存在局域态，又存在扩展态。而一旦 引入随机势系统状态立即变为局域态。 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s t h ef i r s tp a r ti n c l u d e sc h a p t e r2 1 nt h i sp a r t ，t h e r a t i oo ft h ee l a s t i ca n dt o t a ls c a t t e r i n gi n t e n s i t y7 7 ( g ) = ，；，2 ( q ) i s s t u d i e df o r f r a c t a l so fd i m e n s i o n sr a n g ew i d e l y t h er e s u l t ss h o w t h a ti to s c i l l a t o r i l yd e c a y sw i t h aq u a n t i t y q e o w h e r e qi st h ea b s o l u t ev a l u eo f t h em o m e n t u mt r a n s f e rqa n dr ot h e a v e r a g ed i s t a n c eb e t w e e n t h en e a r e s tn e i g h b o rs i t e so fs c a r e r si nf r a c t a lo b j e c t s t h e l o c a t i o n so fv a l l e y sa n dp e a k so f 叩i so n l yd e p e n d e n to nf r a c t a l d i m e n s i o n s h o w e v e lt h ed e p e n d e n c ei sv e r yw e a ka n d 蟹i sa l m o s tac o n s t a n tv a r y i n gi nt h e r a n g eo f o n l ys e v e r a lp e r c e n t f o rw i d e l yd i f f e r e n tf f a c t a l sd i m e n s i o n s t h es e c o n dp a r ti n c l u d e sc h a p t e r3 i nt h i sp a r t ，t h ee l e c t o n i cs t a t e si nt h u e m o r s ea p e r i o d i cc h a i n sa r es t u d i e d t w om o d e lh a m i l t o n i a n sa r ec o n s i d e r e d ，o n e c o n t a i n st h en e a r e s tn e i g h b o u rh o p p i n gt e r m so n l ya n da n o t h e rh a ss t r o n gn e x tn e a r e s t n e i g h b o u rh o p p i n gt e r m s a l s o ，ar a n d o mp o t e n t i a li si n t r o d u c e d t ot h eh a m i l t o n i a n t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e r ea r eb o t he x t e n d e da n dl o c a l i z e ds t a t e si nt h et m c w i t h o u t r a n d o mp o 把n t i m o n c er a n d o mp o t e n t i a li si n t r o d u c e d ，t h es y s t e m a l w a y sb e l o c a l i z e d 2 第一章引言 非均匀自相似体系也叫分形，其最显著的特征是自相似对称性。它指的是 对一类具有无穷嵌套的几何对象，适当取出其中一部分，并加以放大，观察者 看到的结果与整体对象完全相同。换句话说，如果人们用不同倍数的放大镜去 观察一个分形观察者看到的结果均相同，无法从观察结果中判断放大镜的倍 数。所以，具有自相似对称性的对象在标度变换下是不变的。 分形可分为规则分形和无规分形。前者是理论上按一定的规则构造出的具 有严格自相似性的分形，后者一般是在生长现象和许多物理问题中产生的。它 不具有严格的自相似形，只是统计意义上是自相似的【l i 。 散射方法( 小角度x 射线【2 j ，中子散射【3 】，光散射1 4 , 5 ) 是研究物质结构和动力 学特性的强有力的工具。在对分形结构的研究中也广泛运用了这种方法，比如 对一些聚合体【6 l ，粗糙表面【7 i ，准周期物质峨9 i ，等等。本文第部分对分形散射 中弹性散射与总散射的比率，7 ( g ) = p r ( q ) 进行了研究。 第二部分我们研究了分形中的一个特例：一维t m c 链的扩展态和局域态。 自从半晶态( q u a s i c r ) r s t a l ) 被发现以来1 ，半周期( q u a s i p e r i o d i c ) 和准, l 聃 ( a p e r i o d i c ) 成为一个热门课题。一维半周期和准周期系统的性质与周期性系统很不相同 与无规则系统也大相径庭。比如，周期系统所有的态。一般认为是周期性、扩 展的。而一维周期系统中，只要加入随机项，系统态立即变为局域的m 】。这已 经奉为规则。然而，有时些数值计算结果却给出与这个规则不符的结果i ”】。 a d r a h a m s 和他的同事给出了一个更严格的规则4 】。为了检验这个规则，最近 人们研究了大量的半周期和准周期系统，比如f i b o n a c e i 链( 其递推规则为 4 卅，b 弘) ，结果表明其特性既非局域，也非扩展，而呈临界状态5 1 。而 且当加入某些特定的随机时，仍然可以保持这种临界状态6 i 。而准周期系统看 起来比半周期系统更无序些。数值计算 1 7 , 18 1 和解析计算 1 9 - 2 1 1 都表明准周期系统中 肯定存在些扩展态。在本论文中，我们研究了一维t h u e m o r s e 链里的局域态与 扩展态，给出一个判断局域性或扩展性的指标。我们还研究了存在随机势的情 况，检验了随机势下系统的局域性与扩展性。 第二章分形研究中的散射方法 2 1 关联函数与弹性、非弹性散射的关系 在本文中，我们先以一个赝势开始。假设一个中子与核的相互作用能表示 为：v ( ，) = ( 2 7 t a h 2 m ) 8 ( r ) ，这里的0 【是中子一核散射长度。这样，中子和系统的作 用可以表示为：矿( ，) = 。v ( ，一) 。根据玻恩近似，微分散射截面为： ，( 玑) = 纛= a 2 ( i 厅，j ) s ( 毋) ，其中 t 为中子入射波矢，而七，为出射 波矢。h o = ( 2 2 m ) ( k ? 一；) ，q = 露，一 ，。 s ( q ) 为： s ( g ，) = 芝1 ，、e _ i t f ( g ，f ) d f ，其中f ( q , t ) 是密度一密度关联函数。它能表示为 2 f ( 吼，) = ( e x p 卜i q 一( o ) 】) ( e x p i q x 。( t ) 】) ( 2 1 ) h v 尖括号表示热力学平均，而x ，( o ) 、x p ( t ) 是海森堡图景里的算子。f ( q ，f ) 只 是s ( q ) 的付立叶变幻，所以有： 舯 - f ( q ，f ) = is ( 毋曲广幽 j ( 2 2 ) 从此式我们可以看出。f ( q ，r ) 正比于，( 叮，) d ( 0 = p 0 ) ，即零时刻关联函 数正比于总散射密度上( d 。同时，容易看出f ( q ，o 。) 正比于l ( q ，o ) ，即弹性散射 密度国) 。所以，总散射密度与弹性散射密度的比值”正比于 0 f ( q ，o o ) i f ( q ，o ) d 2 0 所以，通过对关联函数f 的研究，能让我们知道一些弹性与非弹性散射的 信息。 2 2 关联函数的计算 我们假设位置丘为：= 月。+ 。，其中r 为平衡位置，为该点对平衡位 置的偏离。对任何格点，任何时刻，都有：( n l l ( f ) ) = 0 。这样，式子( 2 1 ) 能化为 f ( g ，f ) ：z e i 凡1 ( e x p i q ( t ) - u v ( o ) l ) ：= e a 【 “一 、1 e ( - - “f _ v 。p ) 2 e ( k 。u o ，g _ v 。l ) 2 在量子力学里，有： ( k o ) ，q - u v ( 0 ) 】一) = o ， 当时间趋于无穷大时，有：0 ：( o - ：( f ) ) = 0 ：( o ) ) ( “：( f ) ) = o 所以，r ( q ，。) ：e w l x , - , 1 。( k _ - r 卜v 扣册) 2 ：e 一，0 ) j ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中厂q ) = e 陋- 一川， ( 2 6 ) 2 w ： 叮0 。2 ) + ( k 如，) 】2 ) ) 2 = 0 。) 】2 ) ，就是通常所说的d e b y e w 钏e r 因子。 因为( k ( f ) ，口虬( 0 ) 1 一) = o ，我们可以得到 f ( q ，o ) = e - 2 w e x p i g 。郎( “：( o - ? ( o ) ) l e x p ( i 叮( 凡一r v ) ) v、q 肛 = e 2 ”e x p ( i q c 足。一r v ) ) + e - 2 we x p ( i q 陋。一r v ) ) e x p ( 善e x p g 。g 。( ：( 。- ? ( 0 ) ) ) 一， ( 2 7 ) 我们只考虑最近邻相互作用，忽略其余长程作用。这样，上式能近似为： f 。，。) = e f 2 ” 厂白) + ；e x p ( i g ，伍。一曰。4 e x 一 ；a2 ；、“。“。c 。s 。c 。s 。 一 l “” jop op l l z e 。z ”陟o ) + z n c 。s ( q r 。i e 吖一， ( 2 8 ) 其中z 是最近邻格点的平均数，r 。是最近邻格点的平均距离，而b 是有着 ( “。“。) 量极的常数。这里的队v 是。b 肯定小于( “2 ) 。同时，l “2 肯定小于 r o2 ，所以b 肯定小于芯2 。 2 3 对分形的计算 我们定义g ：0 ，f ) = c f 白，l i r ( q ，o 】2 ， 设爿( q ) ：z c 。s ( q r 。i e 町一1 ) 。 这样，g ：( q ，o o ) = i s ( d 2 i s ( q ，) + 4 ( q 】2 g ：q ，m )是q 的函数。其极大、极小值可以由下式给出 d l o g g 2 0 ，o o ) d q = o 即：厂白) ，厂b ) = a ( q ) a ( q ) 从式f 2 6 1 我们可以看出： 厂0 ) ：z e k 一凡】= j v + e 1 - t 1 v i = v + f p ( ，卢a ，；v + 半加m 一 对于一个面维的物体来说 p ( r ) = 旷妒“， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 这里的p 是一个常数。然而，任何实际分形物体都不是无穷大的，对一个有 限大小的物体，我们用下式代替式( 2 1 4 ) p ( ，) = d - d e x p ( - r ) ，其中e 是系统的大小。带入式( 2 1 3 ) 。得1 6 1 ： 掣小端拦警学偿嘲 当t 趋于无穷大时，上式能够还原成无限大分形的情况： f ( q ) n ：l + ( 4 丌p q “，卜白，一1 x i n 盼，一1 k 2 】 ( 2 1 6 ) 当q 很小时，上式第一项与第二项比可以忽略不计。我们讨论的正是这种 情况。此时， ( g n 。a i1 + q 2 fz f l - a ，) s i n 陋，一1 h c t a n o f ) 菇，对于有限大分形 z 爿2 9 “， 对于无限大分形。( 2 1 7 ) a 、a 2 为与q 无关的常数。对于无限大分形， 厂，( g ) ，厂o ) ：一d ，g ，爿，( g ) ，埘o ) ；2 b q e b q l ( e b q 2 一1 ) 一r 。t a n ( q r 。) 。( 2 1 8 ) 因为b ( “：) x j ，所以b g ： g z 画；。我们假设b q 2 1 时，上式就变为式( 2 2 0 ) 。既然t a n ( x ) 是- + 周期函数，方程( 2 2 2 ) 就有无穷多个解。这意味着g ：( g ，。o ) 的值随着q 振荡。即： 弹性散射在总散射中所占的百分比是q 的振荡函数。同时，在我们研究的范围 内，随着q 的增大，这趋势必定减小。所以，t 1 0 ) 是一个振荡衰减函数。 从式( 2 2 1 ) q h ，我们容易看出所以解都是正数。同时从式( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 1 7 ) ， 我们令g 趋于0 ，容易发现g ：( g ，o 。) o c 0 ：+ c g2 + 叶) _ 2 。这里一：与c 都是常数。 所以，当g 增加时，g ：( 口，o 。) 减小。所以，方程( 2 2 0 ) 的第一个解一定对应于极 小值。然后是极大，极小，极大，极小 下面两张表给出了些数值计算结果。从表2 1 我们可以看出，g ：( g m ) 的峰 和谷依赖于维数的变化，但这依赖性很弱，几乎可以看作是常数。表2 2 是我 0 们对式( 2 2 1 ) 的计算结果。从上表看，q 。r o 在1 2 0 和1 3 1 之间。而 b g2 q2 r ：，所以我们认为前面b q2 4 ，则九+ 、九都是实数，这种情况对应与局域态。而如果x ：s 4 ，则九+ 、九一 为模为一的复数，且有九+ = 址。我们可以把九+ 、九一写作： 九+ = e x p ( i q ) 九+ = e x p ( q ) ，九一= e x p ( - f q ) 。 这里的9 是一个实数。这种情况对应扩展态。此时本征态可以写作： 盼”p 吲二嘲删。这里的足是个娥且当趋于翮 大时趋于无穷大。 作为例子，我们计算了8 层t m c 最大本征能量e = 3 2 8 0 的情况。我们设 2 1 0 ，= l5 ，并假设初始状态为：v 。= 0 ，v ，= 1 0 。运用转移矩阵， 一 ，k中其 i m m 女 女 吖m j i | f “ “ 吖吖 我们将其扩展至2 1 层，查看了其波函数的分布。结果如图1 所示，可以看出其 很好的扩展性。 运用这个判据，我们计算了从8 层t m c 到2 1 层的本征方程。边界条件是 自由边界。结果如表3 1 所示。可以看出至少有3 4 的态是扩展态。 层数格点数扩展态数扩展态所占比率( 呦 81 2 89 27 2 92 5 61 8 57 2 1 0 5 1 23 7 77 4 1 11 0 2 47 7 77 5 1 22 0 4 81 5 1 97 4 1 34 0 9 63 0 3 47 4 表3 1 扩展态所占百分比，= 1 0 ，= 1 5 3 4 随机势的引入 下面我们在哈密顿里加入随机成分 旷= + e w 。，这里w 是一个0 到1 之间的随机数，e 是一个正数，改变它 我们可以改变随机的程度。我们仍用转移矩阵计算波函数的分布，并对每个t 进行了1 0 0 0 个不同随机样式的平均。我们发现扩展态变成了局域态。结果如图 2 所示。图中e = 3 2 8 0 2 4 3 2 4 。x 轴是格点数n ，y 轴是相应波函数绝对值的对数。 曲线的坡度表征了系统局域化的程度。当o r = 0 时，就过渡到扩展态。表3 2 给出了旺和e 的关系。我们对l o g ( ) 和l o g ( o t ) 进行拟和，发现一条相当好的直 线。如图3 所示。所以我们认为，仪和l 的关系可以表示为：o 【e 8 。 芎 0 0 1 50 0 1 6o 0 1 70 0 1 80 0 1 90 0 2 0 a0 0 0 0 4 50 0 0 0 5 30 0 0 0 6 30 0 0 0 7 60 0 0 0 8 80 0 0 1 0 8 表3 2 l 与a 的关系，= 1 0 ，= 1 5 ，庐3 2 8 0 2 4 3 2 4 3 5 强次近邻相互作用的计算 这一节我们考虑有次近邻相互作用的情况。由于转移矩阵方法的局限，我 们只能讨论强此近邻相互作用的模型( ： 、) 。在我们的模型里，我们设定 ：屈l = 1 0 ，；= 10 ，= 10 ，= i 5 ，边界条件仍然是自由边界。我们计 算了1 5 层，1 6 3 2 8 个格点的情况。图4 显示了态密度的分布。所有的态分布在 ( 一1 6 7 5 4 ，2 3 2 5 6 ) 之间。靠近两端态密度很高。图5 和图6 给出了两个例子。一 个是能量为0 7 5 6 7 4 3 6 8 ( i 蛩5 ) ，可以看出它具有很好的扩展性。一个能量为 2 3 2 5 2 6 2 7 8 1 ( 图6 ) 。它显示出局域性。 与最近邻一样，我们在哈密顿量里引入随机势。图7 给出e = 07 5 6 7 4 3 6 8 ， t = 1 5 ，2 0 ，2 5 ，3 0 ，3 。5 4 0 ，4 5 ，5 0 ，5 5 时的波函数。图中的倾角a 与鼍的关系列在 表3 3 里。象上节一样，我们拟合了l o g ( ) 和l o g ( o 【) 曲线。如图8 所示。从图 中可以看出，6z 1 9 号 0 81 01 52 02 53 0 值0 0 0 0 0 6 80 0 0 0 0 9 60 0 0 0 19 90 0 0 0 3 2 60 0 0 0 5 1 40 0 0 0 7 3 0 号 3 54 04 55 o5 5 a0 0 0 0 9 7 70 0 0 1 2 7 4o 0 0 】5 9 6o o o 】9 6 7 0 0 0 2 4 0 3 表3 3 e 与瑾的关系，= 1 0 ，= l5 ，庐3 2 8 0 2 4 3 2 4 我们发现，当 很小时，0 c 很小。图9 给出了e = o 5 时的波函数。它在1 2 0 0 0 0 格点范围内，仍然显示出一定的扩展性。如果e = 0 3 ，我们发现在4 0 0 0 0 0 格点 范围内，系统仍然体现出扩展性。如果= o 1 ，我们计算到2 1 层1 0 4 8 5 7 8 个格 点，而系统仍然显示扩展性。我们相信只有在更大的系统里，爿能体现出局域 性。 参考文献 1 1 1 杨展如，分形物理学，上海科技教育出版社，( 1 9 9 6 ) t 第1 7 页 2 o g l a r e ra n do k r a t k y , s m a l la n g l ex r a ys c a t t e r i n g ，a c a d e m i c p r e s s ，n e w y o r k ( 1 9 8 2 ) 3 】s w l o v e s e y , t h e o r y o fn e u t r o n s c a t t e r i n g f r o mc o n d e n s e dm a t t e r , v o l 1 o x f o r d ，n e wy o r k ( 1 9 8 4 ) 1 4 b j b e m ea n d r p e c o r a ，d y n a m i cl i g h ts c a t t e r i n g ，w i l e y , n e wy o r k ( 19 7 6 ) 5 1 h z c u m m i n sa n da pl e v a n y u k ，l i g h ts c a t t e r i n gn e a rp h a s et r a n s i t i o n s ， n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ( 1 9 8 3 ) 6 】t f r e l t o f l ，j k k i e m sa n ds k s i n h a ，p h y s r e v b 3 3 ( 19 8 6 ) 2 6 9 【7 】a j h u r de ta 1 ，p h y s r e v b 3 9 ( 19 8 6 ) 9 7 4 2 【8 】c g o d r e c h ea n dj m l u c k ，j p h y s a 2 3 ( 19 9 0 ) 3 7 6 9 【9 】e a x e la n dh t e r a u c h i ，p h y s r e v l e t t 5 0 ( 1 9 9 1 ) 1 4 9 4 【1 0 j c a l l a w a y , q u a n t u m t h e o r y o ft h es o l i d s t a t e ，a c a d e m i cp r e s s ，n e w y o r k ( 1 9 7 6 ) 3 6 - 4 1 【11 s c h e c h t m a nd s , b l e c hi ，g r a t i a sd a n dc a l mjw 1 9 8 4 ， 【1 2 m o t t nfa n dt w o s ew d ，a d v p h y s 1 0 ( 1 9 6 1 ) 1 0 7 【1 3 o c z y c h o l la n db k r a m e r , s o l i ds t a t ec o m m u n 3 2 ( 1 9 7 9 ) 9 4 5 【1 4 a d r a h a m se ，a n d e r s o n pw l i d d i a r d e l l odca n dr a m a r k r i s h n a ntv p h y s r e v l e r ，4 2 ( 1 9 7 9 ) 6 7 3 【1 5 k o h m o t om ，s u t h e r l a n dba n dt a n gc ，p h y s r e v b 3 5 ( 1 9 8 7 ) 1 0 2 0 1 6 l i nz f ，z h e nd fa n dt a or - b ，p h y s r e v b 4 1 ( 1 9 9 0 ) 9 7 2 5 【1 7 】s e v e r i n ma n d r i k l u n d r ，p h y s r e v b 3 9 ( 1 9 8 9 ) 1 0 3 6 2 1 8 】r i k l u n dr ，s e v e r i n gm a n dl i uy i n t j m o dp h y s ，b 1 ( 1 9 8 7 ) 1 2 1 1 9 e v e r i nm ，d u l e am a n dr i k l u n dr ，j p h y s c o n d e n s m a t t 1 ( 1 9 8 9 ) 8 8 5 1 ( 2 0 】l i nzf m u yma n dt a or b ，c o m m t h e o r p h y s 1 5 ( 1 9 9 1 ) 9 9 【2 1 】t a or b ，j p h y s a ：2 7 ( 1 9 9 4 ) 5 0 6 9 2 图形说明： 图l ：e = 3 2 8 0 2 4 3 2 4 时的态分布。只考虑最近邻相互作用，n = 10 ，= 1 5 。 图2 ：对于不同程度的随机参数掌，l 0 9 0 y 。) 对n 的关系。e = 3 2 8 0 2 4 3 2 4 ， = l0 ，：l5 。 图3 ：线性拟和l o g ( a ) l o g ( 孝1 的关系。e = 3 2 8 0 2 4 3 2 4 图4 ：强次近邻相互作用下，态密度的分布。计算了1 5 层1 6 3 8 4 个格点的情况。 吒= 1 0 ，= i 5 ，l = 1 0 ，s 2 = 1 0 0 图5 ：强次近邻相互作用，e = 0 7 5 6 7 4 3 6 8 时1 5 层t m c 的波函数