（基础数学专业论文）两个三点边值的dirac问题的特征展开定理.pdf

郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没 有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿 意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者：玛伟 2 0 0 6 年0 4 月1 2 日 中文摘要 摘要：本文讨论了带有三点边值的d i r a c 特征值问题的特征展 开定理。首先将特征值的研究化为个整函数( ) 的零点的研究， 然后构造了豫解式问题的g r e e n 函数。据此分别用留数方法和积分算 子方法证明了反射型和折射型三点边值问题的特征展开定理。 关键词：d i r a c 算子；特征展开；完备正交函数系 t w o e i g e n f i l n c t i o ne x p a n s i o n so fd i r a co p e r a t o r w i t ht h r e e i p o i tb o u n d a r yc o n d i t i o n a b s t r a c t ：i nm i sp a p e r ，e i g e n 如n “o ne x p a n s i o n 也e o r e mo fd i r a c w i m 也r e e - p o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o ni sd i s c u s s e d f i r s t ，t h er e s e a r c ho f e i g e n v a l u ei st u m e d t om er o o to ft h ei n t e 野a i 向n c t i o n 国( 五) t h e n 也e g r e e n如n c t i o no fr e s o l v e n ti s g e n e r a t e d e i g e n 如n c t i o ne x p a n s i o n t h e o r e mo fr e n e c t o na n dr e f a c t i o nw i t ht h r e e - p o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o ni s c o n s i d e r e db yt h er e s i d l l em e t h o da n di n t e g r a lo p e r a t o rm e t h o d k e yw o r d s ：d i r a c 叩e r a t o r ；e i g e n 缸n c t i o ne x p a n s i o n ；c o m p l e t e o r t h o g o n a l 如n c t i o ns y s t e m 1 、引言 对于微分算子谱理论的研究，已经有相当好的理论。典型的问题 有s t u r m - l i o u v i l l e 问题和d i r a c 问题，常型问题是研究在有限区间 上且位势有界的微分方程边值问题，奇型问题是指区间为无限或势函 数在有限区间上无界的微分方程边值问题。 s t u r m l i o u v i l l e 问题起源于1 9 世纪初期j f o u r i e r 对热传导 问题的数学处理中。1 9 世纪3 0 年代，s t u r m 和l i o u v i l l e 对常型的 s l 问题进行了详细的研究，所得的结果为f o u r i e r 方法的理论基础。 常型s l 问题的研究内容包括：特征值和特征函数的存在性和渐进估 计，特征函数系在哪些空间中具有完备性的问题和反谱问题。奇型 s l 问题的研究包括l e v i n s o n l e v i t a n 理论，w e y l e 理论，t i t c h m a r s h 公式等。解决了谱函数系的存在性和唯一性，特征展开的厶理论，以 及点款和园款的分类判别等问题。 d i r a c 特征值问题起源于量子力学。1 9 2 1 年w h u r w i t z 证明了 个一阶微分方程系的特征函数系的完备性。1 9 5 7 年b m l e v i t a n 和 i s s a r g s j a n 将其应用于积分方程，从而使d i r a c 问题的研究得到 进一步的发展。i s s a r g s j a n 和m g g a s y m o v 分别于1 9 6 6 年和1 9 6 8 年给出d ir a c 方程的两种正则形式。 关于常型s l 问题特征值的存在性的证明方法很多。在算子理论 中，常用的方法是构造微分算子的g r e e n 函数，然后将微分算子的特 征值问题转化为一个全连续算子的特征值问题来处理。另外有 e c t i t c h m a r s h 所引进的复变函数的方法，它将特征值的存在性问 题化为一个整函数卯( a ) 的零点的存在问题。关于s l 问题的按特征函 数展开的定理也有多种证法，常见的也是上述两种方法：算子理论方 法和复变函数方法。前者利用微分算子和相应的积分算子具有相同的 规范完备正交函数系，将微分算子的特征展开问题华为相应积分算子 的特征展开问题；后者是利用整函数( 五) 的渐进估计，构造一个单闭 回路，用留数方法沿此单闭回路对一个恒等式进行积分，得到渐进展 开定理。 对于d i r a c 特征值问题的研究几乎与s l 问题平行。两者的显著 不同是在奇型情况下，前者仅有点款出现。1 9 7 5 年，i s s a r g s j a n 和m g g a s y m o v 利用平移算子的方法给出了d i r a c 特征值问题的渐进 估计，并证明了特征展开定理。 多点边值问题的研究在各个方面都有了很多的研究，其中 s t u 珈一l i o u v i l l e 问题的研究已经取得了比较圆满的结果i “。而对于 d i r a c 问题的研究却没有见到过。由于在一些点上附加了连接条件， 结构变复杂。本文分为两大部分对三点边条件下的d i r a c 问题的特征 展开定理进行论证。第一部分对反射型的三点边条件下的d i r a c 问题 进行论证；第二部分对折射型的三点边条件下的d i r a c 算子进行证 明。说明在这两种情况下的特征展开定理都是成立的。 2 、反射型三点边条件的d i r a c 问题 本节以反射型为例来说明在三点边条件下的d i r a c 特征值问题。 ( e ) b 粤+ ( 死：曲? 、) 吣) ：圳n 。( 6 ，日) d x 、o p 2 ( x ) 一 ”、” 哮+ ( g 点) v ( 加川n 州伽) “i ( 6 ) s i n 口+ “2 ( 6 ) c o s 口= 0 v l ( c ) s i n + v 2 ( c ) c os = o “i ( d ) = v l ( d ) ，“2 ( 4 ) + 七v 2 ( 口) = 0 ( 0 1 ) ( 0 2 ) ( o 3 ) ( o 4 ) ( o 5 ) 其中2 为特征参数，只，g 趣= 1 ，2 ) 为相应闭区间上的实值连续函数。 “( 曲3 ( ( x ) ，“：。) ) 7 ；v ) = ( u o ) ，匕( z ) ) 7 ：口= ( 三：) _ ，七 o ；口，历 ，七为 实常数。 2 1 特征值的性质 考察下列二初值问题的解p ( z ，五) ，( t a ) ( o 1 ) ，p l ( 6 ) = c o s 口，妒2 ( 6 ) = 一s i n 口( 1 1 ) ( o 2 ) ，i ( c ) = c o s ，2 ( c ) = 一s i n ( 1 2 ) 由叠代法易知，妒( 工，丑) ，( 丑) 是五的整函数。设“( x ， ) ，( 并，五) 是( e ) 的相应于五的特征函数，由于它们分别满足( 0 t 3 ) ( 0 4 ) ，根据二阶 线性微分方程的理论知，“( x ，五) = c 。烈x ，五) ，v ( 工，五) ：c 2 妒( 旯) ，它们要满足 ( 0 5 ) 。 故 ：器按：z 孑t ： c 。， 【c l 仍( 口) + 幻2 矿2 ( 口) = o 、1 j 有非零解，则系数行列式 删= 船兹辨晰眦m 舭肿) ( 1 4 ) 为零。因此五是( e ) 的特征值，当且仅当 是“丑) 的零点。 引理l ：( e ) 的特征值是实数。 引理2 ：“五) 的零点都是单重的。 证明：取五：z 时( 1 1 ) 的解矿= p ( x ，f ) ，利用恒等式 ( 仍戎) 一( 西吼) = ( 仍疚一p ? p ：) 两边积分，由吼，妒：的初值得 t r 一f c 仍衍十仍戎，出= 嶝錾l 。 ( 1 5 ) 右边行列式中，第一列减去第二列，用五一z 除两边，并令寸五得 m 埘肛乜 同理1 2 制2 胁也 虬。 虬 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 任取“五) 的一零点五，设c ，c ：为( 1 3 ) 的组解，易知q o 且c ：o 同时成立。用旦乘( 1 6 ) 与! 世乘( 1 7 ) 相加，得 毒洲2 w 胁警驯2 制2 协w ，( 叽 ( 1 8 ) 此式表明，( 旯) o ，即以 ) 只有单重零点。 2 2 “z ) 的渐近公式 由文献 4 】，先考虑方程( 1 1 ) 的解妒( 石，丑) 的渐进式 臁：三篡畿装；：烈i h 寸m 【仍( 五丑) = s i n 点( 工，五) 一口) + d ( 。1 ) ， 其中卣( x ，丑) = 五( x 一6 ) 一 f 州卅- 戊( r ) m 。 同理 淼公三篙裟嬲黜i 川寸。 h 矿：( 工，a ) = s i n 乞( t ，a ) 一p ) + o ( 旯叫) ， 其中善：( x ，五) = a o c ) f ( f ) + q ：( f ) v f 。于是 “旯) = 七弼( 口) ( 口) + 吼y l ( “) = 号s i n ( j + f ) + 警s i n ( j f ) + d ( a 。) ， 两而署蠢而一+ o 硒丽矗毒丽) ， ( 2 1 ) 4 s i n ( s + f ) + 警s i n ( s f )、趣警s i n ( s + f ) + 譬s i n ( s f ) 】， 其中s = 夤( n ，五) 一口，仁参( 口，五) 一。由( 2 1 ) 我们可以得知下面的定理 成立。 定理1 ：问题( e ) 有可数无穷个特征值，它们是似五) 的零点。 2 3 正交公式与内积 由于连接条件的出现，我们现在定义种新的集合 h = ( “( x ) ，v ( x ) ) 卜( x ) e ( 6 ，n ) ，v ( z ) l ( c ，4 ) 。 先定义其中的“加法”，( ，) + ( ，匕) = ( + + k ) 。再定义 其中的“数乘”，撕。，) = ( m 。，也) 。显然，我们定义的集合h 在这两种 运算下构成一个线性空间。 然后我们再定义其中的内积，( o 。以) ，( “。，v 。) ) = r ”飘出+ 肌r v 。出 。由内积公里，容易证明空间中所定义的内积是合理的，构成一个 新的内积空问。 取 = 屯时，方程( 1 3 ) 的。一组非零解q 。、c 2 。， 卜仍一3 字， 。 ( 3 1 ) 【c l 。仍( d ， ) + 托2 。y 2 ( 日， j = o 由( 1 8 ) 知，c 。c ：( a ) o 。我们得 硝曲2 j 0 访地 ) 麒d 2 j 丢协叭九) 为问题e 的规范特征函数系，令色= ( 心，n ) 。 ( 3 2 ) 现在任取聊胛，由国( a ) 零点单重性知 九。用心，以分别乘 以以，以满足的方程( 0 1 ) 相减后得： ( 五。一五。) f ( 。l 。i + 。2 n ) 出= 。：一。2 。， ，：。 ( 3 3 ) 同理可以得到( 一一九) f ( ，+ ：以：= 以。：一以：，乙。 ( 3 _ 4 ) 利用。( 口) = 州a ) ，卢：( 日) + ( d ) = o 将( 3 3 ) ( 3 4 ) 的右端消去得 ( 屯一九) 卜f ( + + f ( + 皿l = o 由于a 。九，我们有f ：以出+ 从r y ： 出= o 。 ( 3 5 ) 定理2 ：问题e 的规范系( 3 2 ) 在空间h 满足正交规范关系。 取h 中具有如下性质的元素构成子集合d = 似( x ) ，v ( x ) ，其中 ( 1 ) 、“( 五) e 工( 6 ，口) ；v ( x ) ( c ，口) ( 2 ) 、 - ( 6 ) s i n l z + “z ( 6 ) c 0 8 口= o 【h 【c j s l n + v 2 【c ) c o s = o ( 3 ) 、“。( 口) = 五v 】( d ) ；“：( 口) + 厅v 2 ( 以) = o 按范数怕。，) ，( “。，) f | 2 = f “：出+ 船r 出，d 是日的稠密子集。 2 4 豫解式 占萋+ i ：1 ；兰一：p ：c 虽一0 ”c x ，2 _ c j x x c 6 ，“， 。4 ， c b 袭+ ( 9 l 絮一彳。三一a v c 石，= 厶c z 工z c c ，n ， 。斗1 其中，= ( 正， ) 日，我们要在d 中寻求方程的解( ，：( “( x ) ，。( 。) ) ， 并称u 为豫解式。为了求出豫解式，我们从( 1 1 ) ( 1 2 ) 的解妒( 。) ，妒( 艽) 出发，再造两个初值问题的解o ( x ，兄) ，掣( x ，z ) ，它们满足： ( o 2 ) ( 口) = 纯( d ) ，2 ( 口) = 一后伊2 ( 口) ( 4 3 ) 现在我们定义一种新的g r e e n 矩阵g = ( g 。，g ：) ，其中 g l = ( g 1 l ，g 1 2 ) 7 ：g 2 = ( q l ，g 2 2 ) 7 。 赤吣) ( n y “ 志吣矿( y ) j ， g 。= 赤y ( 以y ) ，屹= g l ：= 志m ) 以办 赤吣) 旷( y ) x 赤矿( 耽删。 定理3 ：当入不是( e ) 的特征值时，对于任意的厂= ( z ，正) 日，方 程( 4 1 ) 在d 中有唯一解。设解为【，= ( “( ，v ( 砷) ，司由卜式给出 “( x ，兄) = r g “z ( y ) 咖+ “。r g - z 正( y ) 咖。( 4 4 ) l v ( j ，五) = rg 2 。彳( y ) 砂+ 船fg 2 ：五( y ) 砂 定理3 的证明过程可以参看文献【4 。 下面我们考虑g r e e n 矩阵在丑= 丑。处的留数。首先我们由国( 五) 的 表达式，得出口( 五) = ( n ) 仍( 口) + j | 妒，0 砂：( n ) = 中。o 概0 ) 一o ：0 如b ) 。同 样能够得出甲，g 弦：g ) 一甲：o 砂，g ) ：鼍粤。 当 = 时阮) = o ，则j 常数爿。，雪。，有下面的等式成立： 中( z ，以) = 爿。妒一) ；甲( 五。) = e _ ；f ，( x ， ) 。进一步我们得到如下等式， 恐。奠2 7 1 ，( 生) 2 哆? ，气： ( 4 5 ) i 以晚( 吼五) = 中：( d ， ) = 一 妒：0 ，以) 。 将( 4 5 ) 与( 3 1 ) 比较得，爿。2 形：。；同理得曰。= 。形。 根据上面解出的关系我们来计算g r e e n 矩阵在a ：丑处的留数， 脯鬻g l 俐= 瓮产= 絮捌钒眦刿的跏可 以比较容易的求出g l ：，g 2 ，g 2 ：在丑= 五处的留数分别为 以g p ：l 以0 札：o l 以g p ：0 ) 。 有了g r e e n 矩阵在五= 矗处的留数后，我们可以得到下面的引理a 引理3 ：豫解式u = ( ( 曲，v ( 曲) 在a = 屯处的留数为： 磐甜以) = 鸬( 砷( 等，厂) ( 4 6 ) 贻v 以) 2 圪( x ) ( 等，) ( 4 - 7 ) 引理4 ：对于非实五= 盯+ f r ，豫解式范数有估计南。 证明：用雨乘“( 满足的方程，与雨乘v ( 工) 满足的方程进行相加， 然后根据其在连接点处的条件，消去连续点，得： k ，( 6 】2t a n 口+ 女卜。( c 】2t a n 芦一r 2 r e “：玩出一 女f 2 r e v ：瓦出 = f 以+ a k 2 出+ f 协+ p ：】 2 出+ f z ，玩出+ f z z 面出 + 船垃k + q 1 】v 1 1 2 如+ f n + q ：】v ：f 2 出+ r 厶e 出+ r ：呓出 。( 4 8 ) 同理，用“( x ) 乘五丽满足的方程，与v ( z ) 乘；丽满足的方程进行相加， 根据其在连接点处的条件，消去连续点，得： 砘曲) 2t a i l 口+ _ j j v ，( c 】2t a j l 一f 2 r e 厅，出一 j f2 r e v ：e 出 = f 防+ p 。k 。1 2 出+ r 防+ p ：】“： 2 出+ r i 出+ r ；：“：出 + 从澹防+ q ，】v ，1 2 出+ f 防+ q 。1 v ： 2 出+ f ，e 出+ f 厶：吒出j 。 ( 4 。9 ) 我们将( 4 8 ) 减去( 4 9 ) ，得r ( u ，【，) = i m ( ，u ) 。经过化减得出： f 2 ( u ，u ) 2 ( 厂，u ) 2 ( 厂，厂) ( 己，u ) ， 占。引理得证。 2 5 展开定理 由文献【5 ，我1 岭三= ( 三：) 姜+ ( n p 新可以容易得出下 面的引理。 引理5 ：对于任意的庐( 曲三( 6 ，c ) ；烈( 6 ，c ) 。我们有下面的l a g r a n g e 恒等式：f 伊7 删也= r 痧7 却麻+ 防妒雏。 ( 5 1 ) 引理6 ：当厂d 时，由l a g r a n g e 恒等式，我们有下面的等式 证明：由定理3 ，我们得出： 出以，) _ 器脚帅鼢湍m 朋痧+ 褊吣) 城咖 同理，我们有 础以v ) = 搿r 巾( 可( y 胁+ 瑞r 矿( y 蚴( ，渺+ 茜妒( x ) r y b ) 埙( y 胁 = 4 瑞r 肥肌湍r 肥肌茜咖) f 加，砂 + 搿c + 端i + 蔫删侧： = 舭“五，厂) 一石， 则“( ) = 去彳+ 去“( 丑，可) 。 同理我们有v ( 五，厂) = 三z + 圭v ( 丑) 。 定理4 ：d 中任一元素都可展成 盏) 的绝对一致收敛的级数。 厂= 芝z 氦，其中z = 。 )2 o ，女 o ，a 为特征参数。“( 曲= ( 村( x ) ，“：( ) 7 。 3 10 ，c ) 中解的开拓 设 ( x ) 为( o 1 ) 在q 中的解，我们解初值问题 雌p 意m 班似 沏， 【“i ( c 一) = h i ( c + ) ；m 2 ( c 一) = h 2 ( c + ) 得( o 1 ) 在q ：中的延拓解。由初值问题解的唯一性，知这种延拓是 唯一的。 引理l ：设“( x ) ，“( 工) “( x ) 为( o 1 ) 满足( 0 4 ) 的解，且存 在常数 c l ，c 2 ，使得在某一 q ，0 = 1 ，2 ) 中 c “( j ) + 掣。( 工) ”c 。“( x ) = o ，则此线性关系在z q 恒成立。 证明：由齐次性，矿( x ) = c l “( x ) + c ： ( x ) 十。c 。“c 州( x ) 仍满足( 0 1 ) ( o _ 4 ) 。 在q 中恒为零，由保持连接条件( 0 _ 4 ) 的解的开拓的唯一性，矿( x ) 在 q 中恒为零。 引理2 ：设“( x ) ，v ( x ) 为( o 1 ) 、( o 4 ) 的两个解，记其骱d 凇妙行列式为 矽【“( z ) ，v ( x ) 】，贝ud ( x ) = 研“( 句，v ( x ) 】 ( 1 1 ) 为q 上的阶梯函数，在q 中等于常数2 ，满足以d l = 4 d 2 。 ( 1 2 ) 其中a = 1 ，一。= 船。 证明：利用( 1 5 ) 知，在每一个q 。中 c 曲= 乏高高| + 巴，：三芝，：三f - 。，i “：( 屹( 曲l1 ( 曲k ( 曲f 则在每一个q ，中等于常数。 q = 日c c 一，= 险等；2 善泞f 瓮善；急善泞触眨善；2 孑l = 肌d 2 ( c + ) = 觥d 2 令a = 1 ，4 = 胁即可。 3 2( e ) 的整函数枷( 旯) 下面我们分别求解在q 及q ，中的初值问题。 j 占罢+ ( p 1 见新加圳一。，眩， l鲵( 口) = c o s 口，仍( 口) = 一s i n 口 b 警r 1 意m 州删一。眩2 ， i 妒1 ( 6 ) = c o s ，妒：( 6 ) = 一s j n 将所得的解烈五) ，似五) 分别保持连接条件( o 4 ) 开拓到q 上，易知 对任z q 或x = c 一或z = c + ，妒( x ，五) ， f ，( t d 都是五的整函数，且 妒( 工，互) = 丽，y ( z ，彳) = 石巧西。 设五是( e ) 的特征值， ( 功是相应的特征函数，由 “删n 删啪舢可以得出燃= 昝燃矧一o o 故 妒( 石，五) ，( z ，五) 在点6 处的c a u c h y 初值线性相关，因而在q ：上 “( 曲：掣( a ) ( c o ) 。由引理l ，此线性关系在q 上成立，由 m ( d ) s i n 盯+ “：( 口) c o s 口= o 推知( n ) s i n 口十妒：( 口) c o s 髓= o 。故特征值五为下列 整函数的零点。 孵舷碧搿i ( 2 3 ) 反之，若( 五) = o ，则( d ) s i n 口+ ( 口) c o s a = o 。因妒a ) 满足( o 2 ) ， ( 0 4 ) ，故矿( x ，2 ) 是特征函数，五是( e ) 的特征值。 定理1 ：a 是( e ) 的特征值，当且仅当a 是甜( 五) 的零点，且 ( 1 ) ( a ) = d l = 一。d ： ( 2 4 ) ( 2 ) 嘉m 川“艇啦 ( 2 5 ) 证明：在引理2 中，我们令h ( z ，五) = p ( x ，五) ，“x ，五) = 妒亿五) ，则有 一隧2 敖矧畔峨 当工q ；时，d ( x ) = q ，故( 3 5 ) 成立。 3 3g r e e n 公式及其推论 由于连接条件的出现，g r e e n 公式比较复杂，为简化计算，对 ( 五五) ，v ( x ，五) 引进一种新的内积。 ( “( 五n v ( 五) 2 喜爿一“7 ( 五m x ，丑) 出2l “7 ( x 埘v ( x ，兄胁+ 4 l “7 ( 丑m x 埘出 由此产生个h i l b e r t 空间h ，它的范数与厶空间的通常范数等价， 这此h i l b e r t 空间完备。 引理3 ：( 研e e n公式)设”( x ， ) ，v ( 墨刀) 分别是 曰罢+ ( 昆pp 2 0 算) m 工) = 砌( x ) ，曰塞+ ( 且p 2 0 工) ) v ( 曲= 肌( z ) 满足 ( 0 4 ) 的解，贝n ( 丑一五) ( ”( x ，a ) ，v ( x ，五7 ) ) = 爿。( 一( 盯) ， ( 3 1 ) 其中( 石) = 阡，【”( ) ，v ( k ，) 。 ( 3 2 ) 证明：在每一个q 。上，有( 一 ) ( “( x ，五) v ( 工，五) + ”：( z ，五) v 2 ( x ，丑) = i ( x ) 。 等式两边分别在q 。积分得： ( 一l ( “- h + “z v 2 ) 出= ( 6 ) 一( c + ) ， ( 一五) l ( “一h + “z v z ) 出= ( c 一) 一( 口) = 舭( c + ) 一( 口) 。 则我们可以得出： 爿( 6 ) 一( 口) = ( 一五) 触l “7 ( x ) “x ) 出+ ( 一五) l “7 ( z ) v ( x ) 出= ( 一 ) ( “( x ，五) ，v ( 五丑) ) 。 定理2 ：( 1 ) ( e ) 的特征值为实数；( 2 ) 特征函数满足正交关系( 3 ) 国( a ) 的零点为单重。 证明：( 1 ) ( 2 ) 为( 3 1 ) 的简单推论。令“( x ) = p ( z ，旯) ，v ( 石) = 妒( 工，五) c 五7 2 ，c p c a ，v c x ， ，= 4 l 毳象茗篡芸竺l f 墨；：；篡暨2 f = 国( a ) 一( ) 令五 五得( p ( x ，五) ，( z ，a ) ) = 国7 ( 五) 当z = 以为特征值，国( 以) = o ，由( 2 3 ) 知，妒( x ) ，p ( z ) 在n 处的c a u c h y 初值线性相关，故存在常数o ，使得x e g 中 f ，“矗) = q 妒( x ， ) 。由 引理l 知，此线性关系在q 恒成立，因妒五) 为实值，有 o ( 烈x ， ) ，妒( 工，矗) ) = 出( ) ，由此知( ) o 单重。 令甲一 ) _ 煮知妒“， ) 。i 赤丽y 矗) 为规范的特征函数，我们 可以得出等式丛掣= y 。( 曲甲。( 。 l 九， 3 4g r e e n 矩阵与( f ) 的解 ( f ) 删书塞+ ( p po 巾) 】_ 删 “l ( 口) s i n c r + “2 ( 口) c o s 盯= o “( s i n + “2 ( 6 ) c o s = o “、( c 一) = “、( c + k 如0 一) = t 如( c + ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 取h 的子集d ，其中元素满足( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ，显然是h 的完备 子集。定义g r e e n 矩阵g ( 工，y ，五) = 妒( 工，五) 矿7 ( y ，且) 国( a ) 妒( 工，a ) 伊7 ( _ y ，丑) ( 五) 定理3 ：设五不是( e ) 的特征值，则可( x ) 胃，( f ) 在d 中日q 祥存 在唯，由下式给出：“( 工) = ( g 7 ( 工，五) ，( ) ) 。 ( 4 6 ) 证明：为计算方便，以下我们省去 不写。当z q 时， 吣) = r 三矽蚋，删砂+ f 赤贴矿( 彬( _ y 胁+ 羔h 班b ) ，( y 协 当x q 。时， 吣) = r 耔几阱f 羔州以y ) 厂( y 协+ 赤，吣咖) ，( y 渺 现在我们让x 斗c 一，则由“( 功的表达式，我们可以得出： 啦) 2 赤，慨( ，) 帕) 他) “，) 啪) 胁) f f + 蒜：( c w 舡) 脾) + 蜊c w 舢) 胁) 比 以c 卜赤上 慨( c + ) 帕) 他) “咖( 碱“) 】蟛 + ：【七仍( c + ) ( 功z ( + 女仍( c + ) ：( x ) 以( x ) f f 同理，当工寸c + 时，我们可以得出： )5 斗( y y x x 州c + ) 2 赤咖( c 锄( 堋曲峭( c + ) 伤胁) 】蟛 + ：l 泐( c + ) ( z ( x ) + 竹( c + ) ( j ) 正( 功f 亭； “：( c 十) 2 i l 。【沙：( c + ) 仍( x ) z ( 曲+ l ；f ，：( c + ) 仍( x ) 工( 功】d 善 + 羔u 北m ( 堋( 功+ 舭w z ( 城( 圳f 则显然有( c 一) = 帆( c + ) ，如( c 一) = 加：( c + ) ，同时还可以得出： l ( ) c o s a + “2 ( n ) s 协瑾= o o m ( 6 ) c o s 卢+ ( s i n = o 由此可知“( x ) = ( g 7 ( 工，a ) ，( ) ) 满足方程( f ) 中的( 4 2 ) 、( 4 3 ) 、( 4 4 ) ， 将其带入方程( 4 1 ) 中，易知其是( o 1 ) 的解，且是唯一的。 3 5 特征展开定理 设厶，五，五：丑。是问题 (e)的特征值， 甲。( 砷，甲+ ，( x ) ，甲。：( 功甲+ 。( z ) 是相应的正交规范特征函数。令 h ( x ，善) = 艺! 掣，由文献 4 知g ( 州i ) = h ( t 孝) 。 定理4 ：如果厂( x ) 有连续导数，且满足( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ，对任意 的，h 可用( e ) 的规范特征函数展开成f o u r i e r 级数形式， ，( x ) = n 。甲。( x ) ，其中= ( ，( x ) ，甲。( x ) ) 。 证明：令 ( x ) 一p j ( 曲z ( x ) 2 啊( x )x q ， 【i 曲+ 。( 石) 五( z ) = 吃( 彳) 由公式( 4 6 ) 我们得出： 八x ) = ( g 7 ( _ ) ， ( ) ) 2 。，薹掣p 孵埘m ：，篓攀 翰蟛 2 半【，薹味m 肚上墨昭蝈 则。= ( ( x ) ，甲。( x ) ) 。 以上通过特征函数的正交化，对问题(