（基础数学专业论文）一类孤立子系统的无穷守恒律及hamilton结构.pdf

摘要 本文立足于一个2 x 2 谱问题，获得了3 3l e n a r d 算子对( k ，j ) ，并由此导出一类非 平凡的( 1 + 1 ) 维孤子方程族对该方程族中的参数取不同的值，可得到广义t d 族，t d 族，广义c k d v 族和c k d v 族；为研究其h a 嘶l t o n 结构，通过定义新的l e n 8 r d 递推序 列 q 得到了该等谱方程族的2 2 l e n 甜d 算子对( 露，j ) i 进一步本文还通过特征函数的 组合关系所满足的王u c c a t i 方程，得到了该等谱方程族的无穷多个守恒律；为简便起见，本 文以广义t d 族为例，由它的2 2l e n a r d 算子对的性质证明了此算子对为h a l l l i l t o n 算子 对，这说明广义t d 族是广义h a m | 1 t o n 系统且具有b 卜h 啪i l t o n 结构和m u l t i h a l i l t o n 结 构；进而利用它的依赖于谱参数的一般守恒密度的积分在约束条件下求泛函导数的方法， 得到了广义t d 族的h a m i l t o n 函数与守恒密度之间的对应关系，这些性质对于由本文提 出的2 2 谱问题所导出的等谱孤子族仍成立；另外此谱问题与a k n s 系统存在着规范变 换，位势之间有广义m i u r a 变换，而孤子方程之间也满足一定的等价关系 关键词： 孤子方程；无穷守恒律；s y m p l e c t i c 算子；b i - h a m i l t o 结构；l i o u v i l l e 可 积；规范交换 a b s t r a c t b a s e d o a 2 2e i g e r a l u ep to _ b l e m ，a 3 x 3 l e n 缸d p a i r o p e r 鳅d r 8 a n d a n e w l + l d i 玎舱i l s i o r l 8 i s o l i t o nh i e r a r h ya r ep r e s e n t e d b y 出0 0 s m gt h es p e c i a lv a l u e so fp 8 r a m e t e r 8i nt h eh i e r a r d h y ，t h e h i e r a r c h i e so ft h eg e n e r a lt d ，t d ，t h eg e n e 同c k d va n dc _ k d v c a i lb eo b t a i l l e d i no r d e rt o i n v 器t i g a t et h eh a m 主l t o n i a n8 t r u c t u r eo ft l l i s8 0 l i t o nh i e r a r c h y ian e wl e n 8 r dg r a d 王e n ts e q u e n c e q ) a l l di t 8c o r r e 8 p o n d i n g2 2l e n a r dp a i ro fo p e r a t o r 8 ( k ，t ，) a r ei i l t m d u c e d + f l l l r t h e r ，w i t h t h eh e l po f 砥c c a t ie q u a 七i o n e ，姐i 曲n i t en u m b e ro fc o n s e r v 酤i o nl a w 8f o rt h es o l t o nh i e r a r c h ya r e d e d u c e d f o rt h e8 a k eo fs i m p l i c i 妣t a m n gt h 。g e n e r a lt dh i e r a r c h ya sa nn l l l s t r a t i v ee 【a m p l e ， w ep r o v et h a tj t s2 2l e n a r dp a i ro fo p e r a t o r 8f o r m sah 龇n j l t 仙i 8 np a i r t h u st h ei s 0 8 p e c t r 以 e v 0 1 u t i o nt dh i e r 盯d l yi 8t h eg e n e r a lh 缸n i l t o n i a ns y s t e ma n dp o s 8 e s s e st h eb i - h 啪i l t o n i a n s t r u c t u r e sa n dm u l 恤h 枷i l t o n i a l ls t m c t u r e s b yu s i i l gt h em e t h o do fd e r i v a t i 咖o ff l l n c t i o n a l u n d e rs o m ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n ，ac o m p l e t eo n e _ t 0 - o n ec o r r e s p o d 捌1 c eb e t w e e nt h eh a m i l t o n i a n f i l n c t i o n so ft h eh i e r a r c h ya n di t sc o i l 8 e r v a t l o nd e n s l t yf u n c t i o n 8c a nb eb u i l t t h e 8 et 呲l t sc a n a l s ob e 印p l i e dt ot h ei 8 0 s p e c t r a le v 0 i u t i o ns 0 1 i t o nh i e r 盯c h yo f t h i sp 印e r f i n m l y 7t h e r e 8ag a l i g e t r a n 3 f o r m a t i o nb e t w e e t h es p e c t r a lp r o b l e mo ft h i sp a p e ra n dt h ea k n ss y s t e m m o r e o v e r ，七h e p o t e n t i a l si nt h e s e8 p e c t r a jp m b l e m 8s a t i 8 分t h eg e n e r a lm i u r at r a l l s f o r m a t i o n ，t h ec o r r e 8 p o n d i n g r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w os o l i t o nl i i e r a r c l l i e si sa l s og i v e n 。 k e y w o r d s ： s 0 1 i t o ne q u a t i o n ；c o n 8 e r v a t i o nl a w ；s y m p l e c t i co p e r a t o r ；b i - h a m i l t o n i a n8 t r u c t u r e 8 ； l i o u v i l ki n t e g r a b i l i t y ；g a u g et r a n s f o r m a t i o l l 郄l 声弱 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭簿违反 学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承襁由此产生的一切法律责任和法律后 暴，橹魄郑重声明 攀位论文佟者；王操 帮静争嚣劢嚣 第一章引言 寻找和扩充l a x 或l i o u v i l l e 意义下的可积系统是孤立子理论研究中的重要课题， l i o u v i u e 可积性对一个有限维h 姐m t o n 系统而言，是指系统中的方程能表示为h a m i l t o n 方 程，且存在n 个独立的相互对合的守恒积分，这一概念可推广到无限维的动力系统中， 由此发现许多孤子方程也具有h a m t o n 结构其中h a m i l t o n 结构是证明非线性发展 方程完全可积的直接而优美的方法呻一q 其意义为如果一方程可表示成彼此相容的一组 h m i l t o n 系统，则根据m a 口i 定理鸭可得到两两对合的h a m i l t o n 守恒积分近年来，我 国学者在这方面取得了很大成果，屠规彰1 9 8 5 年提出的迹恒等式是构造无穷维h a h l i l t o n 系统的有效方法，该方法由一个适当的谱问题出发，获得发展方程族及其h a m i l t o n 结构， 后又进一步发展完善f 6 一，这一方面的理论基础是用变分导数的性质得到了一个关于泛函 梯度的迹恒等式该方法自提出至今，已被众多研究者所采用【6 9 】，这一方法已成功解决 了许多孤子族的h 啪i l t o n 结构如；a k n s ，t c ，t a ，b p t ，y 妇g 族等f l o 1 l 。 另外n o t h e r 定理指出，一种具体的不变性，存在着一个对应的守恒律如空间平移不 变性对应动量守恒定律；时间平移不变性对应着能量守恒定律等等囡此，对于一个孤子 系统而言，寻找其无穷守恒律，对于证明此系统可积具有重要的意义自从m i u r a lg d n ” 和k r l l 8 k a l f l q 发现k d v 方程的无穷守恒律以后，先后出现了一系列的构造方法一般说 来，一个连续系统的无穷守恒律或者守恒量可以通过以下几个途径来获得 ( 1 ) 通过b 茜c k 】u n d 变换【1 3 】一般方程的b a d 】u n d 变换都包含x 一部分和卜部分，由 t 一部分可构造守恒律的一般形式，而具体的守恒密度由x 一部分导出的r i c c a t i 方程来获 得这一方法只与所讨论的方程有关，不受l a 】( 对限制但只能获得单个方程的无穷守恒 律 ( 2 ) 通过斑c c a t i 方程组f 1 3 】从l “对获得彤c c a t i 方程组，利用方程组中两方程( x 一 部分和t 一部分) 的相容性构造守恒律，具体的守恒密度由x 一部分导出该方法从l a x 对 出发可以获得整个发展方程族的无穷守恒律 ( 3 ) 通过散射问题及散射量n ( a ) 的渐进形式【1 4 】散射量n ( a ) 可以通过特征函数构造的 w r o s l 【i a 行列式来表示，利用特征函数的渐进式可得n n ) 的渐进式，进一步利用o ( a ) 与 t 无关的特点可以得到与谱问题相联系的无穷多个守恒量，但该方程并不能构造出无穷守 恒僖 对于线性等谱问题 嚣剐咖m 加t 其相容条件为零曲率方程 矾一吃“+ 以y ( “】= o ， n o 其中u = u ( 旦1 a ) ，y = ( 坠a ) 是矩阵算子，a 为谱参数。笪= ( u l ，“2 ，“口) t 为位势 设( o 2 ) 确定函数方程为 丝t = j 0 ( 坠) ， 礼o ( 0 1 ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) 则称( o 3 ) 为l a x 可积的，这是可积系理论中的一个核心问题【设存在s y m p l e c t i c 算 子j ( 又称h m i l t o n 算子) 与h a m i l t o n 函数巩一巩( 笪) 使 业= ( 妒j 等，n 0 ( 0 4 ) 则称( o 4 ) 为广义h a m i l t o n 方程【。这一概念引入在于把有限维h a m i l t o n 系统的l i o u v i l l e 定理推广到无限维f ”若存在另一s y m p l e c t i c 算子露，使 耸一( 鲈j 鲁= 霄警，n o ( 0 5 ) 霞，j 组成一个h a m i l t o n 对即其线性组合n 玄+ 卢j 恒为h a m i l t o n 算子，则称( o 5 ) 具有 b i h a m i l t o n 结构m 蜊 虻u = ( 葚， 他e ， 对应的等谱孤子族 _ ( 室等n l 剽娴弘 呱， 的相应内容( h a m i l t o n 结构，l i o u v i l l e 可积性) ，并利用寻找无穷守恒律的方法( 2 ) 得到了 方程族的无穷守恒律其中方程族( o 7 ) 包括以下几种特殊情况 田女= 1 ，n 任意时，方程( o 7 ) 为广义t d 族【埘 当d = o 时，方程( o 7 ) 为t d 族 圳 口i 】女= o 时，方程( o 7 ) 为广义c - k d v 族f i 9 | 当o = o 时，方程( o 7 ) 为o k d v 族f 2 0 1 为研究方便起见，以广义t d 为例，得到了广义t d 族的b i h a m i l t o n 结构， m u l t i h m j l t o n 结构，l i o u v i l l e 可积性，无穷守恒律，及守恒密度与h a l n i l t o n 函数之间的关系， 最后讨论了谱问题( o 6 ) 与a k n s 系统的规范等价性 全文框架如下：正文共分六节，第一节将从l a x 对出发得到3 3l e n a r d 算子对及一 类孤子方程族；第二节通过选择新的l e n a r d 序列获得了2 2l e n a r d 算子对；第三节仍 由l “对出发，获得整个发展方程族的无穷守恒律具体方法是由特征函数的组合关系 得到磷c c a t j 方程组，利用方程组中两部分( x 一部分和t 一部分) 的相容性构造守恒律， 具体的守恒密度由x 一部分导出；第四节以广义t d 为例，利用它的2x2l e n a r d 算子对 是h m i l t o n 算子对的性质，得到了广义t d 族的b i h 8 l i 1 t o n 结构，m u l t i _ h m i l t o n 结构 及l i o u v i l k 可积性；第五节利用依赖于谱参数的守恒密度的积分在约束条件下求泛函导 数的方法得到了广义t d 族的h a m i l t o n 函数与守恒密度之间的关系；第六节通过寻找规 范变换，建立了谱问题( o 6 ) 与a k n s 系统的联系，得到了两孤子方程族之间相应的等价 关系 本文得到河南省教育厅自然科学基金( 2 0 0 4 1 1 0 0 0 6 ) 的资助 3 1 方程族 第二章h 瓣i l t o n 结构和l i o u 、r j 】l e 可积性 u = ( 葛， 书“掣科j = ( i i = ( ! 1 ， f 一。霹+ ( 。t + 罟) 鳄十或：o ， 誊葛二絮， 前几个解为 f 。1 9 1 = l o l l 一- j 矿+ ： u 0 4 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 舻f 缸扩埔k 卜。， 、，。 令 其中 一生等土曼) ( + ：) + 警k + t ( u ”一警) 一 詈) + ；【( 矿+ 詈) 。一( u ( 扩+ 吾k 十；( 妒 学 矿+ ；) f 。1 驴 玛k ) ( 1 7 ) r = ( 碟，瑶，霹) r ，如= i 】i 干诂靠+ 笔；荸鲧 ( 1 8 ) c 一a 刃r = t 概+ ( ：2 7 = ( ；芝：釉氏 ， 。= 黔釉晶) _ ( 然h 吲翊) 定义向量场 ) 为( 1 1 1 ) 右端 。( 篇r l 釉胡)矸矗a ( 碗) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) f 1 1 2 ) 舻 p + + m 产 曙 州 ，f-_-_-_i 一乞妄 + n 一 鲫 。瑚 = r 、， 砖搬 瑶霹嘴 ， l i | | m 叫 m 矿 y 以 + 曙 一 矾程 方 率 曲 零 由 前两个方程为 毗。= t 。，= 口。 ( 1 1 3 ) u 虹：南科毕+ 衢+ ( + 1 ) “2 一哟丝+ 学( 1 n ”) ：一南( 1 n ”) 一+ 弩1 ，( 4 1 仇。= 雨彳b 万a 【u ”十1 + “n + 右鑫( ”+ 1 ) z g ( 1 n ”b 】 ( i ) 特别地女：1 ，。任意时，( 1 1 1 ) 为广义t d 族，前两个方程为 “i ；， 饥。= 如 ( 1 1 5 ) “屯2 糊警+ 2 2 一矿一景( 1 “”k + 割， ( 1 1 6 ) 口b = ：如岫2 + 一暑( 1 n u ) 。 n = o 时，( 1 1 1 ) 为t d 族，前两个方程为 毗l 。“， 仇1 2 如 “。= 如( ，t 2 一譬+ 鬻) 地2 = 2 h t k + “z ( 1 i ) = o ，o 任意时，( 1 1 1 ) 为广义c _ k d v 族，前两个方程为 u b = u z ，吨l = 毗 u t ：= 如 警+ ! 争+ u 2 一；一妾( 1 n u ) 。 仇：= 2 如扣扣+ ) 一警一g ( 1 ”k 1 a = o 时，( 1 1 1 ) 为c k d v 族，前两个方程为 t l2 z 】l2 “f 2 = 2 “ 。+ 警警 饥。= 2 ( u ”k 一 口一 ( i i i ) = ，。= o 时，( 1 1 1 ) 为一新孤子族，前两个方程为2 1 m 。= “z u ；+ 警一者+ 静 吨。= ；”u 。+ 2 “一甍一7 6 ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 1 ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 静 ( 1 2 4 ) 2 皆+ 警一警半 + 一 警嘉 十 十 品尝 + 一器峨 一 1 2 訾旷 + o 呻 z 3 眦 一 ，百 k + 3 2 d w + 3 u b 泸 执 = = 膨 仰 2 2 2l e n w d 算子对 为证明( 1 1 1 ) 是广义h a n l i l t o n 系统，须求逆辛算子下面从( 1 1 2 ) 出发构造2 2l e n a r d 算子对( 露，国，为后面证明孤子系统的b i h a u d l t o n 结构做准备，其中2 2l e n a r d 算子 对如下 露= 黔 皿， 蜀，= 赤p 击口( ：一习) a + a ( ：一习岛) a 击叫一8 笋a ， 或2 2 南雌a ( 1 十南) 一a ( ：一鼎) 8 南】+ 南a 普， f 2 2 ) 露2 1 = j 蕊 可z 【南a ( ：一石爵可) 8 一( 1 + ；音了) 8 专。】+ 矗百善o ， 亟2 = 赤 由a ( 1 + 舞) + ( 1 + 南) a 由j j = 南b 对 下面我们讨论如何寻求露，j ，向量场( 1 1 2 ) 可写为 矧( 吲靠) 其中了为( 2 3 ) 所示 定义新的l e n ”d 序列( g 。) ，瓯与鲰的关系如下 瓯= = ( 吲鳍) 由递推关系霞q 一1 = j 嘭来寻找露 为方便计算记 a = 2 蘸t ， b = 珐一t + ( 女扩一暴) 建一t 由( 2 5 ) 和( 1 5 ) 第一式可知 a z = 2 喊一- ( 泸+ ；) 旅一 ( 2 3 ) f 2 4 ) f 2 ，5 ) f 2 6 1 由( 2 5 ) ，( 2 6 ) 得 如一赤渺1墨) 屯+ 2 ( 沪+ 詈) b 】 姥一= 丽南( 。”b 一 将( 1 5 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 代入( 1 1 1 ) 得 ：霄f a1 ，求出露 “ b ， ( 2 7 ) ( 2 8 ) _ 印刊靠蒜篡苗洲抄城一) 仁。， = ( 咎 瞄1 9 其中a 1 = 或1 以+ 盔2 b ，4 2 = 盔1 4 + 豇2 b 将( 1 5 ) ，( 2 7 ) ，( 2 8 ) 代入( 2 9 ) 得 霞- ，= 赤p 嘉a ( ：一南) 8 + 8 ( ；一南) 皓翻警a ， ? 2 2 南峙a ( 1 + 菏) 一a ( ；一南) a 南j + 南a 荸，f 2 1 0 、 尬1 。j 洳【i 岛纠：一；岛) p 一( 1 + i 爵) a 嘉司十南芳a ， 岛2 = i 南 南a ( 1 + 寿) + ( 1 + 南) 。南1 ( i ) 特别地，n = 1 ，n 任意时，( 1 1 1 ) 为广义t d 族 ，= ；( 菇) ( i i ) 女= o ，口任意时，( 1 1 1 ) 为广义c - k d v 族 ( 2 1 2 ) 霄：f 5 a ：芎：+ ? 尊a ? 、_ 二0 a 【a 2 ( 1 十：) + a 嚣a 。i 十a “1 ， ( 。，。) i ”a 号a + ( 1 + 署) 萨 + “a a ( 1 + 詈) + ( 1 + 罟) 、 8 十 研 蛩瑚 呈u p 十釉+ + a 泓” a 疗 一 a 酬! 删m 一 矽 三”d 毋 十 + n 矽 一口a n 皓一 护皓 p 挣 = 彤 j = 下面我们从换位表示来考虑方程族的结构：先引入以映射 以瑚一( 。：尝二竺。篡兰) = ( 。一王嚣，。三，) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 令g 2 著j b l ，对应孤子族时的演化部分由( 1 - 9 ) 所示，并由g n 与肌的关系式( 2 4 ) 得 加) = ( 三0 偿埘 其中 晶2 南g ：，a 2 喜孙护j + 南g ：，b = 砉赤 貉一争”， c 2 妻赤【( ：一南) g k + 2 ( 1 + 巍) 骘一。1 不难验证下面命题成立 命题1 诏娟嗍= 刚摹埘胁)( 2 1 7 ) 命题2 由零曲率方程睨：以一f 以y n ) 1 和命题l 知下式成立 3 无穷守恒律 考虑谱问题 一a + 札 九2u 庐，己，2 ii 泸+ ：a n ( 2 王8 ) f 3 1 1 及相应的辅助问题 ab、 也= y 咖， y = il e a 其中庐= ( 咖l ，咖2 ) t ，k ，n 为任意常数，u ，v 为两个位势 令 曲2 4 2 石 则由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 可得 = ( w + ；) 一2 ( 札一a ) 口一u 口2 巩= e 一2 4 盯一b 盯2 由( 3 ，1 ) ，( 3 2 ) 知 以( 1 n 1 ) = ( h a ) + 口， 晚( 1 n 西1 ) = a + b 盯 由( 34 ) 的相容条件得一族方程的守恒律 m + ”口h = ( a + b 们。， 由( 3 3 ) 第一式得 ( ”一) 。= 鲁( ”一) + 2 ( a u ) ( ”a ) 一( 叫2 + ( u 州+ a ) 记u ： 口且令u ：孽a n 代入( 3 6 ) ， 比较a 1 的同次幂得 从( 3 7 ) 第二式可得到此方程族的守恒密度且前3 个为 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 1 ( 3 7 ) 叫1 = 一 ( u + 1 + a ) ； u 2 2 一2 + 1 ) ：2 - ( 2 ：”_ ? ( 詈) ； ( 3 8 ) “3 = 一 ( 七十1 ) 七付一1 谚一鼍”u 。一 ( 2 姓 一) ( u 十詈) 。十 ( 2 u ”。+ 2 一 。+ 1 t k + 2 n 札 一n 一4 “2 u 一譬+ 。) ( u 。+ 詈) + 量茅( + 1 十n + 2 札一鲁) k 1 0 2 = 几 ， 吩 ! 叵 + n 咄社 + 一 抄孙三2 一 | | | | “ u 叫 妒 胪 对于任意系统只要给定a ，口就可以直接用( 3 7 ) 并比较( 3 5 ) 申 一“的系数得到一族 方程的无穷守恒律，且族中所有方程具有相同的守恒密度，而连带流各异 如t d 族和o k d v 族情况如下 ( i ) 对t d 族方程( 1 1 8 ) ，由( 2 1 6 ) ，( 1 5 ) 知 a 一一a 2 + 仳2 + 等， b = 口 + u 一警， c = 口a + “ + 警 将此与u ：+ 孽a n 代入( 3 5 ) 得方程( 1 ，1 8 ) 的无穷守恒律及相应的连带流： 。= k 1 十( h 一券) k ， n = 一护， 孔= 一譬一垡产+ 雩一争一，”一半 ( i i ) 对c k d v 族方程( 1 2 2 ) 而言，由( 2 1 6 ) ，( 1 - 5 ) 知 a = 一a 2 + 竿+ “2 e = a + “ 将此与u ：譬a n 代入( 3 6 ) 得方程( 1 2 2 ) 的无穷守恒律及相应的连带流 n = 1 。= p n + 1 + ( n 一器) j z ， r = 一n 口+ 誓， 玛= 一s 一! 争蒜+ 坠产， 4 b i h a m i l t o n 结构 本节我们将讨论( 1 1 1 ) 的h a m i l t o n 结构及其相关性质，为简便起见，以特殊情况广义 t d 族为例证明之 广义t d 方程族 _ 瑰， 1 ， 其中霞，j 为( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 所示 下面证( 4 1 ) 具有双h a i n i l t o n 结构并且在l i o u v i u e 意义下可积 为叙述方便，先给出一些基本概念及符号，概念以定义和引理的形式出现 基本概念及符号 定义1u = “( ，。) 是定义在整个数轴上的光滑函数，令v 为一向量场空间，f 为一v 中 的函数或作用在”上的算子，且f g 一，则f 沿方向g ”的g a t e a l l ( 导数定义为 ，m = 乏| = o m + 印) 定义2 对于给定的非线性发展方程 a ( z ，t ，u ) v 称为该方程的对称如果叽= x h 方程( 4 2 ) 的所有对称构成一个线性空间 s ，其对偶空间s + = 1 ( z ，t ， ) i m = 4 7 称为( 4 2 ) 的守恒协变量空间这里表示 k 的共轭算子 定义3q 称为方程( 4 2 ) 的n o t h e r 算子，如果q ：s + 一s ，或：q 7 陋 = f 2 + k 7 n ， 其中a ，1 ，n 都假设不显含t 定义4 若反对称算子口满足式子 + + = o ， v ，= ，扛，u ) ，g = g ( z ，) ， = ( z ，t ，u ) ，则口稚为逆辛算子 定义5 设非线性发展方程可表为 u = x 。= j ，( ，z ，“) 若l ，为逆辛算子，而，( t ，z ，u ) 为非线性泛函h 的泛函导数，则称此方程为广义h a m i l t o n 方程 定义6 若演化方程毗= 可写成下列形式 “c = = j 等= k 警， 1 2 j ，k 为h t i l t o 算子对，即其线性组合a ，+ 卢k 恒为h 射n n 七0 n 算子，则称此系统具有 b i _ h 蛐丑t o n 结构 定义7若广义h a 1 i l t o n 方程地= 矗= t ，( t ，。，u ) 存在无穷多个独立的实值泛函 ，m ，且它们是两两对合的守恒量，则称此方程在l i o u v i l k 意义下可积 定义8 1 1 q 设0 m = ( 0 1 m ，仉m 川) 为一微分函数，“= u 缸) = ( u 1 瞳) ，2 ( 堡) ，u 。渔) ) 其中互= ( z 1 ，z 2 ，扩) ，则场= 宣q 。嘉，称为演化向量场，q = ( q 1 ，q 2 ，o ，) 为 的特征，且喝的延拓向量场为；p r 峋= 三功矗其中d jz 功。d j 。功。，j = ( j l ，j 2 靠) ，老= 蔚老岳丽，o s 靠s p 引理l 【2 q 若算子l 为整个方程族( 4 1 ) 的n o t h e r 算子，且所有的 g _ ) 都是梯度，则l 为逆辛算子 引理2 f 1 6 】，硌为演化向量场，其l i e 括号 ，j 仍为一演化向量场，且由下式唯一央 定； p r f ， ) = p r 【所晦( p ) 卜p r 坛 p r 场( p ) 】 若令，】= ，则垤= 壹s 。m 赤，且s = p r ( r ) n ( q ) ，其中q ，r 为， 对应的特征 说明在本文中“= “( z ，) ，t ，叫。为演化向量场，由引理2 和延拓向量场的定义知 2 = 蜀巩，训l = b a u ， 皿t ，”2 】= ( 砭f 盯t 一i f 虬】) 巩：= f 恐，耳】巩， 下面证明广义t d 方程族的h a l l l i l t o i t 结构及其l i o u v i l l e 可积性由定义6 知，需找 h a m i l t o n 算子对，而l e r - 8 r d 算子对( 詹，j ) 即为所求 引理3 【2 8 ，”l 玄，j 为逆辛算子( h a m i l t o n 算子) 即： ( 1 ) 玄，j 为斜称的 ( 2 ) 膏，歹满足j a c o b i 恒等式 证明由 = ，知 虹h汁一了 1 3 由 = ， 知 e ( 鬻) 如 = 盥 ( 或1 g 1 + 髓2 g 2 ) 日l + ( 岛1 g 1 + 或2 g 2 ) 啦! 如 = j ：等【；p a ( j 一蒂) a + a ( ；一器) a 刎一刎g t + p j a ( 1 + 号) 一a ( ：一号) 刎+ a i g 2 1 日l + 【( ( a ( 一号) o 一( 1 + 号) a ：a ) + i a ) g 1 + ；( 1 + 蠹) + ( 1 + 蠹) 8 ) g 2 矗立如， ( 4 ，3 ) 式又可写为下式 茗 a ：a ( ：一号) a g l 凰+ a ( ：一号) a ：a g l - 日l a g l 日1 + ；o ：a ( 1 + 毒) 6 b 风一；a ( j 一号) a g 2 日1 + a 詈g 2 。日l + a ( j 一号) a g l 一 ( 1 + 嚣) a j a g l 。e 如 + 等a g l 日2 + a ( 1 + 号) g 2 丑j + ( 1 + 鲁) o g 2 。日2 d z ， ( 4 4 ) 的第一项为 ( 4 4 ) 的第二项为 j ! 品a ：a ( j 一景) a g l 日】d z = j ：! = a 【( ：( ：一3 ) g 1 。) 。】h 1 d 。 = ：【( ：一3 ) g t 。k 日- 1 = 罄 一，譬h t 。：【( 一号) g - z k 如 = 一，嚣日扩( ( ：一号) g 1 z ) d z = 一j ：土詈a ( ：一号) a j a 日l - g 1 d z ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 暑a ( ：一蒂) a ：a g l - 凰如= 一虑o a ( ；一蒂) o 研g 1 如， ( 46 ) ( 4 4 ) 的第三项为 l ! 要8 g 1 - h 1 c k = 一 ! 要o h l g i d z ( 4 7 ) ( 4 4 ) 的第四项为 ( 4 4 ) 的第五项为 ( 4 4 ) 的第六顶为 ( 4 t 4 ) 的第七硬为 2 瓤! ：二妻g 。) z 玩j 墙一盥嚣- 。，；( ( 1 + 参岛溉如 三二篡掣鬻燮 。 汪。， 。：暴岛i 甄。肚器+ 虑a j 棚黾( 1 + 器) g 。如 ”。 。苫( 1 + 嚣p ；g 2 出， 。 。 怠呜啦h l 如= 一j ：詈：a h l 。g 缸 ( 4 9 ) “1o j 酏，摩皓溯。吼如。麝诳瓤q 如， ( 4 1 i ) ( 4 4 ) 的第八项为 、 。虑( 1 恻吗竭如2 盘啪+ 瓤g ，电 f 4 1 2 ) ( 44 ) 的第九顷为 、 ( 4 t 4 ) 的第十项为 崽；a g 、h 妇= 一嗯聪h 1 g j d 。 f 4 1 3 1 m m 营。? 1 + 渤g 2 吗虹馏潲伽， 1 4 ) ( 4 4 ) 的第十一顷为 、一7 虑( 扫g 2 。啪= 馏叭溉q 如， 】 皿 。 疵乩_ ：誊旧 玩艄帆批嚣皿 卓8 甄为 啦胁懈地 如 。h 啪 隆坞脚雠帕慨铷嘲咖 ：，渤瓣唯 a 一 日。和 喝臂 将前1 1 项相加得 由此得 e ( 2 笔) 如 r 佃f - 搋a ( 一乒) 溉一 扫( j 一号) a i a 日1 + 嘲 。一m i 一 a ( ：一号) o 肌+ ( 1 + 搴) a ；a 日1 一：a 玩 ：篡茹意葛著即呜地m ：一 【a ( 1 + 鲁) 凰一 ( 1 + 器) a h 2 g 2 膏+ ：f 一 i a j a ( ：一号) a + a ( ：一嚣) a 刎+ a 一； a ( ；一参) a 一( 1 + 暴) a ：刎一罟a 一 p a ( 1 十号) 一a ( ；一暴) 叫一a ： 一 p ( 1 + 号) + ( 1 + 号) 刎 ：一露 此说明膏，j 为斜称算子 第二步验证露，。，满足j ”0 b i 恒等式，即下式成立p 8 ，2 。 十 + = o 如 ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) + + 一o ， ( 4 1 8 ) 其中，= ，( ，z ，”) 因为 址= ：= ( 4 1 9 ) f 42 0 ) 数函 意 任 为 ， ?、 ， 3 u 札 a 0 z o 弘 =， = ， ， ”uz o | 9 ( 4 2 3 ) 的第一项为 确堋州b ( 8 ) = ( ：孓口，秘2 ) i m 肛( 翟如) = = 虑 ，1 ( 簪一) 岛 2 + ，2 ( 一髻撕，) 】出 = 嚣【，1 ( 簪一暑) g z t 2 一，2 鲁a t 1 如 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 盥( ，1 ( 爷一嘉j g 2 b 如= 璧限等g 2 - 2 一 击( g 2 。 2 + 圆 。) 1 如 2 鼍奠爷( ” 挑溉+ 沁) 2 + 泓z 抽( 4 2 4 ) = 席等，l 目h 2 f 一鬻卯。 2 + 嘉们。 2 + 专g l 。 2 。j 出 、叫 = 芷篓簪警 1 9 1 z h 2 告g k 。h 2 f l 一专9 1 。h 2 ； i d z r 4 2 3 ) 的第二顶为 由f 4 l 2 4 ) ，( 42 5 ) 知 一j 二善，2 鲁8 h l d z = 一j 鸳，2 嘉9 1 ， l 。如， ( 42 5 ) = f 【警 z 一嘉。 。 一嘉虬 。 一嘉h 。，2 】出， ( 4 _ 2 6 ) 类似地可得 = e f 警舭幽一扣砌- 一拉砌一知蚓批( 4 2 7 ) 1 ，演化方程鱼。= 膏i g = j 訾具有b i - h a i n i l t o n 结构 ( 2 ) 广义t d 族中的任一方程都是l i o u v i l l e 可积的 其中p 0 s s i o n 括号有如下定义 f ( 蛾g ( 曲) j ：歹篑j 筹慨 f ( 丛) ，g ( 堕) j ：，”娑霞罂出， ( 4 3 8 ) f ( 丛) ，g ( 堕) k2 _ 。兹k 兹出， ( 4 。3 8 ) j 一。0 7 望”旦 ( 3 ) h i l t o n 函数为 王k = 却 ( 4 3 9 ) 证明( 1 ) 由p o s 8 i o n 括号的定义知，p o s s i o n 括号具有线性性，且露，j 为逆辛算子，因而 n 霞+ 卢j 仍为逆辛算子，即露，了为h a “珊t o n 算子对 ( 2 ) 由p o s s i o n 括号定义知 风，日。 j = 虑警j 譬如 = l ! 要避良警d z = 一j 嚣霞鼍警如 ( 4 加) = 一j ：要j 等警如 = ! 要警j 等妇= t h 州，h b 巩，日n = 巩，月一1 ) 亓 = 日k 十l ，h m 一1 j = e k + 1 ，h m 一2 霞 = 巩+ 2 ) 丑_ m 一2 ) 一- = k ，吼) ， 由( 44 1 ) 知 若( n m ) 2 为奇数时，最后括号为： 乩，乩) 霞= o 1 9 ( 4 4 1 ) 若m m ) 2 为偶数时，最后括号为： 风，风) j = o 即：圾，日m 是相互对合的进一步对广义t d 族中任一方程，存在 警= 碥匦。】- = = ，巩) j = o ，m ，n = o ，1 ，2 ， ( 3 ) 由g a t e a u x 导数定义和g ：的对称性知 取 嘲= 詹【 + 】咖 = 詹 却 = 詹 咖 ( 4 4 2 ) = | 5 = ， 得= 瓯( 塑) 前两个h a m i l t o n 函数为 凰= j ( 1 虻z 1 咖= e 州z 命题4 【1 6 】由h a m i l t o n 算子j 所定义的p 0 s s i o n 括号( 4 3 7 ) 知，对于任意的泛函日= 日( 墅) = ， 如，都存在演化向量场珏，称为h a m i l t o n 向量场，它由下式决定 p r 翰( f ) = f h ) j ，v f = f ( 丝) = ，( 型) d z 且成立：= 巧鲁 事实上： f 日) j = 篷j 警如= 厂p r 吩酱( ，) 如= p r 吩镗( ，如) ，j 如= 巧键 命题5 | 1 6 l由引理2 知，下式成立 【珏。，】_ 一 ，畅。卜取 命题b 相应的演化向量场= 两两对合【k ，】= o ，n ，m o 证明在由命题3 的假设下，因为 ，_、棚、产州。枷咖 碥，h 。k = o ，或 巩，j = o ， 吱月k k ) ( f ) ； 丑。丑k ) ，f ) = o ，v f = f 也，z ，t ) 推出硗日。， ：o ，得陬，】= o 分析由p 0 i 8 8 0 n 括号和延拓向量场的定义知 丝k = j 蛩= p r f k ( 笪) = ( 笪) 魄，型k 。p r = k m ( 女) ， ( 4 4 3 1 垮= 飚鱼 = 砖 因向量场的可换