（基础数学专业论文）分数次极大算子的加权模不等式.pdf

分数次极大算子的加权模不等式 摘要 近三十年来，极大算子的加权模不等式一直是调和分析研 究的重要问题m u c k e n h o u p t ，s a w y e r 与n e u g e b a u e r 等人先后给 出h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子单权与双权不等式的充要条件和 充分条件p 6 r e z 近来利用一套新方法给出了h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子双权不等式成立的几个a ，型充分条件 对0 a n ，是兄”上的局部可积函数，分数次极大算子 为 1， 眠m ) 兰驾南厶t f ( v ) l d y ， 其中的上确界是对r n 中一切包含z 的方体q 而取的， 本文我们讨论分数次极大算子双权不等式成立的如型充 分条件，主要结果为下列定理及其推论 设1 p o 。，0 o l 0 ，双权( w ，t ，) 满足 1、1 p 蚓酬4 ( 高厶”白) p d y j 舻1 憾口e 则对任意非负函数， 厶。( ( ) 眠，( y ) ) 9 d y 。厶( ”( 可) 舳) ) d y 一 间 关键词：分数次极大算子，y o u n g 函数，o r l i c z 空间，l o r e n t z 空 w e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t yf o rt h ef r a c t i o n a lm a x i m a lo p e r a t o r s a b s t r a c t i nt h ep a s tt h i r t yy e a r s ，t h ew e i g h t e dn o r n li n e q u a l i t yf o r m a x i m a lo p e r a t o r si sam a i ns u b j e c ti nh a r m o n i ca n a l y s i s m u k e n h o u p t ，s a w y e ra n dn e u g e b a u e re t c o b s t a i n e dt h en e c e s - s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o na n dt h es u m c i e n tc o n d i t i o nf o r o n e - w e i g h ta n dt w o w e i g h tn o r mi n e q u a l i t i e so ft h eh a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a lo p e r a t o r r e c e n t l y , c p 6 r e z 1 1 g a v eaf e w s u f f i c i e n ta p c o n d i t i o nf o rt w o - w e i g h tn o r mi n e q u a l i t yo ft h e h a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a lo p e r a t o rw i t had i f f e r e n ta p p r o a c h f o r0 o n t h ef r a c t i o n a lm a x i m a lo p e r a t o ri sd e f i n e df o r l o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o nfb y 1， m ) 2 船南厶i ( y ) f 虮 w h e r et h es u p r e m u mi st a k e no v e ra l lt h ec u b sc o n t a i n i n gx i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h es u f f i c i e n ta p - c o n d i t i o n s a t i s l y i n gt h et w o - w e i g h tn o r n li n e q u a l i t i e sf o rt h ef r a c t i o n a l m a x i m a lo p e r a t o r t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n gt h e o r e m s a n dc o r o l l a x r i e s l e t1 p o o ，0 d n a n dl e txb eab a n a c hf u n c t i o n s p a c es u c ht h a tm km a p sp ( r 0t op t 础) s u p p o s et h a t w v 1i sa c o u p l eo f w e i g h t ss u c ht h a tt h e r ei sap o s i t i v ec o n s t a n t k f o r w h i c h ， 、1 p 蚓叫“( 高厶岫) 蹦i i v - l j i x ，口k f o ra l lc u b e s t h e n 厶。( ( y ) 眠，( 。，) ) d ys 。厶。( ( ) ，( ) ) 9 d y ， f o ra l ln o n - n e g a t i v ef u n c t i o nf k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lm a x i m a lo p e r a t o r ，y o u n gf u n c t i o n ， o r l i c zs p a c e ，l o r e n t zs p a c e 3 分数次极大算子的加权模不等式 1s l 言 设，是r ”上的局部可积函数，对任z 酽，定义，的h a r d y - l i t t l e w o o d 极 大算子为 m ，( 2 ) 2 s 。u 。p 亩厶f ，( ) i 咖， 其中的上确界是对r ”中一切包含z 的方体0 而取的h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子 m 是调和分析中的基本算子，是研究奇异积分算子和函数空间的重要工具h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子m 是弱( 1 , 1 ) 型的，以及p ( 舻) 有界算子，1 p 。 关于m 的单权问题，m u c k e n h o u p t 8 1 给出了对任意非负函数， 加权赋范不 等式 厶m ) ( ) p d y 。厶( ，( ) t ”( ) ) d y ，1 p 1 ，对船中任意方体q ( 南厶吣刖”) 枷湍厶咖广7 却) 咖。n 近来，c p 6 r e z 【1 2 对此问题进行了研究，给出了一些比( 6 ) 更弱的a p 型充分条件 设o 0 1 ，i ，是j 上的局部可积函数，对任一z 印，定义，的分数次极 大算子为 帆m ) 5 嬲南厶i f ( y ) l d 玑 其中的上确界是对冗”中一切包含z 的方体q 而取的分数次极大算子地也是 调和分析中的基本算子，是研究分数次积分算子的重要工具分数次极大算子村。 是弱( 1 ，l m n ) ) 型的，是从扩( 俨) 到口( 形) 的有界算子，1 尹 n ，1 q = l i p o n 本文我们考虑分数次极大算子埘。双权问题，给出一些双权( ， ) 满足的a ， 型条件，使得 毛的双权赋范不等式成立 2 预备知识 下面我们给出一些本文需要用到的背景知识先来回顾一下由l m x e m b u r g 在 f 7 】中引入的一些关于b a n a c h 函数空间的基本事实设( 冗，) 是一个可测空间， m + ( 月) 足r 上非负p 测度函数组成的集合映射p ：m + ( r ) o 0 ，o 。】称为b a n a c h 函数的模，如果对于所有m + ( r ) 中的函数，g ，厶( n = 1 ，2 ，3 ) ，常数o o 和 r 中p 可测的子集e ，有下面的性质： ( i ) p ( y ) = 0 当且仅当，= 0 ，p n 一，p ( a f ) = a p ( y ) ，p ( ，+ g ) p ( y ) + p ( g ) ； ( i i ) 若0 sg ，p o e ，则有p ( a ) 茎p ( y ) ； ( i n ) 若0 兰厶1 ，t t ne ，则有p ( ) tp ( ，) ； ( i v ) 若p ( e ) o o ，则有p ( x e ) o o ； ( v ) 若p 旧) t ) 是，的分布函数 重排不变b a n a c h 函数空间的大部分性质可由其基本函数妒x 导出，而其基本 5 函数足由 l o x ( t ) = l i x e i i x ， t 0 ， 定义的，其中u ( e ) = f 如果工7 是x 的相伴空间，则有下列等式成立： _ p x ( ) 妒x ，( ) 一t ， t 0 ( 8 ) 下面我们设x 是且n 上以勒贝格测度出为测度的b a n a c h 函数空间对于口 上的可测函数，和口上的任一方体q ，定义，在q 上关于x 的平均为 i f l l x ，o = 1 h o ) ( f x q ) i i x ， 这里对于6 0 ，乃为伸缩算子，( z ) = ，( 6 z ) ，柚是e 的特征函数f ( q ) 是方体 0 的边长 对于舒上的任一方体q 与舻上的可测函数，及g ，在广义h 6 1 d e r 不等式 ( 7 ) 中分别用f ( q ) ( 1 x q ) 与丁f ( 口) ( 9 x 口) 代替，与g ，可得 丽1 厶l m ) 咖) m y ) i l f l l 置口删熙q 一 ( 9 ) 我们给出关于x 的极大算子与分数次极大算子的概念 定义2 1 对于尼1 上的任意一个局部可积函数，极大算子m x 定义为 m x l ( z ) = s u pl i f i x ，q ； 对于0 k 时，b ( 2 t ) c b ( t ) 通常我们假定占是规范的，即 b ( 1 ) 一1 本文我们还用到满足二倍条件的y o u n g 函数b 的下列性质：b ( t ) t b 协) ，t o ；t - b ( t ) t 是递增的 任一个y o u n g 函数b 都有一个y o u n g 补函数百使得 t s l 3 _ 1 ( t ) 百“( t ) s2 t ，t 0 ( 1 0 ) 设b 是一个y o u n g 函数o r l i e z 空间 l s ( r “) = ，：对任意a o ，f r , b ( 监掣) d y 0 ：厶。b ( 掣) 咖) 鲥 由y o u n g 函数b 定义的o r l i c z 空间l 8 ( 形) 是班( z ) = 矿t h 两为基本函 数的重排不变b a n a e h 函数空间l 8 ( 卯) 的相伴空间是l 。( 尼) 关于l 8 ( f p ) 的 极大算子m e 与分数次极大算子m e 。分别为 m e f ( x ) = s u p l l ，”口，o ； m e ，n ，( z ) = s u p f q i a n i i f i l e ，o ， 其中 e , q = i n f 。：高厶口( 掣) 咖， 定义2 2设1 p o 。，我们称= 倍y o u n g 函数口满足z 0 条件，记为b 耳， 如果存在常数c 使得 j ( 。了b ( t ) 了a t * f 。( 南) p - - 1 了d t co 。 定理2 3 【1 2 设1 p o 。，则满足二倍条件的y o u n g 函数b 岛的充分必要 条件是极大算子m r 为妒( p 1 ) 有界算子 引理2 4 【6 给定0 1 ，使得l m ，f 兰卢f 既，j f 注意当b ( t ) = t 时，m 8 。= 帆 本节最后简单回顾l o r e n t z 空间工 4 ( 口1 ) 的定义及基本性质， 对于0 s ，q so 。，函数，工5 ，4 ( j p ) ，如果当q ) 1 。 o 。 关于l “4 ( j p ) 的极大算子，。与分数次极大算子舰。礼。分别为 ，。似) 。霉南慨。； m 一m ) 2 磐丽赤而慨挑。 对任意l 8 ，q 曼。，l ( 舒) 为一个重排不变b a n a c h 函数空间，其基本函数 为妒( f ) 一f 1 肛，三 9 ( 俨) 的相伴空间为“一 引理2 5 【1 2 】设1 s ，p 。，ls 口 o 。，则极大算子舰，口为p ( 舻) 有界算于 的充分必要条件是s p 3 分数次极大算子的双权不等式 现在我们给出关于帆的双权不等式的一些结论，首先给出一个双权( w ，。) 满 足的充分条件，使得 如：p ( 形，v d x ) _ 口( 酽，w d x ) 有界，1 p 定理3 1设1 p o 。，0 4 “一 c u 3 仇， 现在我们就来估计( 1 2 ) 的左边 厶，( ) ( ) d y 2 莓上m 。慨m ) w ( ) d y s4 n p a p 。如叫9 ( q ) ( a k p w ( 3 q ，j ) ，j 匹( 雨毛 而厶，( ”) 却) 9 扩( 。口) s 尝( 雨南厶。m ) 咖) 咖) 。甸州s 办 记d k = u j q t 。对任意整数k ，j ，令毋j = q 女。j ( 矾，jn 仇+ 1 ) 则由 引理2 4 ，( 风，) 是两两互不相交的，且存在仅依赖于a 与7 , 的常数卢 1 ，使得 i 饥j s 卢j 最，jj ，这样由广义h s l d e r 不等式( 9 ) ，以及m x ，是三9 ( r ”) 有界的，可知 厶。地，( p ) ( ) 9 d y c i o j ：，i 。9 加i l f v l l 受，3 q a , ，l l ”1 f 受，a q 。， ( 3 q k ，) ；：c k i ，m ，j “，”i i ，t ，i i 殳，。，l i ”一1i l 墨，。口。，! ! f ：；宁i ( ? t ，i , y 。一7。 c k ”i i ，圳。l b ，i 曼c l m x ，( ， ) ( g ) 9 d y t3 “” ， sc j m x l j m l b 节d y 。厶。( ，( ) ”( ) ) d y 这样就完成了这个定理的证明 9 下面我们给出几个推论对于1 p 1 ，若取一= 三一7 ( r ”) ，则 x = 工( y ( r “) ，这时 地荆= 裟( 而1 尼协) “7 是p ( f p ) 有界的，故由定理3 1 得到下列结果 推论3 2 设1 p ( o o ，0 1 ， 双权对( ，口) 满足 “( 南五删a ”) v 9 ( 南厶咖，- p r d 。r l r , r 弛 则对任意非负函数， 厶。( ( y ) 地m ) 尸d y 。厶。( 口( 9 ) m ) ) d y 对于1 p 1 ，若取x = p n ( r n ) ，则x = l ( p 7 ) ，1 ( 彤) 这时由引 理2 5 m x m ) - s 删u p 而i l f x q i l 妒r 】，l 是p f 俨) 有界的，故由定理3 1 得到下列结果 推论3 3设l p o 。，0 1 ，戍 权对( t ，) 满足对任一方体q ， 1 i i l m 。k 厶；( ( ) 慨舳) ) 9 d y 。厶( 。( ) ，( ) ) p d 口 对于1 p o 。，b 是一个满足二倍条件的y o u n g 函数，再岛若取 x = l 8 ( 形) ，则x7 = 工8 ( j p ) 这时由定理2 3 ，m x ，是护( p ) 有界的，故由定理 3 1 得到下列结果 推论3 4 设1 p o o ，0 n 0 ，权对阳，) 满足 i q i 。- ( 高厶”( 扩d 0 “。1 怕，。se ( ，3 ) 丽 高一旧 居 妇 r岛 土俐数，l函非患岳对则 则对任意非负函数， 厶( ”( ) 魄，( ) ) d y 6 厶。( ”( ”) 舳) 尸d y 由这个推论，我们可得下列结果 推论3 5 设1 p 0 ， 妒( 2 ) sc 妒( t ) ，且存在正常数c ， 上万了“ 假定( “， ) 对某一正常数k 满足， ( 南加脚。) 枷 南扣吨( ( 署) v 咖厂) ， ( 1 4 ) 则对任意非负函数f ， 厶( ”( ) 地，( f ) ) 9 d y ! c 厶( ”( 9 ) ，( ) ) 由 证明：考虑满足二倍条件的y o u n g 函数b ( t ) = 妒( t ) k ，显然百岛 由条件( “) 可得 南厶b ( ( 鲁) 响厂) 由虬 即 ( 哿) ”“k 俐吲 由齐次性我们可以得到( 1 3 ) 运用推论3 4 既可 现在我们给出对于o 血 n ，1 p n 口，1 q 一1 庙a n ，帆：p ( 形，v d x ) - d ( 舻，w d x ) 有界双权细， ) 满足的克分条件 定理3 6 设0 q 仃，1 2 ”“，由引理2 4 ，存在一列互不相交的极大二 进方庠饼，使得 矿c 两b 厶m ) 却2 ”扩， 且 吼= b 酽 现在我们有 地，( z ) 4 “扩，c u 3 噶 j ( 厶眠m ) 4 w ( ”) a d y ) “4 ；( 厶一+ ，地m m c 卯1 等扣崛陋睁一蜘，) v 4 、k1， sc ( 若( 矗南厶，删甸9 州，r 1 ，使得 1 q x ，1s 口i b ，j 1 这样由广义h s l d e r 不等式( g ) ，以及m x ，是p ( 舻) 有界的，可知 ( 厶地m ) ( r d y ) v 。 s c i j 眇恻慨她小，“慨。，舻( 3 q ) ) 、目1 i 2c ( 乏腓“旷l ，业1 3 q 导k , i ) 1 ，q s 。l k 4 k , j ”，”惕。仉，i q 一“ b ，1 1 ， s c ( 瓢，甜州扩咖) 。9 ，睫 c 一 一 r、1 加 厶，坻毗( 7 ”) ( 9 ) 。句j 帆，( ，砒) d y ) 1 加 ( m ) 。( 卅d y ) 1 庙， 这就元戚这个定理日可让明 类似于推论3 2 3 5 ，我i f 可得下面几个结果 推论3 7设o 乜 ，1 1 ，权对( w ， ) 满足对任一方体q ， ( 南石删“”) v 。湍扣产咖) v 一舛 则对任意非负函数， ( 厶( 咖) 眠m ) ) 。由) v 9 兰c ( 厶。( 。( ) m 胪d r ) v 9 推论3 8设0 删 n ，1 1 ，n 权对( ，口) 满足对任一方体q ， ( 南厶删a 圹而南”x q v - 1 忆一“ 则对任意非负函数f ， ( 厶( ”( 9 ) 虬舳胪由) v 。c ( ”( 们，( 口) ) p d y ) v 9 推论3 9设0 o n ，1 p n a ，1 加= l p a n ，b 是一个满足二倍条 件的y o u n g 函数，且存在正常教e 使得 z ”( 南) ”1 警c o 。 若存在一常数k ，m ，”) 是一对权并满足 ( 高“扩a ”) “v l u 明蟑 则对任意非自函数， ( 厶( m ( 们他m ) ) 坳) v 4sc ( 厶( ”( ) m ) ) 咖) v 9 厶厶溪 推论3 1 0 设0 n 扎，1 p 0 ，妒( 2 t ) se 妒( t ) ，并且对于某一正常数c ， 止丽了。0 。 假定双权m ，口) 对某一正常数k 满足， ( 融1 一q ) v 4 高枷( ( 哿卜一1 ) a l w 则对任意非负函数f ， 。汹。) 甄砌) ) 一d y ) v 4sc 。( 。国) m ) ) 一d y ) “ 4 关于0 r l i c z 空间的分数次极大算子 本节讨论与o r l i c z 空间相关的分数次极大算予的双权不等式 定理4 1 设0 o 扎，1 1 ，使得j q t ，i 茎卢l 玩，i 这 样我们有 ( 厶，。m ) 叫”) 甸v 4 = ( 莩l 。，洲扩”却) “9 茎( a 。矿喇) v 9 s c ( 舌n e m uc 。c 。* ，) 1 7 9 。( 苫m 瞄乱，剖j ) v 。k 一j ， 茎c ( 驴胪愀裂) 枷l 。i q k , j 1 ) ”4 c ( 驴，。( ，( 铡) v 。) i ) 叫4 一 一 ( 舌厶，, = ( f ( m w ) l q ) ( y ) q d y ) v 9 ( 厶眠( ( ，( m w ) l q ) ( y ) q ) d y ) “4 ( 厶( ，( m w ) l 呗扩d ) v ( 厶m ) ，( m ”) ( 口) p q d 0 v 现在来证明( i i i ) 现在看到对于所有的非负函数f ，g 和 ，( 1 7 ) 等价于 ( 厶。m 。( ，。) ( 。r 面芸 簧而如) v 4 c ( 厶。，c 。九m ”) ( 。9 由) 帅 由广义h 6 1 d e r 不等式( 9 ) 可得 m a ( f g ) ( y ) m m 。f ( y ) m 百g ( y ) ， y 兄“ 可以看到( i i i ) 由( i i ) 得出这样就完成了定理4 1 的证明， 推论4 2 设0 o l n ，1 p 扎d ，1 q = 1 p o 加，假定删是一个权函数， 则 ( y 。_ ! m j ( q d y ( 厶阳( ，d y ) 叫， + 1 加( 9 ) j 1 一 )一( 。i ，( 剪) l ，叫( 掣) 1 一一) “， m v 。 因为用且，+ 1 来代替m q j 并不成立所以这个结论是明显的 证明：在定理4 1 ( i l i ) 中，令w = 1 并且用w p1 来替换“这样当b 岛时， 可得不等式， ( f r m 。m ) 。丽面害丽研a ”) 1 q 一 0 ，并取b 满足取z ) l o g p 。1 + 5 ( 1 + t ) = t p l o g j ( 1 - i - f ) ，则 口耳记a ( t ) l o g f ( 1 + t ) ，则 f m 百i w c 。) ) ( ) 4 = “( w ) ( ) p 而 m a w ( x ) 朋f 】+ 1 忙) 推论得证 现在我们给出这个推论的推广 推论4 3 设1 p ，0 d 。时，慨( ，) ( ) = 妒x ( 6 8 ) 因此，利用极坐标变换和( 8 ) 我们可以得到 厶 1 4 0 , f ( 扩面再i 丽币由 e 缸南0 xc 赤，) 妇 一c z 。嘉妒x ( 刍) - q r ， = c f 志妒x ( 圹r 譬 = e z 。蒜；譬 = c 1 妒x f ( t ) q i d t 这和( 2 0 ) 联系在一起就可以得出( 1 9 ) 类似的证明可得如下定理 推论4 4 设1 p ，x 是一个b a n a c h 函数空间，满足m x ，是l v ( r n ) 有界 的则 存在一个常数c ，使得对任意非负函数f 和“， ( 1 e om o f ( 扩丽毒而厕如l p c 汜m ) ，南a v ) 怕 1 7 fz 叫如果j x 是一个基奉函数为啊的重排不亚b a n a c h 函数空i 司，则存在一个常 数c 使得 z 。华譬c 。 事实上条件 ，。vx,(t)q了dtjot q p t 、 对于定理3 6 也是必要的 命题4 5设1 p o 。，0 n n ，1 留= z p o n ，x 是一个重排不变 b a n a c h 函数空间若对任意满足 ( 南厶删却) v k 列耳 ， 的权( w ， ) 及非负函数，有 ( 厶。( 吣) 眠纳) ) v 4 c ( 厶( 咖) m ) ) 协) ， 则存在c ， ，。竺苎：业堂 0 ， 则对任意函数，和g 有 i i f ( x ) y ( x ) i i a os2jr f l l 口，o l y l l c , q - 1 8 定理4 7设0 n t t ，1 2 ”“，对于z ，由引理2 4 ，存在一列互不相交的极大二进方体仉，使 得 驴 4 h a ) c u 3 q k ，j 这样我们有 = ( 莩l 。( 地，洲州a ”) v 4 s c ( y 螂，) u 。 曼c c , k a k q w ( 3 q k j ) r c 睡一旧俨“) “。 记d k = u 3 q k ，。对i f ：意整数nj ，令耳，= q k j ( q k ，jn 仇+ 1 ) ，则由 引理2 4 ， b ， 是两两互不相交的，且存在仅依赖于n 与n 的常数口 1 ，使得 i q j l 卢i 毋，j 1 现在利用广义h s l d e r s 不等式，上式接着 c 陲kc 。驯”，v 珈旧舟，m 咖) “9b ， c ( 叫( 3 q 女，) i i ，一知l 暇口。，| | 一1 扫暑，。，i q , i 。加) ， ，、1q b ，k 从l u x e m b u r g 范数忖恬。的定义可以直接得到 f l y l i b ，口。，s l l v - l p l i b ，蹰。， 凼此由“，s 是且卜相趸的，由g b 可知m o 在i _ p 上是有界的，则上式接着 s c 佳( 南k 岫，咖) i i v - - l i p q 。，l l 4 ：v l p h q 。y ) t 咖酬) v 。 c 睡厶产，础叫舻a ，) ”9 sc ( 厶2 y i c , 枷1 加) o ) q d y ) v 4 c ( 厶帆( 尬( ，v l p ) ) ( d y ) u 9 s c ( 厶( ，v v p ) ( ”d r ) 叫 c ( 厶m 灿( 灿) ” 因此定理得证类似的证明可得如下定理 定理4 8 设0 血 ”，1 p 0 ，且c b p 如果，口) 为一对权，对任意的方体 0 ，满足 州“( 南二”叻“k 珈怕砖c 。， 则对函数f p 扣) ，有 ( 厶( 帆，。，( 枷，”( ) 由) v 9sc ( 五。i f ( 训一”( y ) 由) “9 5 关于l o r e n t z 空间的分数次极大算子 本节讨论与l o r e n t z 空问相关的分数次极大算子的双权不等式 引理5 1给定0 a n ，1 1 ，使得 q k ，j ls 芦i ，1 引理5 ，1 的证明类似于引理2 , 4 的证明，参见f 1 2 定理5 2 令0 n 竹，1 p n 0 ，：q ；：p o 加，1 s o 。，1sg 。和 s 1 ，使得i 印t ，i 兰f 如，| 这时我们有 ( 厶m 一加m ) - w ( ”) 咖) 叫9 = ( 莩五一。u 洲扩岫) 由) u 9 ：；c ( 。9 莩n 目“，c n t ，) 1 7 91 ；c a l q w ( 3 c 孔，) 1 7 9 c ( 舌( 际呙忖酬k 。q w ( a q k , ，) ) u 9 s c ( 舌( 丽岛k 。( 剖) 垧h ) 9 ) v 4 s c ( 舌( 赤忖孙叫枷忆，) 4 酬) “。 s c 睡，盯c w ) u q ) ( y ) q d 广 c ( 厶地( 忆，。( ，( a 细) 枷) 扫) ) q d y ) 叫4 s c ( 厶蛆，- ( ，( 慨) 1 一( g ) ，d y ) s c ( 1m ) 一( m u ) ( ) m d ) 这就证明了( 蛾由广义h 6 1 d e r s 不等式( 9 ) 可得， 忱( 如) ( 9 ) sm 一，p ) ，。，( y ) ，c a ( y ) ，f 月“ 利用定理4 1 ( i i i ) 类似的方法就可完成了( i i i ) 的证明 参考文献 1 】c b e n n e t ta n dr s h a r p l e y , i n t e r p o l a t i o no fo p e r a t o r s a c a d e m i cp r e s s ， n e wy o r k ，1 9 8 8 【2 】j b r u n aa n dbk o r e n b l u m ，o nk o l g o m o r o v st h e o r e i n ，t h eh a r d y l i t t l e w o o d m a x - i m a lf u n c t i o na n dt h er a d i a lm a x i m a lf u n c t i o n ，j a n a l y s em a t h ，5 0 ( 1 9 8 s ) ， 2 2 5 2 3 9 3 】d c r u z u r i b e ，s f oa n dc p e r e z ，s h a r pt w o - w e i g h t ，w e a k - t y p en o r m i n e q u a l i t i e sf o rs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s ，m a t h r e s e a r c hl e t t e r s ，6 ( 1 9 9 9 ) ，4 1 7 - 4 2 7 4 1j g a r c i a - c u e r v aa n dj l r u b i od ef y a n c i a ，w e i g h t e dn o r i t li n e q u a l i t i e s a n dr e l a l e dt o p i c s ，m a t h e m a t i c ss t u d i e s1 1 6 ( n o r t hh o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 8 5 5 m a k r a s n o s e l s k da n dj b r u t i c k i l ，c o n v e xf u n c t i o na n d o r l i c zs p a c e s ， ( n o o - r d h o f f g r o n i n g e n ，1 9 6 1 ) 【6 】w ml i ，t w o - w e i g h tn o r u li n e q u a l i t i e sf o rf r a c t i o n a li n t e g r a la n de o m l l l - m u t a t o r s ，p r e p r i n t ( 2 0 0 4 ) 【7 】wa l u x e m b u r g ，b a n a c hf u n c t i o ns p a c e s p h d t h e s i s ，d e l f ti n s i t u t e o ft e c h n - o l o g y ，a s s e n n e t h e r l a n d s ，1 9 5 5 【8 】b m u e k e n h o u p t ，w e i g h t e dn o r mi n e q u a l i t i e sf o rt h eh a r d y l i t t l e w o o d m a x i m a lf u n c t i o n s ，t r a n s i m a e r m a t h s o c ，1 6 5 ( 1 9 7 2 ) ，2 0 7 - 2 2 6 【9 】r 0 1 n e l l ，f r a c t i o n a li n t e g r a t i o ni no r l i c zs p a c e s ，t r a n s a m a e r m a t h s o c ，1 1 5