（应用数学专业论文）基于经济周期的kmv信用风险度量研究.pdf

摘要 摘要 本文的模型试图将宏观经济因素直接纳入到信用风险的数学模型中。在l u c a s 交换经济形态下，本文把代表宏观经济运行和经济周期最重要的变量累积经济产 出的波动率和增长率纳入模型中，同时考虑了拥有c r r a 效用函数的代表性投资 者的风险厌恶程度，企业与宏观经济的相关程度。本文假定一个企业的资产价值 服从随机过程，它跟国民经济变动有着直接的联系，通过b l a c k s c h o l e 的方法得 到一个微分方程，从而解方程可得到企业资产的定价模型。按h u a n ga n d h u a n 甙2 0 0 3 ) 的定义，企业违约发生在z = m i n t ；v ，s v + ， 当企业价值触及或低于违 约临界点时违约便产生，违约临界点可以是固定的或随机的，内生决定或外生给 定。对于违约率的定义，本文采用h u a n g a n dh u a n g ( 2 0 0 3 ) 所定义的累积概率，通过 严格的数学推导，最后得到模型的违约概率公式。 本文的模型不但可以比较清晰的刻画出企业的违约概率与企业自身的经营状 况密切相关，而且可以体现出其与企业所处的宏观经济环境密切相关，与经济周 期密切相关的：( 1 ) 企业违约概率与其自身的受宏观经济影响下的生产经济状况 包括资产的增长率和波动率有很强的关系；( 2 ) 当宏观经济环境有明显变化时， 企业违约风险也发生变化，如企业违约概率与累积经济产出的波动率，代表性投 资者的风险厌恶程度，与企业宏观经济间的相关系数有正相关关系；企业违约概 率与累积经济产出的增长率有反相关关系；这些结论与很多现存实证研究的结果 是相符。 关键词：宏观经济因素违约概率k m v 简约模型 a b s t r a c l - _ _ _ _ _ - - _ _ - _ - _ _ - _ _ - - 一 a b s tr a e t w et h e o r e t i c a l l ye x p l o r et h ee f f e c t so fm a c r o e c o n o m i cc o n d i t i o n so nc r e d i tr i s k m e t r i cm o d e li nal u c a s t y p ee c o n o m y u n d e rl u c a s - t y p ee x c h a n g ee c o n o m y u n l i k e m o s to t h e rs t r u c t u r a l m o d e l s ，o u rm o d e le x p l i c i t l yi n c o r p o r a t e s e q u i l i b r i u m m a c r o e c o n o m i cd y n a m i c si n c l u d i n gt h ev o l a t i l i t yr a t ea n dg r o w t hr a t eo ft h ea g g r e g a t e o u t p u t i nt h em e a nt i m e ，w ea l s oc o n s i d e rt h er e l a t i v er i s ka v e r s i o nc o e f f i c i e n to fa r e p r e s e n t a t i v ei n v e s t o rw h oh a sc r r au t i l i t y i tm o d e l st h ea s s e tv a l u eo ft h e c o r p o r a t i o nf o l l o w i n gt h es t o c h a s t i cp r o c e d u r ew h i c hi sd i r e c t l yi m p a c t e db yt h e a g g r e g a t eo u t p u td y n a m i c s t h r o u g ht h eb l a c k - s c h o l em e t h o dw ed e d u c ead i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，a n dt h e ns o l v i n gt h ee q u a t i o nw ed e d u c eep r i c i n gm o d e lo ft h ev a l u eo f e n t e r p r i s e a c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o no fh u a n ga n dh u a n g ( 2 0 0 3 ) ，d e f a u l to c c u r s w h e nt h ea s s e tv a l u eo fe n t e r p r i s er e a c hd e f a u l tp o i n tt h a tc a nb ef i x e do rd e t e r m i n e d t h em o d e ls t o c h a s t i c a l l y t h ed e f i n i t i o no fd e f a u l tp r o b a b i l i t ya d o p t st h ec u m u l a t e p r o b a b i l i t yd e f i n i t i o no fh u a n ga n dh u a n g ( 2 0 0 3 ) 丁h r o u # t h es t r i c td e d u c i n g ，w cg e t t h ed e f a u l tp r o b a b i l i t ye q u a t i o nf i n a l l y o u rs t r u c t u r a lm o d e la l l o w su st oe x a m i n eh o w d e f a u l tp r o b a b i l i t yi sa f f e c t e db yt h ei n t e r a c t i o no fm a c r o e c o n o m i cc o n d i t i o n sa n df i r m c h a r a c t e r i s t i c s w ec a l i b r a t et h em o d e lt om a t c ht h eh i s t o r i c a ld e f a u l te x p e r i e n c e o u r m o d e lp r o d u c e st h e f o l l o w i n gp r e d i c t i o n s ：( i ) d e f a u l tp r o b a b i l i t yi s p o s i t i v e l y c o r r e l a t e dw i t hi n t e r e s tr a t e ，t h er i s ka v e r s i o nc o e f f i c i e n to ft h er e p r e s e n t a t i v ei n v e s t o r ， a n dt h e v o l a t i l i t yo ft h ea g g r e g a t eo u t p u t ；( i i ) f i r mc h a r a c t e r i s t i c si n c l u d i n ga s s e t g r o w t hr a t ea n dv o l a t i l i t yh a v es i g n i f i c a n te f f e c t so nd e f a u l tp r o b a b i l i t ya n dt h e s e e f f e c t sa l s ov a r yw i t he c o n o m i cc o n d i t i o n s t h e s ep r e d i c t i o n sa r ec o n s i s t e n tw i t ht h e a v a i l a b l e e m p i r i c a le v i d e n c ea n dg e n e r a t ei m p l i c a t i o n sf o rf u r t h e r e m p i r i c a l i n v e s t i g a t i o n k e y w o r d s ：d e f a u l tr i s k ；m a c r o e c o n o m i cc o n d i t i o n s ；k m vr e d u c e dm o d e l 广州大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或 ；： 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名：浆膏辛日期：工。，g 年彳月2 日 广州大学学位论文版权使用授权书 本人授权广州大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 广州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：魏弈，皋 日期：却眸苫月i 日 导师签名：移幻吾， 日期：“年月己日 第一章绪论 1 1 信用风险度量的背景 g u p t i o n 在1 9 9 7 给出了信用风险的一个定义f 2 2 】，是指除了包括债权契约的债 务无法在契约到期履行其债务的违约风险外，还包含在信用评级制度下，因信用 评级等级的改变而使债权资产价格变化所产生的风险。 我国企业信用管理问题非常严重。首先是企业信用风险过大问题。目前，我国 工业企业应收账款余额高达1 2 万亿，即使扣除正常的在途资金，相互拖欠占压 资金也有几千亿元。我国海外应收外汇账款余额高达2 0 0 亿美元，而且新发生的 海外拖欠达数十亿美元。 我们早已知道，企业之间相互拖欠、三角债问题一直是企业最棘手的问题， 很多企业因为被他人拖欠和赖帐，最终倒闭破产了。更多的企业陷入相互拖欠、 坏帐的泥潭，每年经营的n n 还不够偿还银行的利息，疲于应付，苟延残喘，根 本没有力量扩大发展。所以说我国企业经营中面临非常严重的信用危机。 第二是企业竞争力的问题。也许企业经营者还没有意识到或感受到，信用与企 业竞争力有着密切的关系。西方企业把信用赊销当作主要的销售手段和竞争手段， 而我国企业由于惧怕被拖欠，却很少采用赊销。加入w t o 以后，如果我国的企 业仍然害怕赊销，不赊销，必然无法与西方企业竞争。 以美国为例，美国的企业坏帐率是0 2 5 一0 5 ，我国企业平均坏帐率是 5 一1 0 ，相差1 0 倍到2 0 倍，差距大得惊人：美国企业的账款拖欠期平均是7 天，我国平均是9 0 多天。国家统计局的统计，我国企业管理费用、财务费用和销 售费用占销售收入的1 4 。而美国只有2 3 。举一个例子，我国一个销售收入 1 个亿的企业，要支出1 4 0 0 万的费用，而美国企业只要2 0 0 万3 0 0 力- 元。我们比 西方企业高出1 千多万元费用! 现在销售利润这么低，我们的企业拿什么赢利! 如果你是企业经营者，肯定会为如此大的差距而动容。 与此同时，美国企业的赊销比例高达9 0 以上，我国企业赊销比例只有2 0 ， 这么大的差距根本无法竞争。各行各业都是买方市场，一手交钱，一手交货”的 时代已经过去，准不赊销，谁就被淘汰，我们的企业必须学会赊销，大量赊销， 以迎接国际国内市场的挑战。这两方面在中国会很快体现出来。 在实务中，信用风险度量主要是依靠评级来实现的，信用评级的过程需要高 度的专业知识与技术，但是主观色彩又十分浓厚，因此，与其说信用评级是门 科学，倒不如说是一门艺术来得更贴切。信用评级中重视受评对象的未来创造稳 定现金流量的能力，重视财务会计量化因素的同时，还重视受评对象管理团队， 管理哲学，管理者的形象与知名度等定性因素，还会综合考虑受评对象的国家宏 观经济，产业因素。 1 2 研究意义 我国信用风险度量发展的历史短，基础薄弱，信用风险模型的研究还处于比 较初级的阶段，主要是介绍一些困外研究的新成果，并在国外模型的基础上作一 些实证研究，还不能提出一个适合国内情况的本土模型，目前最现实就是在国外 理论的基础上进行改进，创新发展出我们的信用风险模型。本文在考虑经济周期 和宏观经济各种因素对信用风险影响的情况下，发展和改进k m v 模型，构建出 k m v 的简约模型。 1 3 信用风险度量理论发展与演变 在理论方面，国内外对信用风险度量模型的发展人概经历了四个阶段， 第一个阶段传统的专家评价法( 5 c 法) ，就是依赖具有丰富经验的专家或行业权 威对企业的信誉度作出综合评价：所渭5 c 就是考虑以下五种因素对信用品质的影 响：一是品格( c h a r a c t e r ) ；一是资本( c a p i t a l ) ；三是偿债能, + 3 ( c a p a c i t y ) ；叫是抵押品 ( c o l l a t e r a l ) ；五是经济周期( c y c l ec o n d i t i o n s ) 。专家评价法在对企业进行信用风险分 析时存在主j i ! l l 臆断性较强，缺乏客观评价基础等不足。 第二个阶段是基于严谨的数理统计理论的统计模型大放异彩的阶段。 这个阶段义可以细分为两个阶段 第1 阶段单变量研究：最早起见于1 9 3 1 年f i t z p a t r i c k 对公司破产预测进了一项单变量 分析研究。s m i t h , f r l w i n a k o r ( i 9 3 5 ) ，s e c r i s t ( 1 9 3 8 ) ，h i c k m a n ( 1 9 6 5 ) 等研究那些 陷入网境的公司的财务比率。b e a v e rf 1 9 6 8 ) 真币丌创了用单一比率分析来判别财务 困境的新局面电将财务困境的公司定义为不能偿还到期债务的公司，并分别选择 了7 9 家1 9 5 4 1 9 6 4 年家失败伦、| k 和非失败企业。 单变量分析将复杂的信用品质测量变得过于简单化，很难令人信服。毕竟企业的 偿债能力，既要观察其获利性，也要关心其安全性，流动性等等，欲以一个简单 的财务指标来作复杂信用品质的分类，显然有很大的问题。 第2 阶段多变量分析，由于单变量分析存在如此严重的问题，才有后来多变量分析 的发展。e d w a r di a l t m a n 。a l t m a n ( 1 9 6 8 ) 【1 1 】率先将逐步多元区别分析法( s t e p w i s e m u l t i p l ed i s c r i m i n a n ta n a l y s i s ，m d a ) 运用于信用风险分析以1 9 4 6 1 9 6 5 年问破产、 资产规模相近的3 3 家困境公司和3 3 家非困境公司作为样本，采用t 2 2 个财务比率经 过数理统计筛选建立了著名的5 变量z s c o r e 模型，并在1 9 7 7 年经过改进开发了现在 常用的z e t a 判别模型。经实证研究表明z e t a 模型的预测能力很强，在a l t m a n 的研究 中，分类正确率在破产前一年可高达9 3 ，前四年可达8 0 ，前五年也可高达7 0 。 2 0 世纪9 0 年代以来，z e t a 模型已商业化，广泛运用于企业信用风险的度量和评级。比 女n a l t m a n 等人据其所创的z e t a 模型设立了一个风险分析的专业机构z e t as e r v i c e s 向 各投资人提供企业破产风险信息。受其影响，日本、德国、法国、英国、澳大利亚 和加拿大等许多发达国家的金融机构都纷纷开发了各自的z 值多元判别模型。 后来，h o r r i g a n ，c a l e t o n & 1 e r n e t ( 1 9 6 9 ) ，p o g u e s o l d o f s k y ( 1 9 6 9 ) ，w e s t ( 1 9 7 0 ) f r y d m a n 1 9 8 9 】、张维 2 0 0 0 ) 也把多元回归模型运用于信用风险评估中。 此外主成分分析法，聚类分析法也广泛应用信用风险测量上。主成分分析可以从 变量的相互影响关系中提取出主要因素，并根据各要素所含信息的多少确定变量关 系和计算方法，一般不能单独使用，而是用来做数据的预处理【1 0 j 。 s c o t t ( 1 9 8 1 ) 比较了以上学者的实征结果，他认为在识别和度量企业信用风险上 多元模型优于单比率模型，在多元模型中，a l t m a n 的z e t a 模型又是最优的。 但是线性区别模型有几个严重缺陷，那就是它的几个基本假设在实际中却很难 符合 ( 1 )不同群组可以用线函数来有效区别，实际上区别如此复杂的群组，往往 需要高次的非线性的函数。 ( 2 )自变量要服从多元正态分布，这个条件非常的苛刻 ( 3 )各组总体协方差要相等，也就是危机公司财务比率与正常公司财务比率 的协方差要相等，按常理推断可知，协方差不应相等。 绪论 第3 阶段改进的统计模型 由于线性区别模型具有以上所说的先天缺陷，而且区别模型只是把样本进行 分类而无法预测发生破产或危机的概率是多少，所以众多学者开始了对概率模型 的研究。学者们首先想到的线性概率模型，它运用的是回归这一最基本，最直觉 的想法，但是这一方法存在( 1 ) 计算出来的条件概率大于1 ，出现不符合概率理 论的情形，( 2 ) 在线性概率模型中，假设x 与y 间的关系呈线性，不论x 值如何， 其对条件概率的边际影响都是恒定的，这显然不符合我们的常识。也就是说此模 型对x 趋近两端时，条件概率p 越不明显变化的情况难于捕述。 由于这两点不足，产生了下面累积概率模型( 包括l o g i t 模型，p r o b i t 模型) l o g i t 模型由b e r k s o n 在1 9 4 4 年发现，到1 9 8 0 年奥尔森首度用来预测公司财务危机，p r o b i t 模型是由z m i j e w s k i 在1 9 8 4 首先应用在类似的研究中。l o g i s t i c 回归分析是一种非 线性分类的统；i - j 2 法，也适用于因变量中存在定性指标的问题，y f i j l o g i s t i c 判别函数 的建赢方法极大似然估计法有很好的统计特性1 7 j 。 第三阶段是高级数学模型发展的黄金时期， 其中著名数学模型有由美国著名的j p 摩根公司和一些合作机构( 美国银行， k m v 公司，瑞士联合银行) 共同丌发c r e d i t m e t r i c 模型。随后瑞士银行对此进行改 进得到模型c r e d i t m e t r i c + 。此模型是考虑到未来更多因素发生变动时企业发生信用 风险的概率，它须借助于信用评级公司的评级结果来计算资产的风险暴露程度以 及发生损失的概率，也就是v a r 值。 m o o d y 公司k m v 模型，模型是考虑到企业股票在未来发生价格波动时候企业信 用发生风险的可能性：k m v 模型又称为预期违约率模型e d f ( e x p e c t e dd e f a u l t f r e q u e n c y ) ，它是建立在m e r t o n 对信用风险的期权定价方法上，债务的信用风险 在本质上主要是由债务人资产价值变化驱动的，到期时，企业资产价值低于负债 价值时便会发生违约。对 ：市公司而言，企业股权的市场价值与其资产的市场 价值之问的结构性关系，以及股权的波动性利企、p 资产价值的波动性密矸i 可分， 利用股权以及股权的波动性来估计资产的价值和资产价值的波动性，然后就可 以求山预期违约率。 麦肯锡模型则主要是考虑宏观经济形势变化对企业信用风险等级的影响。众所 周知，宏观经济有不同周期，衰退期( 低迷期) 和非衰退( 高涨期) ，一般来说， 企业违约或破产的概率在经济低迷期可能要比高涨期极为显著的加大。麦肯锡模 型采用直接宏观经济因素纳入模型中，并且通过制造( 模拟) 宏观上的对于模型 的冲击来测量风险敞口v a r 叽 此外，还有基于风险中性理论的k p m g 信用风险模型、死亡率模型和c s f p w 信 用风险附加模型、r a r o c 模型等等，这些新的信用风险度量与管理的方法更加注 重建立技术性很强的数学模型。 第四阶段是突破传统统计方法，运用人工智能如专家系统，神经网络，模糊数学 理论模型。 专家系统专家是一种使用知识和推理的智能计算机程序，其目的是将专家解决 问题的推理过程再现而成为专家的决策工具或为非专业决策者提供专业性建议。 m e s s i e r 和h a n s e n 首先将专家系统应用信用评级上，他们打破了专家系统的知识获 取的传统方法一直接法，提出了启发式方式，即首先由专家提出范例对之特性加以 提取，之后使用启发算法获取产生式规则，选用概念学习算法( c o n c e p tl e a r n i n g a l g o r i t h m ) ，从由若干固定属性( 如收入趋势、速动比趋势) 等描述的已知分类( 违约 与非违约1 中抽取共性的结果即可对新样本正确分类的指标，而后在这些属性的基 础上建立产生式系统，利用其中的规则对新借款申请人的指标进行评估。 人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，简记作a n n ) ，是对人类大脑系统的 一阶特性的一种捕述。人_ - i o 经网络是近年来在国内外迅速发展起来的一门边缘 学科。神经网络是一种具有模式识别能力，自组织，自适应，自学习特点的计算机制， 它的知识编码于整个权值网络，呈分布式存储且具有一定容错能力。 神经网络对 数据的分布要求不严格，也不必要详细表述自变量与因变量之问的函数关系。在信 用风险分析的作用是通过n n 的分类功能进行的，即首先找出影响分类的一组因 素，作为n n 的输入，然后通过有导师或无导师的训练形成n n 信用风险分析模 型。对于新的样本输入( 即一组影响因素值) ，该模型可产生信用风险的判别近年 来应用信用评级方面的神经网络模型主要有模式神经网( m o d u l a rn e u r a l 绪论 n e t w o r k s ) ，概率神经网络( p r o b a b i l i s t i cn e u r a ln e t w o r k s ) 扣“展的学习向量量化器rt h e e x t e n d e dl e a r n i n gv e c t o rq u a n t i s e r ) ，多层感知机( m u l t i l a y e r p e r c e p t i o n ) ，b p 神经网络 等。在一些实证研究中，神经网络在预测准确率上比传统的模型更高，如 t a m & k i n a n g 于1 9 9 2 对1 9 8 5 - 1 9 8 7 年美国得克萨斯州失败银行及正常银行各5 9 家为 研究对象，比较多种模型对样本银行的分类能力，其结果显示，类神经网络的分 类正确率最高。 模糊分析模型，传统的数学与统计方法都建立在非a 即b 的精确观念假设上，但 是在实际的世界中，人类的认知思考模式，甚至推理逻辑，却都涉及了高度的非 确定性，换一句话说，人类的思维在本质上是当模糊的。信用评级上，模糊的概 念尤其清晰。因为在传统精确的观念下，如欲对若干事物以区别或是分类，须以 明确的界限柬区分，例如线性区别模型，必须寻找一个最能正确区分的临界点， 作为区分好公司、坏公司或是正常公司破产公司的边线。然而，斩钉截铁地浣： 当一个分数小于 临界值是正常的，大于临界值就会破产很难令人信服。对于信用 评级这种很难一分为二的模糊概念，模糊理沦应具有很大的潜力，尽管模糊理论 迄今未发展成熟。据估计，模糊逻辑的应用市场自1 9 8 8 年以来，全球平均以第年 7 6 的速率在增长。 在学术界，模糊理论是大受人抨击的一个理论，o h a t t a r a n ( 1 9 9 6 ) 认为该理论无 论在应用上还是数学理论，仍具有卡h 当大的问题与限制： ( 1 ) 缺乏学习能力。模糊逻辑的应用冈缺乏记忆能力，也就不具学习能力，冈 此受到应用上的限制。 ( 2 ) 模糊法则与归属函数的决定可能相当复杂。 ( 3 ) 在理沧b 模糊系统卅i 具有稳定性，而且模糊逻辑不是建立在传统数学模 型的基础上，很难验证逻辑系统的正确性。 1 4 论文框架 本论文要解决的基小问题是：考虑经济周期和宏观经济各种因素对信用风险 影n 向的情况f ，发展和改进k m v 模型，构建出k m v 的简约模型，最后作数值 模拟。 存下面的章节。p ，我们围绕这个核心问题展丌如r 的论述： 绪论 第二章，探讨传统的k m v 的模型的基本思想和理论基础：b l a c k s c h o l e 模型， 以及前人所做一些改进。 第三章k m v 模型中最核心的部分就是如何对公司的资产进行定价，本章将探 讨信用风险与宏观经济因素的关系，并将宏观经济因素的融入本文的定价模型， 国民经济的变动过程与无风险利率的推导。 第四章，按h u a n ga n dh u a n g ( 2 0 0 3 ) 揪，企业违约发生在= m i n t ；v , s y j 当企业价值触及或低于违约l 临界点时违约便产生，违约临界点可以是固定的或随 机的，内生决定或外生给定。本文假定违约临界点为6 1 - 生给出的常数，类似于 h u a n g a n dh u a n g ( 2 0 0 3 ) 方法，这章将导出累积违约概率。 第五章，在我们的模型框架下，我们采用m a t l a b 编程数值模拟宏观经济 因素与违约概率的关系，以及企业层面的经济因素与违约概率之间的关系。最后， 本章对全文做出一些总结，并分析本文存在的问题同时指出后续研究方向。 k m v 模型的理论基础及其一些改进 第二章k m v 模型的理论基础及其一些改进 2 1k m v 模型主要思想与模型 2 1 1k m v 模型主要思想 k m v 模型起源于m e t r o n 在1 9 7 4 提出的企业债券估价模型 1 3 1 2 7 1 ，将期权定价理 论应用于贷款和债券估值而开发出的一种信用监控模型，是直接计算、估计和模拟 技术的混合系统。它假设公司股票是公司资产的看涨期权，该看涨期权的执行价 格为企业负债的账面价值，到期日负债的到期日，从而通过对上市公司股价波动 的分析来预测上市公司发生违约的可能性。 k m v 模型的基本假设是：当公司的资产价值低于一定水平时，公司就会对债权 人和股东违约。这一水平对应的点就是违约触发点d p ( d e f a u l t p o i n t ) ，即：公司的资 产价值等于负债价值时的点，见k m v 模型简图【2 2 】。 资产 市场 价格 l在时 i 间魑 豁 、分布 卜 llt 1 r d 日i 劬t x 哪 、e d f 0 h 时间 从图中，要决定一个企业的违约概率必须知道下面的几个要素 l 企业的现在资产价值 2 在时间h 的资产价值的分布 3 存时间h 的资产价值的波动率 k i v 模型的理论基础及其一些改进 4 在时间h 的企业的违约点，也即是企业的负债的账面价值 5 企业资产的期望回报率 6 时间区间h 的大小，h 可以任意指定 k m v 模型简图中，在某个给定的未来时期，预测公司的资产价值服从某个分布， 此分布的特征由资产价值的期望值和标准差( 波动性) 表示【2 】【引。图中假定公司资产 价值以资产净预期增长率增长并且服从正态分布。未来资产价值的均值到所需清 偿公司债务账面价值之间的距离就是违约距离d d ( d i s t a n c et od e f a u l t ) 。k m v 模 型认为当表示资产价值的均值线下降到所需清偿公司债务账面价值线以下时就会 发生违约，在图中时间h 后的资产价值分布曲线和代表公司债务账面价值线以下所 包围形成的面积即表示公司在一年后预期发生违约的概率( e d f ) 。从图中可看出， 违约概率的大小取决于违约点的位置和资产价值分布曲线的形状。k m v 模型主要 是利用预期违约率e d f ( e x p e c t e d d e f a u l t f r e q u e n c y ) 的值来判断一个公司在未来 一定时期发生违约的概率。e d f 是根据企业资产价值的波动性( 通过公司股票价格 在证券市场上波动性估计出来) 来衡量企业目前市场价值降低到违约触发点水平 以下的概率。所需计算e d f 的信息都包含在公司一h 市交易的股票价格变动之中。 2 1 2k m v 模型 k m v 最终目标是要计算企业的违约概率f 期望违约率e d f ) ，理论上的e d f ， k m v 模型认为企业违约概率应是企业的资产价值低于企业到期债务账面价值的概 率。 p ，= p r 暇x 。四= 】_ p r 1 n s l n x ，i w = 吃】 ( 2 1 ) 只是企业在时间t 时的违约概率 ”“是企业在时间t 时的资产价值 “，是刊间t 时企业负债的账面价值 要得至i j e d f 有以下解决以下的理论问题： 第一，必须估计企业资产价值和波动率，在这个步骤里，k m v 模型认为资产的价 i ( f v 模型的理论基础及其一些改进 值可以由资产市场价值( 股票价格) 通过下面期权定价公式得到。 e ：o p t i o n f u c n t i o n ( v a ，叽，工r ，f ) ( 2 2 ) ( 2 r e ：r e l a t i o n f u c n t i o n ( v a ，叽，r ，工r ，r ) ( 2 3 ) 其中n 表示企业资产价值， 7 a 企业资产价值，r 表示风险利率通常以银行同期利 率表示，耳表示企业在时间r 时的负债结构( 包括企业的长期负债和短期负债， 可转换债等) ，e 表示资产的市场价值通常以股票价表示，表示资产的市场价 值波动率通常以股价的波动率表示。第一个式子是期权定价公式，m o d d y s 公司采 用是v k 模型，但是作为其商业秘密没有公布，第二个式子是股票价的波动率和资 产波动的关系函数，因涉及商业秘同样没有公布。 铕二，估计违约点d p ，通常违约点被设定为短期负债与长期负债的一半 第三，估计违约距离( d i s t a n c et od e f a u l t ，d d ) ，违约距离是指以公司资产价值在风 险期限内由当前水平降至违约点的相对距离，可以表示为 d d ：1 ，d - d p ( 2 4 ) 仃 上式吒一d 尸表示企业的净资产价值，当企业的净资价值降为零时，企业将违约， 但是不同行业，不同规模的企业一d p 有很大的差别，且与企业资产的波动率的 大小也有很大的关系，若只以净资产价值作为违约距离将无法表达出违约距离与 行业，规模，资产波动率的关系，因此采用相对距离将更具有代表性，更准确。 第四，估计预期违约率e d f ； 理论的e d e 假定符合正态分布，己知圪和。n 即可得e d e 在t 一节中将详细 讨论。 但是，假定屹符合正态分布是否台理，本身就是一个问题，考虑到这 点，km v 公司采用了经验的edf 。 i 。l i 、r 模型的理论基础及其一些改进 经验脚= 型雩箍瑞豢薪翳磊笋s ， 2 2b l a c k s c h o i e 模型 在k m v 的理论框架下，巧如何得到企业资产价值和吼企业资产价值波动率 是首先解决的理论问题，k m v 公司有其私有化的模型来解决这个问题，但是我 们无法从公开的渠道来获取其私有化模型。为了解决第一个期权定价函数， b l a c k s c h o l e 模型给我们提供很多启示，在这一节里我们来讨论b l a c k s c h o l e 模型 。 b l a c k s c h o l e 模型的一些基本假设： 1 资产价值服从几何布朗运动 d k = k d t + 吼圪d z( 2 6 ) 其中和为常数，肛为资产价值的即时漂移率，吼圪为资产价值的即时波 动率，d z 表示一个标准布朗运动( 维纳过程) 2 允许资产和证券的卖空 3 企业不给投资者任何红利 4 在资产或证券交易过程中没有任何交易费用和税收，并且企业的资产可以 任意分割 5 证券和资产的交易是连续的 6 市场上没有无风险套利机会 7 对所有的资产和证券来说无风险利率r 是常数 基于这些假设，我们现在可以来推导以资产价值为标的股票价格的b l a c k s c h o l e 的微分方程。 假设在t 时资产价值服从以下方程： d 蟛= 圪d t + d j 屹d z( 2 7 ) 假若资产价值的市场价值( 亦股票的价格) 为e 是为资产价值的看涨期权，因此 e 应是在t 时资产价值v 和时间t 函数，由 t o sl e m m a 看涨期权的价格，应 服从以下的方程 k 吖模型的理论基础及其一些改进 州器阶票+ ：10 峭2 0 f , 6 , 肌嚣虻圪出 ( 2 8 ) 式中6 。表示资产价值的波动率 可以将( 2 7 ) 表示为下式 纠蔫叫+ 鲁+ 三2 盟o v a 2 a 蟛皿焉出 ( 2 9 ) 由式( 2 6 ) 和( 2 7 ) 可以推断出资产价值和资产市场价值之间有一相同的随机因 素，那就是维纳过程。因此我们可以通过构造一个无风险的资产组合把随机因素 给消除掉。 通过观察，我们可以构造f i z z _ 样一个合适的资产组合： 卖出一份股票，买进旦份标的资产， a y ： 。1 ：股票 + 芳：企蝻拖 以f i 表资产组合的价值，那么n 的值为： n _ _ ，f + 蔫圪 ( 2 1 0 ) 把假没经过a t 蚓i 司后，该资产组合的价值应变成 丌一馘+ 参屹 ( 2 1 1 ) 代入馘和吧，得到下面的一个方程 r i _ _ ( 警弓砰0 2 8 f t 岬t2 啪出 ( 2 均 ( 2 1 2 ，式意味着，该资产组合是无风险的组合，因为这组合不包含随机的因 素。山市场无套利的假发可以知道任何证券都应该获得相同的收益率，那就是无 风险利率，从而经过a t 后( 2 1 0 ) 无风险收益应为r h a t ，此值与( 2 1 2 ) 式相等， 删模型的理论基础及其一些改进 i i = r i i 出 f 2 1 3 ) 代入( 2 i o ) 平n ( 2 1 2 ) 可以得到 一( 百o f , + 互1 砑o z o f , u o , 一z , 2 ) a t = r ( - z + 蔫嵋) t 化简得到一个优美的偏微分方程： 鲁荡即丢器n 2 咯啊 ( 2 1 4 ) 这就是著名的b l a c k s c h o l e s 以企业资产价值为标的股票价格的微分方程了。这个 微分方程，当给定不同的边界条件时，有很多的不同的解。对于以企业资产价值 为标的看涨期权，我们以欧式的看涨期权为例，该看涨期权的交割价格为企业的 负债的账面价值，因此当时问为t 时，该看涨期权的价值为： 矗= m a x ( i x ，0 ) 当t = t 时( 2 1 5 ) 对于企业资产价值为标的看涨期权，通过解( 2 1 4 ) ，它的价格f 为 f 2 1 6 ) 式( 2 1 6 ) 便给出一个解决企业资产价值为标的股票定价的经典理论，关于( 2 2 ) 的定价公式，在m e t r o n ，b l a c k 等人做的开创性工作之后，许许多多学者作了很多 改进，放松了b l a c k s c h o l e s 所给一一些假设，我们将在第旧节中介绍一些有代表性 的改进。 2 3k m v 模型的一些改进 上。一节我们详细讨论m e r t o n 和b l a c k s c h o l e 将期权定价理论运用与有风险的 p 一 一 朋 呗一 呗一 “2一o“2一， = ， p 一厅 p 一厅 z + 一，小 = 盖忻 肌 汕 一 彤一 懈蚺型 婴 = 十t = = f 枣 t 如一 k m v 模型的理睦基础及其一些改进 贷款和证券的估价所作开创性： 作。在m e r t o n 和b l a c k s c h o l e ，他们的思想沿着 许多方向发展，m o d d y 公司v k 的模型正是这样的一个成功的例子，该公司的 v a s i c e k 和k e a l h o f e r 在1 9 8 0 年代中期发展了改进的m e r t o n 的早期思想的很多缺 陷，修改m e , o n 很多不符合市场实际的假设： 第一个重要修改是，m e r t o n 模型假定了一种非常简单的资本结构，即企业只有负 债和股权，这样的假设严重制约了m e r t o n 的实际应用，而v k 模型修改了这个假 定使之更接近实际，在认为一般企业的资本结构应包括：到期债务，短期负债，长 期负债，可转化债券，优先股，可转化优先股和普通股。 第二重要修改是v k 模型利用了对数正态性估计违约概率，极大的低估了中等质 量的公司的违约概率，而k m v 模型则是根据实证的结果构建从d d 到e d f 的映 射。1 9 8 0 年代早期，先驱者v a s i c e k 和m c q u o w n 发展了改进的期权定价公式计 算d d ，其后k m v 公司收集了包括3 4 0 0 家上市公司和4 0 0 0 0 家非上市公司自1 9 7 3 年以来的资料，建立了庞大的数据库得到从d d 到e d f 的映射关系。并于1 9 9 3 年建立了英国模块，1 9 9 4 年建立了亚洲和欧洲模块。取得了良好的预测效果。 其三，m e a o n 模型忽略了利息和红利，实际上企业在其生存发展过程中经常会发 放利息和红利，v a s i c e k 利k e a l h o f e r 的模型则把红利和利息纳入他们的模型，使 之可修改这些参数。 其四，m e r t o n 模型要求违约只发l 三在债务到期时，v a s i c e k 和k e a l h o f e r 认为只 要公司的市场价值小于违约点，则认为公刮违约，即违约可以发生在债务到期前， 实际中违约经常发生债务到期之前。 其五，m e r t o n 模型认为股权是公司价值的看涨期权，它有固定的到期h 。v a s i c e k 和k e a l h o f e r 则认为股权应该是个永久期权，这一点更符合上市公司的实际。 将期权定价理论应用j 二信用风险管理，首先需要的是期权定价公式，除了上 节讨论的b s m 模型和上文v k 模型外，还有很多学者从事了这方面的研究工作。 如l o n g s t a f 于1 9 9 5 提出的模型，认为违约可在任f u n , j - 候发牛，只要公司资产触 及某外部边界，但该模型仍需要与公司资产相关的数据。在信1 e | j 风险管理模型 中，此类需要公刮资产价值数据的模型包括k m v 模型，称为结构模型 ( s t r u c t u r a l m o d e l s ) i ”1 。再比如b l a c k 和c o x 在】9 7 6 把b s m 的资产价值过程修改 为d l = ( ，z d ) 屹m + 6 吒出，资产：价值漂率与资产价值的波动率有更大的) 乏系； i 。“模型的理论基础及其一些改进 l e l a n d 1 9 9 4 ，l e l a n da n dt o i l 1 9 9 6 j 资产价值表述为d k = 0 ( 圪，f ) 一d ) 疵+ a v a d z ， 资产漂移率本身就是资产价值和时间t 的函数，不过波动率还是一个常数； s h i m k o ，t e j i n n a ，和 v a n d e v e n t e r ( 1 9 9 3 ) 讨论资产价值变化 d 吒= k d t + 盯i d z lk i m ，r a m a s w a m y ，s u n d a r e s a n 1 9 9 3 d 匕= k d t + 吼匕虎1 4 ，其 中参数a 反映了在最优投资决策下的净现金流出l o n g s t a f f 和s c h w a r t z 1 9 9 5 认为 d k = 肛圪d t + c r y a d z l ；b r i y s 和 s c h w a r t z 1 9 9 5 认为 d k ；r v a d t + o - i ( p d z ：+ 4 1 一p 2 d z ，) 6 ，参数b 反映了一个风险厌恶的高相关性的随机 过程。z h o u 1 9 9 7 】认为d r = ( 一硒) k d t + q 屹妃+ ( 兀一dd j 。，其中d j 。表示 为一个参数为 ，振幅为 0 的随机过程。最近的这方面的研究有b r o c k m a n 和 t u r t l e 2 0 0 3 1 ，v a s s l o u 和x i n g 2 0 0 4 ，w o n g 和c h o i 2 0 0 4 1 ，e m o & h e l w e g e & h