（基础数学专业论文）二维非光滑问题的有限元外推及重构.pdf

二维非光滑问题的有限元外推及重构 摘要 有限元超收敛的研究迄今已3 0 余年，非光滑问题的有限元计算仍有 许多未解决的问题，本文着重从外推与z - z 重构两个方面研究非光滑问 题有限元的后处理，分别从计算和理论的角度获得了较好的结果 对于外推，我们在第4 章1 、2 节进行了较详细地讨论，通过投影型 插值建立一种新的误差估计方法，对该类问题的超收敛性进行分析，进 而获得了较好的非光滑解双线性元的外推结果，并通过数值计算验证了 这一结果之后在第4 节，我们尝试用z - z 重构非光滑问题的有限元解， 获得了较好的超收敛结果 我们进行了大量的数值计算，实验结果与理论结果基本一致，而且， 对q 取不同值的情况作了一系列的数值实验，得出了真解光滑性越好，精 度越高，收敛率也越高的结论 关键词：g r e e n 函数，超收敛，外推，z - z 重构 高校教师在职硕士学位论文 a b s t r a c t t h es u p e r c o n v e r g e n c eo ft h ef i n i t ee l e m e n th a sb e e ns t u d i e df o rm o r et h a n3 0 v e a r s ，t h e r ea r es t i l lm a n yu n r e s o l v e di s s u e so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h en o n - s m o o t h t h i sa r t i c l ef o c u s e so nt h ee x t r a p o l a t i o na n d t h ez - zr e c o v e r y ，f r o mt h e s e t w oa s p e c t s ，w ea n a l y z et h ep r o b l e mo fn o n - s m o o t hf i n i t ee l e m e n t sp o s t - p r o c e s s i n g w e ，r e s p e c t i v e l y , o b t a i ng o o dr e s u l t sf r o mt h ec a l c u l a t i o n sa n dt h e t h e o r e t i c a lp o i n t o f v i e w o nt h ee x t r a p o l a t i o n ，w ec a r r yo u tam o r ed e t a i l e dd i s c u s s i o ni nc h a p t e r4 s e c t i o n s1a n d2 m a k i n gan e wm e t h o do ft h ee r r o re s t i m a t i o nb yt h ep r o j e c t i o n i n t e r p o l a t i o n ，a n a l y z i n gt h es u p e r c o n v e r g e n c e ，w eo b t a i nag o o de x t r a p o l a t i o n r e s u l t o ft h eb i l i n e 缸f i n i t ee l e m e n tw i t hn o n - s m o o t hs o l u t i o n ，a n dv e r i f yo ft h i sr e s u l tb y n 1 】m e r i c 以c a l c u l a t i o n s i ns e c t i o n4 ，w en s et h ez - zr e c o v e r yf i n i t ee l e m e n t s o l u t i o n t od i s c u s st h en o n - s m o o t hp r o b l e m ，a n do b t a i nag o o ds u p e r c o n v e r g e n c e w eh a v eal o to fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s ，a n dt h en u m e r i c a lr e s u l t sa r eb a s i c a l l y c o n s i s t e n tw i t ht h et h e o r e t i c a lr e s u l t s w em a k ea s e r i e so fn u m e r i c a le x p e r i m e n t s b yt a k i n gd i f f e r e n tv a l u e so f ，a n df i n a l l yw eh a v eac o n c l u s i o n ，t h a ti s ，t h eb e t t e r t h es m o o t l l i l e s so ft r u es o l u t i o ni so b t a i n e d ，t h eh i g h e ro ft h ea c c u r a c ya n dt h e c o n v e r g e n c ew i l lb eg o t k e yw o r d s ：g r e e n sf u n c t i o n ，s u p e r c o n v e r g e n c e ，e x t r a p o l a t i o n z - zr e c o v e r y i i 高校教师在职硕士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：许饔哗 日期：2 d 凹年9 月j 8 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密母厂 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：许褰华 日期：幼年9 月j 8 日 导师签名：多绛 日期：2 0 0 99 月船日 - 3 4 二维非光滑问题的有限元外推及重构 1序言 本章主要介绍本文要讨论的模型问题，相关的历史背景以及需要用 到的基本记号、概念以及本文的基本结果和结构 1 1 模型问题 为方便之后对结果的比较，全文均统一以下面的模型问题为例： 答0 ，划盘电 q ， iu = ，在边界硼上， 卜“。 其中qcr 2 为矩形区域，同时缸硪( q ) ，但是u 聋瑶( q ) 问题( 1 1 1 ) 对应的变分问题是：找 础( q ) ，使得 口( 刚) 兰上v u v v d x d y d z = ( 舢) ，v 硪( q ) ( 1 1 2 ) 并且满足正则性条件：存在q o l ，使对任何g ( 1 ，q o ) ，映射 三：w 2 口( q ) n 嚼。( q ) 一口( q ) 是一个同胚映射，即存在常数c ( q ) 0 ，使 l l u l l 2 舟n c ( q ) l l l u l o 岛n ，v u w 2 。( q ) n 孵。( q ) 成立 设s 台( q ) 为有限元空间，则( 1 1 2 ) 的离散问题为：找u h s 台( q ) ，使得 a ( u h ， ) = ( ， ) ，v 口船( q ) ( 1 1 3 ) 显然有下面的g a l e r k i n 正交关系： a ( u 一乱 ，口) = 0 ，v 秽错( q ) 1 高校教师在职硕士学位论文 1 2 有限元超收敛历史背景 有限元方法也叫“有限单元法”或“有限元素法 ，这种方法最初起 源于结构分析，由结构力学的位移法发展而来，其核心思想就是分片逼 近经过3 0 多年的不断探索，有限元超收敛的研究逐渐形成了3 大学派 一i t h a c a 学派，中国学派，以及t e x a s 学派，成为求解偏微分方程，进行 科学、工程计算的一种行之有效的数值方法然而，它又受到计算机的制 约，因为，随着应用问题的日益复杂化，对解的精度的要求越来越高，相 应地，问题维数也就越高，网格剖分越密，有限元次数也愈高，导致有限 元方法产生的未知数个数急剧增加，而计算机的发展速度远赶不上科学 计算的要求这样，计算量小，精度高的超收敛研究应运而生，成为有限 元研究中非常重要的一个研究方向 早在1 9 6 7 年，z i e n k i e w i c z c h e u n g 就在专著结构与连续力学中的有限 元方法中指出在计算中发现线性有限元解的导数在某些特殊点上有特 别高的精度这种奇特的现象后来被d o u g l a s - d u p o n t 称为有限元的超收敛 性。通常，这些特殊点称为应力佳点不久还发现有限元解本身在一些特 殊点上也有超收敛性，这些特殊点称为位移佳点应力佳点和位移佳点 统称为超收敛点，也称为天然超收敛点 随着超收敛的发展，超逼近被广泛应用，1 9 8 2 年，在“北京中法有限 元国际讨论会”上，朱起定把超收敛估计归结为两个基本估计( 弱估计) ： a ( u 一， ) = a ( u 一乱j ，u ) = o ( h 7 ) l m i l ，p ，v v 璐( q ) ，( r 2 ，1 p 2 ) ， ( 1 2 1 ) g ( u 一，口) = o ( h r + 1 ) i l 移i l ：，p ，v 口黠( q ) ，p 2 ，1 p 2 ) ( 1 2 2 ) 利用离散g r e e n 函数的基本估计，给出了解决逐点超收敛问题的基本 框架一“离散g r e e n 函数一两个基本估计”框架然而，直接从有限元解 计算所得的应力场在单元边界不连续且精度不高。因此有限元超收敛后 处理技术引起了人们极大的兴趣，由此产生了平均局部插值、整体投影、 外推及超收敛块恢复( s p r 技术) 等后处理技术其中外推及s p r 是目前 比较重要的两种超收敛后处理方法 外推法是一种古老而行之有效的方法而关于有限元的外推，其主要 贡献则属于中国学者，林群、吕涛、沈树民等人 8 1 i l o 作出了开创性工 2 二维非光滑问题的有限元外推及重构 作1 9 8 3 年，文 1 0 】接受了“离散g r e e n 函数一两个基本估计”框架，利 用一个渐进展开式( 对一次元) ： a ( u u f ，u ) = c h 2 d 4 u v d x d y + o ( h 4 ) l l v l l l l l ，v v s 台( q )( 1 2 3 ) j a d 和离散g r e e n 函数的几个估计解决了有限元外推问题，从而开创了对有 限元的外推等问题的系统研究 1 9 8 7 年z i e n k i e w i c z z h u ( 3 5 ) 提出了一种基于后处理技术的误差估计方 法一z z 方法，并于1 9 9 2 年在文【3 6 】。 3 8 】中完整系统地提出了超收敛单 元片应力恢复技术，简称s p r 技术由于它具有计算简单、效果显著、易 于理解、和现有的有限元应用软件接口方便等等特点，因此一经提出就 受到了工程界的广泛欢迎，并被b a b u s k a 等人认为是用于渐进准确的后 验估计效果最好的技术之一( 1 】) 自从z i e n k i e w i c za n dz h u 提出s p r 以来，数值分析家们对各类问题提出 了各种恢复超收敛算子，得到了许多超收敛结果。比如，张智民、n a g a 提出 了p o l y n o m i a lp r e s e r v i n gr e c o v e r y ( p p r ) 方法( 【2 2 】) ，z h a n g - z h u ( 【2 3 】一【2 4 】) 、l i - z h a n g ( 6 ) 研究了s p r 方法并且第一次理论上证明了这个技巧的超收敛 性；z h a n g 还对两点边值问题及矩形网格下p o i s s o n 方程证明了在节点处 偶次有限元的s p r 强超收敛性( 2 5 卜【2 6 】) 。而后，z h a n g - l i n 对矩形网格偶 次有限元得到了在所有对称点上的s p r 强超收敛性( 【27 】) 2 0 0 1 年张铁( 2 0 】) 提出了“导数小片插值恢复技术 这种技术可以 用于计算有限元内节点处导数的近似值，并且在小片恢复区域上具有整 体超收敛性。在一定的条件下，利用这种技术甚至可以获得节点的强超 收敛性 2 0 0 3 年朱起定和赵庆华( 【3 3 ) 对两点边值问题给出了一种新的校正 格式，利用投影型插值分别得到了应力和位移d ( 九七+ 2 ) 和o ( h k + 3 ) ( 忌为有 限元的次数) 的强超收敛结果最近，文 3 0 】利用局部对称技巧和s p r 技巧对二次三角形元证明了一致三角形元在局部对称点上导数有o ( h 4 - c ) 的超收敛性，文【3 l 】在一致矩形网格上对奇次矩形元获得了结点导数的 o ( h k + 2 ) 阶强超收敛结果 最近，文【1 1 】对于矩形元利用积分恒等式及插值处理得到了局部对称 3 高校教师在职硕士学位论文 点上导数o ( h k + 3 】的强超逼近性： i a u 7 ( 如) 一a u h ( 约) l c h 知+ 3 il n h l 2 l | u l l 七+ 4 ， ( k 3 为奇数) ，这是二维问题的一个创纪录的超逼近结果 然而在几乎所有的超收敛研究中，常常依赖于解的光滑性，而在实 际问题中这种要求很难达到为了解决在非光滑解情况下方便的研究超 收敛，朱起定抛开传统的以剖分尺寸h 的幂次来度量超收敛的观念，把 u h l ( e ) 在r ( e ) 中的最佳平均逼近量 ，斤一 如( u ) _ x 爵。) l e r 壶i u x i r 触i n f ( e ) 亩上i v ( u x ) 1 2 如 或者所有单元最大者七= m 峨a 如来作为参照，其中i e l 为e 的测度这 样，我们就可以重新定义超收敛：导数误差比知高一阶，就说有高一阶 的超收敛至于七有没有o ( h k ) 这么高，在什么条件下有这么高，都是 无关紧要的 经过以上的重新定义，我们就可以在u h 1 的条件下( 而不是u 知+ 2 o 。的强条件下) 讨论超收敛了，并且，根据这一观念，探讨了双线性 元在非光滑解情况下的外推及s p r 后处理 1 3常用记号 设q 形为一有界开域，我们规定： r ( q ) ：q 上的完全k 次多项式空间； q 七( q ) ：q 上的双七次多项式空间； 下面是与导数有关的几个记号及其它记号： ( 1 ) u ( 。) 的k 阶偏导数： 磷u ( z ) = 蹇，z = x l ，x 2 ) ，七为非负整数。 ( 2 ) u ( z ) 的a 阶分布导数： 矾( 加研= 0 x c e l y 飞- 日q 2 蟛蚺d q u ( z ) 2 橱兹面2 飞蟛u ( z ) ， 二维非光滑问题的有限元外推及重构 其中z ：( z 1 ，z 2 ，z d ) ，a = ( a 。，q 2 ，q d ) 为重指标，q t 0 = 1 ，2 ，d ) 是 非负整数，l q i = 口l + q 2 + + o l d ( 3 ) u ( z ) 的k 阶导数的张量：v 知u ( z ) ，k 为非负整数且 v 七u ( 。) 1 2 = 眇珏( z ) 1 2 i a l = k ( 4 ) 我们常用c 表示与s o b o l e v 空间中的函数、剖分的单元及网格大 小h 均无关的正常数用c d k u ( x ) 来表示钍( z ) 的k 阶导数的线性组合， 其中的常数与函数铭等无关 我们在论文中用到的s o b o l e v 空间规定如下： w m ，p ( q 】表示通常的s o b o l e v 空间，且 m ，p ( q ) = ：d 口钞上尸( q ) ，i q l m ) ， 其中m 0 为整数，q = ( q 1 ，口2 ，口d ) 为重指标，1 p 。o 这个空间依范数 ，、； l l 叫h m n 2 l l c x l ， r n 上p 叫1 郇一， ，n 2 嚣嚣m 虢) 黜眇 ( z ) i ，p 2 构成一个b a n a c h 空间此外，对于这个空间，还有下面的半范： 卜l m p n = j 仇，n = 眇矿如卜一， m a xi n f s u pl d a u ( z ) i ，p = 。 1 a l = mr n e a s ( e ) n s 、 e g o ( n ) 按范数1 1 - 1 1 m ，p ，n 的闭包记为w g p ( q ) ，显然 w y p ( q ) cw n ( q ) 另外，我们还简记 h m ( q ) = w m 2 ( q ) ，”f l m 。n = i i i i m ，2 ，n ， w ( q ) = 盱2 ( q ) ，1 1 m ，n = 1 i m ，2 ，n 5 高校教师在职硕士学位论文 显然h m ( q ) 和卵( q ) 依范数m n 构成h i l b e r t 空间 在不致混淆的情况下，我们有时把上面的范数和半范简记为 卅l i m ，p ，i i m ，”i f m ，| 1 m ，1 1 i i m ，| 1 m ，。 另外，在剖分砂上的有限元空间s h ( q ) 中，我们定义 户训，。户 1 4 本文的主要结果及论文结构 本文主要针对二维非光滑问题，做了如下几件事情： 1 使用m a t l a b 编程计算真解非光滑的椭圆方程的有限元值、误差、 外推值及s p r 处理后的误差 2 对真解为u = ( 。一z ) ( y 口一可) ，( 其中a = 0 6 ，0 7 ，0 8 ) 对应的椭圆方程 在有限元外推及重构后的结果进行比较，得出了真解光滑性越好，精度 越高，收敛域也越高的结论 论文结构如下： 全文共有4 章，每章内容大致为： 第l 章：主要介绍本文需要用到的模型问题，相关的背景以及常用的 记号和论文结果、基本结构 第2 章：介绍了离散g r e e n 函数理论，通过对离散函数的一些精致估 计，为有限元最佳超收敛外推及重构的研究提供了有力的工具 第3 章：介绍了投影型插值算子理论，并由此给出了一种新的误差阶 估计，使非光滑问题的超收敛及后处理更为简便 第4 章：利用新的误差估计方法，结合大量的数例实验，讨论了非光 滑解双线性元的外推之后我们利用z - z 重构非光滑问题的有限元解，获 得了较好的超收敛结果；而且对真解中u = ( x a z ) ( 圹一y ) 的q 取不同值 的情况作了一系列的数值实验，并对结果作了比较与分析 6 二维非光滑问题的有限元外推及重构 2离散g r e e n 函数的几个结果 g r e e n 函数是研究超收敛一个强有力的基本工具，文( 【2 9 】) 对离散 g r e e n 函数给出了定义并获得了比较好的估计本章将借助于这些估计， 为后面的超收敛研究提供有力的工具 2 1 离散6 函数及估计 定义2 1 1 设鼠是k 次有限元空间，对每个点z 壳，线性泛函( - ) = u ( z ) ，v v v h 关于汐范数连续，故存在唯一函数砖玩，满足： ( u ，霹) = u ( z ) ，v v y h( 2 1 1 ) 我们称上述砖s h 为以2 点为奇点的离散6 函数，若用岔砖，晓i 叱h ( 2 i k ) 表示函数砖关于名的沿指定方向的导数及i 阶导数，那么也有 以砖魏，晓i h s h ，满足 ( u ，t 鐾) - o r ( z ) , v v s h( 2 1 2 ) ( u ，晓砖) = 硬u ( z ) ，讹魏 、7 关于6 函数，我们有： 引理2 1 1 对任意z ，z 壳，6 函数具有如下性质： l 砖( z ) i c h 一2 e 一矾。1 p 引， 麓淼东c h 二e = ：0 ( 2 粥) l 如晓砖 ) i - 4 一c h l 陋叫l ， 、 i 碰砖( z ) l c h - 2 - i e 一曲。1 卜别，2 i k 这些性质在文僻驯中已有详细证明，在这里不再赘述 2 2g r e e n 函数及离散g r e e n 函数 定义2 2 1 考虑问题以j 砂称定义在q q 上的函数c ( x ，名) 叫做g r e e n 函数，如果满足 口( 仳，g ：) = u ( z ) ，v u 右护( q ) ( 2 2 1 ) 7 高校教师在职硕士学位论文 其中g ：( z ) = a ( x ，z ) ( ；+ = 1 ，1 p 2 ) 由于口( 札，口) 是对称的，因此 g ( 。，z ) = a ( z ，z ) 例? 如果a ( u ，口) = ( v u v v ) ，那么g r e e n 函数的表达式是 11 g ( 叩) 2 云1 0 9 南+ 彬 其中w 是充分光滑函数，且满足 w ( z ，z ) = o ，比q ； w ( x ，z ) = 一赤1 0 9f 与，v z 勰 因此一般我们总假定g r e e n 函数在z z 是充分光滑的，而且满足 i d d f ( x ，z ) l c i x 一名i - i q + 剜，( 2 2 2 ) 其中口，p 是重指标由l a x - m i l g r a m 定理容易证明，存在唯一的函数g ： 舻，满足 a ( v ，g ! ) = ( z ) ， v v s 。 因为a ( u ，u ) 是对称的故 谚( z ) = d ( h ，磷) = o ( q h ，础) = 罐( z ) ， 且a ( a ：一g 舅v ) = 0 ， v v s 这说明离散g r e e n 函数g ；就是g r e e n 函数的g a l e r k i n 逼近同样，我们定 义导数型离散g r e e n 函数o z g ! 也是o z g ：的广义g a l e r k i n 逼近，这里的导 数算子以是指关于z 的沿任意指定方向的导数 关于g r e e n 函数和离散g r e e n 函数有如下一些基本估计： l l g ：一谚t l o 护c 危多，4 0 p o o ，( 2 2 3 ) l l g ：一砖i i o ，1 c h 2 il nh 1 2 ， q o = o 。， g ：一谚1 1 1 ，p p = 1 ： 。：i1 | | ! 乏2 ，9 0 2 + o o ； ( 2 2 4 ) 九h1 p q ； 、 7 q 6 p 危。，矗= 1 1 1 8 x 。h 。 1 2 二维非光滑问题的有限元外推及重构 定理3 2 1 任给u 日( e ) ，则依逐点收敛意义有展开式： 其中 w o ( x ) = 磋，( z ) = 丘i kl i _ l ( x ) d x ，o 1 ) ， 奶( y ) = 藤，奶( y ) = 丘一k l j _ l ( y ) d y 0 1 ) ， z o o ( u ) ：( 。屯) 一u ( 约) ，鼬( u ) ：，i 互1 ( a u ，f t 一1 ) n ， 1 ) ， 卢幻( u ) = 危；j 1 ( 岛u ，弓一1 ) 它，( j 1 ) ，岛( u ) ：口；一，j 一，( u ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 3 2 2 投影型插值 利用展开式( 3 2 7 ) ，对每个指标集mc 人，都可以定义一个线性算子 i i m ：u h ( e ) 一q m ( e ) = s p a n w i s 。j ：( t ，歹) m ， i i m u = 岛( u ) u 奶 ( i , j ) e m 这种形式的算子我i f n 做u 的投影型插值算子2 ，显然我们有如下定理： 定理3 2 2 如下结论成立： 1 ) 如u 日( e ) ，那么有展开式i i l l 备。= 1 2 ； 2 ) 对任何指标集，mc 人，有展开式一t i m u 慨。= l 岛( 让) i z ，其 ( i , j ) e m 。 中m c = 人一m j 3 ) i i 兀mu 0 e 。叫k 。，从而n m 是h ( e ) 一h ( e ) 的连续线性算子，而 且l | m 慨。) 。日( 。) = 1 我们假定在区域qcr 2 上实现了矩形剖分p ，胪= w ( q ) 是定义在这个剖分上的q z 型有限元空间 v = u c ( h ) ：u i 。q ：( e ) ，v e 丁 ) ， 其中q 笔( e ) = s p a n = ：( t ，歹) 人a 我们考虑单元e t h 上的投影型插值 z 三a z 对于u h 2 ( q ) nh 1 ( q ) 分片构造的投影型插值有如下定理： 2 特别算子i i o 定义成i i o u = 卢c h 0 u t 奶= t ( 劲) 为了便于作算子运算，有时我们用记号n ( m ) 表示i i m ，于是n = ( 雒) 1 3 y 一 zu 岛 渊 = y zu 高校教师在职硕士学位论文 定理3 2 3 单元e 上的插值函数n u ( 矽o ) 具有如下性质： 1 ) x u ( z 。4 - h 。，乳士丸) = u ( z 。士h 。，魄4 - 丸) ； 2 ) 如果用k ，。：h i ( r 1 ) _ h 1 h ) ；。，奄：h 1 忆) 一日1 忆) 表示两个一维庇 阶投影型插值，那么 z u ( z 。- ! - h 。，y ) = i i 。，南u ( z 。- 4 - h 。，可) ； r l t , u ( z ，魄士k ) = 1 - i k ，。u ，y 。士k ) 性质巩矽确保了插值瑶缸在整个区域q 上的连续性 3 2 。3 空间h ( a ) 设p 是区域q 上的一个正规剖分，定义空间 日( q ) = 口日1 ( q ) ： 1 。日( e ) ，v e t h ) ， 它按范数 构成一个h i l b e r t 空间 删日= ，也酬u 瞻，。 ve e t h 易见w ( q ) ch ( f 1 ) 为方便起见，我们还引入半范 = 玩恕瞧。， ve c = t h 其中日，。= o a 岛u 憾。+ 霹1 l l a - 扣) 啼，n + h 孑1 l l 如o ) 眠仡由定理可得 i l u lj o ，。g i 。丸l | | “i | 日。，i “i l ，。c f h 。也i 引“1 日，。 ( 3 2 1 0 ) 这样我们就得到 定理3 2 彳【蹦】设区域q 上的剖分秒是正规的，那么有估计 l l u l l o c h 1 u l l h ，1 c m 日， 其中c 与e ，九，u ， 无关但与k 有关进一步，还有 m 日c i v i l ，w 1 4 二维非光滑问题的有限元外推及重构 3 3 误差阶新定义 我们引述专著跚中关于误差阶的定义如下： 定义3 3 1 我们称 以，e ( u ) _ x 爵。) 一x ( 3 3 1 ) 为单元e 上的广义k 阶量于是利用投影形插值的性质有 “u ) = l l u r l k u l l 日, 一i z , j ( u ) 1 2 ， v ( i d ) e a i 其中i i 知= 1 - i “，人= 人一a 七 对于指标集m 也可以定义相应的量 跏，e ( u ) = i l u n m 仳i i h , e = i 如( u ) 1 2 ， v ( i j ) e m 。 这个量称为m 阶量如果m ) a 膏，那么就称6 肛。为强于七阶的量 例如：髭，。三，。就是强于k 阶的量如果置坛。= a k + u 越，那么 峨1 i e 就是既强于a z 阶又强于k + 1 阶的量，而以+ 1 ，。是k + 1 阶量但不 是强于雠阶的量这一点在一般的数值分析理论中是不区分的 我们也定义单元片e 或整个区域q 上的m 阶量( 单元片直径为o ( h ) 时取m a x ，单元太多时取平均) ： 占- - t m 2 骝如，e ( u ) ， 矾) = 萨兰祷两两砸 矗2 引理3 3 j 对指标集m = a 忌，或雠，( k 1 ) ，有如下关系式： i l u 一m u i i 务。= i n f l l u x i i 备，。；x 尸m ( e ) ) 2 x i n f ( 。) i i o , a 2 ( u x ) l 1 0 2 ，e + 霹1x 碗k ) i i a ( t 一x ) l 1 0 2 ，n ( 3 3 3 ) + i 1 x 蠢f ( 它) i l a 2 ( u x ) l 1 0 2 ，忍， 其中砌( e ) = s p a n w i ( z ) o j ( y ) ；( i ，j ) m 1 5 高校教师在职硕士学位论文 注3 3 1 其实对于任何指标集mca 都有 忆一n m 恢2 x i n f ( 。严一舳，e ， 其中， r f ( e ) = 印肌_ 姚奶：( t ，j ) m ) ， i i m u = ( u ) 峨奶 ( t ，j ) e m 这是因为【蚍奶】是h ( e ) 上的完备正交系 对于区域内的单元片ecq ，我们可以放宽对仳h ( e ) 的假定，即 让钍w 1 巾( e ) ，( 2 p 。) ，这时，我们也可以定义k 阶量： 以，p ，e ( u ) = ( 仃z e s ( e ) ) 一言i n f u x l l 护，e ，v ) ( p k ( e ) ) ( 3 3 4 ) 这时不难验证 以，p e 。ca k ，e ( u ) ( 3 3 5 ) 事实上，只需构作基本空间w ( e ) = w ，p ( e ) 并装配范数 l u l l w , e = 影i e | - 詈l 钍( 铷) i p + l u 曙护，e ， 其中蚓表示e 的面积直接验证还有 以巾，e ( 乱) = o ，v x r ( e ) ，以巾，e ( 钍) c h k i l u l l k + 1 ，。o ，e 于是证得( 3 3 5 ) 成立 定理3 3 1 以，。( u ) 具有如下性质： 砂如锰日( e ) ，那么在_ + 。时，昧( 缸) 单调下降趋于0 剀当“h ( e ) nw 七+ l ，o o ( e ) 时： 6 k ，。( 让) c 是：l 珏l 知+ l ，。 彰民，。( u ) 具k 阶代数精度，即： 以，。( u ) = 0 ，v u r ( e ) 注3 3 2 此定理说明，当解充分光滑时，误差阶民，。( u ) 和经典误差阶一 样，但是以，。( u ) 只需u 日( e ) 就可定义 1 6 二雏非光滑问题的有限元外推及重构 彳非光滑问题的有限元后处理 4 1 外推的实验结果 例名1 i 考虑模型问题 一u = ，( z ，y ) q = o ，1 】【0 7 1 】， f 41 】1 u i a n = 0 、7 假设，是对应于真解u = ( zo 6 一x ) ( y o 6 一y ) 的函数，设在q 上实现了一 致矩形剖分，运用双线性元求解，取点( 0 5 ，o 5 ) ，分别取n = 4 ，8 ，1 6 ，3 2 ，6 4 等分，得误差分别为r ，外推结果为e x p e , 。= l4 u 暑( z ) 3 - u h ( z ) , 一u ( z ) 1 = 学， 从以下数据中不难看出，外推结果有一定的改善 表彳j 双线性元在点z o = ( 0 5 ，0 5 ) 处的外推 接下来改变真解u = ( 铲一z ) ( 旷一y ) 中的指数，分别取a = d 6 ，0 7 , o g 比较各自的外推结果及对应的收敛率 表4 - 2 不同方程在点徇= ( 0 5 ，0 5 ) 处的外推比较 1 7 高校教师在职硕士学位论文 从这里，我们发现收敛率趋近于口的值，同时o l 的值越大，表明真解 光滑性越好，精度越高，收敛率也越高 4 2 1 林氏积分恒等式 4 2 理论分析 任给矩形单元e 砂，引入辅助函数 a ( z ) 2 ( 一z e ) 2 一h 1 ) ，b 白) 2 ；( - y e ) 2 一镌) ，( 4 2 1 ) e ( x ) = 阻( z ) 】2 ，f ( y ) = 射b ( 可) 】2 、7 为简化起见，有时我们记眠= 罄，表示关于z ，y 的混合导数 专著，7 7 ，肛刃利用分部积分和t a y l o r 展开得到如下积分恒等式，它们 是林群首先提出来的，我们称之为林氏积分恒等式，对v h 有 霹1 ；厂( u u j ) 霉u 正d z d y ：一等厂舻u d x d 可+ r i l ， ( 4 2 2 ) 其中 r 1 = 止f ( u 抛伽2 + 4 u 可娜嘞) 出咖 互c 0 = u - 以他的= 一等w 曲曲一等卜。u d x d y + r i o ( 4 2 3 ) 其中 r 知= 正f 心f 舢茁u r u w 肛】出匆 + f 。 - e u 霉z a 忿乞k + a b u x f y v 茁 d x d y + f 。 f a 7 u 可鲥2 3 f a u 瓣鲫】u 列出d y = u - - u i m z 匆= 一等u x x v d x d y - 等u u v v d x d y + r 5 0 ，( 4 2 4 ) 其中 r 南= l