1.4《数学归纳法》课件（北师大版选修2-2）.ppt

课程目标设置,主题探究导学,1.数学归纳法的两个步骤中第一步n的初始值是否一定为1?提示：不一定,如证明n边形的内角和为(n-2)180中,第一个值n0=3.,2.数学归纳法的两个步骤之间有怎样的联系?提示：第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断,可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1),无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.,3.应用数学归纳法要特别注意哪些问题？提示：一、要注意数学归纳法的起点，数学归纳法的第一步是递推的基础，有了此基础，在第二步中的假设才能成立，才不是真正意义上的纯粹假设；二、要注意如何添项：在证明n=k+1命题成立要用到n=k命题成立时，要分析命题的结构特点，分析“n=k+1”时命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清右端应增加的项.,典型例题精析,【练一练】1.若命题A(n)(n是正整数),当n=k(k是正整数)时命题成立,则有n=k+1时,命题也成立.现知命题对n=n0(n0N+)时,命题成立,则有（）（A）命题对所有正整数都成立（B）命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立（C）命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立（D）以上说法都不正确,知能巩固提高,一、选择题（每题5分，共15分）1.（2010马鞍山高二检测）利用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，aN+）时，在验证n=1成立时，左边应该是（）（A）1（B）1+a（C）1+a+a2（D）1+a+a2+a3【解析】选C.需注意左边相加结束时为an+1，因此当n=1时应加到a2结束,故为1+a+a2.,2.用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成（）（A）k(k+1)(2k+1)+6(k+1)（B）6k(k+1)(2k+1)（C）k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2（D）以上都不对【解题提示】在证n=k+1时必须用上“n=k”的假设,因此应采用增项、减项、拆项、因式分解等手段，凑出n=k时的情形.,【解析】选C.当n=k+1时，式子变为(k+1)(k+2)2(k+1)+1=(k+1)(k+2)(2k+1)+2=(k+1)(k+2)(2k+1)+2(k+1)(k+2)=(k+1)k(2k+1)+(k+1)(2k+1)2+2(k+1)(k+2)=k(k+1)(2k+1)+2(k+1)(3k+3)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2,故选C.,【解析】,【解析】,答案：,5.用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1(n是正整数）的过程如下：当n=1时，左边=20=1，右边=21-1=1,等式成立；假设当n=k时，等式成立，即1+2+22+2k-1=2k-1,则当n=k+1时，1+2+22+2k-1+2k=2k+1-1,所以n=k+1时，等式也成立.由可知对一切nN+，等式都成立.则上述证明错在_.,【解析】用数学归纳法证明命题时，第一步是基础，第二步是关键，从n=k推导n=k+1时必须得用上归纳假设，证明才会正确.答案：从n=k推导n=k+1时，未用归纳假设.,【证明】,【解析】,1.（5分）(2010大庆高二检测)某个命题与正整数n有关，如果当n=k（k是正整数）时命题成立，那么可推得当nk+1时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）（A）当n=6时该命题不成立（B）当n=6时该命题成立（C）当n=4时该命题不成立（D）当n=4时该命题成立,【解析】选C.由题知“当n=k（k是正整数）时命题成立，那么可推得n=k+1时命题也成立”，因此只要取前一个自然数成立，则取后一个自然数时命题也成立，又当n=5时命题不成立，因此n=4时命题会不成立，否则就会推出n=5时命题成立，故选C.,2.（5分）已知1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切n是正整数都成立，那么a、b、c的值为（）（A）a=b=c=（B）a=b=c=（C）a=0,b=c=（D）不存在这样的a、b、c【解题提示】由于等式对一切正整数n都成立，不妨对n赋值建立关于a、b、c的方程求解.,【解析】选A.方法一：特值验证法，将A、B、C中a、b、c的值代入原式，令n=1,2,3验证易知选A.方法二：1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切正整数n都成立.,3.（5分）平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n+1个圆把平面分成的部分f(n+1)与f(n)的关系是_.【解析】设n+1个圆中的一个为C,则C与其余n个圆相交可新增加2n个不同的交点，这2n个点把C分成2n段，且每段弧把它所在的区域分成两部分，所