（工程力学专业论文）无支撑基坑开挖土体渗流应力耦合动态行为的数值模拟.pdf

无支撑基境秀挖主俸渗流一应力耦合动态纷失麓数值模拟 韩炜洁( 置程力学) 指导教师：侯密山教授梅甫良副教授 摘要 近热年来，国内外很多学者对纂坑刀：挖的数假技术开展了大量的 研究，势取褥了鬏热睾硕瓣藏采。季擎为硕圭磷究论文，本文滋行了基 坑开挖过程中土体渗流应力耦合动态行为的数慎模拟研究。论文将基 坑歼挖问题简化为= 缀平面问题遴行处理，同对考虑7 基坑开挖过程 孛律毳豫流酌季搴瘸，郄采用院类凝结理论，辩藻坑开挖过稷遴行了 有限元分析。并且在求解土体渗流- 应力耦合问题时引入了状态方程 法，推譬了裙应的状态方程，简化了求解过程。作者利用m a t l a b 平台编涮了线弹性钵的基坑歼挖二维有限元稔序，并且绪念其体工 程实例。对基坑工程i l 行了较系统地分析，针对所得到的计辫结果给 出了稽廒的结论和建议。理论分聿露及实际模拟诞明：状态方瑕法应用 于求解生体渗流应力藕合闯题过程，较于传统麓分法躺优势糕于可以 用较少的机时得到比较精确的结果，具有实际意义；这一研究在基坑 开挖过撩数僮模拟中瓣瘦焉对完善蒸坟玎挖研究及设谴理论爨蠢一定 意义。 关键词：渗流场，应力场，基坑歼挖，渗流应力耦合，状态方程 n n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fs e e p a g ea n ds t r e s sc o u p l i n g a n a l y s i si np r o c e s so ff o u n d a t i o np i te x c a v a t i o n w i t h o u ts u p p o r t i n g h a n w e i - j i e ( e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rh o um i s h a ha n da s s o c i a t ep r o f e s s o rm e if u - l i a n g a b s t r a c t i nt h er e c e n ty e a r s ，t h ei n t e r n a la n do v e r s e a ss c h o l a r sh a v ed o n el o t s o fr e s e a r c ha b o u tt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ff o u n d a t i o np i te x c a v a t i o n ， a n da c h i e v e dr i c hr e s u l t s a st h ep a p e rf o rm a s t e r sd e g r e e ，t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o no fs e e p a g ea n ds t r e s sc o u p l i n ga n a l y s i si nt h ep r o c e s so f f o u n d a t i o np i te x c a v a t i o nh a sb e e nc a r r i e do n t h ep a p e rd e a l sw i t ht h e q u e s t i o na sp l a n es t r a i nq u e s t i o na n d c o n c e r n st h ef u n c t i o no f t h es e e p a g e b a s e do i lb i o tc o n s o l i d a t i o nt h e o r y ，t h ep a p e rd o e st h et w o - d i m e n s i o n a i f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa b o u tt h ee x c a v a t i n gp r o c e s sa n dd e d u c e st h e c o r r e s p o n d i n gs t a t ee q u a t i o n sa b o u tt h es e e p a g e - s t r e s sc o u p l i n gf i e l ds o t h a tt h ec a l c u l a t i n gp r o c e s sh a sb e e ns i m p l i f i e dal o t a c c o r d i n gt ot h e s e v i e w s ，t h el i n e a ra n de l a s t i cf i n i t ee l e m e n tp r o g r a mi sc o m p i l e db a s e do n m a t l a bp l a t f o r m t h el a s tp a r to ft h ep a p e ra n a l y s e st h eh o r i z o n t a l d i s p l a c e m e n t ，t h es u b m e r g i n gd i s p l a c e m e n t ，t h et r a n s v e r s es t r e s sa n dt h e p o r ep r e s s u r ea b o u ta na c t u a le n g i n e e r i n gb a s e do nt h ea b o v e m e n t i o n e d p r o g r a ma n dd r a w sr e a s o n a b l ec o n c l u s i o na n dg i v e ss c i e n t i f i ca d v i c e s 1 1 1 t h et h e o r yr e s e a r c ha n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o w st h a tt h er e s u l t sa r e g o o di nh a r m o n yw i t ht h ee x a c tr e s u l t sa n dt h em e t h o dc o u l d s a v el o t so f t i m ec o m p a r et ot h et r a d i t i o n a lm e t h o d a n dt h er e s e a r c ho ft h i sp a p e rh a s p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et op e r f e c tt h et h e o r ya n dd e s i g na b o u tt h ef o u n d a t i o n p i te x c a v a t i o n k e yw o r d s ：s e e p a g ea r e a , s t r e s sf i e l d ，f o u n d a t i o np i te x c a v a t i o n , s e e p a g e - s t r e s sc o u p l i n g , s t a t ee q u a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中国石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名：月谚日 ， 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 导师签名： 肛耐 月巧日 ， 月刀日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章前言 第l 章前言 1 1 国内基坑工程发展现状及现存问题 i i 1 国内基坑工程发展现状 近些年来，随着我国国民经济的快速发展和人民生活水平的不断 提高，城市空间利用率要求日益急迫，城市三维空间的开发和建设以 前所未有的规模和速度发展。现在全国各大、中型城市都兴建了大量 的高层及超高层建筑，如：高3 8 3 9 m 、8 1 层的深圳帝王商业大厦【1 l ， 高3 8 9 3 m 、8 0 层的广州中天广场【”和高4 2 0 5 m 、8 8 层的上海金茂大 厦l l j 等规模宏大、结构新颖、技术难度高的建筑物。此外，在北京、 上海、广州、深圳等大型城市，都兴建了大量的地下市政设施，如地铁、 地下商场、地下车库等。随着城市地下空间的利用与开发，基坑工程 的数量越来越多，其深度与广度也越来越大。 由于基坑工程主要集中在地面建筑、地面道路、地下管线的密集 区，因此施工场地受到其周围建筑、地面道路、行人车辆、地下设施等 的极大限制，这对防止或减少基坑开挖引起地面建筑、地面道路、地 下管线的破坏、土体失稳、坑底隆起提出了更加严格的要求。随着我 国基坑工程实践的逐步积累，以及对基坑工程的认识水平的不断提高， 研究人员提出了大量的基坑工程设计计算理论，并且解决了许多基坑 工程的实际问题。但是，由于基坑工程所涉及的因素非常之多，各基 坑工程之间存在着千差万别的差异，所以基坑开挖导致建筑物的倒塌、 地下管线的损坏、路面塌陷等事故时有发生，有些地区基坑事故发生 率较高，有的城市中较大的基坑工程事故竟占基坑总数的1 3 左右嘲； 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 甚至某些学者认为，有的地区基坑工程的成功率大体仅为1 3 ，另有 2 3 是出了工程事故的或多少有点毛病的。这些事故不仅使施工进程 延长、整个工程造价增加，更为严重时会发生人员伤亡等重大事故 i 1 - 2 基坑工程的特点 随着基坑工程数量的增多和对其质量要求的提高，人们越来越迫 切地要了解基坑工程的特点，于是投入了越来越多的入力和物力进行 深入研究，并经过多年的理论研究和工程实践总结，已经得出了基坑 工程的几个十分明显的特点如下： 1 基坑工程具有很强的区域性 岩士工程区域性强，岩土工程中的基坑问题区域性更强。如黄土 地基、砂土地基、软粘土地基等工程地质和水文地质条件不同的地基 中基坑工程差异性很大。即使是同一城市不同区域也有差异。正是由 于岩土性质的千变万化，地质埋藏条件和水文地质条件的复杂性、不 均匀性，往往造成勘查所得到的数据离散性很大，难以代表土体的总 体情况，而且精确度也很低，因此，基坑开挖要因地制宜，具体闯题 具体分析，而不能简单地完全照搬外地经验。 2 基坑工程具有很强的个性 基坑工程不仅与当地的工程地质条件和水文地质条件有关，还与 基坑相邻的建筑物、构筑物及市政地下管线的位置、抵御变形的能力、 重要性以及周围场地条件有关。因此，应结合地区实际情况，对基坑 工程进行具体分类。 3 基坑问题具有很强的综合性 基坑工程涉及士力学中强度( 或称稳定) 、变形和渗流三个基本 课题，三者融在一起，需要综合处理。有的基坑工程中由压力引起 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 的支护结构强度或结构稳定破坏成为基坑问题研究的主要因素，有的 土中渗流引起的流土破坏是主要因素，有的基坑周围地面变形却是主 要因素，因此基坑工程区域性和个性强正体现在这一方面。 4 基坑工程具有较强的环境效应 基坑工程开挖必将引起周围地基土中地下水位变化和应力场的 改变，从而导致周围地基土体的变形，对相邻建筑物、构筑物及市政 地下管线的安全与正常使用造成比较坏的影响。大量土方运输也对交 通产生影响，所以应注意其环境效应。 5 基坑工程通常具有较大的工程量、较紧的工期 由于许多基坑属于深基坑范畴，开挖深度般较大，工程量比一 般浅基坑增加很多。抓紧和缩短施工工期，不仅是施工管理上的要求， 而且对减少基坑变形、减小基坑周围环境的变形也具有特别的意义。 6 基坑工程具有很高的质量要求 由于基坑开挖的区域也就是将来地下结构施工的区域，甚至有时 基坑的支护结构还是地下永久结构的一部分，而地下结构的好坏又将 直接影响到上部结构，所以必须保证基坑工程的质量，继而才能保证 地下结构和上部结构的工程质量，进而保证整幢建筑物的工程质量。 另一方面，由于基坑工程中的挖方量大，土体中原有应力释放也大， 造成了基坑周围环境的不均匀沉降加大，在基坑周围出现对建筑物不 利的拉应力，在地下管线的某些部分会出现应力集中，故对基坑工程 的质量有非常高的要求。 7 基坑工程具有较大的风险性 基坑工程有时是个临时工程，安全储备相对较小，因此风险性较 大。由于基坑工程技术的复杂，涉及范围广，事故频繁，因此在施工 过程中应进行监测，并有应急措施。基坑工程一般造价较高，但由于 中国石油大学( 华东) 硕士论文第i 章前言 是f 临时性工程，不愿投入太多资金，一旦出现事故，造成的经济损失 和社会影响往往十分严重。 8 基坑工程具有较高的事故率 基坑工程施工周期长，从开挖到完成地面以下的全部隐蔽工程， 常常经历多次降水，周边堆载、振动等许多不利条件。安全度的随机 性较大，事故的发生具有突发性。 l ，1 3 目前我国基坑工程存在的主要问题 由于基坑工程具有较强的区域性，影响基坑稳定性的因素也非常 多，所以不同地区、不同环境或是不同的施工条件等因素都必须在萋 坑施工设计中加以周详的考虑。因此，我国基坑工程有自己的特点， 现在谈谈目前我国基坑工程存在的主要问题： 1 基坑技术有待尽快发展提高，以适应当前工程需要。当前，我 国基坑以深、大、复杂为特点。特别是沿海地区，地下水位很高，基 坑工程施工工艺的改进等问题，有待进一步的研究与解决。 2 国内一些基坑工程设计质量较低，导致发生工程事故。一些部 门认为基坑工程是施工部门的事，无须设计资质，设计部门及岩土工 程部门介入较少，设计大多由施工部门自己完成，但由于设计人员的 技术水平低，参数取值、计算方法无章可循，使一些工程隐患较大， 导致发生严重的工程事故。 3 基坑工程缺乏理论研究与计算。是发生事故的主要原因。目前， 我国基坑工程多是边开挖边实践边摸索，往往靠经验来进行，缺乏成 熟的技术规范指导，仍然靠半经验半理论的办法解决问题。 4 为了预防事故的发生，丽盲目地投入大量资金，造成不必要的 损失。有的基坑工程为了避免事故发生，不考虑士体的受力和变形规 4 中国石油大学( 华东) 硕十论文第1 章前言 律，而进行全面支护，盲目增加安全系数，造成很大浪费。 5 我国基坑工程施工混乱，管理不严。少数施工单位不具备施工 条件，人力、物力等基本素质较差，为了追求利润或迁就业主，降低 安全度。 6 国内质量检查体系不完善。基坑工程的质量检查、验收的方法 无章可循，给基坑工程的质量监督和质量评价带来困难，没有针对基 坑特点建立竣工验收的质量管理体系。 7 国内基坑工程施工前的工程勘察工作不受重视。基坑工程的工 程勘察工作十分重要，但许多勘察单位常常忽略对基坑环境地质的勘 查，专门针对基坑工程的地质及水文地质的勘查重视不够，以至给设 计和施工带来隐患。 8 施工过程中的监测不力，不能做到随时监测。 9 目前，国内监理工作在人力、物力等方面还不适应基坑工程的 特殊要求。 1 0 在国内，基坑工程质量检验缺乏地域性规范、规程及标准。 1 2 国内外基坑工程数值模拟研究现状 人们对基坑开挖问题的研究方法主要有三类：工程经验总结、现 场及室内试验研究、数值模拟计算。但由于基坑开挖问题十分复杂， 现场及室内试验研究费用大，试验复杂，而且加载条件、边界条件模 拟比较困难，故成果不多；与现场及室内试验研究相比较，数值模拟 方法的费用小，具有很大的灵活性并能模拟复杂的情况。因此，数值 模拟方法( 主要是有限单元法) 在基坑开挖的分析中得到了广泛的应 用。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 1 2 1 国外研究现状 国外关于基坑开挖的数值模拟研究起步比较早，相关方面已经有 了比较成熟的理论成果，值得借鉴和学习： d u n c a n 和c h a n g ( 1 9 7 0 年) ”将有限元单元法用于边坡开挖的稳 定性分析，通过现场实测资料和有限元分析结果的比较，认为边坡开 挖的性状可以很好地用有限元法预测。 c l o u g h 和h a n s e n “利用有限元法分析了土层各向异性对土体、墙 体位移分布的影响，结果显示：若考虑土体各向异性的影响，则计算 出的墙体位移和地表沉降会显著地增加，破坏区域也会显著地增大。 同时指出土层各向异性对设计的安全度，土体、墙体位移以及士压力 分布的影响，在设计中必须予以充分考虑。 d m p o r t s ( 1 9 8 4 年) 运用有限元研究典型结构和初始应力对 由单一支撑挡墙性状的影响。利用理想弹塑性本构关系模拟土的性状， 并假定支撑点作用在挡土墙的顶端。作者认为：土体的位移值取决于 开挖和墙体的尺寸、土和墙体的性质、支撑点的位置、墙体的构造方 式、土中的初始应力等。 m u r o h yf 6 1 ，m a n a m ，8 r o m si s ! 将有限元分析结果与现场实测资料 进行比较，这些比较研究工作，对基坑的平面应变问题连续介质有限 元法用于工程实际计算作出了不少的贡献。分析得到的一些基坑挖方 的形状规律，对实际工程的设计和施工具有相当积极的指导意义。 国外的这些比较成熟的研究理论和研究方法给后来国内的研究奠 定了一定的基础，提供了宝贵的参考资料。 6 中国石油大学( 华东) 硕十论文第1 章前言 1 2 2 国内研究现状 6 0 年代末我国在基坑开挖性状的理论研究中引进了数值分析方 法，并在基坑开挖过程中应用了数值模拟技术，其计算方法主要有有 限元法、拉格朗日元法、半解析元法等。近年来这一方法的应用越来 越广泛，主要是由于数值分析技术特别是有限元法，能够模拟土与结 构的复杂力学性质，考虑基坑土体与支护结构的相互作用，模拟基坑 开挖的施工顺序以及固结过程等，从而可以得出一些有益的、定性的 结论，对全面了解基坑开挖过程中土与结构的应力和位移分布，起了 很大作用。 侯学渊等嗍( 1 9 8 9 年) 以非线性的b l o t 固结理论为基础的有限 元和无限元进行流固耦合计算，对引起深基坑周围地表沉降的几种主 要因素进行分析与模拟，探索了基坑周围土体位移的规律，并借鉴前 人的研究成果及p e c k 估算隧道上方的土体沉降的理论途径，提出一种 估算深基坑侧边地基土沉降的方法。 高俊合呻1 ( 1 9 9 9 年) 研究了土与结构相互作用，土体固结等基坑 开挖有限元问题，论证了采用有限元对基坑开挖进行数值分析时，当 有渗流发生时，宜采用考虑固结的分析方法的观点。并考虑了固结、 土一结构相互作用的数值方法，克服了经典土压力理论的不足，可以有 效地分析基坑开挖过程中渗流、水平位移、地面沉降及基坑隆起等因 素间的相互影响，为基坑支护从“被动制约机制”走向“主动防御机 制”奠定了良好的理论基础。 高俊合等i ( 1 9 9 9 年) 还提出了在基坑开挖过程有限元分析中释 放荷载模拟的改进的m a n a 法，并与三种常用方法进行比较，给出了改 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 进的m a n a 法的优越性。 平扬等【1 2 】( 2 0 0 1 年) 研究了基坑开挖时渗流一应力之间的耦合效 应，将比奥固结理论的有限单元法扩展到弹塑性领域，从计算结果的 对比分析中得出结论，认为考虑耦合作用的有限元计算结果与实测值 基本吻合，表明了这种计算理论的可行性与适用性。 应宏伟 1 3 1 、俞洪良【“】、黄春娥n 5 i 等也分别进行了相关方面的论 证和拓展研究，得到了比较相似的结论，并将其理论结果应用于不同 条件的基坑开挖有限元分析中，取得了非常理想的结果。 本文为了简化计算，突出重点，采用的是线弹性土体模型，但是 大量的有关基坑开挖过程的数值模拟分析中土体所采用的模型为弹塑 性模型或粘弹性模型，可以更好的符合实际工程的现场情况。 赵利益等进行的基坑开挖三维有限元的弹塑性分析中，土体采用 德卢克一普拉格弹塑性模型；李筱艳等1 拍1 在进行深基坑开挖计算中采 用的是邓肯一张e 1 t 非线性本构关系和渗透系数非线性耦合响应关系 的完全耦合分析模型。近现代许多相关方面的研究人员都试图找出一 种最合理的土体模型，在张坤勇即1 发表在岩土力学的一篇文章中 总结了近几十年来关于这方面的研究以及成果。众多研究表明土体是 一种物理属性非常复杂的材料，而基坑开挖过程的数值模拟研究的结 果是否符合实际、接近实际情况，是与选择的土体模型及采用的模型 参数是否合理有因果关系。 目前，国内也有大量的文献进行了基坑开挖的空间效应和时间效 应的研究，取得了比较好的成果。以上介绍的是一些比较典型的数值 分析成果，还有不少研究人员从不同的角度和不同的方法研究模拟了 中国石油大学( 华东) 硕七论文第1 章前言 基坑开挖问题，都取得了显著结果，此文不再赘述。 1 3 本文课题的提出和主要研究内容 1 3 1 课题的提出 当前的基坑工程施工是边探索边实践的过程，还没有成熟的技术 规范指导设计和施工，在前文中作者已经提到基坑工程事故频繁发生 以及基坑事故的发生比例，一般事故的发生率占基坑工程的3 0 左右， 造成了重大的损失和严重的后果。 关于基坑工程的事故发生原因，很多学者作过研究和统计。唐业 清曾对1 0 3 项基坑事故进行了细致的调查【1 3 】，统计出事故发生的原因 为：因设计不当引发的事故占4 5 ，因施工不当引发的事故占3 3 ，因 地下水处理不当引起的事故占2 2 。曾宪明伸】曾对2 4 3 项失事工程， 涉及失事原因3 1 1 项，作出了如图1 - 1 的失事原园分布折线。 0 5 0 4 0 3 0 2 o 1 0 1 。一，、 勘查设计 施工监理投资方规范应用 图卜1 失事原因的分布折线 从图中可看出，由于设计的原因导致的工程事故占总事故的4 0 ， 施工造成事故的原因占到4 7 ，二者之和达8 7 。这一统计结果是建立 在现有的设计理论为正确的前提下得到的，如考虑到设计理论缺陷， 设计原因所占的比例可能还要增大，从实际情况来看，由于基坑工程 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 的快速发展及支护方式的不断创新，工程师们在没有足够的理论储备 下需要面对各种层出不穷的问题，因而在设计中往往存在着理论滞后 的问题。由此可知，基坑工程的设计理论和施工方法的正确性，对于 工程的成败有至关重要的影响。因此，对基坑开挖过程的全面了解和 研究是必需的。 基坑开挖过程中，基坑既是应力场、位移场，同时还是个复杂的 渗流场。近几年对深基坑事故进行分析研究发现，渗流作用是导致基 坑开挖事故的一个重要影响因素，所以在进行深基坑开挖的模拟计算 时，不能忽略渗流作用的影响。 在计算土体渗流一应力耦合问题时，大多采用比奥固结方程，通过 对其进行空间和时间离散，建立相应的有限元方程，再进行方程组的 求解。通常对比奥固结方程的空间离散采用有限元法，时间离散多采 用有限差分法，进行计算取得的结果比较理想，只是这种方法迭代次 数比较多，比较耗费机时，计算速度不是很理想，而且解的收敛性需 满足一定条件才能达到。 基于以上考虑，本文在进行基坑开挖数值模拟过程中，将状态方 程法引入，代替传统有限差分法，在保证了计算精度的前提下简化求 解过程。 1 3 2 研究内容 本文的无支撑基坑开挖土体渗流一应力耦合动态行为的数值模拟 研究，主要从两方面进行展开研究：一是理论分析，将状态方程法应 用于解决土体应力一渗流耦合问题的求解中，推导相应的状态方程，证 明状态方程法在求解土体应力一渗流耦合问题时的可靠性和优越性；二 是数值模拟，将上述研究应用于基坑开挖动态过程的数值模拟中，编 1 0 中国石油大学( 华东) 硕十论文第1 章前育 制相应的m a t l a b 程序，分析基坑开挖过程中土体应力、位移和渗流场 的基本变化情况和规律。本文的工作内容叙述如下： 1 状态方程法已经应用于一些物理问题的求解中，并取得了比 较理想的结果，本文将状态方程法应用于土与孔隙水相互作用问题的 求解中，推导求解土体应力渗流耦合问题的状态方程； 2 将上述研究应用于基坑开挖过程渗流一应力耦合动态数值模 拟研究中，利用m a t l a b 平台编制了二维平面基坑开挖有限元分析程 序。程序的优点在于它能够比较智能化地划分有限元网格，使有限元 模型能较好地符合实际情况，对不同土层材料参数和外部荷载都作了 周详的考虑，程序内容简单易懂，便于改动和完善，需要手动输入的 数据非常少，方便操作，而所需计算时间较短； 3 本文将采用状态方程法与普通差分法计算的结果进行对比， 来验证状态方程法在解决土体渗流一应力耦合问题时的优越性，并通过 改变某些参数来证明解的稳定性； 4 针对具体工程实例，应用上述程序进行计算，分析在基坑开 挖过程中土体应力场和渗流场的变化情况，以及一些特殊部位的位移 分布情况和变化趋势； 5 根据模拟计算结果，对基境开挖过程的土体的变形、位移和 应力变化情况以及孔隙水压力的变化情况做出定性分析，揭示其原因， 解释其现象，为将来相关方面的继续研究提供一些参考。 1 3 3 技术路线 1 建立渗流耦合效应土体变形场的动态数值模型并进行求解： 首先，查阅有关资料，根据基坑土体渗流与变形特点，由土体平 衡方程、物理方程、几何方程、有效应力原理及渗流连续方程建立二 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章前言 维有效应力分析法控制方程( 比奥固结方程) ； 再将具体的求解分三步实现：第一步，在空间上进行有限元离散， 建立有限元控制方程；第二步，将控制方程转化为状态方程；第三步， 求解相应状态方程： 2 有限元程序编制；以有限元数值分析技术为基础，借鉴前人已 编制的相关程序，按自己提出的模型，应用m a t l a b 平台编制相应的有 限元分析软件； 3 利用上述有限元程序，分别对现有的典型例子和具体工程实 例进行计算，并对结果进行定性分析，以确定状态方程法在基坑开挖 数值模拟研究中的适用性和计算结果的可靠性。 1 2 中国石油大学( 华东) 硕十论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 有限单元法啪l 是近四五十年来迅猛发展起来的卓有成效的一种 数值方法。目前已广泛应用于各个学科、各种性质的不同问题，几乎 已渗透到各个领域。它已经成为一种日益成熟的学科，不但其基本理 论在不断的发展完善之中，而且在实际问题中也显示了自身巨大优越 性，其发展前景不可限量。 2 1 概述 从数学的角度来看，有限元法是求解数学物理方程的一种数值方 法，它是各种经典数值方法，如瑞利一里兹法，珈辽金法的新的表现形 式，它们的基本方程运算都是一个或一组偏微分方程，它们就是把微 分方程转化为解等效的代数方程组，从而以容易获得的数值解的形式 ( 而不是难于获得的解析解形式) 来完成对整个连续介质或者复杂工 程结构的认识。从这一点来看，有限元法和经典方法的性质是一样的， 但二者有着重大的差别，其中之一就是插值函数的选取方式不同。在 有限元法中插值函数是部分地、分别地在求解域的子域上或者单元上 选取，并且只要求插值函数在各子域内部、子域之间的分界面( 内部 边界) 以及子域和外部边界面上( 外部边界) 均满足一定的条件。因 此，在有限元法中，插值函数的选取相对经典方法来说要显得容易， 从而使有限元法的实用性远远超过了经典方法。 从工程角度来看，运用离散化的概念，将连续的介质或工程结构 划分成许多有限大小的子域的集合，将每一个小区域称为单元或者元 素，将单元或元素的集合称为网格。首先研究这些单元或者元素，弄 清楚它们单个的力学性质，再将所有这些已经分析清楚的单元或元素 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 按一定的方法组装起来，从而得到对整个连续介质或者复杂工程结构 的认识。 从上述阐述中可以看到“离散化”、“分片插值”的理论和方法是 有限元法的重要的基础理论和方法之一，并且，在有限元法中包含着 近似，当我们选取的计算模型越逼近实际问题的求解域。有限元法的 计算结果也就越逼近精确解。从网格划分的角度来看，就是随着网格 的加密、节点和单元( 元素) 的增多，用有限元得到的数值解也会越 来越趋近真实解。 2 2 平面问题有限元分析法的基本原理步骤 2 2 1 有限单元法基本思想 有限单元法的基本思想在于“化整为零0 即将连续体( 如土体) 离散为用有限多个大小的“单元”所构成，各单元之间则用有限多个 节点相互联系( 如图2 1 ) ，其计算结果为基本未知量在节点处的一系 列离散值，并从而推求其它待定量。在岩土工程中，可以利用有限元 法求解各种具有复杂的土质条件、加荷历史和边界条件的问题。因此， 有限单元法已成为分析岩土工程问题的灵活、实用、有效的方法【2 i l 。 ( a ) 连续求解域单元组合体 图2 - i 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 2 2 2 有限单元法的实施步骤 有限单元法求解问题的过程，可分为以下4 步： 1 离散化 用有限单元法解决实际问题时，首先用成为网格的分割线将物体 离散成若干个单元，网格越密，代替结构就越接近原物体。节点是网 格线的汇交点，用节点连接相联单元。在进行剖分时，单元的形状、 大小和数目等必须仔细选择，以使解的精度提高。 在基坑分析中，要模型化的土体的范围一般是不能明确的，在垂 直和水平方向可能是无限大和半无限大的土体介质，但在实践中只考 虑有意义的范围内的土体，这样可将实际物体简化成有限元模型。 2 选取近似函数 有限单元法的基本思想是分块逼近。分块就是物体的离散化，逼 近就是在各个单元中选择合适的近似函数去代替求解函数。这样，有 限单元法中的总体区域的解，可以看作由所有单元上的近似解构成。 单元近似函数取决于单元的形状、节点的数目和类型等因素，通常由 节点参数及插值函数( 形状函数) 来表示。 3 单元分析 单元分析的任务是根据采用的单元类型建立单元节点处力学参数 之间的关系，特别注意研究单元节点处内力与变形的关系。若用节点 位移作为基本未知量，用虚功原理可导出节点力与节点位移的关系， 即单元刚度矩阵。 4 整体分析 整体分析的任务是保证结构从离散状态恢复到原状，把各个单元 的分析结果综合起来进行整体分析，从而求出整个物体上各个节点的 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 位移值。具体地说，包括两部分工作：一是形成整体剐度矩阵【嗣和整 体荷载列阵啤】；二是引入位移约束条件并求锵整体方程医弦) = r ， 求出节点位移p 。 2 2 3 平面问题的离散单元体选择 平面问题一般分为平面应变问题和平面应力问题两种，在分析基 坑开挖时将其考虑为平面应变问题。对于平面问题，基本的单元形式 有三角形单元、矩形单元、任意四边形单元和等参元，见图2 - 2 口 ( a ) 三角形单元( b ) 矩形单元 口 ( c ) 任意四边形单元( d ) l a g r a n g e 矩形等参元 图2 - 2 由于用三角形单元或四边形单元不能很好地模拟含有曲线边界的 平面问题，因此大多问题采用等参元。等参单元的基本思想是：用相 同的插值函数定义单元的形状以及单元内的场变量。为了导出等参元 的方程。首先，需要对每一个单元形状引入局部或自然坐标系，因此 插值函数或形状函数必须用自然坐标表示出来；其次，把形状函数的 几何表示看成是一种映像方法，这种方法可以把局部坐标系内的规则 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 形状变化成为整体笛卡尔坐标系中的曲边形状，借助于曲边等参元来 解决具有曲线边界的问题。 2 3b i o t 平面固结方程 2 3 1 基本方程的推导 在土工分析中，静力固结分析是典型的有效应力分析。本论文研 究平面应变问题，以下将给出平面应变的有效应力分析基本方程的推 导过程。b i o t 固结方程的推导基于以下5 条基本假定： 1 土体骨架考虑为线弹性： 2 土体变形微小； 3 渗流符合达西定律； 4 土颗粒和孔压水均不可压缩； 5 应力应变正负号法则与弹性力学相反。 在土体中取一微分体，土体单元受力情况见图2 3 。 o 图2 - 3 士体单元平衡图 1 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 不计土体重力，三维土体平衡微分方程( 静力平衡方程) ： ( 2 1 ) 对二维平面应变问题，有：= 勺= 0 ，吒0 ，= = 0 ，占，= 0 ， 则式( 2 - 1 ) 可以化为： ( 2 2 ) 根据线弹性土体模型假设，土体本构方程为： p = 【d 怡 ( 2 - 3 ) 即； 即榭 其中：【d 】= 南 此处为弹性矩阵； 1 一pp 0 u1 一社0 o o 半 ( 2 4 ) 为应力应变关系矩阵， 晟分别为均质土的弹性模量、泊松比，均可在排水条件下 通过试验测得。 根据有效应力原理，总应力为有效应力与孔隙水压力之和，即： 峨i堕出笠锣 坠砂i纸卜毽帆i峨一钞缸i 却 枷 坠砂坠缸 + + 堕缸生锣 中国石油大学( 华东) 硕七论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 其中：p 为孔隙水压力 将式( 2 - 4 ) 代入式( 2 - 5 ) 有： ( 2 5 ) 铲赢【( 1 一弦，+ 肛，1 + p 盯r y = 百= k ，+ 0 一k ，】+ p ( 2 6 ) 盯 = f 翮肛一+一归，j + p 旺- o e 2 j 而岛 根据小应变假设以及应变以压缩为正的规定( 假定2 和假定5 ) ， 可得二维平面问题的几何方程： 首先，把( 2 7 ) 代入( 2 - 6 ) ，得： 毛2 一面 a ， 0 2 一面 岛= 信+ 罢) e 盯j 。0 + x i - 2 ) e 盯，2 0 + u x 1 - 2 , ) ( 1 一) r 一 r 锄、 r 瓦j 铲赤心+ 剀勺2 互丽【弋万+ 瓦j j 然后将( 2 - 8 ) 代x ( 2 2 ) ，化简后得： 1 9 ( 2 7 ) ( 2 - 8 ) p p + + ，q = = 吒q ，j、，l p p + + 川儿 加一钞加一砂 一 一 q，y 声 翔m 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 j一黼窘一硐e矿02u2a一南茜+ 象= 。j ( 1 + x l 一) 苏22 ( 1 + ) 砂22 ( 1 + x l 一2 ) 舐锣。玉” l 一龋矿0 2 v 一硐e 萨c 3 2 v 一南丽0 2 u + 考= 。 一再南而) 矿一互而) 萨一丽石隔丽+ 万刈 ( 2 - 9 ) 方程( 2 9 ) 就是用位移和孔隙水压力表示的平衡微分方程，其中 材、v 、p 为未知量。 连续条件：r 时间内流出土微元的水量等于该微元体积的变化 量，即： a q = 矿 ( 2 - l o ) q 为血时间内从微元体内流出的水量。 。 妒陋誓寸吼+ ，+ 等寸以卜 在二维空间内： 挣刮，竺 ( 2 1 2 ) l 钆27 ，“ 式中：叮一窖，分别为单位时间内通过与x 、y 垂直的平面的渗流量， 匕、矿，分别为通过与x 、y 垂直的平面的渗流流速 将( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 1 ) 式，得： 妒( 等+ 割蛐& 协 同时，微元体体积的变化量a v ： 如姗州( 警+ 雾) 姗 q - 1 4 将式( 2 1 3 ) 和式( 2 1 4 ) 代入式( 2 1 0 ) ，得： 2 0 中国j 油丈学( 华东) 硕七论文第2 章平面向题有限元分析法的基本思想 警专一昙睁考) 江 缸 劫西i 缸勿j 二维空间的d a r c y 定律为： 仁 ：一旦望 ，。o x k ，印 凡砂 ( 2 1 6 ) 将( 2 1 6 ) 式代入( 2 1 5 ) 式，得到： 殂1 ( k 吲0 2 p + b 寄) = 昙( 罢+ 考) 协 对于各向同性土t = k y ，它们分别是x 、y 方向上土的渗流系数 则式( 2 1 7 ) 改写为： 嘉陪+ 磐0 3 , r o t ( 罢+ 割 一i + - i = 一i + 。- i z 。1 6 ， ，l 盘2 2 jl 缸钞j 将式( 2 9 ) 和式式( 2 1 8 ) 组合，有总控制方程： e ( 1 一) (。1。+。a。x。1。-1。2。a) 萨0 2 u 一- 玎e 砑矿0 2 u 一万翮e 丽0 2 v 拉o x 。缸2 2 ( 1 + ) 砂22 ( 1 + x 1 2 ) 反砂 坐一硐e 丽0 2 v 一硐e丽0 2 u 担o y o y 2 2 。 一一互闻丽一面而j 幼。 将( 2 1 9 ) 式写成矩阵形式： j o y ， p b 7 p l r - 0 1 7 k m 一昙 p 似= o ，p ， ：0 ( 2 - 2 0 ) 1 7 p b p l r k 一詈似 7 。p 厂 = 2 l 捞 、1， 加一砂 + 陋岭 a 身 = 鱼矿 + 丝舻 七一凡 主璧堕塑奎堂! 竺垒! 堡主丝奎 蔓! 皇兰亘塑璺童堡垂坌堑鎏塑茎查星望 f a 缸01 式中：微分算子纠= l0 彰砂l ； l a 国, 8 渤l 位移矢量扩) = 0 ： 2 2 阶单位阵，= bo ； 渗流矩阵艮，= 台 ： = 【1 i o 】。 等参数单元可以模拟曲线边界，适用于处理各种复杂边界的问题， 而且精度较好，因此得到了广泛的应用。在平面问题中，多采用四节 点或八节点等参元。本文在探讨基坑开挖闯题时采用四节点等参元， 其坐标变换式、位移和孔压模式分别采用下列形式： x = m 置( 2 - 2 1 )- y = m 乃 ( 2 2 2 ) = 劳= m 坼 l - 1 ，= 矿= m 啊 i - 1 ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 4 p = 歹= n , p j - i 对于四节点等参元，单元形函数m 如下： ( 2 2 5 ) n = ( 1 + 喜) ( 1 + 刁仉) 4o = l 23 4 ) ( 2 2 6 ) 将( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 写成矩阵式： 怍扩) = 阱。 p = 芦= 防b r 式中：【】= 【1 ，n ：，4 j 】； n - - 【ln 2 4 】； 嫩= 融醴硪、 扫r ：hp ：p 4 r 阱鼢 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 2 3 3 坐标变换 利用式( 2 2 6 ) 的形函数，整体坐标，x 、y 与局部坐标善、，7 之 间的转换关系为： 阱善4m g 刁槲 协2 ， 由复合函数求导法，则 丛f 烈 o 笛n , = ，】 童 瓦j【砂 ( e - 3 0 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 其中：雅克比矩阵； 将( 2 3 0 ) 变形，得： 缸加 8 孝a 善 缸 砂 a , a 叩 f 盟1f 盟 鼢计溪 2 3 4b l o t 固结方程的空间离散 ( 2 3 1 ) 二维b l o t 固结方程是由平衡方程式和连续方程式组成的因此 b i o t 二维固结方程的空间离散又分为平衡方程的空间离散和连续方程 的空间离散，本文采用有限元法对其进行空间离散。平衡方程和连续 方程经空间离散后，其控制方程为： k r p r + k r 扫) = 忸，) ( 2 - 3 2 a ) k 。r 7 p r k r 扫 。= r ，p ( 2 3 2 b ) 式中；k ，= f 陋】r 【d 】陋1 6 砂为单元刚度矩阵，8 x 8 阶； k r = 俨】r 阻i k 咖为单元耦合矩阵，8 x 4 阶； k r = m e r 耻】陋协砂为单元渗流矩阵，4 x 4 阶； 僻y = 胁r 扩扭为单元等效节点载荷列阵，8 x l 阶， f ) 为 c 单元边界分布载荷； 毛足，p ；庐r 凼为单元等效节点流量列阵，4 x i 阶，为流 体沿单元边界的流速； p 。为单元节点位移向量，8 x l 阶； 4 中国石油大学( 华东) 硕+ 论文 第2 章平面问题有限元分析法的基本思想 p p 为单元节点位移一阶导数列向量，8 l 阶； 扫 。为单元节点孔隙压力列向量，4 x1 阶； 嗍= 一【a 】【】； 卧怯并吲。 2 3 5b i o t 固结方程的时间离散 式( 2 3 2 b ) 含节点位移关于时间的一次微分项p ) | ，需对其进一 步在时域上离散，才能得到求解节点位移和孔隙水压力的线性方程组。 设和+ 。为时域上的任两点，时亥t j t 的单元节点位移和孔隙水压力分 别为p k 。和侈) 。，时段f = 乙+ 一内的单元节点位移和孔隙水压力 增量分别为 占 。和如) 。，则时刻f 。的节点位移和孔隙水压力可表示 为： p ：。= p ) ：+ 万 ( 2 - 3 3 a ) 扫 ：。扫z +