（基础数学专业论文）一类hamilton系统的周期解与同宿轨道.pdf

一类h a m i l t o n 系统的周期解与同宿轨道+ 学科专业：基础数学 指导教师：唐春雷教授 研究方向；应用泛函分析 研究生：欧增奇( 2 0 0 0 2 1 0 ) 摘要 对于一阶h a m i l t o n 系统 一j 一a ( t ) z = h z “，z 、 和二阶h a m i l t o n 系统 豇( t ) + v f ( t ，t ( t ) ) = 0 其中位势函数h ，f 满足如下形式的超二次条件：当e z l o o 时，都有 h ( t ，z ) l z l 2 + + o o ，对t 兄一致成立 ( h s l ) ( h s 2 ) ( a ) 竺奎粤早极史极杰星理在系统( h s l ) 和( h s 2 ) 满足条件( a ) 的情况下，得到了它们周期解p 存在的如下主要结果 。 在系统( h s l ) 中，a ( 哆为2 n 2 n 、的连续t 周期函数矩阵，h c 1 ( r r 2 n ，r ) 是 关于t 的t 餍期函数，t ，= ( 暑一；) 2 n 2 n 的标准辛矩阵，关于日做如下假设： ( h 1 ) 当0 时，都有h ( t ，z ) 2 + 0 ，对t r 一致成立。 。( h 2 ) 存在a l ， o ，。2 o 和三 o ，使得当i z f l 时，对任意的 o ，卅， z 皿( t ，z ) 一2 h ( t ，z ) a l i z l 4 ； i 吼( t ，z ) i 冬a 2 防； f l | 3 ) 存在5 0 ，使得当川s j 时，对任意的t 【0 ，邪，都有 ( i ) h ( t ，z ) 0 ，或 ( i i ) h ( t ，z ) 0 关于系统( h s i ) 周期解存在的结果如下： 。，。、赛嫠0 。j ，孽曼绘) t 。璺1 ) 和( h 2 ) 如果。为一j ( d l d t ) + 以( ) ( 具有周期边界 条件) 的特征值，那么也假设日满足( h 3 ) 。则系统旧s 1 ) 至少存在一个非草丸晶、；i i i 鬣“ 捧：薹龛登：；0 塑! 息笔登冀! 警项目( 1 9 8 7 1 0 6 7 ) 。教育部科学技术重点项目，教育部高等学校 优秀青年教师教学科研奖励计划 ” 对于二阶h a m i l t o n 系统( h s 2 ) ，f c 1 ( r xr ”，r ) 是关于t 的t 周期函数其嗣；啁 解存在的结论如下： 定理2 设f 满足下面的条件： ( f 1 ) 当h + o o 时，都有f ( t ，z ) 2 + + o o ，对t r 一致成立； ( f 2 ) 当 0 时。都有f ( t ，z ) 2 0 ，对t r 一致成立； ( f 3 ) 存在1 0 ，b 2 0 和l 0 ，使得当l 时，对一切自! f j 7 都有 。- v f ( t ，z ) 一2 f ( t ，z ) b 1 i 。1 9 ； i v f ( t ，z ) lsk i z l “； 或者 i f ( t ，z ) 1sb 2 1 * l 1 ； ( f 4 ) 存在5 0 ，使得当蚓s6 时，对一切的t r ，都有f ( t i x j2o 则系统( h s 2 ) 至少存在一个非平凡的t 周期解 定理3 如果f 满足条件( f 1 ) 一( f 3 ) 和下面的假设： ( f 4 ) 存在5 0 ，使得当i = is6 时，对一切的t r ，都有f ( t ，。) = 三0 则系统( h s 2 ) 至少存在一个非平凡的t 周期解 二阶h a m i l t o n 系统 i ( t ) 一b ( t ) u ( t ) + v f ( t ，u ( t ) ) = 0( 日s 、1 其中b ( t ) c ( r ，r n 2 ) 是对称的实值函数矩阵，f g 1 且，兄) 在这里，对二，二。， 矩阵8 1 和s 2 ，用s 1 s 2 ( i s dsi s 2 1 ) 表示( 一s 1 ) f o ( i s l 引i s 2 1 ) ，其中f r f j = 1 首先对口做如下假设： ( b 1 ) 对于b ( t ) 的最小特征值6 ( t ) ii n f k 仁lb ( t ) f ，存在o t 0 和f 0 ，使得下面的假设之一成立： ( i ) b c 1 ( r ，r n 2 ) ，并且对任意的i t l f ，都有i b ，( t ) i n i b ( t ) l ，或 ( i i ) b c 2 ( 冗，兄2 ) ，并且对任意的 f ，都有日”( ) o b ( ) 其中b ( ) = ( d d t ) b ( t ) ，b ”( t ) = ( d 2 d t 2 ) b ( t ) 关于系统( h s 3 ) 同宿轨道存在的主要结果如 定理4 若b 满足( b 1 ) 和( b 2 ) ，并且f 满足下面的条件： ( f 5 ) 对任意的( t ，z ) r r 。，都有f ( t ，z ) o ； ( f 6 ) 当h o 。时，都有f ( t ，。) 2 + ，对t r 一致成立； ( f 7 ) 当h 0 时，都有i v f ( t ，z ) l h 0 ，对t r 一致成立； ( f 8 ) 存在常数a o 1 ，a o 卢，m a x ( ；，占) 0 1 ，使得当t 兄，z 兄 0 1 时，有 。v f ( t ，z ) 一2 f ( t ，z ) 0 2 当t r ，l 时，有 z v f ( t ，z ) 一2 f ( t ，z ) d o l x ) 4 ； i v f ( t ，o ) fsd l 抽； 而当t r ，l 时，有 j v f ( t ，$ ) jsd 2j 口j “ 则系统( h s 3 ) 至少存在一条非平凡的同宿轨道i ，眵一7 关键词：h a m i l t 。n 系统；超二次；环绕定理；周期解；同宿轨道；韪塑墅致一一 3 p e r i o d i ca n dh o m o c l i n i cs o l u t i o n s ，o f a c l a s so fh a m i l t o n i a ns y s t e m s 1 m a j o r ： b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：a p p l i e d f u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f t a n g c h u n l e i a u t h o r ：o u z e n g - q i ( 2 0 0 0 2 1 0 ) a b s t r a c t f o rt h ef i r s to r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s t ，2 一a ( t ) z = h 。( t ，z ) a n dt h es e c o n do r d e rh u m i i t o n i a ns y s t e m s 程( ) + v f ( t ，u ( t ) ) = 0 w h e r e 日fs a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n h ( t ，z ) i z l 2 + 。o ，a s 斗o ou n i f o r m l yi nt ( h s l f h s 2 ( a ) w i t ht h ea i d so fm i n i m a xt h e o r e m s ，e x i s t e n c er e s u l t sf o rp e r i o d i cs o l u t i o n so fl - l a m i l t o n i a ns y s t e m s ( h s l ) a n d ( h s 2 ) a r eo b t a i n e dw h e nt h e ys a t i s f y ( a ) f o r ( h s l ) ，a ( t ) i sag i v e nc o n t i n u o u st p e r i o d i ca n d ( f o ，r jxr 2 n , r ) i st - p e r i o d i ci nt , j = f “0 山0 m a t r i x s u p p o s et h a th s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( h 1 ) h ( t ，z ) | 2 1 2 0 ，a s 例- - - 4 0u n i f o r m l yi nt ， ( h 2 ) t h e r e e x i s tc o n s t a n t sa 1 ，p a ，a t 0 ，a 2 0a n dl 0s u c ht h a t i 以( t ，z ) l a 1 1 z l ，v i z i l ，v t 【0 ，t 】， z 也( t ，z ) 一2 h ( t ，z ) u 2 1 2 ：1 4 ，v i z f l ，v t 【0 ，丁】， ( h 3 ) t h e r ee x i s t sd 0 s u c ht h a t ( i ) h ( t ，。) 芝0 ，v s6 ，v t 【0 ，t i ， o r ( i i ) h ( t ，z ) 0 ，v d ，v t 【0 ，t i t h e o r e m 1 s u p p o s et h a th c 1 ( f o ，t 】r 2 ，r ) s a t i s f i e s ( a ) ，( h 1 ) a n d ( h 2 ) i f0 i sa ne i g e u v a l u eo f 一，( d d t ) + a ( t ) ( w i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n s ) a s s u m ea l s o ( h 3 ) 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ，b ym a j o rp r o j e c to fs c i e n c ea n dt e c l ! 一 n o l o g yo fm o e p r ca n db yt h et e a c h i n ga n d r e s e a r c ha w a r dp r o g r a mf o ro u t s t a n d i u g y o u t l g f e a c h e r s i nh i g h e re d u c a t i o ni n s t i t u t i o n so fm o e p rc 4 k h r c - 蔓加 州 町 x “m 2 盯 心 乱 竹 e 眦 _ 暑 m k 科j t h e n ( h s l ) h a s a tl e a s to n en o n t r i v i a lt - p e r i o d i cs o l u t i o n f o r ( 日s 2 ) ，w eh a v es i m i l a rr e s u l t s ，s u p p o s et h a tf c 1 ( r xr 。，r ) i st p t 、r i o d i t ，t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m2 s u p p o s et h a tfs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( f 1 ) f ( t ，2 ：) i x l 2 _ + o o ，a s 叫o 。u n i f o r m l y i n t ， ( f 2 ) f ( t ，2 ：) n 2 0 ，a s 川一0 u n i f o r m l yi nt ， ( f 3 ) t h e r ee x i s tc o n s t a n t s1 0 ，b 2 0a n dl 0 s u c ht h a t z v f ( t ，z ) 一2 f ( t ，z ) 6 i i zj 4 ，v i z i l ，v t 0 ，7 1 ， i v f ( t ，z ) l b 2 1 2 ：1 1 ，v 1 。i l ，v t 【0 ，丁 ， o r i f ( t ，z ) i b 2 l x l l + 1 ，v1 2 l l ，v t 0 ，丁j ， ( f 4 ) t h e r ee x i s t s5 0 s u c ht h a t f ( t ，$ ) 0 ，v l z i 6 ，v t 【0 ，t i t h e n ( h s 2 ) h a s a tl e a s to n en o n t r i v i a lt - p e r i o d i cs o l u t i o n t h e o r e m3 s u p p o s et h a tf s a t i s f i e s ( f 1 ) 一( f 3 ) a n dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o ( f 4 ) t h e r ee x i s t s5 0 s u c ht h a t f ( t ，z ) s0 ，v l x l 5 ，v t 【0 ，t i t h e n ( h s 2 ) h a s a tl e a s to n en o n t r i v i a lt p e r i o d i cs o l u t i o n f o rt h es e c o n do r d e rh a m i l t o n i a n s y s t e m s a ( t ) 一b ( t ) u ( t ) + v f ( t ，”( ) ) = 0( 5 1 w h e r eb ( t ) c 1 ( r ，r 2 ) i sa s y m m e t r i cm a t r i xv a l u e df u n c t i o n ，f c l f r r 月1 i n ，。 f o l l o w i n g ，f o rt w on ns y m m e t r i cm a t r i c e s 昌a n d 岛，b ys s 岛( f 5 lfsf 岛w em e a n t h a tf ( 岛一s 1 ) o ( | s 1 i 兰i 咒f i ) f o ra l l r a n d1 l = 1 s u p p o s et h a t 。bs az i s f i e st ! l e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( b 1 ) f o rt h es m a l l e s te i g e n v a l u eo f 口( t ) ，i e b ( t ) 三i n f l f i ：1 口( ) f ，t h e r ee x ；s t sn 0 a n df 0 ，o n e o f f o l l o w i n gi st r u e ： ( i ) b c 1 ( r ，r v 2 ) a n dl b ( t ) i a l b ( t ) l ，vi t i f ，o r ( i i ) b g 2 ( r ，r 2 ) a n db ”( f ) a b ( t ) ，v i t i f w h e r eb ”) = ( d d t ) b ( t ) ，b ”( t ) = ( d 2 d t 2 ) b ( t ) t h em a i n r e s u l ti st h ef o l i o w i n g ： t h e o r e m 4 s u p p o s et h a tb s a t i s f i e s ( b 1 ) a n d ( b 2 ) ，fs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o l l 【 i t i o n s ： 。 ( f 5 ) f ( t ，z ) 0 ，v ( t ，z ) rxr ， ( f 6 ) f ( t ，z ) i 。j 2 + ， a sj z j o ou n i f o r m l yi nt ， 5 ( f 7 ) i v f ( t ，x ) l i x i - - - - 40 ，a sl z ( f 8 ) t h e r ee x i s tc o n s t a n t sa o 1 0 ，d 2 0s u c ht h a t _ 0u n i f o r m l yi nt a 0 卢，m a ) ( ( ；，i 与) $ v f ( t ，z ) 一2 f ( t ，茁) 0 ，v t r ，z r 0 z v f ( t ，z ) 一2 f ( t ，z ) d o i x l 4 ，v t r ，v l z i l j v f ( t ，z ) i d 】j 。i h ，v t r ，vj zj l ， a n d i v f ( t ，。) i d 2 l x l h ，v t r ，v l z i l t h e n ( h s 3 ) h a s a tl e a s to n en o n t r i v i a lh o m o c l i n i cs o l u t i o n k e yw o r d s ：h a m i l t o n i a n s y s t e m s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；s u p e r q u a d r a t i c ；l i n k i n gt h e ( 、一 r e i n ；h o m o e l i n i cs o l u t i o n ；l o c a ll i n k i n g 6 一、引言和预备知识 5 1 1 引言 变分原理是自然界中的一条普遍原理，它将自然界中的大量问题( 称为变分问题) 归结为 某个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题，其中极值问题和条件极值问题是变分厥 理中最简单而又最基本的问题，而临界点问题是极值问题的进一步发展，它主要研究泛函 的l 临界点的存在性与多解性以及临界点附近的拓扑性质，主要内容有极小极大原理、m o r s 一 理论、l j u s t e r n i k s c h n i r e l m a n n 理论以及指标理论近年来变分原理在数学、经济管理、优 化与控制理论、经典力学和场论等各个不同的领域都得到了广泛的应用，并取得一i 许多有 重大意义的成果利用变分原理研究问题已成为现代科学技术领域中的必不可少h l 数学i i 法之一 天体力学中质点的运动规律通常可以归结为一个非线性微分方程组，称为h a m i l t o n 奇 密顿) 系统，它是用来描述天体运动的轨道的h a m i l t o n 系统是既经典而叉现代化的研究领 域，可以从不同的角度进行研究，是非线性分析的一个重要分支而寻找一般的h a m i l t o n 系 统所具有的各种不变量，用以研究该系统的解，已成为人们关心的问题之一h a ：t f i l t o n 系 统的解可分为：周期解( 对应于天体运动中最简单的运动方式一周期运动) ，次调和解，同 宿轨道，异宿轨道等由于h a m i l t o n 系统具有变分结构，因此变分原理成为研究h a m i l t o n 系统解的一个重要原理，并且随着近2 0 年来临界点理论的飞速发展，数学工作者利用临界 点理论在研究h a m i l t o n 系统解的过程中取得了引人入胜的成果 本文主要使用临界点理论中的极小极大原理来研究一类h a m i l t o n 系统的周期解与同宿 轨道的存在性 对于阶h a m i l t o n 系统 和二阶h a m i l t o n 系统 1 2 文献综述 一j j a ( t ) z = t ( t ，z ) 也( ) + v f ( t ，u ( ) ) = 0 f h s l l ( h s 2 1 在系统( h s i ) 中，a ( ) 为2 n 2 的连续? 周期函数矩阵，h g 1 ( r r 2 n ，r ) 足关于 的t 周期函数，j = ( 工，一) 为2 n 2 n 的标准辛矩阵在二阶h a m i l t o n 系统( h s 2 ) ” 中，f c 1 ( r r v ，r ) 是关于t 的t 周期函数 1 9 7 8 年，r a b i n o w t i z 在其使用变分法研究h a m i l t o n 系统周期解的开拓性论文中，没 有假设日的凸性，而得到了当a ( t ) 0 且自治时超二次h a m i l t o n 系统( h s l ) 周期解存在的 定理( 文【1 】) 在这里，超二次条件是以如下形式出现：存在p 0 和r 0 ，使得当圳 ， 时，对任意的t r ，都有 0 0 ，使得当i z sd ( 6 ) 时，对任意的t r ，都有 何( z ，z ) s0 ( f ( ，z ) s0 ) 或者 h ( t ，。) 0 ( f ( t ，。) o ) 做这一工作的还有y m l o n g ( 文【4 】) ，s j l i 和a n d r z e js z u l k i n ( 文【2 】) 本文受局部环绕 这一思想的影响，在假设( a ) 成立的情况下，也把文【1 5 】中日( f ) 的整体非负性( g ) 减弱 为了局部保号性，从而得到系统( h s l ) ，( h s 2 ) 周期解存在的结果( 定理1 ，定理2 ，定理3 ) 二阶h a m i l t o n 系统 也( t ) 一b ( t ) u ( t ) + v f ( t ，“( t ) ) = 0( h s 3 ) 其中b ( ) c ( a ，r 2 ) 是对称的实值函数矩阵，f c 1 ( r r ，r ) ，在位势函数f 满足类 似于( a ) 的超二次条件下，研究系统( h s 3 ) 同宿轨道的存在性 对于非线性动力系统同宿轨道的研究始于p o i n c a r 时代，主要是采用扰动方法直到 最近十几年；变分原理才被广泛地应用于研究各种非线性微分方程的同宿轨道，其中对超 二次h a m i l t o n 系统( h s 3 ) 同宿轨道的研究是一个热点虽然当h a m i l t o n 系统( h s 3 ) 的位 势函数在坐标原点和无穷远点都满足类似于) 的超二次条件时，即：存在p 2 ，使得对 任意的t r ，茹r n o ) 时，都有 0 0 ，使得 ( b )，( u ) 0 ， 进一步考虑空间x 1 和x 2 的两个子空间列 x 3cx ic - cx 1 其中 v u x i ，l | “0s r v u x 2 ，i i “0 r x 3c x c ，c x 2 x = ux j = 1 ，2 n n 对于多重指标a = ( o l ，a 2 ) n 2 ，令x n = x ：，o x ：。，众所周知 n s 甘o l 历，0 2 疡 定义3 【3 】序列( q 。) 是容许的是指；对每个o n 2 ，存在m n 满足 n m 爿o n o 定义4 1 3 l 泛函，c ( x ，r ) 满足( p s ) + 条件是指：对任意的子列( u 。) x 。满足f ) 是容许的并有 u n 。，s u p f ( u 。) 0 ，“o 和u 1 x 并满足j i “o t l0 p ，使得 m a x f ( u o ) ，( “1 ) = n 1 0 8 ，( 。)( 1 31 ) 其中o b p ( 札o ) = ( u x ：i i “一“0 0 = p ，那么存在点西u o ，u l 并满足，( 西) = 0 ，( 百) ：o 注1 引理3 是经典山路引理的推广。把( 1 3 1 ) 中的= 改为， 1 ， 0 ，0 2 0 和l 0 ，使得当l 时，对任意的t f o ，t 1 ， 都有 z 也( ，z ) 一2 h ( t ，z ) 0 1 p ： 】0 1 h z ( t ，z ) i a 2 i z l l ； ( h 3 ) 存在6 0 ，使得当i z l 6 时，对任意的t 【o ，卅，都有 ( i ) h ( t ，z ) 0 ，或( i i ) h ( t ，z ) 0 关于系统( h s i ) 周期解存在的主要结论如下： 定理1 若日满足( a ) ，( h 1 ) 和( h 2 ) 如果0 为一j c d d t ) + a ( t ) ( 具有周期边界条件) 的特征值，那么也假设h 满足( h 3 ) ，则系统( h s l ) 至少存在一个非平凡的t 周期解 注1 当a ( t ) ；0 时，定理1 推广了文【1 5 】中定理1 1 的结果：另一方面把a 的取值范 围从 ( 1 ，2 一去) 扩大到 ( 1 ，j b ) ；一方面减弱定理1 1 的整体非负性条件，并且存在函 数满足本文的定理1 ，但不满足文【1 5 】中的定理： 日( ，z ) = i z l 2 ( 1 n ( 妻4 一例2 + 1 ) ) 3 显然，( a ) 和( h 1 ) 是满足的注意到 ”砌，小2 啪) = 3 2 ( 1 峥卜吲2 + 1 ) ) 2 群鞯 3 ( i n 2 ) 2 2 ，v 2 ，v t r 皿( f ，列【2 i z m n ( 扣4 卟1 2 + 1 ) ) 3 坤( 扣制) ) 2 鞣小f 】 4 l z l ；，v l 刮l ，v t r 其中l 充分大，这表明( h 2 ) 成立；进一步地 ；! 扣咄1 2 + 1 组v h 譬 从而 h ( t ，z ) o ，v 娑，v t 见 这表明定理1 的( h 3 ) ( i i ) 是成立的，但这并不满足文【1 5 】中定理1 1 的条件( h 1 ) ，即条件 ( e ) 。 注3 本文的结果不是文 2 ，3 ，4 】的特殊情况，经过简单的计算可以发现上面的函数h ( t 。1 是不满足超二次条件( b ) 的 下面我们利用引理1 来证明本定理 设s 2 = r ( t z ) ，e = w 扣( 舻，r t m ) 是由函数“( ) l 2 ( s 7 1 ，r 2 ，v ) 构成的s o b 0 1 e v 空 间，则e 为具有如下范数和内积的h i l b e r t 空间，设“( ) ， ( ) e ，那么 ( t 正，v ) e = t a o b o + t 女o l 后i n 玩， j ；中 让z ，f ，定义 u l l e = ( t l a 0 1 2 + t e k o i 盎l i 1 2 ) 1 2 + o 。 t ( t ) = k z e x p 。丁2 k r t ) 。 ，。e g ”，n 一 = 砜 ”( t ) = e z e x p 。2 1 k u _ t ) k ， 以g 2 ，6 一 = 瓦 ( a z ，) 二，r ( 一i ，圣) d j 0 ( 口。，”) = ，。r a o ) z d f j 0 则a ，b l ( f ) 为有界自伴算予，由f 4 】和谱论的有关知识可知；b 为e 上的紧算子设 s 入一2s 入1 o ( = 入o ) 0 ，使得对 任意的“e ，都有 i j u l l 扩口，l i u 定义泛函，：edr ，( u ) = ；z 丁( - j 6 - a ( ”“) “出z r ( c ，“) d c = ；( 1 l u + 1 1 2 一l l u j 1 2 ) 一j ( r 日。，“) d t ( 2 1 2 ) 由定理1 的条件知： ，g 1 ( f ，兄) 并且，把有界集映到有界集( 文n 4 j ) 寻找系统( s i ) 的周期解等价于寻找泛函，在曰上临界点，进一步地对于“，”e ，有 ( 川，”) = 厅- j 心- a u ) ，础一o t 聊，u ) 碱 = ( u h 一一z r 础川刊t 1 2 由于泛函，是满足引理1 中的( 3 ) ，因此下面只需证明泛函，满足引理1 的( 1 ) ( 2 ) 。( 4 ) 定理1 的证明：( 1 ) 验证泛函，在零点处满足局部环绕条件 若( 2 i 1 ) 只有平凡解，我们令x = e ，x 1 = e + ，x 2 = e 一，此时e o = o ) 丑 x ：x 1 。x 2 由( h 2 ) 可知：存在0 3 0 和0 4 0 。使得对任意的( t ，z ) i o ，即r 2 ”，都 有 i h ( t ，z ) l 冬0 3 i z l 、+ 1 + a 4 ， 由( h 1 ) 可知：对任意的t 0 ，存在6 l 0 ，使得当i z l 6 1 时，对任意的t o ，”，都肓 i h ( t ，g ) i e 2 ， ( 2 l 3 ) 因此，存在m = m ( e ) 0 使得对任意的( ，z ) 【o ，卅r 2 ，都有 i h ( t ，z ) l e 2 + m l z l l “， 由( 21 2 ) ，我们有 _ r h ( t , u ) d t l 墨c o ( e 2 + m i i u 胪1 ) ， ( 2 1 j ) j 0 这里岛为正常数 现在设“x 1 = e + ，由( 2 ，1 5 ) ，我们有 1月 ，( u ) = 割u l l 2 一日( t ，u ) d t j u ；i l t 1 1 2 一c o ( e l m l 2 + m i i 1 1 1 + 1 ) 因此令e ：1 ( 4 c o ) 0 ，注意到a + 1 2 ，那么我们能够找到某个r 0 ，使得当 “x 1 i r 时，都有 ，( “) 0 对于u x 2 ，由( 2 1 _ 5 ) ，我们有 弛) = 一1 m 1 2 一：1 即川出 一；i i u | | 2 + ( 而( e l i t 1 1 2 + m i m l l + 1 ) 设t = l ( 4 岛) 0 ，注意到a + i 2 ，那么选择某个r 0 使之充分小，使得当“x 2 ，l r 时，都有 ，( ) 0 如果( 2 1 1 ) 有非平凡的周期解，则d i m e o 0 若对所有的l z lsd t r ，都有 h ( t ，z ) 0 ，则令x = e ，x 1 = e + ，x 2 = e ooe ；若对所有的hs6 ，t r ，都育 h ( t ，z ) s0 ，则设x = e ，x 1 = g oo e + ，x 2 = e 一现在我们仅考虑h ( t ，z ) o 的情况， 另一种情况可类似证明设( e 。) 。，1 ，【e 。) 。 0 ，注意到a + 1 2 ，那么我们能够找到某个r 0 ，使得当 t ，ex 1 ，i r 时，都有 ，( u ) 0 因为d i m e o d 2 征f j l 上，由( 2 1 6 ) 我们有 m t ) l 茎i u o ( t ) i + i t 上一( t ) is0 u o ( t ) l l l + 6 2s 6 ：目此，由( h 3 ) ( i ) ，则有 n ( t ，u ) d t 0 j l | 】 饪5 2 2 巳，又由( 2 1 6 ) 我们有 f “( ) l “o ( ) f + 阻一( 力f 2 阻一( t ) f 1 雯据( 2 1 4 ) ，可得 i h ( t ，“) is e i “1 2 + 彳f “f + 1 4 e f t f 2 + 2 + 1 m i “一f + 】 邪么存在某个常数q 0 ，使得 i 厶：日( t , u ) a t l 4 。孙一0 2 + c 2 l l u 一一 碍此 m ) = 一；1 1 u - 1 1 2 一o t 矾u ) 出 s 一妒0 2 + 4 a ；川u 刈2 + 驯u 刈一厶。即，u ) 执 1 4 彬e = i 0 6 ，由于a + l 2 ，那么能选取某个r 0 使之满足当“x 2 ，肛r 时，都 屯 ，( “) 冬0 ( 2 ) 验证泛函，满足( f s ) + 条件设( a 。) 是容许的，序列( u 。) cx 满足 “。x a 。，c = s u p ，( u n 。) 0 ，使得对任意的 。r ”，t r ，都有 z 丑：( ，z ) 一2 h ( t ，z ) 2a 2 l zj 口一a 5 ， ) i ；么 2 ，( u n n ) 一( 以。( u a n ) ，u a n ) 。上( 也( t 池。) 一2 h ( t ，u 。) ) 出 ，r 2 n 。 一s t 罐铲川 仁 ， 0 u 口。0 p l 。f j 儿f h 2 ) 可知：存在a 6 0 ，使得对任意的( # ，。) t o ，卅r 2 n ，都有 i g , ( t ，z ) j 0 2 1 + 0 6 ， ( 21 8 ) x 寸- t - u a 。= u ：。+ 1 l ：。+ 1 l ：。e + s e s e o ，由( 2 1 2 ) ，( 2 1 8 ) 和h s l d e r 不等式，有 ( 尼。( “n n ) ，u 之) = i i u 玉1 1 2 一上u 矗h z ( t ，u a 。) 出 2 i i 1 1 2 一z 2i 也( t ，“。) i i u 陋 2 i i u 矗酽一s o ( n z i “。1 1 i u 乏i 十n e i u 基i ) 出 ：，l | | 2 一n 。( f ( k 蜘02 ( f i u 之1 6 a t ) 学一吲i 。划 0 u 玉1 1 2 一0 7 n 。0 b l i u 基0 一n 8 l i u 美i i 堇旦o ? ，a 8 0 注意到1 0 ，使得对任意的( t ，z ) o ，t l r ”，有 2 h 。( t ，z ) 一2 h ( t ，z ) a g z i 一0 1 0 表明 2 f ( u n 。) 一( 正。( u a n ) 舳n ) 2 o ( “吼( 。，“。n ) 一2 日( 。，“n n ) ) 8 。 办小一刊出 门。9 憾0 l - 。i , l i n 9 i u 孟i - 咖 d f n 1 1 i l t ：。0 一d 1 2 ( i i t 之| | + i i “i | | + 1 ) ，：( 2 ：9 ) 和( 2 1 1 0 ) ，当n o o 时，有 一( 2 1 1 1 )l l u 。0 袋后由( 2 i 9 ) ，( 2 1 i 0 ) 和( 2 i 1 1 ) 。当n - - - + o o 时，我们有 ，= 黜s 型畔芈趔一i i “o 。| | 一0 u o 。i f 与假设矛盾，因此( u 。) 必为有界列类似于文【3 】的证明可得：( u 。) 存在收敛子列 ( 4 ) 验证对每个m n ，当i o o ，u 砧o x 2 时。都有 ，( u ) 一一o 。 o ：x 量ox 2 中，x 1 = e + 并且e o 和砩。都是有限维空间，那么存在a 1 3 0 ，a 1 4 0 满足 ，+ | | a 1 3 1 1 u + i i l 。和0 u o | | 1 4 i i t o i i l ：由( a ) 可知，存在1 8 i 3 0 和m i 0 ，使得对任 ? 的( t 、z ) 0 ，t 】r 2 ，都有 h ( t ，z ) 1 口 3 2 一m 1 _ 于| 2 = l l u + i | 2 + 0 “一1 1 2 + 1 1 1 , o l l 2 ，则对于t 斟，o x 2 ，有 1p t f ( u ) = 枷t + 1 1 2 一i i u n 一日( t ，u ) d t j u 1 s ；( 0 t + 0 2 0 u 1 1 2 ) 一1 n i 3 i i “0 2 ，+ m 1 t s ；( 1 l u + 1 1 2 0 u 1 1 2 ) 一1 砖3 ( 1 1 u + i | 羔：+ l l t 0 f 1 2 ：) + m 1 t 一寺i i u + 1 1 2 一；i i u 1 1 2 一口 4 n ；3 0 u 0 0 2 + m 1 t 一a 1 5 i i u i l 2 + m 1 t 中a 1 5 = m i n ( ；，n t 肛i 。) ，则很容易得到当l + o o 时，有 ，( u ) 一o o 1 6 2 2 二阶h a m i l t o n 系统 本节考虑二阶h a m i l t o n 系统 也( t ) + v f ( t ，“( t ) ) = 0( h s 2 ) ! ；中f c 1 ( o ，t r ，r ) 是关于t 的t 周期函数，二阶h a m i l t o n 系统( h s 2 ) 周期解存在 0 主要结论如下： 定理2 如果f 满足下面的条件： ( f 1 ) 当蚓+ 0 0 时，都有f ( t ，z ) 2 + o o ，对t r 一致成立； ( f 2 ) 当川- - - - - + 0 时，都有f ( t ，z ) 1 5 1 2 0 ，对t r 一致成立； ( f 3 ) 存在l 0 ，b 2 0 和l 0 ，使得当l 时，对一切的t r ， 邪有 v f ( t ，5 ) z 一2 f ( t ，5 ) b l 4 ； i v f ( t ，。) i b 2 1 5 1 3 ；( 2 2 1 ) j ：者 j f ( t ，$ ) i b 2 1 5 1 a + i ；f 2 22 ) ( f 4 ) 存在d 0 ，使得当h d 时，对一切的t r ，都有 f ( t ，z ) 0 贝：躁统( h s 2 ) 至少存在一个非平凡的? 周期解 注4 条件( 2 2 1 ) 是条件( 2 2 2 ) 的特殊情况存在函数是满足定理2 的，而不满足文 5 】的定理1 2 的，例如 即= ( 1 + s i n 2 、2 t ”t 川玳il n ( 扣1 4 一i z i 。+ 扣1 2 + 1 ) ) 3 若把( f 4 ) 中的局部非负性条件变为局部小于等于零，则有下面的结果成立： 定理3 如果f 满足条件( f 1 )