（通信与信息系统专业论文）期望最大化算法在医学断层成像技术中的应用研究.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 医学断层图像重建技术是一种无创成像技术，它可以清晰的显示出人体的解 剖形态，而且能够反映人体内生理和生化病理的变化过程，已经成为医学影像诊 断领域的重要工具之一。 医学断层图像重建( 例如x c t 和e c t 成像) ，是指由多个观测角度获得的 有关目标的一系列投影数据来重建目标断层图像。无论是透射型的x c t 还是发射 型的e c t ，其断层图像重建算法的数学原理是相同的，可以在相同的数学模型下 进行研究分析。传统的医学断层图像重建算法包括解析法和迭代法。迭代法虽然 重建速度较慢，但是在不完全投影数据情形下，它能够避免解析法重建图像质量 差的缺点，成为研究的热点。 系统矩阵的获取是制约迭代图像重建算法付诸实际应用的重要因素之一。本 文对于二维扇束和三维锥束扫描情形下的图像重建，实现了一种快速、实时计算 系统矩阵的方法，该方法基于投影射线与体素或像素的快速求交和遍历算法，可 以提高断层图像重建的速度。 实际成像过程中光子的辐射满足泊松随机过程。根据这一统计特性推导出的 期望最大化( e m ) 算法，以参数估计理论为基础，重建图像的像素值收敛于非负 值，在一定的迭代次数内有较强的抑制噪声的能力，可以提高重建图像质量。本 文阐述了医学断层图像重建e m 算法的公式推导、重建步骤，并对e m 算法、f b p 算法和a r t 算法的仿真重建图像进行了比较和分析；同时对e m 算法中的m l e m 算法和o s e m 算法的仿真重建图像也进行了比较分析。 对于欠采样不完全投影数据下的医学断层图像重建，虽然e m 算法能够获得 比f b p 算法更好的图像质量，但是仍不能满足要求。本文结合图像全变差( t v ) 最小化优化准则和e m 算法进行迭代图像重建( e m t v 算法) 。仿真实验结果表明， 与仅应用e m 算法的迭代图像重建结果相比，本文e m t v 算法可以获得更高质量 的重建图像。 关键词：医学断层成像；期望最大化算法；系统矩阵；全变差 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t m e d i c a lt o m o g r a p h i ci m a g i n gi sak i n do fn o n - d e s t r u c t i v et e c h n o l o g y , w h i c hc a l l s h o wt h ea n a t o m i c a l m o r p h o l o g yo ft h eh u m a nb o d yc l e a r l ya n d r e f l e c tt h e p h y s i o l o g i c a la n db i o c h e m i c a lp r o c e s so fp a t h o l o g i c a lc h a n g e s s oi th a sb e e no n eo f t h em o s ti m p o r t a n tt o o l si nm e d i c a ld i a g n o s t i ci m a g i n gf i e l d t h em e d i c a lt o m o g r a p h i ci m a g i n gt e c h n o l o g y , s u c ha sx c ta n de - c t ，m a k e su s e o fas e r i e so fp r o j e c t i o nd a t ao ft a r g e tf r o md i f f e r e n to b s e r v a t i o na n g l e st or e c o n s t r u c t t o m o g r a p h i ci m a g e s t h er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m si nx c ta n de - c th a v et h es a m e m a t h e m a t i c a lp r i n c i p l e ，a n dc a nb ei n v e s t i g a t e dt r a d e rt h ei d e n t i c a lm a t h e m a t i c a lm o d e l t h et r a d i t i o n a lr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m so fm e d i c a lt o m o g r a p h i ci m a g i n gi n c l u d e a n a l y t i c a l m e t h o d sa n di t e r a t i v em e t h o d s t h ei t e r a t i v em e t h o dh a sas l o w r e c o n s t r u c t i o ns p e e d ，b u ti tc a na v o i ds o m ed e f e c t so fa n a l y t i c a lm e t h o d s ，s p e c i a l l yi n t h ec a s eo fs p a r s ep r o j e c t i o na n g l e s ，a n di th a sb e e no n er e s e a r c hh o t s p o t s y s t e mm a t r i xi st h ek e yf a c t o rw h i c hr e s t r i c t st h es p e e do fi t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o n m e t h o d s i nt h ec a s eo f2 df a n - b e a ma n d3 dc o n e - b e a m s c a n n i n g ，af a s ta n dr e a l - t i m e m e t h o do fc o m p u t i n gs y s t e mm a t r i xw a si m p l e m e n t e di no u rw o r k b a s e do naf a s t i n t e r s e c t i o na n dt r a v e r s ea l g o r i t h mo fr a y sa n dv o x e l so rp i x e l s ，i tc a l l i m p r o v et h e s p e e do fi t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o n t h er a d i a t i o no fp h o t o n si nt h ea c t u a li m a g i n gp r o c e s sm e e t st h ep o i s s o nr a n d o m p r o c e s s a c c o r d i n gt ot h i s s t a t i s t i c a lp r o p e r t y , e ma l g o r i t h mi sa p p l i e dt or e c o n s t r u c t t o m o g r a p h i ci m a g e s i ti sb a s e do nt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o nt h e o r y , a n dh a sas t r o n g a b i l i t yt os u p p r e s sn o i s ei nc e r t a i ni t e r a t i o nn u m b e r s t h ei m a g e sr e c o n s t r u c t e db ye m a l g o r i t h mw i l lb eb e t t e r , i t sv a l u eo fp i x e l sc o n v e r g ei nan o n - n e g a t i v en u m b e r i nt h e t h e s i s ，f o r m u l ad e r i v a t i o na n di m a g er e c o n s t r u c t i o ns t e p so fe ma l g o r i t h mi nm e d i c a l t o m o g r a p h i ci m a g i n gi sg i v e n ，a n dt h ei m a g e sr e c o n s t r u c t e db ye m 、f b po ra r t a l g o r i t h m sa r ec o m p a r e da n da n a l y z e d a tt h es a m et i m e ，r e c o n s t r u c t e di m a g e so f m l e ma n do s e m a l g o r i t h m sa r ea l s oc o m p a r e d 2 山东大学硕士学位论文 i nt h ec a s eo fs p a r s e p r o j e c t i o na n g l e s ，e ma l g o r i t h mw i l lh a v e ab e t t e r r e c o n s t r u c t i o nq u a l i t yc o m p a r e d 诵mf b pa l g o r i t h m ，b u ti ts t i l lc a l ln o tm e e tt h e r e q u i r e m e n t s i t e r a t i v ei m a g er e c o n s t r u c t i o nu s i n gt h ec o m b i n a t i o no ft vo p t i m i z a t i o n a n de ma l g o r i t h mw a si m p l e m e n t e di nt h et h e s i s ( e m t va l g o r i t h m ) c o m p a r e dw i t h i m a g e sr e c o n s t r u c t e do n l yb ye ma l g o r i t h m t h ei m a g er e c o n s t r u c t e db ye m t v a l g o r i t h mw i l lb eb e t t e r k e y w o r d s ：m e d i c a lt o m o g r a p h i ci m a g i n g ，e ma l g o r i t h m ，s y s t e mm a t r i x ，t o t a l v 撕a t i o n 3 山东大学硕士学位论文 4 符号说明 x c t ：x 射线计算机断层扫描 e c t ：发射型计算机断层成像技术 p e t ：正电子发射断层成像技术 s p e c t ：单光子发射计算机断层成像技术 r a d o n ：雷登变换 f b p ：滤波反投影算法 a r t ：代数重建技术 e m ：期望最大化算法 m l e m ：最大似然估计期望最大化算法 o s e m ：有序子集期望最大化算法 t v ：全变差 s d ：最速下降法 山东大学硕士学位论文 1 1 课题的来源及背景 第一章绪论 本课题来源于山东省a 然科学基金项g ( z r 2 0 l o f m o l2 ) 显著降低x 射线辐 射剂量的新型m d c t 图像重建算法研究。 医学图像具有直观、形象和信息量丰富等特点，在临床诊断中占有重要的地 位。近年来，随着计算机及其相关技术的迅速发展以及数字图像成像与处理技术 的日益成熟，计算机技术与医学影像科学相互渗透，使得医学断层成像技术已经 成为当今医疗疾病的诊断和治疗的关键辅助手段【l j 。在医学断层成像技术的临床应 用中，我们可以采用非侵入式的方法来获取人体或动物体的内部结构信息，通过 对相关信息的了解和显示，医生在临床诊断中获得能够参考的重要的依据，提高 了医疗质量和安全。近几十年来，医学成像技术为现代医学的诊断、治疗、手术 等各个方面提供了最重要、最有力的工具，已成为医疗技术中发展最快、提高最 大的领域之一f 2 】。 显微镜的发明使得人们可以以图像的形式观察到以往肉眼所不能看到的微观 世界，提高了人类认识微观世界的能力，医生可以通过病人的病理切片观察到病 变的细胞组织，这是医学图像的最原始形式，但是，这种简单的观察方式远远不 能满足现代医学中各种疾病诊断和治疗的需要。1 8 9 5 年，德国科学家伦琴发现了x 射线，这使得医学成像领域发生了里程碑式的重大飞跃。x 射线在医学上的应用使 得人们能观察到人体内部的结构，为医生确诊疾病的原因提供了重要的信息。x 射 线成像利用待成像物体的内部组成部分组织密度不同，相应对x 射线的衰减也就各 不相同，从而形成透射出待成像物体的x 射线的差异来成像的。后来x 射线结合迅 速发展的计算机处理技术，形成了一种划时代的技术计算机断层成像技术 ( c o m p u t e dt o m o g r a p h y ) 。1 9 6 8 年，h o u n s f i e l d 利用x 射线成像原理所设计发明的 计算机辅助大脑扫描器( c o m p u t e r - a s s i s t e db r a i ns c a n n e r ) ，奠定了计算机断层成像 的基础【引。 山东大学硕士学位论文 后来，随着医学影像技术的高速发展，断层成像技术不再局限于x 射线成像， 后来所发明的单光子发射计算机断层成像技术( s i n g l e p h o t o ne m i s s i o nc o m p u t e d t o m o g r a p h y ，s p e c t ) 和正电子发射断层成像技术( p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y ， p e t ) 利用丫射线成像，区别于结构成像的x 射线c t ，属于功能成像，它们是一种 发射型计算机断层成像技术( e m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a p h y ，e - c t ) 。虽然p e t 、 s p e c t 与x c t 在物理成像原理上有所差别，但是它们都可视作由多个观测角度获 得的有关目标的一系列投影数据来获取目标断层重建图像，在断层图像重建方面 具有相同的断层图像重建算法，即图像重建的数学原理是相同的，可以在相同的 数学模型下进行研究分析【4 刮。 在医学断层图像重建技术发展的数十年中，科研工作者们提出了各种各样的 重建算法，这些重建算法大致可以分为两类：解析法和迭代法。其中解析法是以 雷登( r a d o n ) 变换为理论基础，这种算法是待重建的断层图像的直接反计算，主 要代表是滤波反投影算法( f i l t e r e db a c kp r o j e c t i o n ，f b p ) 。f b p 算法虽然简单、重 建速度较快，但是所需的重建数据的投影角度必须是完全的，这在一定程度上限 制了解析法在断层图像重建中的应用。若实际中没有能够采集得到足够的投影数 据，即为不完全数据，用解析法重建将无法得到令人满意的结果。相比之下，迭 代法虽然计算量比解析法要大，但是在重建时间允许的情形下能够解决不完全投 影数据的断层图像重建问题，是目前医学断层图像重建算法研究中的热点之一。 有关近代核物理技术研究表明，光子的辐射满足泊松随机过程，结合这一统 计特性所推导出的断层图像重建技术，应该能够补偿由于散射和衰减等因素造成 的噪声干扰所引起的图像模糊。期望最大化算法( e x p e c t a t i o nm a x i m i z a t i o n ，e m ) 就是按照随机参数估计理论得到的迭代图像重建算法，当断层图像成像系统在由 检测器采集数据过程中受到严重的噪声干扰情形下，或者所获取的投影数据不足 时，使用以估计理论为基础的e m 算法可以进行有效重建，产生更好的图像质量。 特别是在获取的投影数据是欠采样的不完全投影数据时，传统的迭代图像重建算 法例如e m 算法虽然相比解析图像重建算法重建的图像质量得到显著提高，但是结 果仍不理想。本文结合图像全变差最小化优化准则和e m 算法进行迭代图像重建， 与只用e m 迭代图像重建算法的结果相比，重建图像质量得到了提高。 6 山东大学硕士学位论文 1 2 课题研究内容和论文结构 同一种图像重建算法，可以应用于不同型式的断层图像重建技术中。例如， e m 算法既可以成功应用于e c t 中，也可以实现x c t 的图像重建。换言之，不 同型式下的同一种图像重建算法有着相同的数学模型。本文在较为系统的研究医 学断层图像重建原理与算法基础上，重点完成了以下工作：首先，为了适应迭代 图像重建算法中像素( 体素) 离散化的需要，本文实现了一种快速、实时求解迭 代图像重建算法中系统矩阵的方法；然后，研究了迭代图像重建算法中以估计理 论为基础的期望最大化( e m ) 算法及其在医学断层图像重建中的应用；最后在扇 束扫描欠采样投影数据情形下，结合全变差理论和e m 算法来改善医学断层图像 的重建质量。 本文共分七章：第一章为绪论，简单介绍了课题的来源和背景、课题研究内 容和论文结构、课题的创新点；第二章介绍了医学断层成像领域现状，并对x c t 和e c t 的发展历程和成像原理做了简要说明；第三章介绍了医学断层图像重建的 理论基础与算法；第四章实现了一种迭代算法中快速实时计算系统矩阵的方法； 第五章介绍了e m 算法重建理论及与其它算法的分析比较；第六章将全变差理论 应用到e m 算法中来改善扇束扫描欠采样投影数据情形下的重建图像质量；第七 章对本文工作进行了总结和展望。 1 3 课题的创新点 如何对医学断层图像进行快速有效的重建一直是图像重建领域的一个研究热 点。迭代图像重建算法中不可避免的系统矩阵的计算，占用了迭代图像重建过程 中的大部分时间，是真正制约迭代重建速度的关键因素，这样寻找一种快速实时 计算系统矩阵的方法显得尤为重要。传统的解析图像重建算法当受到噪声影响或 者不完全投影数据情形下无法得到满意的结果，e m 算法由于能够有效抑制噪声， 即使在不完全投影数据情形下也可获得比解析法甚至a r t 算法质量更好的图像， 正受到越来越多的关注和研究。特别是在欠采样的不完全投影数据情形下，将图 像全变差最小化优化准则和e m 算法相结合，可以改进单纯用e m 算法重建的图像 7 山东大学硕士学位论文 质量。 总结本文的创新点如下： ( 1 ) 实现了一种系统矩阵的快速、实时计算方法。该方法基于投影射线与体 素( 像素) 的快速求交和遍历算法，无论对于二维扇束扫描还是三维锥束扫描都 可快速确定系统矩阵，提高了医学断层图像重建的速度。 ( 2 ) 结合图像全变差最小化优化准则和e m 算法进行迭代图像重建( e m t v 算法) 。仿真实验结果表明，在欠采样的不完全投影数据情形下，e m t v 算法可以 提高重建图像质量。 8 山东大学硕士学位论文 第二章医学断层成像简介 2 1 医学断层成像领域现状 现代医学诊断中，医学断层成像技术己成为一种不可或缺的手段。在病人无 需忍受手术痛苦的情况下，对于各种病症的诊断定位，它提供了最直观的信息， 因而在临床决策的过程中医学断层图像重建技术的地位越来越重要。自从伦琴 ( w i l h e l mc o n r a dr o n t g e n ) 于1 8 9 5 年发现x 射线以来，医学断层成像技术有了 十分迅猛的发展，众多的成像仪器面世，例如2 0 世纪5 0 年代到6 0 年代产生的超 声成像( u l t r a s o n i ci m a g i n g ，u s ) 、y 闪烁成像( 丫一s c i n t i g r a p h y ) ，2 0 世纪7 0 年代和 8 0 年代相继出现的x c t 、m 和发射断层成像( e m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a p h y ， e c t ) ，成像质量也越来越高。但是目前为止所有已发明的医疗成像设备的疾病诊 断正确率都没有达到或接近1 0 0 ，据不完全统计，目前利用医学影像学诊断疾病 的准确率大概为8 5 t 7 】。一方面，这是因为人体的构造相对复杂，另一方面是因为 现今的断层图像重建算法相对还不能满足准确的疾病诊断的要求，因此如何发现 新的成像手段、提出更优越的断层图像重建算法以及改善现有断层图像重建算法 的性能成为目前医学断层图像重建的研究热点。 虽然现今的医学断层成像设备众多，但是基本上大体可以分为两类：第一类 是结构性断层图像重建，它以解剖结构为基础，主要提供人体结构方面的信息， 如x c t ，该成像有着较高的图像分辨率，能够清晰的展示器官和组织的解剖结构， 缺点是缺乏生化和代谢等相应的生命信息；另一类是功能性断层图像重建，它反 映出组织生化和脏器功能代谢的变化，又称为发射断层成像( e c t ) ，例如单光子 发射计算机断层成像( s p e c t ) 和正电子发射计算机断层成像( p e t ) ，这些设备 检测得到的活体内部功能代谢变化的灵敏度很高，可以从细胞甚至分子水平上反 映疾病发生发展的规律。这两类仪器的成像物理机制是不同的，但是可以应用相 同的数学模型进行仿真研究。 9 山东大学硕士学位论文 2 2x c t 成像简介 2 2 1x c t 发展历程 x c t 是指以x 光为射线源的计算机断层成像技术，是自从1 8 9 5 年德国人伦 琴发现x 射线以来在x 射线诊断方面的最大成就和突破，也是近代高速发展的电 子计算机控制技术和x 射线检查摄影技术相结合的产物。 奥地利数学家r a d o n 于1 9 1 7 年在其发表的论文中首次提出了c t 图像重建的 基本数学理论，在文章中他系统地论证了由积分值确定被积函数的整套理论方法， 为c t 技术的形成和发展提供了可靠的理论基础。后来随着科学技术特别是计算机 技术的发展，图像重建问题越来越引起了人们的兴趣，后来世界上就有不少学者 对此进行了卓有成效的创造性研究。1 9 6 3 年，美国科学家a m c o r m a c k 教授首先 提出了采用多方向投影重建断层图像的计算方法。这种方法为了区分物体内部不 同的材料和组织，利用了不同材料对x 射线的衰减系数不同这一物理特性，并且 通过计算机对检测器中采集到的数据进行分析，从而确定在每个射束通路上不同 点的人体组织对x 射线的衰减系数，进而用这些数据重建物体内部的密度分布图 像。1 9 7 2 年，英国e m i 公司中央研究所工程师q n h o u n s f i e l d 从实验技术角度解 决了吸收值的问题，研制成功用于头颅诊断的世界上第一台电子计算机x 射线断 层摄影装置。1 9 7 4 年，这一新式的射线显像技术被正式任命为c o m p u t e d t o m o g r a p h y ，简称c t 。 c t 装置自问世以来，在其后的十多年内获得了极大发展，产品己从第一代发 展到了第五代。这五代产品从扫描方式角度可以分为：第一代平行束平移加旋转扫 描c t ；第二代扇形束平移加旋转扫描c t ；第三代扇形束旋转扫描c t ；第四代锥 束扫描体积c t ；第五代螺旋扫描c t 。前三代c t 均存在着扫描速度慢、重建效率 低、射线剂量大、设备复杂等缺点，而第四代体积c t 采用锥束旋转扫描方式，对 物体进行一周扫描得到投影数据后即可重建该物体的所有断层图像，具有扫描速 度快、重建效率高等优点。随着滑环技术的引入，第五代螺旋c t 诞生了。螺旋 c t 扩展了传统c t 的能力，使之能够在二次屏气周期内扫描整个器官，这样便把 c t 面向切片的成像方式带入了面向器官的成像方式。螺旋c t ，已成为2 1 世纪 1 0 山东大学硕士学位论文 c t 的主流，是c t 发展史上的里程碑【8 舢】。 2 2 2x c t 成像原理 图2 1g e 公司x c t x c t 图像重建的原理源于x 射线通过人体时衰减的物理规律，根据所获得 的投影数据来求解成像剖面即断层面上衰减系数分布。当一束强度大致均匀的x 射线投照到人体上时，x 射线一部分被吸收和散射，另一部分透过人体沿原方向 传播。由于人体各种组织、器官在密度、厚度等方面存在差异，对投照在其上的 x 射线的吸收量各不相同，从而使透过人体的x 射线强度分布发生变化并携带人 体信息，通过一定的采集、转换、并运用相应的数学算法进行图像重建，最后通 过显示系统将x 射线强度分布转换成图像上的灰度分布，形成人眼可见的x 射线 影像。x c t 成像的本质是衰减系数成像，它的优点是能提供分辨率高的影像【l 。 2 3e c t 成像简介 2 3 1e c t 发展历程 在医学断层成像领域中，除了上面所提到的x c t 夕i , ，还有一种被称为发射型 计算机断层成像( e m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a p h y ，e c t ) 的成像方法在医学上有 山东大学硕士学位论文 着广泛的应用。e c t 将放射源即放射性药物引入体内，发出射线后，通过计算机 进行信息采集、处理和图像重建，所重建的断层图像可以方便的反映出脏器组织 的生理功能及病理变化。e c t 包括两类成像技术：单光子发射断层成像技术 ( s i n g l e - p h o t o ne m i s s i o nc o m p u t e dt o m o g r a p h y ，s p e c t ) 和正电子发射断层成像 技术( p o s i t r o ne m i s s i o nt o m o g r a p h y ，p e t ) ，它们都是利用从病人体内发射的丫 射线进行成像的。 e c t 技术的第一台机器，是由加州大学洛杉矶分校的物理学家凯森( b e n e d i e t c a s s e n ) ，于1 9 1 5 年建造的。他创造了闪烁扫描器，可以制造出粗略的放射性器官 的空间图，直至u 1 9 4 5 年，才被库尔( d a v i dk u h l ) 发明的光学扫描器取代。后来库 尔又制造出s p e t ，它是根据体内放射性物质发射出的光子，绘制成图的系统，但 当时并未用到电脑，而只是将照相机固定，而病人则要旋转。加装电脑后，库尔 把s p e t 变成了s p e c t ，1 9 5 8 年第一台单光子发射电脑断层成像机问世，可以照出放 射性同位素在器官内分布的三维空间影像。同时，1 9 5 3 年b r o w n e l l 博士和s w e e t 博 士研制出了世界上第一台用于脑部正电子显像的p e t 显像仪，这使得p e t 成像取得 巨大突破。2 0 世纪6 0 年代末出现了第一代的商品化的p e t 扫描仪，这些最初的p e t 扫描仪虽然可以进行简单的断层面成像，但当时并未用于临床诊断中，直到1 9 7 6 年在了解到x c t 穿透断层成像所用的影像复原公式也可以用于发射断层成像后， 特波高逊实验室的两位助教费耳帕斯( m i c h a e lp h e l p s ) 和霍夫曼( e d w a r dh o f f m a n ) 设计制造出第一台用于临床的p e t ，这是p e t 在临床上的首次使用，在p e t 成像中 具有里程碑式的历史意义。 s p e c t 和p e t 相比各有优缺点：p e t 应用光子准直和符合探测技术，提供了很 好的空间定位，大大提高了探测灵敏度。其灵敏度比s p e c t 高1 0 1 0 0 倍；p e t 改善 了分辨率( 可达4 m m ) ，可检出1 c m 大小的病灶，图像清晰，诊断准确率高；p e t 使 用的放射性物质更接近人体内部的生理特性，相匕i , s p e c t 使用的放射性物质更能 反映出人体内部的生理变化。但是，由于p e t 使用的放射性核素并不是现成的而是 必须临时制备，这样就导致p e t 设备相对昂贵复杂，相比s p e c t 设备更廉价，更灵 活，s p e c t 的价格约为p e t 的1 1 0 。现在，无论是p e t 还是s p e c t ，他们的技术都 日趋完善，并在临床中获得了大规模的商用【1 2 】。 1 2 山东大学硕士学位论文 图2 2g e 公司s p e c t 誊警卜 2 3 2e c t 成像原理 图2 3g e 公司p e t e c t 成像的射线源在成像体的内部，他是通过往人体内注射某种放射性药物， 而这些注射的放射性药物往往会在人体内部脏器内聚集参与人体的新陈代谢，从 而由检测器检测到放射性药物衰变过程中所释放出来的光子数目来获得各个角度 下的投影数据。由此可见，在图像重建的原理方面，e c t 和x c t 是十分相似的， 1 3 山东大学硕士学位论文 都是检测器从人体的多个角度扫描，然后由获取的投影数据进行重建，即具有相 同的数学模型。 在p e t 图像重建中，当正电子核素或正电子核素标记的化合物注入人体内后， 它们随血液循环分布至全身。由于正电子核素为贫中子核素，它们在衰变的过程 中，质子衰变为中子，同时发射出1 个正电子d + ，正电子在组织中飞行极短的距离 后便与周围组织内的电子相遇并发生湮没辐射，正、负电子消失，其物质转变为2 个方向相反( 互成1 8 0 0 ) 、能量皆为5 1l k e v 的y 光子，穿透人体并被环绕人体的p e t 扫描仪探测到。p e t 扫描仪利用丫光子对的直线性和同时性两个特性来进行符合探 测，当成对y 光子被2 个互成1 8 0 0 的检测器在符合时间窗宽( 1 0 - 2 0 n s ) 内同时被探 测到，便得到1 个符合电脉冲( 计算机记录为1 次湮没辐射事件) ，计算机对这些 符合电脉冲进行甄别、分析，确定哪些是真符合事件，哪些是随机符合和散射光 子，然后通过图像重建处理，得到的断层图像便为p e t 图像。s p e c t 图像重建的物 理过程与p e t 极其类似，只不过放射剂衰变射出的不是正电子而是单光子( 丫光子) 1 3 1 。 1 4 山东大学硕士学位论文 第三章医学断层图像重建的理论基础与算法 3 1 理论基础 图像是描述物体特性的一种手段，通常情况下，它是由射线被反射或透射后 由检测器端的光学仪器采集形成。各种各样的射线具有对物体的不同程度的穿透 能力，这就决定了可以对无法直接探测的物体进行间接测量。医学断层图像重建 的主要依据是：射线穿过物体会产生衰减，而衰减系数与射线穿过的物质的密度、 原子组成以及射线的能谱有关，密度大的物质对射线的衰减大，检测器所能接受 的射线能量就少，反之就小。当检测器接收到了不同角度下与被扫描物体衰减系 数直接相关的投影数据，将全部投影数据输入计算机，就可以通过图像重建算法 来重构关于探测平面的二维图像，图像的灰度值与被扫描物体截面的组织系数相 对应。 3 1 1 物理基础 取一个理想的射线源，它可发出极细的笔束x 射线，在其对面放置一检测器。 已知射线源端发出射线的强度为厶，经过待测物体到达检测器端的射线强度为， 假设物体是均匀的，如图3 1 所示，根据l a m b e r t b e e r s 定律【1 1 1 ，有 i = i o e 一肛 ( 3 一1 ) 或 p ( x ) = l n ( i o ，) ( 3 - 2 ) 式中，厶是入射射线的强度，是出射射线的强度，x 是厚度，j l l 是材料的线性衰 减系数。 若物体是分段均匀的，各段的线性衰减系数分别为“，心，心，相应的 长度为x a ，x 2 ，x 3 ，如图3 2 所示，则下式成立： 1 5 山东大学硕士学位论文 z , x , = 1 1 1 ( 厶i ) j = 1 i 卜- 一 x 图3 1 射线穿过单层衰减示意图 x lx 2x _ 图3 - 2 射线穿过多层衰减示意图 ( 3 - 3 ) 当薯一0 时，式( 3 2 ) 左端的有限和形式则可以进一步化为积分形式： j l 4 x , y ) d l = l n ( i o i ) ( 3 4 ) 更一般地，若物体在x o y 二维平面内都不均匀，即衰减系数为芦( x ，y ) ，则在某一 方向，沿某一路径l 的总衰减为 上p ( x ，y ) d l = l n ( x o z ) ( 3 - 5 ) 该式即为射线沿路径l 的衰减规律。其中，线积分五p ( x ，y ) 讲称为投影数据，它 可由射线入射强度厶与检测器测量强度i 进行运算得到。断层图像重建就是将检测 器得到的信号转化为一系列的投影数据互l a ( x , y ) d l ，经过计算机重建后推求物体衰 减系数( x ，y ) 的分布，即得出断层图像的密度分布图。 3 1 2 数学原理 1 6 医学断层图像重建的实质就是由检测得到的投影数据来推求断层图像的密度 山东大学硕士学位论文 分布。早在1 9 1 7 年，奥地利数学家雷登( j r a d o n ) 的研究工作就已经为后来的 断层图像重建技术建立了数学理论基础。为了便于说明，本文考虑二维断层图像 重建的情形，如图3 3 ，( x ，y ) 是物体某断面的线性衰减分布函数，射线路径l 是 x o y 面上的直线，t 是原点到直线l 的距离，9 是直线l 的法线与x 轴正向的夹 角，( ，妒) 是点( x ，y ) 的极坐标形式。可确定直线l 的方程为x c o s o + y s i n 0 = f ，则 函数u ( x ，y ) 的r a d o n 变换定义为： p ( t ，口) = r j l l ( x ，y ) = ，卢( x ，y ) d ( 3 6 ) 表示为0 和t 的形式为： p ( t ，日) = ，“( x ，y ) 8 ( x c o s o + y s i n o - t ) d x d y ( 3 7 ) 其中p ( t ，0 ) 是射线穿过物体后的投影值，由式( 3 - 5 ) 知该变量是被检测物体横断 面的线性衰减系数分布函数u ( x ，y ) 沿射线路径的线积分值，又叫做u ( x ，y ) 的投影 函数，称此过程为正投影过程。 y 幺刃 趴 o j 图3 - 3r a d o n 变换几何关系示意图 图像重建问题，从理论上讲就等同于由不同方向上获得的投影数据p ( t ，日) 求解 p ( x ，y ) ，这就是r a d o n 逆变换过程 1 4 - 1 5 1 ： 咖脚加丽1nj!。而1掣捌9 ( 3 - 8 ) 1 7 山东大学硕士学位论文 其中( ，妒) 是点( x ，y ) 的极坐标形式。该过程是正投影过程的反问题，被称作反投影 过程。但是由于实际的投影角度是不连续的，因此在断层图像重建中使用r a d o n 逆变换来求解实现起来很困难。 3 2 投影模式 平行束投影等角扇束投影等距扇束投影 锥束投影 图3 4 不同投影模式示意图 在仿真实验进行医学断层图像重建过程中，不同的射束投影模式下，待重建 断层图像像素与投影数据之间的关系是不相同的，进行重建的数学关系式也不同。 总体上说，医学断层图像重建过程中的投影方式可以归纳为三种：平行束投影、 扇束投影和锥束投影，其中扇束投影又可以分为等距扇束投影和等角扇束投影， 如图3 - 4 所示，下面对这几种投影模式分别进行简单讨论。 ( 1 ) 平行束投影：这种投影结构最为简单，平行束情况下进行断层图像重建 也最为容易，重建得到的图像噪声少，较清晰。但是实际工程中得到理想的平行 光源是不可能的，因此该种投影模式也最不实用。 ( 2 ) 扇束投影：可分为等距扇束和等角扇束。等距扇束的检测器在二维情况 下是一条直线，上面的检测器单元成等间隔均匀分布；等角扇束的检测器是一段 圆弧，该圆弧在以射线源为圆心的圆周上，而检测器单元相互之间的角度间隔相 同。本文中对各种重建算法的研究就是在等角扇束情况下进行的。 ( 3 ) 锥束投影：这是一种三维投影结构。与平行束、扇束相比，锥束投影可 以在较短的数据采集时间内采集更多的数据，具有更高的空间分辨率；但是锥束 重建算法会受到射线束锥角的限制，重建需要更复杂的算法和更多的时间。 1 8 山东大学硕士学位论文 综上所述，若是对医学断层图像重建算法的性能进行研究，在更实用的扇束 投影情形下进行既可满足要求。本文中对各种重建算法的研究就是在等角扇束情 形下进行的。 3 3 图像重建算法分类 断层图像重建就是由多角度获取的投影数据重建图像的理论，图像重建算法 是断层图像重建技术的核心问题。在获取的投影数据已经确定的情况下，最终重 建的断层图像质量在很大程度上直接取决于所采用的重建算法。数十年来人们提 出了多种重建算法，但从大的类别上可分为解析图像重建算法和迭代图像重建算 法两种。 解析图像重建算法是利用解析公式来进行重建计算的方法，目前该方法已经 广泛应用于医学断层图像重建中。该重建方法以r a d o n 变换理论为基础，它先对 投影在连续域上做一些解析变换，得到r a d o n 逆变换的各种不同形式的解析表达 式后再计算。该方法是对横截剖面的直接数学反运算，主要代表算法是滤波反投 影算法( f i l t e r e db a c kp r o j e c t i o n ，f b p ) 。解析法的优点是速度快，该方法可直接 用于临床实时断层重建。但是当投影数据不完全或者测量噪声较大时，该算法的 成像效果不甚理想。同时，该算法难以在重建过程中引入各种约束和校正。总的 来说，解析法多用于完全投影图像重建中，对于不完全投影数据重建则无法显示 出其优越性。 迭代法的思想是将断层图像重建问题转化为求解反映重建断层图像各体素值 和投影值之间关系的代数方程组。迭代重建的概念首先由g o r d o n ，b e n d e r , h e r m a n 等人于1 9 7 0 年引入图像重建领域。该方法以估计理论为基础，它首先对重建区域 中每个体素赋予初值，从被赋初值的初始图像出发，采用循环迭代的方法，每步 迭代都分为投影和反投影两步，投影过程中需要将估计图像的投影值即理论投影 值与实际投影值相比较，然后将比较结果反投影到图像空间来计算修正因子对图 像进行修正，再在新修正的结果上进行新的迭代运算，这样迭代下去直到得到满 意的结果。图3 5 即为迭代图像重建算法的示意图。常用迭代图像重建算法包括代 数重建技术( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ) 和期望最大化算法( e x p e c t a t i o n 1 9 山东大学硕士学位论文 m a x i m i z a t i o n ) 。迭代图像重建算法优点很多，其在某些方面是解析法所不及的。它 更适用于不完全投影数据、噪声较强等情况，并且该图像重建方法可以根据具体 成像条件方便地引入各种约束条件。然而，迭代图像重建算法收敛速度慢，重建 时间较长，运算量大，这就限制了它在实际中的应用。但是随着计算机的速度越 来越快，迭代法所需时间较长的缺点将越来越被忽视，相比它所需投影数较少、 较灵活等优点将就更加得到突出。 图3 5 迭代图像重建算法过程示意图 下面对解析法和迭代法在重建原理上进行了简单的比较： ( 1 ) 解析图像重建算法与迭代图像重建算法之间的主要区别在于对图像的模 型化。在解析算法中，我们假设图像是连续的，每个像素只是一个点。这些离散 的点是以图像显示为目的的。这些点的选择可以是随意的，与图像重建无关。但 是，在迭代算法中，每个像素是个小面积。这个小面积在计算当前图像的投影数 据时要用到。像素模型对重建图像的质量好坏影响很大。 ( 2 ) 解析图像重建算法与迭代图像重建算法之间的另一个区别是解析法着力 对一个积分方程求解，而迭代法着力对一个线性方程组求解。一般来说，解一个 线性方程组比解一个积分方程要容易。我们可以用一个线性方程组把真实的成像 几何结构与成像物理效应模型化。如果把这些效应放到积分方程中去，这个积分 方程就不见得有闭合形式的解了。所以，迭代法比解析法可以解决更实际的成像 问题，相应得到的重建图像更为准确。 2 0 弭 一 处彳 一朝弋 山东大学硕士学位论文 3 4 滤波反投影重建算法 滤波反投影重建算法是多年来各种医学断层图像重建中广泛使用的一种算 法。本文将首先介绍平行束扫描模式下的f b p 算法，然后进行几何变量代换得到 等角扇束扫描模式下的f b p 算法。下面首先介绍f b p 算法的理论基础一中心切 片定理。 3 4 1 中心切片定理 中心切片定理：设图像厂( x ，y ) 在视角为9 时投影( ) 的一维傅立叶变换给 出了f ( x ，y ) 的二维傅立叶变换f ( q ，哆) = f ( p ，妒) 的一个切片，此切片与q 轴相交 成9 角，且通过坐标原点。它的数学表达式如下【1 1 j ： 互【岛( _ ) 】= f ( p ，驴) i 桐定 其中，互【】表示一维傅立叶变换。 ( 3 9 ) 由前文提到的r a d o n 变换和中心切片定理，可以得出结论：对函数做二维