（基础数学专业论文）一类复合周期性边值问题的解法.pdf

摘要 路见可教授首先提出并解决了h i l b e r t 边值问题与r i e m a r m 边值问题结合的著名 的所谓复合边值问题，文中给出的h i l b e r t 条件中的已知函数不允许有间断点 c h i b r i k o v ali 和路见可教授解决了周期边值问题作为预备知识，本文第一章对 此作了简要介绍 第二章是本文的主要部分，分别给出了问题的提法、问题的转化以及问题的求 解求出了上半平面无穷直线的周期复合边值问题的解在适当的条件下，我们求出 一个在上半平面具有周期性的函数本文实际上还解决了复合边值问题中，允许 h i l b e r t 条件中的已知函数有第一类间断点的问题 关键词：r i e m a n n 边值问题，h i l b e r t 边值问题，复合边值问题，周期边值问题， 指标 a b s t r a c t p r o l uj i a n j eh a sp r o p o s e da n ds o l v e dc o m p o u n db o u n d a r yp r o b l e mw h i c h c o m b i n e s r i e m a n nb o u n d a r yp r o b l e ma n dh i l b e r tb o u n d a r yp r o b l e m i nt h ep a p e r , t h e r ea r e n o d i s c o n t i n u i t yp o i n t s i nt h ec o e f f i c i e n t so ft h eh i l b e r tc o n d i t i o n c h i b r i k o v al ia n d p r o l uj i a n j eh a ，l r s o l v e dp e r i o d i cb o u n d a r yp r o b l e m a s t h e p r e p a r a t i o n ，t h e t w o p r o b l e m s w i l lb ep r e s e n t e di nt h ef i r s tc h a p t e ro f t h i sp a p e r t h es e c o n dc h a p t e ri st h em a i n p a r to f 也i sp a p e r ，i n w h i c ht h e p r o b l e m ，t h ei n d e x ，t h e t r a n s f o r m a t i o na n dt h es o l u t i o nw i l la l lb eg i v e n i nt h i sc h a p t e r , t h ec o m p o u n dp e r i o d i c b o u n d a r yp r o b l e mi n t h eu p p e rh a l fp l a n ew i l lb es o l v e d u n d e rp r o p e rc o n d i t i o n s ，w e o b t a i nap e r i o d i ca n ds e c t i o n a l l yh o l o m o r p h i cf u n c t i o ni nt h eu p p e rh a l fp l a n ea b o v e t h e r e a la x i s i nt h i sc h a p t e r , a c t u a l l y , t h ec o m p o u n db o u n d a r yp r o b l e mw i t ht h ef i r s tt y p eo f d i s c o n t i n u i t yp o i n t s o f t h ec o e f f i c i e n t si nt h eh i l b e r tc o n d i t i o nw i l la l s ob es o l v e d k e yw o r d s ：r i e m a r mb o u n d a r yp r o b l e m ，h i l b e r t b o u n d a r yp r o b l e m ，c o m p o u n d b o u n d a r yp r o b l e m ，c o m p o u n dp e r i o d i cb o u n d a r yp r o b l e m ，i n d e x 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的学位论文没有剽窃、抄袭、 造假等违反学术道德，学术规范和侵权行为，本人愿意承担由此产生的法律后果和 法律责任，特此郑重声明 学位论文作者签名：京弓呸 二00 四年四月二十目 引言 引文 1 ，2 ，3 】对解析函数的边值问题理论做了系统的研究和阐述路见可【4 】教 授首次提出并解决了h i l b e r t 边值问题与r i e m a r m 边值问题结合的著名的所谓复 合边值问题，其中首创了消去法；黄海洋【5 1 研究了解析函数带位移的复合边值问 题c h i b r i k o v ali1 6 】和路见可【7 】教授研究并解决了周期边值问题，其中用到的 重要转换是正切变换蔡海涛【b 】、钟寿国教授和陈荆松p 删对此作了更深入的研 究 本文研究了上半平面无穷直线的周期复合边值问题并求出了它的解在适 当的条件下，我们求出一个在上半平面具有周期性的分区全纯函数本文实际上 还解决了在复合边值问题中，允许h i l b e r t 条件中的已知函数有第一类间断点的 问题 第一章预备知识 1 1 复合边值问题 在 4 中，路见可教授首先提出了把r 问题和h 问题结合起来的所谓复合边 值问题，简称r h i f i 题，其提法如下 设为复平面上一光滑封闭曲线，其内域记为d 是有界单连通区域( 由共形 映照原理，不失一般性，设d 为单位圆盘内部) ，且已取定反时针方向为正在d n 内有一组互相外离的封闭曲线r j ，1 5 ，l ，均取定顺时针方向为正记r = j = 1 一所围内域记为巧，而与r 之间的区域记为 d 上的复合边值问题可表述为：求d 中一分区全纯函数中0 ) ，以r 为跳跃 曲线，使满足下列条件： 1 ) 中+ ( ) = g e ) o “( f ) + g ( f ) ， 其中g ( f i g ( f ) 均给在i 上，且e h ，g g ) 0 2 ) r e 牡o ) + f 6 ( f 淞+ o ) ) _ c o ) ， f 三： ( 1 2 ) 其中d o l 6 c 0 ) 均为给在l 上的实函数，h ，且d 2 + 6 2 0 路见可教授这样给出问题的指标： 记 i n d r , g ( r ) = 乏f f a r g g ( r n = 觑矗g ( ) = 盯= r ， 劂。一胁( ，) ) = 去融k o ) 埘d 溉= 七 令k = 盯+ ，则定义2 k 为此r h 问题的指标 先求出d 中的一个分区全纯函数中。( z ) 且连续到上，满足条件( 1 1 ) ，而暂 且不考虑条件( 1 2 ) 令 2 其中铲巧u = l 2 ，胛) 为任就r 。) ：去f 蛐訾蛐r 喇书轷 x 0 ) 称为问题( 1 1 ) 的典则函数，它满足下式 于是 x + 0 ) = g ( 弦一g ) ， 当z d o 时； 当z d j 时 ( 1 3 ) 。g ) = x g 0 上2 x , f 1 j x ( ：r ( 三x 垃r - z ) + f ( z ) l 是( 1 1 ) 的一般解这里f ( z ) 是在d 内全纯，在面上连续的任意函数由于原月 问题只考虑面上的问题，所以这一相应的r 问题( 1 1 ) 一定可解 得到西、0 ) 后，用下式把未知函数中g ) 变换为新的未知函数中。o ) 中( z ) = j g ) o 。g ) + 中。0 ) ( 1 4 ) 则中。( z ) 也在d 中分区全纯、连续到上，当re r 时，因为中，( z ) 满足( 1 1 ) ，故 由( 1 3 ) 知 再用( 1 1 ) 式 m + o ) = o ( f ) + x + 0 ) 中；( f ) = g ( 徊i ( r ) + g ( r ) + g 0 沙一( f 扣；( ) ：g ( r ) b i ( ) + x p ) 中i 0 ) j + g ( r ) 中+ t ) = g ( ) 舾i ( f ) + x 一( ) 中；( r ) 】+ g ( f ) 比较两式，并注意x e ) 0 ，故知道 m ；( r ) = m i 0 ) ， re r 0 0 。兀一 i i 、jg 兀 因此，中。0 ) 实际上是在j d 内全纯、在西上连续的函数 反之，如果o 。( z ) 在d 上全纯，在面上连续，则g ) 也是分区全纯函数且满 足( 1 1 ) ，连续到上 这样，提出的肼问题就转化为求在d 内全纯、在五上连续的函数巾。0 ) ， 使它满足由( 1 2 ) 转化的相应条件 将( i 4 ) 代入( 1 2 ) ，得到 r e k o ) + f 6 ( f 肛o 知：o ) ) = c + o ) ，t l ， 这里已令 c + o ) = c ( ，) 一r e a ( t ) + i b ( t ) o ( f ) 由于x ( f ) ，m o ) 在三上日，从而c ( f ) 也肝l 上，( a + i b ) x ( f ) 也肝工上这样， 原问题就转化为d 中的h i l b e r t 问题，而消去了条件( 1 1 ) 及诸曲线r ，这种方法 叫消去法 路教授得到如下结果： i ) 设g ；o , c = 0 当k 0 时，相应r h 问题的一般解为 2 k + l 。( z ) = z ( z ) c ， - f ，z ) j = 1 当k 0 时，原r h 问题只有零解 2 ) 设g ；o ，c 0 当k 0 时，相应r h 问题的一般解为 中( ：) ：爿( 。) 。( ：) + 2 k + l q 甲，( ：) 、 中( z ) = 爿( z ) 2 ) + 善q _ ( z ) l 、 当k o 时，当且仅当c 0 ) 满足一2 k 一1 个实条件时，原r h 问题才有解，且解唯一 3 ) 设g o 这又可以分为两种情况 如果 c 0 ) 毋r e 弘o ) + f 6 0 0 ) 则与上2 ) 类似 如果 c ( r ) = m 4 0 + i b ( o 由( f ) ) 则转化为齐次问题，详见 4 】 【4 中还对r ，为开口弧的情形作了讨论以下做些简单的介绍 设d 为一有界单连通区域，其边界三n - n n n n 曲线，又设r = f j 由d 内一组互不相交的光滑弧段0 = a j b ，( ，= 1 ，2 ，n ) 所组成，且已取定自。，到6 ，为 其正方向复合r h 问题的提法如下：求在d f 内全纯，连续到l 与r 两侧( 端点 可能除外) 上的函数西g ) ，使满足方程( i ，1 l ( 1 2 ) 设实函数口6 0 ) ，c o ) 肝上上，a + i b o ，而g o l g o ) 奸r 上，且g ) o 在r 的各端点臼，b ，附近，中( z ) 可允许有不到一阶的奇异性先把r 的各端点分为 普通端点和特异端点求解时，也应要求中( z ) 属于某一解类，例如h ( c ，c ：，巳) 其中q ，c ：，为普通端点，即要求西( z ) 在这些端点附近有界，而在其它普通端 点附近可以允许有不到一阶的奇异性，而在所有特异端点附近，只能是至多几乎 有界的 对单位圆内的开口曲线，由于g ( f ) 0 ，在r ，上取定l o g g ( t ) l 矍j 一个连续分 支，引进函数 m ，= 击t ：f 訾 ， 它在单位圆内去掉0 后全纯，r 0 ) = 0 ，在z = 口，b j 附近，r ( z ) 一般有对数型的 奇异性 1 1 0 ) = 匕】o g ( a 一z ) + 巾。，0 ) ，在z = 口，附近； r 0 ) = ，。，l o g ( 6 ，一z ) + 中。，0 ) ， 在z = b ，附近 其中已令 y 。，：口q 十概，1 1 0 9 g f ( a s ) ( 1 5 ) ”v 氓：掣 ( 1 6 ) 中。( z l 中( z ) 分别在z = q ，b ，附近沿r ，剖开的邻域中n b , 内全纯，对数的取 法是取定一单值分支，由p l e m e l j 公式，得到 r + ( f ) 一r o ) = l o g g ( t ) ze l ； ， 于是，令z g ) = e 巾) 时，g ( f ) = z + o ) ，且z ( z ) 具有典则函数z g ) 的某些要 求 西+ o ) 一。一o ) 丽一再j 此即表示甲( z ) = 罢箔在全平面内可能除去a j , b j 外全纯，且甲如) = 。， z 0 ) = g d ) z o j g ) ，z 0 ) = z - 6 ) “，z k g ) ， 其中z q ( z l z 。，( z ) 分别在叶，n b ，内全纯，g a y “，z - 6 ) 也是按前面的方法所 取的分支在各r 上， o c t 。 1 ，当日， c ：，岛j ； 2 。= 0 ，当日，为特异端点： 一i a 。 0 ，其余的d ， 选取整数，使得 0 口。，一r ， o ) 之间有限条规定了方向的分段光滑开口 或封闭的曲线组成，且有界为了方便，设z ，( f ，) 互相外离，也不和实轴相 交当f ，开口时，记其起点为口，终点为b j ，此时，t j 还可能和它的周期合同曲 线相连厶= 厶+ 。尼玎) ( j j 为整数) 这里z + 表示上半平面，x 表示实轴( 规定正方向为从一c o 到+ 。) 我们的问题是：求出一个在z + 内的分区全纯函数o t ) ，使之在l 两侧( 端 点可能除外) 有连续的边值，在工正侧也几乎处处连续，并且满足下面( 2 1 ) 、 ( 2 2 ) 、( 2 - 3 ) 三个条件 1 ) + o ) = g 0 p 一( f ) + g ( ，) ， f l ， ( 2 1 ) 这里g n g o ) 均定义在三上e h 且以日盯为周期g o ) 0 2 ) r e k g ) + f 6 g ) p + 0 ) ) = c g ) ， x x ， ( 2 2 ) 其中d g l 6 0 ) c 0 ) e 日。均定义在x 上，以a g e 为周期，且“g ) 2 + 6 ( x ) 2 0 ，在区 间f 一坚，+ 竖l 上可能有有限个第一类问断点，旦坚( k 是整数) 也可能是 l 22 i 2 口g ) ，6 g l c 0 ) 在z 上的第一类间断点 3 ) 币( z + 甜丌) = 中( z ) z z + ( 2 3 ) 记g ( f ) 在上0 上共有口个结点；假设蝌6 ( x ) 或c ( x ) 在区间卜等，+ 引上 的间断点共有卢一l 1 ) 个，加上一等，+ 了a t - 共有+ 1 个点这里，为了后文 操作上的方便，不论口( x ) ，6 ( x ) 或c ( x ) 在等是否连续，都把等算作这+ 1 个点中的两点 虽然一等，+ 等是两点，但是它们是周期合同的，因而d x ) ，b ( x l c g ) 及所求 解中g ) 分别在这两点必有同样的性质和要求。把g ( f ) 在l 。上的d 个结点和 器端的结点( 总包括一等，虫果连续，可看作特异结点) 落在区间 i 一等，+ ，等 上个统一记为4 ，d ：，以+ ， 不失一般性，求中( z ) 在类厅协：，d ：，d ，) 0 口+ 卢) 中这里d ，d ：，d 。 必须是g 慵器锱捌砜或 - 等，+ 竺2j 上的普通结点c 含普通端鼽 事实上这里的普通和特异娃点均分成两类，即在岛或卜等，+ 纠上 要求巾“o 。f ) 有界 2 2 指标 先按通常的方法取定g ( ，) 在，上的指标，完全同于 4 中对开口弧上指标 的选取，见本文第1 1 节记 k j = i n d | g i l l 于是 茁= _ j = 1 为相应r 条件( 2 1 ) 属于矗0 。，d ：，d 。) 类的指标 令 啪) = 筹粥幽 它们都是定义在x 上的函数，且h 。 下面取定g o o ) 在 一了a ；t , ，+ 爿上的指标不妨记一詈。，+ 等咆，记 小灿或小) 在区间( 一等，+ 等) 上间断点按正方向排列依次为 q ，c ：，。也就是g o o ) 的结点于是c o ，q ，c ：，c 川，c j 可看作g 。o ) 的f l + 1 个结点 令 y ，：口，+ i f l j ：一! ! 曼；i 生! ， 髓 - 等，+ 爿上每一直线段x j = c 2 _ 1 c j o 咿1 尚嘞，j ) 上，醐函数 eh ，这里c 1 是结点在五= c o c ，在其上任意取定l o gg o o ) 的一连续分支，它在 c o , c i 处的值分别记作l o g g 。( c 。+ o ) ，l o g g 。c 。一0 ) ，然后在：= q c ：上选取 l o g g 。( f ) 的一连续分支，它在c ，c ，处的值分别记作l o g g 。“+ o ) ，l o g g 。0 。一o ) ， 使之满足下列条件： 如果c l 是特异结点，则要求a r g g 。( c ，一o ) = a r g g 。g ，+ o ) ， 如果q 是普通结点，则根据中0 ) 要求在q 附近有界或允许有可积奇性分别要 求 o 去【盯g g 0 ( c 一o ) - a r g g 。g + o 1 ，当中( = ) 要求在c l 附近有界时： 一l 去k g g 。b 一0 ) - a r g g o ( c t + o i g o 瓴一o ) 的幅角只能相差2 玎的整数倍，于是，。必为整数这时取 k = y 。仁o r 0 ) 即可事实上，i ) 也可以归结到下面t i ) 的情形 i f ) k = ，当c 。是特异结点( 为整数) 时； i i i ) o - k + a o l ，当c 。妇。，吐，d ， 时； v i ) 一1 。，y = + 警) 右侧的极限，且在这两条射线上除去可能有限个间 断点( 因为当，与其周期合同曲线相连时，会与这两条射线有交点) 后解析，所 以( z ) 在线段( 一1 ，o ) 上去掉可能有限个点( 当，与其周期合同曲线相连时，l j = 与线段( _ i ，o ) 有交点) 后上下侧有相同的极限值，因而解析前面已经说过，+ 。i 刚好变成了原点o ，又r 不经过o ，所以。是孤立奇点因为要求中( + c o f ) 有界， 所以中( o ) 是有界的因而。是o + ( z ) 可去奇点，即为解析点 因此，如果不考虑解的周期性，即条件( 2 3 ) ，那么原问题就转化为由方程 ( 2 5 ) ，( 2 ，6 ) 组成的单位圆内的复合周期边值问题，不妨称为相应的复合周期边值 问题 与 4 不同的是，这里相应的h i l b e r t 条件中已知函数的系数可以有间断点， 这会导致对原问题指标取法与 4 有所区别 与原问题对应，相应的复合周期边值问题在卉p j ，d ；) 类中求解这罩 d i ，d ：分别是吐，d ：，d p 在变换( 2 4 ) 下的象 注2 这里假设l o 在半带形s 。内是不必要的事实上，l o 在x 上方可以部分 地越出h 竿这时只要略作修改，即用两个周期合同的j o r d a n 弧段代替 x = 要上的二直线段，使厶全部落在这样得到的半带形中，保证半带形对爿上 方平行于x 的任意直线的截线段长为a , r z - 这样就得到一个“弯曲”的半带形， 不妨仍记为s 。不难证明，( 2 4 ) 把这样的s o 也映为单位圆的内部 用通常的方法，求出g + ( ，) 在每个，；上的指标如果记 盯j = 加t ：g o ) ， ，开口时，注意到( 1 5 加6 ) 式，这里有相应的式子 ：，矿i f l ；l o 下g g * ( a ；) 一掣毪坤叶钱， ，。j ：d 。j + 慨j ：l o g 磊g ( 一b ；) 一l 0 9 2 g 痢( b 2 ) 。，+ 妒。，：， 这里，口：，q 分别是q ，b ，的象于是，有 k ：= k i f ，封闭时，r ；= 茁，也是成立的，所以， r = - ，= 1 也是相应r 问题( 2 5 ) 的属于 ，讲) 的指标 l 已 g ：e ) = 艄，g ：( f ) = 鼎，r 。 注意到变换( 2 4 ) 把g _ y l 均映为一1 ，无论g ；( ) ，爵( ) 在一1 点是否连续，我们都 把它看作g ：( f ) 的结点，则瓯( ) 在 上共有声个结点利用 2 中第2 4 3 卅4 5 页 的方法可以取定g ；( ) 在。上的指标 完全类似上面的方法可以证明 如如g ；o ) = 如传+ 铲g ) = 即经( 2 4 ) 变化得到媚。) 在 上的指标等于g 0 ( r ) 在 _ 等，+ 爿上的指标。 同样定义这个复合周期边值问题的指标为七+ 2 石= k 可见，前文对原问题指标 的定义是合理的 以下利用消去法消去跳跃曲线f 记x 0 ) 是方程( 2 5 ) 的典则函数，利用【3 】中 的方法，求出( 2 5 ) 的一个特解， 刊= 等始r 再利用消去法换元若中+ 0 ) 也是( 2 5 ) 的解，即 中”o ) = g + o 净。( r ) + g + ( ，) ， 又 中：+ ( f ) = g + o 净；一( f ) + g + o l f r ， 两式相减，得到 m ”o ) 一巾+ o ) = g + o 如“o ) 一巾：一o ) 1 巾”( f ) 一中i + ( f )中o ) 一：一( f ) i 矿2 了矿 掣为单位圆。内的全纯函数且连续到边界 消去跳跃曲线，令 中。0 ) 则有 西( z ) = x ( z 净。( z ) + 西：g )z 。，( 2 7 ) 反之，如果中。( z ) 在单位圆。内全纯，在磊上连续，则( 2 7 ) 式确定的分区 全纯函数中+ ( z ) 必然满足方程( 2 5 ) 这样，相应的复合边值问题转化为求在。内全纯，在。上连续的函数中。0 ) ， 使得它满足由( 2 1 ) ，( 2 2 ) 转化的相应条件这里的消去法与 4 】中的消去法有些区 别，这是在奇异积分方程课上，作者学习了钟寿国教授讲授的方法 与【4 】中类似，把( 2 7 ) 代入( 2 ，6 ) 得到 r e a o ) + f 6 o 肛o 净；( f ) = c ”o ) ，f ( 2 8 ) 这里已令 c ”( f ) = c + ( f ) 一r e 肚+ o ) + f 6 l ( ，舳：o ) 这样，原问题就转化为单位圆内的间断系数的h 问题 2 4 问题的求解 问题( 2 8 ) 的指标为 抽矗 罢；g i ；鲁磊 = k - 2 i n d r x o ) = 后+ z k = 世， 即转化后的问题( 2 8 ) 的指标与原问题的指标是一样的 下面利用 4 类似的方法求解问题( 2 8 ) ，同时求出原问题的解 i ) 当g = 0 ，c = 0 时，从而g = 0 ，c = 0 ：c ”= 0 ，于是k 0 时，相应h 问题( 2 8 ) 的一般解可以写成 生 糟 m 一 k + l e x j ( z ) ， 其中眈o ) 圪1 为( 2 8 ) 的在实数域中线性无关的解，k 埝1 使任意实常数。n y c 相应的复合周期边值问题的解是 所以原问题的解是 o ( z ) ( z ) x ( z ) _ ( z ) j = l x 芝鹕 lj 。ll 当k 0 时，( 2 8 ) 仅有零解，对应到原问题也只有零解 ( 2 9 ) i i ) 当g = o ，c 0 时，由于这时可取中：= 0 ，故有+ 0 ) = z g 加。( z ) o 。( z ) 为。中非齐次问题 r e 弘o ) + 汤( r 煅o ；o ) ) = c o ) 的解 当k 0 时，相应h 问题( 2 8 ) 的解为 中。0 ) + x ，甲，( z ) 由。0 ) 为非齐次的一个特解 相应的复合周期边值问题的解是 + l 中+ 0 ) = x ( z ) 中。( z ) + x ，一( z ) 】 则原问题的解是 。，= x e 警 。 e 警 + 薯_ 甲，( e 警 c z ，。， 当k 0 时，当且仅当c o ) ，从而c ( f ) 满足k 一1 个实条件时有解，且解唯一 i i i ) 当g 0 时，从而g + 0 ，则中i o ) t0 ，这时又分为两种情况 1 曩口果c 0 ，即 c ( r ) r e 肛( f ) + f 6 ( f ) 扣：o ) | 此时问题类上i i ，当k 0 时，原问题的一般解只要在( 2 1 0 ) 的右边加上 巾 当k 0 时，当且仅当c o ，l 甜( ，) + 而( 4 0 + ( 4 9 o ) ，满足世一1 个实条件、从而 c ( f l 口o ) + f 6 ( f l g o l g o ) 满足k 一1 个实条件时有解，且解唯一， i i 如果c ”= 0 ，则有 c + o ) = r e 肛。( f ) + 秽o 抽：( f ) ) ， 此时问题还是齐次的 当足。时，原问题的一般解为( 2 - 9 ) 式右边添加一项。( e 等 ，即 巾g ，= x ( e 警 芸x ，甲， e 詈 + 西一( e 警 lj = lll 当k 0 时相应的齐次问题仅有零解，原问题有唯一的非零解 噼巾 2 5 几点说明 1 虽然这里条件( 2 1 ) 、( 2 2 ) 给出的已知函数都是以日丌为周期的函数，但是 仅仅由( 2 1 ) 、( 2 2 ) 得到的解( z ) 不一定以n 丌为周期，也就是说，条件( 2 3 ) 不是多 余的。例如，当g o ) = 0 ，且c g ) = 0 时，如果某一函数中( z ) 是方程组( 2 1 ) 、( 2 2 ) 、( 2 3 ) 的非零解，那么对于任意整函数，g ) ，中( z ) ，0 ) 满足( 2 1 ) 、( 2 ，2 ) 却不满足条件( 2 3 ) ( 如果i ( z 1 不以a z f 为周期) 2 为了方便，我们假设l i , l ，( f ) 外离，不过如果，的终点是l s ( f ，) 的起 点，如此有数条首尾相连的线段，那么，它们指标的取法可以类似前文选取g ox ) 指标的方法那样选取，这样对实际问题可能更为简单对于厶上有一般结点的问 题，似乎可以类似完成，不过计算较为繁琐一些 3 一般地，k 被认为是有界的，但是事实上，。可以是无界的，也就是说 ，可以在s 。内延伸到+ o 。f 而且，( f ) 甚至以+ m i 为公共点，问题还是一 样求解如果这样，经( 2 4 ) 作用得到的原点。就成为g ( f ) 的结点( 普通的或者特 异的) 参考文献 1 m u s k h e l i s h i v i l i n i ：s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，d o v e r p u b l i c a t i o n s ，i n c ，n e wj o r k ，1 9 9 2 2 l u j i a n k e ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ra n a l y t i cf u n c t i o n s 。w o r l d s c i e n t