（道路与铁道工程专业论文）悬链线等跨连拱的内力计算与分析.pdf

摘要 随着公路桥梁基础的转型化，连拱的计算就变得越来越重要，因此， 快速准确的计算连拱的内力已成为桥梁界的一个较为重要的研究方向，本 文以千国鼎教授提出的换算刚度法为基础，加上求解固定拱的理论，编制 了简单体系悬链线等跨连拱的计算程序，该程序采用了q b a s i c 语言，用 人机对话的方式输入数据，简单而又方便，程序的输出结果符合工程师的 设计习惯，所有的计算结果都用相关的算例进行了考证，结果都是准确的。 本论文编制的软件可供教学和设计人参考使用。 关键词：连拱换算刚度法固定拱 a b s t r a c t a st h eh i g h w a yb r i d g e sf o u n d a t i o n sc h a n g i n ga n dc h a n g i n g ，t h ea r c a d e c a l c u l a t i o ni s i m p o r t a n ta n di m p o r t a n ti nr e c e n ty e a r s s oh o wt oc a l c u l a t e a r c a d e si n t e r n a lf o r c e sq u i c k l ya n de x a c t l yi sa ni m p o r t a n tt h i n gi ns t u d y t h i s p a p e r sf o u n d a t i o ni s t h e h a r d n e s sc o n v e r s i o nm o d e ”w h i c hw a s a d v a n c e db yp r o f w a n gg u o d i n g a n o t h e r ，t h ep a p e ra d d st h ec a l c u l a t i n g f i x e da r c ht h e o r y u s i n gt h ep r e c e d i n gt h e o r y ，id e s i g n e dt h ec o m p u t e r p r o g r a m s ，w h i c hc o u l dc a l c u l a t et h ec a t e n a r ya r c a d e si n t e r n a l f o r c e s t h e p r o g r a m su s eq u i c kb a s i ct od e s i g n t h ei n p u t t i n gd a t au s et h em e t h o d s ， w h i c hb e t w e e nc o m p u t e ra n dm a n i ti sv e r ye a s ya n dq u i c k t h eo u t p u t t i n g r e s u l t sa p p l ye n g i n e e r s h a b i t a l lo ft h er e s u l t sa r ev e r i f i e db yi n t e r r e l a t e d e x a m p l e s t h er e s u l t sa r ep r e c i s e t h ep r o g r a mi nt h i sp a p e rc o u l db eu s e db y t e a c h e r s 、s t u d e n t sa n dd e s i g n e r s k e y w o r d ：a r c a d e h a r d n e s sc o n v e r s i o nm o d ef i x e da r c h 1 概论 1 1 拱桥在我国的发展与现状 拱桥是我国最常见的一种桥梁型式，特别是山区的公路桥梁，由于地质和地 形条件比较适合，拱桥一一般是优先考虑的既美观又经济的桥型。据统计，在改革 开放以前，我国有百分之七十的公路桥梁为拱桥，其中也包括许多多孔连续拱桥。 近年来，随着我国经济水平的提高，在一些平原地区，施工更方便的预应力混凝 土梁式桥逐渐代替了拱桥，但在山区，拱桥由于造价上的优势而保留了重要的地 位，尤其是一些连拱拱桥得到了很大的发展。 1 2 本文研究的主要内容 由于以前在连拱的计算过程中大多采用手算，不仅工作量特别大而且易出 错，如果利用电算则方便快捷且准确性易得到保证，所以本论文主要内容是编制 了适用于五孔及五孔以下悬链线无铰等跨连拱的计算程序。本程序在借鉴了杨炳 成教授编制的连拱计算程序的基础上，对原程序进行了一定的改进和提高，特别 是在用换算刚度法计算连拱的换算刚度时用精确解代替了原程序中的近似解， 使计算的精度大大的提高，并在程序中将影响线以图形的形式输出，使结果更加 直观。本程序还将动载法求解活载内力和最不利荷载组合的程序利用数据文件的 方式组合在一起，使程序从开始输入数据到计算恒载内力、活载内力及内力不利 组合，全部的结果都输出，使计算更加简便可靠。 此外，考虑到拱桥的挠度对实际生产有很大的作用，所以在以上程序的基础 上又编制了求解悬链线无铰固定拱、连拱挠度的程序，使得此程序得到了进一步 的完善。 2 等跨连拱恒载的计算 2 1 概述 因为是等跨连拱，所以在计算等跨连拱的恒载时不涉及到连拱作用，可以用 固定拱恒载计算的方法来计算等跨连拱的恒载。 拱桥，实为多次超静定结构，当活载作用于桥跨结构时，拱上建筑参与与主 拱圈共同承受活载作用，这种现象称为“拱上建筑的联合作用”或简称“联合作 用”。在横向方向，不论活载是否作用在桥面的中心，在桥梁的横断面上都会出 现应力的不均匀分布，这种现象称为“活载的横向分布”。 一般来说，拱式拱上建筑的联合作用较大，梁板式拱上建筑的联合作用较小， 在拱式拱上建筑中，联合作用的大小又与许多因素有关。在本章的计算中，没有 考虑联合作用对拱圈内力的影响，即认为拱上建筑纯是作用在主拱圈上的恒载。 除不计联合作用以外，还作了如下的假定： 1 、不考虑活载的横向分布： 2 、将轴向力从变位方程中单独分离出单独计算，所谓“弹性压缩”的影响。 2 2 拱轴系数的确定 2 2 1 实腹式悬链线拱 实腹式悬链线拱是采用恒载压力线( 不计弹性压缩) 作为拱轴线。实腹式拱 的恒载包括拱圈、拱上填料和桥面的自重，实腹式悬链线拱的拱轴方程就是在恒 载作用下，根据拱轴线与压力线完全吻和的条件下推导出来的。 悬链线拱的拱轴线方程为： v 1 = f ，f m 1 ) x ( c h ki 1 ) ( 2 一1 ) 拱轴系数m 可由下式确定： m = g 。g 。 而： g d = h d r l 十r d g j = h d rl + h r 2 + d c o s 中j f 式中： ( 2 2 ) ( 2 3 ) c 。s 中，= 1 扛丽 g = 2 k f ( m 1 ) k - n ( m + m 2 一1 ) 失高f 和跨径1 可由下式确定： f = f 。) + d 【卜c o s 中) 2 1 = 1 0 + d s i n 巾、 式中：m 一拱轴系数： h 。一一拱顶填料厚度( m ) d 一 一拱圈厚度( m ) r 一拱圈材料比重( k n m 2 ) ( 24 ) i 南 e l - - 一一拱圈填料及路面的平均单位重( k n m 2 ) r 。一一拱腹填料平均单位重( k n m 2 ) 巾厂一拱脚处拱轴线的水平倾角( 度) f o 一一拱的净失高( m ) l r 一拱的净跨径( m ) f 一一一拱的计算失高( m ) 卜一一拱的计算跨径( n 1 ) 若已知拱的净矢高f 。和净跨径1 。，要确定拱轴系数m ，则只有中，为未知数。 故不能直接算出n l 值，需要用逐次近似法确定。 2 2 2 空腹式悬链线拱 空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载可由两部分组成：既主拱圈与实腹段的自重 的分布力与空腹部分通过腹孔墩传下的集中力。由于集中力的存在，拱的恒载压 力线是一条有转折的曲线，它不是悬链线，甚至也不是一条光滑的曲线。在设计 空腹式拱桥时，由于悬链线拱的受力情况较好，亦多采用悬链线作为拱轴线。为 使悬链线拱轴与恒载压力线接近，一般采用“五点重合法”确定悬链线拱轴的m 值，既要求拱轴线在全拱有五点( 拱顶、两1 4 点和两拱脚) 与三铰拱恒载压力 线重合。 由拱顶弯矩为零及恒载对称条件知，拱顶仅有通过截面重心的恒载推力h ； 弯矩及剪力为零。 由m f 0 得 h 。= e m j f ( 2 - 5 ) 由m b i o 得 h 。= e m m y w ( 2 - 6 ) 由式( 2 - 5 ) 和式( 2 - 6 ) 得： y w f = 5 - m 。m 。 式中：m 。一自拱顶至拱跨1 4 点的恒载对1 4 截面的力矩( k n m ) m j 一半拱恒载对拱脚截面的力矩 y 。一一拱跨1 4 点的纵坐标( m ) m 可由下式1 求得： m = l 2 ( f y 。一2 ) l 1 空腹式拱桥的m 值，仍按逐次近似法确定。即先假定一个邢值，定出拱轴线， 作图布置拱上建筑，然后计算m 。和e m ，利用上式算出m 值不符，则应以求得 的m 值作为假定值，重新计算，直至两者接近为止。 2 3 拱轴线偏离引起弹性中心的赘余力 由五点重合法所确定的空腹式拱桥的拱轴线，仅与其三铰恒载压力线保持五 点重合，其他截面，拱轴线与三铰恒载压力线都有不同程度的偏离。如图示，若 将此偏离值用y 表示，则由此偏离在三铰拱上产生偏离弯矩m p ，由m p 在无较 拱弹性中心产生的赘余力为： b x l = - a 。6 = 一厅，m p d s l e l m l2 d s e i 一m p d s 1 忙， b , a = - x * 6 旷f 2 m ，d s e 1 - m 2 2 d s e i i - y m ，d s l i y 2 d s l l 式中：1 1 1 p 一三铰拱恒载压力线偏离拱轴线所产生的弯矩，i l l p = b , 。，； m ，i d ：b ，1 、b 矿l 在拱轴线上产生的弯矩： m = t 、m 。= 一y = 一( y 。一y ，) y - - - - - - 三铰拱恒载压力线与拱轴线的偏离值。 ，可由下式计算： ，= y 。一m h 。 式中：m j - - - 拱圈任意截面产生的弯矩 h 。- - - 按“五点重合法”所计算拱轴推力。 2 4 恒载内力的计算 2 4 1 反力计算 1 、实腹式拱 恒载水平推力可由下式计算： h 。= ( m 1 ) g 。l2 4 k 2 f 拱脚竖向反力为： v 。= 州2 1 2 ( 1 n ( + 脚2 1 ) 2 空腹式拱 不计偏离影响时，空腹式拱的恒载推力h g 和拱脚竖向反力v g 分别为 h 。= m j t v 。= p ( 半拱恒载重) 2 4 2 弹性压缩在弹性中心引起的赘余力 众所周知，弹性压缩在拱轴弹性中心产生一水平拉力，此水平拉力s 值可由拱顶 变位协调条件得，即： s = 】6 。2 2 式中：，一弹性压缩引起拱轴在跨径方向的缩短量，= h 。出( e a c o s ) 6 旷一考虑轴向力影响时由单位水平力作用在弹性中心产生的水平位移 6 _ z ：= ( 1 l y 2 d s l e l 其中： u 2f c 。s 2 妒d s e a l y2 d s e l 若令u 1 2 【a k e a c o s # 【y z d s e l ，则s 可由下式计算： 由小 s = h 。u , ( 1 + u ) 2 4 3 拱圈各截面总内力 规定拱中弯矩以使拱圈内缘受拉为正，剪力以饶脱离体逆时针转为正，轴向 力则使拱圈受压为正。 拱圈截面的恒载内力为：不考虑弹性压缩的恒载内力加上弹性压缩产生的内 力及拱轴线偏离产生的内力。各截面的内力计算公式为： n = h 。c o s 审+ b ；2 c o s 巾一u l ( h ，b 。2 ) c o s m ( 1 + u ) m = u ，( h ；十b ；2 ) ( y ；一i ) ( 1 + u ) + a m q = u 。( h 。_ b 。2 ) s i n 中b 。s i n 由 式中上、下面符号分别适用于左、右半拱。 2 5 温度变化、砼收缩、拱脚变位引起的内力 2 5 1 温度变化内力的计算 大气温度的变化会在拱中产生内力，此内力值可由求解弹性中心赘余力来获 得。设温度变化引起拱轴在水平方向的变位为l ，与弹性压缩同样道理，必然 在弹性中心产生一对水平力h 。由力法方程得： h 。= 、，6 。 式中：，。气温变化；| 起拱轴在水平方向的变位值，。= a ，。： 其中：。一温度变化值，即最高温度( 或最低温度) 与合拢温度之差， 温度上升时。为正值，温度下降时，。为负值： a - - - 拱圈材料的线膨胀系数： 砼或钢筋砼a = 1 0 5 ，砼预制块砌体a = 0 9 i 0 5 ，石砌体a = 0 8 1 0 - 5 由温度变化引起拱中任意截面的附加内力为： 弯矩m 。一h 。( y 。一y ) 轴向力n 。= h 。c o s 中 剪力q 。= h 。s i n 巾 2 5 2 砼收缩引起的内力 砼在结硬的过程中的收缩变形，其作用与温度下降相似，通常将砼收缩的影 响折算为温度的额外降低，其降低值可参阅桥规有关规定。 计算拱圈的温度变化和硷收缩影响时，可根据实际资料考虑砼徐变的影响， 如缺乏实际资料，计算时可乘以下列系数： 温度变化影响力：0 7 砼收缩影响力：0 4 5 2 5 3 拱脚变位引起的内力 拱脚变位包括拱脚的水平位移，垂直位移( 沉降) 和转动( 角变) ，每种 变位都会在拱中产生内力。 1 、拱脚位移符号规定 水平位移：右移为正，左移为负； 垂直位移：f 移为正，上移为负： 转动位移：顺时针转为f ，逆时针转为负。 2 、拱脚位移在弹性中心产生的变位 设左拱脚的水平位移为。右拱脚为。则引起弹性中心的水平变位 hl 为： h 1 = h b - - 竖向变位和转角均为零。 设左拱脚的水平位移为。右拱脚为。则引起弹性中心的竖向变位。为： f v b 。 水平变位和转角为零。 设拱脚b 发生转角0 。，则在弹性中心除产生相同的转角0 。之外，还引起相对 水平位移。和竖向位移。 由拱脚变位在弹性中心引起的总变位为： 水平变位：。= a 、+ 。= 。，+ 0 ，( f - y ；) 竖向变位：。= 。【+ 。f ro 。2( 2 - 7 ) 转角变位：。= o 。 3 、拱轴弹性中心的赘余力 由力法典型方程知 求解上式得 x l6l l + 。= 0 x 262 2 + h - 0 x 16 = i = j + ，- 0 x l = 一。6 x 2 = 一h 62 2 x ：= 一，6 。 如左拱脚顺时针转动0a ，则式( 2 - 7 ) 应改为： 。= h + 0 。( f - y 。) x 。= ro 。1 2 e = 一g 。 2 5 ，4 拱圈内力 拱脚变位引起拱圈各截面内力为： i i i = x 一x 2 ( y l - y ；) x ：j x n = x ：i s ir l 巾十x 2 c o s 中 q = x 3 c o s x 币x 2 s i n 咖 2 6 裸拱内力的计算 取悬臂曲梁为基本结构，对于等截面拱，设拱圈截面为a ，拱圈材料比重为r ， 则任意截面i 的恒载强度g ，为： g i = a r c o s 中， 由于结构和恒载均为正对称，故在弹性中心仅有两个正对称的赘余力：弯矩，m s 和水平力h s ，由典型方程得： 奸厶n 6 = 一厅，卅，d s l e i f m t 2 d s l e l = p ，, i s 弘 t a = - az ：一厅：d s e 1 厅z2 d s l e i = j m j s ( ! 十u ) i y 2 d s 式中：m , - - 拱顶至计算截面的拱圈自重对计算截面的力矩，可由下式计算 2f a r ( x - - z ) c 。s 纰 式中：x 一计算截面至拱顶的水平距离。 由静力平衡条件得任意截面的弯矩，轴向力和剪力为： m = m ：一h ：( y ；一y 1 ) 一m 。 n = h ：c o s 中+ p s i n 中 q = h 。s i n mup c o s 巾 式中：p 一一计算截面以右至拱顶拱圈自重之总和。 3 等跨连拱的活载内力计算 3 1 连拱计算方法的概述 31 1 连拱作用的基本概念 在恒载作用下的多孔拱桥，桥墩和桥跨结构的结合点( 常称拱墩节点) 会产 牛弹性变形( 图3 - l a ) ，各拱墩节点会产生水平位移和转角。考虑各孔拱跨结构 与桥墩一起的共同作用称为“连拱作用”：考虑拱墩节点变位的计算，称为“连 拱计算”。 图3 1 连拱与固定拱的变形状态 一般来说桥墩愈纤细，各拱墩节点的变位就愈大；反之，桥墩的高度愈小、 截面刚度愈大，各拱墩节点的变位就愈小。只有当桥墩的刚度( 相对于拱跨结构 的刚度) 为无限大时，在荷载作用下，各拱墩节点才不会产生变位( 图3 1 b ) ， 此时，多孑l 拱桥的拱跨结构才与单孔拱桥( 拱脚无变位) 的受力相同。从理论上 讲，只有当桥墩的刚度为无限大时，多孔拱桥才能按单孔拱桥计算。按单孔拱桥 计算的方法，常称按固定拱计算的方法。据此算出的内力，称为固定拱内力。 在实际拱桥中，桥墩的刚度不可能为无限大。即使采用刚度较大的重力式墩， 桥墩的抗推刚度一般不会超过拱圈抗推刚度的4 0 倍。在实际的多孑l 拱桥中，不 论桥墩的形式如何，一般应按连拱计算，特别是采用桩墩时，桥墩的刚度较小， 按连拱计算尤为必要。计算证明，如要求活载内力的计算误差不超过5 ，则当 桥墩的抗推刚度是拱圈抗推刚度的3 8 倍以上时，多孔拱桥才可以不计连拱作用 的影响，近似的按固定拱计算，在实际拱桥中，拱与墩的刚度比如此小的情况是 极少的。 r 一、i f 一 1 ：=三孙二_o _ 叶上i 在各种荷载作用下，连拱作用影响最大的是荷载孔。离荷载孔愈远，拱墩节 点的变位愈小，因而，连拱作用的影响也愈小，远到一定的程度时，连拱的影响 可以略去不计。当连拱孔数很多时，可以利用连拱作用的这一特性，根据实际拱、 墩刚度比及具体的精度要求，合理确定连拱的计算孔数，没有必要按全桥实际孔 数计算。 在计算拱、墩弹性常数时，由于各种因素的影响，求得弹性常数带有一定的 近似性，必然影响到拱墩内力的计算精度。在这种情况下，对连拱的计算精度就 不能提出过高的要求。在一般情况下，拱、墩内力的计算误差不得超过5 ；当 恒载无连换作用时，拱、墩活载内力的最大误差亦不得超过1 0 4 。 在无铰连拱的基本结构中，每个拱墩节点有3 个变位未知数一竖向位移、 水平位移和转角。因为桥墩的竖向弹性变形很小，一般不可考虑竖向位移( 若桥 墩基础有沉陷时，则按拱脚产生竖向位移的情况计算) 。于是，每个拱墩节点就 简化为仅有水平位移和转角两个变位未知数。以后的公式都是据此诱导出来的。 3 1 2 连拱的计算方法 l 、第一种连拱计算方法 这种连拱简化计算方法是根据不同的拱、墩抗推刚度比，采用不同的计算图 式，故称“按拱墩抗推刚度比简化计算法”。在计算中，它抓住结点只考虑水平 位移一个变位未知数，大大简化了连拱的计算工作，在推动多孔拱桥按连拱计算 方面，起了较大的作用。由于这个方法没有考虑拱墩节点转角的影响，误差较大， 特别是墩顶内力与拱脚截面的内力，其误差更大，达不到要求。 2 、第二种连拱简化计算法一法 法的特点是：以一种计算简图代替第一种连拱简化计算法中的三种计算简 图，不存在人为的判别条件问题。此外，考虑了结点转角的影响，以提高拱、墩 内力的计算精度，它比第一种连拱简化计算法前进了一步。 但是，法的计算精度是不能令人满意的，主要是因为结点的计算公式与实 际情况不符。 研究表明，在一般情况下，结点水平位移对拱、墩内力的影响要大一些，结 点转角的影响在数值上相对小一些，但决不能忽略。第一种简化计算法忽略了结 点转角的影响，带来了较大的计算误差。法注意了结点转角的影响，为了得 悬链线等跨连拱的内力计算与丹析1 1 出简单的计算公式，采用了不正确的转角公式，从而降低了拱、墩内力的计算 精度。由于结点转角对墩顶和拱脚截面内力影响更为直接。因此，这些截面内力 的计算误差就比其他截面更大一些。 3 、第三种连拱简化计算法一换算刚度法 “换算刚度法”是1 9 8 0 年在文献 1 0 】中提出的。当时研究连拱的论文和专 著如雨后春笋，为换算刚度法的提出，提供了得天独厚的条件。 换算刚度法以任意多孔连拱为研究对象，可用于跨径不等、桥墩不同、孔数 不限的一般情况。它同时考虑了结点水平位移和转角的影响。在计算两铰连拱时， 解答是精确的；在计算无铰连拱时，解答是近似的。目前换算刚度采用精确的计 算公式，其计算结果已经非常接近精确解。现借用文献【1 6 】的计算结果，看看几 种简化计算法的精度。 表3 1 第3 孔布载第1 孔布载 计算方法 h 3m dm ah lm 1 精确法 4 7 3 8 21 0 1 0 3 9 1 3 3 4 2 73 7 3 4 51 6 9 6 9 8 换算刚4 7 3 9 91 0 0 8 0 51 3 3 5 2 83 7 3 6 2一1 7 0 5 3 7 度法 r 0 0 3 6 )( - 0 2 3 ) ( o 0 8 ) ( o 0 6 )f 0 5 0 ) 4 6 2 6 91 0 1 6 9 81 3 6 1 3 5 23 7 8 0 1一2 0 2 0 5 9 法 ( - 2 3 0 )r o 6 5 )( 2 2 0 )( 1 2 0 )( 1 9 1 0 ) 第一种4 3 9 9 81 0 1 2 6 114 0 7 7 93 3 2 6 90 简化法 ( - 7 1o )f 5 2 0 )( 5 5 0 )( 1 0 9 )( 一1 0 0 ) 注：括号( ) 内为内力计算误差的百分数。 表3 1 是4 孔等跨连拱在汽车1 5 级荷载作用下，三种简化计算法与精确解 的比较不难看出，各种拱、墩内力中，以墩项弯矩的误差最大，换算刚度法拱墩 内力的最大误差为0 ，5 ：法的最大误差为1 9 1 ：第一种简化法的最大误差 为1 0 0 。用换算刚度法计算的误差是最小的，而且精度很高，所以本程序采用 换算刚度法进行计算。 3 2 无铰连拱换算刚度的公式 3 2 1 符号规定 各孔拱中的水平推力( 以h l 、h 2 、h ，表示) 以使该孔拱圈产生压力为 正；拱中弯矩( 以m l 、m 2 、m 表示) 以使拱圈内缘受拉为正。墩顶水平 力( 以h l 、2 、一j v 卜一表示) 以向右为正；墩项弯矩( 以m l 、m2 、 m ，表示) 以顺时针为i f 。各拱墩结点的水平位移( 以。、。、一，一 表示) 以远离荷载孔向河岸移动为正：各拱墩节点的转角( 以o ，、o 。、o ，一 表示) 以背离荷载孔向河岸转动为正。 3 2 2 拱的弹性常数 抗推刚度k 相干系数t 抗弯刚度s k ：上上 i + “占2 2 t ：上上旦 1 + “疋2 s = 上+ 上! 二型：+ 上 6 1 l 1 + “ j 2 24 6 3 3 传删掷：c s 2 去+ 击1 掣一去4 d i _ + “ d ，d 1 3 2 3 换算刚度法 对任意多孔连续拱桥，假定荷载作用在r 孔。荷载孔以左有a 孔，荷载孑lr 以右有b 孔，全桥共n 孔。现将荷载孔以左的a 孔拱墩结构以换算墩a 代替， 而将荷载孔以右的b 孔拱墩结构以换算墩b 代替，使r 孔作用任何荷载时，保证 结点a ，b 与原结构的结点a , b 具有相同的变位，这样，多孑l 连拱中的结点变位和 拱、墩内力可根据基本结构来确定( 往往荷载孔是最不利受力孔) ，非荷载孔的 拱墩内力，则可在求出荷载孔的节点变位和拱中内力后，根据荷载孔的节点变位 和拱中内力计算。 a 孔换算刚度的计算公式如下： k 忒础。譬避筹生山婴铲 t 旷 + - a + t a 垡社慨堡等挚 厶z r a ，( 口一i )厶z ja ，( d 1 ) 趴。_ s a + _ a _ t a 垡害 三业- c s 。堡等堡血 j 厶a ，( 口一】) 厶厶a ，( 口一1 ) 当a = l 时，换算墩代表l 孔拱墩结构，此时a a 一1 = 0 0a 一1 = 0 此时可直接得 出其换算刚度计算公式： k 。= k ，+ i t 川= 一t + 亍 s 。= s 。+ i ： 当a = 2 时 。) = k - + i ，+ k 。= k ， l 扣叫= t t + 亍t + t 。= 五 z s “。，= s - + i 。+ s z = 墨 利用以一卜公式可递推求得任意多孔连拱的换算刚度。 3 3 无铰连拱内力影响线 无较连拱内力影响线坐标可按下表计算。表中各符号含义如下： k = k r + k ak 6 = k r + k b s = s r + s a邑= s r + s a 0 = t r - t a瓦= t r - t b 式中：i ( r 、s r 、t r 一一荷载孔r 拱的抗推刚度、抗弯刚度、相干系数： k a 、s a 、t a _ _ 换算墩a 的抗推刚度、抗弯刚度、相干系数； k b 、s a 、t b _ - 换算墩b 的抗推刚度、抗弯刚度、相干系数。 a l - k 。e s 。- ( e l ) 2a 2 = k r e s 。一t r l b 1 2 k r s 。一t r b 2 = k 。s 。一( 死) 2 r 2 = a i b 2 一a 2 8 1 式中：日? 固定拱中推力影响线： m 二、m 品、m 一固定拱右、左拱脚、任意截面弯矩影响线： 表3 - 2 拱中内力影响线计算公式表 荷 涔。 p = j 、1 斤= i 载 a 肾f | ja 广f b 计情 ，j l 。，j 。 击 算况 内 12 3 亭 占。 0 一( b 2 s 一a 2 s 6 ) r 2s 。a 1 变巩 s 。b z( a 1 咒一b 1 s 。) r 2 o 位 巾。 0 r a r 2 l a - 参 中。 一0 b z r b r ，o 数 i i 1 - t r 咖b - k r 占b 1 + t “。- 由s ) + k “占。一占b ) l + t r 。+ 鼬占a ( c s r 中。【s r 。一c s r 中e + 1 h ja 内e a ( s r 中。+ t 1 6a ) f + t r 占b ) f一乩) 】f 力 参 h f s r 中n + t r 占b ) f 一c s o 。+ s r 巾b + t r ( 6a - ( c s r 。+ t r 占。) f 一占b ) l f 数 c f 1 一e ) ( 1 一y 1 “f ) + 。一( e 。+ b ) ( o 5 - x 1 ) h a 。n h ! 拱 。- h h ： 中 内 m 。 m i b + ，4 ；f 力 续上表 影 m b 。m 品+ c 。f h ； 晌 线 m 。 m ：+ 。f h p 3 4 连拱挠度影响线的计算 对与拱桥来讲，控制截面的挠度对工程实际有着重要的意义，但在计算中用 手算往往十分繁琐，所以在以上已有程序的基础上又编制了求解挠度的程序，使 得计算方便快捷，而且还在程序中绘制了挠度的影响线的图形，使结果更加直观， 该程序的准确性已经得到了考证，与手算的结果进行了比较，结果误差都允许范 围内。 3 4 1 恒载作用下的挠度 在这罩我们利用结构力学的知识求解挠度，其挠度公式为： p i = 卢t m ，d s e l + 卢t ，d s e a 为了能利用前面程序中的内力计算结果，将上式变为 p = y 万吖。a s e + y 丽。的删 一，7 一 r 式中：m ，静定结构下单位力作用上控制截面i 上任意截面的 弯矩、轴力； m p ，n 。一叵载作用下连拱计算孔任意截面的弯矩、轴力； p 。一一控制截面i 在恒载作用下的挠度； s = l ( n c o s 夺) n = 4 8 * r mt i n 取正整数 3 4 2 活载作用下的挠度 活载挠度的求解在此利用求解影响线的方法来解决，先利用以上求挠度的公 式，来求连拱计算孔各控制截面挠度影响线的坐标值，然后再用加载程序求出各 控制截面的挠度。 4 动态加载计算 4 1 动态加载的概述 公路桥梁所要承担的动载是各式各样的，荷载的形式、类别、量级、位置 是任意复杂的。为了便于分析问题，在这里取用“公路桥涵设计通用规范 j t j 0 2 1 8 9 ”中的所列的基本可变荷载：汽车一1 0 级、汽车一1 2 0 级、汽车2 0 级和 汽车超2 0 级四个等级：人群荷载；履带5 0 、挂车一8 0 、挂车1 0 0 、挂车一1 2 0 。其 轴压间距、车距、偏载位置及作用力的大小均依此为准。 在加载时，还要考虑到车行方向，车辆列数，给同一截面产生正、负极值 的加载状态，对每一种内力，每一种设计荷载都应考虑到。在各类荷载中，汽车 荷载的状态最复杂，不同的等级，其车辆的轴距各不相同，随着影响线的形状各 异，车距则可以自由拉大。因而，采用动态加载法进行比较为方便。 4 2 动态加载的原理 4 2 1 加载的原理 只要给出内力影响线，利用动态规划法的思想进行快速加载即得内力的极 值，并且也求出了最不利的位置。 一1 p 、【_ 卜一卜 = 二f 图5 1 设f ( x ) 为区间【b ，e 】的影响线，如图5 1 a ) 示，定义u ( x ) 为在【b ，e 范围内加 载时，可能求得最大影响线值，亦称为极值函数，下面举例说明u ( x ) 概念： # 一 。膏 。 ， 一一 例 ：只有一个集中力p 作用时，u ( x ) 的函数容易求得，如图5 - l b ) 示。 当p 在【b ，a 】区段时，由于影响线是增加的，所以u ( x ) 上升。当p 在【a ，b 区段时，由于影响线的值均小于a 点f f x 。) 值，u ( a ) 值不会增大，则仍然取a 点的 内力值，故u ( a ) 值不会增大，则仍然取a 点的内力值，故u ( x ) 在【a ，b 区段是一条 水平线。当p 在【b ，c 】区段时，f ( x ) 为增加，因而u ( x ) 3 ：于t - 。当p 在【c ，c 区段时， 由于自 x ) 的下降，加载所得的u ( x ) 值必然小于c 点，u ( x ) 取c 点的值，故呈水平 线。 从该例说明了u ( x ) 曲线的含义，它表示在 b ，e 范围内可能取得的最大值u ( x ) 是一个单调不减函数。故，它的右端e 点的u ( e ) 值表示在整根影响线上加载时， 所能取得的最大内力值。 例二：有一列单个集中力作用时，且规定各力间距的距离不小于a 1 ，其u ( x ) 函数如图5 1 c 1 示。 如果我们已经求得了1 j ( x 一x ) 值，欲求u ( x ) 值，布载于x 点，这样在区间 b ，x 上，一列单个集中力的内力值有两种可能： 1 、在x 点荷载所引起的内力f ( x ) = p * f f x ) ，再加上x a 1 处可能的最大内力u ( x a 1 ) 。 其值大于u ( x a x ) 值，即： u ( x a 1 ) + f ( x ) u ( x 一x ) 这表明在x 点布置一个荷载，对增大内力有作用，这时： u ( x ) = f ( x ) + u ( x a ) 2 肖u ( xa 1 ) + f ( x ) u ( x - x ) 的点，必然是荷载可能作用的位 置。反之，一定不是荷载作用的位置。利用这个特点，对u ( x ) 函数从e 开始 向左寻找，第一个函数增加点x 就是右边第一个荷载的最不利位置。由于第一个 荷载与第二个荷载间的距离不能小于a ，所以，右边第二个荷载应在 b ，x l - a 区 问，从x l - - a 。点向左找，首先遇到函数的增加点x ：，这就是第二个荷载的最不利位 置。然后第三个一一依次重复寻找，便得到全部荷载的最不利位置。 在公路桥梁e ，汽车荷载用时，只需要将f ( x ) = 衅f ( x ) 换成 q ( x ) = m f ( x ) + p f ( x + 4 ) 就可以了，这里p 。为标准车后轴压力时，p 。则为标准车前 轴压力。汽车荷载位置一律以后轴位置为准，寻找最不利位置的方法同上所述。 4 3 动态加载计算公式 在具体计算时，是将整根影响线分成等间距x 的若干段，计算在分点上进 行，x 的选择应使车轴距离为x 的整数倍。这样，计算就可以在整数的点上 进行，并以分格数来表示长度。 下面我们以分格点数表示长度，b 点为l ，e 点为n 时，- - n 标准车从左向 右行驶，u ，( x ) 的递推式： u 。( x ) 在b 点的值： u 。( x ) = j q ( 1 )q ( 1 ) o o 0 q ( 1 ) u ( x 1 ) 、( x 一1 )q ( x ) u l ( x 一1 ) l u ( x 1 ) q ( x ) + u l ( x a ，) = u ( x 一1 ) 其中：q ( x ) 是一辆标准车在x 点的内力值( 以后轴为标准) 。 同理，可以求得一列标准车向左退着行驶时的u ：( x ) 函数。u ：( x ) 的函数意义 是在区段 x ，e 上加载时，可能求得的最大内力，它是个不升的单调函数。 在汽车车列中，人们规定了有一辆加重车。这时，我们将整个车列看作由三 部分组成： 1 重车本身，它的加载内力计作g ( x ) 2 加重车左边的标准车，距加重车的距离不小于a ：，当加重车位置一旦确 定，便由u ( x ) 的求值办法求得该标准车的内力值： u l ( x a 2 ) 3 加重车右边的标准车，距加重车的距离不小于a ，同理求得这一部分列 车的最大值： u 2 ( xa 3 ) 将这二部分的内力叠加，就得到加重车位于x 处的内力极限1 ( x ) 即： l ( x ) = g ( x ) + u ，( xa 2 ) + u ? ( x + a ，) - n 汽车荷载的最大内力为： m = m a x ( 1 ( x ) ) 相应的加重车位置记为x 。 在汽车车列求最不利位置时，是以加重车为中心，加重车确定了位置以后， 在其左、右不小于规定间距以外再寻找前后标准车的加载位置，最后是将三部分 求和，即为所求。 5 荷载组合 桥梁结构按极限状态法设计时，分为两种极限状态，即正常使用极限状态和 承载能力极限状态。对于这两种极限状态，应按不同的组合系数对荷载效应进行 组合。 对钢筋砼和预应力砼构件进行承载能力极限状态计算时，需要确定构件各截 面计算内力s ，根据桥规( j t j 0 2 3 8 5 ) 中的第4 1 2 条规定，按承载能力极 限状态设计时，荷载组合及荷载安全系数按下述规定采用。 对于圬工结构进行承载能力极限状态计算时，应按桥规0 2 1 和桥规 0 2 2 ) ) 的规定进行组合。本程序对两种结构均有。 5 1 对于钢筋砼结构当结构重力产生的效应与汽车( 或挂车或履带车) 荷载产生 的效应同号时： 组合is 仁1 2 s 。+ 1 4 s 。 组合its ? = 1 1 s 。+ 1 3 s 。+ 1 3 s 组合i i is y = 1 2 s 。+ 1 1 s ”。 对于砼这种轻型结构，应考虑横向分配系数对荷载组合的影响，所以在计算 时应另行单独考虑。 对圬工结构当结构重力产生的效应与汽车( 或挂车或履带车) 荷载产生的效应同号时： 组合is 净1 2 s 。+ 1 4 s7 。 组合i is ? = o 8 ( 1 2 s 。+ 1 4 s q ，+ 1 4 sq 2 组合i i i s y = o 8 ( 1 2 s 一1 4 s ”。) 式中：s l 计算内力； s 。永久荷载中结构重力产生效应； s 。基本可变荷载中汽车( 包括冲击力) 、人群产生的效应； s 。基本可变荷载中平板挂车或履带车产生的效应； s 。其它可变荷载中的温度影响力和永久荷载中的砼收缩、徐变影响 力及基础变位影响力的一种或几种产生的效应。 桥规中还规定式( 6 - 1 ) 和( 6 - 2 ) 中的荷载系数按以下情况提高：汽车 荷载效应占总荷载效应的5 及以上提高5 ，3 3 及以上提高3 ，5 0 及以上时不 再提高。式( 6 - 3 ) 中的荷载系数按以下提高：挂车或履带车荷载效应占总荷载 效应1 0 0 及以上时应提高3 ，6 0 及以下情况提高2 ，4 5 及以下时不再提高。 5 2 钢筋混凝士结构重力产生的效应与汽车( 或挂车或履带车) 荷载产生的效应 异号时： 组合i 组合i i 组合i i i s 鲁o 9 s 。+ 1 4 s 。 s ? = o 8 s 。+ 1 3 s q 。+ 1 3 s 啦 s = o 9 s + 1 1 s 。 5 3 对圬工结构重力产生的效应与汽车( 或挂车或履带车) 荷载产生的效应异号 时： 组合i 组合i i 组合1 1 1 s 譬0 9 s 。+ 1 4 s 0 1 s ? = 0 8 1 0 9 s 6 + 1 4 s 。+ 1 4 s “ s ，= 0 8 ( 0 9 s 。+ 1 4 s 。) 6 程序框图 6 1 程序一框图 本程序是求解等跨连拱的计算跨径l 、计算失高f 、拱轴系数m 6 , 2 程序二框图 该程序主要用于求解计算孔的内力影响线 调用程序一的数据文件 1 求拱的弹性常数 6 3 程序三框图：该程序主要用于求解活载的内力 调用程序二的数据文件 1 l 判断荷载的性质 l 求各种荷载作甲下的最大内力值 6 4 程序四框图 该程序求解恒载内力、温度内力、收缩内力、拱脚位移内力及考虑弹性 压缩的活载内力： 调用程序一的m 1 f 1 r 求恒载内力 求收缩内力 6 5 程序五框图 该程序求解荷载的不利组合 宁 调用程序四的数据 各不利组合的计算 7 等跨连拱的计算示例 本程序通过两个算例来考证其正确性，算例一为等截面悬链线圬工拱桥的 计算示例，该算例主要用来考证程序在求解等跨连拱在恒载作用下的内力值。算 例二为等跨四孔无较连拱的计算示例，该算例用来考证程序在求解活载作用下的 正确性。( 算例一引自王国鼎的桥梁计算示例集拱桥( 一) 中的例一；算例：引 自王国鼎的拱桥连拱计算一书中第1 1 3 页的例6 - 2 。) 7 1 设计资料 7 1 1 算例一 本示例上部结构为等跨4 0 m 的石砌板拱，下部结构为重力式墩和u 型桥台，均 布置于非岩石地基上。 一、设计标准 l 、设计荷载 汽车2 0 ，挂车一1 0 0 ，人群荷载3 k n m 2 2 、跨径及桥宽 净跨径l o = 4 0 m ，净失高f o = 8 m ，净失跨比f d l o = 1 5 桥面净宽为净7 + 2 ( o 2 5 + 0 7 5 m 人行道) ，b o = 9 m 二、材料及其数据 1 、拱上建筑 拱顶填料厚度，h d = 0 5 m ，包括桥面系的计算厚度为o 7 3 6 m 换算平均容重 r l = 2 0 k n m 3 拱e 护拱为浆砌片石，容重r z = 2 3 k n m 3 腹孔结构材料容重r 3 = 2 4k y m 3 主拱拱腔填料为沙、砾石夹石灰炉渣黄土，包括两侧侧墙的平均容重r 4 = 1 9 k n m 3 2 、主拱圈 1 0 号沙浆砌4 0 号块石，容重r 5 = 2 4k n m 3 极限抗压强度刚= 6 5 1 0 3k n m 2 极限直接抗剪强度r ? = o 3 3x1 0 3k n m 2 弹性模量e = 5 2 1 0 3k n m 2 拱圈设计温度差+ 1 5 0 c 7 1 2 算例二 上部结构为4 孔等跨钢筋混凝土拱桥，桥墩为钻孔灌注桩上加砼墩身。 1 设计荷载：汽车一超2 0 级，挂车1 2 0 人群荷载3 ，5 k n m 2 2 桥面净宽：净一7 5 + 2 1 0 m 人行道 3 主拱圈 2 0 号砼e h = 2 6 1 0 7k n m 2 l , , = 2 5 mf o = 3 12 5矗l 。= 】8 l = 2 5 4 0 6f - 3 1 8 4m = 1 7 5 6 4 桥墩的弹性常数 面= 2 4 8 x1 0 5k n m 亍= 1 5 6 6 1 0 5k n m s = 1 1 1 9 8 1 0 3 k n m 5 有关几何要素 拱圈换算截面面积a 产2 7 2 6 m 2 拱圈换算惯性矩i 。= 0 1 8 2 m 2 7 2 计算结果的精度分析 7 2 1 算例一的机算结果与手算结果的比较( 见表7 一l ，表7 2 ) 表7 1考虑弹性压缩的恒载内力值 项目拱顶 1 4l 截面 拱