（基础数学专业论文）有括积的超代数及其相关问题研究.pdf

摘要 本文是在李超代数的基础上构造出了与有括积的代数相对应的有括积 的超代数，并对这个代数的平凡同调、泛中心扩张、导子及自同构群的提升 问题进行了研究。 在本文的第一章对于泛中心扩张的些经典性质：泛中心扩张的唯一 性；泛中心扩张的存在的充要条件；泛中心扩张的简单可分性等给予了一般 性的证明。而且在泛中心扩张的存在性的充要条件的证明过程中采用了反证 法来说明这一普遍结论。这也是我的论文的一项创新。 在第二章讨论了有括积超代数的上同调群理论，并且通过对有括积的超 代数的平凡同调构造，最终得到一个与已知的短正合列相对应的五项正合 列，从而得到有括积的超代数的泛中心扩张的核。 。第三章中构造了有括积超代数的泛中心扩张，同时对有括积超代数的导 子及子同构群的提升问题进行了讨论。 关键词：泛中心扩张；导子的提升；自同构群提升；有括积超代数；双代数 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s t l u c tan e w s u p e r a l g e b r a lc a l l e ds u p e r a l g e b r aw i t h b r a c k e t c o r r e s p o n d i n gt ol i es u p e r a l g e b r a ，a n ds t u d yt h e t r i v i a lh o m o l o g y , t h eu n i v e r s a l c e n t r a le x t e n s i o na n dl i f t i n go fa u t o m o r p h i s m sa n dd e r i v a t i o n so fi t c h a p t e r1i sd e v o t e dt op r o o ft h ec l a s s i cp r o p e r t i e so fu n i v e r s a l c e n t e r e x t e n s i o n s u c ha s 也eu n i q u e n e s so fu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ，t h es u f f i c i e n c ya n d n e c e s s a r yf o rt h ee x i s i t e n c eo fu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ，t h es i m p l i l ys p l i to f u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ( i ei f 石：a - - - - ) bi st h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no f b ，t h e nai ss i m p l i l ys p l f f ，t h a ti sa i si s o m o r p h i ct oi t su n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n i e d ：a - - - - ) ai sau n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no fa ) a n ds oo n w eu s er e v e r s a l m e t h o dt os h o wt h eg e n e r a lr e s u l t ：t h es u f f i c i e n c ya n dn e c e s s a r yf o rt h ee x i s i t e n c eo f u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n w h i c hi sa l s oar e v o l u t i o n a r yi nm y 血e s i s i nc h a p t e r2w ed i s c u s st h ec o h o m o l o g yt h e o r yo fs u p e r a l g e b r aw i t hb r a c k e t ， c o n s t r u c tt h et r i v i a lh o m o l o g yo ft h ea l g e b r a ，a n do b t a i na5 - t e r me x a c ts e q u e n c e c o r r e s p o n d i n gt oag i v e ns h o r te x a c ts e q u e n c eb yt h i sw a y , w h i c hi m p l i e st h ek e r n e l o ft h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no fs u p e r a l g e b r aw i t hb r a c k e t w ec o n s t r u c tau n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no fs u p e r a l g c b r aw i n lb r a c k e tw i 1t h e s a l n ek e r n e lo b t a i n e di nc h a p t e r2 ，a n ds t u d yt h el i f t i n go fa u t o m o p h i s m sa n d d e r i v a t i o n so fs u p e r a l g e b r aw i t hb r a c k e ti nc h a p t e r3 k e yw o r d s ：u n i v e r s a l c e n t r a l e x t e n s i o n ；l i f t i n g o fa u t o m o r p h i s m ；l i f t i n go f d e r i v a t i o n s ；s u p e r a l g e b r aw i t hb r a c k e t ；d o u b l ea l g e b r a 独创件声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：继指导教师签名：邀速烈 日 期：塑翌：丛 e t 期：型掣：! 鎏 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 1 1 课题背景 1 绪论 在二十世纪八十年代，由于物理学中超对称问题研究的需要，李超代数得以 迅猛发展。在二十世纪八十年代，物理学为了建立相对论的费米子与波色子统一 理论，由w e s s 和z u m i n 提供了超对称性，将普通的时间、空间的p o i n c a r e 李代 数扩充为p o m c a r e 李超代数，从此开始了对李超代数的研究。李超代数的研究成 果不仅促进了物理学的发展，在数学上亦与组合数学，顶点算子代数，微分流行， 微分几何，拓扑学等重要的数学分支有着广泛而深刻的联系。因此至今这方面的 研究工作十分活跃。李代数与李超代数在物理学理论以及物理学中已经占有极为 重要的位置，它的发展将对数学的其他分支与理论物理产生深刻影响。 在李代数或是李超代数的研究过程中，我们知道一个代数可以嵌入到它的泛 中心扩张之中，因此对于代数的泛中心扩张代数的结构的研究有助于我们研究该 代数本身的结构分类等重要性质，是很有意义的。 近年对李代数的研究又出现了去掉李代数中的某些条件而产生的新的代数 代数结构( 我们称之为外代数) 的研究与探讨。例如l e i b n i z 代数，就是在李代 数的基础上拿掉反对称条件：x , y - - y , x 而得到的外代数。同样的在李超代数的 条件之中平行地拿掉与某个外代数对应的条件得到的就是与之相对应的超代数。 例如在李超代数中拿掉反超对称条件： x ，y 】= ( 1 ) p 【y ，x 得到的就是与l e i b n i z 代数相对应的l e i b m z 超代数。对于这些外代数的研究有利于深化我们对于李代 数李超代数性质，分类的研究。同样李代数作为这些外代数的特例也会在外代数 的研究过程之中得到促进发展。 在两千零六年，c a s a s j m 和p i r a s h v i l i 在研究非交换的l e i b m z 代数过程中 提出了有括积代数的概念并在此基础上以同调的手法研究了该代数的同调群得 出了这种代数的泛中心扩张的核，从而构造了这个代数的泛中心扩张。 本文主要就是在李超代数的基础上受到由结合超代数诱导出的李超代数与 结合超代数的融合等式 a 6 ，c = a 6 ，c + ( - 1 ) 动p 口，c b 的启发从而对 有括积的超代数进行定义，并研究这种代数的相关问题。 1 2 本文研究内容 本文研究的代数典型范例就是由结合超代数诱导出的李超代数。在这个代数 中有两种代数结构：结合超代数和李超代数，他们相对应的运算我们在这里简称 为结合乘和李乘。我们保留结合乘这一基本运算，定义抽象的与结合乘具有相容 条件等式 口6 ，c = 口 6 ，c 】+ ( 一1 ) 动c 口，c 】6 的括积运算。从而定义了有扩 东北师范大学硕士学位论文 积的超代数。 然后借助于h o c h s c h i l d 复形来研究有括积超代数的h o c h s c h i l d 上同调群。 然后定义一个上链映射口，通过该映射的m a p p i n gc o n e 这一同调代数中的常用 手法来构建有括积超代数的上链复形，得到有括积超代数的上同调日二船( 彳，m ) 。 再应用自由应用基本的同调运算得到这个上同调同构于q u i l l e n 上同调。 接着定义有括积超代数的平凡同调。然后应用l o d a y 的一个结论得出对应于 一个短正合列的五项正合列。把这个结论应用到有括积超代数的中心扩张上面很 容易的得到有括积超代数的泛中心扩张的核同构于刚定义的平凡同调的一维同 调群。 有了泛中心扩张的核，那么就可以根据这个核来对应的构造有括积超代数的 泛中心扩张。其实这个泛中心扩张的构造是受到了k i o h a r a 和y k o g a 于二零 零一年在c o m m m t m a t h h e l v 7 6 发表的文章c e n t r a le x t e n s i o no f l i es u p e r a l g e b r a s 中构造方法的启发。文章中是一种代数结构，而我要解决的代数是具有两种代数 结构的双代数结构对于其中任何种代数都可以构造类似于上面文章中的泛中 心扩张，你们为了解决他们之间的共存关系，就有了( 彳 彳) o ( 彳p 彳) 的构造。 在它的基础上模去i m d 2 及再其上再赋予显然的运算使之成为有括积超代数。这 样就得到了有括积超代数的泛中心扩张。 然后以显然的方式来提升有括积超代数的自同构群及导子。 此外，为了完备代数的中心扩张理论，本文特别拿出一个章节来对代数的中 心扩张、泛中心扩张的一般结论给予一般性的证明。 1 3 本文结构 本文共分四个章节： 第一章绪论。用于介绍本文研究的背景，主要研究内容。 第二章中心扩张。这一章主要对一般代数的中心扩张、泛中心扩张的一般 性结论给予一般性的证明。 第三章有括积超代数。这一章中对有括积的超代数进行定义并研究他的同 调及泛中心扩张的核。 第四章有括积超代数的泛中心扩张。这一章构造了有括积超代数的泛中心 扩张，并且研究了有括积超代数的自同构群及导子的提升问题。 2 东北师范大学硕士学位论文 2c e n t r a le x t e n s i o n so f a l g e b r a s 2 1c e n t r a le x t e n s i o n so fa l g e b r a s i nt h i sp a r t ，w ed e v o t e dt od i s c u s ss o m eg e n e r a lp r o p e r t i e so fe x t e n s i o nf o rac e r t a i n a l g e b r a f i r s t ，w ea s s u m et h a ta l lt h ea l g e b r a l sr e f e r r e dw e r eo v e raf i e l dka n d b e l o n g e dt ot h es s m l ea l g e b r a lc a t e g o r y , d e n o t e db yl s d e f i n i t i o n 2 1e x t e n s i o no f a l g e b r a l a ne x t e n s i o no faa l g e b r aa i sas h o r te x a c t s e q u e n c ei nt h ec a t e g o r yl s ： 0jk _ b 山彳一0 ( 1 ) h e r ee ：k e ( k ) = k e r ( f ) i sa l li s o m o r p h i s m b e c a u s eo ft h i s ，w ew i l l u s u a l l y i d e n t i f y ka n d e ( k ) t h e n a l le x t e n s i o no fai st h es a m ea sa n e p i m o r p h i s mf ：b a i nt h i s w a y ah o m o m o r p h i s m f r o ma i le x t e n s i o n f ：b at oa n o t h e re x t e n s i o n 厂：b _ ai saa l g e b r ah o m o m o r p h i s mg ：b b s a t i s f y i n gf = f 。g ；i no t h e rw o r d s ，w ec a nh a v et h eu n d e r l y i n gc o m m u t a t i v e d i a g r a m ( 2 ) i n p a r t i c u l a r ,b yf = f 。g w eh a v e g 一1 ( k e rf ) = k e rf o b v i o u r s e l y f 。g ( k e r g ) = 0 ，s ow eo b t a i nk e r gck e r f b e c a u s eb o t h 厂a n df a r e e p i m o r p h i s m ，w eh a v ef ( b ) = a = f ( b ) = f 。g ( b ) w h i c hr e c a l l s b - 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