（基础数学专业论文）一类hadamard划分的构造与分析.pdf

t h ec o n s r u c t i o na n d a n a l y s i so fah a d a m a r dp a r t i t i o n at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l u1 l v e i s u p e r v i s o r ：p r o f z e n gx i a n g y o n g h u b e i u n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 6 3删9 删6洲3舢7il-脚y 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 论文作者签名：秧站 日期：o 幻j o 年s 月穆日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允 许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：爻弗 指导教师签名：f 穹；军勿 日期：一口，o 辜圭目j 幺目 日期：劬j o4 罗目f f j 摘要 随着时代的发展，人类对无线通信的需求有了更高的要求，c d m a 技术也随之出 现c d m a 通讯系统的容量大小和通讯质量在很大程度上取决于所采用的扩频序列在 扩频系统中，信号频谱的扩展通过扩频码实现扩频系统的性能同扩频码的性能有很大 关系在实际工程中，用伪随机或伪噪声( p n ) 序列作为扩频码m 序列，g o l d 码在 扩频码中有着特别重要的地位在q s c d m a 通讯系统中，使用的是l s ( 1 0 0 s e l y s y n c h r o n i z e d ) 码这些码是由h a d a m a r d 矩阵构造成的，如果h a d a m a r d 划分数量比较 小或者是唯一的，这时可能存在被第三方获得或破解的安全隐患因此，研究h a d a m a r d 划分的数量具有十分重要的意义 本文主要是研究一种新的h a d a m a r d 划分的构成首先介绍了研究h a d a m a r d 划分 的数量的重要性，通过考虑函数厂d j o ) = z r ( a x “+ k 1 + ) ，知道至少存在一个非零解， 使得对任意的x ，都有厶 + ) = 厶+ 其中e = l 占( ) o ，1 ，并分别研究了当取 1 和0 的情况，构造了一种新的h a d a m a r d 划分再结合对几乎b e n t 函数的研究方法， 从不同的情况研究此h a d a m a r d 划分的数量 关键词：有限域；迹函数；h a d a m a r d 矩阵；h a d a m a r d 划分；秩 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fo u rt i m e s ，p e o p l e sd e m a n df o rw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n b e c o m e sh i g h e r , c d m at e c h n o l o g ya l s oa p p e a r s t h e c a p a c i t ya n dq u a l i t yo fc d m a c o m m u n i c a t i o ns y s t e md e p e n d sl a r g e l yo nt h es p r e a d i n gs e q u e n c e su s e d i ns p r e a ds p e c t r u m s y s t e m s ，t h es p r e a do ff r e q u e n c ys p e c t r u mo fs i g n a l sa c h i e v e st h r o u g ht h es p e c t r u ms p r e a d i n g c o d e s t h ep e r f o r m a n c eo fs p r e a ds p e c t r u ms y s t e mh a sm u c ht od ow i t ht h ep e r f o r m a n c eo f s p r e a d i n gc o d e s p s e u d o - r a n d o mo rp s e u d o - n o i s e ( p n ) s e q u e n c e sa r eu s e da ss p r e a d i n gc o d e s i nr e a le n g i n e e r i n g ms e q u e n c e sa n dg o l dc o d e se n j o ya s p e c i a li m p o r t a n ts t a t u si ns p r e a d i n g c o d e s i nq s - c d m ac o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ，l s ( 1 0 0 s e l ys y n c h r o n i z e d ) c o d e sa r eu s e d t h e s eh a d a m a r dm a t r i x sc o n s t i t u t et h ec o d e s ，a n di ft h eq u a n t i t yo fh a d a m a r dp a r t i t i o n sa r e t o os m a l lo ru n i q u e ，t h e nt h e r em a yb ep o t e n t i a ls a f e t yh a z a r do f b e i n ga c q u i r e do rd e c i p h e r e d b yt h i r dp a r t y t h e r e f o r e ，w o r k i n gi n t h eq u a n t i t yo fh a d a m a r dp a r t i t i o n si so fg r e a t s i g n i f i c a n c e t h ep a p e rs t u d i e st h ec o m p o s i t i o no fan e wh a d a m a r dp a r t i t i o n f i r s t l yi ti n t r o d u c st h e i m p o r t a n c eo ft h i sp r o b l e m ，b yc o n s i d e r i n gt h ef u n c t i o n 厂口占o ) = r r ( a x l + + b x l + 2 3 ) ，i t c o m e st oac o n l u s i o nt h a tt h e r ee x i s t sa tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o na ，w h i c hm a k e s 五 g + 兮= 厶+ 占f o ra r b i t r a r yx ，a m o n gt h e m e = 厂4 占( ) o ，1 】t h e ni tc o n s t r u c t sa n e w h a d a m a r dp a r t i t i o nt h r o u g ht a k i n gt h ec a s e = 1 a n d = 0 l a s t l y , t h eq u a n t i t yo ft h i s h a d a m a r dp a r t i t i o ni ss t u d i e di nc o n j u n c t i o nw i t ht h em e t h o do fb e n tf u n t i o ni nt h r e ed i f f e r e n t c o n d i t i o n s k e yw o r d s ：f i n i t ef i e l d s ：f i n i t ef i e l d ；h a d a m a r dm a t r i x ；h a d a m a r dp a r t i t i o n ；r a n k i l 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 弓i 言1 1 1 本文研究背景及意义1 1 2 论文的研究内容和组织结构。3 2 预备知识5 2 1 有限域上的基本概念和相关结论5 2 2 有限域上的序列及h a d a m a r d 矩阵的相关概念6 3 构造新的h a d a m a r d 划分的方法9 3 1 研究h a d a m a r d 划分的意义9 3 2 新的h a d a m a r d 划分的构造。1 1 4 有关h a d a m a r d 划分数量的讨论1 6 4 1 已得到的一些结果。1 6 4 2 关于h a d a m a r d 划分的数量的讨论1 7 5 相关结果的展望一2 0 参考文献2 1 致 谢2 3 1 i i 1 引言 1 1 本文研究背景及意义 1 引言 随着信息时代的到来，人们对信息安全越来越重视，而密码技术作为保证信息安全 的一个重要手段显得更加重要我们现有的密码体制大体可以分为两大类：序列密码和 分组密码序列密码作为对称密码体制的基本方式之一，是现代密码学的一个重要研究 分支在序列密码体制中，加密和解密实现方式简单，速度快，而且由于可以有效地运 用数学工具来研究它，序列密码理论相对比较成熟，因而受到广泛重视序列密码中对 首发两端的同步性要求是相当严格的，否则就无法正确回复消息序列序列密码研究中 的一个最大难题是怎样设计出理想的密钥序列? 这是一个至今都未能圆满解决的重要 问题虽然信息论的奠基人s h a n n o n 早在1 9 4 8 年就从理论上严格证明了：如果密钥序 列是一个真j 下的随机序列，那么相应的序列密码就是绝对牢不可破的密码但是遗憾的 是在实际工程中，人们无法重复地产生同一个随机序列，为此，人们不得不用各种各样 的伪随机序列作为密钥序列去代替真正的随机序列实践证明并非一切伪随机序列都能 用作密钥序列经过国内外学者的不懈努力，虽然至今仍未能找出对密码伪随机性要求 的充分条件，但是的确发现了不少重要的密码伪随机性必要条件，其中最主要的一个必 要条件是所谓的线性复杂度的要求序列密码因其易于实现、加解密快速、无错误传播、 应用协议简单等优点，仍然在政府、军事、外交等重要部门的保密通信中广泛被使用， 因此，序列密码一直是争相研究的热门课题 时代在不断发展，人类对无线通信的需求有了更高质的要求，c d m a 技术也随之出 现在第二次世界大战期间，因为战争的需要，科学家们研究开发出c d m a 技术，其 思想初衷是防止敌方对己方通讯的干扰，此技术在战争期问广泛应用于军事抗干扰通 信，后柬由美国高通公司更新成为商用蜂窝电信技术1 9 9 5 年，第一个c d m a 商用系 统运行之后，c d m a 技术理论上的诸多优势在实践中得到了检验，从而在北美、南美和 亚洲等地得到了迅速推广和应用全球许多国家和地区，包括中国大陆、中国香港、韩 国、日本、美国都已建有c d m a 商用网络在美国和日本，c d m a 成为国内的主要移 动通信技术在美国，1 0 个移动通信运营公司中有7 家选用c d m a 到2 0 0 6 年4 月， 韩国有6 0 的人口成为c d m a 用户在澳大利哑主办的第2 7 届奥运会中，c d m a 技 术更是发挥了重要作用 湖北人学硕士毕业论文 s c d m a 是同步码分多址的无线接入技术，它采用了智能天线、软件无线电、以及 自主开发的s w a p + 空中接口协议等先进技术，是一个全新的体系，一个全新的我国拥 有完整自主知识产权的第三代无线通信技术标准s c d m a 的独特技术优势体现在： s - c d m a 是世界上第一套将智能天线应用于商业电信运营的无线通信技术标准；第一次 将时分双工( t d d ) 用于宏蜂窝结构，其基站与终端都大规模采用软件无线电结构；并 第一次优化组合以上功能，实现了同步码分多址的无线通信协议，成为国际领先的无线 通信技术标准 c d m a 通讯系统的容量大小和通讯质量在很大程度上取决于所采用的扩频序列针 对准同步c d m a 系统，人们提出了零相关区序列集的概念在准同步c d m a 系统中， 采用零相关区序列集作为其扩频序列集，可以降低或消除系统中如共信道干扰等一些干 扰c d m a 是扩频通信的一种，它具有扩频通信的以下特点： ( 1 ) 抗干扰能力强这是扩频通信的基本特点，是所有通信方式无法比拟的 ( 2 ) 宽带传输，抗衰落能力强 ( 3 ) 由于采用宽带传输，在信道中传输的有用信号的功率比干扰信号的功率低得 多，因此信号好像隐蔽在噪声中；即功率话密度比较低，有利于信号隐蔽 ( 4 ) 利用扩频码的相关性来获取用户的信息，抗截获的能力强 ( 5 ) 多个用户同时接收，同时发送 在扩频系统中，信号频谱的扩展通过扩频码实现扩频系统的性能同扩频码的性能 有很大关系在实际工程中，用伪随机或伪噪声( p 序列作为扩频码其中，m 序列， g o l d 码在扩频码中有着特别重要的地位m 序列可由二进制线性反馈移位寄存器网络 产生以级网络主要由n 个串联的寄存器、移位脉冲产生器和模2 加法器组成，在实际 工程应用中，m 序列既由硬件产生，也可由软件产生，存储于r o m 中，通过相应的时 钟来同步输出根据域论中的多项式的概念，反馈逻辑可以表示为以二元有限域的元素 口，s ( o ，1 ) o = 1 ，2 ，以) 为系数的多项式形式，即口。一罗口，工如果将模2 加法器反馈到 胃 第一级的联线口。= 1 考虑进去，则反馈逻辑的多项式变为f o ) = 1 0 n ，一= 口并称 其为特征多项式a ，= 0 表示所对应的寄存器不参加反馈，a ，= 1 则表示参加反馈将各 级系数口，的取值用一个二迸制数组c 表示，顺序从高级( 末级) 到低级( 第一级) 改 1 引言 变线性反馈移位寄存器的反馈逻辑可以得到不同的码序列，且不同码序列的周期不完全 相同对n 级网络，其可产生的码序列周期最大长度为2 “一1 ，称这样的序列为最大长 度序列同一个线性反馈移位寄存器网络的输出序列还与各寄存器的初始状态有关 g o l d 码是由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对f 互相关值很小的两个 m 序列) 模2 和构成每改变两个聊序列的相对位移就可得到一个新的g o l d 码g o l d 码 保留了m 序列的优良特性，其自相关特性与m 序列近似，而且互相关值不会超过原m 序 列间的最大互相关值，因此可以得到比m 序列多得多的独立码组，这使得g o l d 码在多址 技术中得到了广泛的应用如果g o l d 码中“1 ”码元数目比“0 ”码元数目仅多一个，就是平 衡g o l d 码在选用g o l d 码作为扩频码时，应选用平衡码 1 2 论文的研究内容和组织结构 本文从h a d a m a r d 矩阵在s c d m a 和q s c d m a 通讯系统中的应用出发，讲述了研 究h a d a m a r d 划分数量的重要性，通过考虑函数丘占o ) = n ( 似1 + + 缸1 + ) 从而构造了一 个新的h a d a m a r d 划分： su s + 厂口，j ，o ) = ( k ，u k ：) u ( ( k 。u r ：) + l 3 , b 3 ) ) 一f ( k u k ：+ 六，j ， ) ) u ( 憋uk + 尤，乒， ) ) ，= 0 ； i ( kuk + 无幽o ) ) u ( ku 如+ 无幽 ) ) ，f = 1 并讨论了对于不同的a 和b 情况，h a d a m a r d 划分的数量 论文的结构如下： 第一章介绍了有关序列设计的相关背景知识，介绍了c d m a 的发展情况，讲述了 作为扩频序列其中一种的c d m a 的特点，以及用作扩频码的两种重要序列( m 序列和 g o l d 序列) 的基本知识， 第二章介绍了有限域和序列的基本概念及基本结论，给出了h a d a m a r d 矩阵和 h a d a m a r d 划分的相关定义 第三章通过在使用q s c d m a 通讯系统中使用l s ( 1 0 0 s e l ys y n c h r o n i z e d ) 码的过程 中，出现了一个安全隐患，讲述了研究h a d a m a r d 划分的数量的重要性，并给出了一个 新的h a d a m a r d 划分 湖北人学硕士毕业论文 第四章考虑函数l 占 ) ：乃( 伽1 + + k 1 + 2 轴) ，结合对几乎6 p ，z f 函数的研究方法【1 1 ， 在确定变量a 或b 的时候计算出了h a d a m a r d 划分的数量 第五章对本文工作的总结和展望 2 预备知识 2 预备知识 2 1 有限域上的基本概念和相关结论 定义2 1 含有有限个兀素的域称为有限域或g a l o i s 域 最基本的有限域是整数环z 模素数p 的剩余类域，记为t 我们称域中的元素的 个数为有限域的阶，而域中单位元对于加法的阶称为域的特征有限域的特征是一个素 数一般地，若f 为有限域，则f 中含有p ”个元素，其中素数p 称为有限域f 的特征， ，l 称为域f 在它的素域c 上的扩张次数另外，对任意一素数p 和一正整数，z 苫1 ，必 存在唯一一个含有p ”个元素的有限域0 。事实上含有p ”个元素的有限域恰为多项式 工一x 在素域上的分裂域，石矿= x 的所有根即构成了有限域乞。的所有元素参见 文献 8 1 1 1 2 】 对于有限域c 。中任意两个元素口，b 畔1 ，有： ( a + 6 ) p 。= a p 4 + b p 。 定义2 2 设正整数，l = i o n ，若对任意工巴。，称 联( x ) 2 荟x 矿 是从有限域x 到x 。得一个迹函数 我们研究的迹函数通常具有以下基本性质，参见文献 8 1 1 9 1 1 2 ： ( 1 ) 联 ，) ；【联 ) 】，这罩f 是任意整数且当i 被所整除时联 p ) 一联o ) ( 2 ) 任取口，6 t 。，则有联( 似+ 妙) = 口珑0 ) + 6 碱( y ) ( 3 ) 任意取定6 ，方程卅 ) = 6 在有限域。中刚好有p “”个根 ( 4 ) z 磁( x ) = 7 ( 玩”o ) ) ，其中mi ，l ，1 下面介绍有限域t 。上函数的迹变换参见文献【1 0 】【1 2 】 定义2 3 设， ) 为有限域。的一个函数，则称 一一塑= ! ! 查堂堡主兰些堡壅 一 _ - _ _ _ 一一。一一 加) 2 ；。州似 为， ) 的迹变换，其中a 且是p 次本原复单位根 令缸。，口：，口。 为有限域上的一组基，对于任意元素石0 。都可以唯一的表示 为x = 塞鼍q ，其中t e g 如果厂 ) 在向量空间彤上可以写成如下形式 m 。，b ，_ ) | 口q x r x j ，口u 则称厂 ) 为向量空间彤上的一个二次型令矩阵彳- ( a 玎) 。，其：d pa “2 0 在有限域只中，二次函数，o ) 迹变换的值完全由矩阵彳的秩决定也可以说由关 于变量x 的方程 b io ，z ) = 厂 ) + 厂q ) + 厂g + z ) 一0 ( z t 一) 的解的个数决定矩阵爿的秩叫做函数厂 ) 的秩，表示为：r a n k ( f ) ，它是一个偶数， 不妨设为劢，那么关于变量x 的方程b ，o ，z ) = 0 对所有的z 都成立的解的个数为2 ”拍， 即方程的解的个数是2 的方幂参见文献【1 1 】 对于有限域l 上的一个二次函数，o ) ，若它的秩为劬( 1 s | l ls i n ) ，那么，o ) 的迹 变换的值分布如下： r + ，“妇 2 2 一1 2 h 一1 次 厂o ) 2 1 o ，2 一一2 2 h 次 如果p 为奇数，在奇特征域乞。上，二次型，o ) 的秩定义为。向量空间 ；仁f p 。i ，o + z ) = 厂o ) ，魄f p j 的补空间的维数，既有峙i = p ”州 2 2 有限域上的序列及h a d a m a r d 矩阵的相关概念 本节所介绍的基本概念可参见文献【1 】【8 】【1 2 】【1 3 】【1 4 】【2 1 】【2 2 】【2 3 】 设a 。，口：，口。，上满足递归关系 2 预备知识 的一个序列 u “ + a l u j + n 一1 + a 2 u f + 月一2 + + a n u j2 0 称为0 上的一个线性递归序列，记为如； 定义2 4 设口，饥是有限域上的两个周期为v 的p 元序列，它们在移位f 处的周期相 关函数定义为： e ，a ) 2 乏旷 其中，f 一0 , 1 , 2 ， ，一1 ，f lt + r 按模计算当口，= 包时，称c 口。o ) 为序列口，的自相关 函数，简写为e p ) 定义2 5 如果自相关函数e p ) 满足： = 仁若蒜掣 则称序y l ja ，具有理想两值自相关性 定义2 6 设s 是含有m 条周期为的p 元序列集： s ： s 。( t ) lo sis m 一1 ，os fs 一1 序列集s 中序列b ( t ) i n ( s j o ) 的周期相关函数则可表示为： if c ( z ) f f in 乏- i 卸。卜。” 其中os zs n 一1 当i = j 时，c i ，0 ) 为序列谯o ) ) 的周期自相关函数；当f _ 时，c “ ) 为序列“o ) 】和p j o ) 的周期互相关函数 定义2 7 如果序列集s 的最大相关值m 定义为： m = ，m a x 。，c i , j p ) l ，0 srs 一1 1 1 f - 0 掣s r 一 、l 且称s 是一个( ，r ，m ) 序列集设c 为一常量，如果ms c 万，则称s 是低相关序列集 湖北大学硕士毕业论文 定义2 8 设一个刀阶的矩阵日含有元素 + 1 ，1 ) ，并且删r ；，l ，则我们称日为一个 h a d a m a r d 矩阵其中h r 表示h 的转置，表示单位阵 我们令 h r ：f y ，为h a d a m a r d 矩阵集，i 表示集合中第f 个矩阵的第_ 行，令这些 行的并为： u = u 拶，同l 扣州0 定义2 9 若学。2 ( 歹。，j ： o ，l q ，i ：矿，i ，f ：) 的值在卜彳，z 】中，则称h a d a m a u r d 矩阵集 ，：i e v ) 为约束相关 定义2 1 0 将集合u 划分成h a d a m a r d 矩阵称为h a d a m a r d 划分 3 构造新的h a d a m a r d 划分的方法 3 构造新的h a d a m a r d 划分的方法 3 1 研究h a d a m a r d 划分的意义 h a d a m a r d 矩阵的约束相关性的应用出现在了两个领域：s - c d m a1 6 1 通讯系统 ( s y n c h r o n o u sc o d e d i v i s i o nm u l t i p l e a c c e s s ) 刁g lq s c d m a 4 1 通讯系统( q u a s i s y n c h r o n o u s c o d e d i v i s i o nm u l t i p l e a c c e s s ) 相对于集合的大小而兰1 7 ：1 ，定义2 9 中z 的值尽可能取得 小这里我们取n = 2 ”，并且z 的整数值在区问【22 ，22 】中 在q s c d m a 通讯系统中的l s ( 1 0 0 s e l ys y n c h r o n i z e d ) 码使用过程中，出现了一个 安全隐患这些码是由h a d a m a r d 矩阵构造成的，假如h a d a m a r d 划分的数量足够大， 那么这个安全隐患就不会出现；这罩我们考虑在k e r d o c k 码和g o l d 码的基础上构成的 h a d a m a r d 矩阵 l s ( 1 0 0 s e l ys y n c h r o n i z e d ) 码【1 】【2 】【7 j 是一个三重码，它通常作为q s c d m a 通讯系统 中的扩频码使用在q s c d m a 的密码设计过程中，开发了一个介于同步c d m a 和非 同步c d m a 之间的中度同步的等级这里密文用向量z = ( x o ，x 1 ，h 一。) ，t 0 ，+ l 一1 ) ， o = 0 ，1 ，n 一1 ) 表示一类零相关窗码的非周期性促使用户之间的低干扰： 对于不同的整数丁： ，p ) = 篆蜥0 5 “。1 渺y ， 1 一sr 0 0k i n ? ( f ) = o ，os 卜i 丁 碰? ( f ) = 0 , 0 0 皑? c l p ) + 以3 。p ) = 0 ，对于所有的z 则( c 。，s 。) 和( c 1 ，s 。) 都叫做g o l a y 对，它们组合在一起称为一组交叉互补序列对矧其 中长度为n 一2 7 1 旷2 6 t , ( ，s ，t2o ) 的g o l a y 对均存在 令万= k ，万：，o r n 】是一个长度为，l 的二进制向量，石为万的补，则l s 码有以下形 式： o o o 巳e ：c ，0 0 0 - s ，r & s ，r 3 0 0 0 这里取决于h a d a m a r d 矩阵的行，用于c 的部分和s 的部分的h a d a m a r d 矩阵行是一样 的，第二种码的形式为： 0 0 0 c c c c 。0 0 0 s 。土s s s 。0 0 o 丑l再2矗3a n丑tx 2冗3a n 上述形式中的0 我们作为外部填充，有时候通过插入少量的0 来改变l s 码的做法是有 利的，但是0 的数量相对于码的长度应尽可能的少对于一个，l t 的h a d a m a r d 矩阵有 2 n 个密文，而当0 回想矩阵s 映射到一个2 4 阶的h a d a m a r d 矩阵，也就是矩阵s + 亢占o ) ( 口，6 ) 为了考虑h a d a m a r d 矩阵u 。蛾s + 五，6 ) ，我们首先考虑其中的两个： s + 厂口，a ( x ) us + ，口：如0 ) 假设口，+ 口：= 口，6 1 + 如= 6 3 ，根据备注2 ，假如函数厂口，a 0 ) 的秩为，l - 1 ，则存在 唯一的非零解，使得丘幻g + ) ；厶 ， + ；假如函数，口，岛o ) 的秩为，l 一3 ，则存在7 个非零解，使得，口， ， + ) = 无，声3 ) + ，其中= l 3 ，( ) _ ( 0 ，1 ， 对于其中的一个非零解，我们做如下讨论： 在t 。到f 2 的基础上，无由g ) 可以表示为，。( x - ，xz ，x 。) ，且能唯一 的表示成一个二元向量( 6 。，6 ：，6 。) 霹设： 墨= 夕o ) l ，( x ) 。善“t t 2 o ，善比r 6 。4 o 】- k ：2 夕( x ) i ，( x ) 2 善v t _ 2o ，善v ，6 ，2 1 】 因此，令s = k 。uk 2 ) j 陷su s + 亢， ，o ) = ( k 。uk ：) u ( ( k ，uk ：) + l 3 , b 3 ( x ) ) 3 倒遗耕r 刁h a d a m a r d 划分的万法 二二二二二二，二二= 一 对于这个非零解，满足丘如g + ) = 丘历+ ，可以建立一个关于集合t 。的划分 p ，再： 0 l ，z 2 ，z 。) p 营o l + t j l , x 2 + 6 2 ，x n + 6 。) 根据f 的值，我们考虑以下两种情况： 1 、。厶占，( ) = o 在这种情况下，我们得到：ku k ：+ l 3 6 ， ) 可以映射到一个h a d a m a r d 矩阵对 于任意不相等的两个元素c ，c k , u k z + 五， ，o ) ，假如c 和c 都属于墨或k + 五， ， ) ， 令c = 箩1 x ，c = 雪：o ) 则根据k o 嘟) 的定义，有三( 渺+ 9 2 - 0 因此，我们只需要考虑c k 和c k 2 + 五， ，o ) 的情况 令c = 雪t o ) 墨c = 窖z o ) + 允，o ) k z 当砉“a = 。， “1 i 6 i = 1 时，有： 互( _ 1 镭w 岛山“ = 薹( 一1 ) 砉坼而+ 嘿叶而+ z ，3 j 3 ( j ) ) + ：萎( 1 ) - l “幽+ 嚏叶而+ 厶3 j 3 ( j ) ) = 薹( 一1 ) 量呐+ ( 兰叶而+ 岛乜“”+ 喜( 一1 ) 主q ( 再+ 4 ) + ( 主u ( 而+ 4 ) + 厶3 乜“) ) 注意善“a = o ，善u 谚= 1 ，根据命题1 ，有 则： l , b 3 ( x i a ) 2 厶五。 + f = 丘力， 厶卟 目- 三叫 吖而竹 目_ 二一 一 触 + j 厶 厶 可 畸 叶 咋 。三 。三 鼍 畸 。p 二 。三- ! 一 一 乏荟o = = 湖北人学硕十毕业论文 因此，在这种情况下k 。uk z + 厂口， 3 0 ) 司以映射到一个h a d a m a r d 矩阵 同样k ：uk 1 + 五，6 ，o ) 可以映射到一个h a d a m a r d 矩阵 2 、；厶 3 ( ) = 1 在这种情况下，我们同样可以证明k 。u k + 亢，6 ， ) 和k ：u k ：+ 亢， ， ) 都可以映 射到一个h a d a m a r d 矩阵对于任意不相等的两个元素d ，d e k lo k ，+ 亢， ， ) ，假如d 和d 都属于k 或k 。+ 亢，6 ， ) ，令d = 磊o ) ，d = j | ；：o ) ，则根据k o = 1 ，2 ) 的定义，有 互( - 妒。卜k 。k 叭 因此考虑d k 和d k 。+ 亢， ， ) 的情况 令d = 厩 ) k ，d = j | ；z 。) + 五幽 ) k 当善“r 反= o 荟比瓶= o ，有： 驴呸如峨地“ t 荟( 一1 ) 互n “】。+ ( 磊n “；z j + 3 j 3 ( j ) ) + ：( 一1 ) 砉h f j f + ( 砉；j j + ，t 3 3 ( x ) ) = 荟( 一1 ) 耋“内+ ( 黑h 幺+ 丘3 。) ) + 荟( 一1 ) 毫( 而+ 4 ) + ( 毫( 畸+ 岛卜厶3 乜“) ) 注意y “；6 ；0 ，y “，= 0 ，根据命题1 ，有 箭衡 厶加g + ) = 厶如+ 5 厶与3 ( 矽+ 1 则： p 呸如峨地“ = ：蒌( 一1 ) 盏，j f + ( 毫“：x f + ，q 3 ( j ) ) + ：( 一1 ) 毫“f j j + 墨“j 6 ，+ ( 兰；j f + 砉“；6 j + 厶3 3 ( j ) + 1 ) = 0 一 3 构造新的h a d a m a r d 划分的方法 = 二二2 = 2 二= 二一一 因此，在这种情况下k ，u k l + ， 6 ， ) 可以映射到一个h a d a m a r d 矩阵 同样可以得到k zu ( ：+ 五，o ) 可以映射到一个h a d a m a r d 矩阵 通过这两情况，得到： s u s + 瓦丽 这就是新的h a d a m a r d 划分 = ( k u k ：) u ( ( k 。u k a ) + 五幽0 ) ) ：j ( ku 砭+ 六，力。伍) ) u ( k ：u k + 亢， ) ) ，= o ； l ( ku k + 无， ，o ) ) u ( k ：u k + 五幽o ) ) ，；1 塑= ! ! 奎堂堡主望些笙茎 4 有关h a d a m a r d 划分数量的讨论 4 1 已得到的一些结果 选择互素的整数，和垅令z = t 岛，其中z 乞。，岛，最，岛为它的一组基口 为t 中的一个素元，岛= 1 亭：= 口，毛= a 州，对于任意，只，称 h r ，x ：，x 。) = 矾o 。岛+ x ：岛+ + 工。免) t 硝) 为一个几乎6 绷f 函数这里瓴，z ：，工。) 是一个二进制序列 引理4 1 对于一个l 乎- b e n t 函数 h r o 。，x ：，x ，) = 7 乙p 。袅+ 工：亭：+ + x 。岛) - + ：7 ) 若，= 2 且胁乒0 m o d 4 ，那么对于任意一个非零) ，c ，存在一个非零的二进制向量， 使得厅， + ) = 办，o ) + 6 ，6 0 ，1 】假如m 是奇数，且6 ：1 ，那么每一个非零的的值 都可以由不同的y 的值来确定。 引理4 2 对于一个几乎6 明f 函数，假如所是奇数，：2 ，可得到的h a d a m a r d 划分的数 量至少为 1 + 囊器 引理4 3 对于一个几乎6 饥f 函数，假如，= 2 ，胁；3 , 5 ，7 ，可得到的h a d a m a r d 划分的数 量至少为 1 + 薹器仃 通过上一章的分析，我们可以得到：对于函数厂口 ) ；打( 嬲l + + b x “) ，新的 h a d a m a r d 划分是由非零解建立的，且无论= 丘如( ) 取何值，非零解都满足 a 心七鹆= o 鼢七 注意：当口，6 t 。时，s + 五o ) 映射到h a d a m a r d 矩阵对于这些h a d a m a r d 矩阵 4 有关h a d a m a r d 划分数董的讨论 的h a d a m a r d 划分，我们简称为s + 五占o ) 的h a d a m a r d 划分 4 2 关于h a d a m a r d 划分的数量的讨论 引理4 4 对于一个奇数，l ，u s + 五 ) 的h a d a m a r d 划分的数量至少有 只一 。= 1 + 薹c ：若害最当，其中。) = 乃( 肛1 + r ) ，且以( 咒，) 是奇数 对于函数无 ) = t r ( a x l + + 缸1 + 砂) ，我们下面讨论u s + l 占似) 的h a d a m a r d 划分 a , b - f 2 ” 的数量 命题4 5 对于一个奇数，l ，任取定变量口或6 ，则u s + 亢上o ) 的h a d a m a r d 划分的数量 r 一 至少有。其中。= 1 + 萋c 丢若警茜券， 奇数 证明：令t 。= 口，口：，口，卜= p 。，6 2 ，b ? 】， ( 1 ) 取定变量a ，口上o ) - - t r ( a x l + 2 + b x l 秽) ，hn ( n ，) 是 且 a 。= u s + 亢占 ) 哆一 b i = u s + 五 ( z ) a - f z u s + 亢五 ) 口 6 专 “ = u 4 f l 注意：9 丑f = n 为奇数，r n ( n ，七) 是奇数，贝1 j n ( 以，3 k ) 也是奇数 +s u 吗 矿u 汹 = 湖北入学硕士毕业论文 因此，对于函数厶占 ) = r r ( b x l + 2 h ) ，b e f 2 假如0 ，3 k ) = 1 或7 ，则。上( z ) = 0 的非零解的个数为1 ( 根据( 2 3 ) ) 假如o ，3 k ) = 3 ，则。占( z ) = o 的非零解的个数为1 因此假如o ，3 k ) ；1 或7 ，o ，3 k ) ；3 ，则。占0 ) = 0 的非零解时唯一的 对于每一个4 ，通过引理2 ， u s + 五。 ) 口，挺t 1 2 。 = uu s + 如( x ) u = u 4 f i l h a d 锄莉划分的数量为。r ( 其中。= 1 + 薹c ：筹芳) ( 2 ) 取定变量b u s + 亢。o ) 口，6 2 。 - - uu s + 五，如o ) m = u e i = 1 注意：由于以为奇数，且，l ( n ，k ) 是奇数，贝, l j n 仍，3 k ) 也是奇数 因此，对于函数无，。0 ) = r r ( a x l + 矿) ，口乃 假如( 刀，七) = 1 ，则三柚0 ) = 0 的非零解的个数为1 ( 根据( 3 2 ) ) 对于每一个4 ，通过引理2 ， u s + 五。 ) 一 4 有关h a d a m a r d 划分数量的讨论 _ - 2 4 = uu s + 亢，缸o ) 一 = u 色 f 1 1 帅a d a 删鼢的数量为。z ( 其中心+ 弘2 n 器芳) 在命题4 5 中我们分别讨论了取定变量口和6 的情况，若变量口和6 均不取定，也可 以讨论h a d a m a r d 划分的数量 对于矩阵m = 【0 ，乞) 】：。r 钆_ ( 。心b j ，心叫) i 私= 沙2 n = 弓) 换言之，假如( ( 气，气) ，( 口f 2 ，6 ，：) ，( a i 2 。, b 4 ) ) e e ，且。，气) ，a i a , 6 ，：) ，( a i 2 , b y 2 。) 来 自矩阵m 的不同行与列，则我们能够得到一个划分。兰。一u u - 岍，其中u ，e 这 些划分可以用丁来表示，t 是可求的 湖北人学硕士毕业论文 5 相关结果的展望 本文讲述了在使用q s c d m a 无线电系统中的l s ( 1 0 0 s e l ys y n c h r o n i z e d ) 码的过程 中，出现了一个安全隐患，从而说明研究h a d a m a r d 划分的数量的重要性。通过研究函 数厂口占o ) = t r ( a x l + + b x l + ) ，构造了种新的h a d a m a r d 划分： s u s + 厂4 ， 6 3 ( z ) = ( k 。u k ：) u ( ( k