（基础数学专业论文）关于david映照的一些研究.pdf

摘要 d a v i d 映照作为比k 一拟共形映照更一般的映照在复动力系统和几何函数论 中都有应用本文针对d a v i d 映照与k 一拟共形映照的不同点，运用d a v i d 映照的 定义研究了它们的逆映照和复合映照，并且对单位圆上n e h a r i 单叶函数的d a v i d 延拓问题进行了讨论 本文由三章构成： 第一章，介绍了所研究问题的背景，给出了相关的结果和定义，同时陈述了 我们的主要结果 第二章，主要借助d a v i d 映照的一个等价条件构造了两个例子，它们分别为： 非拟共形映照的d a v i d 映照的逆仍是d a v i d 映照；两个d a v i d 映照的复合不一定 是d a v i d 映照同时还证明了：( 1 ) 若存在s 1 ，使得d a v i d 映照的j a c o b i 行列 式r 可积，则它的逆也是d a v i d 映照；( 2 ) 给定一个k 一拟共形映照厂和一个 d a v i d 映照g ，若它们的复合有意义，则f 。g 和g 。f 都是d a v i d 映照 第三章，在z a k e r i 对d a v i d 映照研究的一些结果的基础上运用无限逼近法， 我们证明了：若厂是单位圆上的n e h a r i 单叶函数，则厂可d a v i d 延拓到整个复 平面 关键词：d a v i d 映照；d a v i d 延拓；n e h a r i 函数；s c h w a r z 导数；d a v i d 圆周 a b s t r a c t d a v i dm a p si sa p p l i e di nt h ec o m p l e xd y n a m i c a ls y s t e ma n dg e o m e t r i c a lf u n c t i o n t h e o r yw i t ht h ed e v e l o p m e n to fk - q u a s i c o n f o r m a lm a p s a i m e da tt h ed i f f e r e n c e b e t w e e nd a v i dm a p sa n dk q u a s i c o n f o r m a lm a p s ，a c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o n ，w e s t u d yt h ei n v e r s ea n dc o m p o s i t i o no fd a v i dm a p s ，a n dd i s c u s st h ep r o b l e ma b o u t d a v i de x t e n s i o no fn e h a r if u n c t i o n si nt h eu n i td i s k t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m s ，w h i c hw ew i l l s t u d y , c i t et h er e l a t e dr e s u l t sa n dd e f i n i t i o n s ，a n ds t a t et h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i s p a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , b ym a i n l yu s i n gae q u i v a l e n tc o n d i t i o no fd a v i dm a p s ，w e c o n s t r u c tt w om a p s ，o n ei sad a v i dm a pb u tn o taq u a s i c o n f o r m a lm a pa n di t si n v e r s e m a pi sa l s oad a v i dm a p ；t h eo t h e ri ss h o w e dt h a tt h ec o m p o s i t i o no ft w od a v i dm a p s m a yn o tb ed a v i dm a p a tt h es a m et i m e ，w ep r o v et h a t ：( 1 ) g i v e nad a v i dm a p ，i f t h e r ei sac o n s t a n ts 1s u c ht h a ti t sja c o b i a nd e t e r m i n a n ti se i n t e g r a b l e ，t h e ni t s i n v e r s ei sad a v i dm a pt o o ；( 2 ) g i v e nad a v i dm a p g a n daq u a s i c o n f o r m a lm a p f ， t h ec o m p o s i t i o nm a p sf 。ga n dg 。fa r ed a v i dm a p s i nt h el a s tc h a p t e r , b a s e do ns o m er e s u l t so fd a v i dm a p sr e s e a r c h e db yz a k e r i ， a n du s i n gi n f i n i t ea p p r o x i m a t i o n ，w ec o n s i d e rs h o wt h a ti f fi sau n i v a l e n tf u n c t i o n o ft h en e h a r ic l a s s ，t h e nfg u a r a n t e e st h ee x i s t e n c eo fad a v i de x t e n s i o nt ot h e c o m p l e xp l a n e k e yw o r d s ：d a v i dm a p ；d a v i de x t e n s i o n ；n e h a r if u n c t i o n s ；s c h w a r z i a nd e r i v a t i v e ； d a v i dc i r c l e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：给保冷签字日期：弦口8 年6 月4 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：谂俅影八 签字日期：2 口p 8 年多月牛日 导师签名： 签字日期：弘谚军6 月厂日 关丁d a v i d 映照的一些研究 第一章绪论 1 1 本文的研究背景 d a v i d 映照的引入始于对b e l t r a m i 方程 工( z ) = ( z ) 六( z ) a e ( 1 1 ) 在b e l t r a m i 系数p ( z ) 几乎处处满足l 4 z ) i 1 一占 c e 一酬8 ，c ，口，s 0 ( 1 2 ) 在条件( 1 2 ) 下，d a v i d 得n t 方程( 1 1 ) 的同胚解厂，且厂是线段上绝对 连续( a b s o l u t e l yc o n t i n u o u so nl i n e s ，简称a c l 性质) 的在证明存在性定理的基 础上，他进一步建立了惟一性定理后来，人们就称定义在两个平面区域问的保 向同胚f ：u 专v 为d a v i d 映照，若f 满足条件：( 1 ) f 既1 。, 1 ( 【，) ； ( 2 ) 存在常数 c ，口，砭 0 ，使得 c r z u ：k ， k ) ce x p ( - c r k ) ，v k k ( 1 3 ) 这里的仃是由( 1 + iz1 2 ) 一l 龙l 引入的球面度量，实伸缩商k f 定义为 k f 生# 纠：坚幽为强调f 对这些常数的依赖性，有时也称，是 1 一i 作ii 护i _ i 卯l 。 ( c ，口，k ) 一d a v i d 映照若u 为有限复平面c 中的一有界区域，则这里的球面度 量也可以用欧氏度量来代替显然，当，定义在两个平面区域上时，条件( 1 2 ) 和 条件( 1 3 ) 等价 d a v i d 映照作为比足拟共形映照更一般的映照，其被研究的历史也不长 1 9 9 1 年，t u k i a 2 1 证明了结论：设c ，t ，民 0 ， 纯) 是区域【，上( c ，t ，k 。) d a v i d 映照序列，且保持u 内两给定点不动，则 硝有一子序列局部一致收敛于u 中的一个d a v i d 映照也就是说t u k i a 得到了d a v i d 映照族的紧致性2 0 0 4 年， 江两师范人学2 0 0 8 届硕士学位论文 p e t e r s e n 和z a k e f i t3 】证明了存在不是拟圆周的s i e g e l 圆盘的边界是d a v i d 圆周 同年，z a k e r i 4 1 在另一篇论文中指出，v a ， 0 ，2 ，都存在某一d a v i d 映照 缈：c 寸c 和一紧集人，使得d i m h 人= 6 1 ，d i m 缈( 人) = p 同时证明了存在 h a u s d o r f f 维数为2 的d a v i d 圆周，且这样的圆周是( 拟) 共形可去的这一结果对 全纯动力学产生了巨大的影响，使得在共轭动力系统中计算维数的方法发生了 改变另一方面，我们通过对d a v i d 映照与k 一拟共形映照的比较发现：k 一拟 共形映照的逆一定是k 一拟共形映照，而d a v i d 映照的逆不一定是d a v i d 映照； k 一拟共形映照局部满足指数为l k 的h 6 1 d e r 连续性，但d a v i d 映照可能不是 局部h 6 1 d e r 连续的；伊为k 一拟共形映照，其j a c o b i 行列式厶磁。( u ) ，p 1 ， 但存在d a v i d 映照f 对于印 1 ，以萑磁。如映照 q ，( r e 旧、：= 一( 1 0 9 r ) 一1 e i or 1 e 在国内，d a v i d 映照是伴着一同胚被研究的陈志国就在这方面做过一 些研究【5 - 7 】 现在，关于d a v i d 映照的部分研究结果已经被运用到了复动力系统3 1 和几 何曲面论中【7 】 1 2本文研究的主要问题及结果 一个平面内的保向同胚：u v 被称为是拟共形的，若妒满足条件：( 1 ) 妒 睨：( u ) ；( 2 ) 其复伸缩商心：= 却a 缈满足| | 心忆 1 ，使得以f ，则f - 1 也是d a v i d 映照 在讨论了d a v i d 映照的逆的基础上，我们讨论了两个d a v i d 映照的复合， 给出一个例子说明了两个d a v i d 映照的复合不一定是d a v i d 映照，并且证明了： 定理1 3 设厂：d 1 专q7 是k 一拟共形映照，g ：皿专皿是d a v i d 映照若 厂( d 1 ) cd e ，则g 。厂是d a v i d 映照；若g ( 皿) cb ，则f 。g 是d a v i d 映照 定理1 4 若厂是d a v i d 映照，则对于任给的k 1 ，存在k 一拟共形映照g 和d a v i d 映照h ，使得f = g 。h 1 2 2 单位圆上n e h a ri 函数的d a vid 延拓 设厂是定义在区域u 内的解析函数，在点z 处导数厂( z ) 0 定义厂在点z 处的s c h w a r z 导数为墨= ( 厂4 f 7 ) 一寺( ”f ) 2 很容易验证厂( z ) 的s c h w a r z 导数 为零当且仅当f ( z ) 为分式线性变换 若厂在单位圆1 0 9 内局部单叶解析，并且其s c h w a r z 导数或者满足 州i 芋，或者满足州i 黼+ 群( o 心) ，或者其 s c z 导数黼删鼍铲( 1 v 为d a v i d 映照，若f 满足条 件：( 1 ) f 彬2 ( u ) ；( 2 ) 存在常数c ，口，砭 0 ，使得 a z u ：k f k ) ce x p ( 一a k ) ，凇k 这早的盯是由( 1 + | z1 2 ) _ 1i 出l 引入的球面度量，k f 为f 的实伸缩商若u 为有限 复平面c 中的一个有界区域，则这里的球面度量也可以用欧氏度量来代替 d a v i d 映照是由d a v i d 于1 9 8 8 年引入的【1 】，由d a v i d 映照的定义我们可以知 道k 一拟共形映照一定是d a v i d 映照，但d a v i d 映照不一定是k 一拟共形映照在 文献 1 ， 2 ， 4 ， 2 0 中都有对d a v i d 映照性质的一些讨论，我们将其归纳并与 k 一拟共形映照的一些性质【2 1 也5 】进行对比，结果如下： 一若缈是k 一拟共形映照，则妒1 也是k 一拟共形映照；而d a v i d 映照的逆不一 定是d a v i d 映照 一若妒：u - - - v 是k 一拟共形映照，则缈局部地具有指数为1 k 的h 6 1 d e r 连续 性，即对任一紧集e u ，v z ，w ee 都有i 妒( z ) 一妒( w ) i cz wi 坛，其中h 6 1 d e r 常数c 0 仅依赖于e 和k ；但d a v i d 映照可以不是局部h 6 1 d e r 连续的 一k 一拟共形映照汐是绝对连续的事实上，映照缈的j a c o b i 行列式 厶= ia 妒1 2 一f 万妒1 2 在u 上是局部可积的，且面积a r e a 妒( e ) = 厶出咖，其中可测 集ecu ，z = x + i y e ；而每个d a v i d 映照也是绝对连续的，关于j a c o b i 行列式 的面积计算式仍然保持不变 一k 一拟共形映照的j a c o b i 行列式j o ( u ) ，p 1 ，且有 p ( k ) ：= s u p p ：厶磁。) ，缈为u 中任一个k 一拟共形映照) ， 江两师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 则p ( k ) = 一1 ，p ( k ) 与( ，的选取无关；可是，对于印 1 ，d a v i d 映照的j a c 。b i 行列式可以不属于4 0 ，( u ) 一设 纯) 是平面区域u 上保持两个点不动的k 一拟共形映照序列，则 有 子序列在u 的内部局部一致收敛于一个k 一拟共形映照；对于一在u 上保持两个 点不动的d a v i d 映照序列来说，它也有收敛子序列局部一致收敛于u 内的一 d a v i d 映照 一拟共形映照保持h a u s d o r f f 维数为0 和2 的集的维数不变；而对于任给的 口， 0 ，2 】，存在有限复平面c 到c 的d a v i d 映照妒和一个紧集人，使得 d i m ha = 口，d i m 缈( 八) = 设d ( a ，r ) 表示复平面c 上以a 为一5 , r 为半径的开圆盘，d 表示开单位圆盘在 文献 4 中，z a k e r i 给出了开圆盘d ( o ，1 e ) 到开单位圆盘d 的一个同胚缈： 妒( ，口旧) ：一土p w ， l o g r 缈为d a v i d 映照，但缈。不是d a v i d 映照；缈在z = 0 的任何邻域都不是h s l d e r 连 续的，且砌 1 ，缈的j a c o b i 行列式厶都不是玩的同时在文中作者通过构造两 个c a n t o r 集间的一一映照缈，保证了缈和伊一都是d a v i d 映照那么能否找到满足 缈和缈一都是d a v i d 映照而不是k 一拟共形映照的具体映照呢? 我们给出了一个 满足厂和厂1 都是d a v i d 映照而不是k 一拟共形映照的一个例子，对这个问题作出 了肯定的回答同时我们证明了 定理2 1 设h ：( 0 ，艿) j 1 ，0 0 ) ，若v z d ( o ，万) ，izi 专0 ，日( 1z1 ) 专，都有 p 0 ，使得e x p ( h ( izi ) ) 玩，则至少可找到两个不是拟共形映照的d a v i d 映照 f h 帮g h 与此同时，我们还给出了一个满足d a v i d 映照c p 的逆映照仍是d a v i d 映照的 一个充分条件： 定理2 2 设f ：u 斗v 为d a v i d 映照，若3 s 1 ，使得j r 1 j ，则f 1 也是 6 关于d a v i d 映照的一些研究 d a v i d 映照 在拟共形映照理论中，我们知道任意两个拟共形映照的复合还是拟共形映照， 但两个d a v i d 映照的复合还会是d a v i d 映照吗? 在第三节中，我们给出两个d a v i d 映照和g 对这个问题作出不肯定的回答，并且证明了 定理2 3 设厂：d l 专d 1 7 是c 1 类k 一拟共形映照，g ：d 2jd 2 是d a v i d 映照 若厂( q ) cd 2 ，则g 。f 是d a v i d 映照：若g ( 0 2 ) cd 1 ，则f 。g 是d a v i d 映照 2 2d a vid 映照的逆映照 引理2 1 函数p 为d a v i d 映照等价于动 o 使得缈的伸缩商k 满足条件 e x p ( k q , ) el p ( u ，仃) 首先，我们给出和厂1 都是d a v i d 映照而不是k 一拟共形映照的一个例子 定义同胚舢( 0 ，寸。，i t f ( 亦二高e x p 8 挚) ，f ( o ) - 0 易矢。为 f ( z ) 的可去奇点而 胁扣t f 8 挚，一高c p t l 。警，一高筹c 争p t l 。争， ：型e x p c 。 ， 2zi刊t =一等掣tr警-2 ， = 芒x n _ 叼 z7 d 2 i f 帅= 舞一剖争i 删= 岩措一d ( 0 m 1 ，从而有 巧( z ) = 一l o g 当1 p 2 时，l ( 0 j 。) e x p 一p l 。g zi d x = l ( o , l e ) zi p 出咖 o 。，由引理2 1 挚 旷l 以 z = z等 三挚 f 弘 三i i z 三驯 0 江两师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 知，f ( z ) 为d a v i d 映照，又由于l ( o ) l _ 1 ，从而f ( z ) 不是k 一拟共形映照 现在我们来计算厂。1 ( z ) 令w = 高唧 尊挚) = 高唧 是( 1 0 9 ) 2 ) 设z = 陀橱，w = r e i a , 代入上式可得，r e i a = e i o e x p 1 一圭( 1 。g ，- ) 2 ) ，从而 a = 臼，r = e x p 丢一圭( 1 。g ，) 2 ， 即1 2 1 。gr ：( 1 。g r ) z 由于厂 ! ，则r = e - 厕，从而有 即 由于 于是有 z=w exp乒习f习可，-可exp- z 2 1 2 l 。9 1w l 荆：彳1 2 高e x p 一阿) 姒垆南c 志 喇2 南( 小志) 争 一阿) , u g ( z ) = 又由lzi 1 ，l o g zi 1 ，从而可得 蹦驯= 舞一= 厄丽， e x p i = 孬鬲雨) e x p 1 2 l o g zi ) ，于是有 e x p p x l - 2l o gz d x d y l e x p p ( 1 2 1 。g lzi ) 渺方= e pl izi 乞p 出砂 而p p ，要l _ l _ 2 p 函匆( ，只需p 满足圭 p 0 ，使得e x p ( k f ) f 7 1 2 r 。i = 1 所。f i ，令 w - - - - f ( z ) ，则z = f 1 ( w ) 从而 i e x p p 脚= 叫p 制卜咖= 叫p 畿爿卜咖 = l e 坤p 雠剖卜蚴= 扣驰，坼出砂 ( 工e x p 矽砗( z ) ) 出砂) 1 7 ( 露出咖) m 其中，满足关系式! + ! ：1 ，且勿，：p fs 江阳师范人学2 0 0 8 届硕十学位论文 由于以r ，e x p k f ) ，因此工e x p p k 一 d u d v 0 ) 再由引理2 1 知，f 一也是d a v i d 映照 那么，当厂为d a v i d 映照，厂一也为d a v i d 映照时，是否一定存在s 1 ，使得 j f f 呢? 显然，当f 为k 一拟共形映照时，结论成立，但当f 为非k 一拟共形映 照的d a v i d 映照时，结论如何还需要进一步讨论在这里仅给出一个猜想： 猜想一设厂为d a v i d 映照，j r 为厂的j a c o b i 行列式若跏 1 ，以和一t 都不是l p 可积的，则厂一一定不是d a v i d 映照 2 3 d a vid 职照的夏合 我们知道两个k 一拟共形映照的复合一定是k 一拟共形映照，但两个d a v i d 映照的复合不一定是d a v i d 映照在这里，我们首先给出个例子说明两个d a v i d 映照的复合不一定是d a v i d 映照作映照 f ( z ) ：= ：叩z ，距攀 扎 g ( z ) ：= 驴卅扣扣z ： o 由于i 舭州删i = 岩制，驰) = k g _ l o g 两1 ，则存在刚1 ，2 ) ，f 吏得 k ，( z ) f ，k 。( z ) ，由引理1 可知，f 和g 都是d a v i d 映照定义 则e ( z ) = 咐币舴州亩击= 厂 o ， 驰卜寺高c + 卉高c = 南面高+ 赢，争 1 0 关于d a v i d 映照的一些研究 从而悱怍i 器l = 群，( 1 z | 0 ，使得l o g ( k g ) 由引理2 1 知，g ( z ) 不是d a v i d 映照 在证明定理2 3 之前，我们先证明如下引理： 引理2 2 若f ：【，专v 为d a v i d 映照，且厂1 满足条件：动 1 ，使得 ，一l p ，g 为满足条件e x p g ) 局部口( g 0 ) 可积的任一映照，则却7 o ，使得 e x p g 。f 也局部可积 证明令w = 厂( z ) ，则z = f 一( w ) ，从而有 i e x p p 7 ( g 。厂o ) ) a x a y = f e x p p g ( w ) i 出d y = i e x p p g ( w ) j z t ( w ) d u d v ( e x p s p g ( w ) d u d v ) j ( n ( w ) 9 d u d v ) 9 ， 其中s 满足关系1 s + l q = 1 而，( w ) 一定局部l q ( q 1 ) 可积，e x p g 局部 ( p 0 ) 可积，要上式积分有限，只需取p l jp ，即可得e x p g 。厂) 局部可 积 由上面引理有 推论2 1 若厂：u v 为k 一拟共形映照，g 为任一映照， e x p g 局部 ( p 0 ) 可积，则劫7 o ， 吏n e x p g 。厂) 也局部口7 可积 证明由厂为k 一拟共形映照知，厂1 也为k 一拟共形映照，从而j j 1 ，使得 ，- l r 又e x p g l p ( p o ) ，由引理2 2 知，却7 0 ，使得e x p g 。厂) 也局部 可积 定理2 3 的证明由链式法则知 ( g 。厂) ：= ( g 。厂) z + ( g ；。夕) 7 ；， ( g 。厂) ：= ( g 。厂) + ( g i 。f ) f 享， 江西师范大! 学2 0 0 8 屑硕十学位论文 从f i 以吖= 1o ：( g 。f ) 1 2 一幔( g 。删2 = lg 。f1 2 ( il1 2 一i 正1 2 ) + i g - g 。f1 2 ( i f ：1 2 一i7 ；| 2 ) ， 而i 厂，i = izi ，| 厂：| - l 兀l ，于是有 以。，= ( i 正1 2 一i 正1 2 ) ( 1g 。f1 2 一lg i 。f1 2 ) = j g ( f ) 同理可求得 ( 1o z ( g 。f ) l + ia ；( g 。厂) i ) 2 ( ig 。fl lzi + i 。fl l 正i + lg 。fl l 正i + ig i 。fl l 以f ) 2 = ( 1 正i + i 正i ) 2 ( 1g 。厂l + ig i 。f1 ) 2 由厂为k 一拟共形映照可知，k s k ，则 舻咝掣掣g f= 燮筹g t j 掣f u。 。 j u o ) ，又厂为k 一拟共形映照， 由推论2 1 可得e x p k g ( 厂) ) l p 7 ( p o ) ，从而e x p k 。- r ) ( p o ) 由引理2 1 可知，g 。厂为d a v i d 映照 同理可证厂。g 也是d a v i d 映照 由上面定理易得 推论2 2d a v i d 映照复合一共形映照其伸缩商保持不变 推论2 3 若g 为定理2 1 中的厶或g h 类d a v i d 映照，妒( z ) = zlzi _ - 1 ( k 1 ) ， 则g 。缈为。a v i d 映照，且其伸缩商变为三k 日( 1 zi 圭) 引理2 3 若厂是d a v i d 映照，则厂1 具有a c l 性质 证明 由f 是d a v i d 映照可得m e a s u r e z ：l ( z ) i 1 一s ) c e 嵋肛( 其中 c 双g 。) ，从而有丽1z ，则d ，= 丽l + l x li 一，即q 是局部可积的，因 此可以用类似文献 2 6 中的方法证明f 川具有a c l 性质 关于d a v i d 映照的一些研究 弓l 理2 3 结合文献 5 中的分解定理“设厂ef ( k ( z 牌啪) = 等矧 是局部可积的，厂- 1 是a c l 的，则对任意常数k 1 ，存在k l 拟共形映照g 和映 照h f ( k ( z ) k ，e ) ，使得f = g 。h 其中函数族尸( k ( z ) ，e ) = 厂为规范的t u ( z ) 同胚：d ( z ) x ( z ) ) 可得 定理2 4 若厂是d a v i d 映照，则对于任给的k 1 ，存在k 一拟共形映照g 和d a v i d 映照h ，使得f = g 。h 在本节开头的一个例子中，我们可以看到两个非k 一拟共形映照的d a v i d 映 照的复合可能为d a v i d 映照也可能不是d a v i d 映照究竟满足什么条件的两个 d a v i d 映照的复合还是d a v i d 映照呢? 这个问题还待考虑这里给出一个猜想： 猜想二设厂和g 为两个d a v i d 映照，和以分别是它们的j a c o b i 行列式 若砌 1 ，一和。一都不是可积的，且它们的复合有意义，则厂。g 和g 。厂 定不是d a v i d 映照 江两师范人学2 0 0 8j 罱硕十学位论文 第三章n e h a ri 函数的d a vid 延拓 3 1 问题的提出 设f 是区域q 上的局部单叶的解析函数，厂的s c h w a r z 导数定义为 墨= ( 厂”厂，) ，一丢( 厂”厂) 2 = ( ”) 一3 ( f ”厂) 2 它的一个重要性质就是m 6 b i u s 不变性，即对每个m 6 b i u s 变换 丁( z ) ：a z + 了b ， 口d 一6 c o 都；f i s t 。r = s r 更一般地，若g 是任一在厂( q ) _ k v 4 部单叶的解析函数，则 。厂= ( ( 品) 。f ) f “+ s i s c h w a r z 导数与二阶线性微分方程有着密切联系如果s ，( z ) = 2 q ( z ) ，则厂 可表示成厂= w l w 2 ，其中和心是二阶线性微分方程 w ，r + q ( z ) w = 0 的线性无关的解反之，设g ( z ) 是一解析函数，如果“是二阶线性微分方程 “”+ g ( z ) 甜= o 的解，记厂( z ) = f 甜一2 ( s 灿，则有墨( z ) = 2 q ( z ) 1 9 4 9 年，n e h a f i 8 1 找出了单位圆盘d 上局部单叶的解析函数厂在d 上单叶性 与s c h w a r z 导数的增长性的关系，并给出了两类单叶性的充分条件：v z d ， s f ( z ) l 2 ( 1 一iz1 2 ) 2 或者ls ( z ) l 如r 2 2 随着研究的不断深入，1 9 5 4 年，n e h a r i 9 1 证明了p o k o m y i 于1 9 5 1 年【1 0 】提出 的单叶性条件的正确性1 9 7 9 年【l l 】，他又证明了：若厂在单位圆d 内局部单叶 解析，且其s c h w a r z 导数满足 驰，等嵩产，1 5a 2饵班 1 4 关于d a v i d 映照的一些研究 则厂在d 内整体单叶同时，他给出了一般情况下的单叶性准则( n e h a r ip 一准则) 对应于( 3 1 ) ，当a = i 时，即是常见的单叶准则is ，( z ) i 2 ( 1 一iz1 2 ) g e h r i n g ， c h u a q u i ，o s g o o d 和p o m m e r e n k e 对这类函数进行了广泛而深入的研究( 见文献 1 2 1 6 ) 1 9 6 2 年，a h l f o r s 和w e i l l 1 7 1 证明了，若厂的s c h w a r z 导数满足更强的 条件 s 厂( z ) i 2 k ( 1 一lz1 2 ) 一2 ，0 k 1 ， 则f 可拟共形延拓到整个复平面c ，并给出了拟共形延拓的精确表达式1 9 9 8 年，c h u a g u i 和o s g o o d 1 8 】给出了结果：若is r ( z ) i 2 p ( 1zi ) ( 其中p ( x ) 葫足n e h a r i p 一准则) ，则厂可拟共形延拓至e 2 0 0 4 年，杨宗信和陈纪修【2 7 】也就满足( 3 1 ) 的 函数给出了一个更强的条件 fs ，( z ) i 2 c e k ( 1 + ( 1 一口) fz 2 ) ( 1 一izf 2 ) 一2 ，1 口2 ，0 尼 0 使得c - 1 b a c b ，称a 与b 是可比较的， 记为a b 引理3 1 4 1 固定0 口6 1 ，设以是一个闭环域，两个边界分别为 眠y ) 瓞2 ：m a x ix 驯) = 尹1 和y ) 瓞2 ：m a x ixi ，ly l = 虿1 一口) ， 类似定义闭环域4 设缈0 , 4 a 一弛是一个同胚，满足在圆环的外边界上为恒 江西师范人学2 0 0 8 届硕十学位论文 等变换，内边界上是仿射变换，则妒能延拓为4 寸4 的一个k 一拟共形映照， 且有关系k 告高 由上面的引理不难得出结果： 推论3 1 设0 a b 1 ，定义圆环a a ：= z ：a | z 峰1 和4 b ：= z ：b | z 峰1 设c a d a a 专是一个同胚，满足在圆环的外边界上为恒等变换，内边界上是仿 射变换，则缈能延拓为a 一4 的一个 一拟共形映照，且有 了a kk _ 一n 定理a 的证明由厂n 知，在单位圆内是全纯的，则对于微分方程 w ”+ 去( s ) w = 0 ( 3 3 ) 有两个线性无关解w l 与w z ，且满足条件：w l w 2 一w 2 = 1 又由a w l 佻= 邑可知， f 是w 2 复合以分式线性变换，即 丁( z ) ：a w l + _ b w 2 ， a d b c ：1 c w + d w ， 令= 口+ 6 屹，= c w l + 机，则彤一吸= 1 显然，彬与也是( 3 3 ) 的解不妨设原定的线性无关解分别是与，则 f ( z ) = 鬻，饥n i z ) 取递增序列 ) ，0 时 耪= 一丢_ c 譬，c 譬一妒譬 而当z 仨e 且iz | 时 驯聂愀和一并2 z i r , 嘲 么 l l 却邑c 等) ( 1 2 缶) 2 i i 1s u pi 砖( f ) ( 1 一if 1 2 ) 2 i 1s y pj ( f ) ( 1 一lf 1 2 ) 2i 而 是递增序列，由上确界的性质知，l 以+ lz ) l i 以( z ) i ，即le + 。( z ) i ikz ) i ， 从而 k 。 是不减的由ls f ( z ) l 1 时， 从( z ) i 专1 ，k ( z ) 一0 0 又由推论3 1 知，k ( 1 - r ) 一 取k j k k a r e a z 吒( z ) 巧) a r e a ( a r j ) = r 丌j ：石 ；雩毛尹秒 跏c 专一扣舭- ( 1 训一 这里 ：= z ：r j - izi k ) 3 z e ( 3 4 ) 江两师范大学2 0 0 8 届硕十学位论文 由d a v i d 映照的定义知，六是d a v i d 映照 即在c e 上满足b e l t r a m i 方程 a ；六一s x ( z ) o ：厶= 0 ，v z 仨e ，i i s , ，i i 。= 1 ，( 甩斗) 。 根据定理2 4 ，厶可表示成：厶= 矽( 刃( z ) ) ，其中c o ( z ) 是以以( z ) 为复特征的 d a v i d 映照，而矽是区域c o ( c e ) 内的解析函数 由( 3 4 ) 知满足i 从| 1 的点的球面测度为0 又厂n 时，厂在单位圆d 内 整体单叶，从而e 是由孤立点组成的因此，从在全平面上几乎处处有定义， 无= 痧( 缈( z ) ) 中的d a v i d 映照应可取为全平面上的d a v i d 映照 现在证明眠) 中有一个子序列收敛于一个d a v i d 映照 在单位圆d 内取一点z o 及其一个邻域u = z ：iz - - z 0i r ) 上一致有晃由d a v i d 映 照的紧致性知，存在子序列 e 。) 在伫：lz z ol ，) 上内闭一致收敛于一个d a v i d 映照厂+ ( z ) 显然有 f + l b 一【，= f i d - u 因此，f + 是厂的一个延拓 由文献 1 4 我们知道，对应于条件( 3 1 ) ，当口= 1 时，f n o ，且 is s ( z ) l - s s ( iz1 ) ，则下列条件等价： ( i ) 厂( i c 0 ) 是一个j o h n 区域； ( ii ) 厂( d ) 是一个拟圆盘； 关y - d a v i d 映照的一些研究 ( i i i ) 对所有的if 1 ，( f ) 都是可达边界点； ( i v ) f ( 1 ) 是可达边界点 而当f ( d ) 不是j o h n 区域时，f ( d ) 包含一平行无穷带，此时厂( d ) 不是拟圆盘， 从而厂不可以拟共形延拓到a 结合定理a ，我们可以看到，当厂可以d a v i d 延 拓至整个复平面c 时，f o ) 不一定是可达边界点，而f ( d ) 也可能包含一平行无 穷带从而可知，d a v i d 圆周不一定是拟圆周，而拟圆周一定是d a