（基础数学专业论文）两种群捕食系统在不同斑块环境中的扩散作用.pdf

摘要 本文讨论了两种群的食饵捕食系统在不同斑块环境下的扩散作用。 第一章里介绍了带扩散项的两种群系统的背景知识及研究意义、研究现状、本文的主要 工作。 第二章研究了一类捕食者具有h o l l i n g i i 类功能反应函数的食饵一捕食者系统在不同斑 块作用下的整体与局部性态：证明了该模型在第一象限内存在一个吸引域，且它的一切正解 是长久存在的；讨论了当系统满足一定的条件时，系统的正平衡点是局部渐近稳定的；利用 h o p f 分支理论，得到在正平衡点的某一领域内有唯一的小振幅空间周期解的充分条件。 第三章研究了一类捕食者具有b e d d i n g t o n 类功能反应函数的食饵捕食系统在不同斑块 环境下的整体与局部性态：证明了该模型在第一象限内存在一个吸引域，且它的一切正解是 长久存在的；讨论了当系统满足一定的条件时，系统的正平衡点是局部渐近稳定的，补充和完 善了张兴安、陈兰荪等人的结果。 第四章研究了一类带毒素、收获项的捕食系统在不同斑块环境下的扩散作用，找出了正 平衡点存在的条件，证明了该模型在第一象限内存在一个吸引域，并给出它的一切正解是长 久存在的条件；得到当系统满足一定的条件时，系统的正平衡点是局部渐近稳定的；给出了 在正平衡点的某一领域内有唯一的小振幅空间周期解的充分条件，补充了t a p a s i d a s 等人的 结果。 第五章对前面几章的模型做了数值仿真，进一步验证了定理的可行性。 关键词 斑块，扩散，吸引域，分支，周期解 t h ed i f f u s i v ea p p l i c a t i o n so f p r e d a t o r p r e ym o d e lo v e rp a t c h e s a b s t r a c t t h ed i f f u s i v ea p p l i c a t i o n so ft h e p r e d a t o r - p r e ym o d e lo v e rd i f f e r e n tp a t c h e sa r ec o n s i d e r e d i nt h i sp a p e r s o m eb a c k g r o u n dk n o w l e d g e ，t h es t a t eo fs t u d ya n dt h em a i nw o r k so ft h et h e s i sa r ei n t r o d u c e d i nt h ef i r s tc h a p t e r b a s e do nt h ef a c t ，t h ed i f f u s i v ea p p l i c a t i o n so fac l a s so fap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hh o i l i n gi i f u n c t i o n a lr e s p o n s eo v e rp a t c h e sa r es t u d i e d t h ea t t r a c t i o nd o m a i ni sf o u n di nt h ef i r s tq u a d r a n t ， t h a ta l lp o s i t i v es o l u i o n sa r eo fs t r o n gp e r s i s t e n c ei sp r o v e d i fc e r t a i nc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e di nt h e m o d e l ，t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h em o d e li sl o c a la s y m p t o t i c a ls t a b l e t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s t h a tas p a t i a lp e r i o d i cs o l u t i o no fs m a l la m p l i t u d ei sp r o d u c e di nt h en e i g h b o r h o o do fap o s i t i v e e q u i l i b r i u ma r ef o u n di nt h es e c o n dc h a p t e r t h eg l o b a la n dl o c a lb e h a v i o r so fac l a s so fap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hb e d d i n gf u n c t i o n a l r e s p o n s ei ss t u d i e di nt h i sp a s s a g e t h a tt h ea t t r a c t i o nd o m a i ne x i s t si nt h ef i r s tq u a d r a n ta n da l l p o s i t i v es o l u i o n sa r eo fs t r o n gp e r s i s t e n c ea r ep r o v e d w h i c ht h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h e s y s t e mi sl o c a la s y m p t o t i c a ls t a b l ei sg i v e nw h e nc e r t a i nc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e di nt h em o d e li nt h e t h i r dc h a p t e r , t h e yc o m p l e t et h ez h a n gx i n g a n sr e s u l t t h ed i f f u s i v ea p p l i c a t i o n so fac l a s so fap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hh a r v e s ta n dt o x i c i t yo v e r p a t c h e sa r es t u d i e d t h ea t t r a c t i o nd o m a i ni sf o u n di nt h ef i r s tq u a d r a n t i fc e r t a i nc o n d i t i o n sa r e s a t i s f i e di nt h em o d e l ，t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h em o d e li sl o c a la s y m p t o t i c a ls t a b l ea n da l l p o s i t i v es o l u i o n sa r eo fs t r o n gp e r s i s t e n c e t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tas p a t i a lp e r i o d i cs o l u t i o n o fs m a l la m p l i t u d ei sp r o d u c e di nt h en e i g h b o r h o o do fap o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r ef o u n di nt h ef o n h c h a p t e r , i tc o m p l e t e st h et a p a s i sr e s u l t t h em o d e li sa c c e s s i b l ew i t he x a m p l em o d i f y i n gf a c t o ri nt h el a s tc h a p t e r k e yw o r d s p a t c h e s ，d i f f u s i v e ，a t t r a c t i o nd o m a i n ，h o p f - b i f u r c a t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：亟! 耻指导教师签名：窒室! 室三 和f 霹6 月日 矽d 年多雕 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特i i i i 以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名： 年月 1 1 背景知识及研究意义 第一章绪论弗一早珀v 匕 生物个体或其传布体( 如种子) 向其他地域传布的过程称为扩散。扩散主要包括被动扩 散和主动扩散，凭借外界物( 气流、风等) 的传播，叫被动传播。蒲公英靠风传播，粘虫随 气流成群南飞，椰子随水流飘到其他区域等等都属于被动扩散。自行扩散的现象称为主动扩 散。青蛙等动物从水中跑到陆地属主动扩散。扩散存在于自然界的各个角落，在各种群之间 起着非常重要的作用，因此，对扩散的研究具有特别重要的意义。 栖息地破裂成斑块状分布的种群称为斑决种群。斑块种群理论起源于人们对岛屿生态系 统的研究。人们研究生物种群灭绝的过程中，发现许多种群的灭绝过程大都是其栖息地先破 裂成片段化，从而连续分布的种群变成斑块种群，随后逐个斑块种群灭绝，最终导致整个种 群灭绝。随着世界经济的高速发展，人们活动的范围逐渐扩大，出现大量矿山资源的开采，交 通道路的修建，旅游业的发展，以及人们对天然资源的疯狂掠取等现象。人们在长期享用资源 的过程中也在破坏着自然。昔目的森林变成片段状。区域的斑块化，导致种群规模的缩小、 种群基因变异的缺失、栖息地质量的变化等，从而严重威胁着生物种群的生存和多样性。人 们在保护野生动物过程中，采取一些措施为被捕食者提供避难的斑块环境，让即将灭绝的种 群迁移生存环境。也有的种群在栖息地变成片段状后，小片段上的种群和其他片段中不断迁 入的个体长期共存，也有部分种群灭绝后形成的空间能被新迁入个体占领而得以生存。从而， 研究斑块理论对保护、开发生态资源和协调生态系统稳定发展有着重要的指导意义。 生物在不同斑块环境下的扩散现象在自然界广泛存在，其数学模型往往归结为带扩散项 的微分方程，带扩散项的微分方程最突出的特点是能够充分考虑扩散对状态的影响，能够更 深刻、更准确的反映事物的变化规律。该理论备受国内外学者的关注，到目前为止，己取得 了一些重要的研究成果【1 2 4 。 1 2 研究现状 对带扩散的微分方程理论的研究，使得野生动物的保护有了很大的进展，因此，人们越来 越重视种群在不同斑块环境中的扩散作用。该理论在国内外取得了很大的进展，早在1 9 5 1 年，s k e l l e m 提出了斑块种群理论， 貊u 1 9 7 4 年，s l e v i n 2 1 提议建立形如 矽= ( ) + 矽( 衫一) ，= l ，2 ，3 ，所 的斑块种群动力学模型来研究生物种群在不同斑块环境下的扩散问题。其中，矿( ，) 代表时 刻，时第，种种群在第p 个斑块中的数量，= ( 群，硝，硝，线) ，矽代表第，种群从第， 个斑块到第p 个斑块的扩散率。后来，针对此问题，很多学者研究了扩散率对系统平衡点稳 置= 舅( ) + 匀( t 一) ，“o ) o ，= 1 , 2 ，3 ，尼 的更一般的带扩散的单种群模型，其中表示第，个斑块种群的数量，代表时刻，时第碍中种 群在第p 个斑块中的数量，舅( ) 为第，个斑块中的局部种群的自然增长率，匀代表该种群 从第个斑块到第，个斑块的扩散率，并且包= o ( = l ，2 ，3 功。并给出了该系统的持续性， 种群提供了避难斑块环境时，种群的数量将会趋于稳定。1 9 9 5 年，t a k e u c h i t 1 给出了不同斑块 l 置= ，i ( 1 一一力+ ( 而一五) 岛= r 2 - r 2 ( i 一吒一力+ s ( 一五) 【夕= 久一j + q 五十吃恐) 2 的l v 扩散模型，给出了正平衡点全局、局部渐近稳定的条件。直至u 2 0 0 7 年，张兴安，陈兰荪等 人【1 3 1 研究了形如 l 与= 五( 1 一玉一别+ e ( x 2 一而) 蔓= 也( 1 一x 2 ) + s ( 五一x z ) 涉= 以l 一伪一力 的竞争扩散模型，找到了正平衡点存在以及正平衡点全局渐近稳定的条件。2 0 0 9 年，韩涛，窦 霁虹等人畔i 研究了形如 i 墨= ( 1 一 一刎+ 一朋) 岛= 6 x 2 ( 1 一x 2 ) + m 3 - 1 一后r 2 ) 涉= 八l 一伪一力 的扩散模型，给出正平衡点存在、全局渐近稳定及局部渐近稳定的条件。 1 3 本文的主要工作 文献 1 2 1 研究了形如 f 毛= r , x , 0 一而一力+ e ( x 2 一x 1 ) 是= r 2 x 2 ( 1 一x 2 一力+ s ( 而一也) 涉= “一j + q 玉+ 巴恐) 的l o t k a v o l t e r r a 捕食系统的一些性质，本文第二、三章在此基础上结合前人的研究成果，继 续研究一类带扩散的捕食系统的一些性质。第二章研究了形如 高= r , x , 0 一五一焘) 托( 五一五)a 七o k 岛2 呓五( 1 一蔓一j 丢) + s ( 玉一而)口嗽、 夕= “一z + 百x i 瓦+ i x 2 ) n 七呶。口七溉、 的捕食与被捕食扩散模型的整体与局部性态：证明了该模型在第一象限内存在一个吸引域， 且它的一切正解是长久存在的；讨论了当系统满足一定的条件时，系统的正平衡点是局部渐 近稳定的；并利用h o p f 分支理论，得到在正平衡点的某一领域内有唯一的小振幅空间周期解 的充分条件。第三章研究了一类形如 3 矗2 z - ( 1 一 一乙赤) + ( z ：一_ ) ， j ：2 吒屯( 1 一毛一= 南) + “而一艺) ， 夕= 八屯+ 南+ 南) ， 带b e d d i n g 类反应函数的捕食与被捕食扩散模型的整体与局部性态。证明了该模型在第一象 限内存在一个吸引域，且它的一切正解是长久存在的；得到系统的正平衡点是局部渐近稳定 的充分条件。 2 0 0 9 年，t a p a s id a s ，r n m u k h e r j e e 和k s c h a u d h u r i m l 提出了如下毒素影响的捕食模型 j 毫2 ，i 们一量) + 艺一q 缸咱五3 ， 【五= 一乞屯+ 触也一乞如一y 2 五2 ， 这里焉，而分别代表食饵与捕食种群在，时刻的种群数量，巧，吒表示食饵与捕食种群的内在 增长率，y 。，y ：表示食饵与捕食种群的毒素项系数，z 表示食饵种群的环境容纳量，是 。 捕食者的功能反应函数，口表示转化率，q ，呸为捕获系数，q 互吒f 表示捕获的努力量，捕 获数量为q 如，吃如。本文第四章受此文的启发，在前人工作的基础上，研究了一类形如 i 置= 玉( z 一一一秒) + s ( 而一 ) 一g 厨l ， j 2 = 也( 1 一也) + s ( 五一z 2 ) ， l i ，= 久一j + 歹贸。) 一g 上。一沙。3 ， 的带毒素、收获的捕食系统在不同斑块环境下的扩散作用，给出了正平衡点存在的充分条件， 并证明了该模型在第一象限内存在一个吸引域，找出正平衡点局部渐近稳定的条件。 本文第五章利用m a t l a b 软件对前面几章的模型做了数值仿真，进一步证明了定理的可 行性。 4 第二章一类带h o l l i n gi i 类反应函数的捕食扩散模型的定性分析 2 1 问题的提出 如前所述，本章主要研究如下模型： 毫= 斥葺( 1 一而一) + s ( 而一而) ， 口+ 铂 石( o ) 0 岛= 龙而( 1 一也一) + ( 一恐) ， 屯( o ) 0 ( 2 1 ) 口+ “0 ) 0 夕= 久一z + 亡+ 圭) ， q 七0 x 、q 6 x 、 其中是被捕食种群z 在斑块，中的数量，少是捕食种群，s ，为扩散系数，r l , r 2 ，l 为内禀增长 率，a , b 为功能反应系数，= 1 , 2 ，且b 幺s ，巧，r 2 ，l 0 ，考虑到模型的生态意义，仅在 置= ( - , y ) l - - o ，少o 研究讨论。我们先给出一个定义。 定义2 1 1 考虑三维动力系统j = “功，z = ( 而，x 2 _ ，五) ，设该系统满足初始条件 ( 0 ) 0 ( = 1 ，2 ，3 ) 的解为( ，) ( ，= l ，2 ，3 ) ，若( ，) ( ，= l ，2 ，3 ) 满足l i r a i n f x ( t ) 0 ( i = 1 ，2 ，3 ) ，则我 们称该系统是长久存在的。 2 2 系统的整体性态分析 引理2 2 1 6 1 系统岛= ( 亏一蹦) + s ，( x j 一) ，i , j = l ，2 ，。 其中是种群z 在斑块中 的数量，s ，为扩散系数，局为内禀增长率，办为密度制约系数，对任意的s ，( ，= l ，2 ) 0 ，该系 统只有一个全局稳定的正平衡点。 系统( 2 1 ) 的非负平衡点是o ( 0 ，0 ，0 ) ，f ，( 1 ，1 ，0 ) ，和互( 元只刃，互( 王，乏，死) ，其中 孑= 磊庐背_ 硼都大于o o 事实上，谚石显然是系统的两个非负平衡点。设磊是系统的正平衡点时，则满足下面方程 组： 5 解方程组得孑= 磊庐背，因此当z o ，乱；o 嘶- 0 ，删 平面上均无非负平衡点，故焉，戛，歹i 都大于0 。且由m a t h e m a t i c a 软件计算知历( 五，蔑，刃) 至 定理2 2 1 系统( 2 1 ) 的正解是有界的，并且该系统在第一象限内存在一个吸引域：六面 体o o(而o)，且当ai，o_ 。) ，且当 1 ，。再时，有 鲁l ：= 乃以一肜一再劫+ s c 五一 。； 考察平面店三玉+ 土恐+ 少一后：0 ，有 巧 乃 岛妇。= 再( 1 一玉) + 三r lk 一再) + 五0 一五) + 昙( 五一而) + z 詈+ z 詈一肼， 6 z 夕砺 i i 口 惫i ! 2 l 十卜 从而，当。s 五必o - - l 时，期肛。 。；y y = o 是系统的不变平面，因此，系统 = * ，而，以。五肜o x 2 肜o 1 ，故系统( 2 1 ) 的一切正解都是有界的。下面证明定理的后半部分，由 上面的分析可知当后l i x i ( i - 玉) + 三c 恐一再，+ 而c 一而，+ 昙c 而一恐，+ z 音+ z + 薏 = 警 2 + c s + 句( 音+ 去 时， 有舄脚妣从而可耻警卜+ 。睁冰似由可驯任意的正向无穷 大数，故系统( 2 1 ) 的非负平衡点及其它吸引子全部落在六面体中，故定理得证。 定理2 2 2 当z 0 。 当姒) - o 有同号正根时，满足睫譬刈蔫且s 且，即s 且。 2 ，i + 吒。，i + 五 7 ( 2 ) 当础) = o 有异号实根时， 九 s j 九+ 如 o ，故该方程有一个正根，一个零根。 因此，当 ，：+ ，；z 0 o ，九 o 知，删g l x , = 0 这两个平面均不存在黝( 2 1 ) 的正解 的极限集。 由引理2 2 1 知，互( 1 ，1 ，0 ) 在少= 0 平面上是全局稳定的正平衡点，又互( 1 ，1 ，o ) 不 是系统的正解的极限集，故在平面少= 0 上的不变区域“：0 玉m r , 0 屯觚肜 1 ) 内不 8 存在系统正解的极限集，证毕。 2 3 系统的局部性态分析 令 彳= 警”咖争降( 警+ 妒开 州) 等一文钏 掣一半砒 ， f = 号笋( 2 g + r 2 ) + 百a r ( 1 - x 9 g = a + b + c 一2 ”尼，睁堕2 一刁， = 文等+ ) 掣”一 时吒， 挣- ) 鲁陪( 警+ 妒才 竺芝罢三二型( 2 巧噍孑一巧吒) 一! 垒学+ 掣z i xb x己x 态兰俨一4 f h 。 丝 2 惫+ 盖2 ( 2 ) ， + i + l1 巧+ 龙 一彪l 等一文等+ - ) 。， 并且满足下列条件之一：( i ) 丕 0 ，s 0 , 6 五，其中互和五为( 2 5 ) 9 等 口 中 一彦2 一十 d 一口 乙 0 时( ) = 0 的两个实根，且五 墨，那么系统( 2 1 ) 的正平衡点历( z z 力是局部 渐近稳定的。 证明当z 。，z = i ：芝i = c z + ， 。，z = l 主- 墨 渐近稳定的。 设彳五+ = 他) ，从而 刷= 胁圳- 2 s + ( 钏甄a z 心训 ) 1 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) = 厶皿 0 时，磊( 不z 习是局部 一器a r 2 x y 一南p 型号警幽h 小南卜爿 十譬m 埘针2 彬一譬 一s z 叫m ，( 等一等一卅仲 程+ t ) 掣” 叱圳 挣) 鲁降( 警+ 和才 竺芝芝妄= - 型( 2 吒吒孑一，i 吒) 一! 垒譬+ 华 从而关于s 的二次三项式儿) 的判别式为 五兰护一4 f h 。 又当等一文等+ 1 ) 。时，( 2 5 ) 的二次项系数小于零，故满足( 1 ) 五 0 ，s 0 , e 五时，有羁 0 。 由( 2 3 ) 知 p 。j 等c 巧+ 呓p2 s + 芒乞( 等+ ) c ，i + 忍，j 了b z 惫+ 西a z z ( 等+ t ) 哨丝 2 惫+ 羔2b z ( 警+ - ) 时，有例。 石+ ，； 一 2j 。 衄4 灿= s h 乞+ 纠讹伊警，从而有 阳h 吒+ 纠咄伊彬炉刃 = s2 r 。+ 64 譬卜吒磊嗍彪+ 筹 ( 2 5 ) 故只需满足2 竹磊吲彪+ 筹 o ，且口当 等等时，p 。，故定理得证。 1 1 定理2 3 2 如果( 2 5 ) 有两个正根互和五包 墨) ，且满足下列条件： ( 1 ) p + 硝一眇0 ，( 2 ) l 枥+ 若哿一焘a o ( 4 ) z 南，i + 饥j + 虞r + 口 则当o s i 1 时，在正平衡点互伍z 力的某一领域内有唯一的小振幅空间周期解。 证明在正平衡点历伍元力处的一次近似方程的特征方程是( 2 2 ) 。 从而当s = 互时， 庀) = 0 ，即+ 厶= 0 ，此时特征方程( 2 2 ) 可化为一五鼽+ ) = 0 。当五 o 时，( 2 2 ) 的特征根是 ：砌，疋：一砌0 ：= 虿) ，如：一彳。 将特征方程( 2 2 ) 对s 求导，可得霉； 船 一堕名+ 堕a 一堕 如魔如 3 矛+ 2 z a 一 其中等= 乏，妄= 。由( 2 ，知需满足彳一- + 石) b + 乃k 。，即需证 0 ( 3 1 ) 久0 ) 0 其中五是被捕食种群z 在斑块，中的数量，少是捕食种群，s ，为扩散系数，r l , r 2 ，z 为内禀增长 率，a , b , c 为功能反应系数，= 1 , 2 ，且a , b , c , s ，巧，吒，l ，考虑到模型的生态蒽义，仪征 置= ( 五力卜o ，少o ) 研究讨论，我们假设z 。，刮。= 。 。，即在五= 。，而= 。平 面上均无非负平衡点，故焉，戛，歹i 都不为0 。 定理3 2 1 当l 1 ，且m r j 。 证明先证所有正解是有界的。 由于粤l = o ( x z o ) ，且当 1 ，0 而时， k ：o 有 丢l = ，i 以一肜一万南丽) + s ( x 2 - 。( 五 。) ，且当膨 l ，眍五时，有 鲁l = 毛以一肜一赤) + s c 五一 l 时，翻脚 l ， 1 ，故系统( 3 1 ) 的一切正解都是有界的。下面证明定理的后半部分，由 上面的分析可知当三卜c ，一再，+ 昙( x z - x i ) + x 2 ( 1 - x z ) + l 呓( x i 一五，+ z 专+ z 专 町钎婀锯+ 跏有高。蝴= 午时。睢肛锄，又 由m 可取到任意的正向无穷大数，故系统( 3 i ) 的非负平衡点及其它吸引子全部落在六面体 u 中，故定理得证。 定理3 2 2 当z 0 。 ( 1 ) 当砸) = o 有同号正根时，满足i i ( 巧+ - ，；e 一) ( r 2 - e ) - s z 0 生，即s j 生。 2 巧+ r 2巧+ r 2 ( 2 ) 当4 z ) = o 有异号实根时， 屯 sj 丑+ 如 o ，故该方程有一个正根，一个零根。 因此，当 石+ ，；z 0 ，疋 。知，五= 。和x 2 = 0 这两个平面均不存在系统( 3 - 1 ) 的正解的极限集。又由引理2 1 1 知，互( 1 ，l ，0 ) 在少= 0 平面上是全局稳定的正平衡点，故在 平面i y = o 上的不变区域“：o 焉肜o 五拟膨 1 ) 内不存在系统的正解的极限集， 证毕。 3 3 系统的局部性态分析 互( 只墨力处的j a c o b i a n 矩阵是 以历) = q i s s 7 2 2 色i岛2 d 吒可 c y p + 厨+ c y 0 2 c y ( 口+ 厮+ 巧力2 吗3 其中q l = q + ，i 一2 哆一彳_ 冬+ a + 纫+ f l ， 咚砂 ( 口+ 厮+ 巧i ) 2 呸：2 呓一2 呓孑一呓乙i 南+ 志一g ， 吩。= 锄= 夕 一南+ 它的特征方程为 1 7 吩3 = 一 ( + 厨+ 万。 上吒一z一” 一吒与棚 查一 岔+ 卯+ 五九+ = 0 ， 其中彳= c ，i + 吒，c 2 孑一t ，+ 2 s + 三 蓦群+ 三薯；丢 为， ，【( 2 i - - 1 ) ( 盯+ 厮+ 巧i ) 2 + 巧尹+ 巧叼【( 2 孑一1 ) r l r z ( a + 厮+ 切2 + r , f 7 v ( a + 巧i ) + 2 c 舅7 ( r l + 吒) 】 ，= 7 一 ( 口+ 厨+ 巧| ) 4 垒雩塑墨二三磐+ 骐+ ( 巧+ 吒) ( 2 i 1 ) ， ( 口+ 厮+ 痧) 口+ 厨+ 痧 厶= i + 2 + 3 小丝罱茅 厶= 业避塑丝丝型等等茅亟塑业蝤 厶= 过出篝毖掣 设二一五= ( ) ，又由m a t h m a t i c a 软件得到，( s ) = d e 2 + 魔+ c ， ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 其中彳= 2 ( 巧+ 噍) ( 2 孑一1 ) + 望君群+ i 2 z v 丽( r j + r 2 ) 。恒成立( 因b ，c 过于复杂此处不 再具体给出) 。 从而关于s 的二次三项式以) 的判别式为， 五三伊一4 d c 。 若以s ) = 0 有两正根，则为五，毛。 定理3 3 1 如果系统( 3 1 ) 中 z 0 ，矿+ 口纱一切 0 ， 2 a + b 12 。 7。 并且满足下列条件之一：( 1 ) 五 o ，s o , e 乏，那么系统( 3 1 ) 的正平衡点互( 墨z 刀是局部渐近稳定的。 证明由r o u t h - h u 州；t z 判据得到，当q = 彳 。，岛= i j 乏l - 彳一 。， 1 8 1 - ， 生 一z 一 擘 堡切 竺肌 i i + 虹。 到 + 马：i 乏引：。一p 。时，磊。冠冠刃是局部渐近稳定的。 又由。3 3 ，知，当 1 0 i 2 c 一锄一红 on ，z l 0 。由( 3 4 ) 知，当矿+ 谚一6 匆 0 时，五 0 ，故定理得证。 3 4 小结 本章在捕食与被捕食模型中引入了b e d d i n g 类反应函数，这使得系统的非负平衡点数量 1 9 第四章一类带毒素、收获项的捕食扩散系统的定性分析 4 i 问题的提出 考虑具有如下扩散的三维模型： f 毫= 五( z 一五一) + s ( 五一五) 一q 盈， 玉( o ) o 岛= 吒( 1 一恐) + ( 五一艺) ， 而( o ) 0 ( 4 1 ) b = 从一s + p x 。) 一c z e y l 一阢3 ， 从o ) 0 其中是被捕食种群j 在斑块，中的数量，y 是捕食种群，s ，为扩散系数，z 为内禀增长率， q ，乞为捕获系数，q 互呸z 表示捕获的努力量，捕获数量为q 如，乞红，为毒素项系数，假 设捕获数量和捕获努力量成正比，ra , b ，e ，i ，尼，q ，吒，互，互，厶， 0 ，考虑到模型的生态意义， 仅在皿= ( 五力卜o ，少o 中研究讨论。 4 - 2 系统的整体性态分析 系统( 4 1 ) 的边界平衡点是驮o ，0 ，0 ) ，互( 墨，乏，0 ) ，其中i ，戛，乃都为正数。事实上，秒显 然是系统的边界平衡点。 当少= 0 时，系统( 4 1 ) 变为 i 主= 【( z q 句一五】+ ( 吒一) ， 【岛= 屯( 1 一j r 2 ) + ( 五一屯) ， 由引理2 2 i 知，在少= 0 平面上只有一个全局稳定的正平衡点，即为历( i ，乏，o ) 。 下面给出系统( 4 1 ) 正平衡点存在的条件。 定理4 2 1 若系统( 4 1 ) 满足如下条件： 古c z 一一q 毋2 0 ， s 1 ， 11c 、e j rs = 一 2a p 则该系统的正平衡点互( 暑，岛，力存在，其中三i 一石i 名 l ，三 c 2 e + s ， 少= 由( 4 5 ) ( 4 6 ) 知， 夕= 舻( t 一) i 2 g e - e4s g 。2 巧) ， 化简得 2 1 - 一当) 皂+ 詈而2 咄一， = 0 ， ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) 矗 矶 矿 )、，-_ 舛 ，一 ) ，z、黜飞 一| 矿 从而令 砉 ( z 一( ，一当) 岛一：1 2c l e _ f ) ( f 一- + 岛，+ s 2 2 一 g 一1 + 是) 2 以，一垆詈2 _ c 2 e - i = o ， 从五，= 专 ( z 一( t 一吾) 岛一皂2 一q z s ) c s 一- + 是，+ 9 2 2 一 掣k - 一扣詈x 2 2 - c 2 e - 刁， 取五= 1 ，则苁1 ) = 事心一l q 硝一专s 2 - c ：e - 心 即若满足 事一q 砂 0 ， 故至少存在圭 是 l ，使得从是) = o 。 由( 4 6 ) 知，当l 时，存在1 2 一石1 。 存在，故定理得证。 定理4 2 2 系统( 4 1 ) 的正解是有界的，并且该系统在第一象限内存在一个吸引域：六面 体 0 郇必峨必哪2 p 矿m + 而p m ( l 画+ i ) 一等卫q 卜系统( 4 1 ) 的所有非负平【 矿- j + 呸丘j 矿矿 j 衡点及其它吸引子都落在该六面体内= m a x z ，1 ) ，且r ) 。 证明先证所有正解是有界的。由于鱼l =砭o(而o)，且当厶0_ 。( 五 。) ，且当肜 l ，。而时，有 - 鲁tx 一4力+s(玉一4d 1 时，翻妇。 1 ，故系统( 4 1 ) 的一切正解都是有界的。 下面证明定理的后半 部分，由上面的分析可知当刃 2 p m + 譬竺丝娑时， qi s + c ! 包、g 有g 0 ，一- g e + q 历+ z 一心一2 焉+ 2 岛+ 2 西巴+ 2 q z 乏一2 z 夏+ 4 毛乏 0 。 当蒯= 。有同号正根时，满足阵鬈尝刈而l - q e 且 ，l 七i c l e s 己一c | e z + i q e即s 丽l - c i e l + z c z ( 2 ) 当崩o ) = 。有异号实根时， 疋 s ，即九+ 如 。，故该方程有一个正根，一个零根。因 此，当。 。和 刮。：。= 硝 。知，焉2 。和恐= 。这两个平面均不存在系统( 4 1 ) 的正解的极限集。由引 理2 2 1 知，互( 焉，易，o ) 在少= 0 平面上是全局稳定的正平衡点，又磊( 王，乏，0 ) 不是系统的正解 的极限集，故在平面少= 0 上的不变区域“：0 五必0 而拟= m a x l ，1 ) ) 内不存在 系统正解的国极限集，证毕。 4 3 系统的局部性态分析 在满足定理4 2 i 的条件时，下面给出相应的定理。 令 彳= 2 ( 一i + q z z + 2 暑+ 2 岛+ 痧+ 4 少a ) ：2 ( - l 一+ 孟+ 2 是+ s 拿+ 缈a ) ， 4 加 b = l 一4 q e + q 2 一2 q e l + 4 l + l 2 8 量+ 4 x l f i e 一4 z 五+ 4 j i 2 4 是+ 8 x 2 q e 一8 三恕+ 1 6 置3 - ：+ 4 k 2 2 4 q y + 2 q e q 3 ；一2 l q 多+ 4 q 3 q p 一夕螭夕+ 8 弘艺夕+ 矿夕一8 矿) ，+ 8 q z 矽) ，一8 z v r + 1 6 名夕) ，+ 1 6 龛夕，+ 8 e 3 ；r + 龟矿y 2 f = ( q f z + 2 1 1 + 砂+ 矽) ，) q 以一l + 2 是+ 2 f i r ) 一矽) ，+ 4 乞矿y + ( 1 2 岛) 2 + 2 q 矿y ( 4 1 1 ) + z ( 1 2 是一2 矿) ，) + 名【( 2 + 4 是) 一夕纱+ 4 矿y 】+ z 玖2 是一1 ) ) 五兰庐一4 彳c 。 2 5 定理4 3 1 如果系统( 4 1 ) 中， 拿 1 ， 而 满足 2 毛办+ e e l ( 1 一s 一2 是) 0 ，