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半群胚和半群 半群代数理论 研究生兰丙申指导教师喻秉钧( 教授) 论文摘要：半群胚是在范畴定义中略去存在单位态射但保持m o r ( u ，u ) 仍和 部分运算结合性的代数系统半群胚c 是e 反演的，若对任一态射a ，其弱逆元 集w ( a ) = a ja 7 + a + a 7 = a t ) 非空本文首先介绍半群胚的一般代数理论：分 类、子半群胚、函子和同余以及群在半群胚上的作用接着我们定义e 一反演半群 胚的正规子半群胚，证明一个b 反演半群胚c 的正规子半群胚所成完备格恰与c 的 群胚同余所成完备格同构这些结论恰是对b 反演半群的群同余格理论的完整推 广我们研究了e 反演半群胚c 的最小自共轭全子半群胚的酉性，证明了这个酉性 与c 的最小群胚同余盯的纯性等价我们还利用群在半群胚上的作用构作了一类特 殊的e 一反演半群一拟纯正半群的e 酉盖证明了每个拟纯正半群都是一个e 一酉拟 纯正半群的幂等元分离同态像把d b ，m c a l i s t e r 、k t a k i z a w a 、m b ，s z e n d r e i 和p g ，t r o t t e r 等关于逆半群、纯正半群和正则半群的b 酉盖理论推广到( 非正则 的) 拟纯正半群上 关键词：半群胚，b 反演半群胚，正规子半群胚，群胚同余，拟纯正半群，b 酉 “ 商 第i 页 s e m i g r o u p o i d sa n ds e m i g r o u p s t h ea l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s w r i t e r ：l a nb i n g s h e n s u p e r v i s o r ：y ub i n g j u n a b s t r a c t ：as e m i g r o u p o i di sa l la l g e b r a i cs y s t e mw h i c hi so b t a i n e df r o m t h ed e f i n i t i o no fac a t e g o r yb yr e m o v i n gt h ee x i s t e n c eo fi d e n t i t i e sb u tk e e p i n g m o r ( u ，u ) 0a n dt h ea s s o c i a t i v el a w as e m i g r o u p o i dc i se - i n v e r s i v e ，i ff o r e a c hm o r p h i s mai nc ，t h es e tw ( a ) = a 7 la 7 + a + a 7 = a i ) o fw e a k l yi n v e r s e s i sn o te m p t y i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ti n t r o d u c es o m eg e n e r a la l g e b r a i ct h e o r yf o r s e m i g r o u p o i d s ：c l a s s i f i c a t i o n ，s u b s e m i g r o u p o i d ，f u n c t o ra n dc o n g r u e n c ea 8w e l l a 8a c t i o no fag r o u po nas e m i g r o u p o i d t h e nw ed e f i n et h ec o n c e p to fn o r m a l s u b s e m i g r o u p o i d so fa ne - i n v e r s i v es e m i g r o u p o i dca n dp r o v et h a tt h ec o m p l e t e l a t t i c eo fa l ln o r m a ls u b s e m i g r o u p o i d so fci sc o m p l e t e l y - l a t t i c ei s o m o r p h i cw i t h t h a to fa l lg r o u p o i dc o n g r u e n c e so ni t t h er e s u l t sh e r eg e n e r a l i z et h el a t t i c e - t h e o r yo fg r o u pc o n g r u e n c e so na ne i n v e r s i v es e m i g r o u p m o r e o v e r ，w es t u d y t h eu n i t a r yp r o p e r t yo ft h el e a s ts e l f - c o n j u g a t ea n df u l ls u b s e m i g r o u p o i do fa n e i n v e r s i v es e m i g r o u p o i dca n dp r o v et h a ti ti se q u i v a l e n tt ot h ep u r i t yo ft h e l e a s tg r o u p o i dc o n g r u e n c e 盯o nc f u r t h e r m o r e b yu s i n gt h ea c t i o no fag r o u p o nas e m i g r o u p o i dw ec o n s t r u c tt h es o - c a l l e de u n i t a r yc o v e rf o ra s p e c i a lc l a s s o fe i n v e r s i v es e m i g r o u p s ：q u a s i o r t h o d o xs e m i g r o u p s w ep r o v et h a tf o ra n y q u a s i o r t h o d o xs e m i g r o u ps ，t h e r ei sa ne u n i t a r yq u a s i - o r t h o d o xs e m i g r o u pp s u c ht h a tsi sa ni d e m p o t e n t s e p a r a t i n gh o m o m o r p h i ci m a g eo fp t h i sr e s u l t g e n e r a l i z e st h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s ，d u et odb ，m c a l i s t e r ，kt a k i z a w a ，mb ， s z e n d r e ia n dpg ，t r o t t e re t c ，f o ri n v e r s e ，o r t h o d o xa n dr e g u l a rs e m i g r o u p st o ( n o n r e g u l a r ) q u a s i o r t h o d o xs e m i g r o u p s k e yw o r d s ：s e m i g r o u p o i d ，e - i n v e r s i v es e m i g r o u p o i d ，n o r m a ls u b s e m i - g r o u p o i d ，g r o u p o i dc o n g r u e n c e ，q u a s i - o r t h o d o xs e m i g r o u p ，e - u n i t a r yc o v e r 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师喧嚣丝数援指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 论文作者签名： 2 0 0 8 年矽乡日 己i 吉 丁i 目 2 0 0 4 年，f o u n t a i njb ，p i nje ，和、v e i lp 在文献1 中利用范畴和群在范 畴上的作用对一般幺半群建立了所谓b 酉稠密盖的存在理论他们的研究 不但解决7 m a r g o l i s $ 1 p i n 在文献【2 中提出的一个重要猜想，而且为半群问题 的研究引入了一套创新的范畴论研究方法实际上，一个范畴c 由其所有项 点u 上的态射幺半群m o r cv ，u ) 组成，它和另一个幺半群m o t 。( 乱，u ) 之间可以有 态射p m o r c ( 钆，v ) um o r cv ，u ) 相联系，因此研究一个范畴的代数结构和内在 性质可以揭示组成它的这些幺半群的相关结构和性质受这个思想的启发，我 们在本文中引进范畴概念的自然推广：半群胚，它是从范畴的定义中去掉单位 元的存在性要求，但保i 碧m o r ( v ，秒) 非空和态射运算的结合性而得到的一类代数 系统显然，这是由其所有顶点上的半群m o r ( v ，v ) 组成且这些半群也可以有某 些态射彼此联系的一种代数系统研究它们的代数结构和内在性质也应该有助 于对半群结构和性质的研究这，就是贯穿本文的中心思想 本文主要内容由三章组成 我们在第一章中讨论半群胚的一般理论：半群胚的定义及其与范畴、群胚 的关系；半群胚的e 反演性、正则性和拟正则性；子半群胚及其分类，特别地， 我们定义全不连通、酉的、自共轭的全子半群胚为正规子半群胚，它在半群胚 中的作用将证明类似于正规子群在群中的作用：我们还定义了半群胚函子和同 余；研究了它们的相互关系我们在本章最后定义了群g 在半群胚c 上的作用， 研究了由群作用轨道确定的商半群胚c g 的构作和基本性质为本文后两章的 展开作好了充分准备 我们在第二章中讨论e 反演半群胚c 的正规子半群胚和c 的群胚同余之间 的关系，我们用例子说明任一e 反演半群胚c 都有正规子半群胚，由定义易知 所有正规子半群胚之集在包含关系下成为一个完备格；我们用构造的方法证 明，对c 的每个正规子半群胚，存在c 的一个群胚同余p ，因此任一b 反演半 群胚c 都有群胚同余，c 的所有群胚同余也构成一个完备格我们给出了这两个 格之间的一个双射，并证明它是这两个格之间的完备格同构进而，我们将此 第1 页 引言 结论应用到e 反演半群s 上，得到s 的正规子半群格和群同余格的及其格同构的 刻画最后，我们还讨论了e 反演半群胚c 的最小自共轭全子半群胚u ( c ) 的构 作及其与最小正规子半群e d ( c ) 的关系，证明了u ( c ) 的酉性与c 的最小群胚同 余盯的纯性等价 称幂等元集成子半群的拟正则半群为拟纯正半群我们在第三章中讨论拟 纯正半群的e 酉盖问题所谓半群的盖问题，按jbf o u n t a i n 等在 1 】中的归纳， 是这样一个问题：给定一个半群s 和s 的子半群t ，问在什么条件下能够找到这 样的半群p 和群g ，满足：存在从p 到g ，s 上的满同态 p ：p 叫g ，o t ：尸叫s ， 使得q 在t = 1 p _ 1 上的限制是到t 上的同构这样的半群p 若存在，称为s 在g 上 的一个卫盖 这个问题其实最早起源于群的扩张：对给定的群g 和其子群，在什么 条件下存在群日，使得存在满同态妒：g 一日使得1 日妒- 1 = n 众所周知， 这个问题的答案就是为g 的正规子群由于半群中没有群的正规子群的 相应概念，这个问题从群论向半群理论的推广经历了很长的时间1 9 7 4 年， m c a l i s t e rdb 在f 3 ，4 1 中利用群在半格上的作用证明了任一逆半群s 在同构 意义下存在惟一e 酉盖p ，它也是逆半群，相应的群g 是p 的最大群同态象， t = e ( s ) 而亍= e ( p ) 是p 的所谓“酉子半群；这里，半群p 的子集亍的酉 性定义为：对任意x p ，若有t t 使得x t 亍或t x 亍，则必有z t 半 群中子半群的酉性其实是群中子群的正规性向半群的推广这个重要概念 的发现很快被应用到更广的半群类1 9 7 9 、1 9 8 2 年，t a k i z a w ak 5 】和s z e n d r e i mbf 6 1 把m c a l i s t e r 对逆半群的结论推广到纯正半群，证明了任一纯正半群( 即 幂等元集成子半群的正则半群) 也存在e 酉盖；1 9 9 5 年，t r o t t e rpg 7 进一步 把m c a l i s t e r 的结论推广到一般正则半群，证明了任一正则半群s 都是这样一个 正则半群尸的同态象，尸的最小自共轭全子半群亍是酉的且与s 的最小自共轭全 子半群同构；2 0 0 4 年，f o u n t a i n 等在 1 中系统研究了幺半群的盖问题，利用群在 范畴上的作用( 最早m a r g o l i s 和p i n 在 2 中提出) 证明了任意幺半群m 如果有 一个强稠密的子幺半群t ，则m 有一个t 一盖还值得一提的是，我国年轻学者江 中豪1 9 9 4 年在f 8 】中已经证明，所谓e 反演b 半群，即幂等元成子半群的b 反演 l b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o r n第2 页毕业论文 引言 半群一定存在e 一酉盖p ，它也是e 一反演的口半群 我们在这最后一章的目的是，利用前两章得到的半群胚和群在半群胚上 的作用理论，从一类特殊的e 反演半群拟纯正半群s 出发，构作( 视作集合) s 上 的自由群g ，再通过适当的关系同态构作e 一酉拟纯正半群p ，证明该拟纯正半 群尸就是s 在g 上的e - 酉盖从而，证明了任意的拟纯正半群都有一个e 一酉拟纯 正盖我们的结论把m c a l i s t e r 、t a k i z a w a 、s z e n d r e i 矛d t r o t t e r 等关于逆半群、 纯正半群和正则半群的d 酉盖理论推广到( 非正则的) 拟纯正半群上 1 b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o m第3 页 毕业论文 第一章半群胚弟一早千看丰月尘 我们在本章介绍半群胚( s e m i g r o u p o i d ) 的定义及相关概念与性质：半群胚 与范畴( c a t e g o r y ) 、群胚( g r o u p o i d ) 的关系；半群胚的e 一反演性、正则性和拟正 则性；子半群胚及其分类：半群胚函子和同余及其相互关系等我们还介绍了 群在半群胚上的作用及其基本性质，所有这些都是本文的展开所需要的基本工 具和知识 本文未加定义的其它概念和记号都是标准的，与文献f 9 ，1 0 ，1 1 】所用相同， 不再赘述 1 1 半群胚及其正则性 定义1 1 1 称对子c = ( o b j c ，m e g c ) 为一个半群日i ( s e m i g r o u p o i d ) ，其 中d 巧c 和m e g c 是两个非空集合，分别称为c 的对象集和态射集，具有以下几 个性质： ( 1 ) 每个态射p m o r c 联系着两个对象钍，v 0 b j c ，分别称为p 的定义 域( d o m a i n ) 和值域( c o d o m a i n ) ，记为q ) = u ，u 0 ) = u ；并记 m e g c ( u ，v ) = p m e gcj ) = 7 1 , ，u ) = ) 当不致引起误解时，我们略去足标c ： ( 2 ) 对任一对象u o b j c ，有m o r ( u ，u ) o ； ( 3 ) v u ，v ，叫，j o b jc ，若( 札，钌) ( w ，歹) ，则 m o r ( u ，钞) n m o r ( w ，j ) = o ； ( 4 ) m e g c a = 存在一个部分运算+ ：v p ，q m e g gp + g 有定义当且仅 当3 u ，钊，w o b jc t ! 差p m o r ( u ，u ) ，g m o r ( v ，) ，且此时p + q m o r ( u ，w ) ； ( 5 ) 对任意u ，v ， t o ，j o b jc 和任意p m o r ( u ，u ) ，口m o r ( v ，叫) 和r m o r ( w ，j ) ，有p + g ) + r = p + ( q + r ) 由定义1 1 1 易知，范畴是对每个乱o b jc 都存在单位态射0 u m o r ( u ，让) 的半群胚c ，即对任意p m o r ( v ，u ) n l q m o r ( u ，伽) ，郁+ 0 u = 第4 页 第一章半群胚 p ，0 u + 口= 口对每个u 0 b jc ，因为m a r ( u ，让) 0 ，m a rc 的部分运算 在m a r ( u ，u ) 上的限制使得m a r ( u ，u ) 成为一个半群，称为c 的局部子半群另一 方面，每个半群显然都是对象集为一元集的半群胚故半群胚不仅是范畴概念 的真推广，而且是半群概念的自然推广因此，它可以成为研究半群的有力工 具我们在本文中对半群胚定义的所有概念，如子半群胚、群胚同余、酉性、 全性、正则性等等在半群中都有类似的对应，我们将直接使用而不再重复定义 由于在半群的正则性和广义正则性的研究中幂等元是个中心的概念，我们 需要与幂等元相关的以下一系列重要概念 定义1 1 2设c 为半群胚，u o b jc ，称p m o r ( u ，让) 是一个幂等元， 若p + p = p ；m a rc 的任意子集s 中所有幂等元之集记为e ( s ) ； 称c 是e 反演的( e i n v e r s i v e ) ，若对任意u ，v o b jc 和任意p m o r ( u ， ) ， 存在q m o r ( v ，u ) 使得p + g e ( m o r ( u ，u ) ) ，q + p e ( m a r ( v ，钞) ) 定义1 1 3 设c 为半群胚，u ，口o b j c ，p m o r ( u ， ) 枷正则，若存 在q m a r ( v ，u ) 使得p + 口+ p = p ，此时称p 是q 的一个弱逆a m 所有弱逆之集记 为w ( g ) ；若g 也勘的一个弱逆( 即还有口+ p + q = g ) ，则称q 为p 的逆易知，每 个正则态枷的逆元之集非空，记为y 0 ) ；每个态射都正则的半群胚称为正则半 群胚；若正则半群胚c 的每个态射都有唯一的逆，则称c 为逆半群胚 不难验证，半群胚ce 一反演，当且仅当v 口m o r ( u ，u ) ，3 p m o r ( v ，让) ，p + g e ( m a r ( v ，u ) ) ；当且仅当v q m o r ( u ，u ) ，w ( q ) d ，u ，u o b j c 定义1 1 4 称范畴c 是一个群胚( g r o u p o i d ) ，若对任意p m a r ( u ，u ) ，存 在g m a r ( v ，u ) 满足p + q = o u ，g + p = 0 ，其中0 u 是m o r ( u ，u ) 中的单位态射 群胚中的每个态射都称为同构此时，每个态射集m o r ( u ，“) 都是群 定义1 1 5 称半群胚c 为连通的( c o n n e c t e d ) ，若v u ，v o b jc ，m a r ( u ， ) ， m a r ( v ，乱) 至少有一非空；称c 为强连通的，若v u ，v 0 ”c ，m o r ( u ，u ) 仍；另 一方面，若v u ，v o b jc ，m o r ( u ，u ) d 当且仅当让= v ，则称c 为全不连通的 逆半群胚与逆半群有以下明显的联系 1 b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o r n第5 页毕业论文 第一章半群胚 命题1 1 1 正则半群胚c 是逆半群胚当且仅当v u 0 b jc ，m o r ( u ，让) 是逆 半群，当且仅当e ( m o r ( u ，u ) ) 是半格 证明首先，由c 是正则半群胚易知，对任意让o b jc ，m o r ( u ，u ) 是正则半 群 若c 为逆半群胚，贝l j m o r ( u ，u ) 是每个元素有惟一逆元的正则半群，即为逆 半群，其上的幂等元集合显然为半格 若v u o b j c ，m o r ( u ，u ) 是逆半群( 从而e ( m o r ( u ，u ) ) 是半格) ，v u ，v o b jc ，p m o r ( u ，口) ，我们证明p 只有惟一逆元事实上，若q 1 ，q 2 m o r ( v ，让) 都 为p 的逆，易验p + q l ，p + 口2 e ( m o r ( u ，让) ) ，q 1 + p ，9 2 + p e ( m o r ( v ，u ) ) ， 且p + q l jp + 口2 互为逆元，q 1 + p ，q 2 + p v i 为逆元，但半格中幂等元的逆元就是它 自己，故p + q l = p + 口2 ，q l + p = q 2 + p ，于是 q l = q l + p + q l = 口1 + p + q 2 = q 2 + p + q 2 = q 2 这就证明y p 的逆元唯一，从而c 为逆半群胚 定义1 1 6 称半群胚c 拟正则，若对任意“，v o b jc 和任意p m o r ( u ，u ) ， 当钆 时p 正则；而当钍= 钉时存在佗n ，叩正则 正则半群胚显然拟正则，但其逆不成立因为，例如，所有有限半群都是( 只 有一个对象的) 拟正则半群胚，但不一定正则又拟正则半群胚都是b 反演的， 故其每个态射p 的弱逆元集w 0 ) 不空其逆也不成立 定义1 1 7 半群胚丁称为半群胚c 的子半群胚，若o b jtso b jc ，m o tt 呈 m a r c ，并且m 卯t 关于m o tc 的部分运算 + ”封闭；进而，若e ( c ) ：ct ，则 称t 为c 的全子半群胚 例1 1 1 对半群胚c ，令j ( c ) = ( o b j c ，u u o b j c m o r ( u ，u ) ) ， 显 然6 ( c ) 是c 的一个全子半群胚 定义1 1 8 设c 为b 反演半群胚，t 为c 的子半群胚 ( 1 ) 称t 自共轭，若对任意p m o r c ( u ，口) ，( 钍，v o b jt ) 和任意p p ) ， 有 p + m a r t + p 7 m a r 丁且，p 7 + m o r t + p m a r t ； l b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o n第6 页毕业论文 第一章半群胚 ( 2 ) 称丁酉，若v u ，v ，w o b j c ，跏m o r ( u ， ) ，q m o r ( v ，叫) 满足： ( 2 a ) p m o rt ，p + g m a rt 爿q m o rt ， ( 2 b ) g m o tt ，p + g m a rt 穹p m o r t ； ( 3 ) 称丁正规，若丁是全不连通的、酉的、自共轭的全子半群胚 容易验证，对任意e - 反演半群胚c ，6 ( c ) 是c 的一个正规子半群胚 1 2 半群胚的函子和同余 定义1 2 1 设c ，d 为半群胚，对子e = ( 0 ，气，u ) 称为从c 到d 的函子，若 ( 1 ) 臼是从o b jc 至：i j o b jd 的映射； ( 2 ) v u ，u o b jc ，口u ，。是从m o r ( u ，v ) 至= u m o r ( u o ，u p ) 的映射，满足 v u ，v ，w 0 b jc ，p m o r c ( u ，u ) ，q m o t c ( v ，叫) ，p o ”+ q o u ， = ( p + q ) o u ，叫 在不致引起混淆时，上式常简写为筇+ q o = 0 + q ) o 若对象映射p 和所有态射映射钆，u 均为满( 单、双) 射，则称e 为从c 到d 的商 函予( 嵌入、同构) 命题1 2 1 设d 是范畴，e 是从半群胚c 到d 的商函子记 k e r e = ( o b jc ，m o r ( u ，v ) 珏护= v o ，p o 缸， = 瓯8 ) ，) 则k e re 为c 的子半群胚，称为e 的核特别，当d 是群胚时，k e re 是g 的全子半 群胚。 证明设d 是范畴我们只须验证k e r0 中的态射在c 的部分运算+ 下封闭 事实上，对任意乱，v ，w o b jk e re = 0 b jc 和p m o r ( u ，u ) ，q m o r ( v ，叫) ， 若p ，q m o rk e r0 ，贝0 有u 8 = v o = w o ，上切口u ，口= 0 u 0 = q o v ，钟，由此得p + q m o r ( u ，叫) 也满足u o = w o 且 + g ) 乳，叫= 多吼，u + g 如，叫= o u e + 0 u 0 = ( 丸p 。 这就证明了p + 口m a rk e re 故k e r0 是c 的子半群胚 当d 是群胚时，对任意扎o b j c ，态射集m o r ( u o ，u o ) 是群，因而只有一 个幂等元此时，由于儿u 是半群同态，每个幂等元的象仍为幂等元，故每 个m o r ( u ，u ) 中的幂等元在9 u 乱下的象都是0 讪从而m o r c 的所有幂等元都 在m o r k e r e 中 1 b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o r n第7 页 毕业论文 第一章半群胚 定义1 2 2 设e 为半群胚，p 是m o tc 上的等价关系称p 为c 上的同余，若对 任意a ，b m o tc ，apb ，则有 ( 1 ) q ( n ) = q ( 6 ) ，u ( o ) = u ( 6 ) ； ( 2 ) 对任意p ，口m o rc ，只要p + 口和口+ g 有定义，则 ( p + a ) p ( p + 6 ) ，( a + q ) p ( b + 口) 命题1 2 2 设p 是半群胚c 上的同余记c p = ( o b jc ，m o rc p ) 在m o r c p 上定义部分运算+ 为：p p + q j d 有定义当且仅当p + 口在m o t c 中有 定义，且 p d + q p = ( p + q ) p 那么，c p 是一个以d 幻c 为对象集的半群胚，且自然诱导出一个从c 蛰j c l p 的 商函子矽= ( 1 0 b j c ，砂) 反之，若d 是一个以。幻c 为对象集的半群胚，使得e = ( 1 0 b j c ，日u ， ) 是从c 到d 上的商函子，则 p o = ( p ，口) m a rc m o t cp o = q o 是c 上一同余 证明为证c p 是半群胚，只需验证+ 的定义与p 类代表元选择无关，且满 足结合律事实上，若p + 口有定义却p p 7 ，qpq 7 ，则我们有u ( p 7 ) = u ( p ) = q ( 口) = a ( g ，) ，因而p + 口7 ，+ q ，p 7 + 矿也都有定义j l a ( p 7 + 口) = q ) = a ( p ) = q + 口) ， 类似地u ( p 7 + 9 7 ) = u 0 + g ) 由p 是同余得 0 + g ) p + g ) p 7 + 9 7 ) ， & p p p + q p = 0 + g ) j d = + 9 7 ) p = p p + q 7 p 因而c p 上的部分运算+ 与p 类代表 元的选择无关现在，由于m o tc 上的部分运算满足结合律，容易从m o r ( c p ) 的 上述运算定义验证它也满足结合律显然，这样得到的映射对= ( 1 0 a j c ，矽) 保 持部分运算，因而是半群胚函子而且两个映射都是满的，故是商函子 现在假设d 是一个以d 巧c 为对象集的半群胚，使得0 = ( 1 0 b j c ，口u ， ) 是 从c 到d 上的商函子，我们来验证，命题中定义的关系p e 是c 的同余 因 为该关系是用等式定义的，它显然是等价关系如果a m o r ( u ，u ) ，b m o r ( u 1 ，v 1 ) 而( n ，b )p o ，则口口u ，u = b o u l ，”1m o r ( u l o b j c ，v l o 巧c ) n m o r ( u l l o b jc ，v l l o b j c ) ，即钍= u 1 ，v = v l ；进而，若p m o r ( v ，伽) ，则n + p ，b + l b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o r n第8 页毕业论文 第一章半群胚 p 有定义且 ( a + p ) o u ，= a 8 u ，u + p 8 u ，加= b o u 一十p s v ，叫= ( b + p ) 护u 声 因而( 凸+ p ) p o ( 6 + p ) 同样地，若q + a 有定义，贝j j q + b 也有定义，且( g + 口) p o ( g + 6 ) 这就证明- p e 是c 上一同余 1 3 群在半群胚上的作用 定义1 3 1 设g 为群，单位元记为1 称g ( 左) 作用在半群胚c 上，若任一夕 g 诱导出o 幻c 到自身的双射u g u $ i m o rc 到自身的双射p m o r ( u ，v ) 一 g p m o r ( g u ，g v ) ，满足以下性质： ( 1 ) v u 0 b jc ，vp m o rc ，有l u = t 上，l p = p ； ( 2 ) vg ，h g ，v 牡0 b yc ，v p m o tc ，有 ( g h ) u = g ( h u ) ，( g h ) p = 夕( 卸) ； ( 3 ) 若p + g 有定义，, 贝l j g ( p + q ) = g p + g q 进而，称g 在c 上作用可迁，若v 乱，v 0 b jc ，3 夕g ，g u = 钞；称g 在c 上 的作用是自由的( 即无固定对象) ，若对任一叫o b jc ，g g ，g w = w 蕴 含夕= 1 不难知道，群g 左作用在半群胚c 上的充要条件是存在从g 到c 的自同构 群a u t c 的反同态又，若g 在c 上的作用自由( 无固定对象) ，则g 在m o t c 上的 作用也自由( 无固定态射) 若群g 作用在半群胚c 上，不难验证，以下两个二元关系分别 是0 幻c ，m o rc 上的等价关系 7 1 0 = ( u ，u ) o b jc o b jci ( 3 9 g ) g u = ) ， 7 r m = ( p ，g ) m a rc m o tci ( j 夕g ) 夕p = 口) 称它们的等价类为轨道，不难知道，对每个u o b jc ，让所在轨道为g u = 夕ug g ) ；对每个p m o tc ，p 所在轨道为g p = g pi 夕g ) ，即有 o b jc 7 r d = g ui 钆o b jc ) ，m o tc t r m = g pp m o rc ) 命题1 3 1 设群g 自由地作用在半群胚c 上记 c g = 0 0 b jc h o ，m o t c h m 、) 1 b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o r n 第9 页毕业论文 第一章半群胚 对每个钆，u 0 b j c ，定义 m o r ( g u ，g v ) = g p i p m o r ( u ，v i ) ，乱7 g u ，v 7 g v 在m o rc 7 r m 上定义部分运算+ 为：对任意a p m o r ( g u ，c v ) ，g q m o r ( g v ，g w ) ，g p + g g 有定义当且仅当存在g p ，9 7 g q ，+ 口7 有定义， 且g p + g 口= g ( p 7 + q ，) 那么g g 是一个半群胚，称为c 模c 白9g g - 群胚特别 地，若g 自由且可迁地作用在c 上，则c g 是半群 证明我们只需证明上述定义的部分运算有意义，因为只要定义有意义， 结合律是显然的假设p 1 ，p 2 g p ，q 1 ，q 2 g q 使得p 1 + q l ，p 2 + q 2 都有定义，我们 来验证g ( p 1 + q 1 ) = g ( p 2 + q 2 ) 首先，由p 1 ，p 2 在同一轨道，有夕g 使得p 2 = g p l ，因此w ( p 2 ) = ( p 1 ) 由 于p 2 + q 2 ，p 1 + q l 有定义，此即q ( 口2 ) = 夕q ( 9 1 ) 又q l ，q 2 g q ，| g l ，9 2 g 使 得9 1 = g l q ，q 2 = 9 2 9 因此a ( 9 1 ) = 9 1 q ( g ) 从而有 9 2 a ( q ) = a ( q 2 ) = g a ( q 1 ) = 9 9 1 q ( 口) 由于g 自由作用在c a ，我们得至：j j 9 2 = 9 9 1 这样，q 2 = 9 2 q = 鲫1 q = 夕9 1 于是 有g ( p 1 + q 1 ) = g p l + g q l = p 2 + 9 2 这就证明t c ( p 1 + q 1 ) = g ( p 2 + 口2 ) 即c g 是 半群胚 若g 还可迁作用在半群胚c 上，则7 r o 为泛关系，因而c c 是只有一个对象的 半群胚，即为半群( 实际上，此时作为半群胚的半群c a 就是半群m o r ( c a ) = m a r c t f m 1 - 命题1 3 2设群g 自由、可迁地作用在半群胚c 上任意取定缸0 b jc ， 令 瓯= 0 ，g ) l a g ，p m o r ( u ，夕u ) 在g 上定义运算为：v ，夕) ，( q ，h ) g ， 0 ，g ) ( 口，h ) = 0 + g q ，g h ) 则 ( 1 ) c 0 为半群，- 与c g n 构； ( 2 ) 记l = _ ( p ，1 ) ip m o r ( u ，钍) ，则l 是瓯的子半群，与6 ( c ) g 同构 证明( 1 ) v ( p ，9 ) ，( 口，h ) 瓯，由p m o r ( u ，g u ) ，口m o r ( u ，h a ) ，g q m o r ( g u ，g h u ) 故p + g q m o r ( u ，g h u ) 上述运算的定义有意义，容易验证结合 i b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o m第1 0 页 毕业论文 第一章半群胚 律成立现定义映射矽：g c g ，v ，9 ) 瓯，( p ，夕) 移= g p 若( p ，夕) 咖= ( q ， ) ，即g p = g q ，贝0 有9 7 g ，q = g p 1 因为p m o r ( u ，g u ) ，q m o r ( u ，h u ) ， 有9 7 u = 乱，由g 的作用自由，有9 7 = 1 ，故g ；p 进而由g m o r ( u ，h u ) n m o r ( 9 7 札，g g u ) = m o r ( u ，h u ) nm o r ( u ，夕u ) ，得h u = g u 再由g 的作用自由， 有h = 夕故为单射另一方面，对任意g p m o r ( c c ) ，若p m o r ( u ，钞) ， 由g 的作用可迁，有g g ，v = g u 这样，有( p ，g ) 瓯，使得( p ，夕) 咖= 印于 是咖是从g n c g s j 双射最后，v ( p ，9 ) ，( q ，h ) 瓯， ( ，夕) ( 口， ) ) 矽= ( p + g q ，夕九) 移= g ( p + g q ) = g p + g ( g q ) = g p + g q 这就证明了西是( 半群) 同构 ( 2 ) l 是g 的子半群是显然的因为6 ( c ) = ( 0 幻c ，t j m o r ( u ，让) lu o b jc 】) ，此时g 也自由可迁地作用在6 ( c ) 上容易验证，( 1 ) 中的同构在l u 上 的限制恰是从l 札到6 ( c ) 上的同构另外，它们显然同构于c 的局部子半 群m o r ( u ，乱) l b s l 9 8 1 0 2 1 5 1 6 3 c o r n第1 1 页 毕业论文 第二章e 一反演半群胚的群胚同余 我们在本章建立e 反演半群胚c 的正规子半群胚格和c 的群胚同余格之间 的格同构，并将此应用到e 反演半群s 上，得到s 的正规子半群格和群同余格的 刻画我们还讨论了b 反演半群胚c 的最小自共轭全子半群胚( c ) 的构作及其 与最小正规子半群胚d ( c ) 的关系，证明了u ( c ) 的酉性与c 的最小群胚同余仃的 纯性等价 2 1e 一反演半群胚的正规子半群胚格和群胚同余格 定义2 1 1 称半群胚c 的同余p 为群胚同余，若商半群胚c p ( 见命题1 2 2 ) 是 群胚 定理2 1 1 设c 是e 反演半群胚，是c 的正规子半群胚在m a rc 上定义 二元关系p n 如下： 胪 ( a , b ) em a rc xm a rc l 掣曩就勰掣扣 那么p v 是c 上的群胚同余，且k e 7 p k = n 证明先证p 自反对任意a m a r ( u ，口) ，由ce 一反演，有a 7 ( o ) 由全，m a r v ，v ) d 任意取定t m o r n ( v ， ) ，我们有p = a + t + a 7 m a rn 且g = t + a 7 + a m o tn 但我f l 当然有p + a = ( a + t + a ) + a = a + ( t + a 7 + a ) = a + q 由定义得a ，a ) p n 次证触对称设a ，b m o r ( u ，v ) 上k a p b ，即| p ，g m a rn ，使得p + a = 6 + q 任取a 7 w 7 ( o ) ，6 ，w 7 ( 6 ) ，则o + ( ( 0 7 + p + 口) + ( 6 ，+ 6 ) ) = ( ( o + 口7 ) + ( 6 + q + 6 ，) ) + 6 因为( a 7 + p + a ) + ( b 7 + 6 ) ，( a + a 7 ) + ( b + q + 6 ，) m a rn ，故bp n a 再证肌传递设a ，b ，c m a r ( u ，u ) ，却，q ，? _ ，8 m a rn 满足p + a = b + q ，r + b = c + s ，则( 7 + p ) + o = r + p + o ) = 7 + ( 6 + 口) = ( r + 6 ) + 口= ( c + s ) + 口= c + ( s + 口) 由r + p ，s + q m a rn ，得ap n c 以下证明p 关于部分运算相容设ap 6 且a + c 有定义则却，g m a rn ，p + a = b + q 令b ( 6 ) ，c ，( c ) ，则( 6 + c + c ，+ 6 ，+ p ) + ( o + c ) = ( 6 + c ) + ( c ，+ 6 7 + 第1 2 页 第二章e 一反演半群胚的群胚同余 6 + q + c ) 由n 是自共轭的子半群胚，有b + c + c 7 + 6 7 十p ，d + b 7 + 6 + g +