（基础数学专业论文）大气环流方程组定解问题研究.pdf

摘要 本文从最简单熟悉的c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程组入手，运用分层理论研 究大尺度三维干的大气环流方程组的拓扑学性质及其定解问题的适定性，以及 适定的定解问题( 包括初值问题、边值问题和混合问题) 在解析函数类空间准确 解的求解方法本文的研究主题是p 坐标系下的大气环流方程组，所得结果如 下： 1 以c a u c h y k o v a l e v s k a y a 型方程 荔三= ：2 为例，说明分层理论的方法所得结果与经典特征理论所得结果相同，也就 是说明分层理论的科学性与正确性 2 大气环流方程组的典则分层为： w j ，七一i ( r 4 ，r 5 ) = w 3 ，磨一1 ( o ) ut 3 ，凫一1 ( d ) = 器肛1 ( d ) u 黠詹一1 ( d ) u 死，七一i ( d ) 3 大气环流方程组压力方向的边值问题总是适定的 4 大气环流方程组广义初值问题适定的充分必要条件是： j1 一u v 夕0 l 器0 其中夕= g ( x ，秒，p ) 是初始超曲面，u 是初始速度向量 5 在前人所作的c a u c h y 问题基础上，首次讨论了大气环流方程组混合问题适 定性并得到了其适定的充要条件，此部分的创新性已被专家肯定并发表 6 编写了适定混合问题解析解的计算程序 关键词：大气环流方程；分层理论；初值问题；混合问题；解析解；适定性 a b s tr a c t b a s e do ns t r a t i f i c a t i o nt h e o r y , b e g i nw i t ham o s tf a m i l i a rc a u c h y - k o v a l e v s k a y a e q u a t i o n ，s o m et h e o r e t i c a lp r o b l e m so fl a r g e - s c a l ed r ya t m o s p h e r i ce q u a t i o n si n3 - d i m e n s i o n a la r ed i s c u s s e d ，i n c l u d i n gi t st o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s ，t h ew e l lp o s e d n e s s o fi t si n i t i a lv a l u ep r o b l e m ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dm i x e dv a l u ep r o b l e m t h em e t h o d sa n dt h ep r o g r a m so fh o wt og e tt h ea n a l y t i cs o l u t i o no faw e l l - p o s e d p r o b l e ma r ea l s op r e s e n t e d i nt h i st h e s i s ，t h ea t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n u n d e rpc o o r d i n a t es y s t e ma r em a i n l yr e s e a r c h e d t h er e s u l t so b t a i n e di nt h e p a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 t h ec a u c h y - k o v a l e v s k a y ae q u a t i o n s ： ：三嚣：2 a sa ne x a m p l e ，s h o w st h a tt h er e s u l to b t a i n e db ys t r a t i f i c a t i o nt h e o r yi sa s t h es a m ea st h ec l a s s i c a lm a t h o d ，t h a ti st h ec o m p a t i b i l i t yf o rs t r a t i f i c a t i o n t h e o r y 2 t h ec a n o n i c a ls t r a t i f i c a t i o no fa t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n si s ： 巩，七一i ( r 4 ，r 5 ) = ，南一1 ( d ) u 死，向一1 ( d ) = 甓，后一l ( d ) us 。4 ，南一l ( d ) u 死，知一l ( d ) 3 a t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n s b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi npd i r e c t i o n i sa l w a y sw e l lp o s e d 4 t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o raw e l l p o s e dg e n e r a li n i t i a lv a l u e p r o b l e mo fa t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n si s ： ，1 一u v g 0 1 赛o a b s t r a c tl n w h e r eg = g ( x ，可，p ) i sa ni n i t i a lh y p e r s u r f a c ea n dua ni n i t i a lv e l o c i t y v e c t o r 5 b a s e do nt h ep r e v i o u s s t u d yi nc a u c h yp r o b l e n 。i ti st h ef i r s tt i m et od i s - c u s s e daw e l l - p o s e dm i x e dv a l u ep r o b l e mo fa t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a - t i o n s t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rw h i c hi so b t a i n e d ，t h e i n n o v a t i o no ft h i sp a r th a sb e e na f f i r m e db ye x p e r t sa n dp u b l i s h e d 6 p r e s e n tt h ec o m p u t e rp r o g r a mf o ra na n a l y t i cs o l u t i o no fw e l l - p o s e dm i x e d v a l u ep r o b l e m k e y w o r d s ：a t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o ne q u a t i o n ；s t r a t i f i c a t i o nt h e o r y ；i n i t i a lv a l u e p r o b l e m ；m i x e dp r o b l e m ；a n a l y t i c a ls o l u t i o n s ；w e l l - p o s e d n e s s 2 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 噼l日期：4 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校 可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：豆叠茎乙一导师签名：五盆坦型皂一日期 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 1 1简介 众所周知，偏微分方程组的定解问题的适定性在方程的理论和应用领域占 有重要地位，复杂的偏微分方程组，其适定性研究对于方程定解条件的合理性， 以及该方程是否可以真实的反映自然现象，都有着重要的意义本文利用分层 的理论，从方程组的拓扑结构入手，可以将任何拟线性方程组的研究转化为一 个线性代数方程组问题，通过线性代数方程组有唯一解，有无数个解，无解来判 别原方程的适定性问题的有唯一解，只有形式解和无解并求出其解析解的表 达式，所谓的形式解即其给出没有正的收敛半径的级数解这种方法提供了完 整而具体的求解方法与步骤，却并不限定方程的类型，可以用来判定任何方程 的c a u c h y 问题的适定性( 钱伟长语) 对于部分的混合问题，可以利用将其化为带 有积分号的初值问题，利用泛涵分析的不动点原理及积分方程的知识，讨论这个 初始问题的适定性，进而可以得出原混合问题的适定性结论 1 1 1 大气方程及前人研究结果简介 大气环流是大气层具有一定稳定性的各种气流运动的综合现象，整个大气 系统的动力学和热力学运动由一组流体力学方程组控制，实际上是若干个偏微 分方程，为了考虑的问题相对简洁性，本文讨论p 坐标中简化的方程形式 对于大气方程的理论研究，国际国内都有不少人从事曾庆存先生论证 了l 2 空问中正压大气初值问题的唯一性和稳定性，斜压大气初值问题的唯一性 和稳定性等f 1 8 1 ；王必正对于水汽方程的第一类边值问题，证明了其弱解的存在 唯一性 2 2 1 ；李建平，丑纪范于上世纪九十年代发表一系列文章，讨论了人气方 程组解的性质及强迫耗散的非线性大气系统的定性理论【1 6 17 】；章志飞在 2 1 1 证 明了当初值在齐次b e s o v 空间中充分小时，二维耗散准地转方程存在唯一整体 解国际上从数学的角度研究大气方程组的亦有人在，但其解的函数类讨论范围 均扩展到了l 2 空间上，参见1 】 【5 】然而，在解析函数类空间中俨( 或无穷可微 函数类够o o ) 中讨论流体力学和大气动力学中复杂偏微分方程，目前主要应用分 层理论 2 3 1 来加以解决且对于初值问题的适定性已经有了相当多的成功先例 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 2 2 0 世纪8 0 年代，施惟慧先生就著名的n a v i e r s t o k e s 方程的性质进行了讨论，9 0 年 代后，对于非静力旋转流体方程的适定性【1 5 】，正压原始方程的适定性【1 4 】，无粘 带地形作用的正压方程组的适定性f 2 0 】等亦有结论，更多的参见【6 卜，【1 1 】但是， 目前为止主要研究结果集中于讨论c a u c h y 问题的适定性，对于混合问题的适定 性研究，只有在f 1 4 】中给出了大气环流方程组有底部边界条件的混合问题一种特 殊形式的解本文除了在第二章给出大气环流方程c a u e h y 问题的适定性结论， 还在最后一章就其混合问题的适定性进行了研究，并给出了其充分必要条件 1 1 2 常用符号及概念 1 e h r e s m a n n 空间： ，( vz ) 一 uj ”k ( vz ) 【x ，u ) e v z 为形到驴的七阶e h r e s m a n n 空间，其中vz 是无边的微分流形，任意一 个k 阶的微分方程组d 是其一个子集 2 典则对应：也叫典则投影 q 2 ，：，( 彤，矽) _ j 七7 ( r n ，矽) 称为( 舻，r m ) 到j 知7 ( 舻，) 的典则对应，其定义为对任意的 有： 3 e h r e s m a n n 对应e ： = ( x ，u ，垛，- 垛) j k ( 彤，) q 2 ，( p ) = x ，u ，z ，) j k ( 彤，a m ) e ：j k + l ( 形，兄m ) 一了1 ( r n ，了知( 舻，r m ) ) 称为e h r e s m a n n 对应，e ( 厂) 是他的第i 个分量 4 准本方程：设一阶偏微分方程组d j k o ( r ，舻) ，以此出发，记 l 七( d ) = q ( d ) ，惫k o 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 3 己七+ 1 ( d ) = e - 1 ( j 1 ( 钟，七( d ) ) ) ，k2k o 由此得到的一系列e h r e s m a n n 空间的子集( 方程) d ：= nl 知( q ( d ) ) j 岛( r 疗，r m ) ，k 一1 i _ k o 记此序列( 称作一个链) 为以，称为d 的准本方程而每一个磁称 为d 的k 阶准本方程 5 典则系统：将两个链玩- 1 。( 册，舻) 和一1 ，。( 冗n ，) 联系起来所构成的系 统： b 一1 ，。( 口，胛) ：一玩一1 ，m ( 口，驴) 一既一1 ，知( 舻，) _ j ，p n 一1 ，。 ip n 一1 ，k + l 【p n 一1 ，知 叫1 ( 舻，舻) ：_ 一1 ，m ( 形，r m ) 一眠一1 ，南( 舻，舻) 一 称为r n 到冗m 的典则系统 6 解析解：对于d j 七o ( 酽，r m ) 的适定的c a u c h y 问题，从初始条件( 盯，舶) 出 发，逐步对 y o ：_ j k o 一1 ( 毋，j p ) 作提升，一般地得到饥：一+ 七o - 1 ( 舒，舻) 时，它满足 o l 。k ，+ 。k 。o 一- ；。饥= 饥一p 譬以。饥= 仃 - y , ( e ) d k + k o m ( ) 砩吐詹+ 。一1 ( d ) 由序列 讥) 得到一系列的p ：，以此表示的幂级数表达式为适定c a u c h y 问 题的解析解 1 2 方程与分层 本部分开始，我们介绍施先生处理偏微分方程( 组) 局部解问题的一种方法， 这种方法是建立在拓扑专家们常用的局部同胚，同调基础上，给出偏微分方程和 拓扑空间的一一对应，从而构造本方程，得出其拓扑结构，并在此基础上研究方 程局部解的问题 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 4 1 2 1 方程的拓扑表示 设对应f ：舻一舻对于给定u 矽，将所有k 阶连续可微的f c 七及在 空间r n 中的一点x 构成如下集合： 罐让( 彤，舻) = 姒x ) l f ( x ) = u ；x r n ，u 矽，f c 七) 在磷。( 衍，矽) 上定义如下关系： 对于( 厂，x ) ，( g ，x ) 磁。( r ，r m ) ，若，( j ) ( x ) = 夕o ) ( x ) ，j = 0 ，1 ，k ， 贝u f r g 容易验证r 是一个等价关系，一g 例如： = z ，f 2 = s i n x 及f 3 = z e 川均属于锑o ( r 1 ，r 1 ) ，且 一如，厶一 厂3 定义1 1 用硅u ( 肝，) 表示商集砹，u ( 彤，r m ) 一，其元素【( 厂，x ) 】称为，在点x 处 的k 阶无穷d x j e t ，记为j 七厂( x ) 称 ( 舻，砂) = u畿，u ( 冗n ，) ( g ，u ) e r ”胛 为舻到冗m 的k 阶e h r e s m a n n 空间 上述例子中的 ，2 和 ，它们之间相互( 一阶) 等价是由于其在z = 0 处的 函数值以及一阶导数值分别为0 和1 事实上，所有坐标在x = 0 处的函数值及一 阶导数值分别为0 和1 的r 1 到r 1 的一阶对应都是相互等价的，故可用( 0 ，1 ) 表示上 述等价类代表由此我们可以引入e h r e s m a n n 空间的局部坐标，设 记 其中多重指标j ，a 为： x = ( x l ，z n ) r n u = ( 札1 ，钆m ) r ” f = ( ，m ) ：形一r m ，f c 知 u i ( x ) = 五( x ) 巧- ( x ) 5 孝( x ) ，i = 1 ，2 ，m j = ( j l ，歹。) ，1 j l j 。佗 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 5 入= ( 入1 ，入。) ，i 入i = a l + + a 。，入t 0 对每一个t = 1 ，2 ，仇，榭一随j a 按字典排列法升序排列，然后对于每一 个 ( x ，u ，p ：，p 孑，p i 。，群3 ) r n k ，n k = 竹+ m c 备詹 由定义1 1 知，决定了驴( 驴，册) 中的任一个元素【( ，x ) 】，也即得到了r 帆与 ，( 舻，) 之间的局部同胚于是将( x ，u ，p l ，磅，p ；。，孵) 作为【( ，x ) 】 弘( 衍，舻) 的局部坐标，( 舻，冗m ) 是一个维数为肌的流形 现考察一偏微分方程 象+ 让差= 。两+ 让石2 u 使用上述记号，设p = ( z 1 ，z 2 ，u ，p ，p 1 ) j 1 ( 砰，r 1 ) ，则方程可以写成 砖+ u l p i = 0 很显然，它是5 维e h r e s m a n n 空间j 1 ( r 2 ，r 1 ) 的一个予集这个子集由对应 f ：j 1 ( 冗2 ，r 1 ) _ r 的零点，一1 ( 0 ) 表示反之，给出( 酽，) 的一个子集，总对应于一个偏微分方 程组例如 d = _ ( z 1 ，z 2 ，u 1 ，u 2 ，p i ，p l ，p ；，班2 ) l p ；+ u l p ；= a u 2 ，p ；+ u ：p ；= b u l ) d j 1 ( 冗2 ，r 2 ) ，a ，6 是已知常数 则d 可对应一个一阶拟线性偏微分方程组： 萎凑三著 由此可见，任何偏微分方程( 组) 都可以看作某一e h r e s m a n n 空问的一个子 集，同样e h r e s m a n n 空间的任一子集也可对应一个偏微分方程( 组) ，虽然这样一 个方程( 组) 不一定有实际意义，也不一定可解 对于一个一般的偏微分方程组 , q l q l 口- 只( z 心器) = 0 ，i = 1 州2 一，m ( 1 1 ) 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 6 其中，q 为多重指标，l q l = 口1 - t - q 2 + - t - a 钆，z = ( x l ，x 2 ，) ，牡= ，u 2 ，“m ) 分别为n 维和m 维向量 可以看成是由可微对应f = ( r ，r ) ：j 七( 形，矽) _ r m 的零点构成： 或者记成： d = f _ 1 ( o ) d = y ( 日，) = y ( f 1 ) n ny ( ) 其中y ( ，) 表示，的零点全体 例1 1 c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程 则是e h r e s m a n n 空间，1 ( r 3 ，r 2 ) 中的予集，令( z ，y ，t ) = 方程组表示为： jp = u l p + 钆2 建 【建= u 2 p 1 十u l p ； ( 1 2 ) 1 ，x 2 ，x 3 ) ，( u ，v ) = ( ? - t 1 ，u 2 ) ， 将上式记作r ，疋，对应只：j 1 ( r 3 ，r 2 ) _ r ，定义为对于任意的 有 则 或 p = ( z 1 ，x 2 ，x 3 ，u l ，乱2 ，p i ，p ；， d = f - 1 ( o ) ，砖) j 1 ( 群，r 2 ) d = y ( r ，易) = y ( f 1 ) ny ( 岛) ( 1 3 ) 哪毗 + 嘶 l l i l 似 优 ，、【 d 2 2 2 1 p p 2 1 u u 一 一 砖砖 1 2 让 珏 一 一 1 3 2 3 p p = = 、l，、l， 8 8 ，i， r 足 ，(1l 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 7 1 2 2 本方程的确定 本节开始引进准本方程的概念，设阶偏微分方程组d 冬j b ( 舒，舻) ， 以此出发，记 l k ( d ) = a 磐( d ) ，k k o l k + i ( d ) = e - 1 ( j 1 ( 彤，l 知( d ) ) ) ，k k o 由此得到的一系列e h r e s m a n n 空间的子集( 方程) 磁= n 三七( 口；。( d ) ) j 七( 酽，r m ) ，k 一1 i 于是就得n - r g * 一1 ( t j 知( 殿，矽) ) 的一个子链： 鬈一1 ( ) 一鬈一1 ( t j 七( 冗n ，秽) ) s 露一，( t j 七一，( r n ，) ) _ 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 1 0 其中 ；= a 2 1 i ：_ l ( t j k ，肛) ) ，再记 i ：p 七：鬈一1 ( t j 知( 酽，矽) ) _ e 一1 ( t j 七一1 ( r n ，矽) ) ，t 一，( 舻，舻) ( 彤，r m ) 我们可以给出典则系统的概念 定义1 3 设 鼠一1 七( 形，矽) 眠一1 ，七( 形，) i ：+ 1 p k + 1 ( 鬈一l ( z 护+ 1 ( 冗n ，r m ) ) ) g 三一1 ( 时( 舻冗仇) ) x j t ( 舻，r m ) j k + l ( 形，舻) z ：+ 1 ( e l ( t j + 1 ( 兄n ，r m ) ) ) g ：一1 ( t j 七( 彤，r m ) ) 玩- 1 t 七( 舻，砂) 与一1 ，k ( r 竹，矽) 之间存在自然投影： p n 一1 ，南：晶一1 ，七( 彤，舻) _ 一1 ，k ( r n ，矽) 将两个链易- 1 + ( 舻，胛) 和职_ 1 ，+ ( 舻，r m ) 联系起来所构成的系统： b 一1 ，+ ( 舻，舻) ：_ 玩一1 ，k + l ( r 竹，砂) _ 风一1 ，七( 舻，舻) _ j ，p n 一1 ，。 【p n 一1 ，k + l【p n 一1 ，南 w n w l ( 舻，舻) ：一w n 一1 ，( 舻，驴) _ w n 一1 ，南( 舻，舻) 称为r 礼到r m 的典则系统 对于方程组d ，设其本方程为 d ：_ d k + 1 _ d k _ _ d o _ d 一1 定义d 的典则系统如下： 定义1 4 设 称 鼠一1 ，k ( d ) = 玩一1 ，知( 形，砂) n ( g n 一1 ( t 仇) x j k + - ( 舻，r m ) d k + 1 ) “k ( d ) = 砌一1 ，知( 既一1 ，i c ( d ) ) 鼠一1 。( d ) ：_ 鼠一1 斛a ( d ) 一磊一1 ，忌( d ) 一 上p n 一1 ，上p n 一1 ，k + l上, o n 一1 ，南 眠_ 1 + ( d ) ：_ 一1 ，知+ i ( d ) 一眠一l ，( d ) 为d 的典则系统 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 1 l 对上述典则系统进行分层，所得到的结果将直接显示方程d 的拓扑学性质， 下列定义将指出什么是分层以及如何对典则系统分层 定义1 5 设x ，y 是两个拓扑空间，是x 到y 的连续映射，将y 分解成若干个互 不相交的子空间之和：y = y oumu 称为y 按，分层，假如分解是按如下规则 进行的： y o 嬲- ( f - 1 ( 碥) ，y o ，l i - 1 ( t o 、) 成为一个局部平凡纤维空间的y 的最大开 集一般地，y k 嬲( f - 1 ( k ) ，k ，i ：- 1 ( y k ) ) 成为一个局部平凡纤维空间的y um 的最大开集 i = 0 定义1 6 称 p 。- i , 七= u 砖- 1 詹：昂- 1 七( d ) = u e q 。，詹( d ) _ u 霹- 1 ( d ) = _ 1 七( d ) gq口 为d 的n 一1 ，七) 阶典则分层 方程组的典则分层直接显示其拓扑性质，下边就一个具体的简单例子说明 怎样对一个方程组进行分层 例1 3 c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程( 2 2 ) 得分层结果是： 鹏，七一1 ( 帮，r 2 ) = w 2 ，七一i ( d ) ut 2 ，七一i ( d ) = 岛詹一1 ( d ) u 乃，七一i ( d ) ( 1 4 ) 为了说明上述分层结果，首先考虑典则系统中的w 2 , 后- 1 ( 冗3 ，r 2 ) ，它有一 组开覆盖：，七一1 ( r 3 ，r 2 ) = 阢uu 2uu 3 ( 后1 ) ，其中既= g - 1 ( 坛) ( i = 1 ，2 ，3 ) 是g ；( t j k - 1 ( 兄3 ，r 2 ) ) 的三个开集，它由冗3 在点x = ( x l ，x 2 ，x 3 ) r 3 的切 _ 空_ f f i j t r 3 横截于 杀= 0 的超平面组成依次对巩，观和进行讨论，即可得 到分层结果此处只对于现的情形进行详细讨论 设7 - u 3 g ；( t j k - 1 ( 冗2 ，辟) ) ，则7 - 由点 p ( 7 - ) = ( z ，u 1 ，u ，p i ，旌) 矿_ 1 ( r 2 ，r 3 ) 以及j 七- 1 ( 冗2 ，r 3 ) z e p ( t ) 的两个切向量 r 1 = ( 1 ，0 ，5 1 ，锄( 1 ) ，谚a ( 1 ) ) 7 1 2 = ( o ，1 ，如，哦( 2 ) ，谚- ( 2 ) ) ，i = 1 ，2 ；七一1 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 1 2 唯一确定根据w 2 扣i ( r 2 ，帮) 的定义，7 - 必须满足下述条件： 筋x ( 2 ) 一砖x 一况劣- 3 = 0 ，( i = 1 ，2 ；1 = 1 ，2 ；i 入i k 一1 ) ( 1 5 ) 这样就导致了 7 - p 2 ，k l ( 五2 ，七一1 ( d ) ) = w 2 ，缸一1 ( o ) u 1 砬1 ( 1 1 + u 2 砬1 ( 2 1 + u 2 砬2 ( 2 ) ( 1 6 ) 乱1 色2 ( 1 ) 、7 以疵，i = l ，2 作为未知数，( 2 6 ) 的系数行列式为( 1 + u l a l ) 2 ( u 2 如) 2 ，讨论其关 于砖可解性，得以下结论： 1 + u 1 5 1 o 并且u 2 5 2 0 时，上式关于砖有唯一解，这表示7 - u 3 n s 2 0 t ( d ) ； 若以上条件不被满足，即1 + u 1 5 1 = o 或者u 2 5 2 = 0 贝u ( 2 6 ) 关于砖不可解，说 明7 - nt 2 ，o ( d ) 当k 2 时，由于在开集现中讨论问题，因此只需考虑d 的本方程中如下2 个 方程： 一1 ( 娥1 y 1 1 3 k l 一1 + p 7 p 。2 3 k t 一1 ) 一1 ( 娥2 y 2 1 3 一- + 疵砰3 一) 同样利用根据饬，知一1 ( d ) 的定义所得的( 2 5 ) 式，当p ( 7 - ) d 南时，得到关系式： ( 1 + u 1 5 1 ) 砖+ u 2 5 2 p ； ( 1 + 乱1 6 1 ) p ；+ u 2 5 2 p j 砖( 1 ) + 建( 2 ) + 建( 1 ) + 建( 2 ) + ( 1 7 ) 砖t p ；3 一t i = 1 七一1 砖p ；3 一t 以破。( i = 1 ，2 ) 作为未知数，上述方程的系数行列式仍为( 1 + u 1 5 1 ) 2 ( 札2 如) 2 ，讨论 其关于破。可解性，针对一切k 1 的结论： 当l + u 1 5 1 o 并r u 2 5 2 0 时，关于p 未的代数方程组的系数行列式不为零， 因此有唯一解，这表示7 - 现n 甓七一1 ( d ) ；若以上条件不被满足，即1 + u 1 6 1 = o 或者u 2 5 2 = o n ，则代数方程组关于p 不可解，说明7 - u 3n 正，南一1 ( d ) 对于巩和巩情形可以进行类似的分析，下面仅罗列出最后的结论 以丁 一口 ，1 3 p 如 一 毗 = 砖 由d = d 力烈 若 舻舻 “ r 时 l = 当式先系首关“u至得 i i = 2 3 1 3 p p 如如 2 2 u u+ + 1 3 2 3 p p、j、， 1 1 1 6 f 0 l l u u + + 1 上1 ，j，f ，、【 嚷 嚷 m 瓮铷 = = 价r 价一 日 乃 一 一 3 3 e e ，jli一， + + 一 一 一 一 p p p p m 斟“ 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 1 3 设7 u 1 g ；( t j b l ( 冗3 ，r 2 ) ) ，它是由点p ( 7 ) j k - 1 ( r 3 ，r 2 ) 和_ 1 ( 帮，r 2 ) 在p ( 7 - ) 的两个切向量 唯一确定而对于任意的七，可以得到： 砖一t ( 3 ) + 建( 2 ) + 砖一- ( 3 ) + 建( 2 ) + p i t p ；+ t = 1 七一l p 碱。一t 商一t p ；p ； 显然的，当以一u l o 并且u 2 如0 时，上式关于硝* 有唯一解，这表示7 巩n 爱扣1 ( d ) ；若以上条件不被满足，i i p s a u l = 0 或者- u 2 5 2 = o 则上述代数方 程组关于p i 。不可解，说明7 - 仉nt 2 ，七一1 ( d ) 设丁巩g ；( t j 七一1 ( 印，r 2 ) ) ，它是由点p ( 7 1 ) j k 一1 ( 廖，r 2 ) 和j 知一1 ( r 3 ，r 2 ) 在p ( 7 ) 的两个切向量 唯一确定而对于任意的k ，可以得到： 钆1 ) 砖+ “1 ) p ；+ u 1 5 l p ； u 1 5 1 p j p ；( 3 ) p 氧一。( 3 ) + 乱硅( 1 ) + p 捌2 h t + t = 1 七一1 + u l g m ( 1 ) + 砖t 露2 一t + ( 1 8 ) 知一1 p ；t 磙一t t = 1 七一l p 象p l 川 i 一1 以砖。作为未知数，讨论上述代数方程的可解性，类似的可得当5 a 一缸】 o 并且乱2 如0 时，上式关于p 缸有唯一解，这表示丁巩f l 爱缸一】( d ) ；然而若 以上条件不被满足，即当以一u 】= 0 或者u 2 h = 0 时则上述方程组关于p 不 可解，说明7 - 巩n 乃肛1 ( d ) 综上所述，即得分层结果( 2 4 ) 通过这种分层 方法来得到方程的拓扑结构，进而来求得方程解析解适用于所有的c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程，并且所得解析解的结果和经典特征理论解法1 2 1 f 2 4 1 相同， 但是本方法可以解决许多用常规方法不能解决的问题，从第二章开始的内容既 1一 后 一 入2l i i 口p 、l，、l，、l，、l， 2 3 ，i，j、 伊一珙， 、l，、i， 2 3 ，fi、，fi、 - t i u u 0 l 1 0 2 3 口 q ，i，i = | i m 啦 砰= ，一 酽崖 p p 如 如 u 让 + + l l ，o l p p 、l，、l， 1 l 让 u 一 一 如 如 ，f、 ，l，、-、 l 一 七 一 a21 上 = ，p 、i，、l，、l，、l， 1 3 ，ji、，r 磅皮， 、i，、， 1 3 ，i u u o 1 胁风 l 0 ，fi、，i | i = 吼啦 第一章 偏微分方程( 组) 和分层理论 1 4 是如何用分层理论的方法解决一类大气环流方程组的c a u c h y h l 题，混合问题， 而且此方程组不是c a u c h y k o v a l e v s k a y a 型方程，也没有常规的方法可以求出其 解析解 第二章大气环流方程组的c a u c h y 问题 从这一章开始，本文将利用分层理论的方法，从方程数学模型本身的性质入 手，讨渤坐标系下干的无粘的大气环流方程定解问题，p 坐标系下的大气环流 方程组如下： d ： 砒 磊+ 面+ 缸 面+ 6 h z 瓦+ a 西 面+ 其中，爰= 番+ 乱岳+ 口苗+ u 毒是全微商，u = 裳+ u 赛+ u 骞+ 叫塞，乱， ，叫分 别是风速在坐标轴z ，y ，z 方向上的分量，圣是重力位势函数，t 是温度，是科氏 力系数( 大尺度情形设为纬度坐标y 的函数) ，q 是定压比热 2 1大气环流方程的拓扑性质 首先在e h r e s m a n n 空间中改写方程组，根据文献【2 3 】，方程组d 可以看 作e h r e s m a n n 空l e j l ( 冗4 ，r 5 ) 的子集，记( u ，v ，u ，圣，t ) = ( u l ，u 2 ，u 3 ，锄，u s ) ，( z ，y ，p ，t ) = ( x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) ，则方程组d 在空问j 1 ( r 4 ，冗5 ) 的坐标满足： 旌+ u l p ：+ 乱2 旌十u s p j + p 4 一f u 2 = 0 p i + u l p ；+ u 2 定+ u 3 p ；+ p ! + f u l = 0i +i +磋+i + p ；+ = 磋+ u l p + 乱2 p i + 乱3 p 耋+ 万u 3 耽_ 4 = 0 p ；+ p ；+ p ；= 0 砖+ 等= o ( 2 1 ) 将方程的左侧记作日，易，忍，乃，忍，则方程d = y ( 日，局，尼，f 4 ，f 5 ) j 1 ( 骨，r 5 ) = i | 0 = 币羔知一 塑露瓦兰易一铬一 第二章大气环流方程组的c a u c h y 问题 1 6 2 1 1 本方程和准本方程 根据准本方程的概念，将d = y ( 日，f 2 ，f 3 ，f 4 ，f 5 ) i f i e h r e s m a n n 空间一( 彤，硝) ， j - 1 ( r 4 ，r 5 ) 投影，向上作映射e 可得到任意k 一1 阶的准本方程d ： 。圣il主毒怎嚣尝兰?一j靠k-_21i 2341 堂4 弓 c 2 ( = 1 ，5 ；歹歹1 ) 、。 一个方程组的稳定性与他的本方程是否与准本方程重合有极大关系，若方程是 稳定的，则其本方程和准本方程一定重合也就是说，二者重合是方程稳定的必 要但不充分条件下边的结论说明大气环流方程得准本方程和本方程是重合的 定理2 1 大气环流方程d 的本方程和准本方程是重合的 证明根据本方程的定义，需要证明对一切忌o 都有q 2 1 ( d ：) = d ：一1 当七1 时，显然成立乜1 1 ( 瑞) = d 1 和a 6 ( d i ) = d o 当k = 2 时，d ；为 p ：+ u l p ；+ u 2 p ；+ u 3 p j + p l f u 2 = 0 旌+ u l p ；+ u 2 定+ 铭3 露+ p ! + f u l = 0 p i + 让l p i + u 2 p i + 札3 砖+ 万u 3p _ 3 4 = 0 p i + p ；+ p ；= 0 碟+ l t u 5 ：0 e j ( f 1 ) ：p l j + u l p j + u 2 p 5 j + 乱3 砖+ 砖一f u 2 = 0 e j ( f 2 ) ：p 毛+ u l 而+ u 2 p ；j + 乱3 p 药+ p 乞+ f u i = 0 e j ( f 3 ) ：商+ u l p 3 1 j + “2 磅+ u 3 ( p i j + p 毛) = 西3 ，j 勺( 乃) ：p j + p i t + p j 3 3 = 0 e j ( f 5 ) ：砖+ 尝= 0 如果上述2 5 个方程中给定了一阶坐秘后，可以存在二阶坐标巧南使整 个方程组成立，则可说明q ( ) = d i 注意到马中后2 0 个方程对应二阶坐 第二章大气环流方程组的c a u c h y 问题 1 7 标硝4 ，p ；4 ，建4 ，p h 的系数矩阵为： 其中 m 2 = 尬1 = 2 = m 3 5 = 尬1 = m 4 2 = m 4 3 = 1o 01 o0 u 1u 2 0 0 0 0 00 10 00 00 10 u 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 经过初等变换可知其系数矩阵和增广矩阵有相同的秩1 6 ，说明d ：中后2 0 个方程 可解，即a ；( y ( 勺( 只) ) ) = j 1 ( r 3 ，r 3 ) ，所以得知q i ( d ：) = 0 1 一般地，对于d ：中后型笋个方程对应七阶坐标的系数矩阵对应于砖，- ， 略。，磅- ，= k l 的一个型笋阶子矩阵为： 其中 m 2 = = m 黾 0 七 0 蠡 m 0 岛 0 七 嗡 o 七 硫 0 七 舰1 = 尬2 = 尬5 = 0 七 0 知 0 知 坞 0 七 m l m k m 0 七 呜 0 七 0 后 破 0 七 0 七 o o 呱o o m 尥帆o 仆 o o 0 红o o如0矗o a a 尬o o 尬o 0 0 0 1 o o l 地 0 1 o 蚍 1 o 0 一 m 第二章大气环流方程组的c a u c h y 问题1 8 m 4 , = m 4 2 = m 4 3 = 00 0 000 00 0 l00 经过初等变换，同样可以证明其系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，因此，综上所 述，方程组的本方程和准本方程重合口 2 1 2 典则分层 基于大气环流方程组本方程的基础上，我们开始构造d 的典则系统 p a ，知一1 ：e 3 ，k l ( d ) 一w 3 ，k l ( m ) 对其进行分层，对于鹏，k 一1 ( 砰，r 5 ) ，总有一组开覆盖玩，i = 1 ，2 ，3 ，4 满足巩，k 一1 ( 舒， r 5 ) = u i 4 = 1 阢依次对每一个玩进行讨论，最终可以得到其分层结果，从而得到 方程组的解空间构造 对观的情况，设r u 4 g ；( t j 后- 1 ( r 4 ，r 5 ) ) 2 5 】，则7 - 由点p ( 7 - ) = ( z ，u ，磋) 的三个切向量 唯一确定又由7 具有性质 = 0 ，即得7 - 必须满足下述条件： 蟛x ( z ) 一p 玉- 一函巧 4 = 0 ，0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；z = 1 ，2 ，3 ；i 入i k 一1 ) ( 2 3 ) 因此，可以得到下列分层结果： 定理2 2 典则分层在砜u ，七一1 ( 冗4 ，磁) 中的结果是： j 7 - u 4u 甓肛1 d 的充分必要条件是 乏蓁三一毗西一让2 如一u 3 如。 o 0 0 0 1 上一艮 一 一5432l = 口 、，、j、，、，、l，、l， 1 2 3 ，r，ii、，j 谚影、礴 、i，、l， 1 2 3 ，fi、-i、，j、 u 钍 u 西如以 0 0 1 0 l 0 1 0 0 ，ii、，fi、，- i | = i l m 啦啦 第二章大气环流方程组的c a u c h y 问题 1 9 2 7 - u 4us 。4 七一1 d 的充分必要条件是： 或者 蚤壮如 窿r 如_ 0 占7 - ut 鼬3 一l d 的充分必要条件是： 或者 慨耻 0 0 证明当南= 1 时，7 w 3 ，o ( r 4 ，r 5 ) ，若p ( 7 - ) d 1 = d ，将关系式谚= u i ( j ) 一 妨p ：代入( 3 1 ) 加以整理可以得到以或，i = 1 ，2 ，3 作为未知数的代数方程： 00 一函 0 0 a 0一如0 00 0 警如 一6 1 一如一如0 0 000一如0 b 1 1 6 2 1 b 3 1 6 4 1 b 5 1 ( 2 4 ) = = 醪 。詈斟，i_jll_l 露旌旌旌琏 其中 = 1 一u 1 5 1 一乱2 如一 t t 3 6 3 b i = 一u l 砬1 ( 1 ) 一u 2 f i l ( 2 ) 一u 3 7 盘l ( 3 ) 一u 4 ( 1 ) + f u 2 醍= 一札1 矗2 ( 1 ) 一u 2 u 2 ( 2 ) 一u 3 缸2 ( 3 ) 一砬4 ( 2 ) 一f u l 醵= - u z f i s ( 1 ) 一u 2 f i s ( 2 ) 一u 3 u s ( 3 ) 一器砬4 ( 3 ) 醒=