（基础数学专业论文）两类平面系统的极限环问题.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：2 杰缝塑 f 3 期：麴：生占 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅：有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：7 女炯季8 日期：2 璺i 4 - 5 摘要 本文分别研究了两类平面系统的极限环问题全文共分三章第一章为 引言，第二章研究了二次系统( 1 1 ) 。；。的极限环问题，第三章研究了一类四 次l i 6 n a r d 系统的极限环 一、二次系统( ) 。：。的极限环问题( 第二章】 这一部分对叶分类下的二次系统( ) 。，即系统 互= 一y + d x + 氏2 + m x y2p ( x ，y ) ，= w ( 1 + 口+ b y ) ；q ( x ，y ) 的极限环问题进行了较系统的研究得到了系统不存在极限环，存在惟一极 限环，最多存在两个极限环的相应结论全章共分四节 第一节，对系统( ) 。：。进行了基本定性分析，由于o 外的极限环问题 涉及到d = 0 时该系统的p ( z ，y ) = 0 通过0 的一支上是否存在一鞍点s 、， 如果存在，则它包向0 的两分界线界定了0 外可能存在极限环的范围是以 s 。为边界的有界区域当1 + 一+ b y = 0 不与p ( x ，y ) = 0 的上半支相交时， 则d = 0 时包向原点的两分界线分别来自和跑向赤道上的鞍点( 或鞍结 点) ，这时0 外可能存在极限环就涉及到这两条分界线所包围的无界区域， 这对决定0 外极限环是否具有惟一性是至关重要的 第二节考察了d = 0 时该系统的极限环问题，得到如下结论： ( 1 ) 围绕0 的极限环若存在，必保持在区域g 0 ，在( a ，6 ) 平面上的角域。( b + 2 1 ) 0 中系统不存在极 限环 ( 3 ) 在( a ，6 ) 平面上的另两个对角域内，由于o 可以成为二阶、三阶细 焦点或中心，通过摄动参数改变其稳定性，从而在o 外可出现极限环由此 分析了能分支出极限环的可能参数区域( 见图2 4 图中的数字l ，2 表示出 现极限环的个数) 对余下的阴影区域i 、中的参数，我们均证明 o 外不存在极限环证明较长，利用到一些甚为精细的估计，以证明在相应 参数条件下，用f i l i p o v 变换后的函数f ( ：) 与b ( ：) ，恒有f 。( = ) f 2 ( ：) ( 或f ，( z ) f 2 ( z ) ) ，见定理2 2 2 5 过渡到d 0 对上述无环区的参数。，b ，z ，运用广义旋转向量场理论易 见当d z o ( b + 2 1 ) 0 时系统( i i i ) 。在0 外也不存在极限环( 见定理 2 6 ) 利用这些结论，在该节的最后一部分，讨论了文 5 中的一个重要猜 测，即对于一般的类系统，当d ，k ，蚝，k 同号时0 外不存在极限环本文 就( ) 。：。系统基本证实了这一猜测 第三节研究了系统( 1 l i ) 。：。的极限环的惟一性问题对第二节所得到 的无环区，当d 从零变为d f a ( b + 2 1 ) 0 b yu s i n g t h et h e o r yo fr o t a t e dv e c t o r f i e l d s ，i f d f 一1 7 1 ( b + 2 i ) 0 的区域 又对于系统( 2 ，2 ) ： p q 望煦j a da d 。1 + 。“+ 6 y j ：一。：( 1 + 。+ b y ) 0 内，系统( 2 ，2 ) 关于d 构成广义旋 转向量场 先考察d ：0 时的系统 = 一y + 如! + x y f ：3 ) 步：x ( 1 + + 6 y ) 其铅直等倾线一y + l x ：+ x y = 0 为双曲线， 易知它有铅直渐近线为 设斜渐近线为 则 v = m + n 一；叫篙一批m 曼( 兰叫= ；鳃点蚓 故斜渐近线为： 其图形如图2 1 所示 t j1 、 0 六 ( i ) 1 0 - 澎 1 1 7 ( i i ) i 0 ，困f 0 时) ，当= 0 时，s 。，5 2 重合；当 少 ， 崮2 2 在图2 2 ( i ) 和2 2 ( i i ) 的情况下由 3 引理1 1 2 可知s ，j s ：均为鞍点，对图 2 2 ( i i i ) 则s 为鞍点，不管另一交点在p ( x ，y ) = 0 的哪一支上，它是非鞍点，对这 些情形，由向量场的性质易知包向0 的两分界线均来自于s 。，如图所示，它界定了 0 外可能存在极限环的范围以s ，为边界的有界区域( 包括d 变为0 时由0 的 h o p f 分支产生极限环或由s 。的这两条分界线相互接近重合为过s 的分界线后所 产生的极限环均如此) 对于图2 2 ( i v ) ，l + a x + b y = 0 不与p ( ，y ) = 0 的过原点的一支相交这时 由下面的分析可知d = 0 时包向原点的两分界线分别来自和跑向赤道上的鞍点 ( 或鞍结点) ，这时0 外可能存在极限环就涉及到这两条分界线所包围的无界区 域 现分析系统( 2 3 ) 的无穷远奇点 令 夕= 坚 丝，代入系统( 2 3 ) 得 0 r 如一以= 一w + 驴+ w ， 1 如一以：w + n 口2 + 6 u 口 为求不在y 轴方向上的无穷远奇点，令”= l ，则 可得 令d t = z d r ，则得 r 二= w z u i 赢：u 2 z + z + 6 “一u z u 2 + 。 对y 轴方向的无穷远奇点，令t l , = 1 ，及d t = z d r ，可得 f 忑d v = ( 一l _ w 2 ) = + ( 如+ l 一6 ”一。”2 ) 。， l 忑d z = = ( 一”：一。”2 6 ”) 令：= 0 ，p = 0 ，可得无穷远奇点为p ，( 0 ，1 ，0 ) 一1 0 一 口+一以一 五 址 + 一 i z 一 ：； 坛 u ( i i = 扎一打如一打 ，。，l 足满 毗 中 其) o 吡 i ，k p ) o l ( p 个两有 点哿 叽远 = 穷 ：无 令则 易于判定p 。( 1 ，“。，0 ) 为结点，p ：( 1 ，u ：，0 ) 为鞍点，p ，( o ，1 ，o ) 为鞍结点，相应 于图2 2 ，可以得出包向0 的两分界线一条来自p ：，另一条则跑向p 3 ，如图2 3 所 示 笊。户 心k & y j 圉2 3 第二节 极限环的不存在性 右羊竺喜! 开始研究系统( 2 2 ) 的极限环问题，下一段先考察d ：o 时系统在。外 有无极限环 。 1 d = 0 的情况 考察系统 工= 一，+ 如+ x y ，：砌十+ 6 y j ， b 0 ( 2 3 ) 这时原点d 为细焦点或中心，其焦点量依次为( 见文 3 ，1 2 ) 也= f 一口( 6 + 2 z ) ， 也2 口( 5 n 1 ) 护一8 2 ( 6 + 2 z ) ，f 2 4 ) = 2 a 4 6 2 2 2 ( 6 + 2 1 ) 首先有如下结论： 三三2 。雾篓q 3 ) 围绕。的极限环若存在，必定保持在区域。 0 。故? ：1 为无切直线，所_ 以围绕d 的极限环不能与z ：l 相交，从而保持在区 域z 0 ，1 一* o 的部分，由( 2 3 ) 知 础= 也1 + a x + b y 神= 鲁箸妣 f ( ；十! o y “) a z = f rib + 2 t ，y 十东y a 。 2 虫i + a 。到7 - b r ，妙+ 东等一五等a z = 巧鬻岫十垂禹以 其中_ d 玎x 显然为零，对第一项则运用了g r e e n 公式，d 为厂所包围区域，由。( 6 + 2 0 o ，可知虫( 警+ 等) d t o 取，为最接近。的极限环，则它为不稳定，但 此时匕= l 一口( 6 + 2 1 ) 0 ，说明0 与厂同时为不稳定的，由b e n d i x s o n 理论知这 是不可能的，即系统( 2 3 ) 不能有极限环 这一定理说明了对固定的z o ，在( 。，6 ) 平面的两个对顶角域d 0 ，b 一 2 1 和口0 ，6 一2 l 均为系统( 2 ，3 ) 的无环区 在另外两个对顶角域内，z 一。( h + 2 1 ) = 0 为双曲线，其两支分别记为1 。，如，见 图2 4 图2 4 对应它上面的点，0 至少为二阶细焦点，参数适当摄动改变其稳定性，即可出 现极限环因此首先分析一下能分支出极限环的可能参数区域 由焦点量公式( 2 ，4 ) ，当u = z 一。( 6 + 2 1 ) = 0 时， k = a ( s a 1 ) ( 6 z 一口) ， k = 2 a 4 f ( b l o ) b l d = 0 的曲线记为f 3 ，它与。，f ：的交点为a ( 一1 2 + f 2 2 + 1 ，一f + 撕r 玎) b ( 一z 2 一z 以可，一f 一撕f ) 在a ，8 处显然有= 虬= ：0 ， 故0 为中心，此外，仅当n = ，6 = 3 l 时，0 为三阶细焦点，其稳定性由6 z o 的符 1 3 一 号决定它对应于2 t 上的点c ，在该点b l 一= 3 1 2 一 ，故当。 索时c 点在。 上a 的左上方；当f 土7 ：- 由于在c 点时= i 5 = 0 ， 0 ，故0 为不稳定的三阶细 j 焦点对可分为三个弧段来考察分支出极限环的情况 参数从c 沿f 。向左上方变动，则。 ，6 z o ，故玛= 0 ，e 0 ，0 为不稳定二阶细焦点，与c 处 的稳定性一致，无环出现向z 。右方一侧变动时，匕 0 ，0 不改变稳定性( 此区域在图2 4 中记为阴影区 域i ) z 。上a 下方的弧段，以 0 ，稳定性改变而产生环向f 。右上方变动时，k 0 ， h 0 ，k = 0 ，0 为不稳定二阶细焦点 向左下方变动时，e 0 ，0 的 稳定性不改变( 图2 4 中阴影区域= l l i 。u ：) 在b 下方的弧段，吒 0 和 z z = x 2 ( 。) 0 有f 1 ( z ) 疋( 。) ( 或f 。( z ) f z ( z ) ) ，且对足够小的艿 0 ，在( o ，6 ) 中，f 。( ：) f 2 ( 。) ，则系统( 2 5 ) 无闭轨 线， 如引理2 2 的条件不满足，则在( ：，y ) 平面上除原点外，f 。( z ) 与疋( = ) 相交， 记z 0 时的第一个交点的z 坐标为气( 见图2 ，5 ) f l - 0彳。 图2 5 记h = 髫1 ( z o ) 0 ，w = x 2 ( z 0 ) 0 ，由于f ( u ) = ，( 戈i ( z o ) ) = f l ( 知) = f 2 ( 知) = f ( x ：( 知) ) = f ( ”) ，且g ( u ) = z o = g ( ”) 故可知( “，”) 必同时满足 f ( “) = f ( ) 。，故虽等一轰芳的符号 决定于 ，= 一( b + z ) ( b l 一。) “f + ( b + 2 z ) ( b l a ) ( “+ 口) + 口( b + 2 z ) 一l ， ( 2 1 2 ) 它又可变形为 ，= f ( b l 一口) u + ( b + 2 1 ) ( b l 一) ( 耻+ f 一删) 十口( b + 2 z ) 一f ( 2 1 2 ) 引理2 3 若( 2 7 ) 有解( “，口) ，即知存在，当。 疋( = ) ( 或 f ，( 。) f 2 ( ：) ， 则 取左极限：一蔚可得 又 f7 l ( z 0 ) f 2 ( 南) 警 f ，如) = 耪， 故 措g 籍g ( u ) 、( ”) 证毕 括号内的情况对应于图2 5 中f ，( 。) 与r ( = ) 对调 另一方面，在z = 0 点有 引理2 4 当0 疋( z ) ( 或f 。( = ) 。( 0 ( f 2 ( ：) 铮( 袅舅) ；。 。( 即z 由负变正时，轰鸶的值由小变大) 因 ( 辫) = 赤卜( 6 + d 刊x 2 + 2 ( 6 矧) ( 6 z 训z + ( 6 捌) - f ， 故 ( 格) 7 一 。铮础倒) 一z 。 2 系统( 2 3 ) 极限环的不存在性 以下在区域i i v 的参数条件下分别证明联立方程组( 2 7 ) 无解，因此交点 不存在，从而由引理2 2 可得出元极限环的结论 定理2 2 对区域i v 内的参数( 8 ，6 ) ，f = 1 ，系统( 2 3 ) 不存在极限环 1 3 证明 在区域1 v 内，。 0 ，b 0 ，b + 2 l 0 ，b + z 0 ，b l o 0 ，f 一 。( b + 2 1 ) 0 ，现证联立方程组( 2 7 ) 无解 当0 w o 在域茜： 由引理2 3 ，2 4 可知 圈2 6 i j “6 + 2 ”b 怕( 措) 一 o 甘f l ( ：) f 2 ( ：) ，： o ，u 。 o ，得出矛盾，说明方程组( 2 7 ) 的解( “，”) 不存在，即y 。f 1 ( ：) 与y ： f ：( = ) 无交点，由引理2 2 知不存在极限环 如。+ 1 o ，因曲线口+ 1 6 2 3 b l = 0 过4 ，b 两点，是一开口向右的抛物 线( 见图2 4 ) ，由此图可见i v 位于口十1 6 2 3 6 1 o 部分若u + 口0 ，则u u 一( “+ ”) o ，或“斗口 0 ，( 2 1 0 ) 式均不能成立；若u + f o 同样导出矛盾故对区域i v 内的参数，系统( 2 3 ) 不存在极限环 定理2 3 对区域内的参数口，6 及f 告，系统( 2 3 ) 不存在极限环 证明考虑曲线d + l 一6 2 + 3 h i = o ，它将区域分成( n 1 ) ，和( ) ：两部分 一1 9 o ，类似于上，由引理2 3 , 2 4 可推知船轰告g l u jg l 掣) 另一方面，若“+ ” o ，由于“。 。，推知， 0 ，b 0 ，同 上有错措 若 o ，自( 2 1 2 ) 可知措 筹 若u + ” o ，由( 2 i o ) 可知w 一( u + 。) 0 ，f o ( b + 2 z ) 0 ，b l 一口 0 ，口+ 1 一b 2 3 b l ( 0i 夭l0 z 1 时 f ( x ) + f ( - x ) = 了t j ! 斋 ( b + 1 ) ( 1 + x 2 ) 一2 ( 6 + 2 f ) = i i 兰舞 一2 f + ( 6 + f ) ( x 2 一1 ) 。 ( 2 1 5 ) 0 “ 二一二爻 f ( z ) 一2 0 一 积分可推出f ( z ) f ( 一z ) y = f ( x ) 的曲线如图2 6 ( i i ) 所示故由f ( “) = f ( 口) 可知“+ 口 搿，锱筹矛盾从而这样的( ) 不存在，删i i ) t 内 参数系统( 2 3 ) 无环 其次考察( ) 2 ：z 一口( b + 2 1 ) 0 ，b l 一。 0 ，b 0 ，由( 2 1 5 ) 可知：u + v 0 ，再由( 2 1 0 ) 可推知u + ”一u 。 0 ，同上有u + 甜 0 ，利用( 2 8 ) 可知 = 6 l n 暑c o ， 从而可得 f 一( b + 1 ) ( 1 一u ) ( 1 一 ) = f 一( b + 1 ) 1 一( u + 一u 口) 0 ， 即得估计式： “+ ”一“” 南 ( 2 1 6 ) 由 0 【( 6 f 一。) ( 6 + ) + 兰l l j 半 ( u + ”一“”) + o ( 6 + 2 2 ) 一f ， 如果参数o ，b ，f 使 ( b z 一。) ( 6 + f ) + 呈篓l 二l j j 幽】o ， 则已证得， 0 ， 如 ( b l 一。) ( 6 + z ) + 兰芝工旦j i 业】( o ， 利用( 2 1 6 ) 式可知 ， 【( 6 f ( 6 + f ) + 俎删掣】丽b + 。( 6 + 3 z ) 一z = f ( b 2 + 2 a 一1 ) ( b + f ) + 2 1 ( 。+ 1 6 2 3 b 1 ) 对区域( 1 i ) 3 ，口十1 一b 2 3 b l 0 若b 2 + 2 a 一1 0 ，则得， 0 ； 若b 2 + 2 一l 0 ，故只要 6 + 1 2 1 ，仍可得出 0 由b ! + 2 a 一1 0 可知b 6 = f 2 + l l ，故6 + f 撕r 万，在f = 1 的附加条件下，可推出以可2 1 ，故6 + l 0 至此对区域1 i 申各种参数，均得出联立方程组( 2 7 ) 无解的结论定理2 4 证 坫 注：对于区域( ) 。，附加了技术性条件f 吉鼍者 0 ，n ，6 0 类似于 定理2 2 的推导可得知g ( a ) g ( 一x ) ，0 z 1 ，从而满足c ( u ) = c ( ”) 的( “， f ) 应成立u + 口 0 当o + 1 一b 2 3 b l 0 时，由( 2 1 0 ) 可知+ 口= u 0 ，从 而推出， 。，与。( 6 + 2 z ) 一f o 时的袅告轰告相矛盾 当口+ 1 6 2 3 6 z 0 时，这一情况与定理2 4 的证明中6 f 一。 0 ，f 一( 6 + 2 l 、 0 的符号均相反，类似于那里的论证，则可推知j n 与轰告袅告矛盾定理得证 注：以下对0 f 兰的情况加一段说明，此时图2 4 中c 点位置在a 的右 1 5 下方了，无环区，没有变化，但对( a ，b ) 平面上的第一象限内的有环区与无环 区i 、相应有所变化，这时c 点位于a 点下方在c 点时k = k = 0 ，而h = 2 n 4 ( b l a ) 0 ，从而0 为稳定的三阶细焦点 当c 沿f ，_ l e a 向左上方变动，则。 0 ，0 变为不稳定二阶细焦点而产生一环。再向“的右上方变动，则嵋 去的情况类似，这里从略 1 ) 3 系统( 2 2 ) 的极限环的不存在性 上一段已经对系统( 2 3 ) 分析了由细焦点0 改变稳定性而产生极限环的参数 区域，并对此外的区域内的参数证明了系统( 2 3 ) 在0 外不存在极限环，现进一步 讨论d 0 的系统( 2 2 ) 一2 3 如前所述，0 外的极限环保持在1 + a x + b y 0 内，对此区域，系统( 2 2 ) 关于 d 构成广义旋转向量场，由此可证明以下的结论 引理2 5 设d = 0 时，系统( 2 2 ) 在0 外不存在极限环，则当d 0 且d 一 a ( b + 2 2 ) 0 时，系统( 2 2 ) 在0 外也不存在极限环 证明不妨设f d ( b 十2 1 ) 0 ( ( 0 的情形类似) 则d = 0 时0 为不稳定， 其外无环故d 0 时系统( 2 2 ) 不能有极限 环，否则将与d 0 及下列条件之一时，系统 ( 2 2 ) 在0 外不存在极限环： ( i ) ( b + 2 ) 0 ； ( i i ) ( o ，b ) 岜区域，i v ； 1 ( i i i ) z 圭，( 。，b ) e 区域i ，( 图2 4 ) ； 1 5 1 ( i v ) f 0 铮n 这时虬，k 同号，其符号决定于b 1 2 一。2 ( b + 2 5 的符号，故考察曲线 61 2 一。2 fb + 2 1 ) = 0 它是( a ，b ) 平面上的三次曲线饵出 。17 3 b = 一2 l + 兰1 ， 一口 可知它以。= f 为渐近线，有三支f 。，f 5 ，f 6 分别位于d f 的部分，且易于验证l 。，屯分别通过l ，2 ：和f 3 的交点b 和a 见图2 8 b b 鬟 6 = 3 l 鼍 一f 二一 l 糊 5 一2 f 爹，kn 图2 8 在f 4 ，毛，毛之间的区域，k 0 ，它们和f 。，f ：在口 的部分界定了使，k ，k 同号的区域， j 图2 8 中阴影区域、使u ，k ，k 均为正，在阴影区域、， k ，h 均为负 对照我们所得的无环区的图2 4 可以看出，它们基本上都包含在定理2 1 定理2 5 所证得的无环区之内，只有第一象限中区域在乞下方的一小块以及区 域在! ，上方的一块危域尚未证实然后对系统( 2 2 ) 附以d 与各v 同号的条件 并由定理2 6 ，可以说就n = 0 的情况，这一猜测已基本得到证实 关于系统( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的无环性问题，文 9 也用不同的方法证明了一些 结论，关于0 外无环的结论是该文中的定理l 和定理4 ，其中定理1 的条件是 f o ( b + 2 z ) ( 6 z 一口) 0 且b 3 1 它在图2 8 中界定为2 ，与z 2 之间且在f 3 左上方， 1 b = 3 1 下方的区域，除了0 。 之间的一小部分，其它均包含在我们所得出的 j 无环区之内，但对于l ( 即f 6 一n = 0 ) 右下方部分及a 0 ，b 3 l 部分的无环区 均未涉及该文定理4 也是加上出项( 该文用h ) 使0 不改变稳定性时也无环，由 此该文最后说证实了上述猜测，显然相差较远，本文的结论则更全面，我们这里在 b l a 0 ，故当d 0 时，( 2 2 ) 也不存在极限环( 定理2 6 ) 现考察d 变为负时的情况由h o p f 分支定理，0 改变稳定性而产生极限环，下面将 利用l i 6 n a r d 系统极限环惟一性的相应定理，在适当的附加条件下证明对( 一2 ，0 ) 内的一切d 值，极限环最多只有一个 与第二节中类似，通过变换x = x ，f = 一y + d x + l x 2 + x y ，及z = z ，i2r 曼， d z = ( 1 一z ) d t ，即可把( 2 2 ) 化为l i 6 n a r d 系统( 为方便起见，最终变量( x ，i ，i ) 仍 记为( x ，y ，t ) ) d z 五2n ( 2 1 8 ) 譬= 一g ( z ) 一f ( x ) y ， i ；= 一g ( “，一 ， 其中 a x ) = 业譬咎尹幽， 小) = 业也专兰笋业业 两函数的分子分别记为a ( x ) ，g 。( z ) ， 即记 ( x ) = ( b + z ) x 2 一( b + 2 1 ) x d ； g 。( ) = x ( b l 一) z 2 十( n + 6 d 一1 ) z + 1 ， 以下分为两段讨论 1 n o 的情形 曲线 一y + d z + k 2 + x y = 0 ( 2 t 9 ) 2 6 的图像如图2 9 所示，它的两条渐近线分别为 j | 睁 厶 ni 、 。 心 ， 公 尉2 9 壬兀* = 1 ( 垂直渐近线) y = 一k z d ( 斜渐近线，图中2 ；) 系统( 2 2 ) 的发散量等于零的直线 d i 。：氅+ 挈：d + ( 6 划) x + ，：0 ( 2 2 0 ) d 茹 o y 的斜率为一( b + 2 z ) 进一步设6 + 2 0 ，则一( b + 2 1 ) 一z 故直线( 2 2 0 ) 与曲线( 2 1 9 ) 的两支各交于一点，且与下方一支交点的横坐标大于1 ，如前所述， 它在0 外极限环所在的区域z 、，、 o 分z z 。厂： 7 g z 忙) 圈2 1 0 现证如下惟一性定理 定理2 7设口 0 ，则系统 ( 2 2 ) 最多存在一个极限环 为证此结论，利用下述引理，如前记f ( x ) = f ，( x ) d x 引理2 6 ”1 对l i 6 n a r d 系统( 2 1 8 ) ，设，( z ) ，g ( ) 在区间( a ，鳓上连续可 微，其中a 0 ，使得( z 一状x ) 0 ； ( i i i ) 方程组 毗t ) 叫动，辫= 措，且“ z 。 0 ，x 0 cx 2 ( 芦 汜2 1 ) 无解，则( 2 1 8 ) 在碰 z 0 使f ( x ) = 0 ，函数八z ) 在( x ，口) 中单调减少，则系统 ( 2 1 8 ) 在d * 0 ，故d = 0 时g 。( * ) = 0 有根z = 0 及z 1 ，z 2 0 ；设x 1 * 2 ，故极限环保持在( 一，【) 内，取= 一，口= 1 ( x 。，0 ) ，( z ：，0 ) 对应于( 2 1 8 ) 除o 之外的两个奇点，易知( z ，0 ) 为鞍点 ( x ) ，g ( z ) 的图形如图2 1 0 ，极限环保持在z z ：部分，故得知引理2 6 的 条件( j ) 、( i i ) 成立 y = f ( z ) 在z 1 部分的图形如图2 1 1 ，如果在( 0 ，z ) 内f ( z ) 0 ，叉显然 * 0 时f ( x ) 0 ，故方程组( 2 2 1 ) 无解，由引理2 6 知定理结论已得到 以下考虑，存在z + ( 0 ，z ，) ，使f ( z ) = 0 的情况 u ， 、 o4 l 一 m ) 为验证条件i i i ) 分析函数 图2 1 1 2 8 小，= 措= 而焉鲁等 的性态 易知 z _ 时，y ( z ) _ 0 x 一0 。，x i ，x ；时，y ( x ) 一一 j 一0 ，z i ，x ；时，y ( x ) 一+ 又对任意常数， ) ，( z ) = 甘 k ( b l 一口) z 2 + ( 口一1 + b d ) x + 1 一 ( b + 2 ) z 2 一( b + 2 1 ) x d = 0 ， 它为三次方程，故最多有三个根，即任何y = k 与曲线y = y ( x ) 最多相交予三点 y j。f j j ，| | 。 7 一# 。卜 崮2 1 2 由上述性质可画出曲线y = y ( z ) 的图2 1 2 ，它在( 一* ，0 ) ，( 0 ，z 。) ，( z l ，z ：) ， ( z ：，+ m ) 内均为单调，否则将与某些y = ( 适当常数) 相交多于三个点，与前述 矛盾 即当ze ( 一m ，。) u ( 。 ) 时袅若为单调减少函数 现证条件i i i ) 成立 设( u 。，u 0 ) 满足方程组 f ( u o ) _ f ( ，筹= 器， 由图2 1 1 可知一 i , 0 0 ， u 0 ”o ， f 丽( u o ) ，f 而( v o ) 糟，( 由黯的鞴陛) j 器 措， 从而( “，口) 不能满足联立方程m ( 2 1 1 ) ； 当“ u 0 ，口 o 等 器 器= 器 籍”m ) m ) ， 两者相乘可得 絮g 笋 0 ，b + 2 1 o 的情形 由定理2 6 知d 0 时无环，故只须考察d 0 设八z ) ，g ( x ) 在( - ，r ：) 内连续可微，1 0 r ：且r ，可为一* ，r ：可为+ * ， g ( j ) 满足定理2 7 中条件( i ) ，存在1 z 。 0 x 2 0 ；在( z 。，) 之外时八x ) 0 ，使 f l ( ：) 疋( z ) ) ，0 0 ，b l 一。( 0 ，b 一4 l ，f 2 ，则系统( 2 2 ) 最多存在一个 极限环 证明 在所设条件下，g ( x ) = 0 有三个根z = 0 ，r 。 0 r 2 ，b + 1 0 以) ，g ( x ) 的图形如图2 1 3 ( i ) ，其中x ：可能 r 2 自引理23 知e = 筹， 故 e = 籍i 焉 ，= 籍 故可知f ( ：) ，2 ( ：) 的曲线如图2 1 3 ( i i ) 所示 ， 弋厂阶。 “x ：。、| j 。 艄 ( ：1垆 联 o ；二 蹦= ) ( i )( i i j 霉2 1 3 其中z i ( ：1 ) = x 2 ，x 2 ( z 2 ) = x 1 当2 r 2 时，f i ( ：) 单调上升 这时若 ( ：) 与凡( ：) 不相交，则由引理2 2 知系统无环，已得结论故只须考 察图中f 。( = ) 与f 2 ( ：) 有惟一交点的情况 此交点对应( z ，y ) 到平面时肯定在八x - ) 的正零点之右方为验证引理2 7 的 条件( i i ) ，须证 ( 器) o 当zs ( * ：， 2 ) 时成立因 ( 籍) ( g l z ，+ = g 。( * l 厂。( z ) 一工( x ) g 。( x ) 由图2 1 3 ( i ) 可知，z ( z ：，r ：) 时，g 。( x ) g ；( x ) 0 厂1 ( z ) 0 z ( ) 0 ，如能证明 当d = o 时，( z ) 亦即工( z ) 的零点为o ，鬻；d o 时z ( z ) 向上平移，故 其零点等 故只要证明 g 1 ( * ) = 3 ( b l 一) z 2 + 2 ( o 一1 + b d ) x + 1 在z = 署处取负值，则有ze ( x ：r 2 ) 时g 。( * ) 0 ，b + 2 l b + 4 z 0 ) ； ，3 = 一( b + f ) ( 2 6 + 4 f b z ) = 一( b + 2 ) ( b + 3 1 ) 0 ( 因b + z 0 ，b + 3 1 0 ) ； ，。+ 1 4 = 3 b l ( b + 2 z ) 2 + 2 b d ( b + 2 f ) ( b + 2 ) 0 ，故 ( 3 l 一4 ) b + 6 2 2 4 f 随b 减小 而减小，因此 b 一4 1 时， ( 3 1 4 ) b + 6 f 2 4 1 0 ， 从而 ，i + 厶( 0 ， o ，从而( 袅鸶) 0 ，xt ( x 2 ，f 2 ) ，条件( i i ) 成立 利用引理2 7 即可证明定理2 8 的结论，即系统( 2 2 ) 存在惟一极限环， 我们相信，对应于定理2 6 已证明的无极限环的( 口，b ) 平面上其它一些区域 的参数，再加上适当条件以使d = 0 时包向0 的两分界线如图2 2 ( i ) ( i i i ) ，而 不是赤道上的奇点的分界线( 如图2 3 ) ，则加上适当条件即可证明d ( f 一。( b 十 2 1 ) ) 0( 2 3 ) ，= 石( 1 + o 算+ 6 y ) ， 它以o ( o ，0 ) 为细焦点或中心 文 5 中有一猜测：如果二次系统有一a 阶细焦点且有卢个极限环包围这一 焦点，则a + 口3 对于d = 2 和a = 3 的情形，猜测已被证明，在这一节中，我们 将就系统( 2 3 ) 讨论a = l 的情形，希望给出适当条件以证明( 2 3 ) 的一阶细焦点 外围最多有两个极限环 如第二节所述，经适当变换，系统( 2 3 ) 可化为l i 6 n a r d 型，为便于后面的讨 论，将它写成如下形式： 如 _ 2u d r f 2 2 3 ) 罢堡= 一* ( g ( z ) + 八x ) ) ， 其中 g ( z ) = ( 1 + ( 口一1 ) z + ( 6 z 一。) x 2 ) ( 1 一x ) 2 ， ，( x ) = ( 一( 6 + 2 z ) + ( f + b ) z ) ( 1 一x ) 2 如前所述，系统( 2 3 ) 在0 外的极限环保持在区域* 1 内，它与系统( 2 3 ) 在x 占，0 0 妒( f ) = 0 的根为 z。=2a+1-4b2+丽,(2a+皿1)2+8b2， f 2 = 2 a + 1 - 4 b 2 - 、8 导( 2 a 卫+ 1 ) 2 里+ 8 b 2 因b l 一口 0 ，l 0 ，从而b 0 ，故得知 一( 6 + z ) ( 6 z 一。) o ，6 0 后者等价于 b 2 0 ，0 0 ，则原点0 外不存在极限环 这里顺便指出，文 1 1 中所给出的焦点量公式中，e = ( 1 5 a ) 刍( n 2 1 + 2 a ) 】，髟= 一。2 z ( 1 1 5 1 2 ) ，对照前面的公式( 2 4 ) ，巧= n ( 5 。一 1 ) 6 2 2 一c l 2 ( b + z ) ，u = 2 a 4 b 1 2 一a 2 ( b + 2 z ) 可见e ，e 的表达式是错的，即 使在心= z a ( b + 2 1 ) = 0 的条件下，也得不出其结果由此该文中引出的一些条 件也是不需要的 为得出两个极限环，以下讨论啦啦 0 ，如口， 0 的情形 首先，设啦= 0 ，则f = 口( b + 2 2 ) ，且 5 口