（基础数学专业论文）一类非线性演化方程的精确控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来，非线性偏微分方程的精确控制问题受到了极大的关注。精确控制是 分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视，得到了不断深入的研 究和发展。近年来，人们越来越多地关注k d v 、k d v b 、m k d v b 以及k - s 方程 的精确控制问题。 本文第三章研究b u r g e r s k d v 方程的精确控制。首先通过l e r a y s c h a u d e r 不 动点定理和散逸算子理论证明线性化b u r g e r s k d v 方程解的存在性，然后应用 单调算子理论和分部积分理论找到控制函数h ，证明非线性b u r g e r s k d v 方程是 可精确控制的。 ， 本文第四章研究有限区间x k ，朗，t 【o ，t 】上的广义b u r g e r s k d v 方程的精 确边界控制。首先通过算子半群理论讨论了线性化广义b u r g e r s - k d v 方程的精确 控制，利用不动点理论和f r e d h o l m 算子理论证明该系统是精确能控的。然后利 用r 上的广义b u r g e r s k d v 方程的初值控制证明了有限区间上的广义 b u r g e r s k d v 方程的精确边界控制。 关键词：精确控制，b u r g e r s k d v 方程，精确边界控制，广义b u r g e r s k d v 方程， 算子半群理论 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t e x a c tc o n t r o l l a b i l i t yi so n ek i n do fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rc o n t r o l s ，w h i c hh a s b e e ne m p h a s i z e di nt h ec o n t r o lt h e o r ya n dh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e da n d d e v e l o p e d r e c e n t l yp e o p l em o r ea n dm o r et a k en o t i c eo nt h ee x a c tc o n t r o l o f b u r g e r se q u a t i o n ，k d ve q u a t i o n ，a n dk - se q u a t i o n f i r s t l y , t h i sp a p e rs t u d i e s t h ep r o b l e mo ft h ee x a c t c o n t r o l l a b i l i t yf o r t h e b u r g e r s k d ve q u a t i o n u s i n gt h el e r a y s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n dt h et h e o r y o fd i s s i p a t i v eo p e r a t o r s ，w ef i r s tc o n s i d e rt h es o l u t i o no ft h el i n e a rb u r g e r s k d v e q u a t i o n s e c o n dw ef i n dt h ec o n t r o lf u n c t i o nhb yu s i n gt h et h e o r yo fm o n o t o n e o p e r a t o r sa n dd i v i s i o ni n t e g r a lt h e o r y l a s tw ep r o v et h ee x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h e b u r g e r s k d ve q u a t i o n s e c o n d l y , w ec o n s i d e rt h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o lo fag e n e r a l i s e db u r g e r s k d v e q u a t i o np o s e d do n af i n i t ei n t e r v a lx b ，p 】，t o ，t 】b yu s i n gt h et h e o r y o f s e m i g r o u po p e r a t o r s ，w ef i r s tc o n s i d e rt h ee x a tc o n t r o ld e s c r i b e db yt h el i n e a r g e n e r a l i s e db u r g e r s k d ve q u a t i o n , w i t hf e dp o i n tt h e o r e ma n dt h et h e o r y o f f r e d h o l mw e p r o v e dt h es y s t e mi se x a c t l yc o n t r o l e d t h e nb yc o n s i d e r i n g i n i t i a lv a l u e c o n t r o lo ft h eg e n e r a l i s e db u r g e r s k d ve q u a t i o np o s e do i lt h ew h o l er e a ll i n erw e p r o v et h ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h eg e n e r a l i s e db u r g e r s - k d ve q u a t i o n k e yw o r d s ：e x a c tc o n t r o l l a b i l i t y , b u r g e r s - k d v e q u a t i o n ，e x a c tb o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t y , g e n e r a l i s e db u r g e r s - k d v e q u a t i o n , t h e o r y o f s e m i g r o u po p e r a m r s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密团。 学位论文作者签名：王夕k 球 2 0 0 8 年亿月z z ，日 指导教师签名乡名勿 2 0 0 8 年崩妇 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：王水毛求 日期：2 0 0 8 年脏月勿扫 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章将对精确控制的发展概况和背景作一些简单介绍，同时阐明精确控制的 研究意义以及主要的研究内容。 1 1 研究背景 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级，由简单到 复杂。在控制领域也是这样，半个世纪以来，控制理论的发展很迅速。四十年代 才形成以建立在传递函数上的频率法为主的“古典控制理论，到六十年代已发 展成为以状态空间方法为基础的现代控制理论。这是同现代科学技术的迅猛发展 和生产实践的迫切需要密切联系的。与此同时，数字电子计算机的不断更新换代 和大量应用，数学理论和方法的不断发展，也为解决这些问题提供了可能性。 最先研究的控制系统都是线性的，但是随着科学技术的不断发展，人们认识 的不断深入，逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都是非线性的。非线性是本 质、普遍的现象，而所谓的线性只是非线性在特定的条件下的一种特殊的表现形 式。因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门研究方向【心1 。现在，控制理 论研究的问题不仅是从系统的稳定性发展到讨论系统的能控性，能观性和最优控 制等深刻问题，而且从线性系统发展到非线性系统，确定性系统发展到随机系统， 由集中参数控制系统发展到分布参数控制系统。 非线性科学理论的发展使人们对自然界的许多复杂现象有了新的认识，混沌 作为非线性系统中普遍存在的行为，在近二十多年来发展飞快。在认识到混沌现 象的同时，人们注意到更多的自然现象起源于高自由度系统，因而高自由度系统 的复杂行为的研究也在近几年受到越来越多的重视，逐步形成了以研究高自由度 动力系统复杂行为为对象的复杂性研究热点。 由于自然界中的现象都是在一定的时间和空间出现的。时空复杂性广泛存在 于我们现实生活中。同样，对复杂系统的研究不仅涉及到时间演化而且也涉及到 空间结构。为了描述系统中空间的关联和随时间的发展，其中最重要的描述之一 为偏微分方程。这就必须使用无穷维的相空间，从而无穷维动力系统的研究就成 为复杂系统研究的重要方面。 江苏大学硕士学位论文 控制问题是指考虑一个用o d e ( 常微分方程) 或p d e ( 偏微分方程) 来描述的演 化系统，通过选取适当的控制装置作用于系统，对给定的时间区间、初始值和终 点值，我们可以找到一种控制使得系统的解既满足初始值也满足终点值。这是控 制理论中的一个古典问题，在这方面已有大量的研究成果，例如l e e 和m a r c u s 的书介绍了通过o d e 描述的有限维系纠3 1 ，r u s s e l 的调查报告及在l i o n s 的著作 介绍了由p d e 描述的无限维系统【4 _ 5 1 。 用常微分方程来描述的线性系统，又称为集中参数系统，具有有穷多个自由 度；用偏微分方程来描述的非线性系统，又称为分布参数系统，具有无穷多个自由 度。古典控制论主要研究集中参数控制，但现实世界中所发生的各种现象，从数学 角度来讲，大部分是非线性分布的，如物体温度变化，地下水渗流，汽油形成，生物 种群演化等都是通过分布参数系统来描述的。现代控制论的研究方法从建立在传 递函数基础上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线性 系统发展到非线性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数控制系统发 展到分布参数控制系统。对被控系统根据工程实际要求提出实现准则，寻求系统 在满足一定条件下，使实现准则达到所要求的理想状态。这里我们主要研究由非 线性p d e 来描述的无限维动力系统的精确控制问题。 随着人们对实际问题研究的不断深入和完善，很多控制系统都需要建模成分 布参数控制系统。一般来讲，由偏微分方程或积分方程描述的系统称之为分布参 数系统，简称为d p s ( d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ) ，也称之为无限维系统，即 i p s ( i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ) 。而严格地讲，所有物理系统都具有分布特性。 工程实际和社会、经济系统中的许多过程都具有分布特性，属于分布参数系统。 随着控制理论和计算机技术的迅速发展，对实际分布参数过程的控制要求不断提 高，对分布参数过程的建模和控制也就提出了更高的要求。因而研究分布参数系 统及控制，具有重大的理论意义和实际应用价值。 分布参数过程的控制方式一般有以下几种形式： ( 1 ) 分布式控制。该方式的控制作用是分布式的，即为空间变量x 和时间 变量，的函数。分布式控制就是给定一个性能指标- ，在允许控制域u 内寻找一 个最优分布控制作用比( z ，f ) ，当系统在满足初始条件和边界条件的约束下，使 性能指标j 达到极小。 2 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 边界控制。对于许多实际过程，尤其是工业过程，其过程特性属于分 布参数系统，但其控制作用往往不是分布式的，而是在系统的边界上实施，如橡 胶工业中的轮胎硫化过程中，热量均通过轮胎的边界向深部传送，这种控制就属 于边界控制。因而研究分布参数系统的最优边界控制，既具有一定的理论意义， 又具有实际应用的价值，引起了广泛的关注。对于实际过程的边界控制，般采 用逼近方法处理。 ( 3 ) 点控制。许多实际过程的控制中，有时难以实施分布式控制，而且一 般从实际角度来讲，适当选取几个点对系统实施控制，比实施分布式控制更具有 经济意义。这种控制采用的工具有动态规划方法，参数优化方法和函数逼近方法 诂 号手o ( 4 ) 反馈控制。反馈控制即最优控制策略是系统状态或是系统输出的函数。 对于线性系统，考虑二次型性能指标时，可得出线性最优反馈控制律，而且类似 于i j p s ，也可以导出r i c a t f i 方程。 ( 5 ) 精确控制。某系统在时间区间上具有精确能控性是指对于 f = 0 时任意给定的初值磊以及f = t 时任意给定的终值勿，一定能找到 【o ，z 】上的控制函数使得系统的解精确地满足终端条件，也就是说，系 统借助于控制，能将一个在f = 0 时任意给定的初始状态在f = t 时变为 一个任意给定的终端状态( 通常为一个理想状态) 。利用边界控制就 能实现的精确控制，称为精确边界控制。 在工程实际中，每个分布参数控制系统，都是为着某个目的而设定的。为了 使分布参数系统达到一定的工程目的，就必须对系统施加控制。例如对于连续加 热炉1 6 1 ，常常需要控制连续炉的出口温度，使被加热材料满足下一道工序的工艺 要求。这样就要求选取某个有限时刻t 0 ，对给定的被加热材料的进炉温度，选 取满足约束条件的控制，使被加热材料在出口地方，达到预定的温度。细长的空 间飞行器在推力空气动力作用下，会产生弹性振动，对于这些振动，如果不加控 制，将会引起飞行器的损坏。一般我们通过安装在飞行器上某些地方( 某些点或 某些区域) ，测得几个部位弯曲所引起的偏角或角速度作为状态反馈量，经过控 制器的放大和变换，送到执行机构，经过功率放大，产生控制作用，从而实现对 飞行器的控制。在飞行器重返大气中，常用烧蚀防护罩来保护飞行器。由于大气 3 江苏大学硕士学位论文 摩擦发热会引起结构破坏，所以飞行器的速度和姿态应被精确控制，以便在重返 飞行过程中的任一烧蚀速率不超过某一最大容许值。 精确控制理论是r e k a l m a n 于2 0 世纪6 0 年代初首先针对有限维线性系统 提出的。它与能观性理论和反馈理论一起构成线性系统的结构理论的基本内容。 这一理论很快被推广到非线性系统，分布参数系统，随机系统。 2 0 世纪6 0 年代y u v e g o r o v 、h o f a t t o r i n i 和d l r u s s e l l 等人开始研究分布 参数系统的能控性理论。 1 9 7 8 ，r u s s e l l 的综述文章【7 1 概述了该领域当时的主要工作，描述了研究能控 性问题的诸多工具和方法，比如乘子方法、矩量方法、非调和傅立叶级数等，文 献【7 】中引入的最重要的一个思想即是“由能稳性推能控性”。 1 9 8 8 ，j l l i o n s 出版了专著【8 】，他倡导的h i l b e r t 空间唯一性方法( 简称h u m 方法，其实质是对偶方法) 极大刺激了精确控制理论的发展。l i o n s 把精确能控 性约化到相应系统的唯一性，k o m o m i k 9 】的专著及z u a z u a 的综述文章1 0 1 都展示 了运用h u m 方法在该领域所取得的主要结果。 近二三十年来，精确控制问题一直受到控制理论界的重视而得到不断深入地 研究。人们越来越关注b u r g e r s 方程、k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程、k o r t e w e g d e v r i e s b u r g e r s ( k d v b ) 方程以及k u r a m o t o s i v a s h i n s k y ( k - s ) 方程的精确控制问题， 并且在这一领域取得了丰硕成果。 k d v 方程首先是由k o r t e w e g 和d ev r i e s 于1 8 9 5 年研究浅水波运动时提出的， 它的原始形式是仍= 三2 、墨1 ， 1 2 7 2 + j 2 巧玎+ j 1 仍) ，人们经过研究知，当方程建立 在整个实数轴r 上或者是在个周期性区域上时总可以通过一定的变量替换转 化为标准形式： m f + u u z + “m = 0 。 k d v 方程不仅是描述水波运动的方程，也是描述电磁波和声波的方程。其 实它对任何包含弱非线性和弱色散效果的非线性系统都是一个非常好的逼近模 型。特别地，现在k d v 方程普遍被看成是一个非线性色散系统中的微小振幅单 向传播长波的数学模型。 k d v b 方程也是用来描述水波、电磁波及声波的方程。它的一般形式如下： 4 江苏大学硕士学位论文 h f 一绷。+ 国m + u u j = 0 其中占和万是正参数。当s = 0 时，如上k d v b 方程变为k d v 方程： u ，+ u u 工+ 国。= 0 ，而当万= 0 时，如上k d v b 方程就变为b u 玛e m 方程： u f 一饿搿+ u u j = 0 。 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程( k - s 方程) 则是由k u r a m o t o e ta l 研究在反应扩 散系统中的相湍流和s i v a s h i n s k y 研究飞机火焰传播时分别提出的。这类问题也 常出现于膜震动 1 1 1 和n a v i e r - s t o k e s 方程的分叉解【1 2 】等。在文献 1 3 中， n i c o l a e n k o 等对于一维k s 方程的整体吸引子以及分叉解等进行系统的深入的研 究。在文献 1 4 中b n i c o l a e n k o 提出了一类广泛的k s 型的方程( 其中包括高维 k s 方程) 。1 9 9 3 年郭，苏在文献 1 5 中对于高维广义k s 方程的整体吸引子的存 在性首先给出了证明，并对它的h a u s d o r f f 维数和分形维数作了估计。 1 2 国内外研究现状 精确控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展。 为解决变系数线性系统的精确控制，人们使用了一些深刻的工具和方法，比 如基于拟微分算子和微局部分析 1 6 - 1 7 1 和基于c a r l e m a n 型不等式1 8 。2 0 1 但是这些方 法对系统的系数假定了较高的光滑性或需要相应系统的唯一性延拓性质。利用隐 函数存在定理，m a r k u s 2 1 1 得到某些常微分方程的局部精确控制，c h e w n i n g l 2 2 1 和 f a t t o r i n i 2 3 1 使用不动点技术证明了半线性系统精确控制，对半线性分布参数系统， s e i d m a n 用s c h a u d e r 不动点定理对一类双曲线证明了，在具次线性增长的半线性 扰动下，其能达集的不变性【2 4 1 。最近，结合h u m 方法和( k r a y ) s c h a u d e r 不动 点定理，z u a z u a 得到一系列关于半线性波方程的精确能控性结果【2 5 。2 7 1 。 近几年来，人们越来越多地关注k d v 、k d v b 、m k d v b 以及k - s 方程的精 确控制问题。从2 0 世纪6 0 年代以来，k d v 方程在数学和物理方面都得到了广 泛研究。在研究k d v 方程时，大部分学者通过直接解方程或者应用反散射( i n v e r s e s c a t t e r i n g ) 方法( 即非线性傅立叶变换) 来找到方程的解。其中，b i n g y uz h a n g 研究了k d v 方程的精确边界控带l j 2 羽，j a b u m s 、c i b y m e s 、h c h o i 等学者对 b u r g e r s 方程进行了研究f 2 9 。3 ，b y m e se ta l 研究了b u r g e r s 方程的局部指数稳定性 5 江苏大学硕士学位论文 ( 若初始条件在三2 空间下非常小) ，v a nl ye ta l 将这一结果进一步完善( 把它延 伸到r 空间) 但仍是局部的。m i r o s l a vk r s t i c 对b u r g e r s 方程的全局稳定性进行 了研究【3 2 1 。k d v b 方程是同时表现了扩散和色散特点的最简单的非线性数学模型 之一。b i l e r 、r a s s e l 和z h a n gb i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程进行了研 究【3 3 。5 1 ，b i l e r 、b o n a 和s m i t h 对空间区域是整个实数轴的k d v b 方程进行了研 究3 6 。7 1 ，r o s i e r 对系统在一个闭域上的可控性进行了研究【3 8 】，l j u 和k r s t i c 研究 了k d v b 方程在一有限区域中的边界反馈稳定性问题【3 9 1 ，m a d r a sb a l o g h 和k r s t i c 研究了k d v b 方程的稳定性和数学模型，曹海霞对充分非线性的k d v b 方程解 的稳定性作了研究1 4 0 。对k - s 方程的研究也已取得了丰硕成果，f o i a se ta l 和 n i c o l a e n k oe ta l 对k - s 方程全局吸引子和惯性流形进行了研究【4 1 】，h ee ta l 研究 了k - s 方程稳定性的数学模拟及它的最优控制，王景峰也对k - s 方程的稳定性 作了研究h 2 1 ，程悦玲对充分非线性k - s 方程在周期边界条件下的稳定性进行了 研究4 3 1 ，c h r i s t o f i d e s 基于一个g a l e v k i n 方法构造了线性控制项研究k - s 方程的 局部稳定性m 】。 1 3 本文研究的基本内容 本文主要研究b u r g e r s k d v 方程的精确控制和有限区间x b ，p 】，t 0 ，t 】上 的一类广义b u r g e r s k d v 方程的精确边界控制。对b u r g e r s k d v 方程，首先通过 l e r a y s c h a u d e r 不动点定理和散逸算子理论证明线性化b u r g e r s k d v 方程解的存 在性，然后应用一些不等式，单调算子理论和分部积分理论找到控制函数h ，证 明非线性b u r g e r s k d v 方程是可精确控制的。 在处理广义b u 唱e m k d v 方程的精确边界控制问题时，首先通过算子半群理 论讨论了线性化广义b u r g e r s k d v 方程的精确控制，利用不动点理论和f r e d h o l m 算子理论证明该系统是精确能控的。然后利用r 上的广义b u r g e r s k d v 方程的初 值控制证明了有限区间x b ，p 】，t 【0 ，t 】上的广义b u r g e r s k d v 方程的精确边界 控制。 1 4 本文研究的意义及价值 b u r g e r s k d v 方程是用来描述水波、电磁波及声波等的方程，此类方程具有 6 江苏大学硕士学位论文 很广泛的物理背景，所以，对此类方程的解的存在性、唯一性及稳定性的研究及 对此类方程的精确控制问题进行研究意义重大。 随着科学技术的迅猛发展，精确控制理论与许多学科相互交叉、渗透融合的 趋势在进一步加强，在与社会经济、环境生态、组织管理等决策活动，与生物医 学中诊断及控制，与信号处理、软件计算等邻近学科交叉中又形成了许多新的研 究分支。精确控制理论的应用范围在不断扩大，精确控制理论在认识事物运动的 客观规律和改造世界中必将得到进一步的发展和完善。 7 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 我们所研究的精确控制就是在系统上加上某种可行性条件，从而保证系统的 解存在且唯一，并在定的空间上保证此解是稳定的。在证明解在给定的边界反 馈条件下的稳定性时，我们经常会用到某些不等式和分部积分理论。在证明解的 存在唯一性时我们经常采用先建立非线性映射，然后证明此映射是压缩映射，应 用b a n a c h 压缩不动点定理说明此映射存在唯一不动点，则这个不动点即为方程 的唯一解。 因此，本章我们将介绍一些常用的不等式、b a n a c h 压缩不动点定理、半群 理论、稳定性理论以及s o b o l c v 空间等知识。 2 1不等式 ( 1 ) g r o n w a l l 不等式 设g ， ，y 是定义于o 。，+ o 。) 上的三个局部可积函数，使得警也是定义于 o 。，佃) 上是局部可积的，并且对任意的t t o 满足： d 出y g y 机，”g ( s ) 凼口l ，卜( s 迹口2 ，卜( s 渺口， 其中r , a j ，a 2 ，口3 是正常数。则对任意的f t o ，有 y o + r ) ( 竺羔+ a 2 ) e x p ( 口1 ) ( 2 ) p o i n c a r e 不等式 设c o ( n ) 表示有界开区域qc r ”上一切m 次连续可微，并在边界孢的某 邻域内为0 的函数集合。即 c 孑( q ) = uec ”( - ) k ( x ) = o 当x a q 的某邻域 曼g z , 对任意的u c o ( 锄有 i 不妒科出“l 磊妒叫2 出 ( 2 1 ) 8 江苏大学硕士学位论文 其中c 是仅依赖于区域q 及m 的常数。 证明因为q 是有界的，我们可以把q 放在某个边长为a 的立方体f 2 。内，适 当选择坐标系，使得 f 2 。= ( 五，x 2 ，矗) r ”j o 葺口( f - 1 州2 一，玎) ) 。 在q 。q 上补充定义甜= 0 ，经补充定义后，h 在q 。上垅次连续可微，而且在 边界上等于0 。对任意的x q 。， “= r 1 秘h ) 出 再利用c a u c h y s c h w a r z 不等式，我们有 陬刮2 细r 剧幽 ( 2 2 ) 在q 。上积分不等式( 2 2 ) ，我们得 工科i 出崭量俐出崭量 g r a d u ( x ) 1 2 出 ( 2 3 ) 然后逐次应用不等式( 2 3 ) 于a “( x ) ( h m ) ，即得不等式( 2 1 ) 。( 参阅文献 4 5 1 ， 【4 6 ，【4 7 1 ) ( 3 ) a g m o n 不等式 对任意伊c 1 【o ，1 】，有下面不等式成立： 叫m a 。1 】x 伊( x ) 2 缈( o ) 2 + 2 f 缈( x ) 2 出f 纹( x ) 2 出 ( 2 4 ) 埘m a x 叫缈( x ) 2 认1 ) 2 + 2 f 认x ) 2 出f 纹( x ) 2 出 、 ( 2 5 ) 证明由计算基本理论可得 吸力2 = 以o ) 2 + 2 r 烈9 吩( 9 d 乡 则) 2 + 2 r 孵) 2 彬r ( ) 2 蟛 上述过程利用了c a u c h y - s c h w a r t z 不等式从而( 2 4 ) 式得证。 令孝= 1 一x ，同理可证( 2 5 ) 式。 9 江苏大学硕士学位论文 2 2b a n a c h 不动点定理压缩映像原理 设( 石，力是一个完备的距离空间，t 是f ，力到其自身的一个压缩映射，则 z 在x 上存在唯一的不动点。 证明( 存在性) 若7 ：岱，力一岱，力是一个压缩映像，则取初始点知x ， 构造迭代产生的序列 x 。“= t x 。 = o 工2 ，一) 则有贴n + l ，x 。) = p ( t x 。，t x “) _ c t p ( x 。，x 川) 口”p “，) ，其中：0 口 1 。 从而对任意的p n ，有 p ( x n + p , x n ) - - 妻p ( x n + i , x n + i - 1 ) 冬( 彤“+ p 一1 + + 口”一1 ) 反而，x o ) # 2 p ( x l , x o 一0 x o ) ( 当胛专o o 时) 五 一( 当胛专0 0 时) 由此可知扛。 是一个基本列。 又因为岱，力是完备的，所以存在z + 石，使得而专x o 一呦 i n + 。- t x ，两边取极限，则有x + = t x ，故x + 为不动点a ( 唯一性) 若x + 、x “均为不动点，则 p x ”l = l 戤一戤“l 口p - - x * * i 由此推出x = x ”，故不动点是唯一的。 综上所述，定理得证。 2 3 算子半群理论 定义2 3 。1设x 是b a n a c h 空间，一个单参数有界线性算子族s ( o ，t 0 ： x x 称为是有界线性算子半群( 简称半群) ，如果 ( 1 ) s ( o ) = ， ( 2 ) s ( t 1 + f 2 ) = s ( t 1 芦0 2 ) ，对任意t l ，t 2 0 。 定义2 3 2 对任意石d ，令 1 0 江苏大学硕士学位论文 血= 姆型一d + s ，( t ) x td t l ，卸 f o + 1 我们将a 称为半群s ( t ) 的无穷小生成元，d 称为a 的定义域。 定义2 3 3设x 是b a n a c h 空间，若z 上的有界线性算子半群 s ( t ) ( 0 t 叫满足对任意x x ，有 l i m s ( t ) x = 工 ( 2 6 ) 则称s ( f ) 为有界线性算子的强连续半群，x 上的有界线性算子强连续半群将简称 为c 。半群。 定理2 3 1 设s ( f ) 是c o 半群，则存在常数( 1 9 0 与m 1 ，使得 l i s ( t ) j l m e m ，0 f o ，使当0 f 7 7 时，愀f ) 0 为有界，若不然，则必 存在序列矗。) ，使得f 。0 。l i m f 。= o ，忪o 。) 0 咒。由一致有界性定理可知，存 在x x ，使得l l s ( f 。) x 0 无界，与式( 2 6 ) 相矛盾。因此，当0 f r l 时，临( f ) 0 m 。 因为忪( o ) 0 = 1 ，故m 1 。令国= 刁。1l n m 0 ，对给定的f 0 ，我们有f = n r l + 8 ， 其中0 万刁，故由半群的性质，得 ) l i = | p ( 市( 7 7 ) ” i - m 川 0 ，2 1 + a 是d ( a ) jx 的1 - 1 满射，且有 1 1 江苏大学硕士学位论文 2 4 散逸算子 肛+ a ) 一1 | | o ，c 。( 【o ，丁】；x ) 表示定义在【o ，丁】上具有k 阶连续可微函数全体 定义一个范数| j j i ”，其中m 是非负整数而且1 p 0 0 o 叫i 矽。，。，= ( 。磊。j 。纠j ：， i 当l p o ，存在简单函数g ，使i i 厂一g l l ， ，于是 l 夕l l 于一季i + i 謇l o ，一g l l 。+ i 季1 0 ，h 专栅。( 参阅文献【4 9 】) 2 7f r e d h o l m 算子理论 定义1 ：设mc x 是一个闭线性子空间，称 。 c o d i m m ：d 佃a ( x m ) 为m 的余维数。 江苏大学硕士学位论文 定义2 ：设盖，y 是b a n a c h 空间，t 矽( x ，y ) 称为一个f r e d h o l m 算子，是指： ( 1 ) r ( t ) 是闭的； ( 2 ) d i m n ( t ) o o ； ( 3 ) c o d i m r ( t ) o o 。 f r e d h o l m 理论归结起来，有： 若a 是x 上的紧算子，且t = i a ，则 ( 1 ) n 何) = 田r 叮) = x ： ( 2 ) 仃p ) = a ( r + ) ： ( 3 ) d i m n ( t ) = d i m n ( t + ) 0 ，寻找相应的控制函 数h ，使得( 3 1 ) 的解u 满足 u ( x ，o ) = u o ，u ( x ，t ) = u t 其中h 8 q ) 是通常的s o b o l e v 空间，i i | i 。是它的范数。令x 是b a n a c h 空 间，c 。 ，t ix ) 是定义在x 上的k 次连续可微函数，c o ，t i x ) 通常写为 c 旺0 ，t l x ) 。 3 1 线性化b u r g e r s - k d v 方程解的存在性 考虑线性化b u r g e r s - k d v 方程： f y 。一y 。+ y 。= 0 7 ( x ，t ) q ( o ，t ) y ( x ，o ) = y o ，x q ( 3 1 1 ) ly = y 。= y 。= o ，( x ，t ) 令 a m y = 一y 。+ y 。 d ( a m ) = y eh 3 q 炒= y 。= y 磕= o ，y j 我们将证明a m 是l 2 心) 上的m 一散逸算子，从而由文献e 5 2 马上得到问题 ( 3 1 1 ) 的解的存在性。 定理3 1 1 对任意的y o d ( a m ) ，存在y ，使得对几乎处处的 江苏大学硕士学位论文 t ( o ，t ) ，y h 3 心) ，j i 满足( 3 1 1 ) 。 在下面的两个引理中，我们证明a ml 2 q ) 上的m 一散逸性。 引理3 1 2a m 是l 2 q ) 上的散逸算子。 证明给定 y ，z d ( a m ) ，s u p i z i 0 z x0 ( 3 1 2 ) 借助分部积分法，我们得到 ( y z ，a m y a m z ) = 一z ，一y 。+ y 疆+ z 蕊一z 。) = ( y z ，一( y z ) 。+ ( y z ) 。) = 一i i ( y z ) 。f i 2 - 0 从而a m 是l 2 心) 上的散逸算子。 引理3 i 3a m 是l 2 心) 上的m 一散逸算子。 证明根据m 一散逸算子的定义和引理3 1 2 ，我们只需证明i a m 的值域是 l 2 ( q ) ，即对任意的g l 2 ( q ) ，y 瞰一y 强+ y = g 有解y d ( a m ) 。 下面我们用l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明这一结论。 定义b ：h ：) _ h ：心) ，z ijy = b z 其中y 满足 fy 。一y 。+ z = g ，y q i y = y ，= y 取= o ，y 若z = 九b z ，九( 0 ，1 ) ，则 ( z ，九g ) = ( z ，九y 蕊一l y 醛+ l z ) = 亿z 删一z n + 九z ) - - - - z 。n 刑1 2 所以 | l z x | 1 2 - l l gz i i - i l g l l l z ；l l g l i ( 3 1 3 ) 如果b 是h ：q ) 到自身的全连续算子，那么由l e r a y s c h a u d e r 不动点定理5 3 1 ， 1 6 江苏大学硕士学位论文 在闭球仁h ：心牝。0 i i g l | 上必有不动点y = b y ，因而引理3 1 3 得证。 最后我们证明b 是h ：q ) 到自身的全连续算子，即连续的紧算子。 设z o ，z h ：q ) ，y o = b z o ，y = b z ，由b 的定义 o = ( y y o , b 一一y 鼹+ z g 】一b ：一y ：+ z 。一g d = ( y y o , ( y y 。l 一( y y 。k + ( z z 。) ) 0 ( y y 。) x i l 2 一c 0 i z ! ( z z 。) 。1 1 2 所以 i l y - y 。i i c l z ：i z - z 。l l h i ( 。) ( 3 1 4 ) 显然b 疋i e in 。1q ) 上的连续算子。 设v = 岳 o a i | | z l l h ( 0 ) c 。j ，y = b z ，由( 3 1 4 ) ，对任意的z v 有 | l y s z l h ) c ( m 删h 。( q ) 再由b 的定义和插值不等式，又有 | | y f f h ，( n ) - o ) ，使得 f ( u ) 满足l i p s c h i t z 条件：i f ( u ：) - f ( u ，) l k i u ：- - u ，i 。 定理3 3 2 在假设3 3 1 下，算子f 是连续的且是单调的，故f 。1 是l i p s c h i t z 连 续的，从而可找到y o ，由( 3 1 1 ) 解得y ，即可找到控制函数h = y y 。，使得 ( 3 2 1 ) 的解u 满足u ( x ，t ) = u t 。 在下面三个引理中，我们证明算子f 是连续的且是强单调的，则定理3 3 2 得证。 引理3 3 3f 是l i p s c h i t z 连续的。 证明令y l ，y 2 是( 3 1 1 ) 在y j ，y ；下的解，u 1 ，u 2 是( 3 2 1 ) 在u ? ，u 2 0 ，y l ，y 2 下 的解 u ：一u lt 一( u ：一u 1 ) 。+ ( u ：一u 。) 蕊+ ( f ( u ：) 一f ( u 。) ) = ( y ：- 、y , ) - ，( y 2 - y ，? n ，( x ，t ) q ( o ，t ) ( 3 3 1 ) u 2x ，o ) 一u 1 ( x ，o ) - - u ! 一u o l ，x q u 2 一u l = u 2 一u 1 ) 。= u 2 一a t ) 。= o ，( x ，t ) 令q = q ( o ，t j 将 ( u ：一u 。) 。一( u ：一u 。) 。+ ( u ：一u 。) 。+ ( f ( u ：) 一f ( u 。) ) = ( y ：一y 1 ) 一( y ：一y 1 ) 。 乘以( u ：一u 。) 并在q 上积分得： ( u z u t x u z u - ) t d q 一上( u ：一u ) ( b z u 。) 。d q + 丘( u z u 。x u ：一u 。) 。d q + ( u ：一u ，) ( f ( u z ) 一f ( u ，) q = ( u z u ，x y ：一y 。) o q e ( u ：一u ，) ：一y 。) 。d q 由分部积分法得： 云1 ( u ：_ u 1 ) 2d 】【一虿1 上_ o ：一u ? ) 2 d 】【+ ( u ：飞) x 2 d q 1 8 江苏大学硕士学位论文 ( u z u - x y ：一y 1 ) d q + 上( u z u - ) 。( y z y 。) 。d q 一( u z u ) ( f ( u z ) 一f ( u - ) q 以 。1 - u 2 - u , 1 2 a x 一丢舭0 一u 忡+ 肌飞) 。1 2 d q 三如嘲1 2 + l y 2 - y 1 1 2 。) t q + 三如咄| 2 + | u ：吨m + k i u 2 - - n i l 2 d q ( 3 3 2 ) 又因为 所以 l 。u 2 - u , 2 d x 三l u ：一u 。1 2 d 】【+ 五1 l ( u ：一u 。) 。1