（基础数学专业论文）有限域代数曲线上的码.pdf

摘要 本博士论文共分五牵，我们研究的是有限域代数曲线上的码 第一章将鬃现关于代数瑟线和代数蝤数域的一些性质，然后介绍采蟊有 代数曲线上的码的一些概念 褥遣具有好的参数的码是编码理论中最重要的闯题之一，不简的工矮和 方法诸如代数数论、几何、组合等方法在线性码的构造中被采用，自从g o p p a 足侮璃赫发褒缓来， 弋数兄 莓就薯经被广泛露俸编码酶工箕。本论文中第二 章的目的是：将x i n g 的思想中关于改逃g o p p a 几何码的参数的方法应用于 其毒多令有理意戆k u m m e r 覆覆，及露得羁一蹙9 元藏码， 进一步地，我们在第三章中介绍一个改进g o p p a 结构的代数几何码的 最夺疆藩f 爨懿一秘方法，我销螺遭袋聚除予d 葶瑟g 憨g o p p a 且秘羁f 我 数几何码) e l ( d ，g ) 砖一个h ，d 码，其参数具有： k = ；( g ) 一l ( c d ) 麓d f t - - d e gg ， 这里z ( c ) 表示有限域上r i e m a n n r o c h 向量空间l ( a ) 的维数上面的值 托一d e gg 称为g o p p a 檬蛙戆褥e 2 ( p ，q 豹最，j 、踅离下秀在这一耄孛， 我们应用m a h a r a j 的思想，即用显示熬来表示r i e m a n n r ，0 c h 空间的构造 鹃思想来证疆；g o p p a 标雄的代数且键码熬最小距离下赛在莱整馕影下是 可以被照著改谶我们用一类例子来展示怎样静出码的最小距离下界 第踞搴麴疆的是娶褥虱广义愿米憋鹳鲍广义汉暖黧量礴螅广义没鹅 踅量是线性码的最小躐离概念的推广，线性码的第一级广义汉明重量就是 该线性码的最小距离。线性码的广义汉明重量稍重量级是由w e i 首先簪i 入 的，在他的文鬻【6 0 l 中，他展示了线愧码的重匿级能袋现码在遗过通信信 道中的执行特性关于代数几何码的黧量级的首先引入得归功于y a n g 等 a 酶礤懿 9 5 1 ，在谴们静文章中，主要关注的燕来宣霄限壤蜀z 上静聪米 特曲线的代数几何码的情况秩我们的论文中，我们推广他们的结果，去考 虑来鑫骞疆壤蜀”上懿、我数藩缓护十爹= 茹矿1 上黪、代数豆侮码秘广 义汉明照量我们给出了这类码的重黧级的一个上界，特别给出了在范围 m + g 墨ms 嚣一g h l + g + l 孛教耩确懿第二级广义汉爨重爨，这虽麴m 是个制约这些码的维数的参数，礼是码长 2 0 0 5 冬9 嚣孛麓辩攀羧术必攀薄惫学盈论文繁v i 蕊 农激惹瓣一露孛，我靛殛瓷懿燕一旋蕊鸯转豹灏遴行为鹣黪绒蛙秘，浚 绥往礤米离有黻城上豹代数趣绒在1 9 8 1 年辩麓，g o p p a 发蕊了基于脊辙 城上熬、黑毒多个鸯瑷惑熬代数戆绫上黪、线羧璐的迷人鹩缝约，今天，邀 麓跨羧秫之努g o p p a 咒 薅弱或代数尼麓犸，g o p p a 缝褥酶弱德筠懿一令 令人兴磷鹩缭爆就是：游名的g i l b e r t v a r s h a i n o v 雾懿够坡茉擞合数盼的有 鼹城上爨g o p p a 咒簿弱灏褥鲻戆t s f a s m a n - v l 磊d u t - z i n k 器瓣菠浚，镄鳓， 在q 4 9 是个平方时恹，g i l b e 搏v 甜8 h a l i l o v 羿就可以在一个湃区间内被 鼓薯滚瘦避激纛，c p 。x 蠹毽又给凌了一族聚鑫骞蔽竣代数鼗缝上懿黪绫 性码，并在一个较大的隧闻内放涟了t s f a s m a n - v 1 驸u t - z i n k 羿，基予x i n g 戆我数瞧线上瓣l # 绞镶璐懿臻樽，我 l 遮撵一鏊特翻瓣狳子穗褥x i n g 豹荚 于参数的估计黼被改进。蘧过对除子类数、嵩次数懂器稳邂除予个数和x i n g 瓣葵缓靛鹂懿参数之耀麴美系分凝，我觏褥裂翡秘静澈遴器京瓣令努嚣阕蠢 德子g i l b e r g - v a r s h a m o v 秀释x i n g 努，将裂麓程上爵黪黼个羚懿交赢鲶虢 骥显璁浚滋了 a b s t r a c t t h i sp h dd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s w es t u d yc o d e sf r o m a l g e b r a i cc u r v e so v e rf i n i t ef i e l d s s o m ep r o p e r t i e sf o ra l g e b r a i cc u r v e sa n da i g e b r i cf u n c t i o nf i e l d sa r e p r o p o s e di nc h a p t e r1 a n dt h e n ，w ei n t r o d u c es o m en o t i o n sf o rc o d e sf r o m a l g e b r a i cc u r v e so v e rf i n i t ef i e l d s c o n s t r u c t i n gc o d e sw i t hg o o dp a r a m e t e r si so n eo ft h ei m p o r t a n tp r o b m l e m si nc o d i n gt h e o r y v a r i o u st o o l sa n dm e t h o d sf r o ma l g e b r an u m b e r t h e o r y ，g e o m e t r y ，c o m b i n a t o r i c s ，e t c ，a r ee m p l o y e df o rt h ec o n s t r u c t i o no fl i n - e a rc o d e s a l g e b r a i cg e o m e t r yh a sb e e ne x t e n s i v e l yu s e di nt h ec o n s t r u c t i o n o fc o d e ss i n c et h ed i s c o v e r yo fg o p p a sg e o m e t r i cc o d e s t h ea i mo fc h a p t e r2i st om a k eu s eo f 越li m p r o v e m e n tf r o mx a n g si d e a0 np a r a m e t e r so f t h eg o p p ag e o m e t r yc o d e sa n da p p l yi tt og e ts o m en e w9 - a r yc o d e sf r o m k n m m e rc o v e rw i t hm a n yr a t i o n a lp o i n t s m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c ean e wa p p r o c ht oi m p r o v et h el o w e rb o u n do f t h em i n i m u md i s t a n c eo fg o p p a g e o m e t r yc o d e s i nc h a p t e r3 w ek n o wt h a t g o p p a sg e o m e t r i cc o d e ( a l g e b r i cg e o m e t r yc o d e ) 吼( d ，g ) a s s o c i a t e dw i t h t w od i v i s o r sda n dgi sa n n ，七，d c o d ew i t hp a r a m e t e r s 惫= f ( g ) j ( g d ) a n dd 珏一d e gg ， w h e r ez ( a ) s t a n d sf o rt h ed i m e n s i o uo fr i e m a n n - r o c hv e c t o rs p a c el ( g ) o v e rf i n i t ef i e l d t h ev a l u en - - d e gga b o v ei sc a l l e dg o p p a ss t a n d a r dl o w e r b o u n do f t h e m i n i m u m d i s t a n c eo f t h ec o d e 优( d ，g ) 。i nc h a p t e r 3 ，w ea p p l y m a h a r a j si d e a ，w h i c hu s ee x p l i c i tb a s e st oc o n s t r u c tb a e m a u n r o c hs p a c e ， t os h o wt h a tt h eg o p p a ss t a n d a r dl o w e rb o u n do ft h em i n i m u md i s t a n c e o ft h ec o d e sc a nb ei m p r o v e di ns o m ec a s e 。w ei n d i c a t eh o wt od e r i v et h e l o w e ra n du p p e rb o u n d so ft h em i n i m u md i s t a n c eo ft h ec o d e sb yac l a s so f e x a m p l e s 。 t h ea i mo fc h a p t e r4i st og e tt h eg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t so fg e n * e r a l i z e dh e r m i t i a nc o d a s t h en o t i o no fg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t sa n d w e i g h th i e r a r c h yf o rl i n e a rc o d e sw a 8f i r s ti n t r o d u c e db yw e i i np a r t i c u l a r 2 0 0 5 每9 嚣串灏爨攀技本文攀搏士学盈论文筹v i i i 燹 t h ef i r s tg e n e r a l i z e dh a m m i n g w e i g h ti s j u s tt h em i n l m u m ( h a m m i n g ) d i s t a n c e o ft h ec o d e 。i nw 蕊，sp a p e r 6 0 i h es h o w e dt h a tt h ew e i g h th i e r a r c h yo fa l i n e a rc o d ec h a r a c t e r i z e st h ep e r f o r m a n c eo ft h ec o d eo nac e r t a i nc h a n n e l 。 t h ec a s eo fa l g e b r a i c - g e o m e t r i cc o d e s ( g e o m e t r i cg o p p ac o d e s ) w a sf i r s ti n - v e s t i g a t e db yy a n ge t , a i 9 5 ji nw h i c hi tm a i n l yc o n c e r n sa l g e b r a i c - g e o m e t r i c c o d e sa r i s i n gf r o mh e r m i t i a nc u r v e so v e rf i n i r ef i e l d 羁2 i no u rp a p e r ，w e c o n s i d e rt h ec a s e so na l g e b r a i c - g e o m e t r i cc o d e s ( g e o m e t r i cg o p p ac o d e s ) f r o ma l g e b r a i cc u r v e s 铲+ y 一越o v e rf i n i t ef i e l d 蜀a n dp r o v i d ea u p p e rb o u n do nt h e i rg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t s e s p e c i a l l y , e x a c tr e s u t so nt h es e c o n dg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t sa r eg i v e nf o rt h ec a s e s 孽辩1 + 鼙m 鬟椎一q 。十1 十g + 1 ，w h e r emi s 氇p a r a m e t e rt h a tg o v e r n st h e d i m e n s i o no ft h i sc o d e sa n d 档i st h el e n g t ho ft h ec o d e i nt h el a s tc h a p t e r w es t u d y3f a m i l yo fn o n l i n e a rc o d e sw i t hg o o d a s y m p t o t i cb e h a v i o u r t h en o n l i n e a rc o d e sc o m e s 螽o n la l g e b r a i cc u r v e s o v e rf i n i t ef i e l d s 。a r o u n d1 9 8 1 ，g o p p ad i s c o v e r e dab e a u t i f u lc o n s t r u c t i o n o fl i n e a rc o d e sb a s e do nc u r v e so v e rf i n i t ef i e l d sw i t hm a n r a t i o n a lp o i n t s 。 n o w a c l a y s ，t h e s ec o d e sa r ec a l l e dg o p p ag e o m e t r i cc o d e so ra l g e b r a i cg e o m - e t r yc o d e s 。o n eo ft h ee x c i t i n gr e s u l t sf r o mg o p p a sc o n s t r u c t i o ni st h a t t h ew e l l 。k n o w ng i l b e r t - v a r s h a m o vb o u n dc a nb ei m p r o v e db yt s f a s m a n v t a d u t 。z i n kb o u n dw h i c hi sd e r i v e db yg o p p ag e o m e t r yc o d e s 。f o re x a m p l e j i f 4 9i sas q u a r et h e nt h eg i l b e r t - v a r s h a m o vb o u n d i si m p r o v e ds i g n i 5 i c a n t l y , r e c e n t l y , c p , x i n gg i v e saf a m i l yo fn o n l i n e a rc o d e sf r o ma l g e b r a i c c u r v e sw h i c hy i e l dt h ea s y m p t o t i cb o u n di m p r o v e st h et s f a s m a n - v l 蕴d u t z i n kb o u n do nt h eg o p p a sc o n s t r u c t i o ni nal a r g er a n g e b a s e do nt h e x i n g sc o n s t r u c t i o no ft h en o n l i n e a rc o d e sf r o ma l g e b r a i cc u r v e s ，w ec h o o s e s o m es p e c i f i cr a t i o n a ld i v i s o rs ot h a tx i n g se s t i m a t eo np a r a m e t e r se 黼b e i m p r o v e d ，b ys o l l l ea n a l y z e so n 氇r e l a t i o nb e t w e e nd i v i s o rc l a s sn u m b e r ， n u m b e r so fr a t i o n a ld i v i s o r s 蕊h i g hd e g r e e s ，a n dp a r a m e t e r so fx i n g sn o n - l i n e a rc o d e s 、w eo b t a i na 越a s y m p t o t i cb o u n do fc o d e sw h i c hi sb e t t e rt h a n b o t ht h eg i l b e r t - v a t s h a m o va n dt h ex i n gb o u n d si nt h et w oo p e ni n t e r v a l s ， e s p e c i a l l y , a tt h et w op o i n t sw h e r et h e yi n t e r s e c t 。 致谢 本文怒在导嚣鄹赣乎教授鹅棼心撂导下赛残懿在鼗，我对臻纛邸裘暴 渡挚妁澍意，三年来，邢老师为作者开设了大量的讨论班，教授了全两的经典 代数数论积缡璐与镪码方耐酌理论知识。这是本文褥以完成的蹩实基础同 时，邢老师严谨务实的工作作风也使得作者农完成论文的过程中受髓匪浅， 并为以后的工作树立了榜梯邢老孵对作者酶生活受蔼无徽不至遣美韶；，佟 者对此表示最裘心的感谢 逐要感谢在科大三年来一起生活和学习的所有同学们他们是龙寿伦、 孙广仁、李漓糯、凌杰、予飞、李臀裰童宏袋阉学，话绱缭予了俸黎许多帮 助，包括对本文有益的讨论和建议 第零章引言 自从1 9 3 0 1 9 4 0 年代期间、h a s s e 和w e i l 在他们的研讨班上的工作以 来，关于有限域上的代数凸线和它的函数域的研究就一直成为数论和几何工 作者的极大兴趣，许多重要而丰富的思想是从数论和几何的碰撞处被激发出 来，这就诞生了如今称之为具有广泛应用的算术代数几何新学科 长时间内，有限域上的代数曲线和它的函数域只为纯粹数学家所关注： 但自从v d g o p p a 在1 9 7 5 年递交的、1 9 7 7 年发表的文章【9 】和他在其后 的上世纪8 0 年代发表的三篇文章f 1 0 1 2 1 问世以来，数学家们由此对该领域 产生了强烈的兴趣，并吸引了新的诸如编码理论家和计算数学工作者的研究 群体，这是因为在g o p p a 的文章中，发现了有限域上的代数曲线、特别是 具有多个有理点的曲线在编码理论中具有令人震惊的应用而1 9 8 5 年椭圆 瞌线密码体制的出现，又是促使该领域得以蓬勃发展的另一个催化剂 有限域上的代数曲线在编码理论中的蓬勃兴起的缘由是g i l b e r t v a r s h a m o v 界的突破【5 1 早在上世纪5 0 年代，g i l b e r t v a r s h a z n o v 界作为线性码维 数的一个下界就已经知晓，后来又出现了g i l b e r t v a r s h a m o v 界的渐进界版 本，它关注的是码长趋于无穷的码的无限序列 2 2 - 在很长的时间内，这个 渐进g i l b e r t v a r s h a m o v 界都是无限序列的线性码所能达到的已知界中最好 的下界，因此，这个渐进界就成为判断一个无限序列的线性码的好坏的参照 系在g o p p a 发现有限域上具有多个有理点的代数曲线可以来构造代数几何 码之后不久，就证明了存在代数几何码的无限序列有比g i l b e r t v a t s h a m o v 界更好的渐进性质，这是编码理论史上的一个重大突破 从g o p p a 所用的代数曲线来看，具有多个有理点的代数曲线就非常重 要，因此，近年来，在这方面的研究也较火热，出现了丰富的成果，具体可 见文章 2 - 8 ，1 6 - 1 9 ，2 7 ，3 0 - 3 6 ，4 3 4 5 ，5 4 - 5 6 ，6 3 6 5 ，6 8 ，7 1 ，在g e e r 5 6 中还详细列 举了具有多个有理点的曲线表，并有自己的网站随时更新这些数据这方面 的综述可见h n i e d e r r e i t e r 和c p x i n g 合著的单行本【4 1 】- 关于有限域上具有多个有理点的代数曲线应用于编码的工作可见 1 4 ，1 5 ，2 5 2 6 ，3 7 ，3 8 ，4 0 ，4 2 ，4 8 ，4 9 ，5 2 ，5 3 ，6 1 6 3 ，7 6 ，7 8 ，8 0 ，8 2 9 4 有限域上代数曲线在密码 1 2 0 0 5 年9 月中国科学技术大学博士学位论文第2 页 第零章引言 等其它方面的应用文章也非常丰富，这里只列举参考文献 2 8 ，2 9 ，7 l ，7 5 ，7 7 】 现介绍g o p p a 几何码的构造由来考虑一个几何对象z 具有礼个点、 记为p l ，r 的子集p 设l 为爿上的、取值在虬中的函数所作成的有 限域虬上的向量空间，则对所有的i 和，l ，有，) f 。用这种方 法，我们有赋值映射： e t ) p ：l 斗睇， 其规定为e v p ( f ) = ( ，( p i ) ，( p n ) ) 这个赋值映射是线性的，因而它的象 是个线性码这个码的维数、最小距离就是我们研究的主要对象 关于编码方面的专著可见【2 2 ，5 7 ，9 3 】 现在将这个几何对象z 稍稍具体一点设爿是射影空间中一些多项式 的公共零点的集合( 簇) ，p l ，r 是n 上z 中的有理点，即每个坐标均 在n 中z 上的函数是指多项式或有理函数( 多项式的商) 如果簇爿的 一些理论能给出向量空间上的维数和上述定义的码的界，则我们称这样的 码为代数几何码( a l g e b r m cg e o m e t r yc o d e ) ，简称a - o 码 这样定义的码的例子有经典的r e e d - s o l o m o n ( r s ) 码，这里几何对象疋 是f 口上的仿射线，点是f 。中的礼个不同元素，l 为次数至多为一1 的 系数在b 中的多项式的空间这个码具有参数【n ，k ，礼一k + 1 】( 几) 每个簇有它的维数，称维数为1 的簇叫做代数曲线如果疋是虬上的代 数曲线，p 是爿中礼个不同的有理点的集合，则按上述要求构造的码被称为 几何g o p p a 码( g e o m e t r i cg o p p ac o d e ) 这些码的参数可由r i e m a n n r o c h 定理来决定，它们满足下面的界 k + d 礼+ 1 9 这里的g 是曲线的不变量称为亏格 在本篇论文中，我们采用的代数曲线全是有限域上的射影的、光滑的和 绝对不可约的，由于代数几何的语言叙述起来非常繁琐，我们采用与之等价 的单变量函数域的语言来叙述 关于有限域的参考书是r l i d l 和h n i e d e r r e i t e r 合著的“f i n i t ef i e l d s ” 2 0 1 ，关于代数函数域的一本极好的参考书是h s t i c h t e n o t h 的单行本“a l g e b r a i cf u n c t i o nf i e l d sa n dc o d e s ”f 4 6 关于代数曲线已经有很丰富的结 2 0 0 5 年9 月 中国科学技术大学博士学位论文第3 蕊 第零章引言 果，可参看文献江，7 ，8 ，1 6 一1 9 ，2 9 - 3 3 ，3 5 3 6 ，4 2 4 4 ，4 7 1 特别是椭圆曲线的丰富内 容可见s i l v e r m a n 的“t h ea r i t h m e t i co fe l l i p t i cc u r v e s ”， 代数函数域中的支撑工其是k i e m a n n k o c h 定理，为戴我们简述如下 对于蘧数域f 的除子妒，规定k i e m a n n - r o c h 空坷为： l ( d ) = 搿f + ：d i v 0 ) + d o ) u o ) 则l ( d ) 怒k 上有限维向艟空间，记其维数为；p ) 其中d i v ( x ) 为非零函 数。的主除子我们有下列结果： ( i ) i ( o ) = 1 ； ( i i ) 如聚d e g ( d ) o ) 贝1 j ( g ，) c 且g 7 g ，且l ( g ) = o ；三：( d j ) 矿 口 在上面的命题中，k 一向量空间：= o 葛c ( 功) 矿显然有显示基， m a h a r a j 在他的文章中通过不少例子指出：在很多情况下，r i e m a n n r o c h 空间l ( g ) 与它的子空间：= 0 蓦c ( 岛) v j 的维数非常接近 我们试图改进g o p p a 意义下的最小距离下界的思想是：在上面的命题 中，如果r i e m a n n r o c h 空间三( g ) ： n 一1 l ( g ) = c ：= o g ( d j ) y ， j = o 则c l ( d ，g ) = c l ( d ，g ) ，这是由于l ( g ) = l ( g ) 因而，a g 码c l ( d ，g ) 的最小距离下界为n d e g ( g ) ，此值正是a g 码魄( d ，g ) 在g o p p a 结 构下的最小距离下界由于g g ，因而c t ( d ，g ) 的最小距离下界就可 能被改进实际上，我们通过厄米特码为例说明这个方法是可行的，在某些 情况下，它能使a g 码在g o p p a 意义下的最小距离下界改进很多，同时还 能给出不错的最小距离上界 o 2 广义汉明重量 在f 6 0 中，w e i 引入了广义汉明重量和线性码的重量级的概念，并展 示出线性码的重量级能表现码通过信道中的执行特性有关最早的一篇关于 线性码的广义汉明重量的文章是【6 0 】，其后关于g o p p a 几何码等方面的论 文可见【1 3 ，2 3 ，2 4 ，5 0 ，5 4 ，9 5 1 ，其中， 2 3 ，2 4 】是求厄米特码的广义汉明重量 广义汉明重量定义如下 若g 是个h ，件线性码，记 s u p p ( c ) = il 存在元素。= ( a l ，a 。) g 具有a i o ) 为码c 的支集对任意r ：1 r ，码g 的第r 级广义汉明重量规定 为： 2 0 0 5 年9 月 第零章引言 中国科举技术太学博士学位论文熊8 页 0 3 渐进界 d r ( a ) 一m i n i s u p p ( d ) l ：d 怒码g 的具有维数d i r n ( d ) = r 的线性子码) 玛c 懿重量级是摆广义汉嗫黧量戆集会 南( c ) l l r 女 ，特别遗，d l ( c ) 是码g 的最小( 汉明) 距离 代数见每码( 几 霹g o p p a 霹勃熬广义汉鼹羹量首建壹y a n ge t , a l 辑研 究程他们的文章【9 鄙中，主凝关注来自有限域五。上的厄米特曲线的代数 几何璐代数( 擒称) 的广义汉明重量。在这里，我们将a - g 码的一些结果从 有限域蜀。上瞧米符魏线推广蓟有限域蜀t t 上盼代数穗线酽十y = 嚣矿雌 显然地，对于t = l ，逸个曲线就是厄米特曲线 我们给出了a g 弱的广义汉强震潼的一线结果，这些a g 璃来蠢有限 域尼“上的代数曲线扩+ y x q “，特别地给出了部分准确的第二级广义 汉萌羹量，静 命题0 2 1 若= 魄( d ，m q 。) 且q 蚪1 + q m n q 件1 + q + 1 ，则 o 。3 渐进界 蠢2 ( ) = 站一m + q 对于有戳壤f 。上懿璃g ，我嚣涎游( 回，m ( c ) 秘d ( c ) 分剃是鼹c 熬 长度、大小，和最小距离记砜为有序对的榘合；( 最r ) r 2 ，从中存在 一蒗f 。上懿璐 & 鏊l 具毒：当缸( q ) - 手避 a 一熙糕，咒= 熙警， 这里l o 是以q 为慕的对数 下覆嘉奖瓯鲍撩述霹羹【弱，4 键。 命题0 3 1 存在连续函数( 6 ) ，6 【0 ，1 】，使得 瓯= ( 墨固r 2 ：o 量霆墨群g ( 国，0 5 l 。 进一步地，对5 一1 ) g ，1 ，有嘞( o ) = l ，o t g ( 6 ) 一0 辩0 o ) 第一章代数曲线与码的背景知识 我们用到的代数曲线是光滑的、射影的和绝对不可约的，它等价于单变 量代数函数域采用代数函数域的方法比用代数几何的方法简单，因而，我 们在整个论文中均采用函数域的语言。文章中的记号和专业术语可参考一 本极好的著作：h s t i c h t e n o t h 的单行本“a l g e b r a i cf u n c t i o nf i e l d sa n d c o d e s ”本章的结果可直接从h s t i c h t e n o t h 中找到详细的解释，故不再 花费篇幅累赘证明、叙述 1 1r i e m a n n r o c h 定理 本节中k 总是代表一个任意域，它将作为代数函数域的常域。 k 的扩域f 称为k 上的函数域( 单变量) ，如果存在一个f 中的 上的超越元z 而且f 是有理函数域k ( z ) 的有限扩张。如果k 在f 中是 闭的，则称k 是满常域我们简记f k 为具有满常域k 的函数域。 一个f 中的位( p l a c e ) p 是指的某个赋值环的极大理想。记o r 为 对应p 的赋值环 上代数函数域f 的离散赋值是指满射v ：f - zu o 。) 满足； ( i ) ( 茁) = o o 当且仅当z = o ； ( i i ) 对任意。，y f ，u ( x y ) = ( 。) + ( g ) ( i i i ) 对任意茁，f ，( 茁+ y ) m i n ( v ( x ) ，( ) ) ( i v ) 对任意a k ，v ( a ) = 0 作为( i i i ) 的直接推论有： ( i i i ) 对x ，y f 且( 露) ( z ) ，有( z + y ) = m i n ( ( 茁) ，p ( 可) ) 对于f 的位p ，我们记v p 为f 的对应于p 的离散赋值记p f 为f 中全体位的集合。对于f k 的位p 来说，它的赋值环 o p = 茁f ：u p ( x ) o ) 是一个局部环。它的最大理想是 p = f ：u p ( z ) o ) 1 2 2 0 0 5 年9 群中国葶! 拳技术大学博士学位论文第1 3 凝 第一章代数曲线与碣话背景知识1 1p d e m a n n - r o c h 定疆 谗剩余类蛾o p p 为昂，其可认为是域k 的有限扩张，这个扩张的次数 ( 昂：k j 旒称为谂p 的次数，记为d o g ( p ) 次数为1 的位称为有疆的。 寇理1 1 1 虽邋近定理j 若s 是斥的舆非空子集且只，b ，耳s 则 靖任意给定姆元童1 ，。2 ，f 和整数犯1 ，扎2 ，秭z ，存在一个元素 搿f 使得对i 一1 ，r