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上海交通大学博士学位论文 顶点算子超代数的表示 摘要 超对称性在二维共形场论中扮演了重要的作用，这促使我们来研究 顶点算子超代数及其表示理论顶点算子超代数是顶点算子代数的自然 推广h t s u k a d a ( 1 9 9 0 ) 研究了一些重要的顶点算子超代数 v g k a c 和w w a n g ( 1 9 9 6 ) 详细地研究了三类重要的顶点算子超代数，即关于仿 射k a c - m o o d y 超代数、n e v e u - s c h w a r z ( n s ) 代数、自由费密子的顶点算子超 代数他们把y z h u 的a ( y ) 理论推广为顶点算子超代数的a ( y ) 理论， 并讨论了顶点算子超代数的表示理论h l i ( 1 9 9 6 ) 利用顶点算子的l o c a l s y s t e m 构造并讨论了顶点算子超代数及其表示徐晓平( 1 9 9 8 ) 在其书中 也给出了许多有关顶点算子超代数及其模的知识本文，我们进一步研 究了顶点算子超代数和相关的结合代数的表示，顶点算子超代数的双模 理论，以及利用n e v e u - s c h w a r z ( n s ) 型的顶点算子超代数和二元线性码理 论构造了一类编码顶点算子超代数，进而研究了其表示理论。本文将分 三部分来分别讨论顶点算子超代数的表示问题 第一部分s 设y 是一个顶点算子超代数我们得到了一系列的结合代 数a ( y ) ( 对任何，l ；+ z + “ o ，l ) ) 我们也给出了厶( y ) 模但非a n 一吾( y ) 模的不可约模范畴和单的可容许的弘模的范畴之间的一一对应关系 对于给定的a 竹( y ) 模但非a 。一三( y ) 模u ，我们还构造了一类广义v e r m a 可 容许的y 模矾( ，) 进而利用结合代数的表示进一步研究了顶点算子超 代数的表示论 第二部分：对于任意一个顶点算子超代数v ，m ，n z + ，通过构造 a 。( y ) 一a 。( y ) 双模a n 。m ( y ) ，讨论了双模a n ，m ( y ) 的性质刻画了y 的一 个从可容许的y 模的第m 层子空间到第n 层子空间的作用我们利 用a n m ( y ) 和a m ( y ) 模u 还构造了一类v e r m a 型可容许的弘模m ( u ) = o n z + a n ，m ( y ) p a 。( y ) u ，证明了m ( u ) 与本文第一章构造的广义v e r m a 可 容许的y 模肪( ) 的确是同构关系 第三部分：我们首先讨论了顶点算子超代数的张量积进而，我们利 用任意一个含有奇重量的二元码研究了编码顶点算子超代数的表示论 中文摘要 利用m m i y a m o t o 的证明，我们证明了满足本文假设的( ky ) 同构于硒， 其中d 是某个含有奇重量码字的二元线性码此外，我们也证明了对任 意一个含有奇重量码字的二元线性编码d ，编码顶点算子超代数矾是 有理的进而，我们利用m m i y a m o t o 的结论和诱导模的方法给出了奶 的不可约表示的一般形式利用这个结果，我们进一步研究了汉明顶点 算子超代数础的表示证明了在汉明顶点算子超代数m h 7 中只存在 一组7 个相互正交的中心电荷为1 2 的共形向量并且我们还给出了所 有的汉明顶点算子超代数的不可约表示的分类 关键词顶点算子代数可容许的模顶点算子超代数结合代数 双模汉明编码 上海交通大学博士学位论文 t h er e p r e s e n t 舡i o n so fv e 册e xo p e r a i t o r s u p e r a l g e b r a s a b s t r a c t v e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a sc a nb ec o n s i d e r e da sn a t u r a lg e n e r a l i z a t i o n so f v e r t e xo p e r a t o ra l g e b r a s t h es u p e r s y m m e t r y , w h i c hp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei n t w o - d i m e n s i o n a lc o n f o r m a l lf i e l dt h e o r i e s i so n eo ft h em a i nr e a s o i st os t u d yv e r t e x o p e r a t o rs u p e r a l g e b r a s t h e r eh a sb e e nar a p i dd e v e l o p m e n ti nt h et h e o r yo fv e r t e x o p e r a t o rs u p e r a l g e b r a so v e rt h ep a s td e c a d e s s e v e r a li m p o r t a n tt y p e so fv e r t e x o p e r a t o rs u p e r a l g e b r a sh a v eb e e ns t u d i e ds i n c e1 9 9 0b yh t s u k a d a t h ez h u s a ( y ) - t h e o r yo nv e r t e xo p e r a t o ra l g e b r a sw a sg e n e r a l i z e dt oa ( y ) 一t h e o t yo nv e r t e x o p e r a t o rs u p e r a l g e b r a sb yv g k a ca n dw w a n gi n1 9 9 6 t h e ya l s os t u d i e di n d e t a i lt h r e ec l a s s e so fv e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a s ，i e ，t h ev e r t e xo p e r a t o rs u - p e r a l g e b r a sa s s o c i a t e dt ot h ea f f i n ek a c - m o o d ys u p e r a l g e b r a s ，t h en e v e u s c h w a r z a l g e b r a s ，a n dt h ef r e ef e r m i o n s t h er e p r e s e n t a t i o n so ft h e s ev e r t e xo p e r a t o rs u - p e r a l g e b r a sw e r ea l s os t u d i e d b yt h e 。l o c a ls y s t e mo fv e r t e xo p e r a t o r s ”f o ra ( s u p e r ) v e c t o rs p a c e ，h l ip r o v e dt h a ta n yl o c a ls y s t e mo fv e r t e xo p e r a t o r so n a ( s u p e r ) v e c t o rs p a c em h a san a t u r a lv e r t e x ( s u p e r ) a l g e b r as t r u c t u r ew i t hma sa m o d u l ea n ds t u d i e dt h er e p r e s e n t a t i o n so fv e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a si n1 9 9 6 f o rm o r er e s u l t so nt h et h e o r yo fv e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a sa n dt h e i rr e p r e - s e n t a t i o n so nc a nr e f e rt ox u b o o kp r e s s e di n1 9 9 8 i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h e r e p r e s e n t a t i o n so fv e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a sa n dr e l a t e da s s o c i a t i v ea l g e b r a s ， b i m o d u l e sa s s o c i a t e dt ov e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a sa n dt h er e p r e s e n t a t i o n so f c o d ev e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a so b t a i n e db yc o m b i n i n gt h em i n i m a lv e r t e xo p - e r a t o rs u p e r a l g e b r al ( 1 2 ，0 ) l ( 1 2 ，i 2 ) w i t hab i n a r yl i n e a rc o d ew h i c hc o n t a i n s c o d e w o r d so fo d dw e i g h t t h ep r e s e n tp a p e ri n c l u d e st h r e em a i np a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，l e tvb eav e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a w ec o n s t r u c ta s e q u e n c eo fa s s o c i a t i v ea l g e b r a sa n ( y ) f o rn ；z + i ti sa l s oe x p o s e dt h a tt h e r ei s ap a i ro ff u n c t o r sb e t w e e nt h ec a t e g o r yo fa n ( y ) 一m o d u l e sw h i c ha r en o ta n 一昙( y ) 一 i i i a b s t r a c t m o d u l e sa n dt h ec a t e g o r yo fa d m i s s i b l ev - m o d u l e s t h ef u n c t o r se x h i b i ta b i j e c t i o n b e t w e e nt h es i m p l em o d u l e si ne a c hc a t e g o r y w ea l s oc o n s t r u c tag e n e r a l i z e d v e r m aa d m i s s i b l ev m o d u l e 眠( u ) f r o ma na n ( y ) 一m o d u l euw h i c hi sn o ta n a m 一妻( y ) 一m o d u l e f u r t h e r m o r e ，w es t u d yt h et h e o r yo fr e p r e s e n t a t i o n so fv e r t e x o p e r a t o rs u p e r a l g e b r a s b ya s s o c i a t i v ea l g e b r a sa n ( y ) ，n z + i nt h es e c o n dp a r t ，l e tvb eav e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r aa n dm ，n z + w ec o n s t r u c ta l la n ( 矿) 一a m ( y ) 一b i m o d u l ea 竹。竹l ( y ) w h i c hc h a r a c t e r i z e st h ea c t i o n o fvf r o mt h el e v e lms u b s p a c et ol e v e ln s u b s p a c eo fa na d m i s s i b l ev - m o d u l e w e s t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h ea n ( v ) - a m ( y ) 一b i m o d u l ea n 。m ( y ) a n dd i s c u s sr e l a t i o n s b e t w e e na n ( y ) 一m o d u l e sa n da d m i s s i b l ev - m o d u l e s w ea l s oc o n s t r u c tav e r m a t y p ea d m i s s i b l ev ，m o d u l e m ( u ) = o 。za n ，m ( y ) 圆a 。( y ) u ，w h i c hi sp r o v e dt o b ei s o m o r p h i ct ot h em ( u ) d e f i n e di nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r i nt h et h i r dp a r t ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo ft h et e n s o rp r o d u c to fv e r t e x0 1 e r a t o rs u p e r a l a g e b r a s f u r t h e r m o r e ，w es t u d yt h er e p r e s e n t a t i o n so fc o d ev e r t e x o p e r a t o rs u p e r a l g e b r a sr e s u l t i n gf r o mab i n a r yl i n e a rc o d ew h i c hc o n t a i n sc o d e - w o r d so fo d dw e i g h t w ep r o v et h a tt h ec o d ev e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r am ni s r a t i o n a l ，a n dm i y a m o t o sc o n s t r u c t i o no fi n d u c e dm o d u l e si sg e n e r a l i z e dt oc o d e v e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a w es h o wt h a tt h e r ee x i s t so n l yo n es e to fm u t u a l l y o r t h o g o n a ls e v e nc o n f o r m a lv e c t o r sw i t hc e n t r a lc h a r g e1 2i nt h eh a m m i n gc o d e v e r t e xo p e r a t o rs u p e r a l g e b r am n 7 ，a n dw ec l a s s i f ya l li r r e d u c i b l em n , 一m o d u l e s a s i n 【2 9 】a n d 【3 1 1 ，o u rm a i nt o o li st h et h e o r yo fi n d u c e dm o d u l e sd e v e l o p e db yd o n g a n dl i ni n 3 a la n df u s i o nr u l e so ft h er a t i o n a lv e r t e xo p e r a t o ra l g e b r al ( 1 2 ，0 ) w i t hc e n t r a lc h a r g e1 2 ( s e e 【2 6 1 ) k e yw o r d s v e r t e xo p e r a t o ra l g e b r a ，a d m i s s i b l em o d u l e ，v e r t e xo p e 卜 a t o rs u p e r a l g e b r a ，a s s o c i a t i v ea l g e b r a ，b i m o d u l e ，h a m m i n gc o d e i v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 卦 日期；2 0 0 8 年么月1 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密0 ，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密i ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作者签名： 勃韦 指导教师签名。 善薯 j 日期：2 0 0 8 年石月1 日 日期：2 0 0 8 年( 月 i i 彩 p 第零章绪论 o 1背景及相关结果介绍 顶点算子是物理学家在研究共形场和弦理论时引入的。它在表示理论、有限群 理论等的研究中起到了关键的作用顶点算子代数( 参见文献【1 】- 【7 】) 是数学物理中 共形场论和统计力学中至关重要的代数结构，是r e b o r c h e r d s 1 】、i b f r e n k e l 、 j l e p o w s k y 和a m e u r m a n 阁等人2 0 世纪八十年代在研究魔群( m o n s t e r ) 和月 光( m o o n s h i n e ) 猜想时开创的新领域1 9 8 6 年，r e b o r c h e r d s 在文献【1 】1 中 建立了顶点代数的公理化体系顶点算子代数的公理化系统则是1 9 8 8 年由i b f r e n k e l ，j l e p o w s k y 和a m e u r m a n 在文献【2 】2 中对r e b o r c h e r d s 的顶点代数 的公理化系统加以推广而得到的本质上就是增加了v i r a s o r o 代数公理体系顶 点算子超代数( 参见文献【9 】- 【1 5 】) 是顶点算子代数的自然推广自从2 0 世纪九十 年代，顶点算子超代数的理论得到了飞速发展随着对顶点算子( 超) 代数的深入 研究，已逐渐发现顶点算子代数理论在拓扑、代数几何、数论、超弦理论、量子场 论等核心的数学物理领域有着重要的应用同时顶点算子( 超) 代数的引入也为无 限维李代数的表示理论的研究提供了一般性的理论方法和更广阔的研究空间 顶点算子代数和顶点算子超代数理论目前发展十分迅速，是国际上数学物理 研究的热点方向之一在国内，徐晓平1 1 6 1 、姜翠波1 1 7 卜1 2 0 1 、谭绍滨等在这方面 作了一系列研究工作但总体来说，这方面的研究在国内尚属开始阶段 对于顶点算子代数y ，y z h u ，1 ( 1 9 9 0 ) 引入了个结合代数a ( v ) = v o ( v ) ， 其中o ( v ) 是y 的个子空间y z h u 证明了不可约a ( y ) 一模与不可约可容许的 弘模之问的一对应这说明要对个顶点算子代数的不可约表示进行分类，只 需对结合代数a ( v ) 的不可约表示进行分类很多重要的顶点算子代数的不可约表 示的分类都是通过a ( y ) 一理论给出的因此a ( y ) - 理论是分类顶点算子代数不可 约表示的非常有效的工具h l i l 2 1 ( 1 9 9 4 ) 年在其博士论文中用b o r e h e r d s 李代数 9 ( y ) 和标准的李代数模构造的方法研究了z h u - 对应c d o n g ，h l i ，和g m a s o n 【z 勰一1 2 4 1 ( 1 9 9 8 ) 在a ( y ) 理论的基础上( 比较文献【2 5 】) ，引入了结合代数a n ( y ) 理论a ( y ) 的引入提供了更多关于可容许的y 模的信息设m = o 七z + m ( k ) 是个可容许的弘模，并且m ( o ) 0 ，则对任何k n ，每个m ( k ) 都是一个 a n ( y ) 一模利用结合代数a 。( y ) 的表示理论，他们讨论了顶点算子代数的表示和 上海交通大学博士学位论文 扭的表示理论 但是当8 时，a n ( y ) 一理论本身不能刻画y 一模齐次子空间m ( s ) 和m ( t ) 之间的关系为了解决这个问题，c d o n g 和c j i a n g ( 2 0 0 6 ) “】提出了a n ( y ) 一 a m ( y ) 一双模a n ，仇( y ) 理论对于任意的非负整数m ，仡，他们构造了一个a n ( y ) - a m ( y ) 一双模结构a 仉m ( y ) ，并研究了顶点算子代数的表示理论不同于经典的李代 数理论，顶点算子代数中没有根系、b o r e l 子代数、p b w 定理等，因此不能像李代 数那样构造v e r m a - 模d o n g - j i a n g 使用整数分次和双模结构a n ，m ( y ) 构造了一 类v e r m a 型y 一模具体地，对于给定的一个a m ( y ) - 模u ，构造了v e r m a 型可容 许的y 一模m ( u ) = o 。za n ，仇( y ) p a 。( y ) u ，且证明了m ( u ) 与文献 2 2 】的广义 v e r m a 可容许的n 模厨( u ) 是同构关系这表明，集合 a ，m ( y ) l 对m ，n z + ) 完全决定了顶点算子代数y 在可容许的y - 模上的作用j 他们还对有理顶点算子 代数的等价条件进行了研究 一 顶点算子超代数是顶点算子代数的自然推广h t s u k a d a l 9 】( 1 9 9 0 ) 研究了一 些重要的顶点算子超代数v g k a c 和w w a n g 儿 ( 1 9 9 6 ) 把y z h u 的a ( y ) 一 理论推广为顶点算子超代数的a ( y ) 理论，并讨论了一些重要的顶点算子超代数 的表示理论h l i ( 1 9 9 6 ) 利用顶点算子的l o c a ls y s t e m 构造了顶点算子超代数 并讨论了其表示徐晓平1 1 6 1 ( 1 9 9 8 ) 在其书中给出了许多有关顶点算子超代数及其 模的知识自然地，我们会问；对于顶点算子超代数y ，类似于顶点算子代数，是 否也有a n ( y ) 和a n ( y ) 一a m ( y ) 一双模a n ，m ( y ) 理论? 能否利用他们来讨论顶点 算子超代数的表示理论? c d o n g ，g m a s o n 和y z h u 在文献【2 6 】里，给出了张量积顶点算子代 数( 比较文献【2 7 】) 的a ( y ) 一理论，并且证明了中心电荷为1 的v i r a s o r o 顶点 算子代数只有3 个不可约可容许模，同时给出了这些模之间的f u s i o nr u l e m m i y a m o t o 2 8 1 一l 2 狮( 1 9 9 6 ) 讨论了顶点算子超代数和编码的关系表明任何偶的二元 线性码都对应了一个顶点算子代数c d o n g ，r l g r i e s s 和g h s e h n l j u l ( 1 9 9 8 ) 为了研究月光顶点算子代数，讨论了框架型顶点算子代数和月光顶点算子代数有 关的编码顶点算子代数m m i y a m o t o 3 1 卜1 3 2 ( 1 9 9 8 ) 利用文献【3 3 】使用的顶点算 子代数的诱导模( 也参见文献【3 4 】) 工具建立了编码顶点算子代数的表示理论，并 引进了一类具体的汉明顶点算子代数，分类了汉明顶点算子代数的不可约表示 c h l a i n 、a m a t s u o 等( 1 9 9 9 ，2 0 0 0 ，2 0 0 1 ) ( 参见文献【3 5 一【3 8 】) 分别讨论了编码 顶点算子代数的一些结构和表示分类问题对于编码顶点算子超代数，我们同样 2 第零章。绪论 需要考虑其结构及表示的分类等问题 3 上海交通大学博士学位论文 0 2 本文的主要工作 我们知道，从本质上来看，顶点算子代数即是理论物理中的c h i r a l 代数 c h i r a l 代数是物理学家在研究二维共形量子场论的过程中引入的而顶点算子代 数是b o r c h e r d s 和f r e n k e l - l e p o w s k y - m e u r m a n 等人在研究最大的散在单群魔鬼 群( m o n s t e r ) 及月光猜想时引入的代数结构顶点算子代数理论内容丰富，应用广 泛虽然顶点算子代数理论发展迅速，但依然有很多重要的和基本的问题需要解 决如s 已知类型的顶点算子( 超) 代数并不是很多，构造新类型的顶点算子( 超) 代数的工作还很有必要而且它们的表示理论尚处于起步、发展阶段。还没有形成 系统的、完整的理论 本文主要是围绕顶点算子超代数的表示开展研究通过顶点算子代数理论， 来研究顶点算子超代数的不可约表示是本文的重点通过把顶点算子代数理论和 结合代数、李代数理论结合起来发展顶点算子超代数的表示理论，把代数编码理 论应用于顶点算子超代数的理论进行深入研究是本文的主要创新之处 超对称性在二维共形场论中扮演了重要的作用，这促使我们来研究顶点算予 超代数及其表示理论在本文中，我们研究了顶点算子超代数和相关的结合代数 的表示，顶点算子超代数的双模理论，以及利用n e v e u - s c h w a r z ( n s ) 一型的顶点算 子超代数和二元线性码理论构造了一类编码顶点算子超代数，进而研究了其表示 理论本文将分三部分来分别讨论顶点算子超代数的表示问题 本文第一部分的主要内容。为了研究顶点算子超代数的表示论，受文献( 2 3 】 的启发，在1 3 节我们对任意的一个顶点算子超代数y ，构造了一系列结合代数 a 。( y ) = v o n ( y ) ( 对任何n ；+ z + ( t o ，1 ) ) ，满足凡( y ) = a ( y ) ( 参见文 献【1 1 】) 并讨论了它们的表示与顶点算子超代数的可容许的表示之间的关系下 文我们用z + 记非负整数集，且n = z + ，其中f z + ，i o ，1 ) 对r o ，1 ) 规定，若i r ，贝9 民( 7 ) = l ；若i r ，则盈( ，) = o ；最( 2 ) = 0 ，i = 0 ，1 对任何齐次元“v f p 0 ，1 ) ) 及任意元v ，规定一个双线性映射 0 n ：v v k 宰n ：v v _ y 如下l 0 n ：v v v ( t 正， ) ht 正0 nt ，其中 u o nv = k i i + 鬈z ) w t u + l + 6 1 ( 1 ) - l 2 芝鬟嚣3 m 2 ；俐；+ 。，咖，善t 矿； u 矗l j 4 第零章绪论 ，u _ p 妒( 慵簟m 一三： 若u y 石，、 ( 1 3 2 ) 若u v 1 ， 其中对任何q c ，( 1 + z ) 9 都被展开为非负整数幂令 0 n ( y ) = s p a n uo n u ，( l ( 一1 ) + l ( o ) ) 口，wl 齐次元t ka v o ，t ，kw v 1 ) 在第1 4 节，我们讨论了与顶点算子超代数相关的李超代数9 ( y ) 的一些性 质在第1 5 和1 6 节，对于给定的a n ( y ) _ 模但非a 舻( y ) - 模u ，我们还构造了 - - 类t 3 4v e r m a 可容许的u 模矾( u ) 我们也得到了a n ( y ) 一模但非a n 一( y ) 一 模的模范畴和可容许的v - 模范畴之间的一对函子q n n 舻和k 从而给出了这 两个模范畴中不可约模之间的一一对应关系 第二部分研究了顶点算子超代数的双模理论s 对任意m ，n z + ，在2 1 节我们构造一个a 。( y ) 一a 。( y ) - 双模a n , m ( y ) 定义这样的如，m ( y ) = 叫0 二册( y ) 的动机来源于y 的表示论的需要( 看下面第 5 小节) 设m ， ，p i z + 满足m = z l + 弩，n = 1 2 + 誓，p = 1 3 + 鲁，l l ，1 2 ，1 3 z + ，i l ， 2 ，i 3 ( o ，1 ) 在下面的讨论中，除非有进一步说明，m ，仡，p 总是按这样的 规定 设d 二m ( y ) 是由元n v f ，石五尹和l ( 一1 ) 64 - ( l ( o ) + m r o b ，b v f 线性生成的对任意t ，v 和任意齐次元t l v 满足i = _ 百= f 和uo 象u ，其中 让。象。=r骼：嚣：三；：筹：主： c 2 2 1 ， 若m = 礼，则t o “r n 好就是上文定义的uo n 对齐次元u v r ，t ，v ，设= - 1 + 盈。( 7 ) + 盈。( 2 一r ) 在y 上定义一种 乘积：c 象，p 如下：如果百= 瓦= r ，那么 u 母象二口：壹( - 1 ) j ( 以“一r e s ：譬幂筹脚u ； ( 2 2 2 ) 否贝0 ，让木象，p = 0 在2 3 节，我们讨论了双模a n ，m ( y ) 的性质在2 4 节，对顶点算子超代 数y ，讨论了a n ( y ) 一模和可容许的y 模的关系，利用a n ，m ( y ) 和a 。( y ) - 5 上海交通大学博士学位论文 模但不能作成a m 一吾( y ) 模u 构造了一类v e r m a 型可容许的v 模m ( u ) = o n z + a 竹，m ( y ) p a 。( y ) u ，证明了m ( u ) 与本文第一章尊造的广义v e r m a 可容 许的弘模砑( ) 的确是同构的 第三部分我们首先讨论了顶点算子超代数的张量积进而，我们利用n e v e u - s c h w a r z ( n s ) 一型的顶点算子超代数和二元线性码理论构造了一类编码顶点算子超 代数，进而研究了其表示理论t 类似于文献【3 1 】，我们现作如下假设： ( 1 ) 设( ky ) 是个单的顶点算子超代数满足d i m v o = 1 和y 1 0 以及 e ii = 1 ，n ) 是个中5 - 电荷为v 2 的相互正交的共形向量的集合使得和 ：l 是个v i r a s o r o 元众 ( 2 ) t = 竺l ( ，o ) 骱 ( 3 ) 在y 的任意不可约p 子模里没有去一字 通过修改文献【3 1 】定理4 5 的证明，我们证明了如上假设的( ky ) 同构于 m d ，其中d 是某个含有奇重量码字的二元线性码此外，我们也证明了对任意一 个含有奇重量码字的二元线性编码d ，编码顶点算子超代数肠d 是有理的进而， 我们利用m m i y a m o t o 的结论和诱导模的方法给出了m d 的不可约表示的一般 形式利用这个结果，我们进一步研究了汉明顶点算子超代数m x ，的表示：证明 了在汉明顶点算子超代数 7 日7 中只存在一组7 个相互正交的中一l - 电荷为v 2 的 共形向量并且我们还给出了所有的汉明顶点算子超代数的不可约表示的分类 见如下定理： 定理3 5 3 如果彤是一个不可约必渐一模，则w 同构于如下的不可约模中 的个t ( 1 ) 肌，甩t + 日7 ，其中= ( 0 0 1 0 0 ) 它的第i 个值是1 且其它值都是 0 ( 2 ) i n d m 坚f h 。, ( 【厂( ( 帆x + ) ) ，i n d m 慨h 。7 ( u ( ( ) ，x 一) ) ，其中p 协( o ) ( 0 d ，且( ) 是一个最低权使得其1 1 6 - 字是，且x 士( e 卢) = 士1 6 第一章顶点算子超代数及相关的结合代数的表示 本文中，我们用z + 记非负整数集，即z 十= ( o ，1 ，2 我们假定读者熟悉顶 点算子代数及其表示的基本知识和文献【2 2 】或【2 3 】中的内容 1 1背景及其意义 为了研