（测试计量技术及仪器专业论文）基于nurbs的自由曲面重构技术研究及开发.pdf

摘要 本文对基于n u r b s 的曲线曲面重构技术进行了研究。由于非均匀有理b 样 条( n u r b s ) 础a 精确表示解析形状自由曲线曲面，国际标准组织( i s o ) 于1 9 9 1 年 把n u r b s 作为表示工业产品几何形状的工业标准。本文采用了n u r b s 理论对 数据点阵进行曲面插值，获得n u r b s 参数曲面方程，开发了基于n u r b s 的曲 面重构系统，为工业自动化生产提供标准接口。 论文中主要研究内容如下： 1 、通过对曲面重构基本原理及其方法的深入分析，发现b 6 z i e r 曲线曲面， b s p l i n e 曲线曲面重构方法均有各自的局限性，进而提出采用n u r b s 方法作为 系统软件曲线曲面重构的基本方法。 2 、介绍了n u r b s 曲线曲面重构的相关基础理论；研究了由一组数据点直 接重构n u r b s 曲线和曲面的基本算法。详细论述了n u r b s 曲线曲面插值的步 骤：数据点的参数化，节点矢量的确定，求取n u r b s 基函数，。，反算控制顶 点从而求出曲面。 3 、详细介绍了测量三维数据的获取过程。针对液晶图像的特点，依次经过 图像平滑、二值化和形态学技术对图像进行处理，并提出基于相关技术的液晶编 码技术，获得了物体的三维空间点阵。 4 、设计了基于n u r b s 的自由曲面重构系统。通过对n u r b s 曲线曲面重 构的基本算法的研究，利用可视化技术的优势，采用面向对象技术，结合数据库 操作，开发了一个基于微机m i c r o s o f tw i n d o w s 系统的n u r b s 曲面重构的软件 n u r b s s u f 系统。该软件按面向对象思想设计，可以显示具有真实感的三维图形， 具有丰富的人机交互功能。在这个软件的基础上，可以添加更改自己的算法，而 无需考虑三维显示、文件i o 、交互操作等细节问题。 关键词：n u r b s o p e n g l 曲面重构曲面插值液晶 a b s t r a c t t h et e c h n i q u eo fc u r v ea n ds u r f a c er e c o n s t r u c t i o nb a s e do nn u r b st h e o r yi s s t u d i e di nt h i st h e s i s s i n c ei t sr i c hg e o m e t r i cp r o p e r t i e sa l l o wi tt or e p r e s e n tb o t h a n a l y t i cs h a p e sa n df r e e f o r mc u r v e sa n ds u r f a c e s i s od e f i n e dn o n - u n i f o r mr a t i o n a l b - s p l i n e s m u r b s ) a si n d u s t r ys t a n d a r df o rr e p r e s e n t i n gg e o m e t r yi n 1 9 9 1 t h e s e p o i n t s d e f i n eas u r f a c ee q u a t i o nb a s e do nn u r b s t h e o r y i ts u p p l i e si n t e r f a c et o i n d u s t r ym a n u f a c t u r e t h em a i nw o r k so f t h i st h e s i sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 ，a n a l y z i n gt h eb a s a lt h e o r ya n d m e t h o do fs u r f a c er e c o n s t r u c t i o n ，w ef i n dt h e d e f i c i e n c yo f b 6 z i e ra n d b s p l i n em e t h o d a n dt a k en u r b sa st h ee s s e n t i a lm e t h o do f t h es u r f a c er e c o n s t r u c t i o n 2 t h ec o r r e l a t i v e t h o e r y o fn u r b sc u r v ea n ds u r f a c er e c o n s t r u c t i o ni s i n t r o d u c e d w ep r e s e n tm e t h o d st oi n t e r p o l a t en u r b sc u r v ea n ds u r f a c e i ti n c l u d e s t h ep a r a m e t e r a lo fd a t ap o i n t s ，c o n f i r m i n go fk n o tv e c t o r s ，c o m p u t i n gb a s i sf u n c t i o n a n dc o n t r o lp o i n t s 3 。t h em e t r i c a lp r o c e s so ft h ed a t ai si n t r o d u c e d as p e c i a li m a g ep r o c e s s i n g s o f t w a r ei s p r o g r a m m e da c c o r d i n gt o t h ec h a r a c t e r i s t i co fl c di m a g ea n dt h e c o d i n gm e t h o db a s e do nm o r p h o l o g i c a lt e c h n o l o g yi sp r e s e n t e d t h ec o o r d i n a t e so f t h e s e p o i n t sa r ec a l c u l a t e d 4 t h es y s t e mo ff r e e f o r ms u r f a c er e c o n s t r u c t i o nb a s e do nn u r b sm e t h o di s d e s i g n e d an u r b s c u r v ea n ds u r f a c er e c o n s t r u c t i o ns o f t w a r eb a s e do nm i c r o s o f t w i n d o w si s d e v e l o p e d i ta d a p t so b j e c tb a s e dp r o g r a m m i n g ( o b p ) c o n c e p t i o na n d d a t a b a s em a n i p u l a t i o na n dh a sl o t so fi n t e r a c t i v ef u n c t i o n t h er e c o n s t r u c t i o nu s i n g n u r b sm e t h o d s u p p l i e ss t a n d a r di n t e r f a c ef o ri n d u s t r ym a n u f a c t u r e k e y w o r d s ：n u r b so p e n g l s u r f a c er e c o n s t r u c t u r es u r f a c e i n t e r p o l a t i o n l c d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：范宦靶 签字日期：2 牛年f 月5 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘鲞盘兰有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫壅盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：花宜丰乙 导师签名：劣舅红费 签字日期：瑚l 年月5 日签字日期：2 4 年月6 - 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 随着航天、航空、造船、汽车和模具工业的飞速发展，对产品性能、外形等 方武的要求越来越高，使得自由曲面零件在现代工业中得到了越来越广泛的应 用，而对该类零件的精度检测和反求都离不开对自由曲面的测量。目前，基于坐 标测量机的接触式测量在自由曲面零件的测量中得到了较为广泛的应用，三坐标 测量机由于其测量精度高，测量范围比较大，可以测量复杂表面几何形状的被测 对象，同时具有数字化接口。因此获得了广泛的应用，也成为了传统工业外型测 量的主要工具。但是传统的三坐标测量机测量速度慢；同时三坐标测量机要求的 工作环境苛刻，不能够在工业现场使用。 随着机器视觉技术和光电技术的发展，用非接触式的光电方法对曲面三维形 貌、形状进行快速测量已成为大趋势，非接触测量在现代工业需求中受到了越来 越高的重视。其中主要的测量方法有：莫尔条纹法、傅里叶变换法、离焦法、轴 向位移转换法和视觉检测的方法。其中最有代表性的技术是基于视觉检测原理的 3 d 外形轮廓测量技术。 视觉方法测量物体轮廓或自由曲面的核心技术可以概括为以下四个方面： 摄像机精确定标技术：摄像机精确定标技术包含摄像机标定，双目传感器标 定等。摄像机定标的目的就是建立有效的成像模型，并确定摄像机的内外部参数， 以便正确建立空间坐标系中物点与它在图像平面上像点之间的对应关系。 立体匹配技术：立体匹配技术是指在两幅( 或多幅) 从不同角度观察得到的 立体图像上寻找空间坐标中物体上的同点的图像坐标，并将它们一一对应起来 的过程。由于单摄像机是二维测量器件，不能获得三维信息，因此必须采用多摄 像机才能获得三维数据，两幅图像中的特征点匹配就成为了核心技术。 空间拼接技术：空间拼接技术将获得的不同视角的三维数据统一到一个坐标 系下。视觉技术一般不能在一个测量位置获得所有自由曲面信息，需要由多视角 综合测量，特别是对于大型被测物尤其重要。拼接过程中的误差累计问题是关键。 如果考虑到与实际工业应用相结合，曲面重构技术也是一个关键技术。 曲面重构技术：曲面重构是指将获得的曲面轮廓三维数据点拟合为数学上严 格定义的曲面参数方程为后续的工业自动化接口提供方便。目前曲面重构技术 的研究者主要任务是对没有先验信息的三维测量数据进行曲面重构，而没有先验 第一章绪论 信息的曲面重构是复杂的。如果测量前端提供的数据能够为曲面重构技术提供先 验信息( 如三维数据的空间拓扑结构) ，则曲面重构问题将更容易解决。现在已 经有一些学者关注到视觉测量和曲面重构的接口问题，并逐渐将这一问题提到研 究日程中。本论文将对这一技术做出详细的讨论。 1 2 选题背景 本文是天津市重大科技攻关项目“视觉检测技术及实用化系统”( 0 0 3 1 0 1 3 1 1 ) 的子课题“1 1 1 2 | o 根据项目要求，我们研制了一种基于液晶光栅投影技术的双目视觉三维轮廓 测量系统。该系统将液晶( l c d ) 光栅技术引入到双目视觉传感器中，将传统的 扫描、光栅编码型传感器融为一体，只需要改变软件就可以实现不同手段的视觉 测量方法。该系统可以用于现场三维形貌( 自由曲面) 的非接触、快速测量，具 有测量测量精度高、结构设计简单，自动化程度高的优点。 该测量系统由双目视觉传感器、光学投影系统、照明系统、系统控制模块和 液晶光栅编码系统组成。其中摄像机标定采用t s a i 的径向排列约束r a c ( r a d i a l a l i g n m e n tc o n s t r a i n t ) 的典型两步法进行摄像机内、外参数的标定；完成了传感 器的标定并提出交向6 5 。摆放时，双目传感器具有最佳的测量精度：光学投影 系统应用了远心光路设计减小了投影误差，利用了柯拉照明使得投影光照均匀； 完成控制模块设计；针对液晶可以逐点控制的特点，采用空间规则点编码的方式 和粗细匹配技术实现双目传感器的特征点的精确匹配，这种方法具有直观、快速、 精确、自动化程度高的优点。 该系统主要任务是对自由曲面进行测量，测量系统示意图如图1 2 1 所示。 左摄 像机 侧灯 被测物 图1 - 2 i测量系统示意图 2 摄 机 妇 第一章绪论 液晶显示模块按测量系统预制的显示格式显示，经投影系统投射至被测自由 曲面上，受被测曲面调制，形成测量图像，由左右摄像机接受该图像，经同轴电 缆传输到计算机进行处理，获得测量三维数据。 图1 - 2 2 为测量系统实物图。 幽1 2 - 2 双目测量传感器实物图 本项目研究的目的是利用视觉检测技术实现空间物体三维轮廓( 自由曲面) 的测量；同时还要实现测量数据与工业自动化的接口，实现自由曲面测量与工业 化生产的全自动化和小型化。上述的测量系统已经实现了物体形面上三维数据的 测量，而如何将系统所获得的曲面三维数据和工业生产结合起来，将是本文研究 的重点内容。 1 3 曲面重构的方法 在精致的轿车车身设计或人脸类雕塑曲面的动画制作中，常先用油泥制模， 再作三维型值点采样。在医学图象可视化中，也常用c t 切片来得到人体脏器表 面的三维数据点。从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲面的几何模型，称为睦 面重构。 曲面重构是c a d c a m 等技术在高度发展过程中向曲面建模提出的新课题。 曲面重构要为己存在的曲面建立模型。它有两方面的含义：第一意味着已有的曲 第一章绪论 面是曲面重构的根据，可以根据需要在该曲面上采集各种数据；第二意味着已有 的曲面是衡量重建所得的曲面模型质量好坏的标准。要求建立的模型能忠实的恢 复已有的曲面的形状。 根据所采用的曲面表达方式，曲面重构的方法有：( 1 ) 函数曲面方法；( 2 ) 隐函数方法；( 3 ) 多边形模型法；( 4 ) 三角b d z i e r 方法；( 5 ) n u r b s 方法；( 6 ) 细分曲面方法等。有时需综合应用不同的曲面表达方式。 1 3 1 函数曲面方法 在6 0 8 0 年代，主要采用函数曲面对测量数据进行拟合，这是测量数据曲 面造型的第一阶段。采用函数曲面对测量数据进行拟合的方法有：反距离加权 法、径向基函数法、基于三角剖分的方法“1 、样条函数拟合1 和二步逼近法 等。最近，还有一些学者将层次b - s p l i n e 和小波方法用于散乱数据的曲面拟合“1 ， 以提高曲面拟合的效率。 1 3 2 隐函数曲面方法 隐函数曲面是指由方程f ( x ，y ，z ) = 0 表示的曲面，可以表达球面、圆柱面、 圆锥面等二次曲面及其更为复杂的曲面。函数曲面是隐函数曲面的特例。近年来， 隐式曲面的研究受到了国内外的重视。在s i g g r a p h9 0 和s i g g r a p h9 3 国际 会议上，先后组织了题为“几何造型及计算机图形学中的隐式曲面”的专题讨论； 1 9 9 5 年，在法国的g r e n o b l e 召开了第一次关于隐式曲面在计算机图形学中应用 的学术会议。在国内，浙江大学和中国科技大学等也开展了相关的研究工作 z - s 。 采用隐式曲面对二次曲面及超二次曲面进行重构，计算简单求解容易，是隐 式曲面在逆向工程中的典型应用。采用隐式曲面很容易判断一点是否在曲面上 非常适合于逆向工程的曲面数据分割问题，但是缺点是几何含义不明显、曲面显 示不方便以及与传统的c a d 系统不兼容。为了使隐式曲面在c a d 中得到更广 泛的应用，需要妥善解决隐式曲面和参数曲面问的转化问题。 1 3 3 多边形模型方法 多边形模型中最常用的是三角形模型。在采用三角化模型进行测量数据曲面 重构中，研究内容包括：( 1 ) 散乱数据的三角剖分：( 2 ) 断层扫描数据的三角剖 分：( 3 ) 模型的简化( 优化) 和多层次分析；( 4 ) 特征识别及基于特征的三角剖 分等。 散乱数据三角剖分可以分为平厦区域中散乱数据的三角剖分和曲面区域中 4 第一章绪论 数据的三角剖分。平面区域中散乱数据的三角剖分技术已很成熟 0 - i t ，关于曲面 区域中数据的三角剖分和空间散乱数据的四面体割分，也取得了很多研究成果。 h o p p e “妇将散乱数据三角剖分转化为等值面提取问题进行处理，大致如下： ( 1 ) 对于每个离散点只，先求出其近似的切平面，并选择合适的法线方向； ( 2 ) 对空间任一点p = ( x ，y ，z ) ，定义p 到所有切平面的最小距离d ( x ，y ，z ) 为p 的距离： ( 3 ) 根据d ( x ，y ，z ) 的定义，重构后的曲面为d ( x ，y ，z ) = 0 ，利用m a r c h c u b e 等 值面提取算法对其进行三角化，得到曲面的多边形表示。 e d e l s b r u n n e r “则利用a i p h a 形状对散乱数据进行三角剖分。h o p p e 通过对 三角网格的变换，使网格能量达到最小因而使三角网格得到优化( 网格能量是网 格的节点数、误差项等的加权和) 。 曲面的多边形模型在计算机图形学、计算机动画、有限元分析、r p m 等领域 中具有非常广泛的应用。多边形模型的特点是：( 1 ) 相邻曲面片只能达到c o 连 续；( 2 ) 数据量大。当要求的精度较高时，即使对于球面、圆柱、圆锥等简单的 曲面，多边形模型也需要用大量的多边形来近似地表达该曲面，而对于复杂的曲 面，则数据量更大。因此在c a d 领域，特别是对外形要求较高的产品设计中， 仅有产品的多边形模型是不够的。 1 3 4 三角b 6 z i e r 曲面方法 1 9 8 2 年，f a r i n 1 提出了在散乱数据三角化的基础上构造显式c 1 连续的三 角b 6 z i e r 曲面的方法和步骤，其后，关于三角b 6 z i e r 曲面的研究一直非常活跃。 研究的内容包括三角b 6 z i e r 曲面的构造和光滑连接等。 三角域曲面的优点式构造灵活、容易实现自动化，需要的用户干预少，因此 国内的很多研究者均倾向于采用三角b 6 z i e r 曲面进行测量数据的曲面造 型| 1 5 - 17 1 。但三角域曲面和已有的c a d c a m 系统中的曲面表达形式不兼容，需 要存储的数据量大，操作不方便。 1 3 5n i j r b s 曲面方法 n u r b s ( n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 方法可以精确地表示二次规则曲线 曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无 法做到这一点：具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现： n u r b s 方法是非有理b s p l i n e 方法在四维空间的直接推广，多数非有理1 3 s p l i n e 曲线曲面的性质及其相应的算法也适用于n u r b s 曲线曲面，便于继承和发展。 由于n u r b s 方法的这些突出优点，国际标准化组织( i s o ) 于1 9 9 1 年颁布了关 第一章绪论 于工业产品数据交换的s t e p 国际标准，将n u r b s 方法作为定义工业产品几何 形状的唯一数学描述方法。从而使n u r b s 方法成为曲面造型技术发展趋势中最 重要的基础。在目前的c a d c a m 系统中，大多采用n u r b s 曲面作为其内部统 一的几何表示形式。本文主要研究n u r b s 曲面重构的关键技术。 1 3 6 细分曲面方法 给定控制顶点网格，按照一定的规则逐渐地加细控制顶点网格，最后得到的 曲面称为细分曲面( 或子分曲面) 。c a t m u l l c l a r k “”最早提出细分盐面。由于其 处理任意拓扑网格所表现出的简单性和灵活性，以及潜在的多分辨结构，使它成 为c a g d 和计算机图形学中一种重要的三维造型方法。h o p p e 等人将细分曲面 用于曲面重构，以便由三角网格得到光滑的曲面。 由于细分曲面是由控制顶点网格按照一定的规则得到的极限曲面，一般而 言，细分曲面没有具体的曲面表达形式，甚至无法根据公式直接求出曲面上一点 的法矢等信息，故不便于理论分析。目前细分曲丽主要用于计算机图形显示中， 欲将其应用于产品设计中，尚需作深入的研究。 在各种方法中，由于先验知识的不足，大多数工作主要集中在测量数据点构 建中，而在实际测量中数据是有规则的，如果应用这些特征，则曲面重构过程将 大大简化。 1 4 曲面重构的应用领域 曲面重构技术在制造业、娱乐业、医学等广大领域都有广泛的应用。 1 4 1 工业设计 在汽车工业中，设计师喜欢首先用粘土作出汽车外型，然后反求得到c a d 模型。这是因为c a d 系统缺乏传统方法的触觉和视觉优势。目前的c a d 系统 在设计具有规则几何形状的零件时功能很强大但是在设计自由曲面零件时在不 那么得心应手。c a d 系统对于自由曲面的创建及编辑修改等都不够方便。设计 师们在进行自由曲面的设计时，经常采用粘土等材料进行传统的手工设计，然后 利用曲面反求技术将其转化为计算机可用的c a d 模型。随着工业产品个性化、 艺术化的潮流，以及人体工程学的广泛应用，在汽车、家电、玩具、生活用品、 体育器械等诸多制造业领域里，将越来越多地需要使用具有自由曲面的零件，曲 面反求技术也将因此更广泛地被采用。 6 第一章绪论 1 4 2 反向工程 出于种种原因，人们经常需要对已有的零件、工艺品等进行仿制，比如，仿 制古代的雕塑、佛像等作为工艺品出售。传统工艺，般采用石膏翻制等手段， 是从物理模型到物理模型的方法。如果想采用c a m 的制造方法，或者希望在计 算机中对这些物体处理、编辑，就必须首先得到该物体的数学模型，那么，曲面 反求技术就必不可少了。 1 4 3 模拟仿真 为了对已有工件进行计算机热力学、应力应变等模拟和分析，必须将其由物 理模型转换为c a e 软件或仿真软件可识别的数学模型。 1 4 4 三维动画和虚拟现实 使用三维动画技术能营造出逼真的三维场景，这些三维动画中的物体如各 种器物、房屋、汽车、飞机等，有一部分是采用c a d 软件设计出来的，但象人 物、动物、植物等形状复杂、具有很多自由曲面的物体，则必须采用曲面重构技 术来得到。这些由实物反求得来的曲面模型在电子游戏和虚拟现实等领域内也是 必不可少的。 1 4 5 医学成像 c t 、核磁共振等医学设备所得到的数据是一层一层的人体不同剖面的二维 图像，直接根据这些图像来进行分析、诊断，非常不直观，需要医师具有较为丰 富的经验。采用曲面反求技术，则可以由这些二维数据生成人体的外部和内部的 三维视图，大大方便了医师的诊断工作。 1 4 6 快速原型制造 快速原型( r p ：r a p i dp r o t o t y p i n g ) 技术是根据积分的思想，采用堆积的方式， 直接由三维计算机模型制造复杂三维零件的新兴技术。这是一种由计算机中的数 学模型到现实的物理模型的最快、最方便的成形方法。 快速原型技术与传统制造技术相比，能直接由三维c a d 模型制造形状复杂 的零件模型，省去了许多传统的工序，大大缩短了产品开发周期，降低了生成风 险，使产品迅速抢占市场；由于它是将复杂的三维形体转化为二维截面来解决， 因此它能制造实际上任意复杂形体的高精度零件，而无需设计和制造任何工装模 具；可以进行视觉效果的评价，验证c a d c a e 设计，在投产前找出设计存在的 7 第一章绪论 不足之处等等。 快速原型制造的应用范围包括工业应用( 工业设计模型、各种成品工艺用模 型、树脂模具及小批量零部件) 、三维复印( 半身像、人体模型) 和医疗领域( 手 术前模拟、整形成型外科手术用模型) 等。曲面重构也是快速原型制造的关键技 术之一。曲面重构用于r p 的产品c a d 建模、r p 工艺过程的数值模拟和数字仿 真。 1 5 本文的主要工作 本章l | 2 节中介绍的基于液晶光栅技术的三维视觉测量系统，能实现空间物 体三维轮廓的测量，并精确的获得了物体表面的三维测量数据点。但是这些点是 离散的，在工业生产过程中是无法应用的。只有将这些数据点拟合为曲线或曲面， 给出严格的参数方程，这样才能够在工业中进行修改设计和生产。本文则根据系 统所获得的曲面三维数据的特点，提出了基于n u r b s 的自由曲面模型重构方法， 从而实现了测量数据与工业生产的接口，实现了自由曲面测量与工业化生产的全 自动化和小型化。 本文的内容安排如下： 第一章为绪论，依次概括了曲面重构的各种方法，n u r b s 曲面重构的方法、 应用领域，本文的选题背景和研究内容等。 第二章介绍了曲面重构的理论基础。分别对b 6 z i e r 曲线曲面，b s p l i n e 曲线 曲面和n u r b s 曲线曲面及其性质进行了详细的讨论，并对这三种方法在实际应 用中进行了比较，最终确定本文选用n u r b s 方法进行曲面重构。 第三章详细论述了n u r b s 曲线曲面插值的步骤：数据点的参数化，节点矢 量的确定，求取n u r b s 基函数m 。，反算控制顶点从而求出曲面。研究了由一 组数据点直接重构n u i 出s 曲线和曲面的基本算法和程序实现。 第四章详细介绍了基于n u r b s 的自由曲面的重构系统。通过对n u r b s 曲 线曲面重构的基本算法的研究，利用可视化技术的优势，采用面向对象技术，结 合数据库操作，编制了曲面重构的软件系统。实现了前两章所述的n u r b s 方法 的步骤和算法，对曲面进行重构取得了较好的效果。使用n u r b s 方法为所获得 的曲面三维数据和工业生产提供了接1 = 1 规范，从而改变了原有的测量过程与工业 生产相脱节的情况。 第五章对全文做了总结，并对以后的工作提出展望。 8 第二章曲面重构理论基础 第二章曲面重构理论基础 采用计算机技术及数据采集设备对自由曲面实物进行数字化后，将得到大规 模的数据点，依据该数据点点集重构实物的三维数字模型就是曲面重构。依据曲 面描述形式，重构方法可以分为代数曲面和参数曲面两类，但由于代数曲面描述 复杂形体时所表现出的局限性，在计算机三维数字化模型的表示中大量采用参数 曲面。参数曲面根据定义域的不同分为矩形参数域及三角形参数域，各自的代表 有n u r b s ( 非均匀有理b 样条) 曲面，b s p l i n e ( b 样条) 曲面和b 6 z i e r 曲面。 2 1 b 6 z i e r 曲线曲面及其性质 2 1 1b 6 z i 6 1 曲线 一条n 次b 6 z i e r 曲线的定义“： p ( “) = 县，。( “) p o 1 其中：引班志( 1 - 秽。 p ：曲线的控制顶点，i = 0 ，1 ，n e 。( “) ：贝齐尔基函数，i = 0 ，l ，一，n 。 2 1 2 瞻z i e r 曲面的表示 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) b e z i e r 曲面的张量积表示： p = p ( u ，v ) = e ，( “) b 。( v ) 只，0 虬v - 1 ( 2 1 - 3 ) l = 0 j = 0 其中# ，：曲面的控制顶点或贝齐尔点，i ：o ，1 ，m ；j = o ，1 ，” 控制顶点沿v 向和u 向分别构成m + 1 个和n + 1 个控制多边形，一起组成曲 面的控制网格或贝齐尔网格。由( 2 1 - 3 ) 表示的张量积贝齐尔曲面是m n 次的。 2 1 3b a z i e r 曲面的性质 1 ，b6z i e r 网格的四个角点正好是bez i e r 曲面的四个角点，即 e ( o ，o ) = r ”p ( 1 ，0 ) = 只帅，p ( o ，1 ) = 异p ( 1 ，1 ) = 己。 2 b 6 z i e r 网格最外一圈顶点定义b 6 z i e r 曲面的四条边界；b 6 z i e r 曲面边界的跨 9 第二章曲面重构理论基础 界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关：其跨界二阶导矢只与定 义该边界的顶点及相邻两排顶点有关。 3 几何不变性。b 4 z i e r 曲面的形状和位置与坐标系的选择无关。 4 对称性。将b a z i e r 多边形顺序取反，定义同一个曲面，仅曲面方向取反。 5 凸包性。一个点集的凸包被定义为由该点集的元素形成的所有的凸组合的集 合。b 6 z i e r 曲面的凸包性是指b 6 z i e r 曲面恒位于它的控制顶点的土包内。这 一性质确定了b 6 z i e r 曲面的所在范围。 6 移动一个顶点只，将对曲面上参数为“= i m ，v = j n 那点e ( i m ，f i n ) 处影 响最大。这是因为相应的基函数尽，( “) ，b 。( v ) 在( i m ，j l n ) 处达到最大值。 2 2 1 3 - s p i ji 1 e 曲线曲面及其性质 2 2 1 b s p ii n e 曲线的定义 为了保留b 6 z i e r 方法的优点，b s p l i n e i 抽线的方程定义为： p ( “) = 只j ，( “) ( 2 2 1 ) i = 0 其中只：控制多边形的顶点，i = o ，1 ， 。( “) ：p 次b - s p l i n e 基函数，i = o ，l ，竹，其中每一个称为b 样条 它是一个称为节点矢量的非递减的参数u 的序列u ：d 0 曼“1 - n 。所决定的 p 次分段多项式，也即为p 次多项式样条。 b s p l i n e 基函数的递推定义： 岫，书筹钒i ，( “) = 二警弼川( 功+ 兰竺 鲁弼扎，l ( p 1 ( 2 - 2 2 ) q + p 一蚱 ” z 4 p + i o “l ” 规定罟= o 。( “) 的双下标中第二下标p 表示次数，第一下标i 表示基函数的序号。每 一个基函数由“取值范围内的p 个子区间来定义。 基函数性质： ( 1 ) 对任意一个基函数f ，( “) ，只有节点砖，“i + d ，i 。，对它有作用。 ( 2 ) 对任一个节点区间 “，叶+ ，) 至多有p + l 段基函数在该区间上有定义。即 1 0 第二章曲面重构理论基础 基函数m - p , p ( “) ，j ， ) 在区间【“，叶+ 。) 上不为零，其它基函数在该区 间上均为零。 ( 3 ) 0 蔓f ，( “) 1 。 ( 4 ) 对任意节点区间【，珥+ ，) ，n j ，( “) = l 其中“h ，坼+ 。) 。 = ，一p ( 5 ) 在每个节点处，f 、。( “) 满足p k 阶连续，k 为节点重复的次数，因此， 节点重复得越多在该节点处的连续性就越低，相反，连续性就越高。 ( 6 ) 除了p 。0 的情况外，j ，( “) 总能达n - 个最大值。 2 2 2b - s p l n e 曲线的性质 1 局部性质。由于b s p l i n e 的局部性，p 次b - s p l i n e 曲线上参数为“，坼+ 1 的 一点p ( “) 至多与p + 1 个控制顶点只( ，= i t ，i k + 1 ，i ) 有关，与其它控制 顶点无关：移动该曲线的第i 个控制顶点只至多影响到定义在区间( “，q + 。) 上 那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。 2 可微性或参数连续性。b s p l i n e 曲线在每一曲线段内部是无限次可微的，在 对应节点的曲线段端点处是p - r 次可微的，r 是该节点的重复度。 3 比贝齐尔曲线更强的凸包性。b s p l i n e 曲线的凸包性是定义各曲线段的控制 顶点的凸包的并集。这样，其凸包区域要比同一组顶点的贝齐尔曲线的凸包 区域要小。 4 变差减小性质。设平面内n + 1 个控制顶点r ，e ，只构成b s p l i n e 曲线p ( u ) 的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与e ( u ) 的交点个数不多于该直 线和特征多边形的交点个数。 5 几何不变性。b s p l i n e 曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。 2 2 3 b - s p i i n e 的分类 b - s p l i n e 曲线的种类比较多，主要有：均匀b - s p l i n e 、准均匀b s p l i n e 、非均 匀b - s p l i n e 、有理b s p l i n e 、非均匀有理b s p l i n e 。 ( 1 ) 均匀b s p l i n e 曲线 均匀b s p l i n e 是指节点区间分布均匀的b s p l i n e 曲线曲面。它是b s p l i n e 方 法中最基本的构造方法。例如节点矢量为： 0 0 ，0 2 ，0 4 ，0 6 ，0 8 ，1 0 均匀b s p l i n e 曲线的基函数呈周期性变化。每一个基函数仅仅是前一个基函 数的偏移。即： 第二章曲面重构理论基础 e p ( ) = e 吐，( “+ a u ) = 尽_ 2 ，p ( “+ 2 z k u ) ( 2 2 3 ) 图2 - 2 - 1 是均匀b s p l i n e 曲线实例。 图2 - 2 - 1 三次均匀b s p l i n e 曲线 均匀b s p l i n e 曲线存在以下缺陷： 首先：它不能贴切地反映控制顶点的分别特点： 其次：当型值点分布不均匀时，难以获得理想的插值曲线。 对于这两种情况，可借助非均匀b s p l i n e 曲线以取得良好的效果。 ( 2 ) 准均匀b s p l i n e 曲线 准均匀b - s p l i n e 曲线位于均匀b s p l i n e 曲线和非均匀b s p l i n e 曲线之间。它 的节点矢量在端点处重复p 次，而在中间，相邻节点之间的距离是均匀的。例如， 节点矢量为： 0 ，0 ，1 ，2 ，3 ，3 1 3 = 2 0 , 0 ，0 ，0 ，l ，2 ，2 ，2 ，2 p = 4 任意给定i 和p ( 多项式的次数) 的值，节点矢量可用如下公式进行计算： f o ，o s j 10“川 第二章曲面重构理论基础 0 ) i ，：相应控制点的权因子，规定四角点处用正权因子，即 峨o ，l ，钝” 0 ，其余q ，0 。 。 ) 、。( v ) ：u 向与v 向的p 次和q 次的b - s p l i n e 基函数，r i , p ；j , q ，v ) 是双变量有理基函数： 尺。( ”) ：? 华趔墨旌l( 2 c o r n r ，( “) m ，。( v ) u 向和v 向的节点矢量分别为： u = o = = “l 一一p ，“p 小，i j r - p - i , “w = 蚱叫1 _ 一u ，= 1 】， ( 2 3 7 ) v = 【o = b = u = = k ，1 ，v s - q - 1 ，咋吖= k 叫卅= = k = 1 】， ( 2 3 8 ) 式( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 中，沿u 向和v 向节点矢量的节点数分别为( 什1 ) 和( s + 1 ) ， 其中r = m + p + 1 ，s = n + q + l 。 2 3 3 2n u r b s 曲线曲面的性质 有理双变量基函数r i p ；j , q ( “，v ) 与非有理b - s p l i n e 基函数相类似的性质： ( 1 ) 局部支承性质：r i , t , ；l , q ( ”，v ) = 0 ，当“芒k ，越 】或v v ，v ； ( 2 ) 权性：月。( 训) = 1 ： ( 3 ) 可微性：在每个子矩形域内所有偏导数存在，在重复度为f 的u 节点处 沿u 向是p r - 1 次连续可微，在重复度为s 的v 节点处沿v 向是q - s 1 次连续可微： ( 4 ) 极值：若p ，q 1 ，恒有一个极大值存在； ( 5 ) g 。v ) 是双变量b 样条基函数的推广。 n u r b s 曲面和n u r b s 曲线具有相似的几何性质，为了讨论方便，给出 n u r b s 曲线的性质： 1 局部性：p 次n u r b s 曲线上参数为“【珥，屿+ l 】c 。，+ 1 的一点p ( 甜) 至多与 p + 1 个控制顶点p 及其相联系的权因子，( ，= f ，i + l ，i + p ) 有关，与其它控 制顶点及权因子无关：另一方面，若移动p 次n u r b s 曲线上的一个控制顶 点0 或改变权因子，将仅影响定义在区间h ，“。+ ， c “，+ ，】上的曲线形状， 对其它部分不发生影响。 2 强凸包性：定义在非零节点区间 “，“。】c 【u p ，心+ ， 上的曲线段位于p + 1 个控 1 7 第二章曲面重构理论基础 制顶点只，p 。，0 + 。构成的凸包内。整条n u r b s 曲线位于定义各曲线段的 控制顶点凸包的并集内。凸包性成立的条件为所有权因子大于零。 在仿射和透视变换下具有不变性：曲线在旋转、平移、比例、剪切等线性变 换下保持形状不变，而且曲线形状不依赖于坐标系的选择。 在曲线定义域内参数连续可微。 若某权因子等于零，则相应控制顶点只对曲线没有影响。 非有理与有理贝齐尔曲线和非有理b s p l i n e 曲线是n u r b