（基础数学专业论文）分次λ扭hopf代数的分次对偶与完备性.pdf

唐晓丽分次兄一扭月砭矿代数的分次对偶与完备枉! 中文摘要 上世纪5 0 年代初，h h o p f 在研究李群的拓扑性质时引入了分次h o p f 代数的概 念。当日为h o p f 代数时，考虑( 右一模范畴) 和m ”( 右h 一余模范畴) 中的 h o p f 代数是人们感兴趣的课题。特别地，当日= 七g 时， ”中的h o p f 代数即为g 一 分次h o p f 代数。f i s c h m n 和m o n t g o m e r y 在文献 5 中给出了当日为余拟三角h o p f 代数时，右日一余模范畴m 8 中h o p f 代数的概念，并通过群g 的双特征标给出了一 般群g 一分次名一扭h o p f 代数的概念，并指出当g 为交换群时，g 一分次2 一扭h o p f 代 数即为硒涂模h o p f 代数。 本文主要对两个g 一分次a 一扭h o p f 代数的对偶关系进行了刻画，进一步研究了 它们之间的对偶完备性，最后对一类特殊的双积的对偶进行了研究。作为特殊情况， 还得到了通常h o p f 代数的一些结果。首先，我们介绍了群分次扭h o p f 代数的背景 知识，在第一部分给出了双特征标和g 一分次a 一扭h o p f 代数的有关概念和一些性 质，第二部分给出了两个g 一分次五一扭h o p f 代数的分次对偶的等价条件，即定理 2 4 ，作为推论得到了通常h o p f 代数的结果。 定理2 4 设曰，日均为局部有限的g 一分次a 一扭h o p f 代数， 是b 日 上的分次双线性型，则曰和日作为g 一分次五一扭h o p f 代数是分次对偶的当且仅当b 和日作为g 一分次z 一扭双代数是分次对偶的。 第三部分，讨论了两个强g 一分次五一扭h o p f 代数的对偶的完备性。首先绘出了 一个关于完备性的刻画，即定理3 2 定理3 2 设占，日均为g 一分次五一扭双代数，则b 和日的分次对偶是完备的当 且仅当b 1 = o ，日1 = o 。 在推论3 3 中讨论了通常的h o p f 代数b 和日的对偶完备性的充要条件，其次在 强g 一分次条件下得到了局部有限的a 一扭h o p f 代数曰，h 分次对偶完备性与 e ，日。作为h o p f 代数的对偶完备性的关系，即定理3 5 定理3 5 设口，日均为局部有限的强g 一分次五一扭h o p f 代数，且它们关于双线 扬州大学硕士学位论文! 型 是分次对偶的，则口，日的分次对偶是完备的当且仅当e ，皿作为h o p f 代 数的对偶是完备的。 在推论3 6 中，给出了局部有限的强g 一分次名一扭h o p f 代数四分次自对偶完备 性的充要条件。 最后，第四部分在g 是交换群的条件下讨论了两个g 一分次五一扭双代数( h o p f 代数) b ，日的分次对偶与双积b 七g ，h q k g 作为双代数( h o p f 代数) 对偶的 关系，即定理4 7 和定理4 8 定理4 7 设b = 0 口。，日= o 。是两个g 一分次五一扭双代数，且双特征标a 是 x c gz e g 对称的，则b ，日作为分次五一扭双代数是分次对偶的当且仅当b 后g ，日七g 作 为双代数是对偶的。 定理4 8 设b = 0b 。，日= 0 日。是两个g 一分次旯一扭h o p f 代数，曰和日的反 j e o艇u 极元为晶和品，且双特征标兄是对称的，则8 ，日作为分次兄一h o p f 代数是分次 对偶的当且仅当丑t g ，k g 作为h o p f 代数是对偶的。 唐晓丽分次五- 扭h o p f 代数的分次对偶与完备性 a b s t r a c t 3 e a r l yi nt h e1 9 5 0 s ，t h ec o n c e p to fg r a d e dh o p fa l g e b r aw a sd e r i v e df r o mt h e r e s e a r c ho fh h o p fr e l a t i n gt ot o p o g i c a lo fl i eg r o u p s t h ec a t e g o r i e so fi n t e r e s tt ou s 黜m n a n d m cc a t e g o r y o f m o d u l e sa n d o f c o m o d u l e s o v e ! r a g i v e n h o p f a l g e b r a l - 1 i np a r t i c u l a r , l e th = k g ，f o r c o m i s t so f t h eg - g r a d e dm o d u l e s ，h o p f a l g e b r a si nt h e c a t e g o r yo fk g - - c o m o d u l e sa g - g r a d e dh o p fa l g e b r a s f i s c h m a na n dm o n t g o m e r y g a v et h en o t i o no fh o p fa l g e b r a si n t h ec a t e g o r yo fh - c o m o d u l e s ，w h c l _ eh i sa c o q u a s i t r i a n g a l a rh o p fa l g e b r a si n 【5 】t h e nt h e yg a c et h ed e f i n i t i o no fg - g r a d e d 五- t w i s t e dh o p f a l g e b r a sf o ra n yg r o u pgb yt h eb i c h a r a e t e ra n ds t a t e dt h a to - g r a d e d a - t w i s t e dh o p f a l g e b r a sa r ek g - c o m o d u l eh o p f a l g e b r a sw h e ngi sa b e l i a n i nt h i sp a p e r , w ew i l lc o n s i d e rt h ed u a l i t yr e l a t i o n s h i po ft w og - g r a d e d 名- t w i s t e d h o p fa l g e b r a s , m o r e o v e rw ew i l lw o r ko nt h ep e r f e c td u a l i t yb e t w e e nt w og - g r a d e d 五- t w i s t e dh o p f a l g e b r a s ，t h e nw cw i l lc o n s i d e rt h ed u a l i t yo fas p e c i a lb i p r o d u e t i nt h e f i r s t ，w 0i n u o d u c et h eb a c k g r o u n do fg g r a d e d 名- t w i s t e dh o p f a l g e b r a s ，t h e ng i v et h e g e n e r a ln o t i o no f t h eb i c h a r a e t e ra n dg - g r a d e d , 2 - t w i s t e dh o p f a l g e b r a s i ns e c t i o n1 i n s e 斌i o n2 ，w eg i v et h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o no ft h eg r a d e dd u a l i t yi ：垲t w c e nt w og - g r a d e d 2 - t w i s t e ah o p f a l g e b r a s ，i e t h e o r e m 2 4l e tb ，hb et w ol o c a l l yf i n i t eg - g r a d e d t - t w i s t e dh o p f a l g e b r a s ，a n da b i l i n c a rf o r m - ，0 1 1b 日，t h e nba n dha r ei ng r a d e dd u a l i t ya sg - g r a d e d 2 - t w i s t e dh o p f a l g e b r a si fa n do n l yi fba n d 日a r ei ng r a d e dd u a l i t ya sg - g r a d e d a - t w i s t e db i a l g e b r a s i ns e c t i o n3 ，w ed i s c u s st h ep e r f e c td u a l i t yb e t w p nt w os t r o n g l yg - g r a d e d a - t w i s t e dh o p f a l g e b r a s ，i e t h e o r e m 3 2l e tba n dh b et w og - g r a d e d 名t w i s t e dh o p f a l g e b r a s ，t h e nt h eg r a d e d d u a l i t y b e t w c f f f l ba n d h i s p e r f e c t i f a n d o n l y i fb 1 = o 。1 2 0 t h e ni nt h ec o r o l l a r y3 3 ，w ed i s c u s st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f t h e p e r f e c td u a l i t yb e t w e e nt w ou s u a lh o p f a l g e b r a s w ea l s og i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w c o 1 t h eg r a d e dd u a l i t yo f t w ol o c a l l yf i n i t es t r o n g l yg - g r a d e d , t - t w i s t e dh o p f a l g e b r a sa n d t h ep e r f e c td u a l i t yo fb e h ea sh o p f a l g e b r a s ，i e 扬州大学硕士学位论文 4 t h e o r e m 3 5l e tb 。hb et w ol o c a l l yf i n i t es 仃o n g l yg - g r a d e d 九- t w i s t e dh o p f a l g e b r a s ，a n dt h eb i l i n e a rf o r m 是b a h 上的双线性型，称g - 分次名扭双代数 丑和日是分次对偶的，如果对任意x ，y ，p ，qe g ，诹最，6 y 毋，l q 玩，下面等式成立： = r p 。 - 扣 。 2 岛( 妨 r 是服从g _ 分次的，即对任意的工p g ，a x e b ，缉有 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) a x ，峪20 ( 2 5 ) 进一步，设b = ( 旦及，m a ，口，品) 和胃= ( 曼以，m 片，h ， “uj “ a l , ，昂) 是两个g 分次兄- 扭h o p f 代数，称曰和日作为g - 分次名一扭h o p f 代数是分次对偶的，如果b 和作为g - 分次名扭双代数是分次对偶的，且对任意 的x ，p g ，a x 鼠，岛满足以下等式： ( 岛( 以) ，h p = 是b 日上的分次双 堑缒埂兰三当! 鱼论蔓王旦 线性型，则曰和日是关于 分次对偶的充要条件是妒。l 矿均为g 分次代数同态。 ( 2 ) 若占，片是局部有限的，则曰和是分次对偶的充要条件是9 ( 或) 是 g 分次双代数同态。 下面我们证明当口，日是局部有限的g 分次五一扭h o p f 代数时，如果b ，h 作 为g - 分次力扭双代数是分次对偶的，则它们作为g 分次名扭h o p f 代数也是分次对 偶的。为此，我们先给出一个引理。 引理2 3 设口= 曼毋，日= 旦日，是g 分次名扭h o p f 代数，则口与h 间的 c v g - 分次双代数同态也是g - 分次h o p f 代数同态。 证明：设正曰一日是g - 分次双代数同态，只需证明s n f = 偈即可，下面只对 齐次元证明。 一方面，铲品印；( & 呶渺心) = 鹏 。) ) x = z 1 屯j 屯 2 厂( ( b x ) i b ) = 白( 以狄1 亩2 白( 以) i h = 甜h 知( b x ) 。 另一方面，扩踟( ”= ，呶) u ( k ) ) = 厂呶) 舶昂u ( 屯) 。) j 。饷y m 儿 2 勤( ，( 哟) 1 日= ( 妫i h = “日知( b x ) ，其中x g ，以风。 因此，s h f = f 岛，即正b 一日是g 分次双代数同态。 一 注：特别地，当取g = 和 时，b 与何为通常的h o p f 代数，作为推论可得曰与 间的双代数同态为占与日间h o p f 代数同态，就是文献 8 中的一个重要结果。 定理2 4 设b ，h 均为局部有限的g - 分次a 扭h o p f 代数， 是曰日上的 分次双线性型，则丑和日作为g 分次a 扭h o p f 代数是分次对偶的当且仅当日和日 作为g 分次名扭双代数是分次对偶的。 证明：必要性是显然的，下面证明充分性，只要证明岛( 以) ，以) = ( 以，岛 ( 凰) ) ，对于任意x g 成立即可。 由命题2 2 可知9 ：b 一日6 为g 分次双代数同态。因为日是局部有限的b 分 次z - 扭h o p f 代数，由推论1 5 ，则日6 是g - 分次名- 扭h o p f 代数。利用引理2 3 知矿 是一个g 分次h o p f ，故有妒岛= 研9 ，其中岛是b 的反极元，鄙是日6 唐晓丽分次五一扭h o p f 代数的分次对偶与完备性 旦 的反极元，所以对v 以风，凡皿，工g ，有 = 伊( 蹦参0 ) ( j = 辙伊( 蚴( 均= 矿( 昂) = ( 改，两( 投) ) 。 在证充分性时，也可用沙：月一曰6 类似地进行证明。 推论2 ，5 设口，日为通常的h o p f 代数，则占与日作为h o p f 代数是对偶的当且 仅当占与h 作为双代数是对偶的。 证明：在定理2 4 中取g = e 时即可 扬州大学硕士学位论文旦 3 完备性 本节主要讨论两个局部有限的强g 分次五- 扭h o p f 代数占，目的对偶的完备性 与e ，皿作为通常h o p f 代数对偶的完备性之间的关系。c h r i s t i a nk a s s e l 在文献 3 】 中已给出了两个双代数对偶完备性的定义。下面，我们首先给出两个b 分次五姐双 代数对偶完备性的定义，然后给出一些刻划。 定义3 1 设占，日均为g 分次五扭双代数， - 是bxh 上的分次双线性型， 称b ，h 关于 - ，的分次对偶是完备的，如果映射伊和均为单射。 定理3 2 设丑，胃均为g 分次五扭双代数，则曰和的分次对偶是完备的当且 仅当b 1 = h hi = 0 ，v x e g ，以鼠 = 0 ，h 1 = b bi = o ， v x e g ，圾皿 = 0 。 证明：先证必要性。任取h b 1 ，刚少( x 参沪 = 0 ，v x e g ，以鼠， 即y ( 户o 。又因为历的分次对偶是完备的，所以妒：上卜+ b 6 是单射，h = 0 ，故曰1 = o 。 同理，任取b h 1 ，则矿( 6 ) ( 鬼) = 是分次对偶的，则口，曰的分次对偶是完备的当且仅当e ，日。作为通常的 h o p 代数的对偶是完备的。 证明：因为丑，片关于 是分次对偶的，所以见，以是对偶的。由命题2 2 可知妒，缈均为g - 分次代数同态，又因为口，为局部有限的强g - 分次余代数， 所以俨，矿均为强g 分次代数。再由引理3 4 可知妒，为单射当且仅当 扬州大学硕士学位论文 纯：也一( 6 ) 。= ( 皿) ，虬：h e 专( b 6 ) 。= ( 鼠) 为单射，故嚣，日的分次对偶是 完备的当且仅当e ，皿作为h o p f 代数的对偶是完备的。 一 推论3 6 设b 是局部有限的强g - 分次五一扭h o p 代数，且占是分次自对偶的， 则占的分次自对偶是完备的当且仅当e 作为h o p f 代数的自对偶是完备的。 证明：在定理3 5 中取h = b 即可。 唐晓丽分次a h o p f 代数的分次对偶与完备性 旦 4 分次对偶与双积 以下恒设g 为交换群。 本节主要讨论并给出当占5 璺鼠，日2 曼也均为b 分次五扭h o p f 代数时， 双积曰施，日硒作为双代数( t t o p f 代数) 对偶的充要条件。s u s a n m o m g o m 髓y 在文献【2 】中给出了通常的双积的定义，为了方便，我们先给出双积b 七g 的定义如 下。 定义4 1 设b = o 最是一个左c o 模代数，那么s m a s h 积盘# a 3 定义如下： x e o ( 1 ) 作为七- 空间，b 孝k g = b o 船， ( 2 乘法定义为( k # 蒯够# 驴蜮毋助# 船， ( 3 ) 单位元为i n # 占， 其中v 以鼠，b 孕，x ，y ，毋，舒g ，蜀以2 名( 蜀，y ) 屯此时占孝七g 成为 一个七玳数。 定义4 2 设在右后g 余模范畴中b = o 盈是一个余代数，那么s m a s h 余积口# j e “ 施定义如下： ( 1 ) 作为七空间，b # 蝣= b o 埒， ( 2 ) 余乘法为a ( 以# 亩= b p # q g o # g ， 1 - p q ( 3 ) 余单位为占( 氏# 毋= 声文幼( 亩= f 武妨， 其中v 以风，6 p 昂，b e 岛，x ，p ，留，g g tp 鼬q ) = b q 固g 。此时b 群盂g 成为一个| i 余代数。 定义4 3 设曰= o 厦是左面g 模范畴中一个代数( 即口是一个g 一分次七一代数) ， 口= o 及是右后g 余模范畴中一个余代数( 即b 是一个g 一分次l i - 余代数) ，那么双 艇“ 积b 船定义如下： ( 1 ) 占# 章g 成为一个代数，( 2 ) b # 七g 成为一个余代数。 命题4 4 设丑= o 最是左j j g 模范畴中的代数，也是右后g 余模范畴中的余代数， 扬州大学硕士学位论文 三苎 那么口七g 成为一个双代数。 此外，若量6 作为h o p 代数时，设其反极元为岛g ，b 作为h o p f 代数时，反极 元为岛，那么肤g 成为一个h o p f 代数，反极元为s s 虾，满足岛舳g ( 以g ) = ( 1 口 阢o g ) ) ( 趴”* e ) - - - ( 1 a * ( x g ) 1 ) 似”曲= ( 甥) 一蹦”( x g ) 一，vx ，品e g ，氏最( 见文献 2 】) 。 下面为了讨论双积占k g 和日k g 作为双代数( h o p f 代数) 的对偶，我们先给 出一个引理。 引理4 5 设双特征标五：g g k + ，则尼g 作为双代数是自对偶的。 证豫：1 证之，霭为| ；l 幢1 9 2 ，g 沪；l 乜i ，g 办丸幢2 。g 由，丸q l ，g 毽沪丸t g i ，g 两；l t g i ， g s ) ，a 傅p 产l = e m ( g ) ，五0 ，g ) = l = 占坩( g ) ，v 毋e ，毋，9 2 ，g s g ，所以引理得 证。 一 推论4 6 设双特征标z ：g g 一矿，则后g 作为h o p f 代数是自对偶的。 证明：由引理4 5 可知，只还需要证明：t ( s 赢g d ，盘产五( g ，s “g g ) ，v g t ，9 2 g 即可。事实上，因为l = 五0 ，g 沪a 白白) 一，劝= 五( 幻，勘) 五( 哂) _ 1 ，g 力，所以 a ( 锄) - l 9 9 = 2 白，勃，又因为l = 丑协，g 产a ，g 如力1 户五协，动力哂，锄) - 1 ) ，所 以五嘶，1 产五哳，动一，即五( 白) 1 ，驴旯白，( g f f l ) ，故a ( 白) ，驴旯( ) ， 勃= 五( g f ，( g 力。产名( g 最g ( 9 2 ) ) 。 一 定理4 7 设b = o 皿，= 龟日。是两个g 分次五- 扭双代数，且双特征标a 是 ， # e o 对称的，则口，日作为分次五扭双代数是分次对偶的当且仅当占七g ，后g 作 为双代数是对偶的。 证明：先定义一个双线性映射 一，一 ：b k g 日七g k ， 【以毋，嵋g 刃2 力( 即，9 2 ) ， ( 再按线性扩张到整个占七g n * | 】；a 7 上去) ，其中vg j ，励，毒，p g ，以鼠， 易。下证必要性：即要证以下四个等式： 陋g i ) 9 2 ) g ，】= 限g ，2 9 3 】哆* 9 2 ，岛】 ( 1 ) i f f i l t l l 坟蜀，( 妫g ，) = x 2 9 ，g ：】眈颤，h q 岛】 ( 2 ) 唐晓丽分次五一扭h o p f 代数的分次对偶与完备性 旦 1 b p ，h p * g l = 口胃舯g ( g ) ( 3 ) 6 ，- k g ，l 司= f 口舳g ( 以宙 ( 4 ) 对于任意x , y ，g ，e ，p ，q ，g i ，9 2 ，9 3 ，f 2 。_ ，x 2 g ，艮最，匆毋，h q 岛， 岛e 珥，瓯，气e 纸，易，ke 氏，k 气成立a 事实上，( 1 ) 式左边= b , ( g l 助 k g l 9 2 ，岛毋 = 以五( 9 1 ，力6 ；k g l 9 2 ，h l 9 3 】 = 名( g l ，力【以如g 。9 2 ，岛鲥 z ( g l ，奶 五( g 1 9 2 ，9 3 ) = a ( g l ，力力( g ，g ，) z ( 9 2 , g a ) f 州止 ( 1 ) 式右边= 五( 毋，乞岛) 名，9 3 ) | 刊0 t 2 五白，d a 睡，曲五慨妫 ，q 2 当h = y 时，( 1 ) 式左边= ( 1 ) 式右边：当，2 y 时，( 1 ) 式左边= 0 = ( 1 ) 式 右边，所以( 1 ) 式成立。 ( 2 ) 式左边2 以g l ，纵9 2 。) 9 2 9 3 ) 。 以g l ，a ( ，g ) g ：白 5 a ( 9 2 ，g ) 【b x k g l ， a - 9 2 9 3 】 = ( 9 2 ，们 a ( g i ，9 2 9 3 ) = z ，q ) ；t ( g z ，妫名西，鲥 j 时i h ( 2 ) 式右边= 2 ( x 2 9 l ，g 力 a ( 鼽g ，) 肛而矗 = z ，鲥z 锄，蚴名白，鲥 蚴屯 = ( 九， k ( g z , x 2 ) z ( g l ，g 力a 囟，曲 p 饷 当研即时，( 2 ) 式左边= ( 2 ) 式右边；当x z ：q 时，( 2 ) 式左边= 02 ( 2 ) 式 塑趔太堂硕士堂鱼望文 丝 右边，所以( 2 ) 式成立。 ( 3 ) 式左边= 五( 岛g 户占面哟占6 圆= 占d 助= ( 3 ) 式右边，所以( 3 ) 式 成立。 ( 4 ) 式左边= t 眩e ) = 占羽嗡f 坩圆= 占娟嗡= ( 4 ) 式右边，所以( 4 ) 式 成立。 再证充分性，即要证以下四个等式： = ( 5 ) t f f i l d ： 。 x , - x l = 层“助( 7 ) t 瓴，i n = 占“妫( 8 ) 因为( 5 ) 式的右边2 限毛之】哆b 司 j 叫，1 = ( k e ) ( b y * e ) ，i l ，p = 以b y * e ，两e = ；( 5 ) 式的左边， 所以( 5 ) 式成立。 因为( 6 ) 式的右边= 呶x 2 ，h e * e 【p ，h q r e j x l x 2 = 以“h p * e x h q 0 2 以p ，h p h q e = = ( 6 ) 式的左边， 所以( 6 ) 式成立。 因为( 7 ) 式的左边= 【l 口岛p 】- f h 惦( p ) = 占反再5 p 产( 7 ) 式的右边，所以( 7 ) 式成立。 因为( 8 ) 式的左边= 【以岛l 耳p 】= 占置- 船( 以# ) = s 。( 6 沪( 8 ) 式的右边，所以( 8 ) 式成立。 综上该定理得证。 一 唐晓丽分次2 一扭h o p f 代数的分次对偶与完备性 型 定理4 8 设b = 0 风，h = 哆h 。是两个g - 分次旯扭h o p f 代数，口和日的反极 x e ux 元为和岛，且双特征标五是对称的，则口，日作为分次a - 扭h o p f 代数是分次对 偶的当且仅当曰k g ，h k g 作为h o p f 代数是对偶的。 证明：因为岛和s 日均为分次同态，所以 枷( 以舶) = ( 工动。1 蹦妫( 工动1 咧( x 动一妫( 工动1 气s ：文五( ( 茗占p ，工) 蠡j ( x 占) ) 1 = 2 i ( x 动一，x ) s n o ，) ( x 力一， 踮船( 妙= ( 剞一毋锄0 1 = 函( ( 埘圹助( 埘 = 蹦五( ( 且盛) ，功助( 强) 1 = a ( ( p 9 2 ) 一，p ) s d 毋( p g z ) ， 其中x ，p ，g t ，9 2 e g ，b e 鼠，日， 下面先证必要性：由定理4 7 可知只要证明下式成立。 鼢螂( 以苫1 ) ，如列= 【幻b l ，鼢船劝】 ( 9 ) 事实上，( 9 ) 式左边= 五( ( 工g ) 一，x ) 【曲( 的( x g 。) 一，g ：】 = a ( ( xg i ) 一，z ) a ( ( x9 1 ) ，9 2 ) - - - a , ( ( 膏g i ) - l j 工9 2 ) ，妒 = 名( 工g l ，茗9 2 ) “ = ( 以，翰( 助) ( 1 0 ) 事实上，( 1 0 ) 式左边= 【函( 以毋) ，h p * 9 2 力( 鼻g ，x 9 2 ) - 1 = 【以蛔，s , 船( h p k 9 2 ) g ( x g l ，x g f f l ( 1 0 ) 式右边= 【以毋，岛船( h p k 9 2 ) 五( 曙，p 9 2 ) 1 当x 7 时；( 1 0 ) 式左边= ( 1 0 ) 式右边；当工卸时，( 1 0 ) 式左边= 0 = ( 1 0 ) 式右边， 所以( 1 0 ) 式成立 综上该定理得证。 唐晓丽分次五一扭h o p f 代数的分次对偶与完备性 参考文献 【l 】d r i n f e l dv g ，q u a n t u mg r o u p s ，i np r o c i n t c o n g m a t h ( b e r k e l e y , 1 9 8 甄7 9 8 - 8 2 0 a i n e r m a t h s o c ，p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 8 7 m r8 9 f ：1 7 0 1 7 【2 】m o n t g o m e r ys ，h o p fa l g e b r a sa n dt h e i ra c t i o n s0 1 1 1r i n g s i m ，c b m sp e g c o n f s e r i e s8 2 ，p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 9 3 【3 】k a s s e lc ，q u a n t u mg r o u p s i m ，s p r i n g e r - v e f l a g ，n e wy o r k , 1 9 9 5 【4 】j i a n - h u as u n , s o m e r e s u l t so ft h es m a s hp r o d u c ta s s o c i a t e dw i t hag - d r a d e dp a n g a n dag - s e t , j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha n de x p o s i t i o nv 0 1 1 6n o 3 1 9 9 6 1 5 】f i s e h m a nd ，m o n t g o m e r ys ，as h u rd o u b l ec e n t r a l i z e rt h e o r e mf o rc o t r i a n g u l a rh o p f a l g e b r a sa n dg e n e r a l i z e dl i ea l g e b r a s ，j a l g e b r a l 6 8 ( 1 9 9 4 ) ，5 9 4 - 6 1 4 6 】w e i l a ，s u r c e r t a l n $ g r o u p s d o p e r a t e u r s u n i t a i r e s , a c t a m a t h 1 1 1 ( 1 9 6 4 ) ，1 4 5 【7 】t a k e u c h im ，m a t c h e dp a i r so f g r o u p sa n db i s m a s hp r o d u c t so f h o p f a l g e b r a s ，c o m m a l g c b r a 9 ( 1 9 8 1 ) ，8 4 1 8 8 2 m r8 3 f ：1 6 0 1 3 f 8 】s w e e d l e rm ，h o p f a l g e b r a , n e wy o r k ：b e n j a m i n