（基础数学专业论文）半格顶点代数的表示与tkk代数的分次自同构群.pdf

摘要 顶点代数是二十世纪末发展起来的一类新的数学研究对象，它与仿射k a e m o o d y 代数的表示理论以及物理中的共形场理论有紧密的联系( b o l ，m s ) 格顶点代数是最重要、最基本的顶点代数之一 s b e r m a n 、c d o n g 和s t a n 研究了与t o r o i d a l 李代数的表示理论有关的所谓“半格”顶点代数 ( b d t ) 设l 是个偶格，屹是相应于己的格顶点代数作为向量空间，屹 是对称代数s ( h o c t - 1 c t - 1 】) 和群代数c l 的张量积，其中h = c o zl 【b d t 中考虑的格l 由c i ，d i ( i = 1 ，) 张成，并有一个z 一值双线性型 ( ，) 使得：( 白，勺) = ( d i ，d j ) = 0 ，( 白，呜) = 6 i , j s b e r m a n 、c d o n g 和 s t a n 将半格顶点代数定义为 v ：= s ( h ct - 1 c t 一1 】) o cc l o ， i ， 其中l c = e z q 半格顶点代数y 是格顶点代数屹的一个顶点子代数。 t = 1 s b e r m a n 、c d o n g 和s t a n 定义了一个结合代数a 4 由e q 和也 生成，满足生成关系： e o = 1 ，e a + b = e a e p ，d i e 口一e a d i = ( d i ，q ) e 口，也奶= d j d i ， 其中a ，p l c ，1si ，j 更重要的是，他们证明了结合代数a 的( 不可 约) 表示与半格顶点代数y 的( 不可约) 表示之间有一个一一对应他们可以 由a 的一个( 不可约) 表示构造出y 的一个( 不可约) 表示，也可以由y 的一 个( 不可约) 表示得到4 的一个( 不可约) 表示这就意味着，为结合代数4 寻找更多表示的工作是很有意义的 在本论文的第一章，我们首先定义了一个结合代数a q 设q = ( q i j ) 是 一个元素都是非零复数的复矩阵，并且满足条件： 吼t = 1 ， = 啄1 ， ( 1 i ，j ) 结合代数a q 由e n ，d i 生成，满足生成关系： e 。= 1 ，e q e o = ( i i 谚啦) e 口+ 卢，d t e a e 口d t = ( d i ，乜) e q ，以嘭= 彩也， 1 t j p 其中a = et 1 1 i c i ，p = n c t l c ，1 i ，j 当q 的所有元素都为1 i = 1 = 1 时，结合代数a q 就是 b d t 中定义的结合代数a 接下来，我们构造了两 类不可约a q 一模：v ( a 1 i 一，a _ 1 b ) 和v ( a ) 另外，我们也研究了这两类 模的自同构群 a 1 型扩张仿射李代数的分类依赖于从欧氏空间中的半格构造的t k k 代 数从欧氏空间的一个半格s 出发，可以定义一个j o r d a n 代数了( s ) ，然后 利用所谓的t i t s - k a n t o r k o e c h e r 构造法可以得到一个t k k 代数，进而得到 一个a 1 型的扩张仿射李代数b a l l i s o n 、n a z a m 和s b e r m a n 等人证明 了，欧氏空间掣中半格的相似等价类与n u l l i t y 为的a 1 型扩张仿射根系的 同构等价类一一对应( a a b g p ) 在欧氏空间r 2 中，只有两个不相似的半 格s 和s 7 ，其中s 是格而s 7 是非格半格j o r d a n 代数了( s ) 和了( s 7 ) 都有 一个自然的z 2 一分次这个分次自然地诱导出t k k 代数乡( 歹( s ) ) 和b a b y t k k 代数9 ( 了( s ，) ) 上的一个z 2 一分次在本论文的第二章，我们分别研究 了t k k 代数乡( 歹( s ) ) 和b a b yt k k 代数9 ( 歹( s ，) ) 的z 2 一分次自同构群 关键词：半格顶点代数、表示、j o r d a n 代数、t k k 代数、分次自同构群 i v a b s t r a c t v e r t e xa l g e b r a sa r ean e wc l a s so fm a t h e m a t i c a lo b j e c td e v e l o p e di nt h e e n do ft h et w e n t i e t hc e n t u r y t h e i rd e f i n i t i o ni sw e l lm o t i v a t e db o t hb yr e p r e - s e n t a t i o nt h e o r yo fa f f i n ek a u c m o o d ya l g e b r a sa n dt h ec o n f o r m a lf i e l dt h e o r y i np h y s i c s ( c f b o l ，m s ) t h el a t t i c ev e r t e xa l g e b r a sf o r mo n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta n df u n d a - m e n t a lc l a s s e so fv e r t e xa l g e b r a s s b e r m a n ，c d o n ga n ds t a ns t u d i e d t h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yf o rc e r t a i n “h a l fl a t t i c e ”v e r t e xa l g e b r a sw h i c h a r er e l a t e dt ot h es t u d y i n go ft h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yf o rt o r o i d a ll i ea l g e b r a s ( b d t ) l e tl b ea ne v e nl a t t i c ea n dl e t 圪b et h ea s s o c i a t e dl a t t i c e v e r t e xa l g e b r a a sav e c t o rs p a c e ，v li st h et e n s o rp r o d u c to fas y m m e t r i c a l g e b r as ( h 圆c 。c t - 1 】) w i t hag r o u pa l g e b r ac l 】w h e r eh = co zl t h e l a t t i c elc o n s i d e r e di n b d t 】i ss p a n n e db y 白，也f o ri = 1 ，w i t ht h e z b i l i n e a rf o r md e t e r m i n e db y ( c ，勺) = ( 也，d j ) = 0a n d ( q ，d j ) = 瓯，j t h e h a l fl a t t i c ev e r t e xa l g e b r avi st h e nd e f i n e dt ob e s ( h ct - 1 c t 一1 ) o cc l c ， | ， w h e r el c = z q t h eh a l fl a t t i c ev e r t e xa l g e b r avi sav e r t e xs u b a j g e b r a i = 1 o ft h el a t t i c ev e r t e xa l g e b r av l t h ea u t h o r so f b d t 】d e f i n e da na s s o c i a t i v ea l g e b r aa ，w h i c hi sg e n e r a t e d b ye qa n dd i ，s u b j e c tt ot h er e l a t i o n s e 021 ， e a + 口2e a e 口，也e 口一e a d i = ( d i ，q ) e o ，d i 呜= 奶也 f o rq ，卢l c ，1 i ，j 工，f u r t h e r m o r e ，t h e yg a v eao n e - t o - o n ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h e ( i r r e d u c i b l e ) a m o d u l e sa n dt h ef i r r e d u c i b l e ) m o d u l e so f t h eh a l fl a t t i c ev e r t e xa l g e b r av t h a ti s ，t h e yc o u l dc o n s t r u c ta n ( i r r e d u c i b l e ) v m o d u l ef r o ma n ( i r r e d u c i b l e ) a m o d u l ea n dc o n s t r u c ta o _ ( i r r e d u c i b l e ) a m o d u l ef r o ma n ( i r r e d u c i b l e ) v m o d u l e t h i sa l s om e a n st h a tt h ew o r kt o c o n s t r u c tm o r er e p r e s e n t a t i o n so ft h ea s s o c i a t i v ea l g e b r aai sm e a n i n g f u l v i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w ef i r s td e f i n ea na s s o c i a t i v ea l g e b r a a q l e tq = ( ) b ea n y x m a t r i xo fn o n z e r oc o m p l e xn u m b e r sw h i c h s a t i s f y q u = l ，= 赈1 ，( 1 i ，j ) ， a n da qb et h ea s s o c i a t i v ea l g e b r a g e n e r a t e db ye a ，也，s u b j e c tt ot h er e l a t i o n s e 0 = 1 ，e q e l 3 = ( l i o ：非负整数集； z o ：非正整数集； 刀：元素都是整数的元数组全体构成的集合； g l 2 ( c ) ：复数域c 上的2 2 可逆矩阵全体构成的集合； g l 2 ( z ) ：整数环上的2 2 可逆矩阵全体构成的集合； z 2 ：只含元素4 - 1 的二元群； s f 2 ( c ) ：复数域c 上的三维单李代数； p g l 2 ( c ) t 复数域c 上的维射影群 第一章半格顶点代数的表示 7 第一章半格顶点代数的表示 1 1 引言 顶点代数理论在无限维李理论的研究中占有重要的部分首先，让我们回顾 下顶点代数及其模的定义( b d t ) 设y 是个向量空间，如果y 满足下列条件： ( 1 ) 存在个从y 到( e n d v ) z ，z - 1 的线 生映射y ，使得： uh y ( 叩) = z 叫， n e z 其中v kv n e n d v ； ( 2 ) 对任意u ，v v ，当n 足够大时有： a n y = 0 ； ( 3 ) 存在个向量1 v 使得： z ( 1 ，z ) = 1 ， y ( u ，z ) l v 【z 】 ，v 钆1 k u m ：o y ( u ，z ) l = 钆， v u 矿 ( 4 ) 存在y 上的个缙隆变换d 使得 【d ，y ( 乱，2 ) = d d z y ( u ，z ) = y ( d u ，z ) ，v u 矿 ( 5 ) 对任意u ， v ，有j a c o b i 等式成立： z 0 1 6 ( 垒_ 三兰) y ，z 1 ) y ( ，z 2 ) 一z 0 1 j ( 丝二) y ( u ，z 2 ) y ( u ，z 1 ) nz n = 相等) y ( y ( u m z o ) z 。) ， 则称四元组( vy 1 ，d ) 为个顶点代数 设y 是个顶点代数，w 是个向量空间，如果存在个线性映射 y w ：v _ ( e n d w ) z ，z - 1 】 8厦门大学理学博士学位论文 满足条件： ( i ) 对任意u vw w ，当n 足够大时有：u n w = 0 ； ( i i ) 蜥( 1 ，z ) = 1 ； ( i i i ) 对任意札，u v ，有j a z o b i 等式成立： 石1 6 ( 等) 蜥( 仳栩) 蜥( 郴。) 一z 0 1 6 ( 笔孚) ( 吣z ) 蜥( u 渤) = 虿6 ( 军旦) 蜥( y ( u ，z o ) 郴。) ， 则称w 是个y 一模 在顶点代数中，格顶点代数( b 0 2 ，f l m ) 是最重要、最基本的类格顶点 代数已经被从不同的角度广泛地研究( f l m ，d ，d l m 2 ，d l m 3 ，d l ) 而 b d t 的作者研究了与t o r o i d a l 李代数( b b ，b b s ，e m ，m r y ) 表示理论有关的所谓 “半格”顶点代数的表示理论设l 是个偶格，圪是相应于l 的格顶点代 数作为向量空间，屹是对称代数s ( h 圆ct - 1 c t _ 1 】) 与群代数c l 】的张量 积，其中h = co zl ，即 v l = s ( ho ct - a c t _ 1 】) o cc 4 设 l c = 0 z q ， 上d = 0 z 也 i = 1i = l 令l ：= l c + l d ，并在l 上定义对称双线性型( ，) ： ( c i ，d j ) = 吩，( c i ，勺) = ( d i d j ) = 0 ，1 i ， 则l 是个偶格 b d t 中研究的所谓的“半格”顶点代数就是 v ：= s ( h 圆ct - 1 c t - 1 】) q cc l c 半格顶点代数y 是格顶点代数圪的个顶点子代数 为了研究半格顶点代数y 的表示， b d t 的作者先构造了个结合代数 a a 由e q 和d i 生成，并且满足如下关系： e 0 = 1 ，e a + 口= e a 印，d i e 口一e 口d i = ( d i ，q ) e q ，d i d j = d j d i ， 第一章半格顶点代数的表示 9 其中a ，卢l c ，1 i ，j 他们给出了结合代数a 的( 不可约) 模与半 格顶点代数y 的( 不可约) 模之间的个对应也就是说，他们能够从结合 代数a 的( 不可约) 模构造出半格顶点代数y 的( 不可约) 模，也可以从半格顶 点代数v 的( 不可约) 模构造出结合代数a 的( 不可约) 模这也意味着，要构 造半格顶点代数y 的模，只需要去寻找结合代数a 的模当= 2 ，3 时， c y e 、s l i n 、y w u 和b x i n 等人给结合代数a 构造了些表示( y 2 ，l w 2 ， l x ) 在本章的第二节和第三节，我们将对般情况给出结合代数a 的表示。 设q = ( ) 是任意个元素为非零复数的矩阵，并且满足 q u21 ，= 啄1 ，( 1 t ，j ) 设a q 是由e d ，d t 生成的结合代数，满足生成关系： e o = 1 ，e a e 卢= ( i i 秽m ) e n + f l ，d i e q e c , d i = ( d i ，0 f ) e q ，也嘭= d j d i ， 1 t j p p 其中q = m t q ，= n i c i l c ，1 t ，j 当矩阵q 的所有元 素都为1 时，结合代数a q 就是b d t 中定义的结合代数4 另外，结合 代数a q 有个由e a ，q l c 生成的子代数c q 同构于所谓的“量子环面” 陋丰1 ，z 。4 - 1 ( b g k 】) ，同构映射为 p ：e qh z ? 1 z 罗”，v a = 仇t 白 i = 1 我们已经知道，要构造半格顶点代数y 的表示，只需要构造结合代数a 的 表示在本章，我们考虑更般的情形，去研究结合代数a q 的表示我们将在 第二节和第三节分别构造两类不可约a o - 模，并且研究这它们的自同构群 1 2 不可约模v ( a l ，a u - 1 ，b ) 设a 1 ，a p 一1 是任意固定的一1 个复数，b 是任意固定的个非零复 数。我们在向量空间 v ( a l j ，a p “b ) ：= c 时1 ，t ，+ 1 ，lt p 1 0 厦门大学理学博士学位论文 上定义结合代数a q 的作用： t 7 ) ，( ( 1 j s 也f = t a 厂+ a i f ， d p f = ， 其中 毋) t l ，(n 2 j i ， ( i = 1 ，v 一1 ) 秽) 2 ，g 裟1 t 川，t p m ，) ， f = f ( t x ，t ) v ( a l ，a v - 1 ，6 ) ，q = m i c i t = 1 l c ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 定理i f 2 - f向量空间v ( a l ，a v - 1 ，b ) 在f ，j 2 f j n 2 砂式定义的作用 下成为一个a q - 模 证明：我们只需考虑a q 在向量空间v ( a a ，a u - 1 ，b ) 中单项式上的作 工， 用对f = ( r l ，) z p ，口= m i c i l c ，由( 1 2 1 ) - ( 1 2 3 ) ，我们有 i - - - - 1 e 口f = b m ”( p 一1 秽n ) ( n 竹) ( p m ) ， 1 s i j v i = 1 d i t f = ( r i + a i ) t f ， d p t = t p 一 显然有e o t f = 1 t f 1 ， 对o t = m i c 4 ， i = 1 ( i = 1 ，v 一1 ) ， n i c i l c ，我们有 e 口e p t 于= e a b n ”( 劬n i j n ) ( b m v ( i i = ( 1 t 王， 1 s i j l ， v 一1 ? i - l - r i ) ( 一) r f p 一1 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 谚n m t ) 6 n ”( i i 帝n ) ( t 7 m 卅) ( 亡p m p 一凡p ) r p l i j v i = 1 秽m ) 6 m 棚”( 1 t j p l ，一1 q j m j 训n ) ( 1 i j i = 1t ：m 汁毗+ n ) ( p 一( m p + 几p ) ) r ” 试 ，l p m 6 i l ， 口 e p 两 = p l n 1 i j p 第一章半格顶点代数的表示 秽m ) e 州t f l c ，i = 1 ，p 1 ，我们有 ( d i e a e q d i ) t 7 = d i b m ( l i j v ( m l + n + a i ) b m ( 露，) ( l i j v 一( n + o t ) 6 m ”( m t b m ( 另外，有 1 i j z + r ) ( p m ) p 秽n ) ( 妒n ) ( 1 i j s p 一1 秽n ) ( ( 也e q e 。d p ) t f = d v b m ”( i i 护( 1 i ” 1 l e 口( n + n i ) 矿 t + r ) ( t 一m v ) r v 艺押) ( 芒y m y ) ” 扣) ( 芒一m ) p = ( d t ，a ) e 口t f 王，一1 秽n ) ( 柑) ( t 。一m ) 7 ” 1 t j v i = l p 一1 劬r n 。i n ) ( n r n ) ( 亡，一m p ) 7 p m p b m ”( i i l i j v i = 1 工，一1 t + r ) ( 0 一m ) r p “ 妒n ) ( b m ”( 1 i o ，我们令q = r i c i ，则有 i = 1 t ：1 彩= 影e a 1 m 于是对任意f c t 丰1 ，t 磬1 ，t y 】，都有f m ，这意味着 v ( a l ，a v _ l ，b ) = m ， 即y ( a 1 ，a p 一1 ，b ) 是个不可约a q - 模 设a 1 ，a v - 1 ，o t l ，n ：一1 c ，b ，6 ，c + ，而 y ( a 1 一，a v - 1 ，6 ) ，y ( o ：，o ：1 b 7 ) 是两个a q 一模，下面我们给出它们同构的充分必要条件 口 第一章半格顶点代数的表示1 3 定理1 2 3 设v ( a l ，a v - 1 ，6 ) ，y ( n ：，口：一1 ，b 7 ) 是两个由以2 j ，一 f ，j 2 圳定义的a q - 模，则 v ( a l ，a u - 1 ，b ) 当且仅当存在k 1 ，k p 一1 z 使得 使得 兰v ( a 1 ，o ：一1 ，b 7 ) a i + k i = o ：( i = 1 ，一1 ) ， 王，一1 ( i iq 笼) 6 = b 7 t = 1 证明：充分性假设存在k 1 ，k p 一1 z 使得 a i + k i = a ： 我们定义个线性映射 ( i = 1 ，一1 ) ， p 一1 ( i iq ：i ) b = 6 ， t = 1 p ：v ( a l ，n p 一1 ，b ) _ v ( a 1 ，a i ，一1 ，b 7 ) p ( t ) = ( 毋刊) 矿一， 1 i j s v - - 1 其中t f c t 手1 ，t 芑1 ，t p 为单项式，f = ( r 1 1 一，) ，乏= ( k 1 ，k p 一1 ，0 ) z 使得 容易验证p 是个向量空间同构事实上，如果定义线性映射 p 一1：y ( o i ，n ：“b 7 ) 一y ( 0 1 ，a p 一1 ，b ) p - 1 ( 矿) = ( i i 1 t j s 一1 乃r j ) ， 贝_ 茸p - l p = i d l y ( 口1 ，a ，一l ，6 ) ，p p 一1 = i d l y ( 口；，口：一1 ，6 ，) 现在，我们来证明p 是个a q - 模同态。对任意的单项式 t c 时1 ，t 磬1 ，吼 1 4 厦门大学理学博士学位论文 我们有 p ( e a t f ) = p ( b m ”( i i n 1 i j v - 1 一1 1 i j p q j y n ) ( 王，一1 毋一叻刊) 6 m ”( + n ) ( p m ) ) l i j v 6 肿”( i iq v - - i m 成) ( q j 嘶in ) ( i = 1 l i j v 工，一1 秽n ) ( t 7 汁r t “) ( p m ，) 7 ” t = 1 i i 啄叻) l _ i j _ v - - 1 王，一1 q ( j k j - r j ) k i ) ( t + r - k i ) ( p m p ) r p l _ i j _ v - - 1 i = 1 = b 7 m 。r 工，一1 秽n 以t ) ( i iq j k j - r j ) k i ) ( 矿e r r 机以) ( t p m p ) 7 p l i j vl _ i j _ v - 1 i = 1 = e 口( i i 1 t j p 一1q j q j i k j 一勺一一= e a p ( t 9 ) 工， 其中o l = m i c i l c i = 1 另外，我们有 j d ( 以t 9 ) = p ( t p t f ) = 亡p ( i i 1 i j v - 1 q j t k j - r j ) k 1 ) t f 一五= = d p p ( t f ) ， p ( d t ) = j d ( ( n + 。t ) 矿) = ( n + n t ) (i i 够( k t 3 一勺) 矿一盂 ( r i - - k i + n ：) ( l i j v - 1 l i j p 一1 毋刊h ) 卜盂= 以( 1 i j | ，一1 其中i = 1 ，一1 因此，p 是个a o - 模同构充分性得证 必要性假设 v ( a l ，a v - 1 ，b ) 毋- r j ) k i ) t 卜盂= 也p ( t f ) ， 竺v ( a i ，o ：一1 ，6 ，) ， 湖 第一章半格顶点代数的表示 1 5 并且 p ：v ( a l ，a u - 1 ，b ) _ y ( o ；，o f p _ 1 b 7 ) 是a q 一模同构使得j d ( ，) = 1 ，其中，= ，( 1 ，t v ) c 时1 ，t 甚1 ，t p 为 某个非零元素。那么，由 p ( t i o j + a j ) = p ( d i ，) = d i p ( y ) = 比1 = n ：= p ( o ：，) ， 可得 t i 侥，= ( n ：一a d y ( 1 2 7 ) 上式意味着，= 皆g i ( i = 1 ，一1 ) ，其中k t 为某个整数， g i2 g t ( t t ，t i + l ，t y - 1 p ) c 时1 ，t 昌，t 荔，t ，+ - 1 lt 于是，存在k i z 使得a i + k i = t ，( i = 1 ，一1 ) 这样，我们就可以将 ，写成厂：( 百t ? t ) 夕，其中9 ：夕( t p ) c 】 t = 1 另外，我们有 p ( b1 7 ( q 圳9 ( t p 一1 ) ) = j d ( e 驴，) = e p ( ，) = 6 7 = p ( 6 ，) = p ( 6 ，( ) ， t 2 l i = 1 这意味着 u - - 1 | ，一1v - - 1 6 ( 袁) ( ( o 一1 ) = 6 7 ( ( t p ) ( 1 2 8 ) i = 1i = 1 i = 1 一1 由上式可得( 兀袁) 6 = b 7 并且g 是个非零常数 综匕所述，可知存在k 1 ，k p 一1 z 使得 a i + k i = a ：( i = 1 ，一1 ) ， 从而完成必要性的证明口 在本节末尾，我们来研究一下a q 一模y ( a 1 ，o p 一1 ，b ) 的自同构事实 上，我们有： 矿 = b m g 州n 澍 1 6厦门大学理学博士学位论文 定理f 2 彳设v ( a 1 ，a y 一1 ，b ) 是由以2 j ) - p 2 圳式定义的a q - 模， a u t ( v ( a 1 ，a v - 1 ，6 ) ) 是v ( a l ，a u - 1 ，b ) 的自同构群，则 a u t ( v ( a l ，a u - 1 ，6 ) ) 垡c + 证明：设c 是任j 零复数。容易看出c ，是a q - 模v ( a l ，a u - 1 ，b ) 的个自同构，其中j 是恒等映射 假设p 是a q 一模y ( 凸1 ，a p 一1 ，b ) 的个自同构并且p ( 1 ) = f ，其中， c 陋手1 ，拦1 ，t p 为某个非零元素于是p _ 1 也是a q 一模v ( a l ，a v - 1 ，b ) 的个自同构并且p - 1 ( ，) = 1 由定理1 2 3 的证明过程，我们知道，是个 非零常数，即p ( 1 ) = c c + 对任意r 1 ，r u _ 1 z ，z o ，令o l = er i 0 4 ，则有 l = l l ， p j d ( ) = j d ( 影e a 1 ) = 影e a j d ( 1 ) = 影e “= c i i z ， i = 1 i = l 这意味着对任意厂v ( a l ，a v - 1 ，b ) 都有p ( f ) = c f ，即p = c i 因此，我们得到 a u t ( v ( a l ，a u - 1 ，b ) ) 兰c + 口 l 3 不可约模y ( 瓦) 在这节，我们将构造另一类a q - 模 对任意固定的 五= ( a l ，a p ) ( c + ) p ， p p 对f = ( r 1 ，) 刀，我们用矿，t f 分别表示兀o ，l - i 审现在我们如下 i = 1i = 1 定义结合代数a q 在向量空间y ( a ) 上的作用： e q ，= 护护州n 茹) t ，( i i 谚) z ，啦，t 川，t ) ， ( 1 3 1 ) 1 j s p2 j p l 士p 1 士1 c = 、l ， 一0 j 矿 令 其中 第一章半格顶点代数的表示 哦，= t , o , f ， f t = 厂= ，( t 1 ，t p ) 1 ，2 ，) 定理f 3 j向量空间y ( 瓦) 在 a q - 模 仇t c i l c 1 7 ( 1 3 2 ) ( 1 3 1 ) 一( 1 3 2 ) 或定叉崴作黑下成为一个 证明： 我们只需考虑结合代数a q 在y ( 五) 中单项式上的作用由( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 式，我们有 g a - t 7 = a m f d i t 7 = r i t 1 s i j v ( i = 秽n ) t 斛9 ， 1 ，) ， 显然有e o t f = 1 t f p 对任意q = m q ，p = 白l c ，我们有 t = 1i = l e 却t 9 = e 撕元( n 靖 ) 亡9 l i j v a m + n ( i iq , 7 n t + n + 7 u n 、乱+ 元+ f 1 i j l ， = ( i i 秽m ) 五伉+ 元( i i 西+ 咖i ) ( 吼删+ f l i j v 1 i j 5 y 1 i j p 秽m ) e 叶卢t f ， 1 1 而对于q = m i e i l c ，i = 1 ，2 ，则有 i = 1 ( 吨e - e 口d i ) t f = d i g z 慨( 1 - i l i j v ( m t + r i ) r 佩( i i = m t 五m ( 秽n ) 护啊一e 口以t f l i j v 1 s i j v v i m i ) t 伉+ 一r i g t 佩( q , 7 n1 t 佩+ f 谚n ) 褂f 1 i j s 工， ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 斟 = 口 、， 一0 ，、 矿 z 0 r 1p = 一r d mm = 佩 c l q m p 商 = & 中其 1 8厦门大学理学博士学位论文 = ( 也，a ) e 口t f 另外，显然有 d i d j 厂= d j 也f ，( 1 i ，歹) 综上所述，可知v ( a ) 是个a q - - 模 口 关于a q 一模v ( a ) ，我们有 定理_ ! 3 2v ( a ) 是不可约a q - 模 证明： 设m 是a q 一模v ( a ) 的任意个非零子模，= f ( t l ，t p ) 是 m 中的个非零元素 考虑到e 口对厂的作用，我们可以假设，c t x ，t 2 ，t p 】 设厂关于变量t 1 的最高次数为r 1 ，则我们将e - c l d l 在，上作用r 1 次得 到个非零元素 mnc t 2 ，t p 】设 关于变量t 2 的最高次数为1 2 ， 则我们将e - c 2 d 2 在 上作用r 2 次得到个j e 零元素f 2 mnc t 3 ，t p 重复匕述过程，我们最后可以得到 是m 中的个非零常数，从而1 m 对任意f = ( r l ，r v ) 彩，令7 = n c t ，则有e 1 1 = 矿矿m ，因而 t f m 于是，对任意，c 1 ，軎1 都有s m 这意味着v ( a ) = m ， 亦即v ( a ) 是不可约a q 一模 口 最后，关于a q 一模v ( a ) 的自同构，我们有下面的结论： 定理- ! 3 3a u t ( v ( 五t ) ) 型c + 证明：容易看出，对任意c c + ，c i 是v ( a ) 上的自同构，其中j 是恒 等映射 设p 是v ( a ) 的个自同构，并且p ( 1 ) = h ，其中0 h c 时1 ，步1 于是，p 一1 也是v ( a ) 的自同构并且p - 1 ( ) = 1 对于i = 1 ，2 ，我们有 p - 1 ( d t h ) = d i p 一1 ( 九) = d 1 = 0 ， 这意味着d i h = 0 ，即h 与t i 无关因此，h c + p 一 另外，对任意佩= ( 仇1 一，仇p ) 刀，令q = m t c ，则有 i = l h a 伉p 一1 ( t 吼) = p - 1 ( h a 伉t 佩) = p - 1 ( e 。h ) = e a p 一1 ( 危) = e a 1 = 五佩佩， 第一章半格顶点代数的表示1 9 从而有p ( t 佩) = h t 廓所以对任意，y ( 五) 都有p ( y ) = h f ，其中h c + 这意味着，存在h c + 使得p = h i 综上可知，a u t ( y ( a ) ) gc + 口 2 0 厦门大学理学博士学位论文 第二章t k k 代数的分次自同构群 2 1 引言 j o r d a n 代数是类交换的非结合代数具体来说，如果数域f 上的个代 数了满足： a b = b a ，( a 2 b ) a = a 2 ( 阮) ，v a ，b 了， 则称歹是数域f 上的个j o r d a n 代数对于j o r d a n 代数了，我们用i n d e r ( f f ) 表示了的内导子李代数，用l j 表示了的左乘算子全体在向量空间 i n s t r l ( j ) ：= l joi n d e r ( 了) 上定义运算： l 口+ d ，l 6 + e = l 口，l b 】+ l d b l e n + d ，e ， 则i n s t r l ( j ) 在匕述运算下成为个李代数，称为j o r d a n 代数了的内结构李代 数i n s t r l ( j ) 有个2 阶的自同构一”： v a zd i n d e r ( j ) 我们用歹表示j o r d a n 代数了的个线性复制由所谓的t i t s k a n t o r k o e c h e r 构造法( 见 j 2 ) ，我们可以得到个李代数 丁( 歹) = 歹oi n s t r l ( j ) o 歹， 其李乘运算为： a l + 瓦+ e 1 ，a 2 + 瓦+ 易】= 一e 2 a 1 + e l a 2 一面荔+ 面而+ 口1 a b 2 一a 2 a b l + 易，易】， 其中a i ，b i 了，e i n s t r l ( j ) ，a a b = 三曲+ 【厶，l b 】这个李代数就称之为 t i t s - k a n t o r k o e c h e r 李代数，简称为t k k 代数 b a l l i s o n ，n a z a m 和s b e r m a n 等人通过欧氏空间础( 1 ) 中的 个半格s 定义了个j o r d a n 代数j ( s ) ，然后利用t i t s - k a n t o r k o e c h e r 构造法，由这个j o r d a n 代数j ( s ) 构造出个t k k 代数丁( 歹( s ) ) ，进而由 第二章t k k 代数的分次自同构群 2 1 t k k 代数丁( 了( s ) ) 得到个a 1 型的扩张仿射李代数( a a b g p ) t k k 代 数丁( 了( s ) ) 是p e r f e c t 的李代数 设r p 是维欧氏空间，s 是r 扩的个子集。如果s 满足下列条件： ( 1 ) s 是离散的； ( 2 ) s 张成掣； ( 3 ) 0 s ； ( 4 ) 一s = s ； ( 5 )s + s s ( s + 2 s s ) ， 则称s 是个格( 半格) 设( s ) 是由r ”的个半格s 生成的加法子群显然s 是2 s ) 在( s ) 中的 些陪集的并，其中包括平凡陪集2 s ) 因此我们可以假设s 是2 刀在口掣 中的些陪集的并，包括陪集2 z 也就是说s = u & ，其中& ，是 2 z p 在口中的不同陪集，并且s o = 2 z 对于盯s ，令z 盯是个符号。 在向量空间 了( s ) ：= o c x 盯 a 6 s 上如下定义乘法： z r ：矿押，若叩岛u & ，o t m ， 1 0 ，其它情形 那么j ( s ) 是个j o r d a n 代数( 见 a a b g p ) ，并且有单位元z o = 1 我们 用丁( 歹( s ) ) 表示由j o r d a n 代数j ( s ) 通过t i t s k a n t o r - k o e c h e r 构造法得到 的t k k 干弋：数 设s ( s ) 是由欧氏空间r 上的个半格s 得到的复数域c 上的j o r d a n 代数，s 2 ( c ) 是复数域c 上的三维单李代数。在向量空间 上定义乘法： 9 ( 歹( s ) ) ：= ( s z 2 ( c ) o 歹( s ) ) oi n d e r ( f l ( s ) ) a a ，b 6 = a ，b oa b + ( a ，b ) l 。，l b ， 厦门大学理学博士学位论文 d ，aoa = aod a ， d ， l d ，l b = l d 口，l b + l 口，l d b ， 其中4 ，b s f 2 ( c ) ，a ，b l ，( s ) ，d i n d e r ( j ( s ) ) ，( a ，b ) = 2 t r ( a b ) 在匕述 运算下，乡( 了( s ) ) 成为个李代数 关于李代数9 ( 了( s ) ) 和丁( 了( s ) ) ，有下面的命题： 命题2 _ f f 剐李代数9 ( 了( s ) ) 同构于t k k 代数丁( 歹( s ) ) ，同构映射 为咖：9 ( 了( s ) ) _ 丁( 了( s ) ) ( eoo ) = v 2 a ，咖( ，圆n ) = 讵画， 咖( oa ) = 2 l 口， ( l