（基础数学专业论文）二维球面之间是映射的仲缩度.pdf

鸣谢 本文在完成过程中得到导师彭家贵教授的精心指导、热情帮助和 鼓励，并得到了唐梓洲教授、肖良教授的许多帮助，作者特在此表示 深深的感谢l 同时衷心感谢导师彭老师多年来的关怀和教诲1 感谢数 学学部徐老师等老师和李淑华、张三国同学的关心和帮助! d i l a t a t i o no f m a p s b e t w e e nt w os p h e r e s z e gz e m i n oa b s t r a c t l e t 厂：m nb eac m a po f t w or i e m a n n i a nm a n i f o l d sa n dl e t 谚b et h e d i f f e r e n t i a lo ff a ss t a t e di n 【1 b yp r o f e s s o rp e n gj i a - g u ia n dt a n gz i z h o u ，i n d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , w em a i n l ys t u d yt h e r i e m a n n i a nm a n i f o l d sa n dt h e m a p s b e t w e e nt h e m a si sw e l lk n o w n ，i na s e n s e ，t h es i m p l e s tr i e m a r m i a nm a n i f o l di st h e u n i ts p h e r ea n dt h es i m p l e s td i f f e r e n t i a b l em a pi sh a r m o n i cm a p a n di t i sa l s ow e l l k n o w nt h a tt h es i m p l e s tr e a la l g e b r a i cs e ti st h eu n i ts p h e r ea n dt h es i m p l e s tm a p i s t h e e n t i r er a t i o n a l m a pw h i c hi n c l u d e sp o l y n o m i a lm a p i nt h i st h e s i s ，w em a i n l y d i s c u s st h ed i l a t a t i o no f h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a lm a p sb e t w e e nt w os p h e r e s l e t f ：s ”一s “b ea c 1m a po f t h es t a n d a r du n i ts p h e r e sa n d l e t 田b e t h e d i f f e r e n t i a lo f f ，f o r a n y p o i n t p o n s “，w ed e f i n e t h e d i l a t a t i o no f f a t p 6 。( ，) ：s u p 协( v 删= 1 v l s l j w h e r e l l i st h ee u c l i d e a n n o r r r l f o l l o w i n go l i v e r sd e f i n i t i o n 2 1o ft h e d i l a t a t i o no f t h em a p ： 6 ( ，) = s u p 6 ，( ，) l p c s ” a ss t a t e di n 3 1 ，w cd i s c u s sh o wt o s t u d yt h eg e o m e t r i c a lc o m p l e x i t yo ffb yi t s d i l a t a t i o n i n 1 9 9 8 ，p r o f e s s o rp e n gj i a - g u ia n dt a n gz i z h o up r o v e di n 4 】t h a tl e t ，：s ”_ s “b e a n yh o m o g e n e o u s p o l y n o m i a lm a p o f d e g r e e kb e t w e e n s ”a n d s ”，t h e n 占( ) k a d d i t i o n a l l y , w h e nm = n t h e ya l s o c o n s t r u c tt h e h o m o g e n e o u sp o l y n o m i a lm a po fd e g r e ekb e t w e e ns 。a n d s 6 ：五：s ”_ 。 w h e r e 6 ( ) = k a tt h es a m et i m e ，t h e ya l s op u tf o r w a r dt h ep r o b l e ma b o u tt h e u n i q u e n e s so ffw h e n 占( ，) = k f o rs 2 ，w ec a np r o v et h e f o l l o w i n gu n i q u e r e s u l t ： t h e o r e m 3 1 ：l e t f ：s 2 _ s 2b e ah o m o g e n e o u s p o l y n o m i a lm a po f d e g r e e3 b e t w e e nt w os p h e r e s ，i ft h ed i l a t a t i o no ft h em a p si s t h r e e ，t h e n i su n i q u e ( u n d e r o r t h o g o n a lt r a n s f o r m a t i o n s ) a l t h o u g ht h ep r o b l e ma b o u tt h eu n i q u e n e s sw h i c hw a sp u tf o r w a r db yp r o f e s s o r p e n ga n dt a n g i sn o tt r u ef o rg e n e r a ls i 一i o n ，( w ew i l lg i v et h ec o u n t e r e x a m p l ei n 6 ，) w os t i l lt r yt od i s c u s st h ep r o b l e ma b o u tt h eu n i q u e n e s so fh o m o g e n e o u s p o l y n o m i a lm a po fh i 曲d e g r e e w eg e n e r a l i z et h el e m m a3 2o f 3i n 4 ，a n d o b t a i nt h em a i nt h e o r e m4 1 ： t h e o r e m4 1l e t f ：s 2 一s 2 b eah o m o g e n e o u sp o l y n o m i a lm a po fd e g r e en b e t w e e nt w os p h e r e s ，a n dl e t yb et h ec i r c l eo fs2 ，d e n o t e db y ( 0 ，c o s 0 ，s i n 0 ) ， w h e r e0 o ，2 ) a n dl e t r = f 。y ，i f l f ( 0 ) l ：n ，t h e nt h e r ee x i s t so r t h o g o n a l t r a n s f o r m a t i o n 口o n 尺3 ，s ot h a t 仃。r ( 日) = ( o ，c o s n o ，s i n n o ) i no r d e rt ow r i t eo u tt h ed e t a i l i s o p a r a m e t r i cp o l y n o m i a l ，w es t a t es o m eb a s i c c o n c e p t i o n o f i s o p a r a m e t r i cp o l y n o m i a li n 5 ，f u r t h e r m o r e ，w e c l a s s i f y t h e i s o p a r a m e t r i cp o l y n o m i a l 厂：r ”寸ro f d e g r e e3 l e t f ：r ”1 _ rb ea ni s o p a r a m e t r i cp o l y n o m i a lo fd e g r e ek i n 6 。w e d e f i n ef h e g r a d j e n l m a p 妒= 去夥，t h e nw e l ( n 。w t l l a t i sa ni s 。p a r 姗e 仃i c p o l y n o m i a lo f d e g r e ek - 1f r o m 霄”1 吣月”1 i f w er e s t r i c t 妒o n s 。，t h e n 口i sa h o m o g e n e o u sp o l y n o m i a lm a po fd e g r e ek - 1f r o ms 1t o s “t h e r e f o r e ，w ec a n u t i l i z et h ec l a s s i f i c a t i o no f i s o p a r a m e t r i cp o l y n o m i a lt od i s c u s st h eu n i q u e n e s so ft h e h o m o g e n e o u sp o l y n o m i a lm a po fh i g hd e g r e eb e t w e e n s p h e r e s i n 6 ，l e t a n d 厶 b et h e i s o p a r a m e l x i cp o l y n o m i a l o f d e g r e e 4w i t ht h e m u l t i p l i c i t i e s ( m ，m 2 ) = ( 1 ，3 ) a n d ( j ，1 2 ) = ( 2 ，2 ) ，r e s p e c t i v e l y a n d a l s ow e d e f i n et 1 1 e s 张d j e n t m a p s 蛾= w ：j 9 _ j 9 柚d 啦= ；：j 9 _ j 9 r e s p e c t i v e l y ，w e c a l ls h o w t h a t 妒la n d 驴2a r en o te q u i v a l e n t ，a l t h o u g hb o t h 妒la n d 4 妒2a r eh o m o g e n e o u sp o l y n o m i a lm a p so f d e g r e e3 ，a n dt h e i rd i l a t a t i o ni s t h es a m es o w e g i v et h ee o u n t e r e x a m p l eo f u n i q u e n e s s k e yw o r d s d i l a t a t i o no f m a p s ；o r t h o g o n a le q u i v a l e n c e ； g r a d i e n tm a p s h o m o g e n e o u sp o l y n o m i a lm a p s ；i s o p a r a m e t r i cp o l y n o m i a l 5 1 引言 设：m _ n 为两个黎曼流形之蒯的c 映射，d f 表示f 的切映射。如彭家 贵、唐梓洲在【1 h 一所陈述的，在微分几何中，主要研究黎曼流形和它们之间的 映身j ，众所周知，在某种意义上说，最简单的黎曼流形是单位球面，最简单的 町微映射是调和映剔，同时最简单的实代数集是单位球面，最简单的映射是包 含多项式映射的整个有理映射本文主要讨论最简单的黎曼流形二维球面之间的 最简单的映射多项式映射的伸缩度 设厂：s ”_ s ”为单位球面之间的c 映射，d f 表示f 的切映射，对于s ”上 任意一点p 定义，在p 点的伸缩度 占。( 厂) ：。p 协( 叫= l ，v l s ”) 其中川为欧氏范数用r 0 1 i v e r 【2 】大于映射的伸缩度的定义 6 ( ，) = s u p 6 。( ，) jp s “) 如文献【3 】中所述我们将讨论怎样用映射的伸缩度来研究映射的几何复杂忡 1 9 9 8 年彭家贵，唐梓洲在文献【4 】中证明了对于任意七次齐次多项式映射 f ：s “_ ，有6 ( ，) ，并且当肌= n 时，他们还构造了t 次齐次多项式映射 ：s 1 - 。使得6 ( ) = t 同时他们还提出了关于6 ( 厂) 2 七时厂的唯一性 问题对于二维单位球面的情形本文有如下结果 定理i j ： 设，：s 2 _ s 2 为三次齐次多项式映射，若j ( 厂) = 3 ，则在正交 等价意义下是唯一的 虽然彭家贵，唐梓洲老师提出的唯一性问题对于一般的情况不成立，我们将 诅：6 中给出其反例，但是我们试图探讨二维球面之问的高次齐次多项式映射 的唯一性问题我们在4 中将3 中的引理3 2 给推广，得到了重要的定理4 1 定鲤4 1 设f ：s 2j s 2 是n 次齐次多项式映射，并设，为s2 中的大圆记 y = ( o ，c o s 0 ，s i n 0 ) ，其中0 【o 换盯，使得盯。r ( 口) = ( o ，c o s n o ，s i n n o ) 且lr l ( 0 ) l - n ，则存在r 3 上的正交变 为了具体写出等参多项式映射，我们在第5 节中叙述了等参多项式的一些 基本概念我们并对3 次齐次等参多项式映射厂：r ”1 。r 进行了分类。 设：r ”一r 为七次齐次等参多项式映射，在第6 节中，我们定义梯度映 射= w ，则我们知道妒是一个从r ”到r ”1 的k 一1 次齐次多项式映射若把妒 限制在上，则是s “到s ”的k 1 次齐次多项式映射从而我们可以利用等参 多项式映射的分类，进行球面之问的高次齐次多项式映射的分类的唯一性问题 的反例的探讨。在第6 节中，设：、 分别为4 次等参多项式映射，其对应的重 数分别为，棚：) = ( 1 ，3 ) 、仰，脚：) = ( 2 ，2 ) 。我们定义梯度映射办= 砑 s 。_ s ，、驴：= ：s 9 一，我们可以证明矾、：不正交等价。但是 晚、庐：都为s 9 - s 9 的3 次齐次多项式映剁且它们的伸缩度都为3 ，从而我 们举出了唯一性的反例 2 准备工作 为了叙述的方便，我们引入如下两个定义： 定义2 j 映射，：s ”一s “称为多项式映射，如果为欧氏空间的多项式 映射f ：r ”。一r ”1 在s “上的限制特别地，若f 为k 次齐次多项式映射，则 称- 厂为k 次齐次多项式映射 詹艾2 2 设映射，g ：s ”呻s ”均为多项式映射，称f ；g lg 为正交等价，如 果存在正交变换0 l ：s ”_ s ”和0 2 ：s ”一s ”，使得= 0 2 。g 。o i 彭家贵，庸梓洲在文献【4 】中证明了对于任意一个k 次多项式映射 f ：s ”- 争s 4 ，其伸缩度都小于等于k 即如定理2 j 所述： 启聋2 j 设f ：s ”_ s ”为任意k 次多项式映射，则6 ( ，) k 利用定理2 1 ，我们可以比较容易的求一个多项式映射的伸缩度，如下面的定理 2 2 的证明l i 在讨论唯一性之前，我们来看一看其存在性，我们有如下的定理2 2 ： 启堙2 2 存在 ：s “- s 1 ( k 0 ) 蔓t 3 k 次齐次多项式映射，且6 ( 正) = k 定理2 2 的证明：定义 ：s ”_ s ”( t 0 ) 为 ( c o s 0 ，s i n o x ) - ( c o s k o ，s i n k o x ) 其p p 【o ，i x s ”一1c r 1 我们可以证明： 1 为k 次齐次多项式映射凶，： c o s k 0 + i s i n k o = r c o s 0 + i s i n 0 ) = c ? e o s “7 0 s i n 7 0 i 7 = ( 一1 ) 9 q 2 c o s “2 9 0 is i n o x 2 9 p + ( 一1 ) 9 i c 2 9 + 1c o s 一2 一1 0 i s i n 0 x 1 2 9 s i n 0 ， 所以 为k 次齐次多项式映射 2 占( ) = k 为 为k 次齐次多项式映射，由定理21 得占( ) 茎，要证明占( ) = ，我 们j 1 须取s ”上适当的点以及该点的卓位切向量，使得切向量在以的作用后的模 长为 我们取j = ( 1 ，0 o ) s ”1v = ( 0 , 1 ，0 0 ) r ”。 则山越意得： 六( c o s o ，s i n 0 ，0 0 ) 一( c o s k o ，s i n k o ，0 0 ) 删 刃 ( v ) = ( 一ks i n k o ，k c o s k o ，0 0 ) i 。：o = ( 0 ，k ，0 0 ) e 田。( v ) k 所以6 ( ) = 女 到此，我们知道了存在性一个很自然的问题是，对于 ：s ”_ s ( 0 ) 为k 次齐次多项式映射，且占( ) = ，我们知道可以由映射的伸缩度映射米研究映 射的几何复杂性，对于单位球面之间的k 次齐次多项式映射 ，若其伸缩度取 最人值k ，在正交等价意义下，我们能否确定 ? 我们将在3 中讨论其唯一性 0 3 二维球面之间三次齐次多项式映射的唯一性的探讨 设：s ”_ s ”为任意女次齐次多项式映射，由定理2 1 有6 ( ) k 我们考虑 在一交等价意义f ，肖厂的伸缩发取最大值k 时，厂的睢性问题 n i 然岛维、高次的情形非常复杂比较难于讨论，但对于低维、低次的情形， 我们订如下的结粜( 见表1 ) 表1 n ，k ，的表达式唯一性 i ，1 f ( x ，y ) = ( z ，)难一 1 ，2 f ( x ，y ) = ( x2 y 2 , 2 x y ) 唯一 1 ，3 f ( x ，y ) = ( x 3 3 y 2 x ，3 x 2 y y3 ) 唯一 2 ，1 f “，y z 1 = 如，y ，z 1唯一 2 ，2 f ( x ，y ，z ) = ( j2 一y 2 一z 2 , 2 x y ，2 x z ) 唯一 2 ，3 f ( x ，y ，z ) = ( r 3 十x y 2 3 x z 2 , j 2 y + y 一3 y z 2 ，3 x 2 z + 3 y2 z z 3 ) 唯一 ( 其中：1 1 表示球面的维数，k 表示齐次多项式映射厂的次数和伸缩度) 在表1 的6 种情形l i ，除n = 2 、k = 2 和n = 2 、k = 3 的情形外，其余的情形都比较 龃接且容易下面我们分别讨论n = 2 、k = 2 和n = 2 、k = 3 的情形 3 1 对于n = 2 、k = 2 的情形 对于n ：2 、k = 2 的情形，我们可以直接计算： 设通过s 2 中的适当的币交变换使得厂在点p = ( 1 ，0 ，o ) 的伸缩度为2 ，且值厂( p ) = ( 1 ，0 ，0 ) ， 记f ：s 2 寸s2 为 ( “，v ，w ) = ( x ，y ，z ) = g 。石2 + g l j + 9 2 ( 3 1 ：) 其中：g ，( i = 0 ，1 ，2 ) 为关于y 、z 的i 次齐次多项式向量 j 厂( p ) = ( 1 ，0 ，0 ) ，我们得g 。= ( 1 ，0 ，0 ) i d g ，( 口) = g i ( c o s o ，s i n 臼) ，且记 g 。( y ，z ) = ( g i l ( y ，z ) ，g ，2 ( y ，z ) ，9 1 3 ( y ，z ) ) g i ( c o s o ，s i n o ) = ( g l l ( c o s o ，s i n o ) ，g i 2 ( c o s 0 ，s i n o ) ，g i 3 ( c o s e ，s i n o ) ) 其中i = 1 , 2 。 我们可以通过适当的萨交变换，使得 g ：，( y ，z ) 为标准型，且d f ( v ) 2 ( 0 ，2 ，0 ) ，其中v = ( 0 ，1 ，0 ) r s 2 又由于厂是单位球面之间的二次其次多项式映射，所以有 ( j 2 + y 2 + z 2 ) 2 = “2 + v 2 + w 2 ( 3 1 2 ) 把( 3 1 1 ) 代入( 3 1 2 ) 得 黔蜀拦 ( 3 1 3 ) 【( g ，g ：) = 0 ” 又由于g = ( 1 ，0 ，0 ) ，再结合( 3 1 3 ) 从而我们可以设 g l = ( o ，口i y + d2 z ，a 3 y + a 4 z ) g 2 = b s y 2 + 即2 一y 2 + 吼y z + a 9 z 2 一。y 2 + a iy z + z2 ) ， 又山于d f ( v ) = ( 0 ，2 ，0 ) ，所以 f ( c o s 0 ，s i n o ，o ) l = ( o ，2 ，o ) 从m 掰 口，= 2 ，n j = 0 ，再由g i 与9 2 正交，得9 2 2 ；0 印 4 7 = 0 ，a s = 0 ，a 9 = 0 剑此我们还要确定的未知系数为： f ( x ，y ，z ) = ( 1 ，0 ，o ) x 2 + ( o ，2 y + a 2 z ，a 4 z ) x + ( a 5 y 2 + 4 6 z2 ，0 ，a j o y 2 + l l 弘+ 口1 2 z2 ) 再由( 3 i 2 ) 并比较关于x 、y 的幂的系数可解得在正交等价意义下的两个解 4 222 ，a 4 = 2 ，a 52 1 ，“6 = 一1 ，a l o = 0 ，a l l = 0 ，a 1 2 = 0 厢i q 222 ，a 4 = 0 ，a 5 = 一1 ，口6 = 1 ，a i o = 0 ，a l f22 ，a i2 2 0 即在正交等价意义满足定理条件的映射，只有以下两种形式( 记为f ，7 ) ： f ( x ，y ，z ) = ( 1 ，0 ，o ) x 2 + ( 0 ，2 y ，2 z ) x + ( - y 2 一z2 ，0 ，0 ) 耳n f ( x ，y ，z ) = ( 1 ，0 ，o ) x2 + ( o 2 y ，o ) x + ( 一y 2 + z 2 ，0 ，2 y z ) 我们现在简要分析，和7 是正交等价的，我们记 f ( x ，y ，z ) = ( “，v ，w ) ，7 ( x ，y ，z ) = ( 万，可，劝 则 睡少托2 我们只须经过变换把甜换成一磊，并把x 、y 互换，就知f 和7 是正交等价的。 一 y 几砌抛 = = = v w r，ifl【 弓2 对于n = 2 、k = 3 的情形 埘于n = 2 、k = 3 的情形，类似n = 2 、k = 2 的情形，但情况很复杂，这部分将是 本文的重点内容，我们将逐步进行讨论( 为了体现二者之问的类似，我们仍然用 车h 似的- 些符弓，希望不会引起误解) 。首先我们有如下的定理3 1 启堙3 1 设f ：s 2 _ s 2 为三次齐次多项式映射，若6 ( ) = 3 ，则在正交 等价意义下是唯一的 为了证明定理3 1 ，我们先叙述并证明下面两个引理 罗堙土2 设f ：s 2 _ s2 是三次齐次多项式映射，井设y 为s 2 l j 的大圆 记，= ( o ，c o s 0 ，s i n 0 ) ，其中0 【o ，2 ) ，设r = f 。y ，且i r ( o ) j = 3 ，则存在r 3 上的正交变换盯，使得盯or ( p ) = ( 0 ，c o s 3 0 ，s i n 3 0 ) 证明人| 为f 为三次齐次多项式映射，若令j = 0 ，y = c o s o ，z = s i n 0 ，则r 可 写成： r ( o ) = kc o s 3 0 + ls i n 3 0 + m c o s 0 + ns i n 0 ， 其t pk 、l 、m 、n 为尺3 中的向量由于r ( o ) 在s2 上，故有i r ( o ) 产1 由0 的任 意性，所以有下面力+ 程( 3 2 1 ) ( 32 7 ) i k f2 + l l 】2 + f m l2 + i n 】2 = 2 i k l2 = 叫2 ( k ，m ) - ( l ，n ) = o m f2 一f n i2 + 2 ( k ，m ) + 2 ( l ，n ) = o ( m ，n 一k ，n ) + ( l ，m ) = o ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 4 ( k ，n ) 4 - ( l ，m ) = o ( k ，l ) = 0 又f l 】假设ir ( o ) | - 3 可得 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 9 ll i2 + 6 ( l ，n ) + l n l 2 = 9 ( 3 2 8 ) 式( 32 1 ) 、( 3 2 2 ) 、( 32 3 ) 、( 3 2 4 ) 得 l k l2 + i m l2 + 2 ( k ，m ) = l( 3 2 9 ) 由式( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 、( 3 2 8 ) 得 7 i k f2 + 6 ( l ，n ) - i m i 2 = 7 ( 3 21 0 ) 由式( 3 2 3 ) 、( 3 2 9 ) 、( 3 2 1 0 ) 得 i k i2 = l + i m i 2 n i 式( 3 2 1 ) 、( 3 2 1 1 ) 得 w 此 再由式( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 得 3 m i2 + i n i2 = 0 m = n = 0 k j2 = i l 2 = l ( 3 2 1 1 1 再由式( 3 2 7 ) 我们知道k 和l 为r3 中两个相互正交的单位向量，注意到在 r 3 i ，可取正交变换仃，使得a k = ( o ，1 ，0 ) ，仃l = ( o ，0 ，1 ) 所以存在r3 上的正交 变换仃，使得 盯。r ( 日) = kc o s 3 0 + ls i n 3 0 = ( 0 ，c o s 3 0 ，s i n 3 0 ) 为了讨论的力便，在后面的叙述l i ，我们把仃。r 徊) 仍记为r ( e ) 罗僭j j 设a = u ( e ) ， ( b ) ， ( 8 ) ) ，b = ( o ，c o s 3 0 ，s i n 3 0 ) ，其中，( 8 ) ( i = 1 2 3 ) 足关于c o s o ，s i n o 的二次齐次多项式，若对任意的0 e 【0 ，2 “) ，有( a b ) = o ，m 0 ( 8 ) = ( 8 ) = o 证明n 5 , j ( 8 ) 是关于c o s o ，s i n 0 的二次齐次多项式，从而可设 ：( o ) = 口，c o s 2 0 + 包s i n 2 8 + c ( i = 1 ，2 ，3 ) 把a ，b 的表达式代入( a ，b ) = 0 ，展开对比c o s 5 0 、s i n 5 0 、c o s 3 0 、s i n 3 0 、c o s 0 、 s i n o 的系数，由0 的任意性得 口，= b 。= c ，= 0 ( i = 2 t 3 ) 所以 下面我们对定理3 1 进行证明 2 ( 0 ) = 正( 0 ) = 0 证明设通过s 2 l 卜l 的适当的正交变换使得在点p = ( o ，1 ，o ) 的伸缩度为3 即6 。( ) = 3 记：s 2 _ s 2 为 ( “，v w ) = ，( x ，y ，z ) = g o z3 + 9 1 x2 + 9 2 x + g ) ( 3 2 1 2 ) 其q - ：g ，( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) 为关于y 、z 的i 次齐次多项式向量 记g ( 8 ) = g ( c o s 0 ，s i n 0 ) ，m u 有厂( o ，c o s 0 ，s i n 0 ) = g ( 日) i x l 勾6 ，( 厂p 3 ，不妨设i d f ( v ) 1 2 3 ，其中v = ( o ，0 ，1 ) 0 s 2 ，所以ig ；( o ) 户3 赴引理3 。2 褥 g3 ( = ( o ，c o s 3 0 ，s i n 3 0 ) g ，= ( o ，y ，一3 y z2 , 3 y 2 ：一z3 ) 注意到_ ，：s2 一s2 为三次齐次多项式映射 所以有 将( 3 21 2 ) 式代入到( 3 21 3 ) 式中，按x 的幂展开并比较系数可得 下面力程组( i ) i g o 2 = 1 ( g o ，g ) = 0 lg if 2 + 2 ( g o ，9 2 ) = 3 ( y 2 + z2 ) ( g o ，9 3 ) + ( g ，9 2 ) = 0 ( i ) 1 9 21 2 十2 ( g i ，9 3 ) = 3 ( y 2 + z 2 ) 2 ( 9 2 ，9 3 ) = 0 i g ，l2 = ( y 2 + z 2 ) 3 山_ fg 3 ( 日) = ( o ，c o s 3 0 ，s i n 3 0 ) ，( 9 2 ( 8 ) ，9 3 ( 8 ) ) = o 由形瑾3 3 得g ：( 0 ) = ( 日) ，0 ，0 ) ，其中z ( 8 ) 是关于c o s o 、s i n 0 的二次齐 次多项式，即：( 弘z ) 是关于z 的二次齐次多项式设；( 弘z ) = a y2 + b y z + c z 2 征适! 的正交变换y = y c o s o + 2s i n 日o ，z = - 歹s i n 妒+ 暑c o s c t ， 可化为标准型 l ( y ，享) = 口，。箩2 + ，i z2 由( 3 2 1 2 ) ，令x = o ，并通过一些计算可知 v = ，3 3 y z2 = ( 歹3 3 歹z2 ) c o s 3 9 + ( 3 夕2 亨一z 3 ) s i n 3 ( o w = 3 y 2 2 一z3 = 一( 歹3 3 歹享2 ) s i n 3 ( p + ( 3 y2 z 一享3 ) c o s 3 妒 埘( w ) 进行止交变换 ! l ! j 彳j 此时 j e t 卜 矿= v c o s 3 t p w s i n 3 谛= v s i n 3 t p + w c o s 3 t p 矿= 罗3 3 弦2 茹= 3 歹2 z 一- f 3 f ( x ，歹，亨) = ( “，f ，帚) = g o ( 歹，# ) j3 + g l ( 歹，亨) 2 + g2 ( 歹，z ) z + 9 3 ( 歹，享) g ：= g ，。y 2 + 。亨2 ，0 ，o ) ，g ，= ( o ，夕，一3 弦z ，3 歹z z z ，) 为了。便仍然分别记歹、2 、矿、谛为y 、a v 、w即 g ：= g 。y 2 + 口1 1 22 ，0 ，o ) ，g ，= ( o ，y 3 3 y z2 , 3 y 2 z z 3 ) f i 面我们将确定剩下的未知量g 。和g ，设 g o = ( 口l ，口2 ，口j ) ，g i = ( 口4 y + a 5 z ，盯 y + 口7 ：，口8 y + a g z ) 将g 。、g ，、g ：、g ，的表达式代入方耵日( i ) 并比较系数得力程组( i i ) a j + 口；+ a ；= 1( 3 2 1 4 ) a l a + a 2 a 6 + d j 口8 = 0 ( 3 2 1 5 ) a l a 5 + a 2 a 7 + a 3 a q = 0 ( 32 1 6 ) ：+ 2 a l a l 。+ d ：+ a ；= 3 ( 3 2 1 7 ) a 4 a e + a 6 a 7 + a 8 a 口= 0 ( 321 8 ) a ；+ 2 a l d 】1 + a ；+ a ；= 3 ( 32 1 9 ) a 4 口l o + a 2 = 0 ( 3 2 2 0 ) a 5 a l l a 3 = 0 ( 3 22 1 )( i i ) 口4 a i i 一3 a 2 = o ( 3 2 2 2 ) a 5 a o + 3 a 3 = 0 ( 3 22 3 ) 口j + 2 a 6 = 3 ( 3 2 2 4 ) j 一2 a 9 = 3 ( 3 2 2 5 ) a l o a l l 3 d 十3 a 9 = 3 ( 3 2 2 6 ) 口7 + 3 a w = 0 ( 3 2 2 7 ) 吼+ 3 a ，= 0 ( 3 2 2 8 ) i j 式( 3 , 2 2 7 ) 、( 3 2 2 8 ) 容易得出：a ，= 。= 0 冉由1 = l = ( 3 , 2 1 8 ) 町得：a 4 a ，= 0 卜面分三种情形讨论 情形l ：当4 - - - 0 ，5 0 时 由式( 3 2 2 0 ) 得：a 2 = 0 由式( 3 2 2 1 ) 、( 3 2 2 3 ) 得 4 i o + 3 a 1 12 0 由式( 3 2 2 4 ) 、( 3 22 5 ) 、( 3 , 22 6 ) 得 3 口j + 3 口j + 2 a i o a i i 一2 4 = 0 由式( 32 2 9 ) 、( 3 2 3 0 ) 可得 口j o = 一3 ，7 1 l f = 1 或口l o = 3 ，d i i = 一1 以下对式( 3 2 3 1 ) l 卜f 的二种情况分别予以讨论 r 3 2 2 9 ) ( 32 3 0 ) ( 3 2 31 ) 情况i 当a i o = 一3 ，a i l = 1 时，由式( 3 2 2 4 ) 、( 3 2 2 5 ) 9 得吼= - 3 ，a 9 由式( 3 2 1 4 ) 、( 3 2 ，1 7 ) 得d l = l ，a 3 = 0 由式( 3 2 1 6 ) 得口s = 0 这与口5 0 矛盾 情况i i 当。= 3 ，a ，= 一i 时，类似情况i 可得口，= 0 ，这与a ，0 矛盾 所以情形1 无解 情形2 ：当a 5 = 0 ，a 4 0 时 式( 3 2 2 1 ) 得：以= 0 由式( 3 , 2 2 0 ) 、( 3 2 2 2 ) 得 3 d i o 十a 1 1 = 0 ( 3 2 3 2 ) i i j 武( 3 , 2 2 4 ) 、( 3 22 5 ) 、( 3 2 2 6 ) 得 3 d 盎十3 口i + 2 a l o a 一2 4 = 0 ( 3 ，2 3 3 ) 山式( 3 2 3 2 ) 、( 3 2 3 3 ) 可得 口】o = l ，a 1 1 = - 3 或a l o = - 1 ，a 1 1 = 3 ， ( 3 2 3 4 ) 以下对式( 3 2 3 4 ) l + 的二种情况分别予以讨论 情况i 当a l o = l ，口1 1 = - 3 时，由f3 2 2 4 ) 、( 3 2 、2 5 ) 得a 6 = l ，a 9 = 3 由式( 3 2 1 9 ) 得a ，= 1 由式( 3 2 1 4 ) 得口2 = 0 再由式( 3 2 2 0 ) 得a 。= 0 这与口。0 矛盾 情况i i 当a i o = 一1 ，a f l = 3 时，类似情况i 可得a 。= 0 ，这与a 4 0 矛盾 所以情形2 亦无解 情形3 ；当a 4 = a 5 = 0 时 “式( 3 2 2 0 ) 、( 3 22 1 ) 得d 2 = a 3 = 0 此时方程组( i i ) 简化为下面方程组( i i i ) a 2 2 a 3 20 口? = 1 2 a l a i o + a ：2 3 2 a a + d ；= 3 ( 1 1 1 ) d 五+ 2 a 6 = 3 d j 一2 a 9 = 3 a l o “l i 一3 a 6 + 3 a 9 = 3 通过适当的正交变换，可取a = i ，此时方程组( i i i ) 只有以下两组解 a l = 1 ，a 6 = 1 ，a 9 = 3 ，a l o = 1 ，a l l = 一3 肃j a 】= 1 ，a 6 = 一3 ，a 92 1 ，a l o2 3 ，。l l = 1 从而方程组( 1 i ) 在f 交等价意义下只有两组解： i = l ，d 2 = 3 = 4 = 5 = o ，a 6 = ，口7 = 1 7 1 8 = o ，a 9 = 3 ，l o = l ，1 7 1 l l = 一3 和 j = l ，臼2 = d 3 = a 4 = a5 = o ，a 6 = 一3 ，n 7 = d 8 = 0 ，a 9 = 一l ，i o = 一3 ，d i l = 1 即在肛交等价意义满足定理条件的映射只有以下两种形式( 汜为，f ) ： ，( x ，y , z ) = ( 1 ，0 ，o ) x3 + ( o ，y ，3 z ) j c2 + ( y 2 3 z 2 , 0 ，o ) x + ( o ，y3 3 弘2 ，3 y 2 z - - z 3 ) 年【j 厂( x ，y , z ) = ( 1 ，0 ，o ) x3 + ( 0 ，一3 y ，一z ) x2 + ( - 3 y 2 + z 2 ，o ，o ) x + ( o ，y 3 3 弦2 ，3 _ y 2 z z 3 ) 小难看出厂和厂是f 交等价的，所以厂是唯一的定理3 1 证明完毕 到本节为止，我们已经对厂：s 4 寸s “为任意k 次齐次多项式映射，当厂的伸缩 度取最大值k 时，在币交等价意义下，我们对低维、低次的情形的，的唯一性 问题进行了探讨，下面我们进入4 ，讨论高维、高次的情形的厂的唯一性问题 4 二维球面之间高次的情形的讨论 在本节一 j ，我们把3 j 的引理3 2 、引理3 3 推广到商次的情形，并对定理 3 1 的两次的情形进行猜恕 我们先看一下对引理3 2 、引理3 3 的推广 定_ 堙4 1设f ：s 2 一s 2 是n 次齐次多项式映射，井设y 为s 2 中的大圆 记y = ( o ，c o s 0 ，s i n 0 ) ，其中0 【o ，2 ) 设r = 。y ，且l f ( o ) 户n ，则存在r 3 的j l 交变换盯，使得盯。r ( 口) = ( o ，c o s n 0 ，s i n n o ) 定霪4 2 设a = “( 8 ) ，厶( e ) ，厶( e ) ) ，b = ( o ，c o s 1 0 ，s i n n o ) ，其中，( 口) ( i = 1 ，2 3 ) 足关于c o s 0 ，s i n 0 的n 1 次齐次多式，若对任意的0 0 ，2 ) ，有( a ，b ) = 0 则蹦8 ) = 六( 日) = o 在证明定理4 1 之前，我们看一个引理 罗偿4 3 设f ( 口) = d 。+ ( a