（基础数学专业论文）一类分块算子矩阵的drazin逆的表示及其指标.pdf

上海师范大学硕士学位论文 摘要 在过去的数十年中，人们对d r a z i n 逆理论的研究越来越深入如今，d r a z i n 逆的理论已 应用于包括统计学，数值分析，微分方程，马尔科夫链，人口模型，密码学以及控制论等等在 内的多个领域( 详见【2 ，9 ，1 2 】) 在对d r a z i n 逆理论的研究过程中，其中一个重要的课题即是对d r a z i n 逆的表示的研究 近些年来，人们大都应用矩阵分解技术，纷纷给出了在特殊条件下的某些分块算子矩阵的 d r a z i n 逆的表示但由于该方法的局限性，人们只能给出这些分块算子矩阵的d r a z i n 指标 的大概范围，却不能给出具体的指标 本文从算子稳定扰动方面出发，不仅提出了一种求分块算子矩阵的d r a z i n 逆的新方法， 而且给出了这些分块算子矩阵的d r a z i n 指标的精确计算公式为了比较之前的方法( 矩阵 分解技术) 与本文提出的方法的不同，本文首先利用矩阵分解技术，得到一类2x2 分块算子 矩阵在某些条件下的d r a z i n 逆的表示，但我们无法给出具体指标随后，基于d r a z i n 逆的稳 定扰动理论，本文得到一类2 2 分块算子矩阵在某些条件下的d r a z i n 逆的表示。并且给出 了具体指标最后，本文在新方法得到的结论下，还特别给出了两个算子加法的d r a z i n 逆的 表示，完善了之前的许多工作 本文包括三个部分第一章，我们回顾d r a z i n 逆的相关概念，阐述了本文研究的动机， 研究难点以及本文的主要结果第二章，受d r a g a n as c v e t k o v i 6 - i l i 芒近期研究工作【2 2 】的启 发，本文利用之前矩阵分解技术，得到了一类2 2 分块算子矩阵在某些条件下的d r a z i n 逆表示但是该方法的局限性在于，未能求出确切的d r a z i n 逆的指标于是，在第三章中， 本文提出了一种求分块算子矩阵d r a z i n 逆的新方法首先，本文设定条件：给出巴拿赫空 间x 上的两个有界线性算子f 和g ，满足6 a f = g f 2 = 0 然后，本文想要得到算子矩阵 fr 、 m = i ，：p 二j 的d r a z i n 逆的表示受文献1 3 1 的启发，本文从算子稳定扰动理论出发，找 u ru 到了m 是肘的稳定扰动，其中 ，f 2 + g ff + g 、 肚l o g f + g 2 广 从而得到m d 值得指出的是，本文还具体地给出了不同情况下m 的d r a z i n 指标最后，利 用上面得到的结果，本文还导出了两个算子加法f + g 的d r a z i n 逆的表示 关键词：分块算子矩阵，d r a z i n 逆，d r a z i n 指标，稳定扰动 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo ft h ed r a z i ni n v e r s eh a sb e e nas u b s t a n t i a lg r o w t ho v e rt h ep a s td e c a d e s i ti s a p p l i c a t e di nm a n yd i v e r s ea r e a si n c l u d i n gs t a t i s t i c s ，n u m e r i c a la n a l y s i s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， m a r k o vc h a i n s ，p o p u l a t i o nm o d e l s ，c r y p t o g r a p h y , a n dc o n t r o lt h e o r y , e t c ( s e e 【2 ，9 ，l2 】) o n ei m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l do ft h ed r a z i ni n v e r s ei si t sr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y i nr e c e n ty e a r s ， u s i n gt h ed e c o m p o s i t i o no fm a t r i c e s ，m a n yp e o p l eh a v ed e r i v e dt h er e p r e s e n t a t i o nf o rt h ed r a z i n i n v e r s eo fab l o c ko p e r a t o rm a t r i x y e td u et ot h el a c ko fv a l i dm e t h o d s ，l i t t l eh a sb e e nd o n eo nt h e e x p l i c i tc h a r a c t e r i z a t i o no ft h ed r a z i ni n d e x b a s eo nt h et h e o r yo fs t a b l ep e r t u r b a t i o n ，w en o to n l yg i v ean e wa p p r o a c ht op r o v i d i n gt h e r e p r e s e n t a t i o nf o rt h ed r a z i ni n v e r s eo fab l o c ko p e r a t o rm a t r i x ，b u ta l s ot oo b t a i n i n gt h ee x p l i c i t c h a r a c t e r i z a t i o no ft h ed r a z i ni n d e x i no r d e rt oc o m p a r et h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et e c h n i q u eo f m a t r i xd e c o m p o s i t i o na n do u ra p p r o a c h ，w ed ot h a t f i r s t l y , u s i n gt h ed e c o m p o s i t i o no fo p e r a t o r m a t r i c e s ，w eo b t a i nt h ee x p l i c i tr e p r e s e n t a t i o n sf o rt h ed r a z i ni n v e r s eo fa2 2b l o c km a t r i x u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s h o w e v e r w ec a nn o tp r o v i d et h ec o n c r e t ed r a z i ni n d e x t h e n ，b a s eo n t h ep e r t u r b a t i o nt h e o r yo ft h ed r a z i ni n v e r s e ，w eg e tt h ee x p l i c i tr e p r e s e n t a t i o n sf o rt h ed r a z i n i n v e r s eo fc e r t a i n2 2b l o c ko p e r a t o rm a t r i x f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nt h ea s s o c i a t e dc o n c r e t e d r a z i ni n d e x t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nc h a p t e ri ，w er e c a l ls o m en o t a t i o n sa n dd e f i n i t i o n so f t h ed r a z i ni n v e r s e w ed e s c r i b et h em o t i v a t i o n ，t h ed i f f i c u l t i e sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r 2 ，i n s p i r e db yt h er e c e n tw o r ko fd r a g a n as c v e t k o v i 6 - i l i 6 【2 2 1 ，i nt h i sp a p e rw eg i v e an e wr e p r e s e n t a t i o nf o r t h ed r a z i ni n v e r s eo fa2 2b l o c km a t r i xu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n sb yt h e t e c h n i q u eo fm a t r i xd e c o m p o s i t i o n h o w e v e r , t h el i m i t a t i o no ft h i st e c h n i q u ei st h a to n ec a nn o t o b t a i nt h ec o n c r e t ed r a z i ni n d e x i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c ean e wt e c h n i q u et og e tt h er e p r e s e n t a t i o nf o rt h ed r a z i ni n v e r s eo f ab l o c ko p e r a t o rm a t r i x f i r s t l y , g i v e nt w ob o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sf ，go nab a n a c hs p a c ex s u c ht h a tg 2 f = g f 2 = 0 ，w e g e tt h er e p r e s e n t a t i o no ft h ed r a z i ni n v e r s eo ft h eo p e r a t o rm a t r i x 址m e r o m 肚( g f f h 洲吣p 彬 3 1 , w e f i n dmi sas t a b l ep e m 撕栅， w h e r e 厨= ( f 2 之g fg f f + 十g g 2 ) t h e na ne x p l i c i tf o r m u l af o rt h ed r a z i ni n v e r s em di sd e r i v e d i np a r t i c u l a r , w ep r o v i d et h e 上海师范大学硕士学位论文 d r a z i ni n d e xo fmu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s f i n a l l y , u s i n gt h eo b t a i n e dr e s u l t s ，w ep r o v i d et h e r e p r e s e n t a t i o no ft h ed r a z i ni n v e r s eo ff + g k e y w o r d s ：b l o c k o p e r a t o rm a t r i x ；d r a z i ni n v e r s e ；d r a z i ni n d e x ；s t a b l ep e r t u r b a t i o n 上海师范大学硕士学位论文致谢及声明 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了 特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成 果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了 谢意 作者签名： 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借 阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩 印或其它手段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 作者签矽如扔导师签名：确哗彳日期：刃口r ，彳 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日 期： 导师签名： 日期： 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 第一章前言 在本文中，c n 煳表示所有礼n 阶复矩阵集合，n 表示正整数集合对任意的( 复) 巴拿赫 空间x 1 和，令b ( 托，弼) 表示从x l 到恐的所有有界线性算子的集合若x 1 = x 2 ，那 么b ( 墨，恐) 可简记为b ( x 1 ) 在本文中，符号o ”和”丰”表示不同的含义对任意的巴拿 赫空间x 1 和魁，令 j 已。) ，2 = ( 三：) l 墨) 已，t = 1 ，2 ) ， 如果墨和都是巴拿赫空间x 上的闭子空间，并且满足x 1o x 2 = o ) ，那么我们定义 蜀+ 恐= x l + x 2 l 兢k ，i = 1 ，2 ，x 凡在下文中提及的x ，墨和托均表示巴拿赫空间任给算子a 1 8 i ( x ) ，冗( 4 ) 表示a 的值域，a f ( a ) 表示a 的核空间 定义1 0 1 任给算子a b ) ，者存在b s ( x ) 且k o ) un ，满足 a b = b a ，b a b = b ，a 七= a k + l b ，( 1 1 ) 则称a 为d r a z i n 可逆指标是有限数) 此时算子b 记为b = a d 称为a 的d r a z i n 避它 是唯一存在的( 详冕文献1 1 6 1 ) 算子a 的d r a z i n 指标记为i n d ( a ) 它是使1 1 ) 式成立的最 小的研其中k 【0 ) un 由定义可知，i n d ( a ) = 0 当且仅当a 非奇异此时a d = a 者 i n d ( a 、= 1 ，那么a 称为群可逆此时。a 的d r a z i n 逆表示为甜 注1 0 1 不难证观任给a b ( x ) ，当且仅当冗( ) 是闭子空间肘算子a 为d r a z i n 可逆 且满足i n d ( a ) n 另绝对任意p n 成立? 冗( ) = 冗( 印+ p ) ，a f ( a 7 ) = a f ( a r + p ) 此耽 空闽x 存在如下分触x = 冗( ) + ( ) 任给a b ( x ) ，假定a 为d r a z i n 可逆，且i n d ( a ) = ，1 ，那么对任意的j r ，存在 群逆进一步，我们令a 霄= i a a d 表示由a 导出的谱投影，那么任给z n ，成立 ( a ) 霄= ，一a ( a ) d = j a ( a d ) 。= ，一a 4 d = a 霄( 1 2 ) 令a = c a + 心表示a 的核一幂零分解，其中吼= a ( a a d ) 存在群逆，心= a 小是幂零 算子，则 心= 0 = m ，醴= 俨，q = a 霄，冗( o ) = n ( a 7 ) ，( ) = a r ( a ) ， 第一章前言 上海师范大学硕士学位论文 成立令 五= n ( a a d ) = r ( a 7 ) ，x 2 = 冗( ) = ( ) 从空间x = x l + x 2 到x lox 2 存在双射p ，定义如下： 即，= ( 端) 其中一( 争时翰 任给z x 以及航五( z ，歹= 1 ，2 ) ，因此，对任意的b b 僻) ，有 秽( b ) 笪p b p _ 1 = ( 岛b n 。岛b 1 2 2 ) b ( 蜀。恐) ， ( 1 3 ) 其中最j b ( 冯，五) ，i ，j = 1 ，2 而且b 1 1 = 【( a a d ) b ( a a d ) 】i x ，是a a d b a a d 在x 1 上的 限制同样地，b n = ( a a d b a 丌) i 恐，b 2 1 = ( 小b a a d ) l x ，以及b 2 2 = ( a ”b a 丌) i 恐特别地， 如果b = a ，那么 p c a ，= ( 吉羔) ，p c a 。，= ( 1 ：) ，p c a ”，= ( 兰呈) ， c 4 ， 其中a 1 = a ix | ，a 2 = a i 拖且钙_ 1 0 但是钙= 0 在过去的数十年中，人们对d r a z i n 逆理论的研究越来越深入如今，d r a z i n 逆的理论已 应用于多个领域，其中包括统计学，数值分析，微分方程，马尔科夫链，人口模型，密码学以及 控制论等等具体内容，读者可详见文献【2 ，9 ，1 2 ，3 0 】 人们对d r a z i n 逆的研究主要包括三个方面其一是对d r a z i n 逆的表示的研究这其 中以h a n w i n g 、s h o a f 、m e y e r 和r 。s e 为代表，他们在1 9 7 7 年首次给出了形如( a 。c b ) 的 2 2 阶分块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示，并将其命名为h a r t w i n g s h o a f - m e y e r - r o s e 公式 ( 详见文献【2 ，t h e o r e m7 7 1 】) 之后，人们在此公式的基础上，纷纷利用矩阵分解技术，研究 在某些特定条件下，一些分块算子矩阵的o r a z i n 逆的表示在文献【6 ，t h e o r e m2 2 】和文献 【5 ，t h e o r e m3 5 】中，d s c v e t k o v i 6 - i l i 6 和n c a s t r o g o n z 6 1 e z 均利用矩阵分解技术，将m 分 解成p + q 的形式，其中p 、q c 似n 然后分别在条件 p 2 = 0 ，p = p q ”和q 丌q p = q 霄p q ，( 1 5 ) 和条件 p 2 = 0 ，p = p q 霄 和q ”p q = 0 ( 1 6 ) 下，通过两个算子加法的d r a z i n 逆公式导出m 的d r a z i n 逆在以上两位的研究基础上，本 文受d r a g a n as c v e t k o v i 6 - i l i 6 近期工作的启发( 详见文献【2 2 1 ) ，在正文第二章中，给出了一 2 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 类在某些条件下的2 2 阶分块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示但由于矩阵分解技术的局限 性，我们始终不能清楚地给出这些分块算子矩阵的d r a z i n 指标 其二是对d r a z i n 逆的指标的研究在提出了h a r t w i n g s h o a f - m e y e r - r o s e 公式之 后，c a m p b e l l 和m e y e r 也开始关注d r a z i n 指标问题他们提出，若给定一个上三角分块 算子矩阵h ：f a b 1 ，其中a 和c 均是奇异算子矩阵那么，下式成立： oc m a x i n d ( a ) ，i n d ( c ) i n d ( h ) i n d ( a ) + i n d ( c ) 在1 9 9 5 年，b r u ，c l i m e n t 以及n e u m a n n ( 详见文献【l 】) 也证实了上述结论然而在这之后，人 们对于这类2 2 阶上三角分块算子矩阵的d r a z i n 指标，就再也没有提出更新的结论了 其三是对d r a z i n 逆的稳定扰动的研究在文献【3 0 】中，作者给定两个同阶复方阵a 和 b ，提出在一个较弱的条件下，b 是a 的稳定扰动，并给出b 的d r a z i n 逆b d 的表示这一 方法的提出，完善了之前人们对d r a z i n 逆的指标的研究同时，也给本文的研究工作带来了 重要的启发本文在第三章中，即从算子稳定扰动出发，提出了一种计算d r a z i n 逆的表示的 新方法，而且同时也得到了精确的d r a z i n 指标本文提出，若给定a = ( fi ) ：x o x _ 墨 ，、 b = il ：x _ xox ， g 于是有m = b a = ( 品分其中邶，g f ，严+ 卯以及g 2 + g f 均是咖i n 可逆， 且满足g 2 f = g f 2 = 0 我们将在下文中给出m d 的表达，并证明i n d ( m ) 2 m 一1 ，2 m ) ， 其中 8 = i n d ( f 2 + g f ) ，t = i n d ( g 2 + g f ) ，m a x s ，亡) 1 ， m e = m i n n s ，e l ( n ) = o ) ， t l 1 ( 扎) = - ( f 2 + g f ) n 【( ( f 2 + g f ) d ) + 1 ( f + g ) ( g f + g 2 ) j 】( g f + g 2 ) 霄 j = o + ( f + g ) 2 n - - 1 ( g f + g 2 ) 霄， m = m a x s ，t ，伽) 除此之外，根据上述结论，本文还给出了两个算子加法的d r a z i n 逆的表示，详见定理3 2 3 在这一过程中，本文在计算某些复杂算子矩阵的逆矩阵以及d r a z i n 指标时，都灵活运用了 一些技巧，才最终得到了本章中的一些重要结论 3 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 这样，本文的工作还完善了n c a s t r o - g o n z a l e z 近期的研究【o nt h ed r a z i ni n v e r s eo f t h es u mo ft w oo p e r a t o r sa n di t sa p p l i c a t i o nt oo p e r a t o rm a t r i c e s ，j m a t h a n a l a p p l3 5 0 ( 2 0 0 9 ) ， 2 0 7 - 2 1 5 现在，我们先来回顾一个关于上三角矩阵( 或下三角矩阵) 的d r a z i n 逆的表示的结论 ( 详见【2 l 】) ： 引理1 0 1 任给 尬= ( 吾三) 或= ( 暑三) ， 其中a 和d 是方阵且i n d ( a ) = ni n d ( d ) = 8 ，则 聊= a d x ，) 或聊= d do ) ， 7 ， 其中 x = ( a d ) 州- 2 b d n d 霄+ a 丌a 住b ( d d ) n + 2 一a d b d d ( 1 8 ) 4 上海师范大学硕士学位论文第二章一类2 2 分块算子矩阵在某些条件下的d r a z i n 逆的表示 第二章一类2 2 分块算子矩阵在某些条件下的d r a z i n 逆的表示 2 1 引言 1 9 7 7 年，h a r t w i n g 、s h 。a f 、m e y e rg lr 。s e 首次给出了形如m = ( 吾善) 的2 2 阶分 块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示，并将其命名为h a r t w i n g s h o a f - m e y e r - r o s e 公式( 详见文献 【2 ，t h e o r e m7 7 1 】) 之后，人们在此公式的基础上，纷纷给出m 在一些较强烈的条件下的 d r a z i n 逆的表示那么在一般情况下，或者说在较弱的条件下，m 的d r a z i n 逆的表示又是 怎样的呢? 受d r a g a n as c v e t k o v i 6 - i l i 6 近期工作【an o t eo nt h er e p r e s e n t a t i o nf o rt h ed r a z i n i n v e r s eo f2 2b l o c km a t r i c e s ，l i n e a r a l g e b r aa p p l 4 2 9 ( 2 0 0 8 ) ，2 4 2 - 2 4 8 的启发，本章节研究 了在某些较弱的条件下，一类2 2 阶分块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示 首先，我们回顾两个重要结论( 详见【6 ，t h e o r e m2 2 】和【4 ，t h e o r e m2 1 】) ： 引理2 1 1 ( o f 【6 ，t h e o r e m2 2 】) 给定只q c 住煳，其中i n d ( q ) = 8 如果r j 5 ) 式成立那么 ( p + q ) d = ( q d ) 件2 p ( p + q ) + q d 引理2 1 2 ( c f 【4 ，t h e o r e m2 1 】) 给定p q c n 黼，其中i n d ( q ) = s 如果f j 研式成立那么 ( p + q ) d = ( q d ) 件2 p ( p + q ) + q d n - - - - - 0 2 2 主要结论 现在，我们将利用引理2 1 1 得到本章节的重要结论： 定理2 2 1 给定m = ( 三d b ) c m + m + n ，：如p aec r e x m , dec n n , i n d c a ，= r 以及 删c 驴糟惭分娩阵) t 托j d r a z i n 撅若 c a 丌= c ，d ”c b = 0 ，d 丌d c = d 丌c a ，( 2 1 ) 第二章一类2x2 分块算子矩阵在某些条件下的d r a z i n 逆的表示上海师范大学硕士学位论文 r 一1 fc a n b ( d d ) 1 = 0 ， 一 n = 0 r 一1 9 - - - 1 a ”a n b ( d d ) 1 c b = 0 ， - - - - 0 a 霄b = f 丌a n b ( d d ) 竹+ 1 ( d c c aa d c c a ) a 霄b= 丌n竹+ 1 一c ) n = 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 成立那么 m 。= ( t f ；) + 芝i = 兰0 ( t f ；) + 2 ( 吕：) ( 三习， c 2 4 ， 其中x 如( 1 8 ) 式所示， 证观首先，我们利用矩阵分解技术，将m 写成：m = p + q ，其中 p = ( 吕暑)以及q = ( 吾三) 显然，p 2 = 0 其次，为了应用引理1 0 1 ，我们需要检验如下条件是否满足： p = p q 霄，q 霄q p = q 丌p q 蚓聪啦( 等甜德容易验证 p = p q 霄错c ( a x + b d d ) = 0 ，c a 霄= c ， 以及等式驴q p = 驴p q 当且仅当如下条件成立： a 丌b c = ( a x + b d d ) ( d c c a ) ，( a x + b d d ) c b = 0 ， d 仃d c = d 丌c a d 丌c b = 0 再次，由( 1 8 ) 式知， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) l l - - l r - 1 a x + b d d = ( a d ) n + 1 b d n d 丌+ a 霄a n b ( d d ) n “ ( 2 8 ) n = 0n = 0 最后，若条件( 2 1 ) 式成立，将上述似+ b d d 的表达代入( 2 6 ) 式，我们可以得到c ( a x + b d d ) = 0 以及( 2 6 ) 式成立当且仅当( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式成立此时，由引理2 1 1 ，我们可以 得到m d 的表达，形如( 2 4 ) 式 下面推论给出的条件比定理2 2 1 中的条件要弱然而，在这样较弱的条件下，我们仍然 能得到( 2 4 ) 式中给出的m d 的表达 6 上海师范大学硕士学位论文第二章一类2x2 分块算子矩阵在某些条件下的d r a z i n 逆的表示 推论2 2 2 给定m = ( 三三) c m + n , r n + n , 其中a c m m ，。c n x n ，t n d c a ，= ，- 以及 i n d ( d 、= s 若如t 条件中的任意一条成立： ( i ) c a 亓= c ，d 丌c b = 0 ，d 霄d c = d ”c a ，b = a d b d 霄； ( i i ) c a 万= c ，d 丌c = 0 ，b = a d b d 霄； ( i i i ) c a 丌= gd ”c b = 0 ，d 丌d c = d ，r c a ，b = a d b d d ； ( i v ) c a 霄= ad 宵c b = 0 ，d ”d c = d ”c a ，a 亓b = 0 那么我们都可以得到m d 的表示形如1 2 4 l 式 证观可由定理2 2 1 直接得到 2 3 数值例子 在这部分中，我们将给出一个2 2 阶的分块算子矩阵m ，其满足定理2 2 1 中的条件 那么，我们可直接应用( 2 4 ) 式算出m d 例诩埘定一2 阶分头算一m = ( 蒯a = 肛， c = 卜。= 经一一1 = = ) x ：f 22 i 经计算知? 00 ， c a 霄= gd 霄c b = 0 ，d 霄d c = d 霄c a ， c b d d = 0 ，a 丌b d d c b = 0 ， a 霄b c = a 丌b d d ( d c c a ) 于是满足定理2 2 1 中的条件那么由定理2 2 1 即得? 肌瞻 第二章一类2 2 分块算子矩阵在某些条件下的d r a z i n 逆的表示上海师范大学硕士学位论文 注2 。3 1 应用同样的证明方法我们也可以通过引理2 ，1 2 得到分块算子矩阵m 的d r a z i n 逆的表示 8 上海师范大学硕士学位论文第三章一类分块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示及d r a z i n 指标 第三章一类分块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示及d r a z i n 指标 3 i 引言 给定巴拿赫空间x 上的两个有界线性算子f 和g ，它们满足条件：g 2 f = g f 2 = 0 本 章节想要研究以下三个问题： ( 1 ) 由f 和g 导出的分块算子矩阵m = ( g f fg i ) d r a z i n 逆的表示； ( 2 ) m 的d r a z i n 指标； ( 3 ) 两个算子加法f + c 的d r a z i n 逆的表示 受文献【s t a b l ep e r t u r b a t i o na n de x p l i c i tc h a r a c t e r i z a t i o n so fd r a z i ni n d e x ，( s u b m i t t e d ) 的启发， 本章节从算子的稳定扰动方面出发，得到了m 是庇的稳定扰动，其中 砑= ( f 2 之g fg f f + + g g a ) ， 从而得到m d 的表达继而本章节又得到了m 的d r a z i n 指标，并详细地给出了在不同 条件下的具体的指标最后，本章节利用上述结论，结合公式( a b ) d = a ( ( j e i a ) d ) 2 b = a ( ( b a ) 2 ) d b ，得到了两个算子加法f + g 的d r a z i n 逆的表示 不同于之前利用矩阵分解技术，本章节从算子的稳定扰动出发，提出了一种新的计算 分块算子矩阵的d r a z i n 逆的方法，并且详细地给出了在不同情况下的d r a z i n 指标若给定 a = ( f1 ) ：x ox 一墨 肚i ! ) ：x - - - * x 。x , 于是得到m = 口a = ( 品丢) ，其中f ，g ，g f ，严+ g f 以及g 2 + g f 均吮；n 可逆，并且 满足条件g 2 f = g f 2 = 0 下文中，我们将给出m d 的表达，并证明i n d ( m ) 2 m - 1 ，2 m ， 其中 s = i n d ( f 2 + g f ) ，t = i n d ( g 2 + g f ) ，m a x s ，t ) 1 ， m o = m i n n s ，1 ( n ) = o ) ， t 一1 1 ( n ) = - ( f 2 + g f ) ”【( ( f 2 + g f ) d ) + 1 ( f + g ) ( g f + g 2 ) 。】( g f + a 2 ) 霄 j = o 9 第三章一类分块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示及d r a z i n 指标 上海师范大学硕士学位论文 + ( f + g ) 加1 ( g f + g 2 ) 丌， m = m a x s ，t ，m o 除此之外，利用上述结论，本章节还将给出两个算子加法的d r a z i n 逆的表示，详见定理3 2 3 本章节的内容改进了n c a s t r o - g o n z a l e z 近期的工作【o nt h ed r a z i ni n v e r s eo f t h es u mo f t w o o p e r a t o r sa n di t sa p p l i c a t i o nt oo p e r a t o rm a t r i c e s ，j m a t h a n a l a p p l 3 5 0 ( 2 0 0 9 ) ，2 0 7 - 2 1 5 现在，我们先回顾一些重要的定义和结论： 定义3 1 1 ( c f 1 3 0 1 ) 任给b b ( x ) ，k ，z n 令最，l = b 知一a 。此时，+ ( a d ) 取。j 可逆霾 们定义： k ，l _ 【1 + ( a d ) 取，l 】- 1 ( a d ) 最，l a 丌， ( 3 1 ) z k ，l = a 丌最，l ( a d ) ，+ ( a d ) b ，l 】一1 ( 3 2 ) 引理3 1 1 ( c f 3 0 ，i e m m a3 1 】) 任给b b ) ，其中j e 7 是a 的稳定扰动并且i n d ( b ) = & 于是对任意k ，l n k s i + y k l z k l 可逆其中y k l 和z k 分别如i 3 1 ) 式和( 3 2 ) 式所定 义 引理3 1 2 ( c f 3 0 ，t h e o r e m3 2 】) 任给b b ) ，其中b 是a 的稳定扰动并且i n d ( b ) = 8 于是对任意的k ，z nk 8 ， b d = 材【j + ( a d ) + 1 e k + 1 ，i + l 】一1 a d 【j + ( a d ) e k ，力帆，l ， b 霄= w 订【，+ ( a d ) e k ，d 一1 a ”【，+ ( a d ) 鼠，l 】帆，l ， 其中u l 和z k l 分别如1 3 1 ) 式和( 3 2 ) 式所定义，并且 w k ，l = ( ，+ k ，l 么，1 ) ( ，一磊，f ) 以及吲= ( ，+ z k ，1 ) ( ，+ k ，z 磊，1 ) 引理3 1 3 ( c 3 1 ，c o r o l l a r y2 8 】) 任给b b ( x ) 假定存在k o ，l o n 使得 ( a ) ，十( a d ) 7 0 e b ，如研陵 ( b ) b k o i + ( a d ) 。o 互，1 0 】- 1 a 丌= o ； 1 + ，t o z i c o i o 可逆其中k 和z 吣l o 分别如1 3 1 ) 式和1 3 2 ) 式断定义 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 那么b 是a 的稳定扰动且l i n d ( b ) k o 对任意的k k o 和f n ，b d 和b 丌分别如 ( 3 3 ) 式和( 3 ，4 l 式所示 1 0 上海师范大学硕士学位论文第三章一类分块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示及d r a z i n 指标 引理3 1 4 ( c 3 1 ，c o r o l l a r y2 9 1 ) 在引理3 j 3 的条件百着存在k l ，1 1 m 且七l 2 m 一2 且，一( m m ) 霄一( m 2 m - 1 ) 霄= i 一肋霄一m 丌可 逆所以如果i n d ( m ) = 2 m 一1 ，那么m 2 , - _ 1 存在群逆而且m 2 1 是肪m 的稳定扰魂因 此亩罗理3 j 6 中( c ) 兮( b ) 以及号理3 j 5 中的( b ) 可觎q 2 = 0 ；它等价子p 2 们式，似2 1 ) 式和3 2 2 ) 式分别成立相反地若妣= o 那么由弓i 理3 1 5 中的t b 、和引理3 1 6 中的 ( b ) 号( c ) 可觎m 2 舻1 存在群逆所以i n d ( m ) = 2 m 1 _ 定理3 2 3 给定eg b ( x ) ，且均d r a z i n 可逆并满足条p p ：g 2 f = g p = 0 假定g f d r a z i n 可逆那么f + gd r a z i n 可逆且满足 8 1 ( f + g ) d = f 妒；+ f “f 2 件2 ( ( g f ) d ) 件2 一f 2 f d ( g f ) d f ( i f 2 f d a n ) f 霄 i = 0 2 2 上海师范大学硕士学位论文第三章一类分块算子矩阵的d r a z i n 逆的表示及d r a z i n 指标 ( f 2 + c y ) 霄( g f ) d f 2 ( f 2 + g f ) d ( g f ) d + f ( g f ) d + f 妒1 忱g + a i 2 1 ( g 2 + g f ) d g + f 妒2 妒3 g + 妒；g ( 3 2 6 ) 其中a ma 乏，q 0 1 咿2 以及忱分别如定理3 2 1 中1 3 6 ) 式和1 3 1 1 ) t 3 1 4 ) 式所示 证咀定义算子a = ( fi ) ：xox _ x 和 b = ( 丢) ：x _ x 。x 经计算知，f + g = a b 以及 m 一= ( 三分 若m d r a z i n 可逆，那么e h i j i 理3 1 7 可知， ( f + g ) d = ( a b ) d = a ( ( b a ) d ) 2 b = a ( m d ) 2 b 于是由定理3