（基础数学专业论文）多线性marcinkiewicz变换子的有界性研究.pdf

摘要 本文主要研究m o r 西n 艇e t c z 算子与局部可积函数所生成的多线性交换子p ；的有 界性问题 本文由四部分组成 第一部分简要的介绍了本文的研究背景与重要意义，并且介绍了某些符号、定义、引 理等一些预备知识 第二部分证明了多线性m 凹c 讯觚e 叫记z 交换子延的s n r p 不等式，并由此得到了该多 线性交换子在扩( ) ( 1 p o 。) 上的有界性和l z 凹三型估计，其中 a 第三部分证明了多线性交换子硌在珲( 尼1 ) 和霹孑( 牙) 上的有界性，i = ( 6 1 ，6 m ) ，玩b m d ( 彤。) ，1s m ，此结论对于非齐次日e r 2 一日n r 匆空间日耳譬( 尼。) 上也成立 第四部分讨论了m r d n 女钯钯z 算子与b m 0 函数生成的多线性交换子肛的端点有 界性，证明了p 是l o o ( ) 到b m o 扣) 有界的，p 在满足适当条件时p 是h 1 ( ) 到l 1 ( ) 有 界的，同时p 是昂( 加) 到g m o ( ) 有界的，其中叫a 1 关键词：m c f n 航e ” c 2 算子；多线性交换子；口m o 空间；日n r 句空间； 日e r z 空间；h e r 2 一日口r 由空间 a b s t r a c t i nt h i 8p a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h eb o 衄d e d n e s so fm u l t i l i n e a rm 口r d 咒七i e 叫 “c o m m u t a t o r s 旗g e n e r a t e db y 朋o r d 住詹把叫 c zo p e r a t o rp sa n dl o c a l l yi m e 口a b l ef u n c t i o i l s t h ec o n t e n to ft h i sp 印e ri sm 越埘d i v i d e di n t of o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r to ft h j 8p a p e r ，w eb r i e 丑yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ep a p e ra n d t h e i rs i 昏l m c a n c ei nt h e o r ya n dp r a c t i c e w e 出s oi n t r o d u c es o m es i g n s ，d e f l n i t i o n sa n d l e m n l a s i nt h es e c o n dp 耐，t h es h 盯pi n e q u a u t i e sf o rm u l t i l i n e a r f 口r 西礼航e 叫t 凹c o m m u t a t o r s 砖a r ep r o v e d b yl l s i n gt h es h 唧i i l e q u “i t i e 8 ，w e0 b t a i np i sb o u n d e do n ( 叫) ， w l l e r e 叫a l ，1 p o o i nt h et h i r dp a n ，t h eb o u n d e d n 髑sf o rm u l t i l i e a r 朋n r d n 七t e 叫i c o m m u t a t o r s 远( 形) o n 砰( 彤) ，剧# ( 舻) a n d 日 ( 舻) ”ep r 砌，w h e t ei = ( b ”，6 m ) ， 6 i b m o ( 舻) ，1sl m 1 nt h ef o u r t hp a n0 ft h i sp a p e r ，t h ew e i g h t e de n d p o i n te s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a r m 口r d n 后j e 叫i c o m m u t a t o r sp 鲁a r es t u d i e d t h a tj sp 鲁i sb o u r l d e df r o ml ) t o 且 彳o ( 叫) ，f i l n h e 聊o r e ，p i sb o u n d e df r o m 日1 ( 叫) t ol 1 ( 叫) o ns u t i a b l ec o n d i t i o n a l s o w eg e tt h a tp 圣i sb o u n d e df r o m 昂( 叫) t oc f o ( t ，) ，w h e r e 叫a 1 k e yw o r d s ：m o r d n 七钯叫t c ：o p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r ；b m 0s p a c e ； 日r 句s p a c e ；日e r zs p a c e ；日e r z 日o r 由s p a c e i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 盏巧嗲日期：卅年中月掰日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“”) 嚣曩掘 导师签名：留i 阔纪 日期：z 明年牛月2 日 日期：。 7 年争月三3 一日 1 1 研究背景 第一章绪论弟一早三百1 = 匕 研究积分算子在函数空间中的有界性和函数空间的刻划一直是调和分析的中心问 题之一自从二十世纪五十年代ap c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d 等分析数学家们为研究偏微 分方程而建立奇异积分算子理论以来，奇异积分算子在函数空问中的有界性的研究就成 了调和分析中的重要课题( 见【1 】【2 】【3 】【4 】1 5 】 6 儿7 】1 8 儿9 1 0 】【1 1 】) m o r d n 钯 钯z 积分晟初是 由m o r d n 女把埘c o 提出的1 9 5 8 年，s t e i n 将m n r 西n k 把w 把z 积分推广到高维情形，用p 一1 表 示n 维欧氏空间酽的单位球面，其上赋予单位化的l e 6 e s 9 u 测度如( 一) = 出设q l 1 ( 铲- 1 ) 是零度齐次函数并满足下面消失距条件 n ( z 7 ) d ( z 7 ) = o 引进n 维m o r n k t e 州l c 秭只分的定义如下： 砌= ( 门砌1 2 2 ， 其中 w ) = l 。罟器m 坶j l z 一训9i 山一l 设o 一rs1 ，称定义在伊- 1 上的函数q 满足7 阶条件并记q l i n ( s ”- 1 ) 若 q ( z ) 一q ( z ”) i f m i z 一z ”j 1 ，、怔，z ”9 叽一1 s t e i n 研究了它的基本性质，证明了当n l i n ( s 竹- 1 ) ，o ，y 1 时，肛n 是( p ，p ) 型 的和弱( 1 ，1 ) 型的算子( 1 ps2 ) 继s t e i n 的开创性工作之后，关于肘n r d n 女i e 伽i c z 积分 方面的工作有许多著名的结果b e e d e k ，c a l d e r 6 n 和p a n z o n 证明了当q c 1 ( p 一1 1 时， p n 是( p ，p ) 型算子( 1 p o o ) ；2 0 0 0 年，d i n g ，f a n 和p a n 及2 0 0 1 年，d i l l g ，f a n 和p 町l 研 究了料糙核m n r d n 舰e 叫钯z 积分的( 驴，驴) 有界性；当核函数n 满足一类d i n j 型条件或属 于l i n ( 扩一1 ) ( 0 ，y 1 ) 时，d i n id i n g ，l ux u e 证明了m n r 西扎托e 叫钯z 积分的( 俨，口) 有 界性；2 0 0 4 年，陈冬香和张璞讨论了m o r d n 女i e 叫i c z 积分在日e r z 型h n r 咖空间的有界性 与奇异积分算子相关联的交换子是一类重要的算子，其重要性在于交换子可用于刻 划函数空间，是一个非卷积型的c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，由奇异积分算子丁与6 函数所生 成的交换子的定义为： ， 死( ，) ( z ) = k ( z ，) ( 6 ( z ) 一6 ( y ) ) ，( ) d j r n 自二十世纪七十年代以来，对这种交换子的研究十分热活跃，并取得了非常丰富的成果 1 9 8 2 年，s c h a n i l l o 【l 胡研究了尼e s z 位势与b m 0 函数生成的交换子并由此给出了b m 0 空 问的一种刻划；1 9 9 0 年，t o r c h i i l s l ( y 和w a n g 【门给出了m d r d n 钯 记z 积分交换子的加 权估计；1 9 9 5 年m p a l u s z y n s b l l 3 l 研究了ca l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子和威e 8 z 位势 与工i 筇如l 拓函数生成的交换子，并给出了b e 3 删空间的刻划，这种对空间的刻划成了研究 交换子的重要理论意义之一；s j a i l s o n 使用j 0s t r o m b e r g 的思想，利用f e 艉衄a i l s t e i n 的 s n r p 函数来研究交换子，受这种思想的启发，c p 6 r e z 研究了c a l d e r 6 n z y 鲫u n d 奇异 积分算子与b m o 函数生成的交换子的l o 北弱型估计及其在日o r 由型空间的有界性； 1 9 9 7 年，e h a r b o i l r e ，c s e g 嘶a 和j 如b 盯a 【l4 | 研究了该交换子的端点有界性2 0 0 1 年，张璞 建立了m n r d n 女诧埘积分交换子的弱型l o 业估计2 0 0 1 年，c h e n 和h u j j5 j 证明了奇异积 分算子交换子是从h 1 ( j p ) 到l 1 * ( f p ) 有界的2 0 0 4 年刘岚拮j i 切对多线性算子在t r t e 6 e f l i z o r 讯空间的有界性进行了证明，2 0 0 5 年陆善镇等i l n 证明了齐次m n r 西n 七钯 t c z 交换 子在h n r 咖型空问的有界性，2 0 0 5 年刘岚拮等l l 铷证明了m o r d n k 记 交换子在日o r 由型 空间的加权有界性，2 0 0 5 年刘岚酷【l 切对m r d 礼i e i 多线性积分算子进行了s 舰r p 估 计 2 0 0 2 年，c p 6 r e z 和r n u j i l b g o i l z a l e z 提出了奇异积分算子的多线性交换子 阀= 厶脚刊垂( 吣m ) ，( 肭 其中k 是奇异积分核( 见【2 0 】) 在本文中首先引入了与m n r d n i e ”i c z 算子相关联的多线 性交换子 舳= ( 助砰川2 筹) v 2 ， 其中 ， 棚刎) = l 。肄酗旷叫化 本文将对多线性肘0 r d n 自锄u t c z 交换子进行s o 印估计，并且对p 在l e 6 e s g u e 空间、日 句空 间、日e r z 一日n r 咖空间中的有界性进行证明 1 2 预备知识 在本文中，设丁是e f d e r 饥一z y 9 m n d 奇异积分算子，定义由函数6 和算子r 生成 的交换子为 陋，刀，( z ) = 6 ( z ) t ，( z ) 一r ( 6 ，) ( z ) q 表示尼。上各边平行于坐标轴的方体对于局部可秋函数，令，( q ) = ，o ，( z ) 如，口= i q | - 1 厶，( z ) 出且其s h o r p 函数定义为 ，串( z ) = 裂高z 叭y ) 一尼j 匆 2 另一等价定义：( 见【5 】) 戌z ) z 磐堪高z i 舳) 一g 协 f 誓定义为 铲( z ) = 【( i ，1 7 ) 带( z ) 】1 r ， 其中0 r o o 如果，群属于l 。( 舻) ，我们称，属于b m d ( 口) ，且定义i l 川且m o = i i ，i l p 事实上 我们有 1 1 6 6 2 - o i f 且 f d g 纠1 6 l i b 肘d 设m 为日n r 咖一l i 托f e d 0 d 极大算子，即 m ( ，) ( z ) 2 攀高尼l ，( 洲由-0 j z l v lj 0 我们记鸭( ，) = ( m ( 尸) ) 1 加，其中o o ，i 邓c 胁幻空间记为l 缸硇( 尼。) ，称函数，l i 却( 舻) ，若，满足： ，= 。船斜 o 。 z o r “ i z 一f 对于6 = ( 6 1 ，h ) ，厶即( 口) ，l j m 和口= 口( 1 ) ，一，盯( j ) 四， l | 邑l k p 。= i l k ( 圳l 扣。怫u ) i i “。 我们记m u c e n 舭唧t 权为如，l p o 。( 见【5 1 ) ，当p = 1 时有 a i = u ：m ( t ，) ( z ) g 叫( z ) ，o e ) 当”4 t 时，对任意的方体局，岛，历c 岛有哥怒e 下面的引理容易验证 引理12 1 如果伽如，l p ，则对任意的方体q 有x 口4 此外广义日；f d e r 不等式，逆h j f d e r 不等式，原子分解定理及原子的性质等将是我们 证明过程中运用的主要工具 引理12 2 ( 1 ) 广义日j f d e r 不等式：对任意的五( z ) 口( 牙) ，l tsm ，有 厶垂圳出( 厶刮m 如) v “( 厶l ，mc 圳m 出) 其中l 鼽 ，1 p 1 + l p m = 1 ； ( 2 ) 逆j f 出r 不等式：设权函数a l ，则满足逆日6 f 出r 不等式：存在l q o o 和 常数e ，使得对任方体q 有 ( 南z 删出) “9 高z 毗皿 4 定义1 2 3 设o ，y 1 ，铲一1 为尼1 22 ) 中带有正规勒贝格测度咖= 出( 一) 的单 位球设q ( z ) 为零测度齐次的，且满足以下两条件： ( 1 ) q ( z ) 在伊“连续且在s ”1 满足l i n 条件，i _ e n ( 一) 一n ( 笋，) j mj z 7 一可7 1 7 ， z 7 ，y 7 s 呱一1 ( 2 ) j 争一- s2 ( 一) d 一2o ； 设如0 = 1 ，m ) 为尼。上固定的局部可积函数，多线性m 口r d n 女钯 i c z 交换子定 义为 翮= 姒栅训炉筹 l 2 其中 棚删) = l 。掣匿( m ) 如 当m = 1 时，有 舳= 姒棚训斤筹 l 2 其中 肿黼) = l g 罟兰并( 6 ( 旷肌膨 。硎萨l 。掣m 胁j i p 一：i 垒i f 一引 删= ( 时删训2 筹) v 2 ， 这就是m o r d n i e t t ， 算子( 见【2 2 】) 设日为如下的日i f b e n 空间日= 危：i i i = ( ，厶r ，i ( ，t ) 1 2 句出矿+ 3 ) 1 2 1 ) 上的有界性和l z 叼l 型不等式 引理2 1 1 ( k 0 2 m 叼d r 俐) 设o p 0e 其中上确界取遍了所有的可测集e ，且o l e i o 。那么 i | ，lj w l - p 。( ，) ( 口( q p ) ) 1 加i i ，i l 助 引理2 1 2 f 加设q 1 ，其中j = 1 ，一，m ，记1 r = 1 r 1 + + 1 7 则 1， 商尼f ，1 ( z ) 厶( z ) g ( 列出m j 肌口m i 脚，口b w 肼一肛 引理2 1 3 【2 2 l 设 a l 且1 p o o ，则p s 是护( 叫) 有界和弱( l 1 ( 叫) ，l 1 ( ) ) 有界 的， 引理2 1 4 设1 r o o ，b b m o ( 毋) ，其中j = l ，k ，女则 高z 垂i c 们一c b ，。l a ”c 垂1 i b ”。村。 和 ( 南z 囊j bc ，一c 如，。j 7 咖) “sg 垂”吩”日肘口 证明选取l 乃 o o ，j = l ，m 使得1 加i + + 1 梳= l ，由谢折不等式 可得 南z 娶吨蚓由 s 垂( 高加沪c 坩旬) 蜥 6 和 引理即得 2 2定理与证明 e 】幻e ”d j = 1 k g 研且们 j = l 定理2 2 1 设o 1 l ，q 1 且如d 5 岛历( 尼) ，j = 1 ，一，m 记1 r = 1 r 】+ + 1 r m ( 1 ) 对于任意的o p g o 使得对于任意的函数，曙( j p ) 和任意的z 彤，有 墩妪c ( 怕慨训彬，+ 薹暑蛐乳似z ，) ( 2 ) 如果1 0 ， 有 州鼬) ) c 厶中( 掣) 吣 证明( 1 ) 只需证明对于函数，c 铲( 厅。) 存在常数岛，如下不等式成立： ( 高胎似沪叫刚圳彤，+ 薹丢蚶，) 固定方体q = q ( z o ，d ) 及z q 我们首先考虑当m = l 时的情况记，= ，1 + ，2 ，其 中 = ，x 2 0 ，丘= ，x ，一2 0 ，记 砰1 ( ，) ( z ，) = ( “( z ) 一( 6 1 ) 2 口) r ( ，) ( 可) 一只( ( 6 】一( 6 ) 2 0 ) ，1 ) ( ”) 一e ( ( 6 1 一( 6 - ) 加) ，2 ) ( ) ， 7 伽 v v 、 0o 嘞 r 严 k k 如 b 一 一 们 计 吩 b 。州，如 名三钏一钏( ，一u。脚 则 l p ( ，) ( z ) 一p s ( ( 6 ) 2 0 一6 1 ) 厂2 ) ( z o ) f = | | i x r ( 。) 砰1 ( ，) 0 ，) | i i f x r ( 。) r ( ( 6 1 ) 2 口一6 1 ) ，2 ) ( ) l jj i i x r ( 。) 群1 ( ，) ( z ，p ) 一x r ( 。l 最( ( 6 1 ) 2 q 一6 - ) ，2 ) ( ) l | i | x r ( 。) ( 6 - ( y ) 一( 6 1 ) 2 0 ) e ( ，) ( z ) i | + i | x r ( 。】e ( ( 6 z 一( 6 - ) 2 0 ) ) ( ) + l | x r 扛) r ( ( 6 l 一( 6 1 ) 2 0 ) ，2 ) ( ) 一x r 扛。j e ( ( “一( 6 z ) 狮) 厶) ( 们j j 兰a 扛) + b ) + c ( z ) 、 ( 高加瑚，出) u = ( 高加矿( 恻彤帕) u ( 南小邓删) w ( 南加附z ) w g 【i “i i o a 。， 知( p s ( ，) ) ( z ) c l 陋1 i i d 。一， 厶( p s ( ，) ) 扛) ； 对十b ( z ) ，利片j 引理2 1 1 及引理2 1 3 ，有 ( 南加圳，出) v = ( 高加( ( 6 1 ) 。腓妒出) v 9 g f 2 q r l 必崔黔业 sc 1 2 q i 一1 l l p s ( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 0 ) ，x 2 0 ) w l - sc 1 2 q i 1 1 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) 2 0 i l ，( z ) ld _ z j 2 0 g f l 6 1 一( 6 1 ) 2 口f f e x p 圹2 0 厂l ( f 叼l ) 1 ，2 0 硎6 1 岛m ， 吒- ，( ，) ( z ) ； 对于c 扛) ，有 ， 础矾圹训吼圳胪矧v 2 g 1 6 t ( z ) 一( 6 ，) 2 0 i i ，( z ) ix j ( 2 口) c j l 。群筹一l 9 滞筹卜 8 se 1 6 1 ( 。) 一( 6 - ) 2 0 | 1 ，( z ) i ，( 2 0 ) c ( 。石i ；叫。+ 。一：i ! 。1 ；：南 筹) v 2 出 c 1 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) 2 q i ，( 圳 j ( 2 0 】c ( 丘i ! 叫。+ ，一：；。i i ： 鼍i ：i i b t 一3 d ”出) 1 7 2 d z ， 当i i t ，k + f z l t 时，f z 一名j 2 ，j z + 可一。i l z z i t i z z i 一3 t g 0 ) c 1 6 - ( 2 ) 一( 6 - ) 2 q i i ，( z ) i l z z o l l 2 j ( 2 0 ) 。 ( 。五j ! 叫。+ ，一：i ! 。i i ：i ；：i i ! ! ! ! ：每) 1 7 2 如 c | 6 1 0 ) 一( “) 2 口j i ，( z ) | l z z o l l 2 j ( 2 0 ) c x ( ：f 熹眄) 1 门如 c lh 邓1 ) 2 洲m ) l 去兰焉笔出 j ( 2 口卜 i z o o r g lb c n 地( f 0 9 l ) i r ( 删z ) ； 因此 加瑚出) 纠e 训村) 下面考虑m 2 时的情况，对于6 = ( 6 1 ，一，6 m ) ，我们有 棚删卜l 。掣匣c 卅删卜出 = ( ( 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) 2 q ) 一( 6 ，( z ) 一( 6 1 ) 2 口) ) j l p z 1 9 “6 m ( z ) 一( 6 m ) 。口) 一( 6 m ( z ) 一( 6 。) z q ) ) 】罟兰昴鲁，( z ) 出 = 薹蒹( 一阳) - ( 6 ) 2 也l c ( 吣) _ ( 6 ) 2 如c 笋碧m j = o 口c = ，l 。l f o i ： 旧l = ( b 1 ( z ) 一( 6 1 ) 2 口) - - ( 6 。( z ) 一( 6 。) 2 口) e ( ，) ( ) + ( 一1 ) 1 e ( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 口) - ( 6 。一( 6 m ) 2 0 ) ，) ( ) + 喜三( 。阳) _ ( 6 ) 2 也l 吣) “( 圳，c 署茅m = 1 口c ? 。l v 一l y 旧1 = ( 6 - ( z ) 一( 6 ) z 口) ( 6 m ( z ) 一( 6 。) 2 0 ) 只( ，) ( g ) + ( 一1 ) m r ( ( 6 】一( 6 】) 2 0 ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 0 ) ，) ( ) 9 因此 m 一1 一 十c ，l 。( 6 ( z ) 一( 6 ) z 口) ，皆。( ，) ( 叫) j 2 1j 叮 i p ；( ，) ( ) 一p s ( ( ( 6 - ) 。口一6 - ) ( ( k ) 2 口一6 m ) ) 厂2 ) ( z o ) i | | x r ( 叫辟( ，) ( z ，) 一x r ( 。) 只( ( ( 6 1 ) 2 口一6 1 ) ( ( k ) 2 口一6 仇) 厂2 ) ( ) s | | x r 扛) ( 6 1 ( z ) 一( 6 - ) 2 0 ) ( 6 。( z ) 一( 6 。) 2 口) 最( ，) ( ) j i + ( 。) ( 取z ) 一) 。口) ，磅。( 烈z ，) l j ，= 1 口叮 + l i x r ( 。) 耳( ( 6 l 一( 6 - ) 2 0 ) - ( 6 m 一( 6 m ) 2 q ) ，1 ) ( 扩) j i + | | x r ( 。) e ( ( “一( 6 1 ) 。o ) ( k 一( k ) 2 0 ) 尼) ( 剪) 一x r ( 。) 只( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 0 ) ( k 一( 6 m ) 2 口) ，2 ) ( 可) i l 兰l l + 1 2 + 1 3 + 1 4 对于 ( z ) 和如( z ) ，类似于当m = 1 的情况，可得 ( 南加一出) v g 岫s ， 和 ( 南上c 珊出) s c 蓦三帆c 蛐彤，； 对于，3 ，由船的弱( 1 ，1 ) 型及引理2 1 2 ，可得 ( 南舯，出) 珈 s 南厶| 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) z q 卜。i k ( z ) 一( k ) z 。，( 硎如 e i l 6 l 一( 6 1 ) 。oj i 麒p l n ，2 0 - 1 1 6 m 一( 6 m ) 2 口l i e ，p 工r m 2 q i l ，i k ( i 鲫l ) - p ，2 口 c | 1 6 | l 气( f l ) l r ( ，) ( z ) ； 对于厶，类似于当m = 1 时的情况，可得 c 若k 憎。一| l 2 | 知q p v 2 缈。) - ( 蛐卜出 ， m l 蚤2 “胆1 2 抖l q | _ 。缈。) - 吩) 2 。卜川如 s c 2 一7 2 l i b 一( 幻) 2 。l | 。l 。+ t 。i i ，l l l ( 1 q l r + t 。 1 0 c k “2 一7 2 nj i 乃i f 。吮( r 。l ) - ，r ( ，) ( z ) k = l j = l 曼c n 恻k 一。吮l ) l r ( ，) ( z ) j = 1 通过( 1 ) 及p 5 和帆【z 0 9 l ) - ，r 的有界性，我们将得到结论( 2 ) ( 3 ) 定理22 1 证毕口 定理2 2 ，2 设如b m 0 ( ，p ) ，j = l ，m 则对任意的1 r o 使得对任意的，c 铲( j p ) 及任意的z 胛， c 出埘乍，c 恫h 。( 尬c 似z ，+ 姜暑坼c 彦c 埘c z ，) 证明 只需证明对于函数，c 铲( 尼) ，存在一常数岛有如下不等式成立 南石幛c 州司一g i 出s g 俐b m 。( 坼c 删z ，+ 喜暑尬c p 甄似硼) 固定方体q = q ( 知，d ) 及z q 设 = ，x 2 口，丘= ，x 2 口c 我们首先考察当m ；1 的情况记 砰1 ( ，) ( z ，f ) = ( 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) 2 0 ) 日( ，) ( ) 一e ( ( 6 - 一( 6 】) 2 口) ，1 ) ( g ) 一只( ( 6 - 一( 6 1 ) 2 0 ) ，2 ) ( 剪) 1 p ( ，) ( z ) 一p s ( ( ( 6 1 ) 2 0 一6 1 ) 丘) ( z o ) i = | | i x r ( 。) 曰1 ( ，) 0 ，g ) 一i f x r ( 。) e ( ( ( 6 1 ) 2 0 一6 - ) ，2 ) ( ) i l l s | | x r ( 。) 曰1 ( ，) ( z ，g ) 一x r ( 。) 冠( ( ( 6 1 ) 2 q 一6 1 ) 岛) ( ) l i | i x r ( 。) ( 6 ，( z ) 一( 6 - ) 2 q ) e ( ，) ( 9 ) | i + i f x r 扛) e ( ( 6 1 一( 6 】) 2 0 ) ) ( ) + i i x r ( 。) r ( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 口) 厶) ( ) 一( 。) 耳( ( 6 1 一( 6 - ) 2 0 ) ，2 ) ( f ) | i ia ( z ) + b ( z ) + g ) 对于a ( z ) ，设1 r + l 一= 1 ，由日j f d e r 不等式可得 高石，出 = 高z h ( 旷( 6 1 ) 。愀，) ( 圳出 e ( 南小刊：订出) v 一( 高加) 1 p e 怕m o a 4 ( 船( 埘( z ) 对于b ( ，远取l p 发l i r1 史得p l2r ，砹l z + l f 2l ，田地仕l “j 上 的有界性并利用日j f d e r 不等式，我们得到 高z 即，出 ( 高小s - 刊。洲圳出) v ( 南厶出) - ( 6 1 ) z 。) ，1 陋) “ se ( 南厶叭圳7 如) v 7 ( 南厶陋。c z 卜c 喊出) v 对于c 0 ) ，由m 锄d s 航不等式，可得 e ( 尉毗聊0 ) ) 脚刊2 口) 蒯| ) 2 筹) sc | 6 t ( z ) 一( 6 ) 2 0 l i ，( z ) l 丘一纠! 。i 筹一丘。一训；。i 端1 1 7 2 d z 1 6 ，( z ) 一( 6 ，) 2 0 l ，( 2 ) i ( 1f jj 恼i ，l z + f z i 茎 z + 可一z 1 2 ”一2l z o + 0 6 1 ( 沪( 6 1 ) 2 。忖 ( 以i ；j ( 2 。) c vj m s 筹) 1 2 d z l z z o ，1 。+ 。一：1 9k + 可一z l 抽一1 一s 咖出1 1 2 出 j 当i 鲈i ，j z + 剪一名l 时，i z z l 甜，l z + 可一2 i p 一2 i t2k 一2 i 一3 t ，对 于。0 ，则有 e ( z ) e | 6 1 ( 2 ) 一( 6 1 ) 2 q i | ，( z ) | l z z o l l 2 ( 丘l ! 川。+ ，一：l ；。i i 器) 1 7 2 出 g i 玩( z ) 一( 6 1 ) 2 q f | ，( z ) | | z 一。0 1 1 7 2 x u 小j t 一”d 出 ) v 2 d 2 c l “( 名) 一( 6 1 ) 2 q 1 1 ，( 。) i 【z z o l l 2 j ( 2 口卜 x ( 。f 鲁移) v 2 如 1 2 因此 因此 c 乞h 刊：洲圳嵩第如 c 互二 l z o z 1 1 2 l z o z i n + 1 ，2 1 b 1 ( z ) 一( 6 1 ) 2 q 1 | ，( 。) l d z ：；j 2 + 1 0 2 。o 善2 “力忙1 q r - 1 l 口6 出) - ( 6 1 ) 2 q 1 i ，( 恤 sc 静胆( 南鼬m 矿d z ) 叫 ( 高厶m 刊硝出) “。 c 壹2 佩h 。尬( ，) ( 。) = l c l l 6 ，| | o ，n 以f ，1 f z l 高z c ( z ) 如鲴h 怕肋尬( ，) ( z ) 当m 2 时，对于i = ( 6 1 ，k ) ，我们有 霹( 川z ，) = l 。掣匣c 蜘m ，出 = 【( ( 6 1 ( z ) 一( 6 ，) 2 0 ) 一( 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) 2 0 ) ) ji 一：i s ( ( 6 m ( z ) 一( k ) ：。) 一( k ( z ) 一( 6 m ) 。q ) ) 】詈竺弄鲁，( z ) 如 = 砉三( - 1 ) 一砸撕如l o ) _ ( 6 ) 2 小c 等碧化) 出 ，= 0j g ， o l p 叫三 1 7“o = ( 6 l ( z ) 一( 6 1 ) 2 0 ) ( 6 。( z ) 一( 6 。) 2 0 ) e ( ，) ( 口) + ( 一1 ) ”e ( ( 6 l 一( 6 1 ) 。o ) ( h 一( k ) 2 0 ) ，) ( 可) + 蓦三( - 1 ) m - 伽_ ( 6 k 吃阻( 6 ( 沪m c 罟皋化 ，= ld c ， 。l 一1 3 = ( 6 】( z ) 一( 6 ) 2 0 ) ( ( z ) 一( 6 。) 。o ) e ( ，) ( ) + ( 一1 ) ”r ( ( “一( 6 - ) 2 0 ) ( 6 h 一( 6 。) 2 0 ) ，) ( ) + ，( 6 ( z ) 一( 6 ) 。口) 。砖。( ，) ( 删) ， p ；( ，) ( z ) 一p s ( ( ( 6 。) 2 。一6 。) ( ( 6 m ) 2 口一k ) ) ，2 ) ( z o ) 1 3 l l x r ( 。) 砰( ，) ( z ，) 一x r ( 。) r ( ( ( 6 ，) 2 0 一6 1 ) 。( ( 6 m ) 2 0 一6 m ) ，2 ) ( ) i l x r ( 。) ( 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) 2 q ) ( k ( z ) 一( 6 。) 2 口) r ( ，) ( 9 ) | i m 一1 一 + ( 取z ) 一) 。) ，砖( 川砌) | l j = l 口g ， + l i x r ( 。) e ( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 0 ) ( 一( 6 m ) 2 口) ) ( ) i l + l x r 扛) r ( ( 6 1 一( 6 1 ) 2 0 ) ( h 一( 6 。) 2 0 ) 如) ( ) 一x r ( 。) r ( ( 6 1 一( 6 ，) 2 0 ) ( 6 。一( 6 m ) 2 0 ) 丘) ( ) l i e 厶( z ) + 如( z ) + 厶( z ) + 厶( z ) 对于j 1 ( z ) ，设1 加l + + 1 p m + l = 1 ，兵甲1 功 一( k ) ：。i i 胎( ，) ( 圳出 c ( 南厶j 6 1 柏计) v “( 南厶地kj m 书v ” ( 高加) 叫7 对于岛( z ) ，由m 饥d 叫s 兢不等式及引理2 1 4 可得 i ( 6 ( z ) 一( 6 ) 2 口) ，卢 。( ，) ( z ) i 出 e 蓦量( 南厶c 一c a k 出) v 7 ( 高石晦w ”如) 1 一 c 旧h d 尬( p ( ，) ) ( z ) j 2 1j 叼1 对于厶( z ) ，选取1 p r ，1 乃 o 。，j = 1 ，m 使得1 p l + + 1 舫+ r = 1 由p s 在口( 彤) 的有界性及日j f d e r 不等式，我们有 高厶厶( 。) 出 ( 高厶以( 6 l 刊。) _ ( 6 m k 眦妒如) u c ( 南厶出) - ( 6 1 ) 。q ) 慨地) 2 口妒m z ) v 1 4 b 厂如旧 小竹 土俐州 sc ( 南加删7 出) 1 p ( 南厶怕- c z ，一c 加p 出) 枷1 ( 南厶m z ，一c k k p 出) 1 帆 e 旧l 且。d 露( 似z ) 对于厶( 。) ，类似当m = l 时g ( z ) 的证明，我们有 厶( z ) sg l ，i 知一z | l 2 i o 一。p 州2 ) | ( 如( z ) 一( 岛) 。q ) 叭z ) 恤 j ( 2 q ) 。昔 选取1 研 j = l ，m 使得l 加l + + l p 。+ l = l ，则对于z q ， “”苫l 毗一| 1 2 | 如q 巾v 2 f 罂( 驰) _ ( 懈眦 如苫2 础肛| 2 1 q r _ 1l 口( 吣) - ( 捌| | ，( 刁恤 c p 胆( 南“化 出) 1 一 ( 南k h 刊。卯协) v “ ( 南k m 柏k z ) u “ c 妻耽一m m 们尬( ，) ( 。) 女= 1，= l c i l 目 ，n 儿f n b l 因此 高z ) d z g 恫伽。尬( ，) ( n 定理222 证毕口 定理2 2 3 设b b m d ( 舻) ，j = 1 ，m 则p 为( 叫) 有界的，其中t ，a l ， 1 p o o 证明在定理2 2 2 中选取适当的1 r p 并利用引理21 3 ，我们可以得到定理22 3 的 结论定理2 2 3 证毕口 1 5 第三章多线性m n r c i 几尼i e 叫i c z 交换子在日o r 匆 空间和日e r z 一日o r 匈空间上的有界性 3 1 符号及日o r 咖空间，日e r z 一日o r 妇空间的性质 设6 b m 0 ( p ) ，r 为仇z 如r 乩一z p 9 m 让n d 算子，对于交换子【6 ，刀，c o i f m a n ，r 0 c h b e r g 和w j i s s ( 见【2 4 】) 曾证明了一个很经典的结论，即【6 ，卅在驴( j p ) ( 1 p ) 上是有 界的但是，后来发现【6 ，刀并不是从日，( r r ) 到护( ，p ) 有界的然而，如果用一些适当 的原子空间碍( r ，) 和h 蛭孑( 曰) 来代替日( p 1 ) 的话，则交换子【6 ，邪将碍( 舻) 连续地映 到p ( 曰) ，将日霹孑( j p ) 连续地映到；”我们已知霹( j p ) c 日( 形) ，日；( 酽) c 日瞬，( 形。) 本章的主要目的就是确定由m d r d n t i 埘e i c 2 算子和b m d ( 尼。) 上的函数所生 成的多线性交换子在日 咖空间和日e r z 一日o r 句空间上的有界性首先，我们将引进一 些定义( 见【2 0 】【2 6 】【2 8 】【2 9 】f 3 0 】【3 1 】【3 2 】【3 3 】【3 4 】 3 5 】 3 6 】) 定义3 1 1 设6 = ( b 1 ，一，) ，其中0 = 1 ，m ) 为局部可积函数，o p 曼1 函 数n 称为一( p ，6 ) 原子，如果 ( 1 ) s t 珥