（基础数学专业论文）abel分部求和法与q级数变换及求和公式.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 利用a b e l 分部求和引理，本文系统研究基本超几何级数部分和，得到一系列关 于列平衡( w e l l - p o i s e d ) 级数、二次级数、三次级数、四次级数以及其它一些基本超几 何级数的变换及求和公式主要内容概括如下： 绪论部分详细介绍基本超几何级数的发展历史以及本文的主要思想方法一a b e l 分部求和法，并以列平衡级数为例说明此方法在基本超几何级数研究中的功效 第二章利用a b e l 分部求和引理，建立二次基本超几何级数的互补关系以及它与 列平衡级数间的变换公式据此，作者重新获得c h u ( 1 9 9 5 ) 和g e s s e l - s t a n t o n ( 1 9 8 3 ) 利用反演技巧得到的终止级数求和公式以及g a s p e r ( 1 9 8 9 ) 和r a b i n a n ( 1 9 9 3 ) 利用级 数重排的方法得到的非终止级数变换及求和公式 第三章利用a b e l 分部求和引理研究三次基本超几何级数部分和，建立关于三 次级数的互补关系以及它与列平衡级数间的变换公式这两个公式不仅推广c h u ( 1 9 9 3 ) 、g a s p e r ( 1 9 8 9 ) 以及g a s p e r - r a h m a n ( 1 9 9 0 ) 的一些结果，而且导出部分新的基 本超几何级数恒等式 第四章旨在利用a b e l 分部求和引理研究两对互为对偶的四次基本超几何级数 部分和关于第一对级数，有与二次和三次级数类似的结果，即同类级数的互补关系 以及它们与列平衡级数间的变换公式；对于第二对，作者将给出6 个不同寻常的变换 公式，其中包括每一个级数到二次、三次以及另一个四次级数的变换 第五章根据a b e l 分部求和引理的双边极限形式，建立下述熟知求和公式的公共 双边推广：a n d r e w s ( 1 9 7 3 ) 的q - b a i l e y 与q - g a u s s 求和公式，a n d r e w s ( 1 9 7 6 ) 以及j a i n ( 1 9 8 1 ) 关于w a t s o n 和w h i p p l e 公式的两种口一模拟该推广公式也可看作m j a c k s o n ( 1 9 4 9 ) 的3 凰级数恒等式的完整g 一模拟 关键词：a b e l 分部求和引理；基本超几何级数：互补关系式；变换公式：求和公式 大连理工大学博士学位论文 a b e l sl e m m ao ns u m m a t i o nb yp a r t sa n d s e r i e st r a n s f o r m a t i o na n ds u m m a t i cf o r m u l ；q - s e r i e sl i a n s t o r m a t i o na n du m m a t i o nr m u l a e a b s t r a c t b ym e a n so fa b e l sl e m m ao ns u m m a t i o nb yp a r t s ，t h i st h e s i si n v e s t i g a t e ss y s t e m - a t i c a l l yt h ep a r t i a ls l i m so fb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s s e v e r a lt r a n s f o r m a t i o na n ds u m - m a t i o nf o r m u l a ef o rw e l l - p o i s e d ，q u a d r a t i c ，c u b i c ，q u a r t i ca n do t h e rs e r i e sa r ee s t a b l i s h e d a sp r e l i m i n a r i e s ，t h ea u t h o rb r i e f l yr e v i e w st h et h e o r ya n dd e v e l o p m e n to fb a s i c h y p e r g e o m e t r i cs e r i e s t h em o d i f i e da b e ll e m m ao ns u m m a t i o nb yp a r t si sp r o v e d i t s a p p l i c a t i o nt ob a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e si si l l u s t r a t e dw i t hw e l l - p o i s e ds e r i e s i nc h a p t e r2 ，a b e l sl e m m ao ns u m m a t i o nb yp a r t si sa p p l i e dt oq u a d r a t i cs e r i e s a r e c i p r o c a lr e l a t i o na n dat r a n s f o r m a t i o nt ow e l l - p o i s e ds e r i e sf o rq u a d r a t i cs e r i e sa r e e s t a b l i s h e d t h e ya r ef u r t h e re x p l o r e dt od e r i v es o m ei n t e r e s t i n gk n o w ni d e n t i t i e sd u e t oc h u ( 1 9 9 5 ) ，g a s p e r ( 1 9 8 9 ) ，g e s s e l - s t a n t o n ( 1 9 8 3 ) a n dr a h m a n ( 1 9 9 3 ) ，w h i c hh a v e o r i g i n a l l yb e e nd i s c o v e r e dt h r o u g hi n v e r s i o nt e c h n i q u ea n ds e r i e sr e a r r a n g e m e n t s i nc h a p t e r3 ，t h em o d i f i e da b e ll e m m ai se m p l o y e dt oi n v e s t i g a t ec u b i cs e r i e s a r e c i p r o c a lr e l a t i o nf o rc u b i cs e r i e sa sw e l la sat r a n s f o r m a t i o nf r o mc u b i cs e r i e st ow e l l - p o i s e ds e r i e sa r ee s t a b l i s h e d ，w h i c hn o to n l yg e n e r a l i z es o m er e s u l t sd u et oc h u ( 1 9 9 3 ) ， g a s p e r ( 1 9 8 9 ) a n dg a s p e r r a h i n a n ( 1 9 8 3 ) b u ta l s ol e a dt os e v e r a ln e wq - s e r i e si d e n t i t i e s i nc h a p t e r4 ，t w op a i r so fd u a lq u a r t i cs e r i e sa r et r e a t e db ym e a r l so fa b e l ：sl e m m a o ns u m m a t i o nb yp a r t s s i m i l a rt ot h eq u a d r a t i ca n dc u b i cs e r i e s ，r e c i p r o c a lr e l a t i o n sa n d t r a n s f o r m a t i o n st ow e l l p o i s e ds e r i e sa r ed e r i v e df o rt h ef i r s tp a i r i n s t e a df o rt h es e c o n d p a i r ，s i xu n u s u a lt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a ea r eo b t a i n e dw i t ht w ob e t w e e nt h e ma n do t h e r f o u re x p r e s s i n ge a c ha sp a r t i a ls u m so fq u a d r a t i ca n dc u b i cs e r i e s f i n a l l y , i nt h el a s tc h a p t e r ，b ym e a 3 2 so ft h en o n t e r m i n a t i n gf o r mo fa b e l sl e m m ao n s u m m a t i o nb yp a r t s ，ac o m m o ne x t e n s i o ni sa c c o m p l i s h e df o ra n d r e w s ( 1 9 7 3 ) g - b a i l e y a n dq - g a u s sf o r m u l a ea sw e l la st h eq - a n a l o g u e so fw a t s o na n d r b _ i p p l ef o r m u l a ed u et o a n d r e w s ( 1 9 7 6 ) a n dj m n ( 1 9 8 5 ) ：w h i c hc a na l s ob ec o n s i d e r e da saf u l lq - a n a l o g u eo fm j a c k s o n s ( 1 9 4 9 ) 3 凰一s e r i e si d e n t i t y k e y w o r d s ：a b e l ：sl e m m ao ns u m m a t i o n c a lr e l a t i o n ：t r a n s f c i r m a t i o nf o r m u l a ； b ? p a r t s ；b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ；r e c i p r o - g s e r i e si d e n t i t y i i i 大连理工大学学位论文独创性说明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申 请学位或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的 贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：丝磁基盘趁壹殛逸童越基盔盆奎 作者签名：3 j 笨j 缒一 日期j 珥年上月单日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文工作 的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保留论文并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文 学位论文题目：碰旌麟垂丕函复燃趁童超屋缬盆螽 作者签名： 导师签名： 日期：建盟2年l 月立l 日 日期：单年上月址日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 基本超几何级数，又称g 一级数，在组合数学、经典分析、数论、理论物理及计算 机代数等领域具有重要的理论意义和应用价值基本超几何级数求和公式和变换公 式一直是基本超几何级数领域的主要研究课题本文通过引入含有余项的a b e l 分部 求和引理，改进以往在超几何级数领域只用于研究封闭性求和公式的a b e l 分部求和 法，系统研究基本超几何级数部分和，建立终止的和非终止的基本超几何级数变换 1 1 基本超几何级数 首先介绍一下基本超几何级数的相关概念及发展历史设z 和q 为任意两个复 变量，定义z 以q 为基的升阶乘( 简称g - 升阶乘) ( z ；g ) o = l 和( z ；g ) n = ( 1 一z ) ( 1 一x q ) ( 1 一x q n 一1 ) ，其中n n 当i q l 重新整理上式中的亿函数，分开脚标为k 和7 2 的升髟r 乘，得到 t 己( q k a , q k b , q k c , q k d , a , p ，7 ) = 了1 - j q 1 两+ 2 k ；：b 耵c d a 。q k b 6 , ，n q k c c , ，n q k d d , ，q 1 a q k + 1 q ：q k + 乏l p q k + 乙l 7i g n- q ? b ，a ? c ，n f d 、 o l iq 8 n 1 “ 1 一口, + 2 k b c d nrb c d o t ，口11 。j i 二i 石葡l n b ，o c ，。d ，g 。o ：g n p ，q a ，yi g j 扎 lb ，c ，d ，g 竹+ 1 口q ，q + l a p ，g 九+ 1 口1i g j 七 用q 幺来标记另一个列平衡级数 q 幺( n 6 ，c ，d ，0 ：，p ，7 ) = q m ( b c d a ；b 、c ，d ：g p 1 ，q a c r 7 ，q a o e z ) = m 三- 1c 1 。m 描d 愚, q a 倒a a 肚q 吲a a q t 巾, q 胁a b 1n 知， 我们最终建立如下列平衡级数变换公式 6 大连理工大学博士学位论文 定理1 2 ( 列平衡级数互补关系：q a 3 = 6 c d q p 7 ) ： 蹦咖，c ，d ：q 以7 ，一c q r n a ；q m b , q m c , q m d , a , p 川陵左玉搿裂薯苈：象问m = 茜拦嬲端卜 州一舶， 一q 鲁c 9 2 n n ，g n 6 ，g n c ，g n d ，g n q ，g n p ，g n 7 ， 口；，6 ，口；：，口名，q a q a ，g a p z ，q 孑7 i 司n ) 这个关系式之所以被称为互补的，是因为右端花括号中的部分可以通过在左端表达 式中互换m 与n ，并作参量替换口一b c d a ，q q a p 7 ，卢_ q a a 7 和，y q a a z 而 得到如果将此递归关系再运用到右端的花括号中，那么我们将回到关系式的左端 在这个定理中，依次令m = n ，b a ，c = 9 1 - n ，可以看到变换公式的最后两行消 失，第一行右端的级数q n 变为1 重新命名参数，我们得到j a c k s o n 的q - d o u g a l l 求 和定理 推论1 3 ( j a c k s o n 【1 3 】：参见 2 ，i i 2 2 ) ： 。hg 讧，- q 以，6 ， c ，d ，e ，口_ mi 8 咖【面，一讧，g o b 朋c q n d 朋e i q m + l ai 编g j = q 口a n b 呈n q a 6 c c 囊q 口a 7 簧d q g a 口b 谢c di g m 其中9 1 + m 口2 = 6 c d e 【，叫m 尢。y 值得一提的是，定理1 2 在m ，n 一。时导出下面的非终止级数变换公式 命题1 4 ( 非终止的列平衡级数变换：q a 3 = b c d a z t ) ： 吣沌c m 胁，= 6 鬈韶搿烈翟君锄虬a 西s 协，嚣暑品膨| g ；g 2bcd告a趔bc)(1鲁a糕bd)(1a c d 似，b ，c ，d a 舯) ( 1 一 一一 ) l 、1 ”一： 一 。；6 ，n ；：，口欠，a q a ，g a 卢z 1l g t 。 g q a a ，3 , q a q ， lqa3qaa q a 7q b c aq b d aq c d a7 | g ；g 1 0 6 ，n c ，口d ， ，g 削w 。【 ， p 。j f 依次令b a ，d 一1 ，并重新命名参数此命题退化为非终止的q - s a a l s c h f i t z 公式 推论1 5 ( s e a r s 5 1 e q5 2 】：参见( 2 ，i i 2 4 】) ：对于满足条件q a b c = d e 的五个变元n ，b ， c ，d ，e ，存在这样的平衡级数恒等式： d 7 7 d 6 ，d d 口c c , ，d d a b b c cg j = s 。 n ：6 ：cq；qdd a b d 【，d 口c ， d b c 叫 ”l ， + g 易e 6 名；! ；：，篡多gl 口 s 毋： 口。7 e 9 6 7 e ：；：c e e q d e| g ；司 + l g n e ，9 6 e g c e ，d e g l 口j 3 妒2 【，9 2 e | 弼叫 7 a b e l 分部求和法与俨级数变换及求和公式 前面关于列平衡级数的例子充分体现了带有余项的a b e l 分部求和引理在基本 超几何级数变换公式研究中的功效除了列平衡级数 2 5 外，在基本超几何级数理 论中，还有一些重要的类，例如，二次【5 2 ，5 3 、三次【5 4 以及四次 5 5 ，5 6 】基本超几何 级数在接下来的几章，我们将利用a b e l 分部求和法系统研究二次级数、三次级数、 四次级数以及其它一些基本超几何级数，并建立关于这些级数的大量变换及封闭性 求和公式 8 大连理工大学博士学位论文 2 二次级数的变换及求和公式 利用a b e l 分部求和引理，本章研究二次级数部分和 这个级数有下述特点：以q 为基的分子参量和分母参量与以9 2 为基的分母参量和分 子参量交叉相乘是常数本章分为两节，第一节主要建立二次级数e 与另一个二次 级数的互补关系；第二节推导级数e 的列平衡级数表达式一些终止的和非终止的 基本超几何级数变换及求和公式也将被作为推论给出 2 1二次级数互补关系 对于给定的两个序列 a 七= g n q b ，, c ，q q 2 。a c ，b d dg 七 g 芝； 6 ，口莒z c9 2 七， b 七= 擞掣刚勘州q a 2 肛c e h ， 不难验证它们满足下面的关系 面：= a 一1 b o2 a 冗：= 瓦a n - 面l b n = 以及有限差分表达式 ( i 一6 o ) ( 1 一c a ) ( 1 一q c d ) ( 1 一q b d ) ( 1 6 ) ( 1 一c ) ( 1 一q a b c l ) ( 1 一q c a d ) 絮 。l ；：，d q , ，q a b dq ln 。；b ，e ，q g a 。2 q ，c d e q c d q a ec e a b d q1 9 2 n ； 1 一 【o c ， ， nl o b ，矿q d 2 jn v 啦等裂毒鬻蒜赭 点黝札：瓢酱c 扎 9 k g 七 g d6 e g肛以2 o 0 q 2 ，ge 玩 ， c 口 g k g 口 配叫 ， 驴咖 以以 ，c 6， 0 g 口 g l 州脚 = edc6口 魏 a b e l 分部求和法与g 级数变换及求和公式 b 七一 ( 1 - 二q l 瓦+ 3 k 研a ) ( 1 f - 可q k a 顽c ) ( = 1 - 而q 2 a 厕d e 面) ( 1 i - a 丽d q 厂c e ) 懒黧勘朋q a 2 讹c e 幢 通过a b e l 分部求和引理，我们可将级数e 改写为 、， 7 1 q d ) ( 1b c a ) ( 1 qcbd、e n ( a , b , c , d , e ) x 丌。了上- 丽q i a ) 丽l - = o c 习a ) 面 1 - 丌q 丽c o a ) n 驴- 1 地= d 崭篙需攀褊 n 第- 1，w q b 郇, d 。咖q , q 彤2 a 咖b d 赢砾q a 2 褂c e2 = 晶c q a , q b , q 2 c , d 愚e ，d 赫咎斋掣旨箐 将其代入前面的式子，并进行化简，我们推得下面的递归关系 晰，6 c d e ) = 磊( q a , q b , q 2 c , d 舭) 等粝誊群 昔淼篇焉絮蒜 一口 1 - 冗) 篱稆笔群斋产 迭代上述方程m 次，得到表达式 聃，c ，如) = 吼m a m b2 m m e ) 陇麓c e t , d n 川 c , q 腿c e g c a d , 6 d 1 6 q 2 a 咖d e 9 2 m 一篙型蓦黑器m薹-1qd)(1 b c 口) ( 1q c b d 1 叫 b 1 9 2 m 凫，e ) ) ( 1 一 一一 ) 毛二【 一h 1 1 叫1 叫j i - q l + 3 k c d ) g 。b , q d c ，g a 口, q e a ，c e b d 。ig j 七 g 。c c , q 6 d c e ，g a ：。d , q d 2 ：a g 。6 d c e n | 9 2 ? 七 写出上式中冗一函数的具体表达式，整理得 n ( q 七n ，q k b ，q 2 k c ，d q 七，e ) k b k a 脚 +一亿刀 = k a v七 b 州脚 i l 大连理工大学博士学位论文 =三=三兰塑gqk七b口,qc-，l-kd,ql+，kga七cebd口iqjn 。q ，2 k c , e _ l ，q a 2 c e l q l + 3 k c d q l + k a ebb d qq 2 + 2 k a l dl 1 9 2 n 一一 卜七口c ， ，矿c e 口削。l o ， ， q j 。 =qn，b,ql+na，bd,qaebq a b dq l + n a e ，q n 豁q 2 - n g d l q c 几a 刚嚣q 2 + 2 n 2 三舻 凫【， ， c e 几， ， 叫k 【c ，o d 1 1jk 1j-i二q_三l+丽n+3kcd6，d79，gn7配lgna；6j，e，qa2ce3kcd a cq a ec e a b d qq 2 a dq 2 几 “1 一9 1 + 【 ， 削。【a 6 j ， q j 。 进一步定义有限和 e m ( a , b , c , d , e ) = m 酣- 1 - - g c 例l 9 2 d b , q ，9 0 c a e , q a 咖b d q j 。l c , 6 d q c e q 2 a 。d d ，, q 2 9 2 b a d c e n 旧惫矿 不难看出，它与级数e 之间存在如下关系 互幺( n ，b ，c ，d ，e ) = 互k ( a n ，6 ，c ，入d ，入e ) 其中a = q c a d 综上所述，我们获得下述关于二次级数e 的变换公式 定理2 1 ( 二次级数互补关系) ： 晶( a , b , c , d , e ) 一晶( q r n a q m b q 2 m c d q m e ) q b , c a , q a b di q 扎c 。, 州q 2 a 彤d e , 嬲1 9 2 m = 高滕兹黔貉卜 州吲产吣飞产叫强产e ， 口b ，, c d ，g q 口, ，q e a ，c e b d 口jg j n q 6 c ，, 6 e d , q ，g a ，2 9 。c n e ，d9 2 n ) 像定理1 2 一样在上述定理中将m 与n 互换：并作参量替换a 一入口，d _ a d ，e a e ( a = q c a d ) ，得到的关系式仍然是互补的下面是定理的一些相应推论 首先在定理2 1 中令m = n l ，b _ o ，c = 9 2 2 n ，之后将凡变为n + 1 ，我们重 新获得下述已知求和公式 推论2 2 ( g e s s e l s t a n t o n 【5 2 ，e q1 4 和c h uf 4 3 ，e q4 1 d ) ： 亳普a,d,qgd如i1七阵羔矿主2ha2ql+2n q a ee a l q q 2 , qa dq a d 几m jk q 七 台1 一a l n ， g - 轨 七l 2 ， l q = 慨q a 心黯：撒h 上式在礼一的极限情况给出非终止级数恒等式 1 1 a b e l 分部求和法与q - 级数变换及求和公式 推论2 3 ( r a b m a n 5 4 ，e q4 6 】) ： 薹喾黔燃糕水kqa,q2a,吼qade,州q2a，deq q 2 a dq a d ；q 2q a eq a dl q 2 急1 一o 【2 ， ， 】七( q 口e ；q ) 惫1【 ，酽o e ，旷a d l q j 其次，在定理2 1 中令m = 礼一1 ，d q b ，6 = q 1 一，然后将他变为他+ 1 ，我们推出下 述求和公式 推论2 4 ( 终止的二次级数求和公式) ： 喜喾撅q - - ? t , j q a c q a e ，一c e 印al i 纰q ，q l - - e n 蠢q 铲2 + 铷ni 卜 台l o 【 ， j 七【2 ， o ， 口1j 七1 = 溉魏叭口产l - h a e q g - 飞n c e 舻a n 最后，在定理2 1 中取m = 仡，c = q 2 2 n ，可直接获得如下变换公式 推论2 5 ( 二次级数变换：a = q 3 - 2 n a d ) ： 磊c a , b , q 2 - 2 n , d , e ) = 高篇睾霸黼晶c a a , b , q 2 - 2 n , a d , a e ) 当e = q 2 a d ，此变换公式退化为文献 5 6 】的方程( 5 2 ) 根据级数一致收敛的w e i e r s t r a s sm 判别法 5 7 ，p1 4 1 ，可以计算极限 t i m 。r ( g m a 矿6 9 2 、d g m ，e ) = 3 2 e , q 2 , q a 2 c e l q 2 ；卦m m _ o 。 f 1 哪l i m 。c q 3 n a , q n b ；q 2 n c , q n d , q 2 n e h 。 g 豫：黜d q 2 ；斗 因此，在定理2 1 中令仇，n 一。c ，我们可直接获得下面的变换公式 命题2 6 ( 非终止的二次级数变换：i 甜a l 1 ) ： 刖，c ，d j e m 6 c d e ) 占勰篙器 刊：陋欺雠c d z 糍虢川 c , q 他2 a 耐d e , 酬q c e a d 口扎 懈 g 豫乙黜d 雠c d b 叫, d , 咖q a 剖b dg 。 k 搿麓d | 9 2 。研斋鲁丽 1 2 一一一 大连理工大学博士学位论文 二- 一一： 利用n a h a l l | 5 8 ，1 9 3 6 j 的q - k u m m e r - t h o m a e - w h i p p l e 公式( 参见 2 ，i i i i o ) 3 咖。卜珈堕a c e - c 6 d , 配删a c , b d 础c efgb a c e s 锄p 施：溅c e 蚪 3 晚i，d | g ；一| 。f6 ，d ，6 d 口c ef g f3 锄i ”矗；：。二。f g c l ， 我们不难得到下述变换 3 晚l e g 配q 2 , ，q g a 。口2 c 6 ei 1 9 2 ；鲁 = q 9 2 6 d q ，a g z d 口e 6 , c ，d c d e g al q 2 3 ： b 口d 。d q , a e ，c b d , c e d 。af 9 2 ；g 。 ， s 砂z 心2 a 蜘d e q ，2 阳, q c e 配a d _ 2i c d = q 2 , q “c 2 e a 。似2 , q 2 舭c e | 9 2 。晚b c a , q c b d , c d 口i q 2 ；q 2 据此，命题2 6 可改写成如下等价命题 命题2 7 ( 非终止的二次级数变换) ： e ( a 一，c ，d ，e )一e 7 ( o 6 ，c ，d ， 2q2,c,，qade,，cdea，,qce，ad,q2，gbad扩eq2abq 2 a db c ac d aq c b d2 ll ， ， ，g b 扩f 。 陇b , c 耐a , q e a 矧b dg 卜2 笔三层揽f 9 2 ；9 2 +三a92qbd,cie；b，qa2ce，,qcae，a2,q，zceqbdq 2 a bq 2 a db c ac d l aq c b d | q 2 1 。 ， ， q j 。 g 。b , c ，d g , n q a e ，。b d e 口l g 3 z 6 c 口c a 2 e , q 口c 。b ，d g , 。c c d e 。| 9 2 ；q 2 对于b = 口和c = 口两种情况，此命题分别退化为下面两个已知的变换公式 推论2 8 ( g a s p e r 5 5 ，e q5 1 5 和g a s p e r r a h r a a n 【5 6 ，e q5 1 ) ： f a ，d q d l q a c ，q a e ，c e a吼 9 2 七 = 蛾q a ，咖c e q 刚谢笛z 篙黝矛d , q 州2a 如忆 + 三af l q a g c n , q a d e g , c d e af g 。l e g , n q d a j2 9 。c n e , d q ，c ：c e d a n 2 ，g , q c 2 c 。d e1 9 2 s 西： c g q c 。c , e a n d 2 , ：g c ：d c ，a e 9 2 ；9 2 推论2 9 ( 1 h h m a n 【5 4 ，e q3 1 2 ) 虽坐 厶1 一n k = 0 一 a ：e ，q a e 【9 2 a b 9 2 a d jq b d口2 南 = z 乙。q 。b , 6 q g d 2 , 。q ，2 d a g b 6 d d | 9 2 。3 西2 6 姜! ；芝岁兰1 9 2 ：9 2 1 3 篙 一 k 矿以 巳。旷甚 拿二l 1 一 脚 七 、叫 dl d e ：舭咖反川，g b a b e l 分部求和法与q 一级数变换及求和公式 2 2 列平衡级数表达式 如果我们选择不同于上节的差分序列 4 七5 召凫 2 同样，容易计算关系式 一山1 8 0 = a 端g 襻希铲， 冗：= 丽a n - 1 1 3 n = 下1 - q 2 丽c e a 魄端q a 训b d 扎7 i 篇b d ，激2 a dh ；此；丽2 了丽【口c ，口e g c 口【口6 g ，口| q - j 。； 利伺限意分衣还瓦 v 小坚斜袢嚣鬻 需勘剖q 2 h 蝇= 等豢粽笺粉鲁鞘 州q 州a b 妇dl 吡q a 4 2 州c e ，2 9 3 b b c e d 。扎一 根据a b e l 分部求和引理，级数e 满足如下关系式 卧 “尚袢糈崭譬籍 = 留 冗一1 ) + 晶( 9 2 0 ，q 2 b ，9 2 c ，d ，q 2 e ) ， ( 1 一9 6 ) ( 1 一q c e a d ) ( 1 一b c d e a 2 ) “( 1 一q c e a ) ( 1 一b c e a 2 ) ( 1 一q 2 a d ) ( 1 一9 6 d ) 连结上述首尾两项，则有函数方程 晰 c d e ) = 岛( q 2 a , q 2 b , q 2 c d , q 2 e ) 若瑞旨 ，( 1 一c ) ( 1 一e ) ( 1 一q c e a d ) ( 1 一b c d e a 2 ) (1-bca)(1-bea)(1-qbd)(1-q2ad) e 恻 吣川 q 传儿 蝴咖m筘黜 ，q ，肛以毗以叫 日 缸a 州脚 +一尼 r，l 钌 i i kav b 州脚 = _ 苎垄型兰堇主兰垡鲨塞 一a ( 1 一r ( 1 - l b 上一a ) 口( c 1 - 口八c i a 一) ( 。1 e - n e 八上a ) ( 1 c - e 叫b 傀a ) 然后迭代此方程m 次，我们得到 互(口，6cd，e)=上(q2ma,q2mb,q2mc,d,q2me麓乏左，6qece口a，gd6,dbc，gcl。e口ad2j i q 2 m 一番嬲赭篆(1-q4kbeel b e a ) ( ib e a ) ( i c e a谁糕 一：_ _ ，_ 二二-、， 一、 、一71 ，二 1 ( 一 一 一) 二 咎瑞端群淼产 将此递归关系迭代m 次，我们得到如下表达式 rc a , b , c , d ，：r c q r a , q m b , c ，q m ：q a r n d ，篆锯等篆 易毒笔笼l g m 。6 d d , 厄q ：g a d ，c 比：1 9 3 m 一咎塑碧溯m-1(1-91似dc丽(qda一；q)2kqc)(1 b d a ) ( 1q d b c q a c ；q ) 2 k 矿 ( 1 一 一一 ) 主三、 1 7 ( x 1 - r , ( q k a , b , c q kq 3 k d ) 【j 。，b , ，q a b ，