（基础数学专业论文）混合幂domain的极大点空间及其对某类domain结构的封闭性.pdf

混合幂d o m a i n 的极大点空间及其对 某类d o m a i n 结构的封闭性 基础数学专业 研究生韩本三指导教师梁基华教授 为了模型化不确定计算而引入的幂d o m a i n 已成为程序设计语言指称语 义学研究中最重要的构造，几个经典的幂d o m a i n 构造已经被广泛的研究( 见 5 】) c a g u n t e r 在 6 】中引入了混合幂d o m a i n 的概念并证睨了当d 为 s o b e r 空间时，混合幂d o m a i n 的序刻画，使我们更清楚的看到其内在本质 但是仍有一些基本问题没还不甚清楚，作为一个重要的概念还是有必要给予 研究 首先我们研究了l a w s o n 紧连续d o m a i nd 的混合幂d o m a i n 首先对 一般的d o m a i nd 本文讨论了其混合幂d o m a i n 一些基本性质( 2 ) 同时因 为近年来应用d o m a i n 环境来解决拓扑学中的某些问题引起了人们的关注( 见 【8 , 9 ，l o 】) ，我们进而讨论了混合幂d o m a i n 的d o m a i n 环境问题本文给出了 混合幂d o m a i n 极大元的刻画，证明了当d 为l a w s o n 紧时，混合幂d o m a i n 是其极大点空间的d o m a i n 环境( 3 ) 其次研究了f b - d o m a i n 关于混合幂d o m a i n 构造是封闭性一个d o m a i n 范畴能够作为一个非确定性计算的指称语义模型的基本要求是它关于某类适 当的幂d o m a i n 构造封闭并且需要是c a r t i s a n 闭的因而研究d o m a i n 范畴关 于幂d o m a i n 构造的封闭性是幂d o m a i n 理论研究的基本任务之一( 见【2 】) 本文证明了f b d o m a i n 关于混合幂d o m a i n 构造是封闭的( 4 ) 关键词；混合幂d o m a j n ，f b d o m a i n ，d o m m n 环境，极大点空间 t h e s p a c eo f t h em a x i m a l p o i n t si nt h em i x e d p o w e rd o m a i n a n dt h ec l o s e d o w no fi t s c o n s t r u c t i o nw i t hr e s p e c tt os o m ek i n do f d o m a i l i m a j o r ：f o u d a t i o n a lm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：b e n s a nh a n a d v i s o r ：p r o j i h u al i a n g p o w e rd o m a i n si n t r o d u c e df o rm o d e l i n gn o n d e t e r m i n i s t i cc o m p u t a t i o n h a v eb e c o m et h em o s ti m p o r t a n tc o n s t r u c t i o n si nt h es e m a n t i c so fn o n d e t e r m i n i s t i cp r o g r a m m i n gl a n g u a g e s s e v e r a lc l a s s i cp o w e rd o m a i n sh a v eb e e n s t u d i e dd e e p l y ( i n 【5 】) c a g u n t e ri n t r o d u c e dt h ec o n c e p to ft h em i x e dp o w e r d o m a i ni n 【6 】a n dh eg a v ead e s c r i p t i o no ft h em i x e dp o w e rd o m a i nb yo r d e r f o ra s o b e r g r o u n d d o m a i nd s ow ec a nu n d e r s t a n di tm o r e c l e a r l y h o w e v e rt t h e m i x e d p o w e rd o m a i ni s n ts t u d i e dd e e p l yt i l l n o w a sa ni m p o r t a n tc o n s t r u c t i o n t i ti sn e c e s s a r yt ob ed i s c u s s e ds e r i o u s l y a tf r s t ，s u c ham i x e dp o w e rd o m a i nc o n s t r u c t e db yt h eg r o u n dd o m a i nd w h i c hi sc o n t i n o u sa n dl a w s o nc o m p a c tw i l lb ed i s c u s s e d a tf r s t ，w e v eg i v e n s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h em i x e dp o w e rd o m a i n sc o n s t r u c t e db yo r d i n a r y d o m a i n s a n di nr e c e n ty e a r s ，i th a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o ni na p p l y i n gt h e h u l lo fd o m a i n st or e s o l v es o m ep r o b l e m si nt o p o l o g y ( s e e 【8 , 9 ，1 0 】) s ow e d i s c u s s e dt h eh u l lo ft h em i x e dp o w e rd o m a i nf o rd e e p e rc o n s i d e r a t i o n i nt h i s p a p e ra c h a r a c t e r i z a t i o no ft h em a x i m a le l e m e n t si nt h em i x e dp o w e rd o m a i n h a sb e e ng i v e n a n dw eh a v ea l s op r o v e dt h em i x e dp o w e rd o m a i ni st h eh u l lo f i t sm a x i m a ls p a c ef o ral a w s o nc o m p a c td o m a i nd a n ds e c e n d l y ，w ed i s c u s s e dt h ec l o s e d o w no ff b d o m a i nw i t hr e s p e c tt o t h ec o n s t r u c t i o no ft h em i x e d p o w e rd o m a i n s ab a s i cr e q u i r m e n tf o rad o m a i n c a t e g o r yb e c o m i n gt h em o d e lo fa nn o n d e t e r m i n i s t i cp r o g r a m m i n gl a n g u a g e i st h a ti ts h o u l db ec l o s e dw i t hak i n do fp o w e rd o m a i nc o n s t r u c t i o n s oi t h a st u r n e di n t oab a s i ct a s kt os t u d yt h ed o m a i nc a t e g o r i e sw h i c ha r ec l o s e d w i t hs o m ek i n do fp o w e rd o m a i nc o n s t r u c t i o n s ( s e e 【2 ) a n di nt h i sp a p e r ，、v e p r o v e dt h a tf b d o m a i ni sc l o s e dw i t hr e s p e c tt ot h em i x e dp o w e rd o m a i n c o n s t r u c t i o n k e y w o r d s ：t h em i x e dp o w e r d o m a i n ，f b d o m a i n ，t h eh u l lo fd o m a i n ，t h e s p a c e so ft h em a x i m a lp o i n t s 致谢 v6 , 5 4 4 4 6 本文是在导师梁基华教授的悉心指导下完成的。三年 来，她不论在学习上给予详尽的教导，同时也在生活方面 给予很多关心和帮助，使作者受益非浅，在此作者向她表 达最衷心的感谢! 同时也向罗懋康教授表达作者衷心的感 谢，他严谨的治学态度和渊博的知识也都深深的影响作者。 另外，作者也非常感谢其师兄奚小勇，索剑锋和梁云 在作者学习期间给予的很多帮助和关心。 同时也向所有那些在作者学习研究阶段给予帮助的人 致以衷心的感谢! 1序言 产生与于7 0 年代的d o m a i n 理论作为程序语义学的数学基础，旨在为程 序语义学提供数学模型序和拓扑的相互结合在这一领域起着基本的作用 对于不确定语言，由于程序的执行会产生多种可能的选择，通常的d o m a i n 结构无法准确的描述这种程序的语义所以为描述不确定程序语言的语义而 建立的幂d o m a i n 理论也就成为d o m a i n 理论中最重要的构造之一此外，幂 d o m a i n 也可用于对集合数据类型和关系数据类型的语义表示 基于上述原因，p l o t k i n 1 2 】于1 9 7 6 给出了第一个幂d o m a i n 构造，用于 描述不确定性语言的语义随后，s m y t h 1 3 引入了一个更简单的构造，即 上幂或s m y t h 幂构造在【1 1 】中，第三个幂d o m a i n 构造出现了，即下幂或 h o a r e 幂d o m a i n 构遣这样，这三种构造便成为幂d o m a i n 中基本的结构， 并且得到了广泛的研究 在对数据库理论的一些问题的研究中，b u n e m a ne ta 1 提出组合上幂和 下幂d o m a i n ，引入了所谓的三明治幂d o m a i n g u n t e r 在研究经典幂d o m a i n 逻辑时，通过对p l o t k i n 幂d o m a i n 逻辑的一个自然延拓，构造了所谓的混合 幂d o m a i n 但是人们对混合幂d o m a i n 的认识至今还不甚清楚，如紧元的刻 画等，本文将对混合幂d o m a i n 的一些基本性质进行研究 将拓扑空间作为极大点空间嵌入到一个d o m a i n 结构，从而给出拓扑空间 的计算模型，不论从数学理论角度还是在应用角度都是一个很有意义的问题 因此研究d o m a i n 结构的极大点空间是本文的目的之一由于混合幂d o m a i n 的构造是序对形式的，这样便增加了讨论的复杂性我们证明了若d o m a i nd 是l a w s o n 紧的，则混合幂d o m a i n 是其极大点空间的d o m a i n 环境 1 序言 2 一个d o m a i n 范畴能够作为一个非确定性计算的指称语义模型的基本要 求之一是它关于某类适当的幂一d o m a i n 构造封闭因而研究d o m a i n 范畴 关于幂d o m a i n 构造的封闭性是幂一d o m a i n 理论研究的基本任务之一( 见 ( 2 j ) p l o t k i n ( 见( 1 4 ) 首先发现他的构造对有界完备代数d o m a i n 范畴不是封 闭的，从而p l o t k i n 提出了一个关于他的构造封闭的范畴，即s f p d o m a i n 范 畴l i a n g ( 见 2 1 ) 证明了f s d o m a i n 关于p l o t k i n 幂d o m a i n 构造的封闭性 f b 。d o m a i n 是d o m a i n 理论中一个重要的结构，考虑它关于混合幂d o m a i n 构 造是否封闭的问题是有趣的，本文证明了f b d o m a i n 关于混合幂d o m a i n 构 造是封闭性的 2混合幂d o m a i n 的一些基本性质 首先介绍一下本文用到的一些符号和术语。一个偏序集称为一个d c p o ， 若它的每个定向子集都有上确界d c p od 是连续的，若对每个xe d ，uz 是 定向集，并且z = vuo ，这里uz = f d ：g o ) ，并且y z 表示对d 的任意一个定向子集e ，若v e 2z ，则存在e c e ，使e 可d c p od 的一个 子集b 称为d 的基，若对每个z d ，毋= ux o b 是定向的且z = v b 。一 个d c p od 是连续的当且仅当d 有一个基 定义2 1 【1 l 若集合b 带有传递关系 ，并且v xe b ，对b 的每个非空有限 集m ，m z 寺3 y b ，5 t m 一 可 z ，则( b ，- ) 称为抽象基。 如果b 的一个子集i 对序 是定向下集，则称i 为( b ， ) 的一个理想。 记i d ( b ) 为( b ， ) 的全体理想集，并赋予包含序贝6i d ( b ) 为连续d c p o ，我 们称i d ( b ) 为( b ， ) 的理想完备化 命题2 2 【1 l 若( b ， ) 是一个抽象基，则 ( i ) 对i e i d ( b ) ，口i ，存在i ，s t z y ( i i ) 对f ，j i d ( b ) ，i j 甘弘，y b ，z y 且，l z i 。y j 其中 l a = 6 b ：b ) ，v a b ， ( i i i ) i d ( b ) 是连续d c p o 如无特别说明，下面总假定d 是连续d c p o ，记d 的极大点集为m a x ( d ) 定义2 3 i l l 如果存在一个连续d o m a i nd ，s t ( x ，n ( x ) ) 垡( m a x ( d ) ，o ( d ) ；m 。 口) ) 则称拓扑空间( x ，n ( x ) ) 是极大点空间若等式a ( d ) i m 。( d ) = 盯( d ) f m 。( d ) 也 成立，则d 称为( x ，q ( x ) ) 的d o m a j n 环境这时d 也是m a x ( d ) 的d o m a i n 2混合幂d o m a i n 的一些基本性质4 环境 d 为一连续d o m a i n 对a ，b c _ d ，我们给出如下关系 ( i ) a l b 甘v a e a ，3 b eb ，a b ( i i ) a v b c * v b e b ，3 a e a ，a b ( i i i ) a e m b # a l b 且a u b 同理我们可以定义关系l ，u ，e m 记p ( d ) 为d 的全体非空有限子集簇 m o ( d ) = ( “2 ) ：( “) 护，( d ) p ，( d ) ，肛u ) 在m o ( d ) 上定义序i l f 如下： v ( p 1 ，扩1 ) ，( p 2 ，地) m o ( d ) ，( p 1 ，n ) m ( p 2 ，l ) 净p 1 up 2 ，1 ll ，2 由关系满足插入性质，容易知道； ( p l ( d ) ，u ) ，( p ( d ) ，l ) 和( ( d ) ，m ) 都是一抽象基 定义2 4 【5 l ( 1 ) i d ( m o ( d ) ，村) 称为d 的混合幂d o m a i n ，记为m ( d ) ； ( 2 ) i d ( 聊( d ) ，矿) 称为d 的上幂d o m a i n ，记为“旧) ； ( 3 ) i d ( p l ( d ) ，l ) 称为d 的下幂d o m a i n ，记为c ( d ) ； ( 4 ) i d ( p s ( d ) ，e m ) 称为d 的p l o t k i n 幂d o m a i n ； 命题2 删( 1 ) 设( a ) 吲为d 的一可滤s c o t t 紧上子集簇若对o 盯( d ) ，a = n j a o ，则3 i o ，s f a l 。o 并且若v i i ，a 。0 ，有 a 0 ( 2 ) 对任意一个s c o t t 拟紧上集a c _ d 都存在d 中的一有限子集簇f 尬： ie ) ，使得f ，a 1 f 疋，a = n 科t 幺，并且 t i 正：i ) 是d 中可 滤子集簇 2 混合幂d o m a i n 的一些基本性质 5 命题2 , 6 若d 是代数的，则m ( d ) 也是代数的，并且k ( m ( d ) ) = l “。 ( “) ：p k ( d ) ，k ( d ) ) 为了便于本文后面部分的证明，现作如下记号；记m 。( d ) = ( k ，c ) ： k 妄d ，c d ，k 为d 的非空s c o t t 紧上集，c 为d 的非空s c o t t 闭子 集，并且满足v o 盯( d ) ，k 0 辛c e 币面) 并且对( k ，c ) em ( d ) ，记 ( k ，c ) = ( “) m o ( d ) ：uk ，lg ) 命题2 7 对( k ，c ) e m ( d ) ( 1 ) v p uk ，3 v lc ，s t uv ； ( 2 ) v 王，lc ，j p uk ，st u 扩 命题2 8 若连续d o m a i nd 是s c o t t 拟紧的，则m ( d ) 也是s c o t t 拟紧的 证明：d = u 。d 价z 由d 的s c o t t 紧性知存在d 中一个有限子集m ， 且m 中的每个元都是d 的极小元，使得d = u 。m 介x 即有d = u 。mt 易有( m ，m ) m ( d ) ，令芦= l 。( m 1 ，m 2 ) ：m 1 ，m 2 冬m 且( m 1 ，a 如) ( d ) ) ，又由v ( “) m ( d ) ，3 m 1 ，尬m ，s t ( m 1 ，m 2 ) m ( “) 即 v ，m ( d ) ，| 如，s t i o i ，即m ( d ) 存在有限个极小元，从而m ( d ) 是 s c o t t 拟紧的 6 中从拓扑角度证明了关于混合幂d o m a i n 的如下刻画，由于其在本文 的重要性和为便于表述，下面给出给出其另一种证明。 定理2 9d 的混合幂d o m a i nm ( d ) 同构于m ( d ) ，若对m ( d ) 赋予如下 序：( k l ，c a ) ，( k 2 ，c 2 ) m 7 ( d ) ，( k 1 ，c 1 ) s m ，( k 2 ，c k ) 车争尬k 1 ，c 1 c 2 证明；为建立映射，：m ( d ) - - - - - - 4m 7 ( d ) ，g ：m ( d ) m ( d ) v i m ( d ) ，记 ，l = p ：j p p i ( d ) ，s t ( h ) j ) ，如= 工，：| p 护，( d ) ，s t ( “) ，) 2 混合幂d o m a i n 的一些基本性质 6 令 y ( i ) = ( k i ，c i ) = ( n 。i 。t “0 面) ，9 ( ( k ，e ) ) = ( k ，g ) + 则由前面定义知道映射，和g 都是保序的我们记 9 ( ( k i ，o ) ) = ( k i ，c i ) + = ( e ，f ) ：e uk 1 ，f la ) 显然有，( 尬，o ) + v ( e ，f ) ( k i ，c i ) ，由e un 瓜i 。t 知了p ，1 ，s t e up 由命题2 7 和f l l y e 1 2 1 2 ，从而| 1 2 ，s t f l 因i 是 定向的，故存在( p o ，) t ，s t ( e ，f ) 彳( p o ，峋) 即i = ( 硒，g 九从而有 go ，= i d m ( d ) ， v ( k ，c ) m ( d ) ，下证9 ( ( k ，c ) ) em ( d ) 明显9 ( ( k ，g ) ) = ( k ，g ) + 是个下集v ( m ，1 ) ，( p 2 ，2 2 ) ( k ，g ) ，则3 t o ，蜘d ，s t 肛l u t o u k ，t 2 up o ，k ，2 l lp 0 lc ，忱l 峋lc 由k 介p o 知g 芒千i 而v z 幻，c n 介x 0 ，即c n 介x n 什p o 0 ，从而3 y 。c n 介p o ，且 z y 。令y = 啦) 。，则蜥 g e m 且竹t o 即有( t o ，) ( k ，g ) + ， 且批l ，1 1 ) m ( 伽，) ，( t 2 ，t 2 2 ) m ( p o ，) ，从而9 ( ( k ，e ) ) 们( d ) 所以 f i g ，c ) ) = ( k ，e ) ，即，o g = i d m 一( d ) 在【5 中h e c k m a n n 对混合幂d o m u i n 的等价刻画做了简化。 定义2 1 0 5 i 对集合a ，若存在a 中一有限集f 使得a tf ，则称a 是 有限性的 命题2 1 1 1 5 1 对d o m a i nd ，下面2 条是等价的： ( 1 ) d 是s c o t t 紧的，并且对d 中任意2 个点z ，y ，集合tx mty 是s c o t t 紧的； ( 2 ) d 是有限性的，且任意2 个有限性上集的交是s c o t t 紧的 我们把具有上述性质的d o m a i nd 类型记为k c 定义2 1 2 1 5 d o m a i nd 称为是多连续的当且仅当对一开集o 中所有的点 茁，存在一有限性集合f 和一开集0 ，使得z o o 2 混合幂d o m a i n 的一些基本性质 7 定理2 1 3 n 令d 为k c 类中一多连续d o m a i n 则对所有闭集gsd 和 紧上集k d ，下面2 个表达是等价的： ( 1 ) 若对某个开集o 有k o ，则c c d ( c n 0 ) ( 2 ) c i ( c n k ) 3混合幂d o m a i n 的极大点空间 在这一章里，为了更方便证明，我们首先给出了d o m a i n 环境的等价刻 画，然后我们又定义了本文的另一个重要的概念，我们称之为性质p 对于混 合幂d o m a i n 环境问题，我们首先对其极大点进行了研究，在此基础上证明了 连续的l a w s o n 紧d o m a i n 的混合幂d o m a i n 是其极大点的d o m a i n 环境。 定理3 1 【1 i 对于连续d o m a i nd ，下面凡条是等价的： ( 1 ) d 是m a x ( d ) 的d o m a i n 环境； ( 2 ) 妇d ，存在d 的一个s c o t t 闭集如，使得txnm a x ( d ) = a 。n m a x ( d ) ； ( 3 ) v x d ，y y m a x ( d ) ，z 基y 兮j z o ，y o y s t tx o nty o = 0 引理3 2 阳j ( 1 ) 设d 是连续d c p o 若l d 为l a w s o n 一紧的，则jl 是s c o t t 闭 集 ( 2 ) 连续d o m a i nd 是l a w s o n 紧的充要条件为d 是s c o t t 拟紧的且任意 两个s c o t t 拟紧上集的交都是s c o t t 拟紧的 定义3 3kgd 为s c o t t 紧上集，若v k l 亦为d 中s c o t t 紧上集， 且坼n m a x ( d ) = kn m a x ( d ) ，都有k 1 = k ，则我们称k 满足性质p 引理3 4d 是连续l a w s o n 紧d o m a i nd ，则v ( t c ，c ) m 7 ( d ) ，c ik 证明，因k 是s c o t t 紧上集，从而是l a w s o n 闭集，这样k 是l a w s o n 紧 的由引理3 2 ，ik 是s c o t t 闭集，即瓦= l 假设j z g 霄，则3 y z ，丁f 8 3混合幂d o m a i n 的极大点空间 9 y nk = 0 ，故3 y o ，s t y y o z 且ty onk = 0 ，即n k c _ n “( ty o ntp ) = 0 从而3 # o ”( d ) ，s t ，ty o nt 肛o = 0 且k _ - q 1 _ r 弘o 又因为( k ，c ) m ( d ) 即c 虿斤百面，因此有介y o n c a 介伽0 ，矛盾 定理3 5d 是连续l a w s o n 紧d o m a i nd ，则对( k ，c ) m ( d ) ，( k ，c ) 是 极大元铮c = lk ，并且k 满足性质p 证明。必要性v x knm a x ( d ) ，若z 掣c ，令c 1 = c ujx ，则 ( k ，c 1 ) m ( d ) ，且( ，c ) ( k ，c 1 ) ，矛盾，所以k n m a x ( d ) c ，即 l e 又因为( ，ik ) m ( d ) ，则由引理2 4 有a = lk 又假如存在 k l k ，k l k 且硒n m a x ( d ) = k n m a x ( d ) ，显然( 尬，jk 1 ) m 7 ( d ) ， 且( k ，lk ) 肘，( k i ，i 确) ，矛盾所以满足性质p 充分性假如( k ，k ) 不是极大点由于m 7 ( d ) 是d c p o ，则存在( k ，c t ) m ( d ) 为极大点，使得( k ，ik ) m ，( k 1 ，c 1 ) 由前面必要性的证明知 g 1 = lk l ，即k l k ，ik lk 1 从而必有k lnm a x ( d ) = k n m a x ( d ) ， 又k 满足性质p ，则有k 1ik 且lk l = lk ，矛盾证毕 定理3 6d 是连续l a w s o n 紧d o m a i n ，则m ( d ) 是m a x ( m d ) 的d o m a i n 环境 证明：v i m ( d ) ，v l o m a x ( m d ) ，i 星i o 则由上述定理知3 k d 为s c o t t 紧上集，使得o = ( k ，lk ) ，且k 满足性质p 又因为，g 厶，则 j ( p o ，峋) 八( k ，l ) + 根据命题2 2 ，我们不妨假设弘og ，k 或2 0 菇l lk ( 1 ) 若肋基k 如果tp o n k = 口，则由命题2 5 知珈p ( d ) ，s t ，k 价 “并且t # o nt 肛= 0 又由命题2 7 知，弓妒，( d ) ，s t ( h ) e ( k ，lk ) + ， 则t 。( p o ，v o ) nt 。( “) = o 如果t 肋nk 0 ，因为k 满足性质p ，且 k 垡t 肛o ，贝0 习z k n m a x ( d ) k atp o n m a x ( d ) zc tp o 且z 是d 中极大 点，所以x 叠l ( t 肛o ) d 是l a w s o n 紧的，则( t 脚) 是d 的s c o t t 闭集，从而 3 y o z ，s t 价y o nl ( tp o ) = 0 ，且加g i ( t 弘o ) v p uk ，3 y “y z ，取 x 0 z ，s t y o x 0 ，y x 0 ，显然有( 4 茁o ) ) e ( k ，lk ) + ，且z og l ( t “o ) 令 f = t 。( “o ，v o ) nt 。( “ z o ) ) 若j ( p l ，b j l ) m o ( d ) ，s t ( “j ，i 1 ) e ，贝q 有 3混合幂d o m a i n 的极大点空间 1 0 x 0 ub 1 l 1 又由t lc _ t 肛lc _ tp o 知ln j ( tp o ) ，所以。o i ( t 脚) ，矛 盾 ( 2 ) 若v o 簋l lk j z o lk ，x 0g lk ，即tx 0nk = 0 从而 j 卢1 p l ( d ) ，s ，t tx o nt 肛1 = 口并且价p l ，同时我们有x 0 岳i ( t , u 1 ) ，由命 题2 7 知j m l 土k ，s t ( p 1 ，v 1 ) ( k ，lk ) 若j ( h p ) t 盯( f z o ，l ，0 ) nt m ( p 1 ，1 ) ，则由u o lp 知如i 王，又因为扩tp t 弘i ，所以l ( tp 1 ) ， 从而有z o i ( tp 1 ) ，矛盾证毕 4f b d o m a i n 的混合幂d o m a i n 构造 f b d o m a i n 是d o m a i n 理论中一个很重要的结构，它是c a r t i s i a n 闭的 因为作为一个非确定性计算的指称语义模型的基本要求是它关于某类适当的 幂一d o m a i n 构造封闭本文的这一部分的目的就是要讨论f b d o m a i n 是否关 于混合幂d o m a i n 构造是封闭的 定义4 1 【7 】d 为d c p o ，f ：d _ d 是s c o t t 连续的，若厂冬i d d 且， 的象i m g ( f ) d 有限，则称，为压缩又若f 。f = f ，则f 称为幂等压缩。 命题4 2 【7 】d 为d c p o ，f ：d 一d 为压缩，则下述结论成立： ( i ) v x c ，( 。) x ( i i ) f 2 i d n ，i n d d ； ( i i i ) f 3 f ，i n d d 若，为幂等压缩，则i m g ( f ) 为d 的紧元子集，且，在p d 中亦是紧 元 定理4 3 1 7 ld c p od 是f b d o m a i n 当且仅当 d d 】中幂等压缩映射的 全体是定向的，并且其上确界为i d d 定义4 4 【q 令c 为任一范畴如果c 满足如下条件，则我们说范畴c 是c a r t i s a n 闭的 ( 1 ) c 中存在一终对象t 使得对c 中任一对象a 都有唯一的态射o i ： a t ( 2 ) 对c 中任意2 个对象a ，b ，存在一对象a b 和态射p r ，：a b 一 4f b d o m a i n 的混合幂d o m a i n 构造 1 2 a ，p r 2 ：a b b ，使得对c 中任一对象c 和态射，：c a ，g ：c 日 都存在唯一的态射f g ：c a b ，使得p r l0 ( ，g ) = f ，p r 2 。( f g ) = g 对象a b 称为对象a 和b 的乘积 ( 3 ) 对任意2 个对象a ，b c ，存在c 中一对象a b c 和态射e u a 丑b a 使得对每一个f ：c xb a 都存在唯一的态射a s ：c a 8 使得e u 。( a i i d b ) = f 对象a 日称为对象a 和b 的指数对象。 定理4 5 【7 if b - d o m a i n 范畴是c a r t i s a n 闭的 证明；d ，e 是f b d o m a i n ，f d ：d d ，扛：e e 是幂等压缩，则 ，d g e 是d xe 是的幂等压缩从而d e 是f b d o m a i n 对于指数对 象【d e ，我们可以构造幂等压缩f ：【d 一司一【d 一矧对任一 g 【d 一司，令f ( 9 ) = 厶o g o ，d 证毕 引理4 6 设f ：d - d 是幂等压缩，定义：f ：m ( d ) + i i ( d ) 如 下； ，+ ( ，) = ( 肼) m o ( d ) ：j ( 弘o ， ，。) j ，s ，肛f ( z o ) ，l 厂( b ) ) 则有如下结论： ( i ) v ( “) m o ( d ) ，( ，( 肛) ，( l ，) ) m 0 ( d ) ； ( i i ) ，+ 是s c o t t 连续映射； ( i i i ) f 是幂等压缩 证明：( i ) 由于，旧一d 】是幂等压缩，结论显然成立的。 ( i i ) 首先说明广有意义，即，( j ) m ( d ) 由，是幂等压缩知，i m 9 ( ，) ( d ) ，则有，( p o ) f m ，( m ) ，( 峋) e 肘，( 峋) 从而广( ，) 0 显然 广( ，) 是个下集下证，+ ( ，) 是定向的v ( p l ，u 1 ) ，( 芦2 ，地) e ，+ ( ，) ，则存在 ( p 1 7 ，1 气( “2 ，也7 ) f ，s t p 1 u ，( 弘l ，) 1 唧l ，( 1 气p 2 u ，( 越2 飞屹l ，( 屹，) 又i 的定向性知存在( 以，以) i ，使得肛1 u ，( p j ) ，比u 。，( 嵋) ，u 1 l ，( 以) ，地l ，( 以) 又( ，( 如) ，( 嵋) ) m o ( d ) ，则( p z ，的) m ( ，( 如) ，( 蟛) ) ，( p 。，垆 4f b d o m a i n 的混合幂d o m a i n 构造 1 3 ( ，( 店) ，( 以) ) ，即有，+ ( ，) m ( d ) 设 厶) * 为m ( d ) 中的一定向簇。则 广( v f ) = u ，+ ( i i ) = v i ，+ ( ) ，从而，+ 是s c o t t 连续的 ( i i i ) 由定义知，+ ( ，) = u ( m 。) e ，i 。( f ( u o ) ，( 峋) ) 又若( 。l ，- p 1 ) 肘 ( p 2 ，地) ，则( ，1 ) ，( 1 ) ) m ( ，( 2 ) ，( 沈) ) ，所以g = l “。( ，( p o ) ，( 峋) ) ： ( p o ，峋) ，) 是定向的又，为压缩，所以g 为有限集，从而存在( 伽，) ，s t ，+ ( ，) = l ，( ，( p o ) ，( 峋) ) ，所以i m g ( f + ) 是有限的。易有v i m ( d ) ，广( ) i ，v ( u o ，v o ) ，+ ( ，) ，j m l ，) j ，s t p o ，1 ) ，峋l ，( n ) 又，幂等，且 ( ，( p 1 ) ，( n ) ) m o ( d ) ，则有“o u ，( p 1 ) e m ，( ，1 ) ) ，i 0 l ，( 1 ) e ，( ，( v - ) ) ，即( p o ，v o ) 广( 厂( 聊，从而广( ，( 聊= ，4 ( n 引理4 7d 是f b d o m a i n ，则m ( d ) 具有连续的函数空间。 证明：设 ，l ： a ) 是【d d 】中幂等压缩的定向簇，且v 。 = 。南岔如上定义，则易知 矗：i a 为m ( d ) 上的定向簇，且为幂等压 缩，现证： ( 1 ) v 毛片= i d ( i d 为m ( d ) 上的恒等映射) 由上述引理知v t ，i s i 如v i m ( d ) ，现证v k 疗v ) i ，j ( 肛0 ) 怕) ，s t ) m ( p o ，l ，0 ) 肛c ，p o = v 茁肛o ，j ”“s t 可茁，贝0 | 瑶a ，有可， 。( z ) 由 于肋是有限集，则j p 。，s f 可茎，i 。 ) 则肛【，五。( 坳) e mp o ，同理 对v l ，o ，3 i a ，s t 矿l 。( b 0 ) e m 峋从而3 而， ，。五。， 。s 。， 有p ，氏( p o ) 冬e 村肛o ，l ，l ，i 0 ( 峋) e 从而( 1 4 p ) 圪( j ) ，即 ，u 讵霄( ，) = v i 宵( ，) ，有i 的任意性知v 讵嚣= i d + ( 2 ) 设h 的m ( d ) 上的任一s c o t t 连续映射下证u 日是定向的且v l 扎 日= 日由( 1 ) 易有h = v i 膏。h 。f 下证r 。日o 片h 记m = i m g ( m 、i m t 啦奄式o ho f ：t i 、h 皎t i n 设婵3 ：j n 是 f m ( d ) 一m ( d ) 1 上一定向s c o t t 连续映射簇，且v i e j 马日由引理4 1 知 v i m ，j ( h ) m j ( d ) ，s t i = l 。( “) 不妨记m = l 。( p k ，乍) ：k = 1 ，2 ，礼) 则vl 。( 肌，氓) m ，有a z 玛。( 1 。( m ，) ) 霄( 片( 1 “。 ( 肌，地) ) ) 由于m 是有限集，j 如正s t 日。( 疗( ，) ) 疗( 日( 费( 川) ，则由i 4f b d o m a i n 的混合幂d o m a i n 构造 1 4 钓i 乇意性奄捉oh o l ：sh a o of ：曼h j 。1 跌丽 ：oh 。 ：h 既以毽h 是定向的，且v 7uh = h 定理4 8 若d 为f b d o m a i n ，则m ( d ) 为f b - d o m a i n 证明：由定理4 3 和引理4 7 可知结论成立。 参考文献 1 】j h l i a n ga n d h u ik o u ，c o n v e x - p o w e rd o m m na n dv i e t o r i ss p a c e t oa p p e a r 【2 j h l i a n g o nf s d o m a i no fp l o t i n sp o w e r d o m a i n ，a n a l m a t h ( c h i n e s e ) ，6 ：6 9 7 7 0 0 ，2 0 0 0 3 1 s a b r a m s k y , a j u n g d o m a i nt h e o r y i ns a b r a m s k y , d m g a b a y ，t s e m a i b a u m e d i t o r s ，h a n d b o o k o fl o g i ci nc o m p u t e rs c i e n c e c l a r e n d o np r e s s ，1 9 9 4 【4 】g g i e r z ，k h h o f m a n m ，k k e i m e l ，j d l a w s o n ，m m i s l o v ea n d d s s c o t t ，ac o r n - p e n d i u m o fc o n t i n u o