（基础数学专业论文）一类dirichlet级数的解析性质.pdf

山东大学硕十学位论文 一类d i r i c h l e t 级数的解析性质 王海燕 【山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 m o ) 中文摘要 一般来说，我们将d i r i c h l e t 级数定义为： 砂( 8 ) = 舅， 其中是复数( 称d r i c h l c t 级数的系数) ，s = 盯+ i t ，吼( s ) 0 本文中，我们将研究一类特殊的d i r i c h l e t 级数 h a r d y , l i t t l e w o o d 和h e c k e 研究了如下定义的d i r i c h l e t 级数的解析 性质 咖( s ) = c q ( s ) = n o # t ) t t 一， t * l 其中q 是不含平方因子的正整数，并且 n ( m ) = a q ( m ) = 带 z zq x 2 1 2 w d u k c 与ai i u 灿。斟l i ：2 】考虑了d i r i c h l e t 级数： 荆= 蛎( 3 ) = b ( m ) m ， 其中系数由下式给出 6 ( m ) = b q r ( 仇) = 轷 ( z 1 ，z 2 ) z 2lq x + ，- 茁； 0 ) 有唯一的矩阵 v m 5 危与v 对应其中5 危 是2 2 阶行列式的值为l 的矩阵组成的空间可以得到： 对一确定的u m = ，有西g r ，t ( s ) = r ，t ( 8 ，j ) 对实部足够大的8 ，我们有 系数 通过计算，我们发现 九。r t ( s ，口) =岛( 移) ， t l 0 c m ( s ) = ( 西q ，( s ) ，e n ( 1 ，) ) 扣面矗蛳) = 跏， ) 因此，我们可以定义一个核函数 七( 6 ( t u ，t ，) ) = ( 1 t r ( w m l t 7 m ) ) 一5 = 6 ( 伽，u ) 一， 应用s e l b e r g 变换公式，我们得到 i i ) - - 矿- l l g 坚铲。 八1 篇 历如 0仕 ，、【 = - i 1 争 。 集 义 山东大学硕士学位论文 因此 以及 ( s ) = ( a ”) ( + ( 兰川 纠唑铲( + ( 扣， o q , r , t ( s ) = ( ，) = 龋2 ) r ( + ( 墨)( s 一( 学) 、2 + 丌三坚铲( + ( 们 n 1 一、。，一 再应用r - 函数和( + 函数的解析性质就可以通过上式得到我们定义 的西( 3 ) 的解析性质 最后，我们得到本文的主要结果： 定理1 1 式( 3 ) 现第一章，定义的d i r i c h l e t 级数西( s ) 可以解析延 拓到整个s 平面上，最多有单极最8 = 2 ，8 = 4 和s = 一2 m + 14 - 1 n ，其 中o ；最多有二重极点s = 一2 m + l ，n 是任意正整数，m 可取任意 非负整数当扎= 0 ，n 时，h = 们= 石j 当扎n + 1 时，= 魄 = 口r ，其中 n = i l l a x ( 2 0ik 0 i nt h i st h e s i s ，w es t u d yas p e c i a ld r i c h l e ts e r i e s h a r d y , l i t t l c w o o d ，a n dh c c k cs t u d i e dt h ea n a l y t i cp r o p e r t i e so ft h ed i r i c h l e t s e r i e so ft h ef o r m ( s ) = 如( s ) = n ( m ) m 一， # 1 w h e r eq 0i sas q u a x c - f r o ei n t e g e r ，a n d n ( m ) = n 口( m ) = 带f z ziq z 2 m 2 ) w d u k ea n d6 i m a m o 鼋l u 【3 】c o n s i d e r e dd i r i c h l e ts e r i e s f o r m a lw i t hc 0 0 m c i o n t s o o ( 8 ) = ，( s ) = 炳) 仇一， m = l 6 ( m ) = b q ，( m ) = 孝 ( z i ，x 2 ) z 2i 口z i + r z ； 。 f o ra n y 可= z + 巧h 3 ，t h e r ei so n l yo n em a t r i xv m s 吃，w h i c hc o r r e s p o n d s w i t h ”w ed e f i n e d t ( 刚) = 2 。( t r f t j m ) ) 一， o 0 2 i fw ef i xv m = i ，如，r ( s )= 如，t ( 8 ，) f o rf i x e dsw i t h 孵( s ) l a r g ee n o u g h ，w eh a v e w h e r e w bf i n dt h a t t ( 舢) = e 。( t ，) ， n 0 c n ( s ) = ( r ( s ：t 仇p 。( 1 ，) ) 丢t r ( 吲训= ，n s ow ec a l ld t ! t i j l - 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