（基础数学专业论文）adsn空间中的lorentzian超曲面.pdf

摘要 本文主要研究了a d s ”空间中l o r e n t z i a n 超曲面的局部微分几何性质，定义了l o r e n b - z i a n 超曲面的研霹一1 值光锥高斯映射和母霹- 1 值光锥高度函数，并构造了光锥 对偶曲面，证明了光锥对偶曲面的奇点与光锥高斯映射的奇点之间的关系，为今后运用 l e g e n d r i a n 奇点理论对l o r e n t z i a n 超曲面的奇点进行分类提供了理论基础 关键词：a d s n 空间；l o r e n t z i a n 超曲面；研霹。值光锥高斯映射；研鬈1 值光锥高度函数；光锥对偶曲面 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yr e s e a r c ht h el o c a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r yn a t u r eo fal o r e n t z i a n h y p e r s u r f a c ei na n t id es i t t e rn s p a c e 。a n dd e f i n et h en o t i o n so fs x 趿- l v a l u d el i g h t c o n eg a u s sm a p sa n ds xs ：- 1 v a l u d el i g h t c o n eh e i g h tf u n c t i o n la l s ow es t r u c t u r et h e l i g h t c o n ep e d a ls u r f a c e ，p r o v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es i n g u l a r i t yo ft h el i g h t c o n e p e d a ls u r f a c ea n dt h es i n g u l a r i t yo ft h el i g h t c o n eg a u s sm a pw l l i c l lo f f e rt h et h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nf o rs i n g u l a r i t i e so ft h el o r e n t z i a nh y p e r s u r f a c eu s i n gl e g e n d r i a nt h e o r yi n f u t u r e k e y w o r d s ：a d s ns p a c e ；l o r e n t z i a nh y p e r s u r f a c e ； g a u s sm a p ；s s ： - l v a l u d el i g h t c o n eh e i g h tf u n c t i o n ；r i i s xs ：- 1 v a l u d el i g h t c o n e l i g h t c o n ep c d a ls u r f a c e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名日期 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即；东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 指导教师签名： 日期： 电话 邮编 引言 奇点理论是分析学科中的一个年轻的数学分支，它处在数学分析，微分拓扑，微分 几何，交换代数以及微分方程等数学学科的交汇处 1 9 5 5 年h w h i t n e y 发表的论文平面到平面的映射奠定了奇点理论的基础，他 指出欧氏空间中平面到平面映射的奇点只有两种折叠和尖点，并证明了这两类奇 点都是稳定的【9 】之后r t h o r n 在此基础上提高了映射空间的维数，给出了t h o r n 分 类定理【1 】，从此奇点理论得到了蓬勃的发展一方面理论本身取得了重大进展，如 j n m a t h e r 的关于稳定性方面的一系列工作【7 】，以及v i a m o | d 等人关于奇点分类方 面的工作 2 l ；另一方面奇点理论在自然科学中的应用上也取得了出人意料的突破，如 6 0 年代末r t h o m 提出的突变理论 2 6 i ，7 0 年代v i a r n o l d 把奇点分类应用在物理学 中的振荡积分的计算上等等 目前，奇点理论已经形成了比较完善的理论系统和研究方法，这些方法和工具不仅 在奇点理论自身的研究中有很大作用，同时它也为其它学科的发展提供新思路，如在微 分方程、振荡积分，动力系统分支理论等学科中都有广泛的应用近十几年来，许多 学者在不同的领域都相继做出了许多重要工作如i z u m i y a ，裴东河，s a n o ，t a k e u c h i 等 利用奇点理论的方法对微分几何中特殊曲线和曲面进行的研究；孙伟志等人在有限决 定性方面的研究；李养成，邹建成等人关于奇点理论在分歧理论中的应用方面的研究以 及姜广峰等在超平面构型方面的研究等等 在微分几何的应用中，最早i p o r t c o u s ，j w b r u c e 和j a l i t t l e 等人曾对欧氏空间中 的曲线曲面及子流形的奇点情况做了具体的研究【3 j 【4 | 【5 】 0 1 i s 】，在此基础上数学工作 者将研究对象转到各种非欧几何中文献【1 2 】研究了3 维m i n k o v s k i 空间中的可展类 空曲线的奇点分类问题，主要用运高度函数和距离平方函数作为工具；文献 1 3 】 14 】分 别研究了四维m i n k o v s k l 空间中类光超盐面和类空曲面的奇点分类问题并且估计了在 l o r e n t z 群的作用下奇点和曲面的几何不变性；文献【1 5 】研究了m i n k o v s k i 空间中类空 子流形的脐点集；文献【1 6 卜【2 l 】研究了双曲空间中的曲线，曲面及子流形的奇点分类问 题，用m i n k o w s k i 空间中的双曲面作为双曲空间的模型来研究 本文仿照1 1 6 】的研究方法，在指标为2 的伪欧氏空间中建立新的非欧空间a n t i d es i t t e r 空间。研究了此空间中l o r e n t z i a n 超曲面的微分几何性质，方法类似于对欧氏 空间中曲面的研究( 参见【x o l x x l ) ，定义了研霹_ 1 值光锥高斯映射和s ；嚣- 1 值 光锥高度函数，并构造了光锥对偶曲面，证明了光锥对偶曲面的奇点与光锥高斯映射的 1 奇点之间的关系，为今后的奇点分类提供了理论基础 四维m i n k o v s k i 空间是爱因斯坦狭义相对论的时空模型，我们这里所涉及的a d s 4 空间正是此模型的推广，为今后的物理研究提供新的数学工具 本文中若无特别声明，所有的映射与子流形均为光滑的 2 1 基本概念 我们称( 帝十1 ，( ，) ) 为n + l 维半欧氏空间，简记为叼” 定义1 2 对霹+ 1 中的非零向量若满足t = 石丽不灭i 面 咖= 睢翥 定义1 3 对任意的z l x 2 ，z 。砑”，我们定义一个向量为 0 1 a x 2 a = e ， z ? 呓 ： 碟+ l e n + l z r l $ 矿1 ： z ：i 其中( e l e 2 ，e n ，e 。+ l 是磁+ 1 空间中的伪坐标基底，戤= ( z ；，z ，露+ 1 ) ，i = 1 ，2 ，n + 1 注t由定义，我们易得到 缸，。la x 2 a a z n ) = d e t ( z ，x l ，现，) 3 吨：1 码趣； 故有z la z 2 a a 与z 1 ，z 2 ，z 。的每一个都伪正交 定义1 4 若向量”噬“，c r 为常数，我们定义毋+ 1 中的超平面为 h p ( v ，c ) = 。e r ；+ 1 ( z ， ) = c ) 若。分别为类空向量、类时向量、类光向量，则我们称超平面h p ( v ，c ) 分别为类空 超平面、类时超平面、类光超平面 定义1 5 我们称a d s n = 。磁“l ( z ，。) = 一1 为n 维a n t id es i t t e r 空间 霹= d 磁+ 1 l ( 。，z ) = 1 ) 为n 维d es i t t e r 空间 定义1 6 若a = ( a l ，a 2 ，a n + 1 ) 磁“，我们称 l c = z = ( x l ，z 2 ，x n + 1 ) 兄+ 1 i ( z n ，z 一口) ；0 ) 为顶点为a 的光锥特别地，顶点为原点0 的光锥我们记为l c o 对于非零向量z = ( x l ，x 2 ，。+ 1 ) l c o ，我们有。 + 。；0 故可定义； 童= ( 南，孺x 蔼2 孺x n 霖+ 1 ) 霹霹。却l c o l。2 ：丽i 7 藕：丽6 7 。6 ；1 2 。5 其中研代表类时圆，卵- 1 代表类空超球面 定义1 7 令z ：u a d s , 1 为浸入映射，ucr ? _ 1 为开子集，则m = z ( u ) 为 a d s ”空间中的l o r e n t z i a n 超曲面 注：在浸入映射意义下，我们可将m 和u 等同看待 4 2 ，几何性质 下面我们研究a d s a 空间中l o r e n t z i a n 超曲面m 的内蕴微分几何性质。 对任意p = 。( u ) m c a d s “，有( $ ( ) ，z ( ) ) = 一1 ，故 ( z 。0 ) ，z ( ) ) = 0 ，( 1 = 1 ，2 ，n 一1 ) 其中“= ( u l ，t 1 2 ，一1 ) 以巩。( t ) = a # ( 舭( ) ) ，t = l ，2 ，n 一1 因此m 在p 点 的切空间为： 耳m = ( z u 。( ) ，z 。2 ( ) ，x u - 1 ( ) ) r 其中不妨设z 。，为类时向量定义单位向量 咖，= 糅惫岩矬害渊， 则有( e ，e ) = 1 ，( e ，。) = ( e ，z ) = 0 ，i = 1 2 n 一1 因为z ( 妨a d s ，故扛( ) 土e ( “) ，z ( 士e ( u ) ) = 0 ，所以有。( “) 士e ( ) l 岛 定义2 1 设 二+ ：u _ l 岛 定义如下l + ( t ) = z ( t ) 士e ( “) 称胪的每一个映射为m 的a n t id es i t t e r 高斯指标 设 弘：u s 嚣_ 1 定义如下z 士( u ) = 葡则称弘的每一个映射为m 的研x 露一1 值光锥高斯映射 引理2 1 对任意p = z ) 尬“；乃m ，我们有矾e 耳m 故有仉沪m 证明； 由上述构造，e ，钆，z 。，z 。一。为向量空闻耳霹+ 1 的基底。故有 i x e = z + 叩e + a 1 茁 l + 沁。u 2 + + a n - 1 霉 。一l 其中，a ，q ，知r ，i = l 2 ，n 一1 因为( e ，e ) = 1 ，( e ，z ) = e ，。) = 0 ，故有 ( 矾e ，e ) = ( 蛔+ 即日+ a l z u l + a 2 “2 + + k 一1 z 一l e ) = 叩e ，e ) = 町 而( 矾e ，e ) = 0 ，所以，q = o 另一方面，( e ，) = 0 ，故( d 。e ，。) = 一e ，d 。) = 0 即 ( a 茁+ a l x u l + a 2 t 2 + ，+ a n l z u 。，l ，z ) = 0 = a 5 所以，d y e = h z 。l 十a 2 z 。2 + + h 一1 z 一l 易m 而 d x = u l x ”l + u 2 x “2 + - + 屿l 一1 z u nl ，铀r 因此。 d 。l 士= d 。茁士d 。e 品肼 定义2 2a d s “空间的超曲面若可表示为磁“空间中类空，类时或类光超平面与 a d s n 的交，则分别称此超曲面为超球面，等距超平面或超极限球 命题2 2 设m 为a d s ”空间中的l o r e n t z i a n 超曲面，若m 的a n t id es i t t e r 高斯 指标线胪为常值，则超曲面m 为超极限球的一部分 证明： 因为l + = z 士e 是光向量且为常值，故集合v = 妇磁“i ( 玑z 士e ) = 0 为类光超平面下证对帆，以v + z ( “) = v + z ( ，) 因为如士e ) ( u ) = 土e ) ( ) ，我们有x ( u ) = z ( ) 士( e ( “7 ) 一e ( “) ) 而( e ( u ) ，z 士e = ( e ( ) ，z 土e = 土1 故e ( 一e ( “) ，z 士e = 0 从而有e ( c ) 一e ( u ) 矿 这样x ( u 7 ) 一z ( ) k 故( ) + v = x ( n ) + 矿 因此，v + z ( u ) 为励+ 1 中类光超平面，且有 x ( v ) = mcv + x ( v ) n a d s 8 这里，y + x ( u ) n a d s n 为超极限球 注；若m 的s x 嚣- 1 值光锥高斯映射弘为常值，则a n t id es i t t e r 指标二士是 常值，故此曲面为超极限球的一部分在欧氏微分几何中，若曲面高斯映射是常值，则 曲面为超平面的一部分因此，此理论中的超极限球与欧氏微分几何中的超平面具有同 等地位，我们可以建立“极限球几何”来研究a d s n 空间 注；在u 和m 等同条件下，如) 可等同于切空间耳m 上的恒同映射i d 耳m p = x ( u o ) 这说明扎士( 撕) = 电j l f 士d e ( w ) 由引理1 ，出为品m 上的线性变换，故我们称线性变换 $ = 一此+ ：耳m 一耳m 为m 在p = x ( u ) 点的a n t id es i t t e r 形变称线性变换 岛= 一d e ：耳m 一耳m 为m 在p = z ( t ) 的l o r e n t z i a n 形变砖表示黠的特征值，唧表示如的特征值 由砖；一i 6 - ，m 士邬，我们有r ；= 一1 士唧 6 定义2 3 如上记号，k 2 ( 蜘) = d e 够亭为m = z ( u ) 在p = z ( t 0 ) 的a n t id es i t t e r 高斯曲率茸 ) = 由打黠为m 在p 的a n t i d es i t t e r 平均曲率 定义2 4 着m 上每一点的a n t id es i t t e r 平均曲率都是零，即日 ；0 ，则称m 是 铷扩的极小子流形 定义2 5m 中的点p = z ( n ) ，若黠= 砖i d t p m ，则称p 为脐点若m 中所有点均 为脐点，则称m 为完全脐点集 下面我们给出完全脐点集的分类定理 命题2 3 假设m = ( u ) 是完全脐点集，则砖为常值书，且有下面分类t 1 ) 假设萨0 8 ) 元士一1 ，l 驴十l i 1 ，则m 为超球面的一部分 c ) 萨= 一i ，则m 为超平面的一部分 2 ) 萨= 0 ，则m 为超极限球的一部分 证明： 由定义，一砖= 9 4 x 。，i ；1 ，2 ，n 一1 因此有 一砬邯= 砖a l + 露+ z m q 因为一琏嘶= 一砘。，r 士。u 。坳= r + z 嘶m ，故砖甄“一硅。哟= 0 由定义，钆。z 。，钆。是线性独立的，故r 丧= 0 ，i = 1 ，2 ，n l j 所以萨为常 值 因为矿= 一1 士k ，所以一珐= 矿$ 。等价于一= - i - p o x 。 假设萨0 ，若萨- 1 ，则k 0 于是有= 千i l e 。因此，存在一个常向量a ， 有z = o 千( ) e 故和一o ，z o ) = 击( e ，e ) = 刍 另一方面，扛一口 z a ) = ( 3 3 , ) 一2 a ) + ( a ，口) ，而 ( ) = ( z 士：e , xq - i l e ) = 一1 十万1 故( ，o ) = 一( ( z 一，$ 一o ) 一( $ ，z ) 一扣，) ) = 一孙1 = 1 7 + 1 + 1 一古) = 一1 这说明m = ( u ) c h p ( a ，一1 ) n a d s “ 若 1 ，即l 萨+ 1 l 1 ，即i 萨+ 1 l ，则a 为类时向量，从而1 ) b ) 得证 若萨= 一1 ，则k = 0 ，e 。= 0 ，从而e 为常值向量且为类空的。 ( z ，e ) = 0 ，故m = t l p ( e ，0 ) n a d s ”所以m 为超平面的一部分 最后，假设驴= 0 ，这时有一珐；0 ，故一萨是常值类光向量说明a n t id es i t t e r 高斯映射是常值映射由引理2 1 得证2 ) 成立 7 注：由上面命题，可将脐点进行如下分类。设p m 为脐点，若孟土0 ，且0 l 1 + 1 1 ，称p 为超球面点；若# = 一1 ， 称p 为平坦点；若萨= 0 ，称p 为超极限球点 注：由定义2 3 和线性代数知识可知。若线性变换酷在点p 的特征值为r ，i = 1 ，2 ，n 一1 ，则m 的a n t id es i t t c r 高斯曲率为砖( u o ) = 兀茸，a n t id es i t t e r 平均 曲率为h 2 ( “o ) = 1 冒凰 根据命题2 3 ，若超曲面m 上每一点都为超极限球点，则m 为极小曲面 f 面我们给出a n t id cs i t t e r 空间的w e i n g a r t c r 公式及高斯曲率公式 因为m 是l o r e n t z i a n 流形，故我们引入l o r c n t z i a n 度量作为m 的第一基本量，即 定义 n l d s 2 = g l j d u i d u j ， 0 = l 其中筋= 钆，( “) ，札，( “) ) ，武j = l ，2 ，n 一1 y u 矿 我们定义m 上的a n t id es i t t e r 第二基本不变量为 去( “) = - ( l u g ) ，。，( u ) ) ，v u 矿 和l o r e n t z i a n 第二基本不变量为 蛔( “) = 一( e “。( u ) ，2 嘶( “) ) ，v u 矿 则 去( “) = 一9 如( ) 士h i i ( u ) 易验证；砖( u ) = 砖( “) ，事实上， ；( u ) = 一( e m ( u ) ，( “) ) = - ( l + ( ) ，钆，。) = 一( 工士( 让) ，a k 。t 。) = 一( e 嘶( 缸) ，z u 。( 让) ) = 五嘉( 珏) 命题2 4 由上述定义，我们得到下述a n t id es i t t c rw e i g a r t e r 公式； n 一1 l 士i = 一( 萨) j = 1 其中( ( 萨) i ) = ( 砝) ( ) ，( ) = ( 9 幻) 一1 证明；因为e z ，z z ，。一。为a d s 空间的基本标架，故存在a z ，r i r ，l ，j = 1 ，2 ，n l ，满足l 去= e + p z + ；：珥z 因为( 胪，l + ) = 0 ，故 士 p i i 士 q 蓬衄。 p + = l 士u l f f 所以肛= 土a 因此 由定义有， 因此 故 q 一( 萨) i 另一方面，( 驴，z ) = 一1 ，且( 庐，z 。) = 0 ，故 从而有 p = 一p ( l 士，嚣) = 一p l 士+ f j 击叫，z ) = 一( l 老，动= ( 工士，u 。) = 0 推论：沿用上命题记号，a n t id es i t t e r 高斯曲翠为： r e - ：l ：d e t ( h ；) n 。2 瓣 证明：由a n t id es i t t e rw e i n g a r t e n 公式，在 x u lz t l 2 ，z t t i i ) 基底下，a n t id e s i t t e r 形变s 窘= 一d l + ( t o ) 的表示阵为 ( ( 咧) = ( 磕) ( 严) 故 9 2 瑚黠础( o h + 并) 础( 嘲( g 耻勰 注，推论给出了a n t id es i t t e r 高斯曲率与第一基本不变量和第二基本不变量的关 系，这与欧几里德空间中的结论类似 由命题2 4 我们得到m 的a n t id es i t t e r 平均曲率公式为； 砖( 咖) = 击打砖= 击t r ( ( h 士) ) = 击t r ( ( 硪) ( ) ) = 击1 礴 一触”。 9 叶 z q 州斛 + 士 l p = 蛳 z i r 岸 + z土e = 士毗 l k ； r “m = 叶 z 扛k； r = u z z r “柚 + 士 己 p = 嘶 z 士帆 l= 士 一一 哆 一 = 卢 矿 g 砖 “m “芦 一 = 芦 矿 磅 触 = 垮 萨 u 茁 i 士 一 州：叵 一 i 士批 l 3 高度函数 定义3 1 对于a d s n 中的l o r e n t z i a n 超曲面m ，我们定义这样一个函数 h ：u 母霹“一r ， 日( “，。) = ( z ( u ) ，口) + 1 称日为m 的研舒- 1 值光锥高度函数 命题3 1 设h ：u s 霹“一r 为m 的母s 2 - 1 值光锥高度函数，则 鼍掣= o ，( 忙1 2 棚一1 ) 当且仅当”= 。( 万五( “) = 压( u ) 证明：因为忙一z 。，z 。，z 。一，) 是向量空问耳兄r 1 的基底，p = z ( “) 故存在 实数a ，“f l ，2 ，靠一1 ，满足”= a z + p e + f l z “1 十f 2 z 2 + + 靠一l 茁。 因为掣= ( z 。，”) = 0 ，故矗= 0 这说明 o h 。- ( u 一, v ) ；0 苷口：a z + “e o u l 因为( 口，口) = 0 ，故p = 士a 而口研x 韶，所以a = 1 故 = x ( u ) 士e ( u ) = l + ( u ) 记嘧( ) = 日( 暗) 在咖的h c s s i a n 矩阵为日e s s ( “孝) ( ) 命题3 2 设m 为a d s ”空间中的l o r e n t i a n 超曲面，且 = 驴( 咖) ，则 ( 1 ) 砑( u o ) = 0 当且仅当d e t h e s s ( f 磕) ( 如) = 0 ( 2 ) p = z ( u o ) 是超极限球点当且仅当r a n k h e s s ( h ：o ) ( u o ) = 0 证明：( 1 ) 由定义，h e s s ( h 彘) ( u o ) = ( 一( ；( 咖) ，珐( “o ) ) ) 由a n t id es i t t e rw c i n - g a r t e n 公式， 一，磕) = 一( z 。一( 萨) ；= ( i 士) ；，。= 萨) ；虬。= 磅 因此，我们有 “，、d e t h e s s ( h g ) ( u o ) 砖( 咖) 2 罚五面j 厂 ( 2 ) 由w e i n g a r t e n 公式，s 乎的表示阵为( ( 萨) ；) p = z ( 咖) 是脐点# 争存在正交矩阵a ，满足a t ( ( 舻) ? ) a = 元士， 因此，有( ( i ) ? ) = a 萨j a 丁。= 萨j ，故 日e s s ( ) = ( 砖) = ( ( 胪) ? ) ( ) = 铲( 助) 这样， 萨= o 甘r a n k h e s s ( ) 2 0 作为命题3 1 和3 2 的推论，我们得到下面命题： 命题3 3 下面条件等价， ( 1 ) 存在口母器，使得p = z ( 为m 的母霹- 1 值光锥高度函数日的退 化奇点 ( 2 ) 存在 母霹，使得( u ，”) 为m 的研四一1 值光锥高斯映射弘的奇点 ( 3 ) g y ( u ) = 0 证明：我们记 叩) - ( “，小u 研曰1h ( u , v ) ；号岩扎l _ 1 ，2 柚- 1 由命题3 1 ( 2 ) ，我们有 d ( h ) = ( ( u ， ) u s s ? 一1i 口= z ( “) 士e ( u ) 我们考虑标准投射”：u s 2 四一1 一斟器，则”i d ( 日) 可以等同于斟曰- 1 值 光锥高斯映射三士在这种等同条件下我们说( 1 ) ( 2 ) 等价 由命题3 2 ( 1 ) ，我们得到( 1 ) ( 3 ) 等价 4 ，扩展高度函数 下面我们考虑超曲面m 的光锥l e o 上的奇点定义函数族豆：u l 岛一r ，满 足； 青( “，。) = 扫，刃一 + v g ， 其中v = ( 。1 ，v 2 ，+ 1 ) ，则称嘉为m 的扩展高度函数 作为命题3 1 和3 2 的推论，我们有下面结论： 命题4 1 ：设m 为a d s * 空间的l o r e n t z i a n 超曲面，膏：u l c o r 为m 的扩 展高度函数，u 岛，则 ( 1 ) 豆= 生凳掣：0 ，i ：l ，2 ，n 一1 当且仅当石：z ( 面； ( “) ：云丽且 、；开霹= ( z ，研 ( 2 ) j 珐( 钍) = 0 当且仅当d e t h e s s ( h 軎) ( u ) = 0 上述命题蕴涵了扩展高度函数h 的奇点集为口= 扣l e oi ”= ( 。，动刃我们定 义l 踹= ( z ，而石为m 的光锥对偶曲面这说明说明光锥对偶曲面的奇点与光锥高斯 映射的奇点等价下面我们用切触几何的方法解释这种对应 我们不妨考虑4 维情形，n 维情形可类似得到考察余切丛空闯上的标准投射 w ：p t ( 工岛) 一l g 0 ，我们考虑这个空间上的几何性质考虑切丛r ：t p p ( l 岛) 一 艘任q ) 和微分映射由：? 尸p ( c o ) 一t l c a 对任意x ? p p ( 岛) ，存在口 t * ( l c o ) 满足r ( x ) = 捌对任意v t x ( l c o ) ，性质n ) = 0 不依赖于等价类 a 】代表元 的选取因此我们定义p t * ( l c o ) 上的切触结构k = x t p t ( l c o ) jr 僻) ( d r ) ) = 0 若”= ( v l ，铝) 翰，则有 1 = 二f 订f 瓦f 瓦隔我口j 将池，地，地，如) 看作光锥l c o 的坐标我们有平凡同构p r ( l c o ) 是l c o p ( r 3 ) ，称( ( v 2 ，v 3 ，u 4 ，v s ) ，： 矗，矗，嗣) 为齐次坐标容易得到x 墨。当且仅当51 l i e i = 0 ，其中d 丌( x ) = 墨。m 最 设l ：l p t + ( l 岛) 为浸入陕射，如果d i m l = 3 且屯( 蜀三) ck i 。，v q l 我们 称映射 o i 为l e g e n d r i a n 映射，集合w ( i ) = i m a g e t ro i 为i 的前波集，t 称为w ( i ) 的 l e g e n d r i a n 提升 为了研究m 的光锥对偶曲面，我们这里引入a r n o l d 和z a k a l y u k i n 的l e g e n d r i a n 奇点理论详细内容请参考文献 2 l 这里我们只考虑4 维情形 1 2 设f ：( r k r 4 ，0 ) 一( r ，0 ) 为一函数芽，看有映射芽 f = ( f , 。o g f l ，篆，石o i f ) ：( 冗k 舻，。) 一( r 。r ，。) 非奇异，则称f 为m o r s e 族其中( g ，z ) = ( q l ，瓠，x l ，x 4 ) r k 帮 在此情况下我们得到一个光滑3 维子流形 。( f ) = ( 吼z ) r 女i f ( q ，z ) = 否o i f ( 口，$ ) = = 石o i f ( q z ) = 。) 定义映射芽 雪p ：( ( f ) ，o ) 一p r 酽， 壬f ( q 。) = ( $ ，秀9 f ( 一：瓦o f ( 删1 为l e g e n d r i a n 浸入所以有如下定理： 命膊4 2t p r 形中所有l e g e n d r i a n 子流形都可由上述方法得到 我们称f 为圣，的生成族相应的前波集为 w ( 雪f ) = $ r 1 3q 舻，f ( 口i = 丽o f ( 一= 丽o f ( q ，。) = 0 ) 由定义知，d f = ( 圣f ) ，这样由前面的讨论便知光锥对偶监面为m 上扩展高度函 数判别式集 命题4 , 3 。光锥扩展高度函数膏为m o r s e 族 证明：我们不妨考虑4 维情况，n 维情况可推广得到 定义函数族曰：u 研霹r r 满足：h ( u ，口，r ) = ( 。( u ) ， ) 一r 则存在c * 微 分同胚芽：u 钟霹x r u l e o ，妒( ，q r ) = ( u ， r ) 满足曰= 豆o 敌我们只需 证明豆为m o r s e 芽 对任意的口肆霹，我们不妨设 = ( 0 0 s 日，s i n o v l ，v 2 ，v 3 ) ，0 r ，v 3 = f 巧 = 习， 故有 h ( u ，口，r ) = $ ( t 工) ， ) + l = 一z 1 ( 札) c o s p 一2 ( u ) 8 i n 口+ z 3 ( 札) 、1 一嵋一v ；+ x 4 ( u ) v 4 - b z 5 ( u ) u s + i ， 其中z ( u ) = ( x l ( u ) ，z 2 ( “) ，x 3 ( u ) ，z 4 ( u ) ，z 5 ( “) ) 下面我们证明映射 + 豆= ( 序，筹，慧，筹) 是非奇异的曰的j a c o b i a n 矩阵如下； 扛u l ，口) ( z 抛，廿)忙u 3 ，射) 霉ls i n ( 一x 2c o s o 一如嚣+ a 9 4一霉3 酱+ x 5 ( 札l l ，口) ( l ，口) 钆l 3 ， ) x l u ls i n 0 一x 2 u lc o s 0 一x 3 “l 嚣+ x 4 l z 3 l 1 酱+ 奶m ( 甄l l t 2 ，v ) ( 孔2 t 2 ， ) z t 2 螂，口) , t 1 2s i n o x 2 2c o s o z 3 t 2 嚣+ 铂岫一3 l 2 啬+ 敏沌2 ( 札l 螂，u )( z 2 蛳， )( z 螂嘶， z i u 3s i n 0 2 ：2 u 3c o s o x 3 如卷+ z 4 “3一x 3 u v + ”3 1 3 当( ，u ) c ( h ) 时，我们只需证明矩阵 x = x l u ls i n 0 一x 2 u 1c o s # 一x 3 u l 嚣+ 1 一z l 嚣+ x 5 u l z l “2s i n 0 一x 2 u 2c o s 0 一：r , 3 u 2 ；磬+ z 4 u 2一z 3 2 等+ z 5 如 z l u 3s i n 0 一x 2 3c o s o z 3 l 3 卷+ 茁札3一z 缸3 嚣+ z 5 t 3 秩为满秩而由行列式变换，我们有 x = 一 00 1 嚣嚣 c o s 日s i n 口0 0 0 x l u t5 f f 2 u j x 3 u l x 4 u l 5 “l z 1 “2z 2 忱z 3 ”2z 4 u 2x 5 u 2 x l u 3x 2 u 3x 3 u 3x 4 u 3x s u 3 故r a n k , y = 3 ，即r a n k a 曰= 4 ，故有直为m o r s e 芽 0 后记 本篇论文主要是讨论a d s n 中l o r e n t z i a n 超曲面的奇点分类问题，建立了光锥高斯 映射和光锥高度函数，并证明了光锥高斯映射的奇点分类与光锥高度函数的奇点分类 在某种意义下等价，从而将对映射分类问题转换成对函数族分类问题之后为了应用 l e g e n d r i a n 奇点理论，我们又构造了扩展高度函数和对偶蓝面，并证明了扩展高度函数 为m o r s e 族( 命题4 3 ) 由于时问匆忙，对l o r e n t z i a n 超曲面的奇点分类问题尚未完成在今后的研究中主 要应用m o n t a l d i 的切触几何【2 3 】和l e g c n d r i a n 奇点理论【2 1 【2 4 】对其进行研究，给出熏 要的等价定理，再给出其分类 1 5 参考文献 【1 】m a r t i n e tj s i n g u l a r i t i e so fs m o o t hf u n c t i o n sa n dm a p s m | l o n d o nm a t hs o cl e c t u r en o t e s e r i e s ，c a z n b r i d g eu n i vp r e s s ，1 9 8 2 ( 5 8 ) 吲a r n o l dvi ，g u s e i n z a d esm ，v a r e h e n k oan s i n q i d a r z t i e so fd l f f e r e n t i a b l em a p s m v o li ， b i r k h a u s e r ，1 9 8 6 【3 】3 p o r t e o u s i t h en o r m a ls i n g u l a r i t i e sd ，s u b m a n i f o l d 【j 1 j d i f f e r e n t i a l g e o m 。1 9 7 1 ( 5 ) ：5 4 3 5 6 4 【4 1 4 b r u c ejw ，g i b l i npj c u r v e sa n ds i n g u l a r i t i e s ( 2 n d e d ) m c a m b r i d g eu n i vp r e s s ，1 9 9 2 5 j 5 b r u c ejw t h ed u a lo lg e n e r i ch y p e r s u r f a c e j m a t hs c a n d ，1 9 7 8 ( 4 9 ) ：2 7 9 2 8 9 【6 1 6 b r u c ejw ，g i b l i npj g e n e r i cc u t w e sa n ds “咖e e s 吼l o n d o nm a t hs o e ，1 9 8 1 ( 2 4 ) ：5 5 5 5 0 1 【7 】m a t h e rjns t a b i l i t yo f e “m a p p z n g si v ：c l a s s t f i c a t w no s t a b l eg e r m sb yr 幽e h u s 【j 】p u b l i m a t h1hes ，1 9 7 0 ( 3 7 ) ：2 2 3 2 4 8 s ll i t t l ejao ns i n g u l a r i t i e so ys u b m a n i f o l d s 对h i g hd i m e n t i o n a le u c l i d e a ns p a c e 0 1 a n n a l i m a tp u r ae ta p p l ，1 9 6 9 ( 8 3 ) ：2 6 1 3 3 6 1 9 】w h i t n e yh o ns i n g u l a r i t i e s0 ，m a p p i n go ，e u c l i d e a ns p a c e s 【j 】i , a n no fm a t h ，1 9 5 5 ( 6 2 ) ： 1o 】纪永强子流形几何【m 1 北京：科学出版社，2 0 0 4 1 l 】吴传喜，李光汉子流形几何f m j j t 京：科学出版社，2 0 0 2 【1 2 】i z u m i y as ，p e idh ，s a n ot t h e “g h t c o n eg a u s sm a pa n dt h e 幻h t e o n ed e v e l o p a b l eo ，d s p a c e l i k ec u r v ei nm i n k o w s k i3 - s p a c e 【j 1g l a s g o wm a t hj ，2 0 0 0 ( 4 2 ) ：7 5 8 9 【1 3 1i z u m i y as ，k o s s o w s k im ，p e idh ，e ta 1 s i n g u l a r i t i e so fl i g h t l i k eh y p e r s u r f a c e si nm i n k o w s k i 4 - s p a c e j t o h o k um a t h e m a t i c a lj o u r n a l ，2 0 0 6 ( 5 8 ) ：7 1 8 8 1 4 li z u m i y as ，p e idh ，r o m e r e - f u s t e rmc t h el i g h t c o n eg a u s sm a p0 ，ns p a e e l i k es u r y a c e 讥 m i n k o w s k i4 - s p a c e j a s i a nj o u r n a lo fm a t h e i n a t i c s ，2 0 0 4 ( 8 ) ：5 1 1 5 3 0 【1 5 】i z u m i y as ，p e idh ，r o m e r e - f u s t e rmc u m b i l i c i t yo fs p a c e l i k es u b m a n i f o l d s 机m i n k o w s k i s p a c e p p r o c e e d i n g so ft h er o y a ls o c i e t yo fe d i n b u r g h ，2 0 0 4 ( 1 3 4 a ) ：3 7 5 - 3 8 7 【1 6 】i z u m i y as ，p e idh ，s a n ot ，s i n g u l a r i t i e sd ，h y p e r b o l i cg a u s sm a p s j 1 p r o c e e d i n g so ft h e l o n d o nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 2 0 0 3 ( 8 6 ) ：4 8 5 - 5 1 2 17 】i z u m i y as ，p e idh ，r o m e r c - f u s t e rmc ，e ta 1 t h eh o r o s p h e r i c a lg e o m e t r yo fs u b m a n i f o l d s 讯h y p e r b o l i cp 妒【j 】j