（基础数学专业论文）一类二阶中立型方程解的振动准则及应用.pdf

摘要 摘要 本文研究了一类具有连续偏差变元的二阶中立型方程 ( z ( 亡) + 6p ( 亡，叩) z 危( 亡，? 7 ) 】印( 7 7 ) ) + 矗口( 亡，) 刀 夕( t ，) 】d 叮( ) = 。亡 ( e ) 解的振动性问题，给出上述方程解振动的判别准则作为应用，我们讨论了一类双 曲方程 嘉 缸+ 石：p ( z ，亡，叼) 让囟， ( 亡，叼) 】咖) 2 口o ( u + 。t ( 亡) 让 _ ，亡一丁) ( e ) 一g ( z ，亡，专) t 正陋，9 ，善) 】d 仃( 专) ，( z ，芒) q 只。兰g ， 在边界条件 让= 0 ， 豪+ 如咖_ 0 下的振动问题 ( z ，舌) a q z ( z ，亡) a q j 0 ， 关键词：振动性，双曲方程，边值问题，分布偏差变元 ( b 1 ) ( 岛) a b s t r a c t a b s tr a c t 1 1 1t h 醣p a p e r ，w ei n v 髑t i g a t eac l a s so fs e c o n do r d e rn e u t r 乱e q u a t i o 璐而t h 出s t r i b u t e dd e v i 8 t i i 培雒g u 匝e 璐， ( z ( 亡) + z 6p ( t ，叩) z 【危( 亡，7 7 ) 】口p ( 叼) ) + dg ( 亡，) z 囟( 亡，亭) 】d 旷( ) = 。亡粕 ( 司 a n do b t a 血o s c i l l a t o 巧c r i t e r i af o rs u c he q u a t i o n s a 暑a p p u c a t i o n ，t h ef o u 嘶卫g h y p e r b o l i ce q u a t i o n s0 fn e u t r a l l 娜e a 2 况2卜+ = o o ( 亡) u + 口1 ( 亡) u ( z ，t 一1 ) ( 司 ( z ，亡) q 石兰g ， a n db o u n d a i yc o n d i t i q n so ft h ef 0 i i o 硝n gt y p 鹤 u = 0 ( z ，亡) a q f “ 嘉州础) “- 0 ( 州) a q 皿， ( b 1 ) ( 马) i si 1 1 v e s t 遮a t e d a n ds o m e0 8 c m a t i o nc r i t e r i af o rs u c he q u a t i o n ss a t i s 岛证gt w 0b n d 8 o f b o u n d a r yc o n 出t i o n 8 壮eo b t a i n e d k e ”m r d s o s c i l l a t i o n ，h y p e r b o l i ce q u a t i o n ，b o l l n d a r yy a l u ep r o b l e m ，d 珏 t r i b u t e dd e v i a t i n ga r 鲫e n t s 一i i - 们 0 坳 打 例 钏 陋 p 们 0 厶 厶 z 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 至盗墨至丝：一 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子舨，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密。 ( 请在以上相应方格内打“) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为心物0 1 舰赫j 解觇损劬脚的学位 段猢 论文，是我个人在导师( 壬堤渤指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：至溢墨：三丝日期：巡年互月正日 作者签名：至至墨墨丝： 导师签名： 日期：逊年月l 日 引言 第一章引言 近年来在自动控制、生物数学、通讯理论及计算机网络技术等自然科学与社会 科学的许多研究领域，提出了大量时滞动力系统的数学模型，因此应用泛函微分方 程描述实际问题的数学模型越来越广泛，诸多应用实例可参阅郑祖庥【1 】；h a l e 1 】等 国内、外学者的专著值得注意的是，由于泛函微分方程的一些理论成果在自动控 制、网络技术中的广泛应用，更加显示出这一研究领域的生命力，从而引起了国内、 外数学界的广泛关注由于泛函微分方程解空间通常是无限维的，寻求其通解将十 分困难，因而从理论上探讨解的性态是一项十分有意义的研究工作这一研究领域 始于8 0 年代中期，之后人们将微分方程问题发展到具有脉冲和偏微分方程领域 解的性态分析是微分方程定性理论的主要研究问题振动理论是定性理论的主 要分支之一，自1 9 7 7 年以来，国内、外文献大量出现，相继出版了多部有关泛函微 分方程振动理论的专门著作p 6 】偏泛函微分方程的基本理论逐步建立【7 ，也为偏 泛函微分方程奠定了定性研究的理论基础偏泛函微分方程振动理论作为泛函微分 方程和偏微分方程振动理论的进一步发展，丰富了微分方程定性理论，因而具有重 要的理论价值和实用价值 关于二阶方程解的振动性与渐近性质的研究是研究成果比较丰富的，从常微分 方程到时滞方程，再到中立型方程，人们相继得到了许多有意义的判定准则，研究 成果可参见l a d d e ，l a k s h n l i k a n t h a m 和z h a n g 【3 1 ，g r 眦m a t i k o p o u l 0 8 ，l a d a s 和 m e i m a r i d o u 1 0 】，g r a c e 和l a m 【1 1 】，r u a n 1 2 】，l i 和l i u 【1 3 】以及t 趾a k a 1 4 】其 中平均函数法是研究振动性的非常重要的方法之一，应用这种方法，许多振动准则 的判定问题都可以转化成对方程系数的积分形式的讨论 近年来，由于具有连续偏差变元的模型的出现，人们开始关注这一问题的讨论 目前关于具有连续分布偏差变元的二阶方程的讨论已有一些结果，我们可参见文献 【l 孓1 7 】等本文的目的是考虑下列具有连续分布偏差变元的二阶中立型方程 ，f b一 lz ( t ) + p ( ，7 ) z 陋( ，叩) 】d j d ( 叩) l + 口( t ，) z b ( t ，) 】d 盯( ) = o 亡钿 ( e ) ，a，c 解的振动性问题，给出上述方程解振动的判别准则 关于偏泛函微分方程振动理论在过去的数十年中得到了许多学者的关注，研究 河北大学理学硕士学位论文 成果可参见k r e i t h ，k u s a n o 和1 1 i d a 2 0 】，l a l l j ，y u 和c l l if 2 1 ，2 2 】，b a i n o v 和c u i 【2 3 】，l i u 和f u 2 4 】，w 如g 和y ，u 【2 5 】等作为应用，我们将考虑下列中立型双曲微 分方程 嘉卜+ 名：p ( z ，舌，刁) 钰p ， ( 六刁) d p ( 7 7 ) 。知( 亡) 锃+ n ( 艺) e ( z ，艺一r ) ( 互1 1 ) 一口( z ，亡，) 钍陋，9 ( ，) d p ( ) ，( z ，t ) q j “兰g ， 在边界条件 牡= 0 ， 娶+ 矿( 叫) u ：o ， 丽+ 矿( z ，t ) u2 o ， ( z ，t ) 1 5 i q j “ ( z ，t ) a q j “， ( 玩) ( 易) 下的振动性问题这里1 o 是常数，是尼。上的l a p l a c i a n 算子，蜀= 【o ，o o ) ， u = u ( z ，亡) q 是形中具有逐片光滑御的有界区域几为d q 的单位外法向量， 方程( e ) 的积分是s t i e l t j e s 型积分 本文的目的是通过使用平均技术，得到二阶中立型方程( e ) 以及边值问题( 且) ，( b ) 解的振动准则 振动准则 第二章二阶中立型方程的振动准则 在本章中，我们考虑下列具连续偏差变元的二阶中立型方程 ( z ( 亡) + z 6 p ( 亡，叼) z ( 亡，叩) 】和( 叼) ) + ，d 口( 亡，) z b ( 亡，) 】d 盯( ) = 。t t 。 ( 2 1 ) 解的振动性问题本章我们始终假设下列条件成立； ( 巴1 ) p ( 亡，叩) c ( 陋o ，o 。) 【口，6 1 ，r ) ，p ( 亡，叩) o ； ( 飓2 ) ( 屯叩) c ( p o ，) 陋，6 】，兄) ，九( t ，7 ) 亡，恶，嚣强 ( ，叩) = o o ； ( 也3 ) 口( ，) c ( 陋o ，o o ) 【c ，司，r + ) ，口( t ，) o ； ( 凰4 ) g ( 厶) c ( ，) c ，d 】，冗) ，。鳃，眢9 ( 厶) = o o ；9 ( 亡，) t 关 于专非减，爱夕( 亡，c ) 存在且( 亡，c ) o ； ( 凰5 ) j d ( 叼) c ( n ，6 】，r ) ，盯( ) c ( 【c ，明，r ) 是非减函数，且( 2 1 ) 中的积分 是s t i e l t j e s 积分 定义2 1 方程( 2 1 ) 的解z ( 亡) 称为最终为正，如果存在充分大的正数t ， 使得当t t 时，恒有z ( 亡) 0 定义2 2 方程( 2 1 ) 的解z ( 亡) 称为最终为负，如果存在充分大的正数t 亡o ， 使得当亡z 时，恒有z ( 亡) 0 ，亡 s ； ( i i ) 日在d 上关于变量亡，s 存在连续的偏导数，且 箸呐s 姚s ) ，箸= 也 s ) 即s ) ， 其中j d = ( t ，s ) ：一 o ，z ( 亡，叩) 】 o ，z b ( 亡，) 】 0 ， 亡亡1 ， ，7 a ，6 】，荨 c ，d 】 令 秒( 亡) = z ( 亡) + p ( 亡，叼) z 【九( t ，叩) 】谚p ( 叩) ， 亡亡1 ( 2 4 ) 则我们有 秒”( 亡) + g ( ，) z b ( ，f ) 】d 伊( 毒) = o ，t 1 ( 2 ，5 ) 容易看到，可( 亡) z ( 亡) o ，圹( 亡) o 对于t 亡1 ；且我们可以证明可他) o ，亡亡1 事实上，假设不然，则存在如亡l 使得7 ( 如) o ，由爹静) 是单减的，存在如2 使 得矿( 亡3 ) o ，秒心) 可他3 ) 0 矛盾 由( 2 4 ) ，我们有 z c ，2 可c 亡，一：p c 亡，叩，z e c 亡，叩，巧p c 叩，秒c 亡，一b p c 亡，叩，可e c 以叼，西p e 叩， 。2 6 ， 秒( 亡) 一p ( 亡，叩) y ( 亡) d p ( 叼) = 1 一p ( 亡) 】可( 亡) 进一步，由方程( 2 1 ) ，我们有 可( 亡) + dq ( 亡，专) 1 一p 夕( 亡，) 】) 妙b ( ，) 】d 盯( ) 。 ( 2 7 ) 又因夕( 亡，f ) 关于f 为非减，我们得到 y ( 亡) + b ( 亡，c ) 】dq ( 亡，) 1 一_ p 【9 ( ，) 】) d 盯( ) 。， t 亡 ( 2 8 ) 4 - 振动准则 令 z = 躺 ( 2 9 ) 叫垆躺一掣骅 一dg ( t ，) + 丢碟 嬲 礴一丢嬲 。 ( 2 1 8 ) 则方程( 2 1 ) 的所有解振动 证明；假设方程( 2 1 ) 存在非振动解z ( ) 不失一般性，假设z ( 亡) 是( 2 1 ) 的最 终正解( 最终负解的情况可相同讨论) 对任意的t 亡o ，令m = t ，在( 2 1 7 ) 中， 取f = m ，则存在r m ，使得 碳扣，一三鬻 。 亿埘 振动准则 同理，在( 2 1 8 ) 中，取z = r ，则存在n r ，使得 磷 q ( 3 ) 一三剿 。 仁2 。， 联立( 2 1 9 ) 一( 2 2 0 ) ，我们有 赤帅s ，一三鬻卜南小，一丢辫 州2 m ， 我们注意到，由( 2 3 ) 和( 2 1 4 ) ，我们还可有 南礴阿丢鬻卜南珐阿丢鬻卜泛2 2 ， 此与不等式( 2 2 1 ) 矛盾定理2 1 证毕 对于函数类中的函数日( 古，s ) ，如果我们选取特殊的函数形式，可以得到具体的 判别准则例如，与以往振动性问题的讨论相同，我们可以取 日( ，s ) = ( 一s ) n ， t s 亡o ， 其中讫 l 是常数则九1 = 亿( 一s ) 一， 2 = 一礼( 一s ) 一由定理2 1 ，我们有如下 推论 推论2 1 对于任意的z 岛及常数扎 1 若 恕s 咕。卜矿一南蚓2 卜。，亿2 3 ， 巨 熙s 咕。c 州 q ( s ) 一赤蚓2 卜。， 协2 4 ， 则方程( 2 1 ) 的所有解振动 如果我们考虑如下函数类中的函数日= 日( t ，s ) 属于函数类目，记为日局， 满足下列两个条件： ( i )日( ，t ) = o ，日( 亡，s ) o ， t s ； ( i i ) 日在d 上关于第二个变量有非正连续的偏导数，且存在 ( 亡，s ) c 【d ，捌 使得等= 一九( t ，s ) 日( t ，s ) ，其中d = ( t ，s ) ：一o 。 o ，z 夕( 亡，) 】 o ， 亡亡1 ， 叩 口，6 】，荨【c ，6 日 钞( 亡) = z ( t ) + p ( 亡，7 7 ) z 九( t ，叼) 】d p ( 叩) ， 亡t 1 ( 2 4 ) ( 亡) + g ( ，) z b ( 亡，) 】d 仃( ) = o ，亡亡1 ( 2 5 ) z = 躺 ( 2 9 ) q ( 亡) 一7 ( 舌) 一9 7 ，c ) 夕 ) ，t 亡l ，( 2 1 1 ) 对不等式( 2 1 1 ) 两端作用算子y 舄，我们有 噶( q ) 一f 即，s ) ) 幽一r 即，s ) m c ) 那) d s ， = z ( t ) 日( t ，t ) 一日( ，s ) 危( 亡，s ) z ( s ) 如一日( 亡，s ) 9 7 ( s ，c ) z 2 ( s ) d s j t ，j t 、 = z ( t ) 日( 亡，t ) 一岛i ( 亡，s ) z ( s ) + 9 7 ( s ，c ) z 2 ( s ) i 刮t 腓t ) 一噶nc 凇s ) + 嬲 2 ) + 三蟛 鬻 ， 瑙一丢嬲b t 腓t ，一蟛 9 ，( s 一一十三嬲 2 ) & 振动准则 吃一丢裂 纠纠跗2 ) 即批m ) i ( 2 2 8 ) 进一步可以得到 h 一丢辫 一丢辫心 q ( s ) 一丢黜 冬k 戛 1 q ( s ) i 】+ 日( 亡，) i z ( 亡2 ) i 即，托) k | q ( s ) j d s 仆池) 1 ，t 独 ( 2 2 9 ) 由( 2 2 9 ) ，我们有 高 q ( s ) 一丢裂 o 是常数，n o ( t ) ，o l ( 亡) c ( 兄+ ，耳) ，p ( z ，亡，叩) ， g ( z ，芒，) c ( 孬皿【n ，6 】，研) ；是形上的l 印l a u c i a n 算子，珥= 【o ，o o ) ， u = 乱( z ，亡) q 是舻中具有逐片光滑a q 的有界区域n 为贷2 的单位外法向量， p ( 叩) ，口( ) 的假设同上一章方程( e ) 的积分是s t i e l t j e s 型积分 定义3 1 函数钍( z ，亡) c 2 ( g ) ng 1 ( 召) 称为边值问题( 刀) ，( b ) 的解，如果其 在区域g 内满足方程( e ) 及其相应的边界条件 定义3 2 边值问题( e ) ，( b ) 的解他( z ，) 称为在区域g 内振动，如果对任意 正数气，存在一点( z o ，亡o ) q ，o 。) 使得乱( z o ，) = o 成立 因为方程( e ) 的积分是s t i e l t j e s 型积分，方程( e ) 包含了下列方程 嘉 u + 霎蝴m 咖以) 】 叫牡u 圳脚卜丁) 一 i ；1 一 n 一劬( z ，) 乱k ，缈 ) 】， ( z ，t ) q r + 兰g ， j = 1 ( e 7 ) 为得到边值问题的振动准则，我们首先考虑下列d i r i c l l l e t 问题 0 ( z ，t ) q j 4 ( z ，亡) a q r + 1 2 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 振动准则 这里口是常数由文献 2 6 】可知，问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的最小特征值q l o ，其相应的 特征函数在z q 有砂( z ) 0 在这一章，我们考虑函数类毋，记为日( 亡，s ) 局，满足下列两个条件； ( i )日( 亡，亡) = o ，日( 亡，s ) o ， t s ； ( i i ) 日在d 上关于第二个变量有非正连续的偏导数，且存在九( t ，s ) c d ，捌 使得箬= 一 ( 亡，s ) 日( t ，s ) ，其中d = ( 亡，s ) ：一o o o 由假设，存在t 1 p o ，使得 ( ，叩) p ，夕( 芒，) p ，( ，叩) 陋1 ，) 陋，6 】， ( 亡，) 陋l ，) 【c ，d 】，并且 让( z ，亡一7 - ) o ，缸陋， ( 亡，7 7 ) 】 o ，札【z ，9 ( ，) 】 o ， ( z ，t ) q 1 ，o o ) ， ( z ，叩) q 亡1 ，o 。) 口，6 】( z ，亡，) q 亡1 ，o 。) c ，司 方程( e ) 两端同乘( z ) ，并且在区域q 上关于z 积分，得 嘉m 珏纰胁从出 咖啪州m 帕翻 + 口( z ，芒，) u p ，9 ( ，) 】咖( z ) 打( ) 如 ( 3 6 ) = 咖( 亡) 乱矽( z ) d 2 + 口1 ( 亡) u ( z ，t 一7 ) 咖( z ) 如 河北大学理学硕士学位论文 利用g r 唧s 公式和边界条件，我们有 z 牡e z ，如= 厶e z ，关一心雩暑) 础+ z 让e z ，如= 一q ，z u 矽c z ，如， ( 3 7 ) 钍( z ，t 一丁) 咖( z ) d z = 一q l 牡( z ，t 一丁) ( z ) d z ， ( 3 8 ) 其中q 1 是最小特征值注意到 上z 6p ( z 7 7 ) 乱p ， ( 芒，训( z ) 和( 7 7 ) 如= z 6 上p ( z ，亡，7 ) 锰p ，庇( 亡，捌( z ) 如和( 7 7 ) ，b， p ( ，7 ) 牡k ， ( ，7 7 ) 】( z ) d z 4 p ( 叩) ( 3 9 ) zz d 口( z 毒) ”睁，9 ( m z ) 拈( ) 如= z dz g ( z ) u 陋，9 ( t ，钏( z ) 如打( ) 口( z ，t ，毒) ”睁，9 ( ，) 】( z ) 拈( ) 如= ! g ( z ，毒，) u 陋，9 ( t ，) 】( z ) 如打( ) t nj cj cj q q ( ，) u k ，9 ( 亡，) 】( z ) 如d 盯( ) ( 3 1 0 ) 联立( 3 6 ) 一( 3 1 0 ) ，对于t t l ，我们有 嘉l ( 酬蛐+ 6 咖) z 缸啪朋酬叩) r ar + q ( ，) t 正陋，9 ( t ，) 】( z ) d z d 盯( ) 一q 1 n o ( 亡) t 正矽( z ) d z q 1 n 1 ( 亡) u ( z ，亡一下) 庐( z ) d z ， 由( 3 3 ) 和假设，我们有 嘉+ 小咖删加黼) 卜d 晰瞅 o ，x ( 亡) o ，t t l ，并且我们可以断言x 他) o ，t t 1 由 ( 3 1 3 ) ，我们有 ，d，d u ( 亡) = x ( 芒) 一尸( 亡，叩) u 盼( 亡，叩) 】却( 叩) x ( ) 一p ( z ，叩) x 陋( ，叩) 】咖( 叩) r 6 x ( t ) 一p ( t ，7 7 ) x ( 亡) 如( 7 7 ) = 1 一p + ( 亡) 】x ( 亡) 、l ，幻和们限 u 协 p 6 ， + 、l ， u = 、l ， x 令 振动准则 进一步。由不等式【3 1 2 ) ，我们硐 x ，( t ) + z d ，) 1 一p b ( t 剑卜b 瓴钏烈) 0 ( 3 1 4 ) 又因夕( 亡，) 关于f 为非减，我们得到 川卅x c ) 】d 1 一p 钏) 打( ) 0 亡独 ( 3 1 5 ) 令 川) = 褊 ( 3 1 6 ) 则y ( t ) o 由爰9 ( t ，口) 存在，我们有x b ( 亡，n ) 】= 喾爰9 ( 亡，口) 进一步，由 口( 亡，) t ，f o ，翻，x ( t ) o ，得x 7 ( 亡) x ，f 9 ( 亡，n ) 1 因此 川归吊一一 掣川3 ， 一q ( ，) 1 一p + b ( 亡，) 】) 打( ) 一( t ，o ) y 2 ( 亡) ， 对不等式( 3 1 7 ) 两端作用算子y 瓷，我们有 埔( q ) 一f 日( ，s ) y ，( s ) 如一f 日( 亡，s ) 9 ，( s ，c ) y 2 ( s ) d s ，c，c = y ( t ) 日( 舌，t ) + 7 日( t ，s ) ( 亡，s ) z ( s ) 如一丑( 亡，s ) 9 7 ( s ，c ) y 2 ( s ) d s j t ， j t 、 = y ( t ) 日( t ，t ) 一x 品l 危( t ，s ) y ( s ) + 夕7 ( s ，c ) y 2 ( s ) l _ y ( t 眺t ) 一蟛* c ) m + 丢嬲 2 ) + 三蟛 嬲 ， 蟛h ，一去嬲 绷t 腓t ，一蟛mc ，m + 壶嬲 2 ) 一 河北大学理学硕士学位论文 类似于上一章定理2 2 的讨论，我们有 赢圪 q ( s ) 一三裂卜小阱阪哟1 令亡_ ，此与( 3 5 ) 式矛盾 如果牡( z ，亡) o ，( z ，亡) q 皿( u ( z ，亡) p o ，使得九( ，叼) p ，夕( 亡，) p ，( t ，叩) 陋1 ，o o ) 陋，6 】， ( t ，) p 1 ，) c ，明，并且 u ( z ，亡一7 ) o ，t 陋，九( 亡，叩) 】 o ，饥囟，9 ( ，) 】 o ， ( z ，t ) q 1 ，o o ) ，( z ，叩) q 陋1 ，o o ) n ，6 1 ( z ，t ，) q 弘1 ，o 。) c ，d 1 对于亡亡1 ，在区域q 上，关于z 积分，得 嘉 上u 如+ 上z 6 出 咖啪m 川翻 + g ( z ，芒，) u p ，9 ( 亡，荨) ( ) 如 ( 3 2 3 ) = o o ( 亡) u 如+ a 1 ( 亡) 让( z ，t p ) 如， 腑础m 啦m m m 帕鬈三焉篡4 ，上p ( 亡，叩) 厶u k ， ( 亡，叩) 】如却( 叼) dq ( z ，t ，) u p ，9 ( t ，) 】d 仃( 亭) d z = z ：q ( z ，t ，) u b ，9 ( t ，) 】d z d 仃( ) 6 瞰) 上让瑚】妇昧) 由g r e e n s 公式及边界条件，我们有 z u 如= 厶关山= 一厶扎山。， 上让( z ，t 一下) 如= 一厶( z ，亡一下) u ( z ，亡一下) 咖。， 这里幽是勰上的表面积分元素 联立( 3 2 3 ) 一( 3 2 7 ) ，对于t t 1 ，我们有 豢阳+ b 咖州加黼) 卜d 叭瞅 o ，y ) o ，t 亡l ，可以证明y ) 2o ，t t 1 ( 3 2 9 ) ，同定理3 1 的分析，我们有 y 7 ) 一q + ) 一9 7 ( 亡，c ) y 2 ( 亡) ， t t 1 对上式两端同乘函数p ( t ) ，得 q ) p ( 亡) 一y ) p ) 一夕7 ，c ) y 2 0 ) p ) ，t 正 ( 3 2 9 ) 由( 3 2 8 ) 和 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 对( 3 3 1 ) 两端同时作用算子骁，我们有 瑙掷肌) 】 叩腓t m t ) 一埔趴s c ) m + 三锵n + 三蟛 紫 进一步有 蟛州一三警 叫咖t m 砷 ( 3 3 3 ) 以下分析同定理2 2 ，在此略去定理3 3 证毕 定理3 4 设日属于函数类蜀若存在函数p ( t ) c 1 ( 4 ，( o ，o o ) ) ，使得对于 任意的t 亡o ，有 ， 恕s 婶南q 俐= + o o ， ( 3 3 4 ) 恕s 婶去缘 糌 慨 似3 5 ) 则边值问题( 目，( 岛) 的每一解u ( z ，亡) 在区域内g 振动 附录 附录 1 】变限积分的应用，保定师范专科学校学报2 0 0 7 ( 2 ) 2 】熙瓶= 1 的证明方法和技巧， 保定学院学报 2 0 0 8 ( 2 ) 一1 皿 河北大学理学硬士学位论文 参考文献 【1 】郑祖庥，泛函微分方程理论合肥：安徽教育出版社 1 9 9 6 【2 】 j k h a l e ，t h e o 盯o ff u n c t i o n a ld i 船r e n t i a le q u a t i o n s e 叫场峨跏死珊e b 1 9 7 7 【1 0 】 【1 1 】 1 2 】 1 3 】 l a d d e ，l a l 【s h m i l ( a n t h a n z h a n g0 s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i 髓r e n t i a le q u a t i o 璐 而t hd e v i a t i i 培a r g l l m e n t s e 叫，白以：肘a 他e ld e 船e 巧1 9 8 7 d d b a i l l o v ，d p m i s h e v ，o s c i u a t i o nt h e o 珂f o rn e u t r 越d i 乳r e n t i a le q u a t i o 璐 丽t hd e l a y e 叫场他? a d 口m 觑匆e r ，1 9 9 1 l h e r b e ，q k k o n g b g z h a n g ，o s c i l l a t i o nt h e o r yf o rf u n c t i o n a ld i 扫k r e n _ t i a le q u a t i o n s e 叫场他：讹舰zd e 触e r ，1 9 9 5 r p a g a 确枷，s r g r a c e d o g a n ，o s c i u a t i o nt h e o qf o r8 e c o n do r d e rd y - n 锄i ce q u a t i o 璐死匆d r 两撕c 诂，n e wy 0 r k ，2 0 0 3 j h w | u ，t h e o r ya n da p p l i c a t i o 璐o fp 础i a lf u n c t i o n 越d i 珏e r e n t i a le ( 1 u a t i o n s e 伽场心却疵唧e n1 9 9 6 y h y u ，x l n ，o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rn o n l i n e a rn e u t r a le q u a t i o nw i t h c o n t i n u o u sd i s t r i b u t e dd e 、r i a t i i l ga r g u 吼e n t 冗口d 肘a t ，7 ( 1 9 9 1 ) ：1 6 7 1 7 6 d b a i n o v ，v p e t r o v ，a s 舯p t o t i cp r o p e r t i e 80 ft h en o n o s c m a t o 疆s o l u t i 0 1 1 so f 8 e c o n d - o r d e rn e u t r a le q u a t i o n 8 丽t had 嘶a t i n g 甜g u i n e n t zm h 忱a 住口己 4 鲫，1 9 0 ( 1 9 9 5 ) ：6 4 5 - 6 5 3 m k g r a m m a t i k o p o u l o s ，g l a d a s a m e i m a r i ( 1 0 u ，o s c i u a t i o 瑚o fs e c o n do r - d e rn e u t r a ld e l a yd i 胁e n t i a le q u a t i o n s 冗o d m 吐，1 ( 1 9 8 5 ) ：2 6 7 - 2 7 4 s r g r a c e ，b s l a l h ，o s c i l l a t i o no fs o l u t i o 珊o fn o n l i n e a rn e u t r a - ls e c o n do r d e r d e l a yd i f 6 e r e n t i a le q u a t i o i l s 胁d 死亡，3 ( 1 9 8 7 ) ：7 7 - 8 4 s r u a n ，0 8 c i l l a t i o n so fs e c o n dn e u t r a ld i f 】 e r e n t i a le q u a t i o 璐a 口佗口d 肘a 饥 b 让j f 3 6 ，4 ( 1 9 9 3 ) ：4 8 5 4 9 6 h j l i ，w l l i u ，o s c i l l a t i o nc r e t e r i af ；d rs e c o n do r d e rn e u t r a ld i f l 迳r e n t i a le q u 扣 t i o n s c 乞竹z 妃铣，4 8 ，4 ( 1 9 9 6 ) ：8 7 1 8 8 6 2 m 参考文献 1 4 】 【1 5 】 16 】 f 1 7 】 【1 8 】 【1 9 】 2 0 】 【2 1 】 2 2 】 【2 3 】 【2 4 】 2 5 】 【2 6 】 k t m a k a ，o s c i l l a t i o np r o p e r t i 鹄o fs 0 1 u t i o n so fs e c o n do r d e rn e u t r “d i f | 融r e n t i a l e q u a t i o 璐研t hd e v i a t i n ga r g u m e n t s a n 口蜘i s ，1 9 ，1 ( 1 9 9 1 ) ：9 皿1 1 1 l q z h a n ga n dx l - n ，ac l a s so fs i e c o n do r d e rf u n c t i o n a l 出f f 打e n t i a li n e q u 小 i t i e 8 a 凡佗吖d 谚五如，1 2 ，1 ( 1 9 9 6 ) ：1 2 9 - 1 3 6 p g w 妇g ，y h y u ，o s c i u a t i o no fs e c o n do r d e rn e u t r a | e q u a t i o n s 耐t hd 晰a t i n g a r g u m e n t s 且f o 沈z 乃可口7 n n 7 h i 口，2 1 ( 1 9 9 8 ) ：5 5 - 6 6 p g w r a n g ，y h 、m ，0 8 c i u a t i o no fs o l u t i o 璐f o rn o n l i n e 肚s e c o n do r d e rn e u t r a l e q u a t i o n s 丽t hd e v i a t i n ga r 母m l e n t 8 m a 冼融伽口c 口，5 1 ，2 ( 2 0 0 1 ) ：2 0 5 _ 2 1 3 w y s l l i ，p g 、钝n g ，o s e i l l a t o 搿c r i t e r i ao fa e l a s so fs e c o n d - o r d e rn e u t r 啦f l m c - t i o n a ld i 虢r e n t i a le q u a t i o i l s a 卯正 妃饶唧钆t ，1 4 6 ，l ( 2 0 0 3 ) ：2 1 1 2 2 6 p g w a n g ，x w l i ，f u r t h e rr e s u l t 8o n0 8 c i u a t i o n0 fa d a s so fs e c o n d - 0 r d e rn e u - t r 以e q u a t i o 璐，唧u 亡a 卯f 妃纨，1 5 7 ，2 ( 2 0 0 3 ) ：4 0 7 - 4 1 8 k k r e i t h ，t k u