（基础数学专业论文）cc子群极小子群的c可补性对有限群结构的影响.pdf

c c 子群等对有限群结构的影响中文摘要 c c 一子群，极小子群的c 一可补性对有限群结构的影响 中文摘要 设g 是有限群，h g ，称日为g 的一个c c - 子群，如果对任意的1 z h ， 都有c c ( x ) h ，记为h g 若h g ，则记为日 g 1 g 。= 1 使得每一主因子q 一，g j 0 = 1 ，2 ，s ) ，为素数幂阶的初等交换群，则称g 为可解 群 定义2 1 2 ( 1 】) ：设g 是有限群，h g ，称h 为g 的一个c c - 子群，如果对 任意的1 z h ，都有c c ( x ) h ，记为h5g 若h g ，则记为日 g 显然若 h g ，则hnz ( g ) = 1 定义2 1 3 ( 3 3 1 ，p 4 7 ) ：设g 是有限群，1 h 子群等对有限群结构的影响第二章c g 子群对有限群结构的影响 2 2基本引理 本节我们给出一些在本文中有重要意义的事实 引理2 2 1 ( 【3 2 】，定理4 3 ，p 1 1 2 ) ：s c h u r z a s s e n h a u s 定理，设是有限群g 的正规h a l l - 子群，则： ( 1 ) n 在g 中有补， ( 2 ) 如果或g n 可解，日和上矗是在g 中的两个补，则| u n ，使得 h “= h i 引理2 2 2 ( 8 】，引理2 ) ：若日是有限群g 的c c - 子群，则日是g 的h a l l - 子 群 证明：( 反证法) 假设日不是g 的h a l l 一子群，则存在素数p 以及r s y l p ( h ) ， p s y z p ( a ) ，使得1 p 1 p 取1 z z ( p ) ，对任意的1 y 只，都有 x y = y x ，从而z c o ( y ) 由于y h5g ，因此c c ( y ) 日从而z h ，所以 z hn p = b ，对此有p ( z ) h ，与尸1 日k 且日幂零正规， 由定理2 2 1 知k 也是g 的c c - 子群 ( i i ) 若g 是2 一f 群，则g 有正规列1 里h 璺k 笪g ，设吼= 7 r ( k h ) ， 乃= 7 r ( 日) ur ( g k ) 根据2 一f 群的定义得：存在丁，使得t 垒k h ，t g ， 又k = 日丁，日nt = 1 ，k h5g h ，可得k 冬g 又有g 可解及引理2 1 6 知 g 必存在一个h a l l 乃- 子群m ，使得m = hxs ，s 笺g n , k 下证m 是c c 一子群 因为s 竺g k ，k h 是f 群g h 的核，t 笺k h 若m 不是c c - 子 群，由g = t m ，存在g g m ，m 1 m 满足9 m l = m l g ，令夕= t m 2 ，t t ， 仇2 m 则t m 2 m 1 = m l t m 2 ，再令m i = h i s i ，i - 1 ，2 得t h 2 s 2 h l s l = h l s a t h 2 s 2 又 h 璺g ，所以存在h 7 h ，满足t s 2 8 1 = 8 1 t s 2 h ，即8 2 8 1 = s i 8 2 h 。，又s 1 、s 2 均属于 s ，t t ，而t ) 日s 笺g h ，从而得到s i l 8 1 8 2 8 1 h 又s i l 8 7 1 8 2 8 1 g h ，h 为h a l l7 r 子群，可得到s ；1 8 1 - 1 8 2 8 1 = 1 ，即8 2 8 1 = s i s 2 ，所以s i s ，又8 s t ，s 。 是g u 的补，sns 。= 1 ，故8 ；= 1 ，即t s l = s i t ，这与g h 是f 一群矛盾证毕 定理2 3 6 ：设g 是幂零的质幂元群，则g 中每个c c - 子群仅含有一个素因 子，且c c 一子群的个数至少为1 7 r ( g ) i + 1 证明：证明下面g 的每个s y l o w 子群均为c c 一子群 任取h i g ，h i s y l p l ( g ) ，p 7 r ( g ) 任取1 z h i ，y c c ( x ) ，则x y = y x ， 又g 是质幂元群，从而g 中阶的质因子不同的元不能交换相乘，所以x ，y 中阶 的质因子相同，又由g 幂零得g 中每个s y l o wp - 子群均为p 一闭的故y h i ， 鼠! g ，又由s y l o w 定理得g 有1 7 r ( g ) 1 个s y l o w - 子群，所以g 至少有1 7 r ( g ) 1 个 真c c 一子群，又g 也是c c 一子群，从而命题得证证毕 1 0 第三章极小子群的c 一可补性对有限群结构的影响 3 1基本概念 本节中我们先给出一些基本概念，没有提到的概念和记号都是标准的可参看文 献 3 2 】、【3 3 】 记7 r 是某些素数所组成的集合，7 r 是7 r 在全体素数集合中的补集如果7 r 只包 含单个素数p ，则我们将7 r 和7 r 分别简单地记作p 和一个正整数n 称为7 r 一数，如 果1 3 的每个素因子都包含在7 r 中有限群g 的子群日称为g 的丌- 子群，如果1 日i 是一个丌- 数有限群g 的子群h 称为g 的h a l l 丌一子群，如果日是g 的7 r 一子 群且l g ：h i 是7 r 一数，亦即i h i 。= i h i ：有限群g 的一个h a l l7 r 一子群也称为g 的 7 r 一补，进一步，一个正规的h a l l7 r 一子群称为g 的正规7 r 一补当7 r 只包含一个 素数p 时，我们把弘补和正规弘补分别简单地称为p 补和正规p 补如果有限群 g 有一个正规p 补，我们称g 为p 一幂零群 如果日是有限群g 的子群，我们称包含在日中的g 的极大正规子群为h 在g 中的核，记为c o r e g ( h ) 或h g g 是g 的幂零剩余，所谓群g 的幂零剩余是所有使得商群为幂零群的g 的正 规子群的交 从子群的性质出发研究群的结构，是研究有限群结构的一个基本方法，而利用一 些特殊的子群的性质来刻画有限群的结构在有限群的研究中占有很重要的地位，特别 是极小子群的性质与群的结构之间的关系被许多学者广泛的研究 一个有限群g 的子群h 称为在g 中是可补的，如果存在g 的子群k ，使 得g = 日k 且hnk = 1 ，作为可补概念的一种推广，王燕鸣在文献【5 】中引入了c 可补的概念：设g 是一个有限群， 日是有限群g 的一个子群，如果存在g 的子 群k ，使得g = 日k ，日nk h g = c o r e g ( h ) ，则称日在g 中c - 可补显然一 个有限群日在g 中可补则h 一定是g 的c - 可补子群，但反之不成立，如： 设 g = ，l a i = 4 ，则h = 在g 中c - 可补但日在g 中不可补 进而 有： 定义3 1 1 ( 5 】) ：设g 是一个有限群， 日是其子群，如果存在g 的子群k ，使 得g = 日k ，日nk h g = c o r e c ( h ) ，则称日在g 中c - - 可补 定义3 1 2 ( 5 】) ：设g 是一个有限群，如果g 的每一子群都是g 的c 一可补子 群，则称群g 是c 一可补的 1 1 c g 子群等对有限群结构的影响第三章极小子群的c - 可补性对有限群结构的影响 定义3 1 3 ( 【3 3 ，定义1 1 ，p 2 2 ) ：设g 为有限群，我们定义d p ( g ) = 定义3 1 4 ( 【3 2 ，定义5 3 ，p 7 4 ) ：设g 是有限群，p s y l p ( g ) ，如果g 由正 规子群，满足np = 1 ，p = g ，则称g 为p 幂零群，而称为g 的正规p 一 补显然， 正规子群是g 的正规p 一补当且仅当l nj = i g i i p i 一 1 2 c g 子群等对有限群结构的影响第三章极小子群的c - 可补性对有限群结构的影响 3 2基本引理 引理3 2 1 ( 3 2 ，定理5 4 ，p 7 4 ) ：( b u r n s i d e ) 设g 是一个有限群，p s y l p ( g ) ， 若g ( p ) = c g ( p ) ，则g 为p 一幂零群 引理3 2 2 ( 【3 2 ，引理5 5 ，p 7 5 ) ：设p 是i g i 的最小素因子，p s y l p ( g ) 且p 循环，则g 有正规p 一补即g 是p 一幂零的 证明：由c 定理，g ( p ) c c ( p ) 歪a u t ( p ) ，设i 尸l = 矿，由p 循环得 l a u t ( p ) i = 皿p n ) = 矿_ 1 0 1 ) ，但因p g r i p ) 有p l g ( p ) c c ( p ) i 根据p 的最小性，必有i n 口( 尸) c g ( p ) i = 1 ，即n g ( p ) = c g ( p ) ，应用b u r n s i d e 定理，得 到g 的幂零性证毕 接下来这个引理显示了c 一可补子群的一些基本性质，对我们以后的证明有很大 的帮助 引理3 2 3 ( 5 ，引理2 1 ) ：设g 是一个有限群，则下述结论成立： ( 1 ) 如果k 是g 的包含日的子群，且日在g 中c 一可补，则h 在k 中c - - 可 补 ( 2 ) 如果是g 的包含于日的正规子群，则日在g 中c 一可补当且仅当日 在g 中c 一可补 ( 3 ) 设7 r 是一个素数集， 是g 的丌7 正规子群，日是g 的俨子群，如果日 在g 中c 一可补，则h 在g i n 中c 一可补进一步，若正规化日，那么反 之也成立 ( 4 ) 设日是g 的子群且l 西( 日) ，如果l 在g 中c 一可补，则l 在g 中正 规且l 圣( g ) 证明：( 1 ) 因为h 在g 中c 一可补，所以存在g 的子群m ，使得g = 日m 且日nm g c 令t = mnk ，所以日丁= h ( mnk ) = gn 日k = gnk = k ， 日nt = hnmnk h gnk = h k ，由定义3 1 可得日在k 中c 一可补 ( 2 ) 必要性：因为日在g 中是c 一可补的，所以存在g 的子群k ，使得g = 日k ， h nk h g 故存在k ，使得g n = ( h n ) ( k n j n ) 且( h n ) n ( k n ) = ( 日n k ) n h g n ( h n ) c ，所以何在g 中是c 一可补的 充分性：已知日在g 中是c 一可补的，所以存在g n 的子群m ，使得 g n = ( h n ) ( m n ) 且( 日) n ( m n ) ( h n ) v = h g n 所以h 在 g 中c 一可补 ( 3 ) 如果日在g 中是c 一可补的，那么存在g 的子群k ，使得g = 日k ， 1 3 o d 子群等对有限群结构的影响第三章极小子群的c - 可补性对有限群结构的影响 日nk h g 由于l g l 丌，= l k i 霄，= i k n 霄，我们有j kn i 霄，= l n i 霄，= i n i ，n k ， 显然有g i n = ( h n ) ( k n ) 且( 日n ) n ( k n ) = ( hnk ) n n ( 日n ) g t ，所以日在g i n 中是c 一可补的 反之，我们假设日在g i n 中c 一可补的且正规化日，令k i n 是 日的c 一可补子群，那么日k = h k = g 且( 日n k ) n ( h n ) g i n = 上，由假设正规化日且为7 r 子群，日为7 r 一子群，所以日= n h 则l = h 1 n 且h 1 h 且h 1 h ，h 1 璺g ，现在我们便有日nk h 1 h g ，所 以日在g 中是c 一可补的 ( 4 ) 因为l 在g 中c 一可补，所以存在g 的子群k ，使得g = l k ，且lnk l g ， 由于l 是圣( 日) 的子群，所以h = hng = l ( hnk ) = hnk ，因此l = lnk l g ，所以l = l g ，即l 里g 下证三是圣( g ) 的子群( 反证法) ：假设l 西( g ) ，则必存在g 的一个极大子 群m ，使得g = 三m ，现在h = hng = l ( hng ) = l ( hnm ) = hnm m ，因 此，g = l m h m = m 2 ，则e x pp = p ，而若p = 2 ，则e x pp 4 引理3 2 5 ( 1 8 】，i t 5 引理) ：设p 是群g 阶的素因子，如果g 的每个p 阶元均包 含于g 的中心z ( g ) 内，且当p = 2 时，g 的阶为4 的元素也都包含于z ( g ) 中， 则g 是p 一幂零的 下面是群论中一个最著名的可解性判定定理： 引理3 2 6 ( 1 3 】，f e i t - t h o m p s o n 引理) ：奇阶群必可解 引理3 2 7 ( 1 5 】，引理1 3 ) ：设p 是群g 阶的最小素因子，p 是g 的s y l o wp 一 子群，如果png 的每一极小子群在g 中c 一可补，且当p = 2 时或者尸n 的每一4 阶循环子群在g 中c - - 可补或者p 与四元数群无关，则g 是p 一幂零的， 这里g 是g 的幂零剩余 证明：假设引理不真，选取g 为极小阶反例，则g 不是p 一幂零的注意到它的 所有s y l o wp 一子群在g 中共轭，且由引理3 2 3 知本引理的假设条件是子群闭的， 所以g 是内p 一幂零的由i t 6 的结果( 文献【2 2 】定理1 0 3 3 ) g 一定是内幂零群，在 1 4 c g 子群等对有限群结构的影响第三章极小子群的g 可补性对有限群结构的影响 由引理3 2 4 知l g l = p a q 6 ，p q 均为素数，p 是g 的正规子群，g 的s y l o w 口一 子群q 循环，进一步，p = g = g w ，且当p 为奇素数时，p 的幂指数等于p ，当 p = 2 时， e x pp 4 设a 是p 的任一极小子群，则由引理的假设，存在g 的子群k ，使得g = a k ， 且ank a c 如果a 在g 不正规，则k 是g 的一个指数为p 的极大子群因 为p 是群g 阶的最小素因子，故有k 是g 的正规子群，从而k 的s y l o w 口一子群在 g 中正规，这就导出g 的幂零性，得出矛盾因此尸的每一极小子群一定在g 中正 规，从而p 的每一极小子群一定在g 的中心如果p 是奇素数，则由引理3 2 5i t 5 引 理得g 是p 一幂零的，矛盾如果p = 2 且png n 的每一4 阶循环子群在g 中c 一 可补，则断言：p 的每一4 阶循环子群在g 中正规事实上，如果取b = 是p 的 4 阶子群，则由引理的假设，存在g 的子群k ，使得g = b k 且bnk c d 7 e ( b ) 如果i g ：k i = 4 ，则k 是g 的一个指数为2 的子群，从而k 在g 中正规，这样可以得到g 是幂零的，矛盾如果i g ：k l = 2 ，则k 本身是g 的一 个指数为2 的正规子群，同样可得矛盾所以b 一定在g 中正规如果b 尸， 则因为g 是内幂零群， 且尸的幂指数最大为4 ，则有p c g ( q ) ，从而g = p q ， 矛盾如果b = p ，则g 显然是p 一幂零的，矛盾如果p = 2 且p 与四元数 群无关，那么应用文献【1 0 定理2 8 ，有q 1 ( p ) p n g n n z ( g ) = 1 ，矛盾证毕 1 5 c g 子群等对有限群结构的影响第三章极小子群的g 可补性对有限群结构的影响 3 3主要结果 在本节中，我们将要研究一些极小子群的c 一可补性对有限群的少幂零性和可解 性的影响 定理3 3 1 ：设p 是群g 阶的最小素因子，p 是g 的s y l o wp 一子群，如果pn 的每极小子群在g 中c 一可补，且当p = 2 时或者尸ng x 的每一4 阶循环子群在 g 7 中c 一可补或者p 与四元数群无关，则g 是可解的，这里g x 是g 的幂零剩余 证明：若p 为奇素数则l g i 为奇数，由f e i t 和t h o m p s o n 的奇阶定理知g 是可 解的 下证当p = 2 时， g 可解 假设定理不真，选取g 为极小阶反例， ( i ) 若g g ，由引理3 2 5 知g 7 是2 幂零的，所以g 有正规2 一补记为t 且g 7 = p 1 t ，pnt = 1 ，p 1 s y l 2 ( g ，) ，则g t 型p ，p s y l 2 ( g ) ，p 可解所以 g t 可解 又因为i t i = l g l l 只i _ 1 为奇数，故t 可解， 从而g 可解，而g g 为交换群必可解，故g 可解矛盾 ( i i ) 若g = g ，由引理3 2 7 则g 是2 一幂零的，从而g 可解，矛盾 综上可知g 可解 证毕 满足上述定理条件的g 不是p 一幂零的，如：g = a 4 ，最小素因子为2 ，p = 甄 为g 的s y l o w 2 子群，且( a 4 ) 7 = k 4 ，显然尸ng x 的每一极小子群在g 中c 一可 补，且当p = 2 时，p 与四元数群无关，但a 4 无正规2 一补，所以g 不是2 一幂零的 定理3 3 2 ：设p 是群g 阶的最小素因子，p 是g 的s y l o wp 一子群， p n g 的每一极小子群在o p ( g ) 中c 一可补，且当p = 2 时或者尸ng x 的每一4 阶循环 子群在0 p ( g ) 中c 一可补或者p 与四元数群无关， 则g 是p 一幂零的 证明：假设定理不真，选取g 为极小阶反例，则g 不是p 一幂零的 注意 到它的所有s y l o wp 一子群在g 中共轭且由引理3 2 1 知g 是p 一幂零的( 即它的 每一子群都是p 一幂零的但其本身非p 一幂零) 由i t 6 的结果知g 是内幂零群，由引 理3 2 2 知i g i = p a q b ，p 口均为素数，p 是g 的正规子群，g 的s y l o w 口一子群 q 循环，进一步，因为g p 交换所以g 7 p ，又p 是群g 阶的最小素因子，所以 g = p ，而八p 幂零，可得p = g ，进而p = g g w ，当p 为奇素数时，e x p 尸= p ， 当p = 2 时，e x pp 4 由引理3 2 5 知0 p ( g ) 是p 一幂零的，且q 0 p ( g ) ，所 1 6 c g 子群等对有限群结构的影响 第三章极小子群的c - 可补性对有限群结构的影响 以q 璺0 p ( g ) 且q 就是d p ( g ) 的正规p 一补，又q 是g 的s y l o w q - 子群， 故 有qc h a r0 p ( g ) ，而o p ( g ) 是g 的特征子群，由 9 】知q 璺g ，这就导出g 的幂 零性矛盾，从而得出g 是p 一幂零的证毕。 关于可解群的t h o m p s o n 结果的一个断言：如果g 有一个奇阶幂零极大子群， 则g 是可解群( 参见文献【2 2 ) 后来d e s k i n s 和j a n k o 证明了：如果幂零极大子群的 s y l o w2 - 子群的类最多为2 ，则t h o m p s o n 的结果仍然成立( 参见文献 1 8 】) ，郭秀云和 岑嘉评( 参见文献【1 5 】定理3 1 ) 给出了t h o m p s o n 结果的另一个推广，应用f e i t 和 t h o m p s o n 的奇阶定理， 可以给出t h o m p s o n 结果的另一个推广； 定理3 3 3 ：设g 是一有限群，m 是g 的幂零极大子群，且p 是m 的 s y l o w 2 子群，尸ng 的每一极小子群在g 中c 一可补， 且p 与四元数群无关， 则g 是可解的 证明：假设定理不真，选取g 为极小阶反例 令a 龟，是m 的h a l l 一2 子群，由文献 2 3 】定理3 1 ， 如，在g 中是正规的，如果 m 2 ，1 ，令是g 的极小正规子群且n m j ，则m n 是g 的幂零极大子 群，且由引理3 2 5 可知尸和g 满足定理的假设 现在由g 的极小性， 可知g 是可解的，又由是幂零的，从而g 是可解的，矛盾所以坞，= 1 且p 是g 的极大子群，故尸是g 的s y l o w2 一子群，由定理3 3 1 知g 是可解的证毕 1 7 参考文献 1 】z a r a d ，d a v i dc h i u a g ，o nap r o p e r t yl i k es y l o w so fs o m ef i n i t eg r o u p s ，a r c h m a t h ， 1 9 8 0 ，v 0 1 3 5 ：4 0 1 4 0 5 【2 】z a r a d ，m b w 打d ，n e wc r i t e r i af o rt h es o l v a b i l i t y o ff i n i t e g r o u p s ，j a l g e b r a ， 7 7 ( 1 9 8 2 ) ：2 3 4 - 2 4 6 3 】a s a a d m ，a b a l l e s t e r b o h n c h e s ，p e d r s z a - a g u i l e r am c ，an o t eo nm i n i m a ls u b - g r o u p so ff i n i t eg r o u p s ，c o m mi na l g e b r a ，1 9 9 6 ，2 4 ( 8 ) ：2 7 7 1 2 7 7 6 【4 】a b a l l e s t e r - b o h n c h e s ，g u ox i u y u n ，s o m er e s u l t so np - n i l p o t e n c ea n ds o l u b i l i t yo f f i n i t eg r o u p s ，j a l g e b r a ，2 0 0 0 ，2 2 8 ：4 9 1 - 4 9 6 5 】a b a u e s t e r - b o l i n c h e s ，w a n gy a n m i n ga n dg u ox i u y u n ，c - s u p p l e m e n t e ds u b g r o u p s o ff i n i t eg r o u p s ，g l a s g o wm a t h j ，v 0 1 4 2 ( 2 0 0 0 ) ：3 8 3 - 3 8 9 6 】a b a l l e s t e r - b o l i n c h e s ，x y g u o ，o nc o m p l e m e n t e ds u b g r o u p s o ff i n i t eg r o u p s ，a r c h m a t h ，7 2 ( 1 9 9 9 ) ：1 6 1 1 6 6 【7 】7b u c k l e yj ，f i n i t eg r o u p sw h o s em i n i m a ls u b g r o u p sa x en o r m a l m a t h z ，1 9 7 0 ，1 6 ： 1 5 1 7 【8 】曹慧，曹洪平，有关c c - 子群的一些性质，西南师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 8 ， 3 3 ( 5 ) ：4 - 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5 0 1 8 】h u p p e r tb ，e n d l i c h eg r u p p e ni ，n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 6 7 1 9 】p h a l l ，ac h a r a c t e r i s t r i cp r o p e r t yo fs o l u b l eg r o u p s ，j l o n d o n m a t hs o c ，v 0 1 1 2 ( 1 9 3 7 ) ：1 9 8 - 2 0 0 1 8 c g 子群等对有限群结构的影响参考文献 【2 0 】p h a l l ，c o m p l e m e n t e dg r o u p s ，j l o n d o nm a t hs o c ，v 0 1 1 2 ( 1 9 3 7 ) ：2 0 1 2 0 4 2 1 】h a n sk u r z w e i l ，b e r n ds t e u m a c h e r ，t h et h e o r yo ff i n i t eg r o u p s m ，n e wy o r ks p i n g e r - v e r l a g ，2 0 0 4 【2 2 】d j s r o b i n s o n ，ac o u r s ei nt h et h e o r yo fg r o u p s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o y k - b e r l i n ，1 9 9 3 2 3 】r o s ej s ，o nf i n i t ei n s o l u b l eg r o u p sw i t hn i l p o t e n tm a x i m a ls u b g r o u p s ，j a l g e - b r a ，1 9 9 7 ，4 8 ：1 8 2 1 9 6 2 4 】施武杰，杨文泽，a 5 一个新刻画与有限质元群 j 】 西南师范大学学报( 自然科学 版) ，1 9 8 4 年1 期：3 9 - 4 0 2 5 】m s u z u k i ，t w oc h a r a c t e r i s t i cp r o p e r t yo f ( z t ) 一g r o u