（基础数学专业论文）由强lp估计化约的限制型估计的重线性插值定理.pdf

由强汐估计化约的限制型估计的重线性插值定理 摘要 本文首先讨论了酞”中鼍换凸体的相关结构特征，n n ，n 之3 ，然后给出了一组由强胪估 计化约的限制型估计的一般重线性插值定理另外，指出了参考文献【1 9 l 中的一些错误和不妥 之处，并且举了个有关3 一线性的具体例子 关键词：置换凸体，强驴估计，限制型估讹重线性插值，奇异积分算子 m u l t i l i n e a ri n t e r p o l a t i o no f r e s t r i c t e dt y p ee s t i m a t e sr e d u c e db y s t r o n g 汐e s t i m a t e s a b s t r a c t i nt t i i sp a p 郎，t h er e l e 啪tp 室o p e r t i 签o ft h es t r u c t u r e so nc o n v e xp o l y h e d r o 璐a s s o c i a ，t e d t op e r l u 乞a t i o n si n p ，n n ，n 之3 缸ee 印l a i n e d ，a n das e r i 圈o fg e n e r a jm u l t i - l i n i e a ri n t e r p 伊 l a t i o nt h e o r e m sw h i c ha l l o w0 n et oo b t a j i lr e s t r i c t e dt y p ee s t i i i l a t e sf o ral 缸g es e to fe x p o n e n t s a r eg i v e n m o r e o v 毂，s o m ee r r o r si i lr 越f 1 9 】a f ep o 毗e do u t 锄da n 印p l i c a t i o nf o r3 一l i i l e a r f o r mi sa l s op r e s e n t e d k e yw o r d s ：c o n v 既p o l y h e d r o na s s o c i a t e dt op 鲫姒呶址i o 璐，s t r o n g 驴e s t 鼬，r e s t r i c t e d 帅e 箦t i i 】1 a 乞e ，如【u l t i 1 i i l e 盯i n l ：e r p o l a 屯i o n ，s i i l g u l 8 ri 1 1 t e g r a lo p e r a 土0 r 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得鑫盗逝芷盘堂或其它教育机构的学位或证j f 5 而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：叠i 盔! 虱日期： 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范人学有关保留、使埘学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：叠j 鲴导师签名：奎里垒日期： 第一章引言 傅立叶分析中的奇异积分算子理论是当今个非常活跃的领域，与偏微分方程和多复变等 现代数学领域有着密切的联系有关奇异积分算子驴有界性的研究是其中一个基本问题对 一个重线性算子t ( ，厶一1 ) ，人们通常利用其对偶形式 ， a ( ，厶) ：= t ( ，厶一1 ) ( z ) 厶( z ) 出， ， 来考察t 的l p 有界性m u s c a r l uc ，t a ot 和t h i e kc 改进了【8 】中的一些重线性插值理论， 利用改进后的方法，人们可以把希望得到的强型估计最终化约为某些限制型估计来处理这种 方法在处理某些具体奇异积分算子，如：双兽算子强e 酊【1 5 】，1 1 6 】 死妇础( ，厶，厶) o ) ：= 五传。) 五( ) 五( ) e 2 * 缸( c 1 + + 纠诞。磷j a 翰， ，f 1 巳 白 双c a r l e s o n 算子昆一e n ，f 。枷 1 q i 2 k c h ，k 一( ，2 ) ( z ) ：= s u pl 五( 1 ) 五( 已) e 2 霄缸( e - + 纠诞l 武j1 i ，f l 巳 l 等的p 有界性问题时是十分有效的 在这些方法中，重线性插值的结果与相关的置换凸体有着密切的联系因此，本文首先对 p 中置换凸体的结构进行了深入的讨论 定义2 1 1 ：设鼠为3 次置换群，对于一o o 0 1 a 2 c 1 3 且a b ，如果a 和b 的第i 个坐标分量都是吩，那么线段a b 是一个( 三) 型边 当n = 3 时，通过极值分析，我们给出g 。阮是一个由六条( 乏) 型边组成的六边形 定理2 1 1 ：设1 i 3 ，歹= 1 ，3 ，如果一o o 0 1 眈 0 3 + ，则g 。1 恕。3 是个六 边形，其边界恰好正是由全部仨) 型边组成的集合( 如图2 1 1 ) ( 口2 。m 图2 1 1 六边形a 1 a 2 如a a 凡 定义2 2 1 ：设& 为4 次置换群，对于一o o n 1 观 他 纵 + o o ，4 维置换凸体定 义为， g 口l 毗 口：= c o ( n 霄( 1 ) ，d ，r ( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ) ：霄& ) 此处，c o 为的凸包 定义2 2 2 ：对于1 i 4 ，歹= l ，4 ，设 a ，口，c ，d ，e ，f ( n 霄( 1 ) ，n 丌( 2 ) ，口丌( 3 ) ，( 4 ) ) ：7 r & ) 为两两不同的点如果这些点的第i 个坐标分量都是吩，那么六边形a b c d e f 是个( 三) 塑 六边形 定义2 2 3 ：对于1 矗 z 4 ，设 日，j ，zk ( ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，n 丌( 4 ) ) ：7 r & ) 为两两不同的点如果它的每一个顶点的第七个和第f 个坐标分量之和是口1 + 啦，那么四边形 h ，j k 是一个( 。：。) 型四边形 定义2 2 4 ：设一o o n 1 n 2 口3 n 4 + o o ， 玩：= b 6 ：= g 二) 型四撕1 s4 ) ， g ) 型六龇1 娜4 拈) 定理2 2 1 ：设一o 。 n 1 口2 d n q 4 + o o ，则g 。l 恕0 3 。是个十四面体( 如图 2 2 1 ) ，且 粥4 = 段u 风 d 1 ：( 口3 ，口t ，n 2 ，口1 ) ，玩： 眈：( a 3 ，c 1 4 ，n 1 ，0 2 ) ，风： d 9 ：( 0 4 ，口3 ，口1 ，0 2 ) ，d 1 0 ： d 1 3 ：( 口4 ，口l ，a 3 ，c 1 2 ) ，d 1 4 ： 图2 2 1 十四面体d l d 2 4 ( 口2 ，啦，口3 ，口1 ) ，现：( 啾，0 3 ，c 1 2 ，n 1 ) ，d 4 ： ( 口l ，n 4 ，口3 ，口2 ) ，d 7 ：( 啦，口2 ，口3 ，n 1 ) ，仇： ( 口l 口3 ，嗽，口2 ) ，d 1 1 ：( 口2 ，c 1 4 ，口l ，嘶) ，d 1 2 ： ( a 3 ，口1 口4 ，n 2 ) ，d 1 5 ：( 口4 ，眈，口l ，n 3 ) ，d 1 6 ： 2 ( n 2 ，口3 ，c 1 4 ，0 1 ) ， ( 如，也，q 4 ，a 1 ) ， ( 口l ，口4 ，口2 ，a 3 ) ， ( 口l ，口2 ，口4 ，口3 ) ， d 1 7 ：( a 2 ，口3 ，a l ，n 4 ) ，d 1 8 ：( 啦，a 3 ，n 2 ，a 4 ) ，d 1 9 ：( 口4 ，口1 ，0 2 ，嬲) ，：( 口2 ，口l ，c 1 4 ，n 3 ) ， 侥l ：( 啦，a 2 ，n l ，a 4 ) ，d 2 2 ：( 口l ，口2 ，8 3 ，n 4 ) ，d 船：( 铂，口1 ，0 2 ，d 4 ) ，现4 ：( 0 2 ，n 1 a 3 ，n 4 ) 运用相似但更为复杂的分析方法，我们可以获得当n n n 3 时的般结果 定理2 3 1 ：n 3 ，l i l 缸n ，口l n r i ，则 ： d i i n g n l 。，。= n 一1 ； 当n 3 且n 为奇数时g 。”阳有且仅有2 曼畿个佗一2 维边界面，其中( 蛊：，乏) 型的 边界面慨有磷个，( 。羔：0 ，) 型的边界面必有磷个，其中1 七吲； 当n2 4 且n 为偶数时，g n ”一，“有且仅有2 警1c 妻+ 荫个n 一2 维边界面，其中( ：# = ：袭) 型的边界面悠有磷个，( a 。羔二盘舢) 型的边界面嘭有磷个；其中1 后号一l ，( 未：连 型的边界面c 霄个 我们接着重点给出了一组有关限制弱型估计的重线性插值定理，并且指出了参考文献【1 9 1 中引理3 8 和引理3 1 0 及其证明中的一些错误和不妥之处 定义3 1 1 1 1 9 l ：n n ，n 2 ，如果q ：= ( q l ，) 舯满足以下条件： ( i )v 1 j 1 ； 0 i )i 1 歹n ：q i o ) i 1 ； ( i 衍) = l ； j = 1 贝| j 称q 为一个容许组1 定义3 1 2 【1 9 l ：口为个容许组如果o ，则称歹为q 的个好指标；如果哟 0 ，则 称歹为q 的个坏指标称q 为一个好组，如果q 没有坏指标；称q 为个坏组，如果a 有坏 指标 定义3 1 3 f 1 9 l ：ec 舯可测，且| e l ，ce 如果i l i e i ：则称为e 的个 优子集 定义3 1 4 【1 9 】：ecr ”，且i e i o o ， x ( e ) ：= ，：e _ c 可测，吼l p p ，ce ，jj ，j i 。1 ) ， l 芦：= ，l 。：i s l l p p ，l o ，s t 峙暖cr ，j e o o ，v x ( 晟) ，l i 啊均有 l a ( ，厶) lsm i e r ， 此处， i e i 。：= i e l p l 磊p ； q 一限制常数 c ：= i i l “m ：呱c 酞，l 最l o ，s t v 易cr ，i 最i ：乃q _ i - 一- - 如果v 1 j m ，a 均为限制q u ) 一型的，则a 为限制q 一型的；此外，乜一限制常数 c m a xg 一1 1 0 m 。 定理3 1 2 ：设珏，m n ，a ：( p c 一个纷一线性形式，a ( 1 1 ，a ( 仇) 为坏组，且它 们有公共的坏指标如与相同的优子集取法， ， o 秒t ，如= l ，q = 如q 如果v 1 j m ，a 为限制n u ) 一型的，则a 为限制a 一型的；此外，q 一限制常数 c 燃吗， 一l o ，s t v 日cr ，v ，i x ( e ) ，1 i n ，当i 毋l ，l 晶l 七时，都有 a ( ，l ，厶) i q i e l 口； ( i i i ) 记、 y ：= l z 竹：j 1 j m 一1 ，s t q y q f ； ( i v ) 另夕卜，当q ( m ) 为坏组时记其坏指标为f 0 ，还要求口f 0 0 ； 则a 为限制q 一型的 注记3 2 1 ：在参考文献( 1 9 】中给出的a ( 入) 的定义是错误的，它不仅与入有关，而且与 七有关，正如本文中所定义的a ( 入) 此外，文献 1 9 】中对引理3 8 和引理3 1 0 的证明显得有 些混乱，一些必要的情况分析和限制条件并没有体现出来，如类似像当耐叫 o ，j 瓯 o ，s t 呱cr ，x ( 最) ，1si 鸭当j 局| ，l b i j 时，都有 1 人( ，1 ，厶) ls 瓯l e i a ； ( i i i ) 记 y ：= 1 z 仡：j l j m 一1 ，s t q p 铆； ( i v ) 当z 0 y 时， 1 冬m 一1 ：a 掌 o ) ，q u ) 的优子集取法与q ( ”) 相同； ( v ) v f y 一 2 0 ，取蜀c 局，s t i 蜀l = i 岛l ，由e l ，局，晶可确定出玩的一个 优子集岛：，对局，局，鼠用与日：同样的取法可得瓯，且瓦c 磁； 则a 为限制口一型的，且q 的优子集取法与q ( ”) 相同 注记3 2 2z 优子集取法的一致性是讨论坏组时不可忽略的限制条件，然而文献( 1 9 】中引 理3 1 0 及其证明却没有进行有关优子集取法一致性的具体讨论 5 王 o王 i l 如 m 汹 如晚 一 0 中其 u q 如 。姐 = q l m p o1 = 如 。崩 如吼 0 ，a s b ( a ，6 ) ：= q sio i 口一a i 6 ) 定义3 3 3 设j 西为s 上的一条线段，记j i 百所在直线为f ，点d s z 对于任意 o 6 警，o 伊 詈，由线段丽所确定的长为6 的d 侧秒域( 如图3 3 1 阴影部分) 定义 为， d ( _ 晤；j ，口；o ) ：= a b ( a ，6 ) i 五万nz = d ，o 么a a b 护 u o b ( b ，j ) i 夏万nz = d ，o o ，s t 把1 易，历c 醍v ，i x ( 层) ，l i 3 ，当l 目l ，l 岛l ，i 岛i5 七时，都有 l a ( ，如， ) i g ，。i e i n ； ( i i ) 对于任意小的领域d ( 瓦石i ；五口，d ) ，地d ( 瓦石石；正p ，o ) ，a 是限制q 一型的，且诸 a 的优子集的取法相同，i 1 ，3 ，5 ) ； 则妇d ，a 是限制q 一型的 定义3 3 4 【1 5 】：如果p 是个有限4 一瓦片集，则双线性h 以6 e n 变换的w 口z s 模型被 定义为， 郴石) = 赤饥力p 1 ) ( ，2 _ 枷即 尸pl p i z 取定一个4 一瓦片集p ，设a 为一个3 - 线性形式， a ( ，2 ， ) ：=b 。以砒p ( ，2 ) ( z ) 0 ) 幽： 2 乏赤( ，l 渤i ) 仍如) ( 氏， 易知a 满足推论3 3 1 的条件 7 第二章置换凸体的结构 2 1 孵中置换凸体的结构 定义2 1 1 ：设岛为3 次置换群，对于一 口1 0 2 口3 + ，3 维置换凸体定义为， g 。1 ，口2 ，嘲：= c o ( ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ) ：丌岛) 此处，c o 为的凸包 定义2 1 2 ：设1 i 3 ，歹= 1 ，3 ，对于 a ，b ( ( 1 ) ，( 2 ) ，口7 r ( 3 ) ) ：7 r 岛 且a b ，如果a 和b 的第i 个坐标分量都是，那么线段a b 是个( 二) 型边 注记2 1 1 ：设 a ，b ( n ，( 1 ) ，( 2 ) ，口。( 3 ) ) ：7 r 岛) 且a b 对于1 i 3 ，歹= 1 ，3 ，线段船是( ：) 型的，当且仅当a 和b 的第i 个坐标分 量同时达到到最小值( n t ) 或最大值) 定理2 1 1 ：设1 i 3 ，歹= 1 ，3 ，如果一 a 1 眈 c 1 3 + o o ，则g 虬。2 口3 是个六 边形，其边界恰好正是由全部( 主) 型边组成的集合( 如图2 1 1 ) 证明：因为 c 啦n 1 ：唧 图2 1 1 六边形a l a 2 也a a a 所以六边形的六个顶点在同一平面 由对称性只需证明任一条( 主) 型线段a b 都是瓯。恕。的一条边；取a b 所在直线z ，此 时只需证明g 。，眈尚在直线2 的同侧即可假设存在两顶点，l ，t ，位于直线f 的异侧，设u 为直 线z 和线段z 面的交点，贝! l | o p l ，s t u = p p + ( 1 一p ) 弘 因为口l a 2 c 1 3 ，所以u 的第i 个坐标分量大于0 1 ；而直线z 上点的第i 个坐标分量应该等于 常数口l ，矛盾 口 8 吼 。试 i | 吼 3 斟 注记2 1 2 ：如果n 1 = n 2 = 0 3 ，那么 瓯，恕。= ( n 1 ，口2 ，) 通过类似分析亦可得瓯，恕哪的结构： 如果口l = 眈 口3 ，则g 。脚n l 为b 1 8 2 8 3 ( 如图2 1 2 ) ； 图2 1 2 b l 岛岛 如果a l a 2 = 口3 ，则g 。，口2 n 3 为q q g ( 如图2 1 3 ) 图2 1 3 研q q 9 2 2r 4 中置换凸体的结构 定义2 2 1 ：设& 为4 次置换群，对于一 口1 0 2 口3 嘞 + 。o ，4 维置换凸体定 义为， g 。1 t n 2 口3 ，4 ：= c o ( 霄( 1 ) ，( 2 ) ，口，r ( 3 ) ，n 霄( 4 ) ) ：7 r 瓯) 此处，c o 为的凸包 定义2 2 2 ：对于1si 4 ，j = 1 ，4 ，设 a ，b ，c ，d ，e ，f ( ( 1 ) ，( 2 ) ，n 霄( 3 ) ，口丌( 4 ) ) ：7 r & 为两两不同的点如果这些点的第i 个坐标分量都是吩，那么六边形a b c d e j f l 是个( 乏) 型 六边形 定义2 2 3 ：对于l 忌 z 冬4 ，设 日，z k ( n 霄( 1 ) ，( 2 ) ，n 丌( 3 ) ，口霄( 4 ) ) ：7 r & ) 为两两不同的点如果它的每一个顶点的第七个和第z 个坐标分量之和是口l + 口2 ，那么四边形 日j ，k 是一个( 口：三2 ) 型四边形 注记2 2 1 ：对于l i 4 ，j = l ，4 ，设 a ，b ，c ，d ，e ，f ( ( 1 ) ，( 2 ) ，口。( 3 ) ，0 丌( 4 ) ) ：7 r & ) 风：= g 二) 型四龇1 纵吲) 风：= g ) 型六边形：1 i 4 ，歹= l ，4 ) = 卜列融 f 蓦耋矛叫 1 0 图2 2 1 十四面体d l d 2 4 d 1 ：( 口：，a 4 ，眈，n 1 ) ，d 2 ：( 口2 ，口4 ，口3 ，d 1 ) ，玩：( 口4 ，铂，观，口1 ) ，风：( n 2 ，c 1 3 ，a 4 ，口1 ) ， d 5 ：( n ：i ，口4 ，口1 ，眈) ，d 6 ：( a l c 1 4 ，a 3 ，n 2 ) ，d 7 ：( 0 4 ，a 2 ，c 1 3 ，口1 ) ，风：( 铂，a 2 ，啦，0 1 ) ， 岛：( 口4 ，口3 ，口l ，口2 ) ，d 1 0 ：( 口1 ，n 3 ，啦，a 2 ) ，d l l ：( 啦，口4 ，口1 ，口3 ) ，d 1 2 ：( o i ，n 4 ，口2 ，锄) ， d 1 3 ：( n 4 ，口l ，口3 ，n 2 ) ，d 1 4 ：( 哟，口l ，啦，n 2 ) ，d 1 5 ：( 毗，锄，口l ，嘞) ，d 1 6 ：( n l ，a 2 ，n 4 ，铂) ， d 1 7 ：( a 2 ，0 3 ，o l ，n 4 ) ，d 1 8 ：( 口1 ，锄，口2 ，n 4 ) ，d 1 9 ：( 口4 ，口1 ，0 2 ，n 3 ) ，锄：( 眈，n l ，口4 ，铴) ， d 2 1 ：( 口3 ，口2 ，口1 ，n 4 ) ，d 2 2 ：( n l ，眈，a 3 ，n 4 ) ，d 2 3 ：( 啦，0 1 ，口2 ，嘲) ，d 2 4 ：( 口2 ，口1 ，如，口4 ) 证明：因为 44 q = 啦， i = 1 = l 所以十四面体的2 4 个顶点是位于同一个三维仿射空间中同理，上述讨论的六边形或四边形分 别位于相同的二维仿射平面上 由引理2 2 1 我们首先处理四边形的情况：由对称性只需证明每个( 。：三2 ) 型四边形 是g 叼尚 口。的一个面；取四边形日，t ，k 所在的平面q ，此时只需证明g 。，隔。，蛳在平面q 的同侧即可假设存在两顶点，l ，秒位于平面q 的异侧，设“，为平面q 和线段面河的交点，则 三i o p l 。s t u = 口，正+ ( 1 一口) 王， 因为口l 0 2 n 3 口4 ，所以u 的第七个和第z 个坐标分量之和大于口1 + 嘞；而平面q 上点 的第后个和第z 个坐标分量之和应该等于常数口1 + 啦，矛盾 接着，我们再处理六边形的情况：由对称性只需证明每一个( 三) 型六边形是g 。m 哪m 的 一个面事实上，利用类似定理2 1 1 的证明方法即可得证 口 注记2 2 2 ：如果口1 = 眈= 口3 = 姒，那么 g n l 口2 ，d 3 口4 = ( n 1 ，0 2 ，啦) ) 通过类似分析亦可得g 。恕。的结构，如果下列情况： ( i ) 当口1 = 口2 = 口3 n 4 时，g n 。眈，船，口4 为四面体e 1 局b 蜀( 如图2 2 2 ) ； p l ! 图2 2 2 四面体毋局易置 ，f l l l ( i i ) 当a 1 勉= 口3 = n 4 时，g a 。恕n 3 。为四面体乃恳r 只( 如图2 2 3 ) ； d t ， ( 锄，锄，毗，啦) 圉2 2 3 四面体乃f 2 b 局 ，口1 ) ( i i i ) 当口l = a 2 铂 a 4 时，g 。l ，铆期，a 为八面体g 1 g 1 2 ( 如图2 2 4 ) ， 圈2 2 4 八面体g l g 1 2 1 2 和 g l ：( 啦，c 1 4 ，口2 ，口1 ) ，g 2 ：( 日2 ，纵，n 4 ，口1 ) ，g 3 ：( 啦，铂，口l ，眈) ，g 4 ：( 口l ，口4 ，口4 ，0 2 ) ， g 5 ：( 0 4 ，眈，口4 ，口1 ) ，g 6 ：( 口4 ，n l ，n 4 ，n 2 ) ，g 7 ：( 砚，锄，口l 铂) ，g 8 ： 1 ，a 4 ，眈，n 4 ) ， g 9 ：( 毗，口2 ，口l ，n 4 ) ，g l o ：( 口l ，d 2 ，0 4 ，n 4 ) ，g l l ：( a 4 ，q 1 ，n 2 ，啦) ，g 1 2 ：( 口2 ，a 1 ，a 4 ，n 4 ) ； ( i v ) 当a 1 0 2 铂= b 4 时，g 0 2 n 3 口t 为八面体玩日1 2 ( 如图2 2 5 ) ， 图2 2 5 八面体凰历2 日1 ：( ，口1 ，n 1 ，毗) ，飓：( 口1 ，a 1 ，口4 ) ，风：( n 4 ，口1 口l ，n 3 ) ，凰：( o l ，0 1 ，n 4 ，n 3 ) ， 风：0 l ，钧，n l ，啦) ，风：( n l ，n 4 ，口1 ，n 3 ) ，胁：( n 4 ，口1 ，n 3 ，a 1 ) ，凰：( n 3 ，a l ，n 4 ，口1 ) ， 凰：( n 4 ，奶，口1 ，n 1 ) ，日1 0 ：( l ，口3 ，a 4 ，n 1 ) ，日1 1 ：( 勘，n 4 ，0 1 ，a 1 ) ，日1 2 ：( 口1 ，0 4 ，啦，a 1 ) ； ( v ) 当n 1 = 砚 口3 = 口4 时，g 眈，哪，。为八面体j r l 厶( 如图2 2 6 ) ， j l ：( a 4 ，a l ，口4 ，0 1 ) ，如： 厶：( 啦，口l ，口1 ，口4 ) ，厶： 叉 图2 2 6 八面体 厶 ( v i ) 当口1 o ； 称p ，妒在r ，的异侧，如果 ，( p ) ，( ) o 引理2 3 5 侧：如果r l ，r 2 为两个不平行的超平面且 d i m r l d i m r 2 = n 一1 ， 则 d i l i i r ln ( i i i i l r 2 = 扎一2 定义2 3 9 ：设为礼次最换群，他n ，n 5 ，对于一o 。 n l a ，l + o o ，n 维置 换凸体定义为， 瓯l 加：= c o ( 口7 r ( i ) ，以) ) ：7 r & ) 此处，c o 为的凸包 引理2 3 6 f 1 9 j ：置换凸体瓯”砌是紧的 定义2 3 1 0 ：n23 ，l 后【号】，1 i l i 七n ，口1 n ，l ， 6 ：= 瓴，k ) ， 归 鬻扎， k 扛6 卜暑芍。 1 ( z ，( 1 ，1 ) ) 一叼= o 是n 一2 维超平面，称慨cr 七为个凸子集，称尥为( 未：盘) 型的，如果该凸集是由船中 的点在第i 1 ，i 詹个位置对c 1 1 ，钆进行排列，而其余位置对钆+ l ，0 ，l 进行排列所形 成的七! 一詹) ! 点作为顶点构成的凸集 定义2 3 1 1 ：n 3 ，1 七【量】，1 i l i i 佗，口1 ， 6 ：= ( 6 1 ，k ) ， 1 6 忙 等乱， 耻0 ：f 趣三 是n 一2 维超平面，称噬cr ：为个凸子集，称 为( 。，! ：j 鼻胁) 型的，如果该凸集是由 r ： r 2 掣群：i ；二誊：。 r ： ，z ： 二；竺：口= 。，6 r ，z 珏t 1 7 从而 而 ，( 跏一e 6 ) o ， 勋一面g 口l ，。， 这与g 咐。加在r 的同侧矛盾 定义2 3 1 3 ：如果存在n 一2 维超平面r ，s t g 口h m 在r 的同侧， 且 f = a g 。l 。，。n i ， d i mm = n 一2 则m 为g n 一，的一个n 一2 维边界面 引理2 3 8 ：如果g 眠，在r 的同侧，则d g n l ，胁nr 是凸集 证明： v z ，y a g 口1 ，n r ， ，咖o ，p + 咖= l ， 则 6 嘧+ 咖g 。l ，。n r ， 而 口z + 细譬g 。t 。- d 。， 所以 护z + 细a g 。l ，n r ， 所以 阳。l 。加n r 是凸集 引理2 3 9 【1 9 j ：设一o o d 1 + o o ，则 一卜而弦：苫三三蔓兰；i ；警；) 注记2 3 1 ：不难验证： ，一卜忍嚣攀弼) 定理2 3 1 ：n 3 ，1 i l i 七n ，口1 ，则 d i m g 口1 。加= n l ； 1 8 当礼芝3 且n 为奇数时，g 口。，d ，有且仅有2 曼嚷个n 一2 维边界面，其中( ：奠= ：乏) 型的 边界面胁有磷个，( 。立二0 m ) 型的边界面眨有锘个，其中1 后吲； 当n 4 且n 为偶数时，g 。”。，n 有且仅有j 妻1 畿+ 碟个n 一2 维边界面，其中( ：，乏) 型的边界面坛有磷个( d 1 立：盘加) 型的边界面膨有磷个；其中ls 七詈一1 ，( 象：选) 型的边界面西个 证明：( i ) 往证： 不难验证 所以 所以 取 因为 线性无关，所以 仿射无关又因为 所以 因此 ( i i ) 往证： 同理可得 d i i n g 口”m = n 一1 g n l 。，cr 2 ： nn q = 哟， j = lj = l 龇l 。，o f lcr 2 ， d i m a 瓯”，d i i i l r 2 = n 1 a 1 ：= ( a ，l ，口2 ，口3 ，一l ，n 1 ) ， 眈：= ( 口1 ，啦，一1 ，眈) ， a n 一1 ：= ( 口1 n 2 ，口3 ， q n ：= ( 口1 口2 ，口3 ， ，一1 ) ， ，一1 ，) ， 口1 一a n ，q 2 一a n ，c 一l 一 q l ，0 f 2 ，q n q l ，a 2 ，q n 胡 g a l 。，o t i ， d i m 棚口l ，一。n l ， d i i i l g 口”脚= d i l 棚口1 加= n 一1 d i m 尥= 佗一2 ， d i m 嘭= n 一2 1 9 不难验证 所以 故只需证 即可 取 因为 线性无关，所以 仿射无关，所以 所以 因此 k 0 7 ：箨。， d i i n 坛d i m r 七= n 一2 d i m 慨n 一2 a l ：= ( a k ，勉，0 3 ，鲰一l ，口l ，鲰+ 1 ，纵+ 2 ，吼+ 3 一，n ，l l ，) ， q 2 ：= ( 口l ，口七，n 3 ，口 一1 ，口2 ，嗽+ 1 ，鲰+ 2 ，a 七+ 3 ，一1 ，a n ) ， a 七一1 ：= ( 0 1 ，a 2 ，口3 ，a 七，口七一l ，n 七+ l ，n 七+ 2 ，鲰+ 3 ，n n l ，口n ) ， 凤+ l ：= ( n l ，砚，勘，妣一l ，毗，鲰+ 2 ，a 女+ 3 ，一1 鲰+ 1 ) ， 凤+ 2 ：= ( a l ，n 2 ，锄，n 七一1 ，n 詹，嗽+ l ，七+ 3 ，一1 ，o 七+ 2 ) ， k l ：= ( 口1 ，0 2 ，n 3 ，口七一l ，n 奄，a 耘+ 1 ，a 七+ 2 ，o 七+ 3 ，口馆，口n 一1 ) ， ，y ：= ( 口l ，a 2 ，锄，鲰一1 ，口七，+ l ，a 七+ 2 ，a 七+ 3 ，一l ，) ， 口l 一7 ，q 2 7 ，q 七一l 一，y ，傀+ l 一一y ，厥+ 2 7 ，风一l 一，y q 1 ，q 2 j ，a 七一l ，展+ 1 ，像+ 2 ，风一1 ，y 池( 篆一， d h 坛n 一2 ， d i m 靠= ，l 一2 ( i i i ) 往证：n 3 ，1 i l i 七n ，口l ，任意一个馐：爱) 型的凸集是一个 边界面由引理2 3 9 ，只需证明g 。，h 在c 嚣2 ) 型凸集所处的n 一2 维超平面r 的同侧 即可 1 8 t 因为 用反证法证明假设存在g o 。，a 的两顶点，l ，秒分布在超平面n 的两侧，则3 0 p 扣1 ，t t ，2 ) = ：= 口p + ( 1 一口) z ，丽nr 口l 勺， 与u n 矛盾 。，! 岩：亏2 7 上! 【，? 三冬l - 七? ，l i ， i 詹2 打。+ 1 时( 杀：盘) 型的边界面 坛亨，鐾竺，( 。曼： j 皇胁) 型的边界面嘭有磷个 且易证这些边界面两嵩呆釜蕃，这些蔷曩 n 一2 维边界面由引理易2 3 9 知 g 。，“二f 。- ，z n ，r n ：1 鼍三蓄耋主事：霉弼， 一卜 _ 【鲁1 1 至多有2 + 醅个他一2 维边界面 i = 1 口 注记2 3 2 ：当n 4 且n 为偶数时，g z 葛) 型的边界面与( 口：z 象。) 型的边界面重合 2 l 跫 界a 口抛稽型两 ，两 m 面”界g 边啦必 孙征v | 易且 k 丸疋 曙 游螂 七面2 一界易m 触强 仨型由籍苌渤 当心2刚胁有面 弼心 畅 一壹一吩 一歹n=疋 i 0 ： 工七d 1j ； 啪七旺跏筒 一 町 g 圭旭 第三章限制型估计的重线性插值定理 3 1 同型重线性插值定理 定义3 1 1 【1 9 】：礼n ，n 2 ，如果q ：= ( a ”，口。) 舻满足以下条件： ( i )v 1 歹佗， 1 ； ( 秘)i 1 j n ：q o 引l ； ( 弼) = 1 j = 1 则称a 为一个容许组 定义3 1 2 ( 1 9 】：q 为一个容许组如果0 ，则称歹为口的个好指标；如果 0 ，则 称j 为a 的一个坏指标称q 为个好组，如果q 没有坏指标；称口为个坏组，如果q 有坏 指标 定义3 1 3 1 1 9 】：ec 黔可测，且l e l ，ce 如果l f i ；l e l ，则称为e 的一个 优子集 定义3 1 4 【1 9 】：ecr n ，且l e l o o ， x ( e ) ：= ，：e 一c 可测，s u p p ，ce ，l l 州。1 ) ， l 尹：= ，l ”：l s u p p ，l o ，s t v 蜀cr ，l 晟i ，v 厶x ( 最) ，1 i n ，均有 f a ，厶) l m l e h 此处 i e i 。：= l e - i “i 尾i “； q 一限制常数 c ：= i n f m ：v ecr ，i e 0 ，s t w 强cr ，i 且i o o ，1 i 绍，由 局，风可确定出民的个优子集瓦，记e ：= 最，v 1si 幻佗，( 此即为q 的优子集 取法) s t v 五x ( ) ，1 i n ，均有 a ( ，厶) i m l e l 盘， 2 2 此处， i e i a ：= i e l l “l 既f ； a 一限制常数 g ：= i n f m ：v 晟cr ，i 最l o o ，x ( ) ，lsi n 均有i a ( ，厶) l m l e l a ) 定理3 1 1 ：设n ，m n ，a ：( l 芦) n c 为一个n 一线性形式，口( ，q ( ”为好组， t nf n o 口l 一，如= 1 ，a = 易q j = lj = 1 如果v 1 j i 仃i ，a 均为限制n o ) 一型的，则人为限制a 一型的；此外，q 一限制常数 c 0 ，s t 呱c r ，i e i o o ，x ( 易) ，l isn ，都有 i a ( ，厶) i i a ( ，厶) l 吩 j = l i a ( ，厶) i 因此，a 为限制q 一型的，且q 一限制常数 q 吲。， sf 1 哆蚓姜哆 j = 1 学吲。 j = l 定理3 1 2 ：设n ，m n a ：( l 罗) n c 个n 一线性形式，q ( 1 1 ，q ( ”) 为坏组，且它 们有公共的坏指标f o 与相同的优子集取法， o 9 1 一，岛= l ，q = 蛐 j = 1j = 1 如果v 1 j m ，a 为限制a 一型的，则a 为限制q 一型的；此夕卜，口一限制常数 c l 燃岛，一l j o ，s t v 岛cr ，l 晟i o o ，1 i n ，由历，风可确定出日。的优子集瓦，记 ：= 最，v l i z o n ，8 t v ，i x ( ) ，1 i n ，均有 l a ( ，厶，厶) l c j l e i a 由于诸q u ) 有相同的优子集取法，所以类似命题1 证明可得 口 2 3 口 q 麟 一呼 m 硝 一 c 3 2 混合型重线性插值定理 定理3 2 1 ：设，7 l n ，q ( ，q ( 仇) 为容许组；q 为好组s t m 口= 易q u ) 1 。 j ；l 其中， osp l ，如，岛= l ，o o ，8 乞v 局cr ，v 厶x ( 邑) ，ls i 仡，当l e l l ，l r l 七时，都有 1 a ( ，厶) l 仉l e i 。； ( 神记 。 y ： l z n ：j l j m 一1 ，s t q p 啦； ( i v ) 另外，当n ( m ) 为坏组时，记其坏指标为2 0 ，还要求o 0 ； 则a 为限制q 一型的 证明s 设后n ，入 o ，记 a 知( a ) ：i i l f m o ：v 肠c 皂，l 晟i 后，l i n ，当i e l 口m 入i e r 时， v x ( 晟) ，1 i n ，均有i a ( ，厶) i 肘i e r ) ， a 七( 。o ) ：= s u p