（基础数学专业论文）the+textension+of+lie+superalgebras.pdf

摘要 摘要 在这篇文章中，我们定义了李超代数g 的t 扩张耳g ，展示了该扩张在0 为 超循环时与二次李超代数的等价性，并研究了相关性质。接着我们证明了二次李 超代数( g ，g ) 的q 可分解性与其传统定义可分解性的一致性，任意李超代数的幂零 性质、可解性质在扩张中的有效性以及分解性在平凡扩张的保持。我们得出g 的 两个不同扩张等价的充要条件，同时，我们也用同调的理论研究扩张的等价性。 最后我们得到，特征不为2 的代数闭域上的二次李超代数g 的维数如果是偶数，并 且包含一个迷向理想，那么它与某个李超代数的t + 扩张同构；尤其当此二次李超 代数是幂零时，那么就存在某个幂零李超代数，使得它的t 扩张与之同构，并且 幂零次数约为该二次李超代数幂零次数的一半。 关键词：李超代数，二次李超代数，t + 扩张，幂零李超代数。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed e f i n et h e p e x t e n s i o n 露go f al i es u p e r a l g e b r ag ，a n dp r o v e m a tt h ee x t e n s i o ni sa q u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r ai fa n do n l yi f0i ss u p e r c y c l i c t h e n w ep r o v et h a tt h en o t i o no fq d e c o m p o s i t i o ni sa l m o s t e q u i v a l e n tt ot h em o r eg e n e r a l n o n o no fd e c o m p o s i t i o no fg i n t oad i r e c ts u mo f i n d e c o m p o s a b l ei d e a l sf o raq u a d r a t i c l i es u p e r a l g e b r a w ea l s os h o wt h a tt h et + - e x t e n s i o no f al i es u p e r a l g e b r agw h i c h p r e s e r v e st h ed e c o m p o s i t i o np r o p e r t i e si nt h et r i v i a le x t e n s i o n i sc o m p a t i b l ew i t hn i l p o t e n c y ，s o l v a b i l i t yo fg w ek n o wt h a tt h ek e yc o n d i t i o nf o rc o n s 仃u c t i n gt * - e x t e n s i o n s 1 st t l a tt h e r ee x l s t sa m a x i m a l l yi s o t r o p i ci d e a l f u r t h e r m o r e ，w es h o wt h a ti f ( g ，口) i s aq u a d r a t i cl i e s u p e r a l g e b r ao ff i n i t e d i m e n s i o n a l 几o v e raf i e l dko fc h a r a c t e r i s t i cn o t e q u a it ot w o ，t h e n ( g ，q ) i si s o m e t r i ct oa t + 一e x t e n s i o n ( 露b ，g b ) i fa n do n l yi fni s e v e na n dgc o n t a i n sa ni s o t r o p i ci d e a li m e t r i ct oat + 一e x t e n s i o no fan i l p o t e n t l i e o f g f i n a l l y , w ee x p l o r et h ee q u i v a l e n c e t h e o r y i np a r t i c u l a r , w h e ng i sn i l p o t e n t ，i ti si s o s u p e r a l g e b r ab w i t hr o u g h l yah a l fn i l i n d e x o ft 一e x t e n s i o n sb a s e do nt h ec o h o m o l o g y k e yw o r d s ：l i es u p e r a l g e b r a ，q u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a ，p e x t e n s i o n ，n i l p o t e n t l i es u p e r a l g e b r a 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 王算 i 训8 年岁月乃j 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：上j 4 孕t - 州年多月乃1 日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e ri i n t r o d u c t i o n t h et h e o r yo fl i es u p e r a l g e b r ah a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n sb o t hi nm a t h e m a t i c s a n dp h y s i c s a san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fl i ea l g e b r a s ，l i es u p e r a l g e b r a sh a v eb e - c o m ea ne f f i c i e n tt o o lf o ra n a l y z i n gt h ep r o p e r t i e so fp h y s i c a ls y s t e m s ，s h o r t l ya f t e r t h e yw e r ed e f i n e di na na b s t r a c tw a y l i es u p e r a l g e b r a sa r ea l s oi n t e r e s t i n gf r o ma p u r e l ym a t h e m a t i c a lp o i n to fv i e w a tp r e s e n tt h em o s ti m p o r t a n tr e s u l t si nt h et h e o r y s e e mt ob et h ec l a s s i f i c a t i o nb yv g k a co ff i n i t e d i m e n s i o n a ls i m p l el i es u p e r a l - g e b r a so v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e d s f i cz e r oa n d t h ec l a s s i f i c a t i o nb y v g k a co fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i n e a r l yc o m p a c tl i es u p e r a l g e b r a s i nt h i sp a p e r ，w es t u d yq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a ( g ，g ) t h i sc l a s so fl i es h - p e r a l g e b r aa p p e a r s ，i np a r t i c u l a r , i nt h en o t i o no fl i eb i - s u p e r a l g e b r aa n di np h y s i c s s m o d e l sb a s e do nl i es u p e r a l g e b r a b e s i d e ss e m i - s i m p l el i es u p e r a l g e b r a s ，q u a d r a t i c l i es u p e r a l g e b r a si n c l u d es o m es o l v a b l es u p e r a l g e b r a s t h en o t i o no fd o u b l ee x t e n s i o n o fl i ea l g e b r a sw a sg e n e r a l i z e dt oq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a sa n das u f f i c e n tc o n d i t i o n f o ra q u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r at ob ead o u b l ee x t e n s i o nw a sg i v e nb yb e n a m o r e ta 1 a l s o ，b e n a y a d is t u d i e dt h eq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a sw i t ht h ec o m p l e t e l yr e d u c i b l e a c t i o no fe v e np a r to nt h eo d dp a r t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h e r ei sm u c hw o r ko ns i m p l e l i es u p e r a l g e b r a s b u tt h et h e o r yo fq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a sd o e sn o ts e e mt ob e w e l ld e v e l o p e d t h i sp a p e rc o n s i d e r st * - e x t e n s i o no fl i es u p e r a l g e b r a s t h em e t h o do fd o u b l ee x t e n s i o nh e l p st oc o n s t r u s tf i n i t e d i m e n s i o n a lq u a d r a t i c l i es u p e r a l g e b r a sf r o mq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a so fs m a l l e rd i m e n s i o n i ti sv e r y c o m p l i c a t e d t h e r e f o r e ，w ei n t r o d u c ea n o t h e re x t e n s i o nw h i c hi sc a l l e dt * - e x t e n s i o n o fl i es u p e r a l g e b r a s i ti sao n e s t e pe x t e n s i o n i n19 9 7 ，b o r d e m a n nm i n t r o d u c e dt h e n o t i o no ft * - e x t e n s i o no fl i ea l g e b r a s i nt h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t e d i m e n s i o n a lt w o - s t e pn i l p o t e n tm e t r i s e dl i ea l g e b r a sb ym e d i n aa n dr e v o y , an o n t r i v i a lt + 一e x t e n s i o n o fa na b e l i a nl i ea l g e b r ab ya na l t e r n a t i n gt h r e e - f o r mi sc o n s t r u c t e d f u r t h e r m o r e ， k e i t h sn o t i o no fb i - e x t e n s i o no fl i ea l g e b r a sc o n t a i n st h et * - e x t e n s i o na st h es p e c i a l c a s e ，w h e r eb = b 上，m ：= b b 上= 0 t h i ss h o w st h a tt * - e x t e n s i o ni si m p o r t a n t ， c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n a n dt h i si st h em o t i v a t i o nt oi n v e s t i g a t et h et * - e x t e n s i o no fl i es u p e r a l g e b r a s t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： s e c t i o n2c o n m i n si n f o r m a t i o no nt h el i es u p e r a l g e b r a s i np a r t i c u l a r , w eg i v et h e d e f i n i t i o no fq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a sa n dt h en o t i o no fi s o m o r p h i s mo fq u a d r a t i c l i es u p e r a l g e b r a s t h e nw ep r o v ea ni m p o r t a n tt h e o r e ma s s e r t i n gt h a tt h en o t i o no f q d e c o m p o s i t i o ni sa l m o s te q u i v a l e n tt ot h em o r eg e n e r a ln o t i o no fd e c o m p o s i t i o no f gi n t oad i r e c ts u mo fi n d e c o m p o s a b l ei d e a l s i ns e c t i o n3 ，w ei n t r o d u c et h em e t h o do ft * - e x t e n s i o no fl i es u p e r a l g e b r a s w e s e et h a t 巧gi saq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r ai fa n do n l yi fpi ss u p e r c y c l i c w es h o w t h a tt * - e x t e n s i o ni sc o m p a t i b l ew i t hn i l p o t e n c y , s o l v a b i l i t y , a n di tp r e s e r v e si ns o m e s e n s et h ed e c o m p o s i t i o np r o p e r t i e s t h ek e yc o n d i t i o nt oc o n s t r u c tt * - e x t e n s i o n si s t h ee x i s t e n c eo fam a x i m a l l yi s o t r o p i ci d e a l w ea l s oi n v e s t i g a t et h ee q u i v a l e n c eo f t * - e x t e n s i o n su s i n gc o h o m o l o g y i ns e c t i o n4 ，w ep r o v et h a te v e r yf i n i t e - d i m e n s i o n a ln i l p o t e n tq u a d r a t i cl i es u - p e r a l g e b r ag o v e ra l la l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cn o te q u a lt ot w oi s i s o m e t r i ct oat * - e x t e n s i o no fan i l p o t e n tl i es u p e r a l g e b r ao fn i l i n d e xr o u g h l yo n eh a l f o ft h en i l i n d e xo fg i ns e c t i o n5 ，w eg i v ea ne x a m p l et os h o wt h a ts o m ep r o p e r t i e sa r en o tt r u ew h e n t h ee x t e n s i o nisn o tat r i v i a 】e x t e n s i o n 2 c h a p t e r2p r e l i m i n a r i e s c h a p t e r2 p r e l i m i n a r i e s d e f i n i t i o n2 1 【1 】al i es u p e r a l g e b r agi sa z 2 g r a d e dv e c t o rs p a c eg=g8 og i o v e ra f i e l d 飓t o g e t h e rw i t ha g r a d e dl i es u p e r b r a c k e t 】? gxg _ g s a t i s f y i n gt h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： k ，y 】= 一( 一1 ) i z i l y l y ，叫， ( 2 1 ) ( 一1 ) i z i l 2 i x ，【y ，名】+ ( 一1 ) l u l l z i y ，k ，z 】- i - ( 一1 ) i 2 l l l z ，陋，引】= 0 ， ( 2 2 ) 扣，a l le l e m e n t s 五弦z eg ，w h e r e 蚓d e n o t e st h ed e g r e eo fh o m o g e n e o u se l e m e n tx a b o u tt h ez 2 一g r a d a t i o n d e f i n i t i o n2 2a ni d e a lo f al i es u p e r a l g e b r egi sag r a d e ds u b s p a c es f o 厂w h i c h 【1 ，g 】 ia n d 【g ，1 】1 t h ec e n t e ro fal i es u p e r a l g e b r ag ，d e n o t e db yz ( g ) ，括t h es e t o f s u c he l e m e n txs a t i s f y i n g z ，g = 0 i ti se a s i l ys e e nt h a tz ( g ) i sa ni d e a lo f al i e s u p e r a l g e b r eg d e f i n i t i o n2 3l e tgb eal i es u p e r a l g e b r aw i t hab i l i n e a r f o 册q 而，_ a n ys u b s p a c ev 矿g ，幼v 上( r e s p 上v ) d e n o t et h er i g h to r t h o g o n a ls p a c e ( r e s p 1 e f to r t h o g o n a ls p a c e ) 矿ef p v 上：= z giq ( vx ) = 0 ) ( r e s p 上v ：= x gig ( z ，v ) = o 】j yi sc a l l e dn o n d e g e n e r a t e ( w i t hr e s p e c tt o 圳i fa n do n l yi fv 上nv=0a n d 上ynv = 0 驴y y 上，w ec a l lvi s o t r o p i c d e f i n i t i o n2 4l e tgb eal i es u p e r a l g r e b r a ab i l i n e a rf o r m 口o ngi ss a i dt ob e s u p e r s y m m e t r i ci f q ( z ，y ) = ( 一1 ) i z u l q ( y ，z ) ，f o ra l lz ，y g gi ss a i dt ob ei n v a r i a n ti f g ( 【z ，别，z ) = q ( x ， y ，名】) ，f o ra l lx ，y ，名g 3 c h a p t e r2p r e l i m i n a r i e s qi st ob ec o n s i s t e n ti f q ( x ，y ) = 0 ，f o ra l lz g 石a n dy g i qi sc a l l e dn o n d e g e n e r a t ei fg 上= 0 f r o mn o wo nw es h a l lo n l yc o n s i d e rc o n s i s t e n tb i l i n e a rf o r m s d e f i n i t i o n2 5l e tgb eal i es u p e r a l g e b r aw i t hab i l i n e a rf o 瑚g ，( g ，g ) i sc a l l e d q u a d r a t i ci f qi ss u p e r s y m m e t r i c , n o n d e g e n e r a t ea n di n v a r i a n t a g r a d e di d e a l1o f gi sc a l l e dn o n d e g e n e r a t e ( r e s p d e g e n e r a t e ) i f t h er e s t r i c t i o n o f q t o1i sa n o n d e g e n e r a t er r e s p d e g e n e r a t e ) b i l i n e a r f o r m d e f i n i t i o n2 6l e tgb eal i es u p e r a l g e b r ao v e ra f i e l d c w ei n d u c t i v e l yd e f i n ea c e n t r a ld e s c e n d i n gs e r i e s ( c n ( g ) ) n 2 0 ：c o ( g ) ：= g ，c n + 1 ( g ) ：= 【c “( g ) ，g 】+ 【g ，c “( g ) 】，a n dac e n t r a la s c e n d i n gs e r i e s ( c n ( g ) ) n o ：6 0 ( g ) ：= 0 ，c 1 ( g ) ：= g ，c k + l ( g ) ：= c ( c k ( g ) ) ，w h e r ec ( v ) ：= _ z g | 【z ，v 】v , v v y ) f o ，a v e c t o rs u b s p a c ev o fg p r o p o s i t i o n2 1l e t ( g ，g ) b eaf i n i t e d i m e n s i o n a lq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r ao v e ra f i e l dk a n dvb ea na r b i t r a r yv e c t o rs p a c eo fg t h e nw eh a v e ： r j j v 上= 上v 2 ) l e t1b ea na r b i t r a r yi d e a lo fg t h e n1 上i sa g a i na ni d e a lo fg s a t i s f y i n g 【j ，p 】= 0 p jz ( v ) = ( i v , g 】) 上f q ( 【g ，y 】) 上= ( 【g ，v 】+ 【kg ) 上i np a r t i c u l a r , z ( v ) i sa n i d e a lo f gi f vi sa ni d e a l r 4 jc ( v ) = ( 【g ，v 上】+ 【v 上，g ) 上，c ( g ) = g ( g ) 上，v i n p r o o f ( 1 ) s i n c eqi ss u p e r s y m m e t r i c ，w eh a v ev 上= 上v ( 2 ) s i n c e 【1 ，g 】1 ，i tf o l l o w st h a t0 = g ( ，g 】，1 上) = q ( i ， g ，p 】) a n d0 = g ( 上j ，【g ，卅) = g ( 【上1 ，g ，) t h i si m p l i e st h a t g ，1 上】1 上a n d 【上1 ，g 上1 s o 上1a n d ，上a r ei d e a l so fg s i n c e 【g ，i 】冬i ，i tf o l l o w st h a t0 = g ( 【g ，】，1 上) = q ( g ，【1 ，j 上】) h e n c e ，1 上】= 0 ( 3 ) a c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o no fz ( y ) ，z z ( v ) i fa n do n l yi fk ，v 】= 0 4 c h a p t e r2p r e l i m i n a r i e s a n d vz 】= 0 a l s ot h i si se q u i v a l e n tt og ( k ，吲，g ) o n l yi fq ( z ，6 1 ) = 0a n dg ( g ，卅，z ) = 0 ，w h i c h 上( 【kg ) n ( 【g ，y 】) 上= ( i v , 6 1 ) 上n ( g ，y 】) 上 = 0a n dq ( a 【k 名】) = 0i fa n d i m p l i e st h ec o n c l u s i o nz ( v ) = w eh a v ek n o w nt h a t ( g ，v 】+ 【vg 】) 上= ( 【g ，y 】) 上n ( i v , g 】) 上t h e nw eh a v e z ( v ) = 【v g 】上n g ，y 】上= ( i v , g 】+ g ，y 】) 上 i f vi sa ni d e a lo f g ，t h e n 【g ，v 】+ 【vg 】i sa g a i na l li d e a la n ds oi si t sl e f ta n d r i g h to r t h o g o n a ls p a c e ( 4 ) s e tw = v 上a n du ：= ( 【g ，w 】+ 【彬g ) 上t h e nw eo n l yn e e dt op r o v e c ( v ) = u ，i e c ( w 上) = u s i n c e 【彬g 】 彬g 】+ 【g ，吲，i tf o l l o w st h a t 0 = 口( 彬g 】，u ) = g ( 彬【g ，u 】) h e n c e 【g ，u 】w 上s i n c e g ，w 】【g ，w 】+ 彬g ，w eh a v e0 = g ( 【g ，吲，u ) = q ( g ，【彬叨) h e n c e 彬卅g 上= 0 t h u s o = g ( 【彬刎，g ) = 口( 彬暇6 1 ) t h i si m p l i e st h a t 以g 】w 上s ow eh a v e g ，明+ 盼g 】w 上t h i s p r o v e su c ( w 上) c o n v e r s e l y , q ( 【彬g ，c ( w 上) ) = q ( 彬【g ，c ( w 上) 】) g ( 彤w 上) = 0i m p l i e s t h a tc ( w 上) ( w ，；6 1 ) 上a n d 【，c ( w 上) 】= o s ow eh a v e0 = q ( g ，【w ，；c ( w 上) 】) = g ( 【g ，w 】，c ( w 上) ) ，w h i c hs h o w sc ( w 上) ( 【g ，w 】) 上f o rb o t hr e l a t i o n si tf o l l o w s t h a tc ( w 上) i sc o n t a i n e di n ( 彬g 】) 上n ( 【g ，w 】) 上= ( 彬g 】+ g ，w ) 上= u a c c o r d i n g t ol e m m a ( 2 7 ) 【2 】，w ek n o wc ( g ) = 上g ( g ) = g ( g ) 上，v i n 口 d e f i n i t i o n2 7l e tg 1a n dg 2b et w ol i es u p e r a l g e b r a so v e rt h ef i e l dk al i n e a r m a p p i n g 妒：g 1 一g 2i ss a i dt ob eh o m o m o r p h i s mi fq 0 ( ( a 1 ) n ) s ( c 2 ) af o ，口朋 口z 2 ，a n d 妒( k ，引) = 妒( z ) ，妒( 秒) 】f o ，| a l l z ，y g i d e f i n i t i o n2 8l e tgb eal i es u p e r a l g e b r aw i t hab i l i n e a r f o 册fo v e raf i e l dkt h e i n t e r s e c t i o no fg 上a n d 上gi sc a l l e dt h ek e r n e lm so ff s u p p o s eg i sa n o t h e rl i e s u p e r a l 9 7 e b r aw i t ha b i l i n e a rf o 册ga n dm ：g _ g 7i sah o m o m o r p h i s mo fl i e s u p e r a l g e b r a t h e nt h ep u l lb a c km + g 妇d e f i n e dt ob et h eb i l i n e a r f o f mm + g ( y l ，y 2 ) = g ( m y i ，m y 2 ) ，f o r ! ，1 ，y 2 g i f mi ss u r j e c t i v ea n dk e r mi sc o n t a i n e d i nt h ek e r n e lo f ，t h e nt h e p r o j e c t i o nf 仇o f fi sg i v e nb yf m ( 矾，必) = y ( m 1 玩，m _ 1 可：) = f ( y l ，y 2 ) 扣，m y l = 可i ，m y 2 = 必f m i saw e l l d e f i n e db i l i n e a r f o f t no ng w h o s ek e r n e l ，m e q u a l sm n f 竺n | k e r m 5 t h e f o l l o w i n gp r o p o s i t i o ns h o w ss o m ef a c t sa b o u tt h et r a n s f e ro fi n v a r i a n t b i l i n e a r f o r m sf r o mo n el i es u p e r a l g e b r at oa n o t i l e ro n e p m p 0 8 i t i o n2 2l e tg ( r e s p g 7 ，b eal i es u p e r a l g e b r ao v e r 口加l d e 删厂r 御，9 j 抛册砒锄f 易f 砌鲫巾册o ng ( r e s p o ng l e tm ：g 叶g t b 已以 伽d m d 巾 f 跚 醇n es u p e r a l g e b r a s t h e nw eh a v e r j ，t h ep u l lb a c km 9o f gi sa ni n v a r i n a n tb i l i n p 口r 向册d 行g 1 2 ) a s 5 u 溅t h a tmi ss u r j e c t i v ea n dk e r mt sc o n t a i n e d i nt h ek e r n e l 呵f t h e nt h e p r o j e c t i o nf mi sa ni n v a r i a n tb i l i n e a r 励册伽g 7 p r o o f ( 1 ) a c c o r d i n gt ot h ed e f i n i t i o no fm + 函w eh a v e m + g ( y l ，y 2 ) = 9 ( m y l ，m y 2 ) l e ty l ，y 2 ，y 3b ei ng t h e n w eh a v e m + 9 ( 【耖1 ，驰】，抛) = m + a ( i u l ，沈】，珧) = 9 ( 【m y l ，仇耽 ，m y a ) 9 ( m y l ，【m y 2 ，m 蜘】) 仇+ g ( y l ， y 2 ，可3 】) s om + 9i sa ni n v a r i a n tb i l i n e a rf o r mo f g ( 2 ) s i l l c ek e 溉i sc 。n t a i n e di nt h ek e m e i 。ff ，mi sw e l l d e f t n e d b yt l l ed e 6 n i t i o no ff m ，w eh a v e ，m ( 可i ，玩) = y ( m 一1 可i ，仇一1 可i ) = ，( 可1 ，耽) ， f o rm y l = 垢，m y 2 = 昵t h e r e f o r e ， ，m ( b ；，必 ，玩) = y ( m 一1 【y i ，必】，m t 毵) = f ( m _ 1 秒；，m _ 1 【必，以 ) = f m ( 可i ，m ，必】) n l i sp r o v e st h ep r o p o s i t i o n 口 u s i n gp r o p o s i t i o n2 2 ，w ec a nc o n s t r u c tab i l i n e a rf o r mo na s u b a l g e b r ai nm e f o l l o w i n gc o r o l l a r y ： 6 c h a p t e r2p r e l i m i n a r i e s c o r o l l a r y2 3l e tb b ea s u b a l g e b r ao f c w i t hai n v a r i a n tb i l i n e a r f o r mq ，a n da s s u m e t h a tbnb 上= bn 上b ( t h i si st h ec a s ei fgi sq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r aj t h e n bnb 上i sa ni d e a lo f b l e tp ：b b ( bnb 上1d e n o t et h ec a n o n i c a lp r o j e c t i o na n dq bt h er e s t r i c t i o n o fqt ob b t h e nt h ep r o j e c t i o n 蟊i san o n d e g e n e r a t ei n v a r i a n tb i l i n e a r f o 册o n t h e f a c t o rs u p e r a l g e b r ab ( b 上nb 1 p r o o fs i n c et h ec a n o n i c a li n c l u s i o nb gi sah o m o m o r p h i s mo fl i es u p e r a l g e b r a sa n dq bi se q u a lt ot h ep u l lb a c ko fqt ob ，i tf o l l o w sf r o mp r o p o s i t i o n2 2 ( 1 ) t h a t 怡i si n v a r i a n t s i n c ebi sas u b a l g e b r ao fg ，w eh a v e 【b ，b b ，h e n c e0 = q ( 【b ，b 】，b 上) = q ( b ，【b ，b 上】) ，w h i c hi m p l i e s b ，b 上】b 上a n a l o g o u s l y , 【上b ，b c 上b h e n c e ， 【b ，bnb 上