（基础数学专业论文）teichmüller曲线的一个同构定理.pdf

t e i c h m f i l l e r 曲线的一个同构定理 摘要 在本文中，我们首先证明了对于任意的f u c h s 群r ，当h r 是一个双曲型 p d e m a n n 曲面时，t e i c h m i i l l e r 曲线v ( r ) 上有唯一的复流形结构使得从b e r s 纤维空 问f ( r ) 到v ( r ) 上的自然投影是全纯的且有局部全纯截面然后证明了对于两个 f u c h s 群r 1 和r 2 ，如果h f l 和日r 2 是两个共形等价的双曲型r i e m a n n 曲面，则 从研，。r 到h r ：r 2 的一个共形映射诱导了从v ( r ，) 到v ( r z ) 的一个双全纯同构 这推广了没有穿孔点的经典t e i c h m i i l l e r 曲线的相关结果，即r 是一个紧双曲型 r i e m a n n 曲面的情形 关键词：t e i c h m i i l l e r 空间，b e t s 纤维空间，t e i c h m f i l l e r 曲线，双全纯同构 作者：蔡永茂 指导教师：沈玉良 墅i 也翌i ! ! 竺垫堡墼二尘旦塑垂些叁坠! ! 坚! a b s t r a c t w ef i r s tp r o v e dt h a tf o ra n yf u c h s i a ng r o u prs u c ht h a th ri sah y p e r b o l i cr i e m a n ns u r f a c et h et e i c h m i i l l e rc u r v ev ( r ) h a sau n i q u ec o m p l e xm a n i f o l ds t r u c t u r es o t h a tt h en a t u r a lp r o j e c t i o no ft h eb e r sf i b e rs p a c ef ( r ) o n t ov ( r ) i sh o l o m o r p h i cw i t h l o c a lh o l o m o r p h i cs e c t i o n s t h e nw ep r o v e dt h a tf o ra n yt w of u c h s i a ng r o u p sf 1a n dr 2 s u c ht h a th f ia n dh 疆2a r et w oc o n f o r m a l l ye q u i v a l e n th y p e r b o l i cr i e m a n ns u r f a c e s ， ac o n f o r m a tm a p p i n gf r o mh r l r io n t o 珞2 f 2i n d u c e sab i h o l o m o r p h i ci s o m o r p h i s m f r o m 矿( r 1 ) o n t ov ( r 2 ) t h i sg e n e r a l i z e sac l a s s i c a lr e s u l tt h a tt h eu n p u n c t u r e dt e - i c h m f i t l e rc u r v ev ( r 1d e p e n d so n l yo nt h et o p o l o g i c a lt y p eo fra n dn o to nt h eo r d e r s o ft h ee l l i p t i ce l e m e n t so frw h e nh ri sac o m p a c th y p e r b o l i cr i e m a n ns u r f a c e w r i t t e nb yc a iy o n g m a o ( c o m p l e xa n a l y s i s ) s u p e r v i s e db yp r o f s h e ny u l i a n g k e y w o r d s ：t e i c h m i i l l e rs p a c e ，b e r sf i b e rs p a c e ，t e i c h m i i l l e rc u r v e ，b i h o l o m o r p h i c i s o m o r p h i s m 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独赢进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：基盟日期 学位论文使用授权声明 j 们丁、v - 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：豢t 扛氏e t研究生签名：笙! ：! 导, j l i 签名：毖曼b 日导签名：壶b 日 期：上鼬s - u 期：划：竺 t e i c h m i i l l e r 曲线的一个同构定理 1 引言 1 引言 早在1 8 5 7 年，r i e m a n n 曾未加证明地指出，亏格为g ( g 1 ) 的闭r i e m a n n 曲面 的共形等价类的全体即r i e m a n n 模空间r 口可用3 9 3 个复参数描述这个问题后 来被称为r i e m a n n 曲面的模问题o t e i c h m i i l l e r 对这个问题作出了突破性的贡献， 他把模问题与拟共形映射的极值问题联系起来，并给出了模问题的一个解答( 见t e d ， 并由此开始了现代t e i c h m f i l l e r 空间的研究 经典t e i c h m i i l l e r 空间是这样来描述的设x 是一个给定亏格g 1 的闭 r i e m a n n 曲面若蜀是另外一个亏格为g 的r i e m a n n 曲面，而，：x _ x 1 是一 个拟共形同胚，则我们称僻，厂，x 1 ) 是一个标记r i e m a n n 曲面，称为标记我们称 两个标记r i e m a n n 曲面( x ，x 1 ) 与( x ，g ，咒) 是等价的，如果存在一个共形映射 仃：x 1 - - 4x 2 ，使得盯go ，显然，这样定义的等价给出标记r i e m a n n 曲面之间 的一种关系，而这种关系是一种等价关系因此，可以按照它将全体标记r i e m a n n 曲 面加以分类，并将( x ，x 1 ) 的等价类记作，j 】称全体这种等价类陋，x 1 】 所形成的集合 i x ，x 1 】：，：x - - + x l 为t e i c h m f i l l e r 空间，记作t ( x ) 从二十世纪五十年代起，在a h l f o r s 和b e r s 的影响下，t e i c h m i i l l e r 空间被广泛 深入地进行了研究，很快成为了单复变函数论中一个十分活跃的分支t e i c h m i i l l e r 空间的研究不仅影响到经典函数论中其它许多重要问题的研究，如k l e i n 群和单值化 问题，而且在其它数学分支中也有着重要的应用，如t h u r s t o n 在三维流形的几何与拓 扑中的研究( 见【t h 】) ，s u l l i v a n 与m c m u l l e n 在复动力系统中的研究( 见 m s ， s u l ， 【s u 2 ) ，t r o m b a 与w o l f ( 见【f t l ，【f t 2 ， w o ) 在微分几何中的研究等t e i c h m f i l l e r 理论在理论物理的超弦理论中同样有着重要的应用 a h l f o r s 和b e r s 最初对t e i c h m i i l l e r 的工作进行了重新的诠释，并证明了经典的 t e i c h m i i l l e r 空间是一个复解析流形随后b e t s 将经典的t e i c h m i i l l e r 空间推广到一 般的r i e m a n n 曲面上设x 是一个r i e m a n n 曲面，其万有覆盖曲面共形等价于上半 平面如果我们将x 等同于r ，其中r 是一个保持不变的f u c h s 群，那么我 1 墅! ! ! 婴! ! ! 竺堕堡盟二尘旦塑塞里 ! ! i 童 们可以将x 视为一个( 带边) 监面的内部设a ( r ) co h 是r 的极限集记 b ( r ) = o h a ( r ) ，那么x + = hub ( r ) r 是一个( 带边界的) 曲面，其内部就是x 我们把o x = b ( r ) r 称为x 的理想边界，设f ：x - x 1 是一个拟共形同胚，这里 的曲面x 1 同样地表成商驯r 1 ，并把x l 作为x ：= h ub ( r t ) r 。的内部很明显， 厂可以同胚地扩充到边界而成为x + 斗x ：的一个同胚映射那么我们称两个标记 r i e m a n n 曲面僻，x 1 ) 与( x ，g ，x 2 ) 等价，是指存在一个共形映射口：x 1 _ x 2 ，使 得9o ，- 1 o - ( m o do x l ) 这种等价类就构成了一般r i e m a n n 曲面上的t e i c h m i i l l e r 空间 b e r s 还将经典的t e i c h m i i l l e r 空间推广到一般的f u c h s 群上这在本文的第二 小节会详细描述设r 是作用在上半平面日上的f u c h s 群记坼是上半平面目去 掉所有r 的椭圆型元素不动点的集合设m ( r 1 是上半平面日上关于r 的b e l t r a m i 系数p 的集合，则t e i c h m i i l l e r 空问t ( r ) 是m ( r ) 中的b e l t r a m i 系数p 的等价类 【川的集合a h l f o r s 和b e r s 证明了t e i c h m f i l l e r 空间t ( r ) 有唯一的复流形结构使得 m ( f ) 到t ( r ) 的自然投影是全纯的且有局部全纯截面这意味着m ( r ) 是t ( r ) 上 的一个全纯纤维空间当r 没有椭圆型元素时，很容易看到t ( f ) 竺t ( h r ) b e t s 和g r e e n b e r g ( b g 】( 参考【e k l ， e m ，【g a 2 ，【m a 】) 同构定理说明，对任意f u c h s 群 r ，t ( r ) 掣t ( 陆、r ) 这说明当r 是有限生成第一类f u c h s 群时，t ( r ) 只依赖于r ( 或三一r ) 的拓扑型而与r 的具体标记无关， 对于任何f u c h s 群r ，在t ( r ) 上还有一些其它的全纯纤维空间b a i l y 【b a 证 明了r i e m a n n 模空间兄。上存在一个纤维空间，使得r i e m a n n 曲面s 所代表的共 形等价类的纤维同构与s a u t ( s ) 为了将这个结果推广到一般的有限型曲面，b e r s b e l 0 引入了t e i c h m f i l l e r 空间上的一个纤维空问事实上，对于任何f u c h s 群r ， b e t s 在t e i c h m f i l l e r 空间t ( r ) 上引入了个纤维空间f ( r ) ，称为b e r s 纤维空问，并 且证明了，当r 不含椭圆型元素时，f ( r ) 同构与一个t e i c h m i i l l e r 空间 e a r l e 和k a r ( 见i e k l ， e k 2 ) 等数学家对b e r s 纤维空间进行了深入的研究 群r 作为f ( r ) 的一个保纤维双全纯自同构群真间断作用在f ( f ) 上根据c a f t a n 2 墅! ! ! 里! ! ! 竺些垡塑二尘旦塑塞望l ! i 堕 f c 8 的一个重要结论，我们可以得到一个正规复空间v ( r ) = f ( r ) r ，称为r 的 t e i c h m i i l l e r 曲线v ( r ) 可能有奇异点，且这些奇异点只可能出现在r 的椭圆型元素 不动点轨迹处因此，当r 无饶时，t e i c h m i i l l e r 曲线v ( r ) 总是一个复流形即使当 r 含有椭圆型元素对，利用g o t t s c h l i n g ( g o 】的一个定理e a r l e 和k r af e k 2 】注意到 当r 是有限生成第一类f u c h s 群时，v ( r ) 无奇异点因而是一个复流形，并且当日r 是紧双曲型r i e m a n n 曲面时，v ( r ) 的结构只依赖于r ( 或正昂r ) 的拓扑型而与r 的 椭圆型元素的阶数无关本文我们将要把这些结论推广到一般的f u c h s 群r 上，并来 证明以下的两个定理 定理1 对于任意一个i h c h s 群r ，当驯r 是一个双曲型r i e m a n n 曲面时，t e - i c h m i i l l e r 曲线v ( r ) 有唯一的复流形结构使得从b e r s 纤维空间f ( r ) 到v ( r ) 的自 然投影是全纯的且育局部全纯截面在这个复结构下，从v ( r ) 到t ( r ) 的自然投影也 是全纯的且有局部全纯截面 定理2 设r l 和r 2 是两个f u c h s 群，使得驯r 1 和驯f 2 是两个共形等价的双曲型 p d e m a n n 曲面，如果从上昂。r l 到所r 2 有一共形映射，则从v ( r 1 ) 到v ( r 2 ) 有一 双全纯同构 3 t e i c h i n f i l l e r 曲线的一个同构定理2t e i c h m f i l l e r 空问 2 t e i c h m f i l l e r 空间 在这一节中，我们将回顾t e i c h i n i i l l e r 理论中的一些基本的定义和结论具体可 以参考文献 b e 9 ，【b e l 2 和书【g a l ，【l e ， n a 2 设r 是作用在上半平面日同样也作用在下半平面l 上的f u c h s 群，记研，是上 半平面h 去掉所有r 的椭圆型元素不动点的集合设l ”( r ) 是由上半平面日上关 于r 的所有b e l t r a m i 微分构成的集合，即 l 。( r ) = p l 。( 。h ) ，( p 0 7 ) 7 7 = 肛，v 7 r ) ( 2 1 ) 我们把l 。( r ) 的单位开球记作m ( r ) 对于p m ( r ) ，存在复平砸c 到自身的唯一的拟共形映射训p ，保持0 ，1 不动， 且在上半平面h 内满足叫。= 肛叫：，在下半平面l 上共形我们说m ( f ) 中的两个元 素p ，等价( 写成卢一) ，如果叫一和叫”在实轴r 上相等p 的等价类记作 以 m o ( r ) 表示m ( r ) 中等价于0 的元素的集合，o ( r ) 是日- + 灯的保持0 ，1 ，o 。不 动的所有拟共形映射，且其b e l t r a m i 系数属于m o ( r ) 则肛和p 等价当且仅当存在 w e o ( r ) 使得在上半平面h 上满足w ”= p 。叫 t e i c h m f i l l e r 空间t ( f ) 是所有m ( r ) 中的b e l t r a m i 系数p 的等价类阻j 的集合， 我们记圣为m ( r ) 到t ( r ) 的自然投影，则圣( 弘) 是弘的等价类因为垂依赖于群r ， 为了避免混淆，我们有时将其记为圣r 设l 1 ( r ) 表示上半平面上关于r 的所有可积的二次微分组成的b a n a c h 空 间，即h 上满足下列条件( 2 2 ) ，( 2 3 ) 的可测函数的集合， ( 咖。7 ) ( 7 ) 2 = ，v ，y f ， ( 2 2 ) 且范数满足： 1 1 曲1 1 = 儿r z ) d x d y o 。 ( 2 3 ) 4 墅生翌! ! ! 竺塑垡墼二全旦塑塞型 塑：墅! ! 型! 堡! 至堕 自然配对 ( p ，) = s s h i r # ( z ) 西( z ) d z d p ，p l 。( r ) ，l 1 ( r ) ， ( 2 - 4 ) 建立了一个从三。( r ) 到l 1 ( r ) 的共轭空间l i ( r ) + 的保范数同构我们把关于r 的 可积的全纯二次微分空间记成a ( r ) ，即a ( r ) 是l 1 ( r ) 中的所有全纯函数的集合关 于r 的a h l f o r sn 一类n ( f ) 是 n ( r ) = p 五。( r ) ：( p ，西) = 0 ，v 曲a ( r ) ) ( 2 5 ) 作为复b a n a c h 空间o 。( r ) 中的一个开集，m ( r ) 是一个复流形，a h l f o r s 和 b e r s 证明了t ( r ) 也是一个复流形 定理a t ( r ) 有唯一的复流形结构使得自然投影垂：m ( r ) _ + t ( r ) 是全纯的且有局 部全纯截面，且微分( 0 ) 在零点的核是a h l f o r sn 一类( r ) 我们还需要下面的b e r s 和g r e e n b e r g 【b g ( 或参考【e k l ，f e m ， g a 2 ，【m a 】) 的 重要定理，它说明当r 是有限生成第一类f u c h s 群时，t ( f ) 只依赖于r ( 或日i 、r ) 的 拓扑型而与r 的具体标记无关 定理b 设硒、。r l 与上昂r 2 共形等价，则t ( f 1 ) 与t ( f 2 ) 双全纯同构 5 t e i c h m i i l l e r 曲线的一个同构定理 3 忘记穿孔点的映射 3 忘记穿孔点的映射 t e i c h m i i l l e r 空间之间有一标准的“忘记一个或多个穿孔点”的映射( 参考【b e 2 ， e k l ，【e k 2 ) 我们需要详细研究这个映射，并把它推广到“忘记无数个穿孔点”的情 形 为此，设r 是任意一个f u c h s 群，可能含有椭圆型元素，使得x = h r 是一个 双曲型r i e m a n n 曲面取个无挠的f u c h s 群r 使得h r = x 设7 r ：h 。x 和 一：日_ x 是投影映射，相应的覆盖变换群是r 和r ，则有一全纯的映射h ：ho 日 使得 并有一同态口：r _ + r ，满足 7 r = 7 r oh h 0 7 = p ( 7 ) o h ，v y r ( 3 1 ) ( 3 2 ) 引理1 h ：日- + h 和口：r - + r ，都是满的 证明：记d = ( 日) ，由于x = 7 r ( 日) = 一0 h ( h ) = 丌，( d ) ，u 彳r ，彳( d ) = h 注意到 口( ，y ) ( d ) = p ( 7 ) 0 h ( h ) = h0 7 ( 日) = h ( h ) = d 对于任意的，y r 成立，从而h 是不相交的开集d 和开集u 彳r ，口( r 】) 的并因 此d = h 和o ( r ) = r ， 利用h ，我们可以定义两个保范数同构： h ，：a ( r ) - - 4a ( r ) ，h + ：l 。0 ( r ) - - 4l 。( r ) ， 其中 。西= ( o ) ( ) 2 ， 砂a ( r ) ， ( 3 3 ) 6 t e i e h m f i l l e r 曲线的一个同构定理3 忘记穿孔点的映射 ( + 芦) o h = p 7 雨，p l ”( r ) 这两个映射在下述意义下是互相共轭的 ( 3 4 ) ( + p ，庐) = ( 肛， 。庐) ， el ”( r ) ，咖a ( f ) ( 3 5 ) 由( 3 5 ) 式可以说明 ( j l v ( r ) ) cn ( r ) ，因此h ：l o 。( r ) - - + l o o ( r ，) 诱导了一个满线性 映射 h ：i 户( r ) ( r ) 斗i 户( 一) ( r ，) ， ( 西；( o ) p ) = 西；，( o ) ( + 肛) ， 卢l ”( r ) ( 3 6 ) 在这里我们应用定理a 把l ”( p ) n ( r ) 和三”( r ，) n ( r ) 分别看作t ( r ) 和t ( r ) 在 零点的切空间 因为h ：l ”( r ) _ + l 。( r ) 保范数满射，则h + 限制在m ( r ) _ + m ( r ) 是一个全 纯映射现在我们要证明h + 可以投影成t ( f ) _ t ) 的全纯满射 通过直接计算可以证明 引理2 设p m ( f ) ，盯m ( f ) 则盯= 舻( p ) 当且仅当存在一个全纯映射 五：叫“( 日) - 叫，( 日) 使得w o h = ho 叫p 对于任一p m ( r ) 和盯= 舻( p ) ，记胪= 叫4 oh o ( 伽“) _ 。，由引理2 知，胪是 一个叫“( h ) _ 叫4 ( 日) 的全纯满射为了后面使用方便，我们给出下面的引理( 砂对 p 的依赖性) ，具体证明可参考【e k 2 引理3 对于任意固定的p o m ( f ) 和( 叫“o ( 日) ，则胪( ( ) 在伽邻域内全纯依赖 于“ 引理4 对于任一7 ) o ( r ) ，则有唯一的叫。o ( r ) 使得w + oh = h o 证明：对于任一f u c h s 群r ，记a ( r ) 为r 的极限集，d ( f ) = 再一a ( r ) 我们知道 t o e o ( r ) 意味着t i l l = 叫和甜之间有一a h l f o r s 同伦 t ：对任意t ，0 冬t 1 ，任 意。hud ( r ) ，, t u ( z ) 是如下定义的h ud ( r ) 中的唯一的点：当z d ( r ) 时， 7 t e i c h m i l l e r 曲线的个同构定理3 忘记穿孔点的映射 叫t ( g ) = z ，当g h 时，则脚o ( z ) = z ， 1 ( z ) = 伽( z ) ，且当0 t 1 时，w t ( z ) 是连 接。和叫( z ) 的非欧线段并把非欧线段长度比分为t ( 1 一) 上的唯一一点则训t ( 。) 连续依赖于( t ，z ) ，且对于任意的7 r ， 。7 0 叫f 1 = 7 通过7 r 同伦埘t 可投影 成x _ x 上的 和谢的模边界( o x ) 同伦 ，即7 ro 姚= o7 r ，v o t 1 通 过丌，同伦 可以提升为连接叫。l 和i d 的模d ( r ) 的同伦仰m 即丌，o 叫“= o7 ， v 0 t 1 则，1 和埘+ 1 是拟共形映射，且对任意的0 t 1 在d ( r ) 上叫。t 是恒等 映射由( 3 1 ) ，对于0 t 1 ， 7 r o 叫五1oh o 叫f = 疗1 o7 r o ho 毗= f 1o7 r 。叫t = 7 r = _ 7 r o 于是，存在倪p 使得倪oh = 0 oh o 刨t 易知，吼连续依赖于t ，而r ，是离散 的，则倪必与t 无关因此对任何的0 t 1 ，吼= 懦= i d ，从而叫。t 0h = h o 叫t 设执= 叫幽则鲫0 h = h 0 叫由h 是满射，则饥是唯一确定的下面我们要证明 叫。e o ( r ) ，那只要证明对于任意的彳r ，有叫。o 彳= 。叫成立，因为这就说明 叫。在a ( r ，) 上是恒等的 因为 e o ( r ) ，则对任意的，y r ，有叫0 7 = 7 0 叫所以 叫o 目( 7 ) 。h = 伽。o ho ，y = ho 伽0 7 = h o ，y o w = 疗( ，y ) o ho 伽= 口( 7 ) o 叫oh 因为h ：h - 4 日和0 ：r - - + r ，是满射，于是对任意的r ，我们有叫+ o 彳= 彳。叫+ 推论1 设p 和p 在m ( r ) 中等价，则仃= ”( p ) 和丁= 旷( ) 在m ( r ) 中等价，且 有 + ( p ) = + ( p ) 证明：因为p 和v 在m ( r ) 中等价，则存在伽o ( r ) 使得叫”= 叫一。叫由引理4 知，存在一个 + o ( r 7 ) 使得w + oh = h ow 在日上我们已经有 h u0 叫”= h uo 叫p0 t 正j = 叫40 h0 似= 伽。0 叫。0h 由引理2 我们得到叫7 = 叫4o 叫。，所以口= 扩( 肛) 和7 - = 扩( v ) 在m ( r 7 ) 中等价并 且我们得到 h ”= 训7oh 。( 叫”) 一1 = 埘。o 叫+ oh o 叫一1o ( 训“) 一1 = 9oho ( 叫“) 一1 = h “ 8 t e i c h m f i l l e r 曲线的一个同构定理 5 3 忘记穿孔点的映射 定理3 定义f ：t ( r ) _ f ( 聆，f ( 圣r ( 国) = v t ( h + 则f 是良定义的全纯满射且 有局部全纯截面，且微分f ( 蚧( o ) ) 是 h + ：l 。( r ) ( r ) - + l ”( r 7 ) ( r 7 j 证明：由推论1 可知f 是良定义的又因为h 是满射且fo 虾= 圣r ，。h 4 全 纯，则f 是全纯的满射由h + ：m ( r ) - m ( r ) 是双全纯同构，定理a 可推出 f 有局部全纯截面对fo 蚧= 西p oh + 两边求导，注意到( h + ) = h + ，我们有 ( f 。昕) 西 = ( 虫知。舻) ，所以f ( 虾( o ) ) 畔( o ) = 垂 ，( o ) 舻，这就说明微分f ( 卧( o ) ) 是所要证的形式 注l ：因为f ：t ( r ) 叶t ( r 7 ) 是个全纯的满射且有局部全纯截面，这意味着 对每个西r ，( 盯) t ( r ，) ，纤维f 。( 西r v ( 口) ) 是t ( r ) 中的一个子流形在这里每个纤维 上有两个重要的度量，k o b a y a s h i 度量和t ( r ) 上的k o b a y a s h i t e i c h m i i l l e r 度量在它 上面的限制一个重要的问题是是否有或什么时候有两个度量相等当r 只包含一个 椭圆型元素时，我们知道答案是否定的，除非h r 是一个三穿孔点的球面( 参考f e l i ， f u r l ， l i u ，【n a l d 9 t e i c h m f i l l e r 曲线的一个同构定理 4b e r s 纤维空间和t e i c h m f i l l e r 曲线 空间 4 b e r s 纤维空间和t e i c h m f i l l e r 曲线 对于每个p m ( r ) ，区域w t ( l ) 和w u ( h ) 仅依赖于圣( p ) 我们定义b e t s 纤维 f ( r ) = ( 垂( p ) ，( ) t ( r ) c ：肛m ( r ) ，( 硼“( h ) ) 我们知道f ( r ) 是一个复流形，且自然投影7 r f ：f ( r ) _ t ( r ) ，7 r r ( 中( p ) ，z ) = 圣( 肛) 是 全纯的且有局部全纯截面( 参考【s e l 0 ) 群r 作为一个双全纯自同构群真间断作用在f ( r ) 上 7 ( 西( p ) ，( ) = ( 西( 肛) ，7 一( 0 ) ， 其中p m ( r ) ，( w t ( h ) ，y f ，并且 矿o 铆“= w “0 1 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 根据c a f t a n 【c a 】的个重要结论，我们得到一个正规复空间v ( r ) = f ( r ) r ，称为 r 的t e i c h m i i l l e r 曲线y ( r ) 可能有奇异点，且这些奇异点只可能出现在r 的椭圆型元 素不动点轨迹处自然投影丌r ：f ( r ) _ t ( f ) 和7 f l r ：f ( f ) 叶v ( r ) 诱导了一个投影 t - 2 f ：v ( r ) _ + t ( r ) 假设r 是无挠的，则r 的作用是自由的，从而t e i c h m i l l e r 曲线v ( r ) 是一个复 流形在这种情形下， i 1 r ：f ( r ) _ y ( r ) 是一个全纯的万有覆盖，丌2 r ：v ( r ) - t ( r ) 是全纯的且有局部全纯截面 现设r 是任意的一个f u c h s 群，可能包含椭圆型元素，使得h r 是一个双曲型 r i e m a n n 曲顽我们仍使用第三节中的记号 定理4 定义g ：f ( r ) 一+ f ( r ) ，g ( 垂r ( p ) ，( ) = ( f ( 昕( 肛) ) ，h u ( ( ) ) 则g 是良定义的 全纯满射且有局部全纯截面并满足：l r r ，og=f o 丌r 证明：由推论1 可说明g 是良定义的引理2 和3 说明g 是全纯的，因为我们知 道f 是全纯的下面我们只要证明g 有局部全纯截面 1 0 t e i e h m i i l l e r 曲线的一个同构定理 弘b e r s 纤维空间和t e i c h m f i l l e r 曲线 考虑映射r r ( a ) ：m ( r ) - - 4 - f ( r ) ，r r ( o ) ( p ) = ( 虾( p ) ，叫”( o ) ) ，其中a h 是 一个固定点易知r r ( a ) 是全纯的满射且有局部全纯截面( 参考【b e l o ) ，显见， gor r ( a ) = r r ，( _ l l ( n ) ) 。h 所以g 有局部全纯截面 t e i e h m i l l e r 曲线的一个同构定理 5 定理1 和2 的证明 5 定理1 和2 的证明 在这一节中，我们来证明定理1 和2 我们继续沿用3 和4 中的记号因而设 r 是任意的f u c h s 群，使得x = 日r 是一个双曲型r i e m a n n 曲面r 是一个无挠 的f u c h s 群，h r = x f ：丁( r ) _ t ( p ) 和g ：f ( r ) - f ( f ) 是定理3 和定理4 中的映射 定理5 g ：f ( r ) _ + f ( r ) 可投影成一个连续满射g ：v ( r ) _ v ( r 7 ) 且有局部( 连 续) 截面，使得7 r 1r o g = g o7 r l r ，7 r 2 r ，。g = fo ? r 2 f 进一步地，g 把每个纤维 丌齐 r ( p ) ) 同胚的映到纤维丌茅( f ( 蚧( p ) ) ) 上 证明：设( 圣r ( p ) ，( ) f ( r ) ，y f 记口= p ，贝0 口( 7 ) ( g ( 垂r ( p ) ，0 ) = 口( ，y ) ( 圣r ，( 盯) ， “( e ) ) = ( 垂r ，( 盯) ，口( 7 ) 4 ( ”( ( ) ) ) ， g ( 7 ( 垂r ( p ) ，( ) ) = g ( 圣r ( p ) ，7 “( e ) ) = ( 西r ，( 口) ，h ”o7 “( ( ) ) 因为 日( 7 ) 4oh “= w 4o 口( 7 ) o ( w 9 ) 一1o h “= 埘4o 口( 7 ) oho ( w “) 一1 = w 4 o h 。，yo ( w “) 一1 = h “o w p 。7 。( w “) 一1 = h “。，y p ， 我们得到口( ，y ) ( g ( 外( p ) ，( ) ) = g ( 7 ( 畸( 卢) ，e ) ) 因此g ：f ( r ) _ f ( r ) 可以投影成 g ：v ( r ) _ v ( r ) 易知g 是连续的满射且满足7 r l r ，o g = g o7 r l r 和7 r 2 r ，o g = f 。7 r 2 r 因为g ：f ( r ) _ f ( f ) 有局部全纯截面，而7 f i f ，：f ( r ) - a tv ( r ) 是全纯的万有覆盖 映射，由7 r 1r fo g = g o7 r l r 我们可以得到g ：v ( r ) - v ( r ) 有局部( 连续) 截面 接下来要证明映射g 把每个纤维7 r 齐( 蚧( 弘) ) 同胚映到纤维7 r 2 - r 1 , ( f ( 垂r ( p ) ) ) 上 我们只要证明胪：甜“( 日) - - + w 。( 打) 诱导了黎曼曲面j 0 和x ，之间的一个同胚，其 中 x t , = 加“( h ) 叫“r ( “) 一1 ， j 0 = w 4 ( h ) w 。r ，( 叫。) 1 2 堡塑! 巴! ! 竺些塑盟二j ：旦堕塞塞竖塞墨! 塑! 笪堑塑 事实上，( 叫一) 一1 诱导了从扎到x = 驯r 上的一个同胚，h 诱导了从x = h r 到x = h r 的恒等映射，叫。诱导了从x = h r 到咒的一个同胚这些映射的 复合就是舻所诱导的映射 设f ( y ( r ) ) 是所有( t ，石) t ( f ) v ( r ) 中满足f ( t ) = ? f 2 r ，( z ) 的集合显然， f ( y ( r ，) ) 是t ( r ) 矿( r ，) 的子流形，设7 r l ：f + ( 矿( r ，) ) _ t ( r ) 和丌2 ：f ( 矿( r ) ) _ v ( r 】是自然投影，则它们是全纯的且有局部全纯截面 定理6 7 r 2 f g ：v ( r ) _ + t ( r ) v ( r ) 把v ( r ) 同胚映到f + ( y ( r ，) ) 上 证明：设f f 2 r g ( 口1 ) = 砌g ( ! 2 ) ，即，r 2 r ( m ) = 7 r 2 r ( y 2 ) ，g ( m ) = 9 ) 则可l 和抛 在7 1 2 r 的同一纤维上又由定理5 说明g 在7 r 2 f 每个纤维上是一一的，所以f f l = y 2 ， 即地r g 是单的 设( t ，。) f + ( r ，) ) ，则f ( t ) = 7 r 2 f ，( z ) ，即z 吒( f ( t ) ) 因为g ：丌暑( t ) _ + 7 r 暑( f ( t ) ) 是满同胚，则存在y 7 r 叠( ) 使得9 ( 可) = z 因此有丌2 r g ( p ) = ( t ，z ) 故 f f 2 r g 是满的 最后，因为丌2 r 和f 是连续的，所以他r g 是连续的要证明( 7 r 2 r 9 ) q 也是 连续的，只要证明砚r g 有局部( 连续) 截面这由g 有局部( 连续) 截面立即可以得到 定理1 的证明：易知v ( r ) 上最多有一个复流形结构使得自然投影 r l r ： f ( r ) _ + v ( r ) 是全纯的且有局部全纯截面因为地r g ：v ( r ) _ + t ( r ) y ( r ，) 把v ( r ) 同胚映到f ( y ( r ) ) 上，我们可以通过7 r 2 1 - 9 把f ( y ( r ，) ) 上的复流 形结构拉回来构成v ( r ) 上的复流形结构并把这个复流形结构称作v ( r ) 上 的自然复流形结构则丌2 r g 是v ( r ) 和f + ( y ( r ) ) 之间的双全纯映射因为 ( 7 r 2 r g ) o7 r l r = 7 r r ( 7 r l po g ) 是全纯的且有局部全纯截面，7 r i p ：f ( r ) _ + v ( r ) 是 全纯的且有局部全纯截面相似的，因为7 r 2 ro ( 丌2 r 9 ) _ 1 = 7 r 1 是全纯的且有局部全 纯截面，所以7 1 2 r ：v ( r ) - - ) t ( r ) 也是全纯的且有局部全纯截面 注2 ：在v ( r ) 的自然复流形结构下，g ：v ( r ) - v ( r 7 ) 是全纯的且有局部全纯 截面 定理2 的证明：设r l 和r 2 是两个f u c h s 群，使得驯r 1 和驯r 2 是两个共形 1 3 t e i c h m f i l l e r 曲线的一个同构定理5 定理l 和2 的证明 等价的双曲型r i e m a n n 曲面，且所。r 1 共形等价于所。f 2 选择两个无挠的f u c h s 群h 和e 使得驯r 。= h l r i ，h f 2 = h f 2 在自然复流形结构下，y ( r - ) 双 全纯等价于吖( y ( h ) ) ，v ( r 2 ) 双全纯等价于碍( y ( b ) ) ，其中日：t ( f i ) _ t ( r 1 ) 和局：t ( f 2 ) - 丁( 咒) 是忘记穿孔点的映射由定理b 知t ( f 1 ) 双全纯等价于 t ( r z ) ，t ( r j ) 双全纯等价于t ( r 1 ) 我们又知道y ( q ) 是双全纯等价于y ( r ) 的( 参 考 b e l o ) 所以日( v ( r i ) ) 双全纯等价于e ( y ( e ) ) 总之，v ( r t ) 与v ( f 2 ) 是双 全纯同构的 注3 ：从证明过程可以知道，三昂，r l 到h r ：r 2 之间的共形映射诱导的双全纯 同构v ( r 1 ) - - 4v ( r 2 ) 是保纤维的，即把”2 r 。的每个纤维映到7 r 2 f 。的相应的纤维上 与此相反，相应的结果对于b e r s 纤维空间并不成立除了某些特殊情形，当r t ，r 。是 有限生成的第一类f u c h s 群时，z h a n gf z h 】证明了保纤维双全纯同构f ( r ) _ f ( f 2 ) 是一个容许映射，特别地，r 。与r 2 之间一定有一个拟共形共轭，因而r ，的椭圆型元 素的阶和r 2 中相应的椭圆型元素的阶相同 1 4 墅! 些坐i ! 塑鱼塑鲍二尘旦塾! 宣堡窒鲞皇鲢 r e f e r e n c e 参考文献 【a h l 】a h l f o r s ，l v o nq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，j a n a l m a t h 3 ( 1 9 5 4 ) ，1 - 5 8a n d 2 0 7 2 0 8 【a h 2 】a h l f o r s ，l v t h ec o m p l e xa n a l y t i cs t r u c t u r e0 ，t h es p a c eo fr i e m a n ns u f f a c e 8 i na n a l y t i cf u n c t i o n s ，p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 6 0 ，4 5 6 6 【a h 3 】a h l f o r s ，l v s o m er e m a r k so nt e i c h m i i l l e r ss p a c eo ir i e m a n ns u r y a c e ，a n n m a t h 7 4 ( 1 9 6 1 ) ，1 7 1 1 9 1 a h 4 a h l f o r s ，l v q u a s i c o n f o r m a lr e f l e c t i o n s ，a c t am a t h 1 0 9 ( 1 9 6 4 ) ，2 9 1 3 0 1 a h 5 a h l f o r s ，l v f i n i t e l yg e n e r a t e dk l e i n i a ng r o u p s ，a m e r j m a t h ，8 6 ( 1 9 6 4 ) 4 1 3 4 2 9 ；8