（基础数学专业论文）一些数论函数的均值估计(1).pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 众所周知，数论函数的均值估计问题在数论研究中占有十分重要的位置，许 多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进展都必将 对数论的发展起到重要的推动作用! 本文研究了一些特殊数论函数的均值估计问题，以及它们与一些重要函数之 间的联系具体说来，本文的主要成果包括以下几个方面： 1 设o , k ( n ) 表示使得鲰( n ) + n 为k 边形数的最小正整数在第三章，我们 应用初等与解析相结合的方法研究了s m a r a n d a c h e 多角形函数的补数a k ( n ) 的 算术性质及其与一些常用数论函数的混合均值分布，并获得了一系列有趣的渐近 公式 2 整数的最大公因数理论在研究整数的性质中有着重要的作用在第四章 中，我们主要利用最大公因数的性质和最小公倍数的相关性质给出了工c m 比值 序列中t ( 5 ，竹) ，t ( 6 ，r l , ) 和t ( 7 ，n ) 的三个精确计算公式 3 设s ( n ) 表示满足n l m ! 最小的正整数m 在第五章，我们研究了兰掣的 算术性质，并利用初等和解析的方法得出了兰掣的一个渐近公式 关键词：f s m a r a n d a c h e 问题；s m a r a u d a c h e 函数；数论函数；多角形数；阶乘函 数；l c m 序列；均值；渐近公式 a b s t r a c t ( 英文摘要) a b s t r a c t ( 英文摘要) i ti sw e nk n o w nt h a tt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fn u m b e rt h e o r yf u n c t i o n s p l a y8 3 1i m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fn u m h e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t et om a n y f a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l d w i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n to fn u m b e rt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so f s o m es p e c i a ln u m b e r t h e o r yf u n c t i o n s ，r e l a t i o nw i t hs o m ei m p o r t a n tf u n c t i o n s t h em a i na c h i e v e m e n t s c o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 1 e ta k ( n ) d e n o t e st h es m a l l e s tp o s i t i v ei n t e g e rs u c ht h a to ( n ) + 1 9 , i sa p o l y g o nn m n b e r i nt h et h i r dc h a p t e r ，w em a i n l ys t u d yt h ep r o p e r t i e so fs m a r a n - d a c h ep o l y g o nn u m b e rb yc o m b i n i n ge l e m e n t a r ym e t h o d sw i t ha n a l y t i cm e t h o d s a sar e s u l t w eg o tas e r i e so fi n t e r e s t i n gm e a nv a l u ef o r m u l a eo fs m a r a n d a c h e f u n c t i o n s 。 2 t h eg r e a tc o m m o nd i v i s o r st h e o r yp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h en u m b e r t h e o r y i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w eu s et h ep r o p e r t i e so ft h eg r e a tc o l m n o nd i v i s o r s a n dt h el e a s tc o n l l u o nm u l t i p l et h e o r yt og e ts o m ef o r m u l ao ft h er a t i oo ft w ol e a s t c o m m o nm u l t i p l e 3 l e ts ( 礼) d e n o t et h es m a l l e s tn u m b e rms u c ht h a tni ，n ! i nt h i sc h a p t e r ， w es t u d yt h en l e a nv a l u eo fs m a r a n d a c h ef a c t o r i a lf u n c t i o n a n da ni n t e r e s t i n g a s y m p t o t i cf o r m u l a sa r eg i v e n k e y w o r d s ：f s m a r a n d a c h ep r o b l e m ；s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ；n u m b e rt h e o r y f u n c t i o n ；m u l t a n g u l a r ；f a c t o r i a lf u n c t i o n ；l c ms e q u e n c e ；m e a nv a l u e ；a s y m p - t o t i cf o r m u l a 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校玫 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：至焦指导教师签名：毯塞鳖 明年月日1 司年月多日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：乏扛l 网年玛f 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景与课题意义 数论，是研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支数论形成一门独 立的学科后，随着其他数学分支的发展，研究数论的方法也在不断的发展，现代数 论已经深入到数学的许多分支在我国，数论也是发展最早，成果最丰富的数学 分支之一 当自变量n 在某个正整数集合中取值，因变量y 取实数值或夏数值的函 数y = f ( n ) ，这种函数称之为数论函数，它们在许多数论问题的研究中起着非常 重要的作用尽管很多重要的数论函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均 值e ，( n ) 却体现出很好的规律性，因而数论中对数论函数性质的研究经常是在 n z 均值意义下进行的b n s 1 数论函数的均值估计是数论研究韵重要课题之一，是研究各种数论问题不可 缺少的工具罗马尼亚著名数论专家s m a m n d a c h e 教授【矧在( o n l yp r o b l e m s ， n o ts o l u t i o n s 一书中，提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题其中的许多问题与 一些著名的数论难题密切相关，这些问题中很多涉及到了均值估计对其中的一 些问题进行研究并给以一定程度上的解决，是有趣并有一定理论意义研究课题 。 基于对s m a r a n d a c h e 问题的兴趣，我们应用初等数论，解析数论等知识对他 提出的几个数论中未解决的问题进行研究，主要研究了数论中一些著名和式的均 值性质，以及它们与一些重要函数之间的联系，有关和式的一系列加权均值的渐 近公式 1 2主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了数论中一些著名和式的均值性质，以及它们与一些重 要函数之间的联系，有关和式的一系列加权均值的渐近公式，这些成果主要表现 在s m a r a n d a c h e 函数的均值问题，l c m 比值序列的计算公式以及一些新的数 论函数的均值估计等几个方面内容分布在第三章至第五章具体说来，本文的 主要成果和内容组织如下： 1 设a k ( 佗) 表示使得口k ( n ) + 1 7 , 为k 边形数的最小正整数在第三章，我们 应用初等与解析相结合的方法研究了s m a r a n d a c h e 多角形函数的补数a k ( n ) 的 算术性质及其与一些常用数论函数的混合均值分布，并获得了一系列有趣的渐近 公式 2 整数的最大公因数理论在研究整数的性质中有着重要的作用在第四章 中，我们主要利用最大公因数的性质和最小公倍数的相关性质给出了l c m 比之 序列中t ( 5 ，n ) t ( 6 ，n ) 和t ( 7 ，n ) 的三个精确计算公式 3 设s ( n ) 表示满足n i m ! 最小的正整数m 在第五章，我们研究了：掣的 第一章绪论 算术性质，并利用初等和解析的方法得出了掣的一个渐近公式 2 ；塑! ! 奎耋堡圭量堡堡圣 第二章预备知识 本章中给出一些后面要用到的基础知识主要定理及证明来自于文献【l 】和文 献 4 】 2 1 p e r r o n 公式 为了证明带余项的p e r r o n 公式，我们需要一个引理 引理2 1 ：设6 ，t 为正数一我们有 刍e 等如封。a b m ；m ( - ，志) ) 一 ，仁- ， 磊1 。， 扣b + 盯i ta 。s d s = 0 ( 扩二m ( ，习丢面) ) ，。 口 6 ：f 4 是以岛及 直线段口= b ，一t t t 组成由于0 口 1 ，所以g s 8 1 在这两围道内解析， 因而有 丽1 上f 。了a s ? = o ，j = 3 ，4 同前面完全一样估计相应线段上的积分( 注意到这时o n 0 ，b o2 印+ b ，t 1 及z21 时有： 。 n 二。正整数时， 口( n ) n 1 n 盯 盯b ，所以可逐项积分，再利用引理2 1 的 式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 得 去e 埘s ，等幽 其中 ；妻a 旷“丽1 1；a 旷“丽 n = l ；a ( n ) 佗- 椰+ o ( 固， 畦o ( i ) 5 譬 r = 塾咖m ( ；) 6 m i n ( ，币b ) r = 1 0 ( 哟! 旷。( i ) 。1 1 ，币知) n = i = + + n 曼考詈 n _ 2 z ( 2 7 ) ( 2 8 ) 对右边第一，第三个和式有估计： 薹+ 互；p 旷卜。+ ；三似删旷h n s 詈 n 知 一n 考 ”s 缸 。享b ( b + m ( 2 9 ) 对第二个和式有估计： 。z 哪( 熹) 血n ( - ，高) n 缸 5 垒 + 一 p 下 b 一 一_、，一 加筝 第二章预备知识 利用不等式 + z 1 喇；三( i ) 曲( - ，志)署( n 尚，a 吐 仁 及n 一 z n + 可得 类似可得 毒丕南s ；。暑一。去 。i l l z x r l _ 由些及式( 2 1 4 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 可得 。 b o , a ox - a 。h 血n ( ，赢) x 因为l ，( n ) i 收敛，所以当z o o 时，右边的最后一个和一o 所以 当z 0 0 时，有p ( x ) - + ，( n ) 当级数a n 绝对收敛时，无限乘积l i ( 1 + a n ) 也绝对收敛所以有 i ，( p ) + ，( p 2 ) + l ( i f 如) l + l f ( p 2 ) l + ) l ，( 孕) p 立匹o n = 2 由于所有部分和都是有界的，所以级数 i f ( p ) - t - f ( p 2 ) + p 收敛这就证明了式( 2 1 8 ) 中的乘积绝对收敛 最后，当，是完全积性函数时，有f ( f ) = ，( 力“并且式( 2 1 8 ) 右边的每个 级数都是收敛的几何级数，其和为( 1 一，( p ) ) 2 3 欧拉求和公式 下面介绍后面要频繁用到的欧拉求和公式，即下面的： 定理2 3 ：设，在区间妇，叫上连续可微，其中0 y z ，则有 ，z ，( n ) = f ( t ) d t + o 一 t 1 ) f ( t ) d t y n x j ，j v + ，( z ) ( m z ) 一，( y ) ( 阻】一v ) ( 2 1 6 ) 证明：令m = m ，奄；m ，则有 ，n，t i t l f ( t ) d t = ( 礼一1 ) f ( t ) d t = ( n 一1 ) ，( 仃) 一，( n 一1 ) ) j n - 1j n - 1 = n f ( n ) 一( n 一1 ) f ( n 一1 ) ) 一，( 礼) 从，l = m + 1 到n = 七求和，则有 r k f 纠，( t ) 出= n ，( n ) 一n - 1 ) f ( n - - 1 ) 卜，( n ) o ” n = m + ly n s x 8 西北大学硕士学位论文 = k ( k ) 一m f ( m ) 一，( n ) i v n 女 所以有 ，七 。 ，( n ) = 一 t l f 他矽+ 七，( 后) - - m r ( m ) v n z 。” = 一吲，7 0 ) 彬+ k f ( x ) 一m ，0 r( 2 1 7 ) 一v 分部积分，则有 f 肛州乒洲沪r 砒 结合上式及( 2 2 1 ) ，就得到式( 2 2 0 ) 2 4 阿贝尔恒等式 下面介绍后面要用到的阿贝尔恒等式，即下面的： 定理2 4 ：对任一数论函数8 ( n ) ，令a ( z ) = n ( n ) ；其中，a ( z ) = 0 ，当z 1 时，假设，在区间b ，叫有连续导数，其中0 y 1 ；k - f t - 整数口，有渐近公式 坼t 五) ) = 亟产z 2i ：i 南+ o ( k x 尹5 ) n 3 $纠。 中如( 礼) 定义为如果n 0 ，那么如( n ) = 瑚x d n ：d i ，l ，( d ，a ) = l 反之， 如果n = 0 ，那么矗( n ) = 0 定理3 3 ：对于任意给定的正实数。z 1 ，有渐近公式 妒( n k 机) ) ：衄7 r 2 z ；+ 0 ( k x i n z ) n s 2 其中妒( n ) 表示在1 ，2 ，3 ，竹中与7 l 互素的整数个数 3 2几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面几个引理首先有 引理3 1 ：对任意给定的正数z 1 和o t 0 ，我们有渐近公式 扎n = 筹+ 0 ( 碉 n 蔓# 证明参考文献【1 1 】 1 1 第三章与s m a r a n a d a c h e 多角形数的补数有关的均值 嘶) = ；耳南+ d g 扣) “s 2 刮4 其中矗( n ) 定义为如果n 0 ，那么以( n ) = m a x d n ：dit l ，( d ，n ) 二l 反 之，如果扎= 0 ，那么以( n ) = 0 n ，h 表示对所有满足pi 口的素因子p 求积 为任意给定的正数 证明：对复变量s = 6 + i t ，设，( s ) = 名1 掣注意到以( n ) ，l 所以 当m ( s ) 2 时d i r i c h l e t 级数f ( s ) 绝对收敛由矗( n ) 的定义及e u l e r 乘积公 式，得到 m ，= 耋学 = 耳( t + 学+ 警+ 警+ ) 2 暴( + 警+ 警+ 警叫 娶( ，+ 警+ 警+ 警 2 瓢( t 歹1 + 万1 + 万1 + ) ，槊( ，+ 歹p + 骞+ 骞+ ) = 骢( 南) 囊( 南) 刮s 叫翠( 筹) 砂，= 熹z 叫骡c 舞，知。( 芋) 其中为任意给定的正数 现在把上式的积分线从l 士i t 移到士i t 这时s = 2 是函数( s 一 1 ) r l ，l 。( 舞) 譬的_ 阶极点，且留数为譬i - i p 。南因此 熹c z ：+ 名= + 广+ i t 誓+ z = s 叫暴c 筹弓如 西北大学硕士学位论文 2 i x 2 骷而p 注意到估计式 i 去c 石+ f 2 + i t 如叫拶两1 2 - - p ，l 芋 和 i 丽1 ( 峥2 - 盯i t m 州驻舞) 等眯加 取t = - x 结合上面四个估计式很容易得到 以( 垆等南+ d ( z ；托) n 1 ，我们有渐近公式 妒( n ) = 嘉护+ d 扛i n q r 2 z ) 厶r 、。， 一、7 n s z 证明参考文献【1 1 】 3 3 定理的证明 现在我们给出定理3 1 的证明首先在给定后角数的补数毗( t 1 ) 之后，那么 对任意给定的一个正数z 1 ，则z 一定介于两个相邻的k 角数之间即就是存 在一个正整数m 能够满足s ( m ，女) z s ( m + 1 ，七) 则f ha k ( n ) 的定义有 a k ( o n s 2 = o t ( n ) + a k ( n ) 仁ls ( s ，七) s n s ( j + l ，耐 s ( m 膏) s n ( o = ( o + 1 + 2 + 3 + + 一2 ) s ) + o ( k 2 m 2 ) m - 1 = ( i ( 奄一2 ) 2 s 2 + ；( 七一2 ) s ) + d ( 女2 m 2 ) m - 1 m - 1 = ( ；( 七一2 ) 2 s 2 ) + ( ；( 一2 ) s ) 十d ( k 2 m 2 ) 1 m - 1 1 m - 1 2 ；( k - 2 ) 2 s 2 + ；( 一2 ) s + 0 ( k 2 m 2 ) = 1 = 1 = ( k - 2 2 ) 2 6 1 m ( 、m j ) ( 2 m 一1 ) + k 丁- 2 互1 m ( 时一1 ) 十。( 驴肘2 ) = 学埘+ o ( 脚：) - 注意到s ( m k ) z 罗( m 十1 ，女) ，即 ；( 2 m + ( 七) m ( m - 1 ) ) ：；( 2 + 1 ) 十( k 7 2 ) ( m + 1 ) + l 一1 ) ) 则， m = 志瓶刁万面+ o ( 1 ) n 上式代x - 个式子中，我们就有 a k ( , o n l ，设m 是能够满足s ( m ，) z s ( m + i ，七) 的正整数则由矗( 7 1 ) 的定义及引理3 2 有 以( n t ( n ) ) = 以( 钆( n ) ) + ，屯( 船( n ) ) = 以( i ) + d 舻m 2 ) = 喜( 学暴南帅妒+ 。) ) + o ( 幽 = 学m 3 南+ o ( ( 嘲l 托) 西北大学硕士学位论文 综合以上的结果，我们得到了 删= 鳢z 2 耳南+ d ( ( 埘 押) n s 纠d 于是，就完成了定理3 2 的证明 定理3 3 的证明同定理3 1 ，类似地，我们有 p ( o k ( n ) ) n o m - 1 = 妒( 毗( n ) ) + 妒( o k ( 扎) ) ，= 1s ( s ，知) s n s ( j + l ，k ) s ( 不七) n z m - 1 = 妒( i ) + d ( k z m 2 ) = 学：m ( m - 1 ) ( 2 m - 1 ) + o ( ( 2 l n ( k m ) 2 ) ：堡 箬m 3 + o ( ( 蟊m ) ：i n ( k m ) ：) ；学z ；十d ( z l n z ) 第四章s m a r a n a d a c h el c m 比值序列的计算 第四章s m a r a n a d a c h el c m 比值序列的计算 4 1 引言 对任意正整数n 和r ，s m a r a n a d a c h e l c m 比值序列t ( r ，竹) 表示的是n ，n + 1 ，n + 2 ，n + r 一1 的最小公倍数与1 ，2 ，r 的最小公倍数的比值即， t ( r ，扎) ：虹等# l 。，j 例如当r _ - - 2 1 时，t ( i ，礼) = ，i ；当r 2 时，t ( 2 ，n ) = 旦出，s m a r h n a d a c h e l 建 议我们研究此数列的性质 关于t ( r ，1 ) 的性质，乐茂华【3 2 】给出了t ( 3 ，n ) 和t ( 4 ，扎) 至于该序列的其 他算术性质，目前据我所知还没有本文计算了该函数在r = 5 ，r = 6 ，r = 7 时 的值，并给出了下面的定理 定理4 1 ：对任意的正整数，l ，我们有 如果n 兰0 ，8r o o d1 2 , 神么 t ( 5 ，n ) = 面1 ( 凡m + 1 ) i 扎+ 2 ) ( n + 3 ) + 4 ) ) 如果n 兰2 。6m o d1 2 , 那么 t ( 5 ，n ) = 丽1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ) ， 如果h e3 ，5 ，9 ，1 1m a d l 2 , 那么 t ( 5 ，n ) = 丽1 + 1 ) + 2 ) m + 3 ) ( n + 4 ) ) ， 如果，l 三4 脚d1 2 , 那么 t ( 5 ，n ) = 丽1 + 1 ) + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ) ， 如果川三1 0m o d1 2 , 那么 t ( 5 ，n ) = 丢1 面+ j ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ) 定理4 2 ：对任意的正整数n ，我们有 如果n 兰0 1 5m o d2 0 , 那么 t ( 6 ，n ) = t - 南o o ( n ( n + 1 ) m + 2 ) + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) ) 1 6 西北大学硕士学位论文 如果n 兰1 ，2 ，6 ，9 ，1 3 ，1 4 ，1 7 ，1 8m a de o , 那么 t ( 6 ，n ) = 丽1 ( n m + 1 ) m + 2 ) ( n + 3 ) + 4 ) m + 5 ) ) 如果n 三5 ，1 0m a d2 0 , 那么 t ( 6 ，n ) = 去( n m + 1 ) ；2 ) + 3 ) m + 4 ) m + 5 ) ) 如果佗兰3 ，4 ，7 ，8 ，1 1 ，1 2 ，1 6 ，1 9m a d 弛那么 t ( 6 ，口) = 志( n + 1 ) m + 2 ) + 3 ) m + 4 ) + 5 ) ) 定理4 3 ：对任意的正整数n ，我们有 如果n 三0 ，2 4 ，3 0 ，5 4m a d6 0 , 那么 t ( 7 ，佗j = 3 0 - - 去o ( n m + 1 ) ( n + 2 ) + 3 ) ( n + 4 ) + 5 ) ( n + 6 j ) 如果n il ，1 3 ，1 7 ，3 7 ，4 1 ，5 3m a d6 0 , 。那么 t ( 7 ，礼) = 赤( n ( 佗+ 1 ) ( n + 2 ) m + 3 ) 加+ 4 ) ( 5 ) m + 6 ) ) 如果n 兰2 ，8 ，1 6 ，2 2 ，2 6 ，2 8 ，3 2 ，3 8 ，4 6 ，5 2 ，5 6 ，5 8m a d6 0 , 那么 t ( 7 ，n ) = 丽1 ( n m + 1 ) ( n + 2 ) ( 付+ 3 ) m + 4 ) m + 5 ) m + 6 ) ) 如果扎三3 ，2 7 ，5 1m a d6 0 , 那么 t ( 7 ，砷= 厕1 ( n m + 1 ) m + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) 如+ 5 ) ( 佗+ 6 ) ) 如果n 三4 ，1 0 ，1 4 ，2 0 ，3 4 ，4 0 ，4 4 ，5 0m a d6 0 , 那么 t ( 7 ，n ) = x t s 0 0 ( 扎m + 1 ) + 2 ) ( 竹+ 3 ) ( ，l + 4 ) ( 佗+ 5 ) ( n + 6 ) ) ) ， 如果n 三6 ，1 2 ，1 8 ，3 6 ，4 2 ，4 8m a d6 0 , 那么 t ( 7 ，n ) = 丽1( 礼( ，l + 1 ) + 2 ) + ? ) + 4 ) m + 5 ) m + 6 ) ) ， 如果n 三7 ，1 1 ，2 3 ，3 1 ，4 3 ，4 7m a d6 0 , 那么 t ( 7 ，礼) ；i 面1 丽( n ( n + 1 ) + 2 ) ( n + 3 ) m + 4 ) + 5 ) m + 6 ) ) 如果n 三9 ，2 5 ，2 9 ，4 5 ，4 9 ，5 6m a d6 0 ，那么 t ( 7 , n ) = 而1 丽( n ( n + 1 ) ( n + 2 ) + 3 ) ( 礼+ 4 ) ( n + 5 ) ( 礼+ 6 ) ) ， 如果n 兰1 5 ，3 9m o d6 0 , 那么 t ( 7 ，礼) = 志( 扎+ 1 ) m + 2 ) 伽+ 3 ) + 4 ) m + 5 ) + 6 ) ) 如果n i1 9 ，5 5 ，5 9 ，3 5m o d6 0 ，那么 t ( 7 ，礼) = 丽1 ( n ( 佗+ 1 ) ( n + 2 ) ( n + 蜘+ 4 ) ( 礼+ 5 ) ( 礼+ 6 ) ) 如果n 兰2 1 ，3 3 ，5 7m o d6 0 , 那么 t ( 7 ，n ) = 志( 咖+ 1 ) ( 礼+ 2 ) ( 钆+ 3 ) ( n + 4 ) ( 礼+ 5 ) ( n + 6 ) ) 4 2 几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面几个引理 弓l 理4 1 ：对任意的正整数。和b ，如果我们用【n ，b l 和( 口，b ) 分别表示口与6 的 最小公倍数和最大公因数，那么( a ，6 ) k6 】= o h 引理4 2 ：对任意的正整数t 和善1 ，z 2 ，瓤，如果正整数s t ，我们就有 ( x l ，z 2 ，x t ) = ( ( z 1 ，z j ) ，( z 叶l ，x t ) ) 和 k l ，现，魂】= 【p l ，i r a 】，陋卧1 ，觑| 】 引理4 3 ：对任意的正整数n ，我们有 r c a ，= 囊：譬：若譬：；譬：茎：当n n 三= - 0 1 m 2 甜m o ，d 时$ 时； 引理4 1 和引理4 , 2 的证明见参考文献| 3 1 ，引理4 3 的证明见参考文献【1 】 4 3 定理的证明 现在我们给出定理4 1 的证明从最小公倍数的定义以及性质，我们就可以 得到： i n ，1 , + 1 ，n + 2 ，n + 3 ，n + 4 】 = 【h ，凡+ 1 ，n + 2 ，f l , + 3 1 ，札+ 4 1 ：堕! ! ! ! ! ! ! 兰! j 兰生 ( 【n ，礼+ 1 ，n + 2 ，7 , + 3 】，n + 4 ) 考虑到【1 ，2 ，3 ，4 ，5 1 = 6 0 ，【l ，2 ，3 ，4 】= 1 2 以及 心 i 陋 n + 1 n + 2 ，n + 3 j ，礼+ 4 ) 2 1i；， 从而根据引理4 3 我们就可以证明定理4 1 定理4 2 的证明因为 如果n 三0 ，4 r o o d1 2 ； 如果n 三1 ，3 ，5 ，7 ，9r o o d1 2 ； 如果礼兰2 m o t 1 2 ； 如果n 三6 ，1 0 r o o d l 2 ； 如果n 三8 r o o d l 2 ； 如果n 兰1 1 r o o d l 2 h ，n + 1 ，几+ 2 ，n + 3 ，竹+ 4 ，n + 5 】 = 【h ，f l + 1 ，竹+ 2 ，竹+ 3 ，n + 4 】，n + 5 】 = 躲岩蔷篇篇( h ，n + 1 ，n + 2 ，n + 3 ，+ 4 】，n + 5 ) 又因为【1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 1 = 6 0 ，【l ，2 ，3 ，4 ，5 1 = 6 0 及 而 ( h ，n + 1 ，n + 2 ，n + 3 ，n + 4 】，1 1 + 5 ) 如果n 三0 ，2 0 ，3 0 ，5 0m o d6 0 ； 如果n 三1 ，1 3 ，3 1 ，4 9r o o d6 0 ； 如果n 兰2 ，6 ，8 ，1 2 ，1 4 ，1 8 ，2 4 ，2 6 ，3 2 ，3 8 ，4 2 ，4 4 ，4 8 ，5 4 ，5 6m o d6 0 ； 如果几兰3 ，1 1 ，2 3 ，2 7 ，3 9 ，4 7 ，5 1 ，5 9m o d6 0 ； 如果t i , 兰4 ，1 6 ，2 2 。2 8 ，3 4 ，4 6 ，5 2 ，5 8 m o d6 0 ； 如果n 兰5 ，4 5 m o d6 0 ； 如果，l 三9 ，1 7 ，2 1 ，2 9 ，3 3 ，4 1 ，5 3 ，5 7m o d6 0 ； 如果n 三1 0 ，4 0 m o d6 0 ； 如果f l 三1 5 ，3 5 m o d6 0 ； 如果n 三7 ，1 9 ，3 1 ，4 3 m o d6 0 ； 如果让兰2 5 r o o d6 0 ； 如果n 三5 5 r o o d6 0 h ，n + l ，佗+ 2 ，n + 3 ，n + 4 ，n + 5 ，付+ 6 1 = 【h ，n + l ，n + 2 ，n + 3 ，行+ 4 ，n + 5 】，n + 6 1 = 嬲岩鼍蓑簧搿 ( 陋，n + 1 ，礼+ 2 ，n + 3 ，n + 4 ，n + 5 】，n + 6 ) 注意到【1 ，2 ，3 ，4 5 ，6 ，7 】= 4 2 0 ， 和 最氐l钆墨m互蠊觋也 ( 加，n + 1 ，n + 2 ，n + 3 ，礼+ 4 ，n + 5 】，n + 6 ) 6 ，如果n 兰0 ，1 2 ，3 6 ，4 8 m o d6 0 ； 1 ，如果n 塞1 ，5 ，7 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，2 3 ，2 5 ，3 1 ，3 5 ，3 7 ，4 1 ，4 3 ，4 7 ，5 3 ；5 5 r o o d6 0 ； 4 ，如果n 兰2 ，1 0 ，2 2 ，2 6 ，3 8 ，4 6 ，5 0 ，5 8 m o d6 0 ； 3 ，如果n 妄3 ，1 5 ，2 1 ，2 7 ，3 3 ，4 5 ，5 1 ，5 7 m o d6 0 ； 1 0 如果疗- - - - 4 4 4 m o d6 0 ； 1 2 ，如果n 暑6 ，1 8 ，3 0 ，4 2 r o o d6 0 ； 2 ， 如果，l 毫8 ，1 6 ，2 0 ，2 8 ，3 2 ，4 0 ，5 2 ，5 6m o d6 0 ； 1 5 ，如果n 基9 3 9 r o o d6 0 ；。 2 0 ，如果，l 兰1 4 3 4 m o d6 0 ； 5 ，如果扎兰1 9 ，2 9 ，4 9 ，5 9m o d6 0 ； 3 0 如果7 1 , 塞2 4 m o d6 0 ； 6 0 ，如果n 兰5 4 m o d6 0 因而我们可以从定理4 1 的结论得到定理4 2 ，同理又可以证明定理4 3 西北大学硕士学位论文 第五章s m a r a n d a c h e 阶乘函数的均值 5 1 引言 对任意的正整数仃，我们令s ( n ) 表示最小的正整数m 使得f , im ! 如果我 们知道了竹的素因子分解式西1 砖2 赡k ，啦21 ，l = 1 ，2 ，k 的正整数很容 易由s ( n ) 的定义，我们得到下面的等式 。 s ( n ) 2 1 m 砌a xl s ( n 9 ) ) 。 关于这个数论函数，许多学者都研究过它【3 1 1 ，并且得到了许多好的结果在这篇 文章里，我们将讨论关于s ( n ) - 7 个和式的均值即就是证明了： 定理5 1 ：对任意实数o 2 ，有渐近公式 警= 萼i n i n z + c + o ( 击) n y 这里c 为一个常数 5 2 几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面的引理 引理5 1 ：对于二个正整数“，设p ( n ) 表示n 的最大素因子且p ( n ) - ，l 的素因子分解式为佗= 硝1 西2 一张p ( n ) ，那么我们就有 p ( n ) = s ( n ) 证明：从正整数n 的素因子分解式p 口1 砖2 露p ( n ) ，我们可以由题设得到 西1 谬碚 何 p ( n ) 又因为 p 口ip ( 札) ! ，ti1 ，2 ，3 ，知 所以n i p ( n ) ! 但是p ( n ) f ( p ( n ) 一1 ) ! ，因此我们就有 p ( n ) = s ( n ) 这就完成了引理5 1 的证明 引理5 2 ：设p 是素数，则对任意的大于等于2 的实数z ，我们有下面的估计式 三p 兰乩h z + a + 。( 志) 怠 m z 其中a = 1 一l n l n 2 + j 尹茄兽严出，r o ) = o ( 1 ) 证明：见参考文献【6 】 第五章s m a r a n d a c h e 阶乘函数的均值 5 3 定理的证明 这节我们利用引理来完成定理的证明为了证明的方便，我们分别作出两个 集合a 和b a = 扎i n z ，p ( n ) 、n ) b = 扎i ”z ，p ( 动 、元) 现在我们将分别在集合a 和b 上计算罨竽 对任意一个属于集合a 中的数，l ，一存在一个素数p 和正整数m ，满 足p 兰何2 m ，使得n = r a p 所以 r 型 忽舻 ：f s ( m p ) 乏( 唧) 2 一互南 二互而1 2 纛嘉。萎鲁；1 2 磊嘉善；一磊丽1 未；1 注意到 ， f 兰l n l n m 怎p 因而在上面的和式中，第2 部分 曼丽1 刍；1 = m 壹= l 刍p _ m f ；+ 。( 警) 收敛于一个常数，所以我们只需要计算第1 部分的值 磊丽1 毳；1 所以 而 2 曼嘉( h h 砉+ a + 。( 南) ) 2 磊嘉l n c m 岫小口磊嘉+ 。( 嘉志) 5 三嘉( h z ( ，一警) ) + q + 。( 击) + 。( 志) 2 曼扩17 磊扩1 ( t 一警) - 岛+ 。( 击) = 萼h 吵。( 警) + 。睦嘉警) 0 | ( 击) 1 6i 1 n z + q + d ( 志) 现在，我们定义s ( 矿) = 1 m i a x k i s ( 。9 ) ) ，则在集合b 上有1 、4 b s ( n ) z - s ) 叩v 石l n n 是收敛的，所以 三学鲁耋v - n n l 。n n + 。( 等)n s z忙1 、v 一7 v - 元l n n 鲁n 2 ”b ，薹警；耋警十。( 害) = 岛+ 。( 赛) n e b n e b 结合集合a 和b 上的情况，就完成了定理的证明 我们也可以用类似的方咎处理形如罨是任意的正整数) 和式的均 值 ”如 第六章小结与展望 第六章小结与展望 在o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) 一书中，罗马尼亚著名数论专 家f s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题本论文主要研究 了其中的几个问题，用自己的方法得出了一些结果其中，在第三章主要论述了一 般k 角形数的补数部分的混合均值，其结果具有一般性但是其结果还不够理想 在第四章我们给出了l c m 比值序列的三个精确计算公式反映出了该序列一 定的性质但是随着r 的增大，计算将会更加复杂，如何找到一个好的近似公 式，是有待于日后我们继续研究的问题 西北大学硕士学位论文 参考文献 【1 】1t m a p o s t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r k 唱，1 9 7 6 f 2 1j o z s e fs a n d o r ，o na l lg e n e r a l i z a t i o no ft h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，n o t e s n u m b t h d i s c r m a t h 5 ( 1 9 9 9 ) ，p p ，4 1 5 1 【3 】潘承洞，潘承彪哥德巴赫猜想北京：科学出版社，1 9 8 1 【4 】潘承洞，潘承彪初等数论北京：北京大学出版社，1 9 9 2 【5 】潘承洞，潘承彪解析数论基础北京：科学出版社，1 9 9 9 1 6 1m e l v y nb n a t h a n s o n ，e l e m e n t t a r ym e t h o d si nn u m b e rt h e o r y n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，2 0 0 0 【7 】k g r i c h a r d ，u n s o l v e dp r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 4 。 8 1c h a r l e sa s h b a c h e r o 枷e e t i o no fp r o b l e m so ns m a r a n d a c h en o t i o n sf m l e r - h a su n i v e r s i t yp r e s s ：v 撕1 1 9 9 6 9 1k r a s s i m i rt a t a n a s s o v o ns o m eo ft h es m a r a n d a c h e sp r o b l e m s 【m 1 r i s e r - i c a nr e s e a r c hp r e s s ：l u p t o n a zu s a 1 9 9 9 f 1 0 k e