（基础数学专业论文）r（l）型诱导空间的性质与表示定理.pdf

皇f 墨! ：型堡呈窒塑箜竺堕皇莛至奎堡 r ( l ) 一型诱导空间的性质与表示定理 研究生：卢立才 指导教师：谢琳 擘科专业：基础数学 摘要：利用r ( l ) 一型诱导拓扑空间的概念，证明t r ( l ) 一型诱导拓扑空 间( 咒( l ) 5 ，u ( 6 ) ) 是g ( z = ，盯) 可数的，丑( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 分离的，( 良) 仿 紧的当目仅当拓扑空间( ，6 ) 是g 0 = i ，盯) 可数的，五0 = l ，2 ，3 ，4 ) 分离 的，( 良) 仿紧的即这些性质是r 池) 的良好推广我们又证明了f 格“工) ， 冗( 工) ，i o ( 工) - 与q ( l ) i f j 构，并且证明了拓扑空间( r ( 工) x ，1 d ( 6 ) ) 与( q ( 上) x ， u o ( 6 ) ) 是同胚的 关键词r ( l ) 型诱导拓扑空间；g ( t = i 盯) 可数的；丑0 = l ，2 ，3 ，4 ) 空 间：( 良) 仿紧空间 1 引言 1 9 6 8 年，c l c h a n g 以la z a d e h 的f u z z y 集理论为骨架，引入了f u z z y 拓扑空 间的概念，并把诸如开集、闭集、邻域等基本概念推广到f u z z y 拓扑空间中去开始 了人们对f u z z y 拓扑空间的研究此后f u z z y 拓扑学迅速发展 诱导空间是l f - 拓扑学中类很重要的空间诱导拓扑空间的概念是 由m d ，w e i s s 6 t 中引入的并且研究了它的性质例如可数性、分离性、仿紧性 等并且n ：证明了这些性质是工好的推广 h u t t o n 在文f 8 1 中引进的l 一单位区间是实直线上单位区间j 的一般化，1 9 8 4 1 9 8 7 年，“堍o r 柏文【9 】，【1 0 】，【1 l 】中研究了j ( l ) 一f u z z y 集以及j 陋) 一拓扑空间的许 多性质并l 4 引入了由l 一拓扑空问诱导的( 上) 一拓扑空问的概念，证明了三一拓扑空 间是正规的当且仅当它诱导的，( l ) 一拓扑空问是正规的在随后的几年中，王戈、i i 教 l r ) 型诱导空间的性质与表示定理 授在f 2 3 1 ，1 4 】，f 5 】中研究了( l ) 一拓扑空间的些性质证明了函子u 保笛卡儿乘积 与一紧性我们可以看出，( l ) 一拓扑空间蕴涵y l f 一拓扑空间但是从j ( l ) 一拓扑 空间的定义中我们会发现，( 工) 中的元是由r 到l 的递减映射集与等债类“一”构成 的商集构成一f 格它要求 s 1 ， ( s ) = 0 我们的问题是如柴不加条件f j ) 的限制，是否也可以得到一个类似的诱导窑同 呢? 它的性质又会是什么样子的呢? 刘智斌博士在文f 1 4 1 中引入t r ( l ) 型诱导空问的概念，并且讨论了它的 一些基本性质本文按照1 1 中定义的可数性、分离性和仿紧性得出了本文的主 要结论即如果五b 拓扑空闷是q “= l ，2 可敷的，五0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 赍离的，( 嶷) 仿紧的当且仅当它所诱导的r ( 上) 一拓扑空间是o ( i ；i = i ，) 可数的，正“= 1 ，2 ，3 ，4 ) 分离的，( 良) 仿紧的即这些性质是r ( 厶) 一的良好推广由f l3 1 ， 1 4 1 的讨 论我们发现，j 池) 拓扑窄间与r ( 三) 拓扑空问有着惊人的相似之处，那么它们二 者之闻是否存在某种联系昵我们g l 入了，o ( 三) 与0 ( ) 的概念又进一步给证明 了f 格j ( l ) ，r ( 工) ，j o ( l ) 与口旺) 是同构的我们又给出y a ( l ) 一型拓扑空间的表示 定理，即( r ( ) x ，。( ) 与( q ( ) 3 ，“均( 6 ) ) 同胚 2 基本概念与基础知识 文中l 是f 格，即具有逆台对应的完全分配格设r 是实直线，考虑满足f 别 条件的映射 a 。r 一三，协t 辛a ( s ) 冬a ( t ) 以记这种映射韵全体对任给的a ，t r 规定 a ( t + ) = v a ( s ) i s t ) ， o 一) = a ( s ) i s ，则存在8 0 ( t ，s ) ，8 0 ( 有a ( s o ) ( 5 ) 故v 。 c ，。口a ( s ) v a t a ( s ) ，所以a ( 亡+ ) = v 。 ( s ) v ，口、， a p ) ，所以，a ( + ) = v 。 q a ( s ) 同理可证a 0 一) = a 。 o ) ，称s 聊4 为a 的承集a 称为 是准分明的，如果存在a l ，。o 使得a ( 嚣) o 当且仅当a 扛) a 对于任意 的。x 成立又设p ，如果对于任意静芏x ，当a ( $ ) o 时a ( 岱) p ( z ) ，则 称p 为a 的闭远域这时如果0 茎p ，则称q 为a 的远域a 的一切远域和闭远域之集 分别记为q ( a ) 与q 一( a ) 7 9 y 之2 ，8 1 1 4 】定义映射+ ：l x _ r ( l ) x 如下，任取1 l x ，zex ，t r 有 7 + ( 。) ( t + ) = 7 ( z ) 又对任意的t r ，定义映射f ：x r ( l ) 血i 下： 缸洳小tl ，警 对任意的a ) 与t r ，定义k ，。为 2 ：譬 注：当为o o 时，记 酣为a 。 定理2 9 为r ( 工) 中并即约当且仪当存在q m ( 上) ，t r 使得a = a 引 证明：必要性若存在q ( 三) # 冠使得a = a “，若存在“瞰) ，且 a 叫= pv ，则南a 。，f 的定义知，当s 序目t l ，t 2 r 满足1 ( t o + ) r 似) 以诱导空间的性质与表示定理 令 f 九t t o p = 1ot t 。 小，= ；。嚣 则易见a = p v 且a 肛，a p 这与a 是非零的并即约元矛盾 第二种情况： 若 在每一点都是连续的，t l t t 2 则 ， 屯 ( s ) = ( t 2 一) = a ( t 2 ) = 卢 t 。a ( s ) 因此存在t a ( t l ，幻) 和1 l ，使得a ( 如) = 7 且卢 t 雎z ) ( s ) ) = ( v 。 t 灿! ( 。) 如) ) a ( v 。 t p 。( z ) ( 5 ) ) a - - ( v 。) p 。( z ) ( s ) ) = v 。 t v s l t v s 。 c ( p l ( z ) ( s 1 ) p 2 ( z ) ( 5 2 ) a 一- t a ( ) ( s 。) ) 令s o = m i n s ，1 ，2 ，一，n ，则，t t ( ：，芦 ( z ) ( 抖) ) = ( ：j 雎( 。) ( + ) ) = 盯t ( ：，( z ) ) l j l l & j 巩( 肚，) o t ( a i ，p ，) 另一方面，对任给的x ，o - t ( 涮m ) ( 茁) = ( a 。，m ( ) ) ( t + ) = v ， t ( a i j p 。( z ) ( s ) ) a i ，( v 。 肛，( ) ( s ) ) = ；j ( v 。) p 。( z ) ( s ) ) = a i ，p ：( 。) ( 十) = a i j 仉( p e ) ( z ) 综上所述得吼( 胁) = 几，毋( m ) f 2 ) 由( 1 ) 和定理1 8 及d e m o r g a n 对偶律得 ( 3 ) 设 m l x ，j 是任意指标集对任给的茁x ，r ，( v i e ，饥) + 恤) ( t + ) = v 叫m ( ) = v 划臂( z ) ( 抖) = ( v ；，臂) ( z ) ( t + ) 所以( v ( z ，) 仉) + = v 划w 同理可证 保任意交 推论2 1 4 ( 1 ) xr 所有r ( l ) 一值f 半连续函数对任意井和有限交封闭 6 月忆1 一型诱导空间的性质与表示定理 ( 2 ) x 上所有r ( l ) 值上半连续函数对任意交和有限井封闭 定义2 ，1 5 设( 工。，5 ) 是l f 拓扑空问，x 上所有r ( l ) 值下半连续函数构 成互上的拓扑，叫做兄( l ) ，珏z g 分上的拓扑记为“( 记该拓扑空间为( 兄( 工) x ，w ( 6 ) ) 称为( 工。，6 ) 诱导的r ( l ) 一型诱导卒问 定理2 1 6 1 1 4 】设( 三。，6 ) 是l p 一拓扑窄问，u ，7 工。，则 ( 1 ) 肛是( r ( 工) x ，u ( 占) ) 中的开集当且仅当对任意的t r ，巩( 肛) 是( 三x ，占) 中韵开集 ( 2 ) p 是( r ( 上) x ，u ( d ) ) 中的闭集当且仅当对任意的t r ，蚍( p ) 是( l x ，6 ) 中的闭集 ( 3 ) ，1 是( l x ，6 ) q 的开集当日仅当r 是( r ( 三) x ，u ( 6 ) ) 中的开集 ( 4 ) 7 足( 工x ，彤中豹闭集当且仅当矿是( 矗( 工) xu ( j ) ) 中的闭集 引理2 1 7 1 4 】设f ：x y 为通常映射，诱导的z a d e h 型函数，：l 。一 三7 ，则任取b 上。，f 一1 ( b ) = bo f 引理2 1 8 1 1 4 】设，：x y 为通常映射p r ( 工) 7 ，对任意的t r ，则 ( 1 ) 口。( ，一1 ( p ) ) = f - 1 ( 仃x ( p ) ( 2 ) 巩( ，_ 1 ) = f - 1 ( 口) c ) 引理2 1 9 1 4 j设( 工。，6 ) ，似7 ，r ) 是l f 拓扑空间，：x y 为通常映射， f l ：l x l 7 ， ：兄伍) x _ r ( l ) 。，均为，诱导的z a d e h 型函数，则，i 连续当且仅 当，2 连续 3r ( l ) 一型诱导空间的性质 3 1r ( l ) 一型诱导空间的可数性 定义3 ，t ，1f l j 设( 。，是上f 拓扑空闻， ( 1 ) f lc6 ，若( 工。，6 ) 中的每一个开集都可以表示口巾若干个开集的并则称卢 为d 的基 ( 2 ) 若e m ( l 。) 且p 为d 的基令= p 口i e 计，则称是e 的远域基 7 墨f 墨2 ：型塑兰奎望竺壁堕鱼查重塞堡 定义3 1 2 1 1 】设( 三。，d ) 是l f 拓扑空| 1 j j ( 1 ) 6 具有至多可数个开集构成的基则称( 工。，d ) 为第二可数空间或o ，空 间 ( 2 ) 若旺。，6 ) - 每一个分子具有至多可数个闭集构成的远域基坝0 称( 五。，d ) 为第一可数空间或c 0 字问 ( 3 ) 若存在a ( 三x ，占) ，使a 一1 = 1 且存在分子的可数子基妒使得v 妒= a ，则 称( l 。，6 ) 为可分空间 ( 3 ) 若( l 。，5 ) 的每一个开覆盖都有可数子覆盖瘪称。，d ) y j i l i n d e l s f 空间 引理3 1 3 1 1 4 】 设肛r ( 己) x ，则肛= v t r ( fv 盯t ( p ) + ) 定理314 设肛r ( 工) x ! l | i j p = v t e q ( f v 巩( 肛) + ) 证明：显然v 姬o p a 盯；p ) s 肛 另一方面，对于任给的t r ，存在r q ，使得r t ，a 盯；p 声a 盯：p 故p = v t r f 晖肛v ，o 综上所述p = v t e 口( fvo t ( 肛) + ) 定理3 1 ，5 ( l x , 5 ) 为g ；窄问当且仅当( r ( l ) 。，) 为q ，空间 证明：必要性着( l x ，6 ) 为c 空问，即存在卢c6 且p 为巧的可数基显然f 庐a b + i r q ，b 卢 是可数的下证。g y q w ( 6 ) 的一组基对于任意的“u ( 6 ) 与t q ，有r d 从而存在岛c 卢使r t “= v 胰故( r “) 8 = v e 仇b * 1 所以， 肛= v r e 。驴a 只t 旷) = v f a 口i r q ， 8 卢 ) r 0 由“的任意性知结论成立 充分性：设卢u ( 6 ) 且卢为6 的卅数基下证f 足，b l b 3 ，r q ) 为江x ，d ) 的 可数摹显然它是可数的对于任意的b d ，b 0 ( 6 ) ，因此存在鼠cp ，使 b + = vp = v f a r 。p + l u 卢，r q ) , u c a 从而自b = r b 4 = r c ( v f 产a r i r q ，p p = v r p 肛卢，r q ，r 由b 的仟意性知结论成立证毕 定理3 1 6 ( l x ，6 ) 为。兰；兰问当且仪当( r ( 三) x ，毗d ) ) 为g ，空问 8 r f ，型诱导空间的性质与表示定理 证明：必要性对任意的z 。m ( r ( l 。) ，有。m ( l 。) 则z 。有至多可 数多| l | 勺闭远域基 口l ：b 2 ，) 从而对十任意的 ，有x 。上k 故a b 。0 ) 因 此 “菇磙且由定理2 1 6 及定理2l o ，易证t 磁为闭集故v 口：弘 。若p r f 一( 。h ：) ，则z 州菇p 目茁。菇l ；p ，从而存在n 使l ：p 上k 易证p # vb ：因 此 # vb ：，v 邑：) 为。h 。的至多可数的闭远域基 充分性埘于任意的z 。m ( l 。) ，有z 。em ( _ r ( 五) 。) 则。k 。具有至多 可数昀闭远域基 r ，r ， 从而对于任意的? l 有2 k 苌f 麓即 。r 婶) ，扶 l m n 套l f k ( 。) ，因此。菇l f k ( g ) ，三，r 叩( z 。) 若b 可一( z 。) ，贝n z 。菇b ，“菇 b ( z ) 且a 。苌互臻忙) 从而伊叶( 。h ) 故存在r 使口只即得口工。只，因 j i = 匕 l p 1 ，l p 2 ，为z 。的至多可数的闭远域基证毕 定理3 1 7 ( l 。，6 ) 为准l i n d e l s f 空间当且仅当( r ( ) 。吣d ) ) 为准l i n d e l 6 ，空间 证明：以下我们分别用1r ( l ) ，1 l x 与1r ( l ) x 来表示取l ) ，l x 与r ( 上) x 的最大 元 必要性； 发4 为( r ( l ) x ，u 妒) 的一个丌覆盖即v 4 ；1 吲甜x 对于任意的t q r # ( v a ) = 1 l x 即v 昆a = 1 l x 从而存在4 的可数子集a 使兄。a 为工。的开 覆盖+ 令卢= u e q a 。下证口为r 陋) “的开覆盖假设存在。x 使( v 卢) ( z ) i r ( l ) ，则存在s r 使( v p ) 扣) ( s + ) 1 取有理数t s ，从而有( v 卢) ( ) “+ ) 1 ，见( v 4 c ) 扛) 1 故v r , = r t ( v a ) l l x 与( l x ，占) 为准l i n d e l 计空间矛盾因 此口为的可数予覆盖由且的任意性知，必要性戚立 充分性：i 最u ) t i ( l o ，j ) 的一个开覆盖即v u = 1 l x 易证v ：芦u ) = i r ( l ) x且p + 矿) 为( r ( 工) x ，叫( 6 ) ) 中的开集即p + u ) 为( _ r ( 工) x ，叫( d ) ) 的 一个开覆盖因此存在u 的可数子集巩，使v u + ：肛以 = i r f l ) x 故有v 巩= 1 。x 从而c ，。为v 的可数子覆盖证毕 3 2r ( l ) 。型诱导空间的分离性 定义( 3 2 ，1 ) 【1 】设。，j ) 为l p 拓扑空问 ( 1 ) 若对m ( 工x ) 中的任意两个分子z - 与蛳，当z 小小于等于虬时，存 在p q ( z ) 使得玑p ，则称( l 。，6 ) 为霸空间 9 r f 叫一型诱导空问的性质与表示定理 ( 2 ) 若对( l 。，6 ) 中的任意两个分子 与札，当y 时，存在peq ( 。 ) 和口q ( 钆) ，使得pvq = 1 ，则称( 工。，6 ) 为马一空间或h o u s d o f f ? 空问 ( 3 ) 若对于x 上的任一非零准分明集a 和z 掰) 3 ，当x s u p p a 时，存在p q 扛 ) 和q q ( 孰) 使得p v q = 1 则称旺。6 ) 为正则守问，称n 的 正则空问为马一窄问 ( 4 ) 若对任两个非零分明集a 和b ，当s u p p ans u p p b 毋时，存在p 口( - 4 ) ，q ( b ) ，使得p v q = 1 f l 。) ，则称( l 3 ，6 ) 为正规空厨，称五的正规空间 为乃一空间 引理3 2 2 1 1( l x ，6 ) 为正一空闻当且仅当工x 的每一个分子都为闭集 定理3 ，2 3 ( l 。，6 ) 为丑- 空间当且仅当( r 旺) 。，u ( 6 ) ) 为丑一空间 证明：必要性由引理3 2 2 知，只要对任意的茁 o , e e f 丑( l ) x ) 为闭集，对于 任意s r 易证当8 t 时，工：忙 州) = z 。由( l x ，巧) 为l ，空间知z 。巧当s t 时l ：( o , j = 0 6 。，由定理2 1 6 知z 。u ( 巧) ，故( r ( l ) x ) ，u ( 占) 为噩空间 充分性对于任意的z 。i ( l o ) ，易证矿= o n u ( d ) 由定理2 1 0 知z 。6 ，即为闭集由的任意性及引理3 2 ，2 知f 上o ) ，j 为霸一空间 定理3 ，2 4 ( l 。，6 ) 为如一空间当且仅当( r ) 。，u ( d ) ) 为马一空间 证明：必要性设z 叫，掣h 。 ，( _ r ( 工) “) ，目z 可，则有z 。，鼬m 仁) 由 t ( l 。，6 ) 是正一的则存在p q ( z 。) ：q q ( ”) ，使p v q = 1 l x 易证p q ( t 。) ， 印4 叼( z “) 且_ p v - q 。= 1 r ( l ) x 故( 且陋) ，u ( 占) ) 为马一空间 充分性设z 。，掣( 卢) m ( 工x ) 任取er ，嚣 州掣沁。 f ( r ( 三) x ) 由( r ( 三) x ， u ( j ) ) 为马空问知存在pe 叩扛h 。) ，q 叩( 玑鲥) 使pvq = i r ( l ) x 易证工：p 叩( 。) ，l ：q 叼( 茁d ) 且工0 pvl ：q = 1 l x 做( 上“，6 ) 为正一守间 定理3 2 5 ( l x ，扪为正则空阃当且仅当( r ( 工) “u ( 6 ) ) 为正则空间 证明：必要性设aer ( l ) 。为非零的准分明闭集o 。m r ( 工) ) o 且。不 属1 j = s u p p a ，由a 为准分明集以及分子的性质知存在a 。，使a ( y ) o 当h 仅 当a ( 可) a 卢，。，易见( e a ) ( 剪) o 当且仅当( e 且) ( 材) 风从而l ：a 为非零的 准分明闭集且z 不属于s t i 印t a 由于( 三。，6 ) 为i f j j 空间知存在p ( z 。) ，0 q ( l ：a ) ) 使得pvq = 1 l x ，易见p + eq 扛 州) ，q + 即( a ) 且p vq + = l r l ) x 、因 此f r ( ) o ，u ( 6 ) ) 为正则空问 充分性设a l 。为非零的准分明闭榘z 。em ( l 。) 日z 不属t s u p p a 由a 为 1 0 r f 上) 型诱导空间的性质与表示定理 准分明闭集知存在卢工使a ( y ) o 当n 仅当a ( y ) 卢，从而有a ( ) o 当且 仅当小( ) 如做a + 为非零准分明闭集且z 不属于s u p p a + 由( r ( l ) x u ) ) 为正 则空间知存在p 叩( a + ) ，q 卵( 茁 。) 使得p vq = 1 r ( l ) x 由p 叼( a + ) 知当分不 属于s u p p a 时，a + ( ) 菇p ( 型) ，故存在t r ，使a + ( 可) 一) p ( 9 ) ( t 一) 即a ( ) 菇 p ( ) ( t 一) 再由p 悖) 的单调性知a 悖) 菇p ( ) ( 。一) 从而易见三二p 卵( a ) 工：q q ( z 。) 且l 己pvl l q = 1 l x 故( 工3 ) 。d 为正则空制证毕 推论3 2 6 ( l “，6 ) 为站一空间当且仪当( r ) o ，w ( d ) ) 为b 一空间 证明：由定理3 2 3 及定理3 2 5 以及晶空间的定义即得 定理32 7 ( l 爿，5 ) 为l e 规空间当且仅当( r ( 三) x ，u ( 占) ) 为正规空间 证明；必要性设a ，b r ( l ) o 为非零的准分明闭集且s u p p a ns u p p b = 妒坝0 存在kc 以及a 口，。使a ( x ) 0 当且仅当a ( x ) a “；b ( x ) o 当且仅 当口缸) a 肌从而( 丘a ) ( 。) o 当且仅当( 丘a ) ( 。) o ，( e b ) ( ) 0 当且 仅当( 工：b ) ( 。) 卢易见8 t 华p l i acs “州且8 t 仰三：b s u p p b 从而s t 毕p l ：aa s u p p l ：b = 咖且e a ，e 口均为非零的准分明集由( l 。，6 ) 为正规空间知存在p 卵( 三：a ) ，q i f - 町( 工：b ) 使p v q = 1 l x 当z 不属于s 伽砌时，由p 叩( l ：a ) ，得( 丘4 ) ( 嚣) 菇p 扛) 从而a ( x ) 菇p ( 。) 故p 4 叩( a ) 同理q + 叼( 口) 易见p v q + = 1 州l p 故 ( r ( l ) 3 ，u ( d ) ) 为正规守问 充分性：设a ，b l 。为非零的准分明闭集 s u p p ans u p p b = 西则存 在理，卢且彳( l ) ，使a 如) o 当且仪当a ) ；b ( x ) o 当且仅当b ( x ) 卢 易见有a + ( x ) o 当且仅当a 4 ( x ) 。b 缸) 0 当且仪当日+ 扛) a 口且 有s u p p a + = s u p p a ，s u p p b + = s u p p b ，m ( n ( l ) x ，u ( ) 为正规空间知存在p 叼( a ) ，q 叩( 口) 使pvq = 1 i ( l ) x 若a ( x ) 0 ，毋j a ( x ) 血从而有a 0 ) a 。 由p 卵( a ) 知a ( z ) 菇p ( 卫) ，从而有t r ，使a ( x ) = a + 扛) ) 苌p ( 茁) 0 一) = l ；p 再由p ( 砷的单调性知a ( x ) 菇p ( x ) ( t - ) = l 二( p ) ( z ) 故l 乙p r l ( a ) ，同理可 得l o 。0 q ( 口) 从而有l k p v l l q = 1 l 。撤( l x ，6 ) 为正规空问证毕 推论3 2 8 ( l ，5 ) 为五一空间当且仅当( _ r ) 。u ) ) 为五一空间 证明：由定理3 23 及定理3 2 7 以及丑空间的定义即得+ 1 1 r ( 工) 一型诱导空间的性质与表示定理 3 3r ( 工) 型诱导空间的仿紧性 定义3 3 ，1 【1 】设( l 上，巧) 是l p 一拓扑空间，a l 。，圣c5 ，k a 吖( 工) 如 果对于a 中任一分子z 有p 圣，使得p 叩( z 。) ，则称垂为a 的d 一- 远域 族记为 m a ( n ) 如果存在1 矿融) 使得 圣 a ( - y ) 则称圣为a 的远域 族记作 圣 1 4 ( a ) 如果对于a 的任一d 一远域族西的有限子集族讥使得皿构 成a 的o t 一远域族，则称a 是良紧集，当工x 的最大元l l x 是良紧集时，称( l x ，占) 为良紧 空间。 定义3 3 2 【1 1设( l x ，d ) 为l f 拓扑空间，a = a ( t ) l t t ) cl x ，如果 对任意的。 m ( l 。) 存在p r l ( x ) 以及丑的有限子集使得对任意的t t 一，有a 。p 则称a 是局部有限集族，如粜对任意的z ”都有一个分明闭远 域p ，_ 日相应地t 有有限子集晶使得对于任意t t 的成立，a t 兰p 则称且为 强局部有限的集族 定义3 3 3i l l 设( l x ，d ) 为l f 一拓扑空间，o m ( 三) ，如果对于1 l x 的m 远 域族西而言存在闭集族皿，使得 ( 1 ) 圣为1l x 的远域族 ( 2 ) 皿为壬的余加细，即v q 皿，存在p 面，使得psq ( 3 ) 皿= q i q 皿，是局部有限集族( 强局部有限集族) 则称空间( 工。6 ) 是仿紧的( o 一口仿紧的) ，如果对任意的n m ( l 。) ，( l x ，d ) 都 是m 仿紧的( n 一仿紧的) ，则称空间o ，6 ) 是仿紧的( 豇仿紧的) 定义3 3 4 【1 1设( 工。，j ) 为工f 一拓扑空间p m ( l ) ，如果对于1 x 的任 一。一远族域而言，存在- y p o t 以及闭集族皿，使得 ( 1 ) 皿为1 f ，x 的远域族 ( 2 ) 皿为垂的余加细，即对任给的q 皿存在pe 圣，使得p q ( 3 ) 雪= q i q 霍是局部有限集族( 强局部有限集族) 则称空间( l x ，5 ) 是n 良仿紧的( 血良仿紧的) 如果对任给的a ，( 工) ( 工x ，d ) 都良仿紧的( d 一口良仿紧的) 则称空间( l 彳，占) 是良紧的( - 1 1 良紧的) 定理3 3 5 ( 工x ，d ) 为仿紧空间当且仅当r ( 工) x ，u ( j ) 仿紧空间 证明：必要性设 州为r ( ) 中的任一分子垂为1 y t ( l ) x 的任一 叫一远域族对 于任意的z x 存在p 垂使得p 叼( 茁 州) 从而有丘p 叩( z 。) 令工：( 垂) = 1 2 r f l ) 一型诱导空间的性质与表示定理 t ；p ：p 西) 则工：( 中) 为1 l x 的远域族由于( 工x ，占) 是仿紧的存在闭集族皿= f q ，：re 满足： ( 1 ) 田为1l x 的d - 远域族 ( 2 ) 皿为垂的余加细 ( 3 ) 皿是局部有限集族 令皿+ = 0 ：re 下证皿+ 为1 r ( l ) x 的远域族对任意的z ex ，由 于皿为1 l x 的远域族知有q ，圣，使得q ，叩( 。) 从而q ：叼( z “) 由m 为1 l x 的余加细知，对于任意的0 ，存在只e 圣，使褥t 只sq ，令触= 只v q ：，q = “：r ，则显然n 为闭集族且满足 ( 1 ) n 为1 r ( xs j a o , t 远域族 对任意的z x ，存在re ，使得q ：q ( z 。) ，即a 譬q ：0 ) 从而z 。菇 ( 厶q ：扣) = q j 从而z 。菇l ：只故有k ，t 菇只由k t 为分子得a 州菇q ：v 只= p ，即有p ，n 且p 叼( 茁x ) ( 2 ) n 为垂的余期细 显然，对于任意的p ，n 有p r 垂使只蜘 ( 3 ) n 是局部有限集族 对任意的ex 与 m ( r ( ) ) ，由于唧m ( l 。) ，屯是局部有限集族，知 存在有限子集oc 以及qev ( x 。) + 使得对于任意的r a a o 有q ：苌q 从 而有q 叩( z h 。) 且( 口：) 7 = ( q ：) + ，故有卢，= ( q ：vp r ) 7 = ( q ：) + a 耳( q ：) 4 蔓 0 4 也就是驴( z 虹。) ，a o 是有偎的且对任意的r 一o 有疋q + 充分性，设m ( l ) ，垂为1 l x 的任一n 一远域族取定t 丑 贝l j 有 酣m ( r ( l ) ) 且圣+ ： p + ：p 中为1 蠢的a 吖远域族由( r ( 五) x ，u ( j ) ) 是仿紧的知存在闭集 族皿= f q ，：r 满足 ( 1 ) k o 为l r ( l ) x 的 “远域族 ( 2 ) 皿为妒的余加细 ( 3 ) 皿是局部有限的 令l ：( 皿) = l t ( q ，) ：re ) 则l ：( 皿) 为( 三x ，占) 中的闭集族，且满足 ( 1 ) t ( 皿) 为1 l x 的远域族 对j ：任意的xex ，由皿为1 r x 的 “一远域族知存在r ，使得q ， e 叼( z 川) 从而菇q ，( z ) “一) = l ；q ，( 髫) 即工q ，e 叩( z 。) 1 3 r 池】一型诱导空间的性质与表示定理 ( 2 ) 工：( ) 为垂的余加细 对任意r a 由皿为妒的余由| l 细如存在p6 - 圣，使得p q ，从而p 曼丘q ， ( 3 ) 二：伸) 是局部有限集族 对于任意p m ( 五) 与z x ，g t s r 满足s f ( s ) ，a ( t 一) = 。 t a ( s ) 对任给的 ，肛m a p 当且仅当 ( 件) = p + ) ，a ( t 一) = 肛( ) 易见一为。p 的等价关系 记，o ( 工) = p ，对任意的a ，pej o ( l ) ， f 当且仅当对任给的 r ，a ( t + ) sp ( t 十) ，a ( 一) 肛“一) 对任给t 1 0 ，【刈i o ( l ) ，定义：皿( f 州) = a o + ) l t ( 【卅) = a ( 一) 1 5 r ( l ) - 型诱导空间的性质与表示定理 则，r t l i 。( 命题4 1 对于( f o ( 印：) 及( m ) ，下列二式成立 所以对任意的【刈，【卅i o ( l ) ，定义【刈v 【川= 队v 川，【n 【翻= n a 一是合 理的 对任意的a p ( q ，规定a ：r 一三为，对任绘的t j o ，a ( ) = a ( 1 一t ) 易证 如r 定义的“”是，o ( 三) 上的逆合对应 命题42 p ( 工) 如以t 定义的序和逆台对应构成f 格 我们类似的可以定义q ( 三) 众所周知，存在p 与r 之间的同构映射， 定义4 3 妒：i o 池) 一r ) 为对任给的r ，a i o ) ，妒( a ) ( ) = a ( f “( ) ) 引理4 ，4 ，o 与兄( 工) 是同构格 证明：显然妒是单、满映射 下证妒保有限并与有限交对于任给的 ，p j o ) ，r ，妒( avp ) ( t ) = ( av 肛) ( ，一1 ( t ) ) = a ( ，一1 ( ) ) vp ( ，一1 ( f ) ) = 妒( ) ( ) v 妒( p ) o ) 同理可证妒保有限交 定义4 ，5 妒：，o ( l ) _ j 犯) 为_ 对任给的r ，a p ( ) ， f lso ， 妒( a ) ( t ) = a 0 t ，。日( s + ) = ( v s t , e e q ( a ( s + ) ) v ( v 。 t p e 口( 肛( s + ) ) ) = 妒( a ) ( t + ) v 妒( p ) ( + ) 同理可证妒保有限交 定瑶4 9 r ( l ) _ p ( 工) 2 i ( l ) ：q ( l ) 证明：由日i 理4 1 ，4 2 4 3 直接推出 定义4 1 0 设( 三x ，d ) 为工一拓扑空间，p ：x _ q ( l ) 为映射若对于任意的t q ：育r t g d ( l 江6 ) 贝0 称p 为q 池) - 值下( 上) 半连续映射所有的0 ( 工) 值下半 连续映射构成x 上的q ( 工) 一拓扑，称为( 。，d ) 的诱导0 犯) 一拓扑记为“均( 6 ) ( q 犯) 。， u o ( j ) ) 称为( 工x ，巧) 的诱导q ( ) 一拓扑窄间 同样我们可以类似的定义由( l 。，6 ) 诱导的j o 拓扑窄间我们容易发现该空间 与( r ( 工) x ，u ( j ) ) 同构 定理4 1 1 拓扑空间( r ( l ) x ，。( j ) ) 同胚于( 口( 工) x ，u o ( 6 ) ) 证明：定义映射为：对任给的z x ，z ( 0 ) 。，啪( j ) ， 妒：0 ( l ) x r ( 工) x ，。 + z 。 其中妒为q ( 工) 与r ( 工) 之间的格同构对任意的肛u 口( 6 ) ，妒( 芦) u ( d ) ，故妒为 ( 兄( l ) x ，u ( 巧) ) 到( q ( 三) x ，“b ( 巧) ) 同胚映射 5 结论 本文证明t r ( l ) 一型诱导拓扑空间是g ( t = i ，) 可数的、正( z = 1 ，2 ，3 ，4 ) 分 1 7 些些2 ：型堡量兰塑塑些堕量查至查里 离的与( 怠) 仿紧的当且仅当三f 一拓扑空间( l x ，占) 是g 0 = j ，) 可数的、正( i = t ，2 3 4 ) 分毒妁与( 良) 仿紧的即这些性质是都是联) - 好的推广。并且我们给出 t r ( l ) 一型诱导拓扑卒间的一个表示定理 1 8 墨! 墨! ：型堕兰皇坚塑些堕量叁垂墨堡 p r o p e r t i e so fi n d u c e dr ( l ) 一t o p o l o g i c a ls p a c ea n d s t a t e m e n tt h e o r y a b s t r a c t ：u s i n gt h ec o n c e p to fi n d u c e dr ( l ) 一t o p o l o g i c a ls p a c e ，t h i st h e - s i sp r o v e st h a ti n d u c e dr ( l ) 一s p a c e ( 三x ，6 ) i sg 0 = j ，) c o u n t a b l e ，置( t = 1 , 2 ，3 ，4 ) s e p a r a t ea n d ( w e l l ) p a r a e o m p a c t ei fa n do n l y i fl - f u z z yt o p o l o g i c a l s p a c e ( l 。，蛳s 倪“= ，) c o u n t a b l e ，五“= t 2 ，3 ，4 ) s e p a r a t ea n d ( w e l l ) p a r a - c o m p a c t er e s p e c t i v e l y t h a ti s ，t h e s ep r o p e r t i e sa r ew e l lr ( l ) 一g e n e r a l i z a t i o n t h ep a p e rp r o i e st h a t f l a t t i c ef ( l ) ，r ( l ) ，i o ( l ) a n dq ( l ) i si s o m o r p h i s m i t p r o v e st o p o l o g i c a ls p a c e ( r 陋) xw ( 5 ) ) i s o m o r p h i s m ( q ( l ) 3 ，“幻( ) k e yw o r d s ： i n d u c e dr ( l ) 一t o p o l o g i c a ls p a c e ；c d i = j ，h ) c o u n t a b l e ；正( = 1 ：2 ，3 ，4 ) s e p a r a t e ；( w e l l ) p a r a c o m p a c t e 旦垡2 ：型堕兰至塑塑：竺堕量查至奎墨 致谢 在撰写论文过程中，自始至终都得到导! j i l j 谢琳教授的耐心指导。三年米，谢老师 对我在思想、学习、生活等各方面都给予无微不至的关怀和帮助，其严谨的治学态 度、渊博的知识、科学的研究方法，给我留下深刻印象谢老师不仅指导我从事拓 扑学的研究，而且培养和深化我的数学思想，帮助我逐步走上进行科学研究的正确道 路，使我受益终生在此毕业之际，对导师谢琳教授多年的辛勤培养和关心致以最诚 挚的谢意 在我上大学以及攻读硕土学位期间，辽宁师范大学数学学院的各位领导和老师 都给予了极大的关怀和帮助尤其感谢韩友发院长、董学东教授、袁学海教授、王 晶听教授等多位老师的授业解惑，感谢数学学院对我多年的教育与培养 在日常生活中，无论是学习上的讨论，还是棋盘上的厮杀，还是对人生的探讨都 在我的印象中留f 美好的回忆在此毕业之际，感谢同学宋永志、范传强、韩建林、 关洪岩、许正库等人为宝贵的研究生生活带来的快乐 当然要感谢我的父母对我的养育之恩，没有他们的理解与支持我是刁；可能完成 学业的感谢我的女朋友对我的鼓励与帮助 要感谢的人很多很多就算感谢到感恩节也未必感谢的完这里就不一致谢 了感谢本文所引用文献的作者们感谢审稻人的认真审阗| 2 0 月( l ) 型诱导空问的性质与表示定理 参考文献 【lj 王国俊l 一，u = z 拓扑空间论【m 】；陕西师范大学出版社( 1 9 8 8 ) f 2 j 王戈平j ( ) 一，“z 。拓扑空问的良紧性f j l 科学通报，1 9 8 9 , 3 4 ( 5 ) ：3 3 3 - 3 3 5 ， 3 】王戈平，( l ) 一值f 半连续映射与一种新的诱导空问 j 】擞学杂志，1 9 9 0 ，1 0 ( 3 ) ：2 7 7 - 2 8 4i e e et r a n s a c t i o n so ni n f o r m a t i o nt h e o r y 1 9 9 6 ( 4